Anhang: Einführung in die Vektorrechnung

Transkript

1 Anhang: Einführung in die Vektorrechnung Physikalische Größen, die durch ihren Betrag und ihre Richtung festgelegt sind, heißen Vektoren. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt, dessen Länge ein Maß für den Betrag ist (Bild All). Als Symbole für Vektoren verwenden wir fette Buchstaben, zum Beispiel A. Der Betrag des Vektors A wird durch IA! oder kurz durch A angegeben. Ein Vektor mit dem Betrag Eins heißt Einheitsvektor e. / B' '' A '\ > 0 Bild 12 Multipliziert man einen Vektor A mit einer skalaren Größe A, so erhält man den Vektor B = A A (Bild AI2) mit 1 B 1 = 1 ).11 A I. Demnach läßt sich jeder Vektor als Produkt aus seinem Betrag und einem gleichgerichteten Einheitsvektor schreiben (Bild All): A =Ae. (A.l) Die Addition zweier Vektoren A und B ergibt den Summenvektor C=A+B. (A.2) Er kann zeichnerisch durch BlIden eines Parallelogramms ermittelt werden (Bild A/3). Dieses Parallelogramm kann auch folgendermaßen gedeutet werden: ein gegebener Vektor C wird in zwei Vektoren A und B mit den vorgegebenen Wirkungslinien a und b zerlegt. Die Vektoren A und B heißen dann Komponenten des Vektors C bezüglich der Richtungen a und b. In der Ebene ist die Zerlegung eines Vektors nach zwei verschiedenen Richtungen mit Hilfe des Parallelogramms eindeutig möglich. Entsprechend läßt sich im Raum die Zerlegung nach drei nicht in einer Ebene liegenden Richtungen eindeutig durchführen.

2 Komponenten und Koordmaten 195 Bild A/3 A 0 Des bequemeren Rechnens wegen stellen wir Vektoren häufig in einem kartesischen Koordinatensystem dar (Bild A/4). Die jeweils aufeinander senkrecht stehenden Achsrichtungen (orthogonale Achsen) x, y und z des Koordinatensystems werden durch die Einheitsvektoren e" ey und ez gekennzeichnet. Der Vektor A kann in seine Komponenten A x, A y und A z bezüglich der drei Achsrichtungen zerlegt werden: Nach (A.l) gilt für die Komponenten ;l-a,------", I I I I (A.3) (AA) AI , y BIld A/4 x

3 196 Anhang: Einfuhrung in die Vektorrechnung Damit wird aus (A3) (A5) Die Maßzahlen A" A y und Az heißen Koordinaten des Vektors A. Sie werden oft auch Komponenten des Vektors genannt, obwohl die Komponenten ja die Vektoren AI(j = X, y, z) sind. Ordnet man die Koordinaten in einer Spalte (A.6) an, so nennt man diese Darstellung von A einen Spaltenvektor. Durch die Angaben seiner drei Koordinaten ist em Vektor eindeutig bestimmt. Der Betrag des Vektors folgt aus dem Satz des Pythagoras zu IA: =A = VA~+A;+A~. (A7) Die Richtung von A wird durch die Winkel :x, ß und y charaktensiert (Bild A/4). Wir lesen ab: A, cos :X=-, A A y cos ß=-, A A z cos y=-. A (A.8) Mit (A 7) ist (A9) und es gilt daher cos 2 :x + cos 2 ß + cos 2 I' = I. (AIO) Die drei Winkel :x, ß und y sind also nicht unabhängig voneinander. Die Vektorgleichung A =B (All) ist gleichwertig mit den drei skalaren Gleichungen (A.12)

