Mathematik: Infinitesimalrechnung

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1 Mathematik: Infinitesimalrechnung Ingo Blechschmidt. Juli 005 Inhaltsverzeichnis Mathematik: Infinitesimalrechnung 4. Schulheft Funktion Typen von mathematischen Funktionen Monotonie von Funktionen Einschub zur Symmetrie Infimum und Supremum Umkehrfunktion Erweiterte Symmetriebetrachtung Rationale Funktionen Folgen Reihen Grenzwerte Differentialrechnung Eigenschaften von intervallweise stetigen Funktionen Näherung des Sinus für kleine Winkel Krümmungsverhalten, Wendepunkte Zusammengesetzte Funktionen und Kettenregel 4

2 INHALTSVERZEICHNIS. Hausaufgaben Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe

3 INHALTSVERZEICHNIS Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe

4 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Tests Extemporale aus der Mathematik Übungen zur. Schulaufgabe von 337Ingo Schulaufgabe Estels Problem Estels. Problem Mathematik: Infinitesimalrechnung. Schulheft.. Funktion Unter dem Begriff Funktion versteht man eine eindeutige Zuordnung einer Ausgangsmenge (Definitionsmenge D) auf eine Bildmenge (Wertemenge W): x D y W.. Typen von mathematischen Funktionen Polynomfunktionen: Konstante Funktion: f (x) = c Lineare Funktion: f (x) = mx + t Quadratische Funktion: f (x) = ax + bx + c Kubische Funktion: f (x) = ax 3 + bx + cx + d

5 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 5 Exponentialfunktion: f (x) = a x (a > 0) 8 6 a^x (a > ) a^x (0 < a < ) a^x (a = ) Logarithmusfunktion: f (x) = log b x (b R + \ {}) Wurzelfunktion: f (x) = x (D = R + 0 = W) Trigonometrische Funktionen: sin x, D = R cos x, D = R tan x, D = R \ { π + k π, k Z} Gebrochenrationale Funktionen: Z.B.:, x x, x 3x 5 7x 5x 3 +x+ Lineare Funktionen: f (x) = mx + t m: Steigung

6 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 6 t: y-abschnitt Beispiel: f (x) = x 0.5 f(x) = /x g(x) = x m: m = y x = tan α Nullstellen: f (x) = 0 = x = 4 = N (4; 0) Schnittpunkt mit y-achse: T (0; ) Aufgabe: Schnittpunkts- und Winkelberechnung zwischen f und g (x) = x + Schnittpunkt: f (x) = g (x) = x = 6 5 Winkel: tan (arctan m g arctan m f ) = tan π = undefiniert f steht senkrecht auf g (auch wegen m g = m f ).

7 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 7 Senkrechte Geraden g S ^y ^x ^y ^x h m g = y x m h = x y m g m h = (Kennzeichen für senkrechte Geraden) Geradenscharen Beispiel: g k : x + y k = 0; k R; = y = x + k; (Parallelenschar)

8 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 8.5 g_ g_ g_0 g_ g_ Zusatzaufgabe zur. Hausaufgabe: Nimmt der Flächeninhalt A (t) beliebige Werte aus R + 0 Untersuchung für t 0: A (t) = t + t, t 0; Untersuchung der Wertemenge von A (t): Gibt es zu jedem Wert A R + einen t-wert? an? A = t +; = 0 = t At + ; = t = A± A = A ± A t ; A 0; = A ; = W A = [; [ Bei A = : t = Neigungswinkel 45 ; Stückweise lineare Funktionen { x falls x 0; Die Betragsfunktion x x = x falls x < 0; Graph:

