24. Projektive Geometrie

Transkript

1 24. Projektive Geometrie Projektive Räume Zweck: Störende Ausnahmefälle der affinen Geometrie beseitigen durch geschickte Erweiterung affiner Räume zu sogenannten projektiven Räumen, wo die Ausnahmen nicht mehr auftreten. Sei K ein beliebiger Körper, V ein K-Vektorraum. Definition: Die Menge der eindimensionalen Teilräume von V heißt projektiver Raum. P := P(V ) := {Kx x V \ {0}} Eine Teilmenge X P(V ) heißt projektiver Teilraum von P(V ), falls ein Untervektorraum U x V existiert mit X = P(U x ) := {Kx x U x \ {0}} dim(p) := dim(u) 1 heißt Dimension von P. X heißt Punkt Gerade Ebene 0 falls dim X = 1 2 P n := P n (K) := P(K n+1 ) heißt der projektive Standardraum. Bemerkung: Die leere Menge ist ein projektiver Raum mit U = {0}, also dim = 1.. Lemma: Ist I eine beliebige Indexmenge und i X : X i P(V ) projektive Teilräume. Dann ist X := i I X i P(V ) ein projektiver Teilraum. Insbesondere existiert für jede beliebige Teilmenge M P(V ) die projektive Hülle [M] := X X proj. TR;M X 107

2 24. Projektive Geometrie Speziell: (1) X, Y P(V ) projektive Teilräume [X Y ] = P(U x + U y ) (2) Für M = {P 1,..., P r } setze [M] := [P 1,..., P r ] Beweis: Sei X i = P(U i ) zu Teilvektorräumen U i V. Damit: X = i I {Kx x U i \ {0}} = { Kx x i I U i, x 0 ( Def. = P i I U i ) } Definition: Ein projektiver Teilraum H P(V ) heißt (proj.) Hyperebene, falls ein Punkt = p = Kx P(V ) existiert mit [H {p}] = P(V ) Bemerkung: Falls n = dim P(V ) < ist, so gilt für projektive Teilräume H P(V ): H Hyperebene dim H = n 1 Satz 40: Ist dim P(V ) <, so gilt: (1) Für projektive Teilräume X, Y P ist dim X + dim Y = dim[x Y ] + dim X Y (2) Für jede Hyperebene H und jeden projektiven Teilraum X H ist dim(x H) = dim X 1 Insbesondere besitzen zwei verschiedene Geraden in einer projektiven Ebene P(V ) genau einen Schnittpunkt. 108

3 24.2. projektive Koordinaten Beweis: (1) dim X + dim Y Def. = dim U x 1 + dim U y 1 = dim(u x + U y ) + dim(u x U y ) 2 = dim[x Y ] + dim(x Y ) (2) X H impliziert [X H] = P(V ). Damit folgt: dim[x H] = dim P(V ) = dim H + 1 dim X H (1) = dim H + dim X dim[x H] = dim X projektive Koordinaten Definition: Die Punkte p 0, p 1,..., p k P heißen unabhängig, wenn gilt dim[p 0, p 1,..., p k ] = k Lemma: Für p κ = K v κ (v κ V ) gilt: p 0, p 1,..., p k unabhängig dim(kv Kv k ) = k + 1 linear unabhängig Beweis: p 0,..., p k unabhängig dim(kv 0,..., Kv k ) = k + 1 Definition: Sei dim P = n < und seien p 0,..., p k, e P. Das n+2-tupel (e; p 0,..., p n ) heißt ein Koordinatensystem von P, wenn je n+1 Punkte hiervon linear unabhängig sind. Beachte: Ein Koordinatensystem legt eine (bijektive) Koordinatenabbildung fest wie folgt: D : P P(K n+1 ) (1) Jede Wahl von Erzeugern v κ der p κ ergibt eine Basis {v 0,..., v n} von V. Insbesondere hat jedes v V mit e = Kv die Darstellung n v = x νv ν }{{} ν=0 =:v ν mit x ν 0 ν (wegen der Voraussetzung über lineare Unabhängigkeit). Dabei sind die v ν unabhängig von der Wahl der v ν. 109