4 AddItion und Subtraktion von Vektoren 197 Zwei Vektoren sind somit gleich, wenn sie in den drei Koordinaten übereinstimmen. Im folgenden werden einige Rechenregeln unter Verwendung der Komponentenschreibweise zusammengestellt. 1. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Die Multiplikation eines Vektors A mit einem Skalar A (Bild A/2) liefert mit (A3) und (AA) den Vektor B=AA =A A=A(Ax+Ay+A z) = ),A, e x +}, Ayey + AA z e z. (AI3) Ein Vektor wird demnach mit einer Zahl multipliziert, indem jede Koordmate des Vektors mit dieser Zahl multipliziert wird. Für ), > 0 bleibt dabei der Richtungssinn erhalten, während er sich für ;, < 0 umkehrt. Im Sonderfall }, = - 1 erhält man den Vektor B = - A, der aus dem Vektor A unter Beibehaltung des Betrages durch Umkehr des Richtungssinns entsteht. Für A = 0 erhält man den Nullvektor. 2. Addition und Subtraktion von Vektoren Für die Summe zweier VektorenA und B erhält man Daraus folgt C=A + B = (A,ex + Ayey+ Az ez) + (B x ex + Byey + B z ez) = (A,+ B x) ex+ (A y+ By) ey+ (A z + B z) ez (AI4) = C,e,+ Cyey + Czez. (AI5) Zwei Vektoren werden also addiert, indem man jeweils die entsprechenden Koordinaten addiert. Bei der SubtraktIOn zweier Vektoren folgt mit C=A -B=A + (-B) (A.l6)

5 198 Anhang: Einftihrung III die Vektorrechnung für die Koordinaten (A I 7) 3. Skalarprodukt Das skalare Produkt (inneres Produkt) zweier Vektoren A und B, die nach Bild AIS a den WInkel rp einschließen, ist definiert durch A. B = A B cos rp. (AI8) Das Ergebllls der Multiplikation ist ein Skalar (kein Vektor!). Das skalare Produkt läßt sich auf verschiedene Weise deuten (Bild A/Sb): a) Betrag VOn A mal Betrag VOn B mal Kosinus des eingeschlossenen Winkels, b) Betrag vona mal senkrechter Projektion von B auf A, c) Betrag VOn B mal senkrechter Projektion von A auf B. Bild A/5 a (1, ~A b Das Skalarprodukt ist positiv, wenn die beiden Vektoren einen spitzen Winkel einschließen, während es bei einem stumpfen WInkel negativ 1St. Im Sonderfall orthogonaler Vektoren (rp = rrl2) ist das Skalarprodukt Null. Aus der DefinitIOn (A18) folgt A B=B A. (A19) Die Reihenfolge der Vektoren darf beim skalaren Produkt vertauscht werden (KommutatIvgesetz). In Komponentendarstellung wird das Skalarprodukt

6 Vektorprodukt Unter Beachtung von e x ex = ey ey = ez e z = 1, e x ey = ey. e z = e z. ex = (A21) finden wir (A22) Für den Sonderfall B = A erhalten wir wegen ({J = 0 aus (AI8) A. A = A 2 oder A = ~. (A.23) 4. Vektorprodukt Beim Vektorprodukt (äußeres Produkt oder Kreuzprodukt) zweier Vektoren A und B verwenden wir "x" als Multiplikationszeichen: C=A xb. (A24) Das Produkt ist folgendermaßen definiert: a) Der Vektor C steht auf A und auf B senkrecht (Bild A/6) b) Der Betrag von C ist gleich der von A und B aufgespannten Fläche: i CI = C = A B sin ({J (A25) Dabei ist ({J der von A und B eingeschlossene Winkel. c) Die Vektoren A, Bund C bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (man kann Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand in dieser Reihenfolge mit den Richtungen von A, Bund C zur Deckung bringen). Bild A/6

7 200 Anhang: Emflihrung m die Vektorrechnung Daraus folgt AxB=-BxA. (A26) Das Kommutativgesetz gilt für das Vektorprodukt mcht. Sind zwei Vektoren parallel (rp = 0), so verschwindet nach b) ihr Vektorprodukt. Unter Beachtung von (A27) wird C=A x B = (Ar e x + Ayey+ A z ej x (B x er + Byey + B: e:) = (AyB: - A: By) e, + (A:B, - A,Bz) e,. (A2S) +(A,By-AyB,)e:. Damit folgen die Koordinaten des Vektors C zu C\=AyB:-A:By, Cy=A:B\-A\B:, C:=ArBy-AyB,. (A29) Das Vektorprodukt kann auch m Form einer Determmante e, ey e: C=AxB= Ar Ay A: B, By B_ (A.30) geschneben werden. In der ersten Zeile stehen dabei die EinheItsvektoren er. ey und ez, während die Koordinaten der Vektoren A und B die zweite und die dritte Zeile bilden.