9 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 9 0 x x + 8 y x Abwandlungen:. f (x) = x + = { (x + ) für x ; x + für x > ; Die Signum-Funktion wenn x > 0; x sgn x = 0 wenn x = 0; wenn x < 0; Zusammenhang: x sgn x = x, x = x sgn x; Quadratische Funktionen Allgemeine Form: f (x) = ax + bx + c; a 0; Bestimme die Gleichung der Parabel durch die Punkte P ( ; 4) 5, Q ( ; 0) und R ( ; 7 4). f (x) = x + x 5 ; Parabel nach oben geöffnet; 4

10 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 0..3 Monotonie von Funktionen f heißt in einem Berech [a; b] monoton steigend (fallend), wenn für alle x, x [a; b] mit x < x f(x ) f(x ) (f(x ) f(x )) folgt. Gilt außerdem f(x ) < f(x ) (f(x ) > f(x )), so liegt strenge Monotonie vor. Methode zur Untersuchung: Man betrachtet die Vorzeichen von f(x ) f(x )...4 Einschub zur Symmetrie f( x) = f(x); Symmetrie zur y-achse f( x) = f(x); Symmetrie zum Ursprung..5 Infimum und Supremum Die größte untere Schranke einer Menge heißt Infimum. Die kleinste obere Schranke einer Menge heißt Supremum...6 Umkehrfunktion ) Ziel: Abbildung rückgänig machen, d.h.: f (f(x) = x; x D f Schritte: f y W f = D f. Auflösen nach x. Vertauschen von x mit y f x D f = W f ; G f und G f sind spiegelbildlich bezüglich der Geraden y = x. f ist umkehrbar.

11 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Umkehrung einer quadratischen Funktion Beispiel: f(x) = (x 3) ; D f = R; W f = [ ; [ ; Auflösen nach x: x = 3 ± y + ; f ist nicht umkehrbar. 6 f(x) f^ (x) Monotoniekriterium für Umkehrbarkeit: Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn sie streng monoton ist. Zerlegung von f in zwei streng monotone Teile: f (x) = (x 3) ; D f = ] ; 3] ; W f = [ ; [ ; f (x) = (x 3) ; D f = ]3; ] ; W f = ] ; [ ; Umkehrung: y = 3 ± + x;

12 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG f (x) = 3 x + ; D f = W f = [ ; [ ; = D f = ] ; 3] ; W f f (x) = 3 + x + ; D f = W f = ] ; [ ; = D f = ]3; ] ; W f..7 Erweiterte Symmetriebetrachtung Symmetrie zur Achse x = x 0 f(x 0 h) = f(x 0 + h); h R + ; Ansatz: f(x 0 h) f(x 0 + h) =... = 0; Symmetrie zu P (x 0 ; y 0 ) f(x 0 +h)+f(x 0 h) =... = y 0 ;..8 Rationale Funktionen Rationale Funktionen haben die Form f(x) = Z(x) N(x) N(x) Polynome sind. D f = R \ {x N(x) = 0} ; wobei Z(x) und Einteilung der Definitionslücken Unendlichkeitsstellen (Polstellen) mit VZW: Linearfaktor mit ungerader Potenz ohne VZW: Linearfaktor mit gerader Potenz Lochstellen : Linearfaktor des Nenners kommt im Zähler mindestens mit gleicher Vielfachheit vor.

13 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 3..9 Folgen. Natürliche Zahlen:,, 3, 4,..., n,.... Ungerade Zahlen:, 3, 5, 7,..., ν + mit ν N , 4,,..., 7ν mit ν N 4. 9, 6, 3, 30,..., 7ν + mit ν N 5., 3, 9, 5,..., 3 ν mit ν N Zahlenfolgen sind Funktionen mit der Definitionsmenge N. Zum Beispiel: f : ν f(ν) = ( ) ν ν ; ν N; a = ; a = ; 3 a 3 = 3 ; 4 a 4 = 4 ; a ν ist eine alternierende Folge. Bei arithmetischen Folgen gilt: a ν+ = a ν + d; d R; Bei geometrischen Folgen gilt: a ν+ = a ν q; q R; Geometrische Folgen a ν+ = a ν q; q R; a ν+ a ν = q; Allgemeines Glied der geometrischen Folge: a ν = a q ν ; Für q > (0 < q < ) und a > 0 ist a ν = {a q ν v N} sms und nach oben nicht beschränkt (smf). Der Luftdruck als geometrische Folge p(h) = p 0 0,88 h km ;