4 24. Projektive Geometrie (2) Zu festem v existiert also eine eindeutig bestimmte Basis {v 0,..., v n } mit v = n ν=0 v ν. Zu einem beliebigen anderen v = λ v K v gehört die Basis {λv 0,..., λv n }. (3) Für einen beliebigen Punkt p = K w mit Basisdarstellung w = n x ν v ν ν=0 setze D(p) := K (x 0,..., x n ) =: (x 0 :... : x n ). Das ist wohldefiniert, da für w = λ w mit λ 0 gilt: Daher: w = n λx }{{} ν =:x ν ν=0 v ν K(x 0,..., x n) = K(x 0,..., x n ) D(p) ist unabhängig von der speziellen Wahl von v. (x 0 :... : x n ) heißen homogene Koordinaten von P. (4) Es gilt offenbar: D(p ν = (0 :... : ν 1 : 0 :... : 0) D(e) = (1 :... : 1) Projektivitäten Vorbemerkung: Jede injektive lineare Abbildung φ : V W von K-Vektorräumen definiert eine Abbildung der zugehörigen projektiven Räume. φ : P(V ) P(W ), p = K v φ(p) := φ(kv) = Kφ(v) Definition: Eine Permutation ϕ von P heiß t Projektivität, wenn ein Vektorraumautomorphismus φ Aut(V ) existiert mit φ = ϕ. Lemma: Für φ 1, φ 2 Aut(V ) gilt: φ 1 = φ 2 c K, c 0 : φ 1 = c φ 2 Beweis: = : klar 110

5 24.4. Der Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Räumen = : Für alle x gilt: φ 1 (Kx) = φ 2 (Kx), d.h. es existiert ein c x K mit φ 1 (x) = c x φ 2 (x). Für x, y linear unabhängig setze z := x + y. φ 1 (z) = c z φ 2 (z) = c z (φ 2 (x) + φ 2 (y)) φ 1 (z) = φ 1 (x) + φ 1 (y) = c x φ 2 (x) + c y φ 2 (y) Da x, y linear unabhängig und φ i Automorphismus folgt: φ 2 (x), φ 2 (y) linear unabhängig. Koeffizientenvergleich liefert c x = c z = c y. Damit sind alle c x gleich =: c. Bemerkung: (1) Die Projektivitäten von P bilden eine Gruppe, wobei φ 1 φ 2 = φ 1 φ 2 und φ 1 1 = φ 1 1 ist. (2) Jede Projektivität bildet einen projektiven Teilraum auf einen projektiven Teilraum gleicher Dimension ab. Satz 41: Zu verschiedenen Koordinatensystemen (e; p 0,..., p n ) und (e ; p 0,..., p n) von P existiert genau eine Projektivität ϕ, die sie ineinander überführt, d.h. ϕ(p ν ) = p ν ϕ(e) = e Beweis: Übung Der Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Räumen Sei P = P(V ), fixiere eine Hyperebene H P und a = Ky P \ H. Also P = [H, a] und V = U H Ky. Vorbemerkung: Jedes p P \ H ist von der Form p = K(u p + y) mit u p U H eindeutig. Für p = Kx P gilt: p H p = Kx U H Also gilt: p P \ H p = Kx U H. Wegen direkter Summe ist x eindeutig zerlegbar: x = u p + λy (u p U H ) x U H λ 0 = Kx = K(λ 1 u p +y) }{{} =:u p 111