8 Sachverzeichnis Arbeit 150 ft. -, virtuelle 155 Arbeitssatz 155 ft. Archimedes 34 Balken 78, 118 -, Gelenk- 95 Bertihrungsebene 23 Bezugspunkt 38 Biegemoment 117 Bogen 78, 118, 142 -, Dreigelenk- 93 Coulombsche Reibungsgesetze 180fT. Cremona-Plan 105 Dreigelenkbogen 93 Einspannung 81 Energie, potentielle 154 Euler 190 Eytelwein 190 Fachwerk 98 ft., 166 Faser, gestrichelte 118, 142 Feder-konstante potential 154 Flächenmoment 68 Flächenschwerpunkt 67 Föppl-Symbol 135 ft. Freiheitsgrad 41,79, 85, 159 Freikörperbild 9 Freimachen 9 Freischneiden 9 Gelenk balken kraft 90 Gerber-Träger 96, 163, 164 Gestrichelte Faser 118, 142 Gleichgewicht 21 ft., 30, 33 ft., 167 ft. Gleichgewich ts-bedingungen 21, 30,37, 41fT., 57fT., gruppe 21 Gleichgewichtslage, Stabilität einer 167fT. Grafoanalytische Lösung 24 Gleitreibung 179 ft. Haftbedingung 181 Haftung 179 ft. -, Seil- 189fT. Haftungs-kegel keil koeffizient winkel 181 Hebelarm 38 Hebelgesetz 34, 156 Hennebergsches Stabtauschverfahren 112 ft. Joule 151 Kinematische Bestimmtheit 82, 100 Klammer-Symbol 135 Knoten 98 Knotenpunktverfahren 102 ft. Kraft 4fT. -, AngrifTspunkt einer 5 -, äußere 9 -, Betrag einer 5, 6 - -eck 15 -, eingeprägte 8 -, Einzel- 8 -, Feder , Flächen- 8

9 202 Kraft, Gleitreibungs , Haftreibungs , innere 9 - -komponenten 17 -, konservative 154 -, Linien- 8 -, Normal- 23, 117 -, Potentlal , Quer , Reaktions- 9, 163 -, Richtung einer 5, 6 -, Schnitt , Schwer- 4 -, Stab- 99 tt. - -systeme, zentrale 14 -, Tangential vektor 6 -, Volumen- 8 -, Wirkungslinie der 5 -, Zwangs- 9 Kräfte-dreieck gruppen, ebene gruppen, räumliche gruppen, zentrale mittelpunkt paar 34 -, parallele 33, parallelogramm plan 15,50tT. - -polygon zerlegung zusammensetzung 14 Kritische Last 175 Lageplan 15,50tT. Lager 78tT. -, einwertige 79 -, dreiwertige 81 -, gelenkiges 80 -, gleit reaktionen 78 tt. -, Rollen- 79 -, zweiwertige 80 Linienschwerpunkt 76 Massenmittelpunkt 66 Massenpunkt 2 Moment, Betrag 35 - des Kräftepaares 35 - einer Kraft 37 -, statisches 68 Momenten-bezugspunkt linie 120tT. - -vektor 53 Newton 5,12 - -sches Axiom 11 Normalkraft 23, 117 Nullstab 102 Ortsvektor 55, 150 Sachverzeichllis Parallelftihrung 88, 126, 131 Parallelogramm der Kräfte 14 Pendel-stab stütze 79 Platte 78 Pol des Kraftecks 50 Potential des Gewichts der Federkraft 154 Pnnzip der virtuellen Vernickungen 157 Querkraft 117 tt. - -gelenk linie 120tT. Rahmen 78, 118, 142tT. Randbedingungen 126 ReaktIOnskraft 9 Raumliche Statik 28, 53 Reduktion 15 ReIbung 179tT. -, Seil- 189 tt. Reibungs-gesetz koeffizient 180, 183. Resultierende 14 Rlttersches Schnittverfahren 110 tt. Schale 78 ScheIbe 78 Schneiden 9 Schnitt-größen kraftlinien PrinZIp 10