14 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 4..0 Reihen Die Glieder einer (endl.) Folge werden aufsummiert: a n = a + a a n = n a ν ; n N; ν= Geometrische Reihen s n = n n a q ν = a q ν = a qn ; q ; q ν= ν=.. Grenzwerte Grenzwerte von Funktionen für x Allgemein: f(x) hat für x den Grenzwert 0, wenn x jede noch so kleine positive Zahl (meist stellvertretend mit ε bezeichnet) unterschreitet, wenn man nur x genügen groß macht. x s bezeichnet man auch als Schwellenwert. f(x) hat für x den Grenzwert 0, wenn es zu jedem noch so kleinen positiven ε einen Schwellenwert x s gibt, so dass für alle x < x s gilt: f(x) < ε; Def.: f(x) hat für x (x ) den Grenzwert a, wenn es zu jedem noch so kleinen positiven ε einen Schwellenwert x s gibt, so dass für alle x > x s (x < x s ) gilt: f(x) a < ε; lim x ± a = 0; a R; n N; x n Regeln für Grenzwerte Sind f und g Funktionen mit lim f(x) = a und lim g(x) = b, dann x x gilt:. lim x (f(x) ± g(x)) = lim x f(x) ± lim x g(x) = a ± b;. lim x (f(x) g(x)) = lim x f(x) lim x g(x) = a b; f(x) 3. lim x = a; b 0; g(x) 0 für hinreichend große x; g(x) b x = lim f(x) x g(x) lim

15 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 5 Zusatz für Funktionen mit bestimmter Divergenz: Aus f(x) für x folgt: lim = 0; x f(x) Analoge Sätze gelten für x. Es gibt drei Fälle bei gebrochen rationalen Funktionen: Zählergrad < Nennergrad lim x f(x) = 0; Zählergrad = Nennergrad f ist konvergent; Zählergrad > Nennergrad f ist divergent; Schrankenfunktion (Majoranten) Beispiel: f(x) = sin x; Vermutung: lim f(x) = 0; x f(x) = sin x x = sin x 0 für x ; x f(x) 0 für x ; ( ist Majorante für f(x).) x f hat für x die Asymptote y = g(x), wenn gilt: lim (f(x) g(x)) = x 0; Grenzwerte von Zahlenfolgen Allgemein gilt: Die geometrische Folge a ν = a q ν ist für q < konvergent mit dem Grenzwert Null. Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe lim s n = lim a qn = a lim n n q q n (qn ) = a ; für q < ; q Ergebnis: Für q < hat die geometrische Reihe s n = n den Grenzwert a. q n ν= aq ν für

16 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 6 Grenzwert bei Funktionen für x x 0 Def.: f hat für x x 0 den Grenzwert a, wenn f in einer Umgebung von x 0 definiert ist und wenn gilt: f(x) a < ε (mit ε > 0) falls nur x genügend nahe bei x 0 gewählt wird. Schreibweise: lim x x0 f(x) = a; Methoden zur Berechnung: Kürzen lim x x x x = lim x (x + ) = + = 3; h-methode Untersuchung in der Nähe von x 0 x = x 0 ± h (mit h > 0). x Im Beispiel: lim x x + x h) = = 3; 4+4h+h = lim h h 0 h durch die Substitution 3h+h = lim h 0 h = lim h 0 (3 + Zusammenfassung: Beim lim x x0 f(x) lassen sich folgende Fälle unterscheiden: x 0 D f x 0 / D f a) lim f(x) lim f(x); x x 0 x x 0 + Grenzwert existiert nicht, Divergenz, Sprungstelle b) lim f(x) = lim f(x) f(x 0); x x 0 x x 0 + Grenzwert existiert (Konvergenz), f ist an der Stelle x 0 nicht stetig. c) lim f(x) = lim f(x) = f(x 0); x x 0 x x 0 + Grenzwert existiert, f ist an der Stelle x 0 stetig. a) f(x) für x x 0 + oder x x 0 ; Unendlichkeitsstelle (mit bzw. ohne VZW), Divergenz

