s p f Σ p f S p f, also auch für jede Folge (p n ) n N0 von Partitionen, für die die Feinheit gegen 0 geht.

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1 Satz: Äquivalenz von Riemann- und Darboux-Integral f : [a, b] R. Dann sind äquivalent: (a) f Riemann-integrierbar. (b) f beschränkt und Darbouxintegrierbar. Gilt (a) oder (b), so ist I(f) = Sf = sf. Beweis: einfacher ist (b) (a) : Für alle Partitionen p von [a, b] gilt: s p f Σ p f S p f, also auch für jede Folge (p n ) n N0 von Partitionen, für die die Feinheit gegen 0 geht. Damit gilt: lim n s p n f = lim Σ n pn f = lim S n pn f. Folglich ist f Riemann-integrierbar und I(f) = Sf = sf. (a) (b) : Vorab: f Riemannintegrierbar f beschränkt.

2 Es reicht, zu zeigen: S p f und s p f sind durch Riemann-Summen Σ p f beliebig genau approximierbar. Da f Riemannintegrierbar ist, ist dann Sf = sf. Wir zeigen: S p f ist durch Riemann- Summen Σ p f beliebig genau approximierbar. Sei ε > 0 vorgegeben. Zu zeigen ist: Zu der Partition p gibt es eine Riemann-Summe Σ p f mit S p f Σ p f < ε. Einfach wäre es, wenn für k n sup f(x) = x [x k,x k+1 ] Tafelskizze max f(x) x [x k,x k+1 ] Für jede Partition p von [a, b] gilt: Für jedes ϕ > 0 gibt es in [t k, t k+1 ] eine Stützstelle x k mit sup f(x) f(x k ) < ϕ. x [x k,x k+1 ] (Def. des Supremums)

3 Wähle ϕ so, dass ϕ (b a) < ε. Dann ist S p f Σ p f = = k n(t k+1 t k ) ( sup f(x) f(x k )) < x [x k,x k+1 ] < k n(t k+1 t k ) ϕ = (b a) ϕ < ε Bei Partitionen werden die Stützpunkte oft nicht gebraucht. Daher: Def.: Ist a = t 0 t 1... t n+1 = b, so heißt p := (t k ) k n eine (stützpunktfreie) Partition von [a, b]. Jordan-Inhalt ebener Flächenstücke: Für jedes δ > 0 kann man R 2 pflastern mit δ-quadraten, mit Mengen Q der Gestalt: Q = [mδ, (m + 1)δ] [nδ, (n + 1)δ] mit ganzen Zahlen m und n.

4 Ad-hoc-Sprechweise: Für jedes beschränkte P R 2 sei N(P ) die Anzahl aller δ-quadrate Q mit Q P und n(p ) die Anzahl aller δ-quadrate Q mit Q P. Dann ist n(p ) N(P ) N. Def.: Sei P R 2 beschränkt. J(P ) := inf δ>0 (δ2 N(P )) j(p ) := sup(δ 2 n(p )) δ>0 J(P )... äußerer Jordan-Inhalt von P j(p )... innerer Jordan-Inhalt von P Ist J(P ) = j(p ), so heißt P Jordanmessbar und J(P ) = j(p ) der Jordan- Inhalt von P. Ohne Beweis: Die Definition ist unabhängig vom kartesischen Koordinatensystem in der Ebene.

5 Satz: Sei f : [a, b] R beschränkt mit f(x) 0 für alle x [a, b]. Sei P := {(x, y) R 2 : a x b, 0 y f(x)}. Dann sind äquivalent: (a) f ist Riemann-integrierbar. (b) P ist Jordan-messbar. Gilt (a) oder (b), so ist I(f) = J(P ). Bew.: aus Zeitgründen ohne

6 2 Untersuchung des Integrals Integrierbare Funktionen Zu Treppenfunktionen: Aus Analysis 1 kennen wir Treppenfunktionen. Aus dem Satz über die Äquivalenz von Riemann- und Darboux-Integrierbarkeit entnehmen wir: Satz: Treppenfunktionen und Riemann-Integral Sei f : [a, b] R. Dann sind äquivalent: (a) f ist Riemann-integrierbar. (b) Für alle ε > 0 gibt es Treppenfunktionen g und h auf [a, b] mit g f h und I(h g) < ε. In Analysis 1 wurde das Integral für Regelfunktionen eingeführt. Regelfunktionen sind solche Funktionen, die durch Treppenfunktionen gleichmäßig approximiert werden können.

7 (Das ist eine Formulierung ohne Verwendung von Banachräumen.) Das führt auf die Fragen: (1) Ist jede Regelfunktion Riemannintegrierbar? (2) Ist jede Riemann-integrierbare Funktion eine Regelfunktion? Der letzte Satz beantwortet diese Fragen nicht. Er besagt: Jede Riemannintegrierbare Funktion f lässt sich durch Treppenfunktionen so annähern, dass das Integral über der Treppenfunktion das Integral über f beliebig genau annähert. Satz: Jede Regelfunktion ist Riemannintegrierbar. Bew.: Das ist Aufgabe H06 von Blatt 02.

8 Stetige Funktionen: Satz: (Integrierbarkeit stetiger Funktionen) Vor.: f : [a, b] R stetig. Beh.: f ist gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar, also Riemannintegrierbar. Bew.:... Def.: (stückweise stetig) f : [a, b] R heißt stückweise stetig, falls gilt: Es gibt eine Partition p von [a, b], so dass für k n gilt: (a) f ]t k, t k+1 [ ist stetig. (b) lim f(x) und x t k,x>t k existieren. lim f(x) x t k+1,x<t k+1 Korollar: (Integrierbarkeit stückweise stetiger Funktionen) Vor.: f : [a, b] R stückweise stetig. Beh.: f ist gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar, also Riemannintegrierbar.