6 24. Projektive Geometrie Satz 42: Die Menge A := P \ H ist ein affiner Raum mit U H als Translationsvektorraum bezüglich der Operation (u, p) K(u + u p + y) wobei p = K(u p + y) gilt, mit eindeutig bestimmtem u p U H. Dabei ist die Translation pq = u q u p. Beachte: dim A = dim U H = dim V 1 = dim P(V ) Definition: Die Punkte von A heiß en eigentliche Punkte, die von H uneigentlich. Umgekehrt lässt sich jeder affine Raum A erweitern zu einem projektiven Raum durch disjunkte Vereinigung mit einer projektiven Hyperebene H gleicher Dimension: ohne Einschränkung sei A = K n. Zum Beispiel haben wir die injektive Abbildung H := P(0 } {{ K n } ). K n+1 j 1 : A P(K n+1 ), (x 1,..., x n ) (1 : x 1 :... : x n ) Für eigentliche Punkte p = (y 0 : y 1 :... : y n ), d.h. p H, gilt: y 0 0, also p = ( ) d.h. p hat die affinen Koordinaten y1 y 0,..., yn y 0 in A. Es gilt: j 1 (A) H = P(K n+1 ) Ferner gilt mit den den Einbettungen folgende Gleichheit: Aber: nicht disjunkt. Beispiel: ( 1 : y 1 y 0 j ν : K n P(K n+1 ), (x 1,..., x n ) (x 1 :... : x ν 1 : 1 : x ν+1 :... : x n ) P(K n+1 ) = (1) Die reelle projektive Gerade P 1 (R) n+1 ν=1 j ν (A) Es gibt zwei Modelle: { R x R 2 x 0 } { G R 2 G affine Gerade mit 0 G } :... : yn y 0 ), Dies ist das sogenannten Büschelmodell von P 1. Fixiere g (die Hyperebene besteht hier aus einem Punkt) P 1 \ {g} bijekt. g (affine Gerade g, g g) 112

7 24.4. Der Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Räumen eigentliche Punkte g a g a g g ist der einzige uneigentliche Punkt; das entspricht anschaulich einem unendlich fernen Punkt F auf g. Sprich: Fernpunkt. Wir erhalten das Punktmodell von P 1 : g {F }. Ein einheitliches Modell liefert der Einheitskreis um (0, 1) R 2 S := { y R 2 y (0, 1) = 1 } { Rx R 2 x 0 } bij. S Rx Rx S {s x } (s x (0, 0)) (2) Die projektive Ebene P 2 (R) Bündelmodell: { Rx R 2 x 0 } bij. { affine Gerade g R 3, 0 g } Fixiere die affine Ebene E R 3 mit 0 E und eine dazu parallele E mit 0 E. Dabei entsteht eine Bijektion P 2 \ {g E } E g g E A g = 0A Jedem g E ordnet man genau einen Fixpunkt F g P 2 zu. {g E } ist projektive Gerade. f := {F g g E } heißt Ferngerade. E f ist das Punktmodell des P 2. Analog lassen sich generell Bündel- und Punktmodell des P n mittels A n+1 beschreiben. 113

8

9 Stichwortverzeichnis Abbildung affine, 71 kanonische, 23 orthogonale, 51 unitäre, 51 Abbildungseigenschaft universelle (UAE), 21 Abstand, 25, 37, 85 Adjungierte, 41 adjungierter Homomorphismus, 41 affin Abbildung, 71 Automorphismus, 72 Gruppe, 72 Hülle, 65 Koordinatensystem, 71 Raum, 61 Standardraum, 62 Teilraum, 62 Affinität, 72, allgemeine Lage, 66 Approximation, 102 ausgeartete Paarung, 17 Automorphismengruppe, 51 Automorphismus, 51 affiner, 72 Büschelmodell, 112 Basiswechsel unitärer, 56 Bewegung, 85, 89 bilineare Fortsetzung, 18 Bilinearform, 17 symmetrische, 26 Blockdiagonalmatrix, 13 cartesisches Koordinatensystem, 85 Chauchy-Schwarzsche Ungleichung, 27 Darstellungsmatrix, 27 Diagonalmatrix, 7 Block-, 13 Dimension, 107 diskrete Metrik, 25 Drehachse, 59 verallgemeinerte, 59 Drehebene, 59 Drehkästchennormalform, 58 Drehung, 59, 88 Dreiecksungleichung, 25 E. Schmidt Orthogonalisierungsverfahren, 32 Ebene, 62 projektive, 108 Einheitskreis, 113 Endomorphismus nilpotenter, 11 normaler, 41 Normalform, 7 selbstadjungierter, 47 euklidischer Raum, 85 Fern- Gerade, 113 Punkt, 113 Fix- Gerade, 81 Punkt, 79, 81, 113 Raum, 79 Richtung, 79 Form hermitesche, 26 Fortsetzung bilineare, 18 Fourierformel, 21 Fundamentalmatrix, 18 gemeinsames Lot, 86 Gerade, 62 Geradentreue, 81 Gram-Schmidt, 32 Gruppe affine,