17 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 7 b) lim f(x) = lim f(x); x x 0 x x 0 + Konvergenz, Lochstelle (stetig ergänzbare Definitionslücke) c) lim f(x) lim f(x); (aber beide Grenzwerte endlich) x x 0 x x 0 + Divergenz, gelochte Sprungstelle Ergänzungen: Eine Funktion f ist an der Stelle x 0 D f stetig, wenn gilt: lim = lim = f(x 0); x x 0 x x 0 + Für die Grenzwerte x x 0 gelten die bekannten Grenzwertsätze in analoger Weise... Differentialrechnung Einführung Steigung einer Kurve im Punkt P 0 (x 0 ; y 0 ) Tangente: Wir wählen einen benachbarten Punkt P (x; y) und bestimmen die Steigung m s der Sekante P 0 P. m s = y = y y 0 x x x 0 ; (Differenzenquotient) Wander der Punkt P auf der Kurve gegen den festen Punkt P 0, so strebt die zugehörige Sekante einer Grenzlage zu, mit der Steigung m t (Tangentensteigung). { } { } x x0 ; x x0 ; f(x) f(x P P 0 ; m y y 0 ; f(x) f(x 0 ); t = lim 0 ) x x0 x x 0 ; (Differentialquotient von f an der Stelle x 0 ) Def.: Eine Funktion f : x f(x) heißt an der Stelle x 0 D f differenzierbar, wenn die zugehörige Differenzenquotientenfunktion m s = f(x) f(x 0) x x 0 mit x D f \ {x 0 } an der Stelle x 0 stetig ergänzbar f(x) f(x ist, d.h. wenn m t = lim 0 ) x x0 x x 0 (Differentialquotient) existiert. Der Grenzwert wird auch als Ableitung von f an der Stelle x 0 bezeichnet und man schreibt dafür f f(x) f(x (x 0 ) = lim 0 ) x x0 x x 0 ; Beispiele: Ableitung an der Stelle x 0 :

18 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 8 Quadratfunktion: f(x) = x ; f (x 0 ) = x 0 ; Identische Funktion: f(x) = x; f (x 0 ) = ; Konstante Funktion: f(x) = c; f (x 0 ) = 0; Kubische Funktion: f(x) = x 3 ; f (x 0 ) = 3x 0; Betragsfunktion an der Stelle x 0 = 0: { x für x < 0; f(x) = x = x für x > 0; Rechtsseitige Ableitung: f r(0) =... = ; Linksseitige Ableitung: f l (0) =... = ; x ist an der Stelle x 0 = 0 nicht diffbar (Knickstelle). Wurzelfunktion: f(x) = x; f (x 0 ) =... = x 0 ; Reziproke Funktion: f(x) = x ; f (x 0 ) = lim x x0 x x 0 x x 0 = lim x x0 x 0 x xx 0 (x x 0 ) = lim = ; x x 0 xx 0 x 0