10 Sach verzelchms -, Ritterscher ufer 117 Schwerachsen 68 Schwerpunkt 63 ti Seil eck 49ff, - -haftung 189 ff. - -polygon reibung 189ff. Skalarprodukt 198 Stab 23,78 -, Null tauschverfahren 112 ff. - -werk 98 ff. Stabilität 167 ff. Starrer Körper 7 Statik 2,4 Statische Bestimmtheit 22, 81 ff., 86, 88 ff., 98 ff. Statisches Moment 68 Strecken last 8 Superposition 113 Torsionsmoment 147 Tragwerke, ebene 78 -, mehrteilige 88 -, räumliche 85, 146 Träger, Gerber- 96 -, Krag- 123 Übergangsbedingungen 129 ff. 203 Vektor 6, 194ff. - -addition 197 -, Betrag 194 -, Einheits- 6, 194 -, freier 6 -, gebundener 6 - -komponenten koordinaten 196 -,Iinienflüchtiger 7 -, Orts- 55, ISO - -produkt 199 Virtuelle Verrückung 155 Verzweigungspunkt 175 Volumenmittelpunkt 67 Vorzeichenkonvention für Schnittgrößen 117, für Stabkräfte 28, 102 Wechselwirkungsgesetz 10 Wirkungslinie 5 Zweigelenkbogen 93

11 Taschenbuch für den Maschinenbau Herausgeber: W.Beitz, K.-H.Küttner 17. Aufl Etwa 1600 S. Etwa 2500 Abb. Geb. DM 118,- ISBN Die vorliegende Neuauflage vollzieht durch vollständige Überarbeitung und Aufnahme weiterer, für den Maschinenbau wichtigen Fachgebiete, den Schritt in die neunziger Jahre. Neben den klassischen natur- und ingenieurwissenschaftlichten Fächern mit Konstruktions- und Fertigungsorientierung sollen Kapitel über Elektronische Komponenten, über Prinzipien der Mechanischen und Thermischen Verfahrenstechnik sowie über Industrieroboter, Montagetechnologien und Fertigungsverfahren der Feinwerktechnik die Informationsbreite dieses Standardwerkes noch erhöhen. Damit werden alle wesentlichen Problem- und Ingenieurbereiche des Maschinenbaus behandelt. Der Dubbel ist Lehrbuch und Nachschlagewerk zugleich und wendet sich an Studenten und Ingenieure aller Fachrichtungen, für die natur- und ingenieurwissenschaftliche Grundlagen sowie die produkt- und fertigungsorientierten Fachgebiete des Maschinenbaus erforderlich sind. Technische Mechanik Band 2: W. Schnell, D. Gross, W. Hauger Elastostatik 3. Aufl VIII, 231 S. l37 Abb. Brosch. DM 29,80 ISBN Band 3: W. Hauger, W. Schnell, D. Gross Kinetik 3.Aufl VIII, 256 S. 150 Abb. Brosch. DM 29,80 ISBN In allen drei Bänden wurde ein möglichst einfacher Zugang zur Mechanik gewählt, um den unterschiedlichen Eingangskenntnissen der Studienanfanger gerecht zu werden. Somit wird ein tragfahiges Fundament gelegt, das ein tieferes Eindringen in weitergehende Gebiete der Mechanik ermöglicht.