10 Stichwortverzeichnis algebraische, 105 orthogonale, 51 unitäre, 51 Hülle affine, 65 projektive, 107 Halb- Achse, 99 Achsenlänge, 99 Haupt- Achse, 99 Achsentransformation, 99 Raum, 7 hermitesche Form, 26 Hermitezität, 27 Homogenität, 25 Hyperebene, 59, 62, 100, 103, 108 Durchschnitt, 103 projektive, 108 Hyperfläche, 99, 100 Invariante affine, 102 Isometrie, 51, 85 Isomorphismus affiner Räume, 72 Iwasawa-Zerlegung, 36 Jacobi-Matrix, 99, 103 Jordan- Block, 15 Kästchen, 13, 14 Normalform, Komplement orthogonales, 36, 38 Koordinaten homogene, 110 projektive, 109 Koordinaten- Abbildung, 109 Darstellung, 71 System, 109 Vektor, 71 Koordinatensystem affines, 71 cartesisches, 85 Kurve, 100 Längentreue, 52, 85 Lage allgemeine, 66 linear Abbildung, 41 Varietät, 62 Lorenzgruppe, 51 Lot, 37 gemeinsames, 86 Lotfußpunkt, 37, 86 Matrix hermitesche, 47 Jacobi-, 103 Matrizengruppe algbraische, 105 Metrik, 25 diskrete, 25 Minimalpolynom, 8 Mittelpunkt, 97 Morphismus, 51 affiner Räume, 71 Multi- Index, 93 Linearität, 21 Näherung, 102 Nilpotenz, 11 Norm, 25 normaler Endomorphismus, 41 Normalform, 55, 88 Jordansche, 13, 14 normierter Raum, 25 orthogonal, 31 Abbildung, 51 Gruppe, 51 Teilräume, 86 Orthogonal- Basis (OGB), 20 Raum, 38 System, 31 Orthonormalbasis (ONB), 20 Paarung, 17 ausgeartete, 17 Parallelität, 67 Parallelogrammgleichung, 29 Partition, 13 Polynom charakteristisches, 8 Positivdefinitheit, 25,

11 Stichwortverzeichnis Projektion orthogonale, 36, 37 Projektivität, 110 Punkt, 61 eigentlicher, 112 regulärer, 102, 103 singulärer, 102 unabhängiger, 109 uneigentlicher, 112 Punktmodell, 113 Pythagoras Satz von, 36 Quadrik, 93 Mittelpunkt der, 97 oskulierend, 102 Schmieg-, 102 Raum affin, 111 affiner, 61 euklidischer, 85 normierter, 25 projektiv, 111 projektiver, 107 Regularität, 100 Richtungsvektorraum, 61 Teilraum affiner, 62 projektiver, 107 Torus, 102 Torusfläche, 102 Trägheitssatz von Sylvester, 96 Translation, 61, 80, 88 Translationsvektor, 61 Transversalität, 103 unitär Abbildung, 51 Basiswechsel, 56 Gruppe, 51 universell Abbildungseigenschaft (UAE), 21 Untervektorraum, 7 invarianter, 7 Ursprung, 71 Varietät lineare, 62 Vektorraumpaarung, 17 Verbindungsgerade, 62 Winkel, 31 Winkeltreue, 52 Schiefsymmetrie, 26 Schnittpunkt, 108 Sesqilinearform, 26 Singularität, 100, 101 Skalarprodukt, 26 Spektral- Radius, 47 Satz, 43 Spektrum, 43 Spiegelung, 59, 88 Standardraum affiner, 62 projektiver, 107 Standardskalarprodukt, 27 Streckung, 80 Summenzerlegung, 13 symmetrisch Bilinearform, 26 Paarung, 20 Tangente, 99, 103 Tangentialraum, 99, 100, 102, 103 Taylorentwicklung,