19 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 9 Die Ableitungsfunktion Def.: Ist die Funktion f für alle x D f diffbar, so heißt f in D f diffbar. Man nennt dann die Funktion f : x f (x); x D f die Ableitungsfunktion (kurz die Ableitung) von f. Die Rechenoperation, die f überführt in f, nennt man Ableiten oder Differenzieren. Andere Schreibweisen für f : y, f (x) = dy ; ( dx dy nach dx ), f (x) = f(t); Merke: Ist f an der Stelle x 0 diffbar, so ist f dort auch stetig. (Notwendig für die Diffbarkeit ist Stetigkeit.) f diffbar; f stetig; f nicht stetig; f nicht diffbar; Ableitungsregeln Ableitung einer Summe: f(x) = u(x) + v(x); f u(x) + v(x) u(x 0 ) v(x 0 ) (x 0 ) = lim = x x0 [ x x 0 u(x) u(x0 ) = lim + v(x) v(x ] 0) = x x0 x x 0 x x 0 = u (x 0 ) + v (x 0 ); (Summenregel) Konstanter Faktor: f(x) = k u(x); f ku(x) ku(x (x 0 ) = lim 0 ) x x0 x x 0 = k u (x 0 ); (Faktorregel) Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten! Ableitung eines Produkts: f(x) = u(x) v(x); f (x 0 ) = lim x x0 u(x)v(x) u(x 0 )v(x 0 ) x x 0 = u(x)v(x) u(x 0 )v(x) + u(x 0 )v(x) + u(x 0 )v(x 0 ) = lim = x x0 [ x x 0 = lim v(x) u(x) u(x 0) + u(x 0 ) v(x) v(x ] 0) = x x0 x x 0 x x 0 = u (x 0 )v(x 0 ) + v (x 0 )u(x 0 ); (Produktregel) Kurz: (uv) = u v + v u;

20 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 0 Tangente und Normale in einem Kurvenpunkt Die Ableitung der Sinusfunktion a) Im Ursprung f(x) = sin x; sin( x) = sin x; Symmetrie zum Ursprung f sin x sin 0 sin x (0) = lim = lim x 0 x 0 x 0 x ϕ( x) = sin( x) = sin(x) x x Abschätzung für 0 < x < π: Flächenvergleich: = lim x 0 ϕ(x); = ϕ(x); Symmetrie zur y-achse [Abbildung: sin x, x und tan x am Einheitskreis] A OP Q < A OP Q < A ORQ ; x sin x < πr < tan x; π sin x < x < tan x; x < < ; sin cos x sin x > > cos x; x sin x lim x 0 x Zusatz: lim x 0 Beispiel: lim x 0 = ; (Wichtiger Grenzwert!) x sin x = ; x sin 3x = lim x 0 3x 3 sin 3x = 3 ; b) Ableitung von f(x) = sin ax an der Stelle x 0 x x 0 : f(x) f(x 0) = sin ax sin ax ac+ax0 0 cos sin ax ax 0 = = x x 0 x x 0 x x 0 cos [ a (x + x 0) ] sin [ (x x 0) ] (x x 0 ) a ; a { f (x 0 ) = lim a cos [ a (x x x x0 0) ] sin [ a (x x 0) ] } a (x x = a cos ax 0 ; 0) Ergebnis: (sin ax) = a cos ax; analog: (cos ax) = a sin ax; speziell: (sin x) = cos x; (cos x) = sin x;

21 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Ableitung von Bewegungsgleichungen Momentangeschwindigkeit aus der Weg-Zeit-Gleichung x(t) = at ; v = x; t x v(t 0 ) = lim t 0 t = lim x(t 0 t) x(t 0 ) t 0 t Allgemein: v(t) = ẋ(t) = at; = ẋ(t 0 ); Momentanbeschleunigung aus der Zeit-Geschwindigkeits-Gleichung v a(t 0 ) = lim t 0 t = lim v(t 0 + t) v(t 0 ) t 0 t a(t) = v(t) = ẍ(t) = const.; = v(t 0 ) = ẍ(t 0 ); Bestimmung von Parabelscheiteln Der Scheitel liegt dort, wo die Tangente die Steigung m t = f (x) = 0 hat. Monotoniebereiche relative Extrema Merke: Ist f (x) im Intervall I = ]a, b[ positiv (negativ), so ist f(x) ist I streng monoton steigend (fallend). Mögliche Kurvenverläufe: a) f (x 0 ) > 0; b) f (x 0 ) < 0; c) f (x 0 ) = 0; f (x 0 ) wechselt das Vorzeichen von nach +: Rel. Minimum (TIP) f (x 0 ) wechselt das Vorzeichen von + nach : Rel. Maximum (HOP) f (x 0 ) wechselt das Vorzeichen nicht: Terassenpunkt (TEP) Notwendige Bedingung für ein relatives Extremum an der Stelle x 0 : f (x 0 ) = 0;

22 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hinreichende Bedingung für ein Extremum ist ein VZW von f (x 0 ). Alternativ: Die Ableitung von f hat ein Extremum, d.h. f (x 0 ) = 0 (notwendige Bedingung). Hinreichend für einen TEP ist, wenn gilt: f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) hat einen VZW. Ergänzung: Hinreichendes Kriterium für ein Extremum an der Stelle x 0 ist, wenn gilt: f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0, und zwar Minimum für f (x 0 ) > 0 und Maximum für f (x 0 ) < 0. [Stetigkeit: lim f(x) = lim = f(x 0);] x x 0 x x 0 + [Diffbarkeit an der Stelle x 0 Stetigkeit an der Stelle x 0 ] [Grenzwert des Diffquotienten an der Stelle x 0 existiert Diffbarkeit an der Stelle x 0 ]..3 Eigenschaften von intervallweise stetigen Funktionen Extremwertsatz Ist f im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig, so ist f dort beschränkt und besitzt ein absolutes Maximum und Minimum. Zwischenwertsatz Ist f im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und ist f(a) f(b), so nimmt die Funktion jeden Zwischenwert y 0 zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal an. D.h., es gibt zu jedem y 0 [f(a), f(b)] mindestens ein x 0 [a, b] mit f(x 0 ) = y 0. Von f wird kein Wert zwischen f(a) und f(b) ausgelassen. Nullstellensatz Ist f in [a, b] stetig und sind die Vorzeichen von f(a) und f(b) verschieden, so gibt es in [a, b] mindestens eine Nullstelle x 0 mit f(x 0 ) = 0.

23 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 3 Mittelwertsatz der Differentialrechnung Ist f im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und im offenen Intervall ]a, b[ diffbar, so gibt es mindestens eine Stelle x 0 ]a, b[, für die gilt: f f(b) f(a) (x 0 ) = ; b a Geometrische Deutung: Es gibt in ]a, b[ eine Stelle x 0, an der die Tangente an G f parallel ist zur Sekante (a, f(a)) und (b, f(b)). Anwendung zur linearen Approximation: Sei I = [x 0, x 0 + h]. Dann gilt mit d ]0, [: f (x 0 + d h) = f(x 0 + h) f(x 0 ) ; x 0 + h x 0 f(x 0 + h) = f(x 0 ) + h f (x 0 + d h); f(x 0 + h) f(x 0 ) + h f (x 0 );..4 Näherung des Sinus für kleine Winkel sin h sin 0 + h cos 0 = h; (h klein) Ergebis: Für Winkel < 0 gilt die Näherung sin ϕ ϕ (Bogenmaß)...5 Krümmungsverhalten, Wendepunkte Die Steigung von f wird durch f beschrieben, also ist das Abnahmebzw. Zunahmeverhalten von von f zu beurteilen Untersuchung von (f ) = f f (x 0 ) < 0; f (x 0 ) ist smf; f ist rechtsgekrümmt; f (x 0 ) > 0; f (x 0 ) ist sms; f ist linksgekrümmt; Merke: f ist rechtsgekrümmt; f ist negativ; f ist linksgekrümmt; f ist positiv; Eine Stelle x 0 D f heißt Wendepunkt von f, wenn der Graph an der Stelle x 0 sein Krümmungsverhalten wechselt. f wechselt damit an der Stelle x 0 das Vorzeichen. An der Stelle x 0 selbst gilt: f (x 0 ) = 0, falls f dort zweimal diffbar ist.

24 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 4..6 Zusammengesetzte Funktionen und Kettenregel Sei f(x) = h(g(x)) = h(u) mit u = g(x) und u 0 = g(x 0 ); Differenzenquotient an der Stelle x 0 : D(x 0 ) = f(x) f(x 0) = h(g(x)) h(g(x 0)) = h(u) h(u 0) = h(u) h(u 0) x x 0 x x 0 x x 0 u u 0 u u 0 = h(u) h(u 0) g(x) g(x 0 ) ; x x 0 u u 0 x x 0 Für x x 0 folgt: f (x 0 ) = lim x x0 h(u) h(u 0 ) u u 0 g(x) g(x 0 ) x x 0 = h (u 0 ) g (x 0 ); Die Kettenregel Ist g(x) an der Stelle x 0 und h(u) and der Stelle u 0 = g(x 0 ) diffbar, so ist auch die Verkettung f(x) = h(g(x)) an der Stelle x 0 diffbar und es gilt: f (x 0 ) = h (u 0 ) g (x 0 ) = h (g(x 0 )) g (x 0 ); Ableitung von Quotienten f(x) = ; v(x) f (x) = v (x) ; v(x) [ ] [ ] u(x) = u(x) = u (x) v(x) v(x) v(x) + u(x) v (x) v(x) Kurz: ( ) u v = u v v u ; (Quotientenregel) v Merkregel: Z/W = (N*AZ - Z*AN)/Nˆ = u (x)v(x) u(x)v (x) v(x) ; Die Regel von L Hospital Mittelwertsatz: In ]a, b[ gibt es mindestens eine Stelle x 0 mit f (x 0 ) = f(b) f(a). b a f(b) = f(a) + (b a) f (x 0 ); Mit b = a + h; f(a + h) = f(a) + hf (x 0 );

25 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 5 x 0 = a + ϑh; (0 < ϑ < ) f(a + h) = f(a) + hf (a + ϑh); Regel von L Hospital: f(x) = u(x) v(x) ; Gesucht: lim x a f(x), wobei u(a) = v(a) = 0; Falls lim x a u (x) v (x) u(x) lim x a v(x) = u (x) v (x) ; existiert, so gilt Beweis: Aus dem Mittelwertsatz folgt u(x) lim x a v(x) = lim x a u (x) v (x) = lim x a u(x) v(x) ; u(a + h) v(a + h) = lim h 0 u(x) + hu (x)(a + ϑ h) v(x) + hv (x)(a + ϑ h) = lim hu (x)(a + ϑ h) h 0 hv (x)(a + ϑ h) =. Hausaufgaben... Hausaufgabe Buch Seite 0, Aufgabe 3a Bestimme die Steigung und die Geradengleichung, wenn der Abschnitt t auf der y-achse und ein Punkt P gegeben sind! t = ; P ( ; 5) ; 5 = m ; = m = 6; = m = 3; = f : x y = 3x ; Buch Seite 0, Aufgabe 4a Wie lautet die Gleichung der Geraden P Q? Welche Steigung hat sie? Berechne den Neigungswinkel auf 0, 0 genau! P (; ) ; Q (4; 6) ; = m + t; = t = m; 6 = 4m + t; = t = 6 4m; m = ; } = m = 6 4m; = m = 4; =

26 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 6 = t = = ; = f : x y = x ; arctan 63, 43 Buch Seite 0, Aufgabe 7a Zeige, dass g und g aufeinander senkrecht stehen! } g : x y = x + 3; = m = ; g : x y = x 7; = m = ; = m m = = ;... Hausaufgabe Zettel, Aufgabe 5 h t (x) = tx + t; t R; D ht = R; a) Zeige, dass alle Graphen der Schar eine gemeinsame Nullstelle haben. tx + t = 0 t ( x) = 0 x = 0 = x N (; 0) b) Bestimme den Inhalt der Dreiecksfläche, die von der y-achse und zwei zueinander senkrechten Schargeraden begrenzt ist. l t (x) = x ; t t = A (t) = h t (0) l t (0) = = t + t = t + t ; c) Für welches t schließt die Schargerade mit der y-achse einen Winkel von 30 ein? m ht = tan π 3 t = tan π 3 t = tan π 3 t = 3

27 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Zettel, Aufgabe 58 f t (x) = tx + t + ; D ft = R; t R; a) Für welches t ist der Graph parallel zur Winkelhalbierenden des. Quadranten? Zeichne den Graphen! tx = x t = b) Für welches t ist der Graph senkrecht zu einer Geraden mit der Gleichung y = x + 333? tx = x t = c) Welche Graphen der Schar schließen mit der x-achse einen Winkel von 60 ein? tx = tan π 3 x t = 3 sowie 3 f ± 3 (x) = ± 3x + 4; d) Bei welchen t-werten sind die Nullstellen vom Ursprung entfernt? d = ± 0 = td + t + td = t + t d = 4t + 4 t (d 4) = 4 t 4 = d 4 t = d 4 d 4 t = ± e) Welche Stellen der x-achse sind keine Nullstellen von Schargeraden? Nullstelle: tx + t + = 0; = x (t) = t + t ; Auflösen nach t: t = 4 x 4 ; = D t = W x = R \ [ ; ] ;

28 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 8 f) Bestimme die Entfernung d, die die beiden Achsenabschnittpunkte der Geraden zum Parameterwert t = 5 haben. ( P ) t +; 0 ; t Q (0; f t (0)) = Q ( 0; t + ) ; d = Px + Q y = = 4 t + + 4t t + 4 = t = + + t t + = = = = 676 = 6 = 5; g) Bestimme die Entfernung der Achsenabschnittpunkte einer Schargeraden allgemein. Siehe f) h) Für welches t beträgt die Entfernung der Achsenschnittpunkte genau 4? 4 = 4 t + + 4t t = 4 t + + 4t + 4 t 0 = 4 t + + 4t t 0t = 4t t 4 0 = 4t 4 6t = 4u 6u + 4 D u = < 0 = L t = {} i) Zeichne die zu t { 0; ± 4 ; ± ; ±; ±; ±4} gehörenden Graphen (Anm.: Ich habe für t Werte von bis + mit einer Schrittweite von 0, genommen).

29 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Zettel, Aufgabe 58g Siehe 3. Hausaufgabe Hausaufgabe Zettel, Aufgabe 58i Siehe 3. Hausaufgabe. Zettel, Aufgabe 56 Die Geraden einer Schar haben folgende Eigenschaft: Die Koordinatenachsen und eine Schargerade bestimmen jeweils ein rechtwinkliges Dreieck im ersten Quadranten mit dem Flächeninhalt A = 8. a) Bestimme die Scharfunktionen f t. f t : x tx + td; a : x td;

30 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 30 tx + td = 0; = d = x; = b : x d; tdd = A; = d = A; = d = At; t t f t : x tx + At; b) Welche Nullstelle hat f t? Siehe a) (Variable d) c) Bestimme die Schar der Funktionen g t, deren Graphen durch (4; 4) verlaufende Geraden sind; dabei soll G gt auf G ft senkrecht stehen. g t : x t x + c; 4 + c = 4; = c = 4 4; t t g t : x x + 4 4; t t f(, x) g(, x) f(, x) g(, x) f(3, x) g(3, x) Hausaufgabe Buch Seite 0, Aufgabe 9 Gegeben ist die Geradenschar g k : kx y + 3 k = 0; k R;

31 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 3 () Zeige, dass der Punkt P (; 3) allen Geraden der Schar gemeinsam ist und daher ein Geradenbüschel vorliegt! kx y + 3 k = 0 k k = 0 0 = 0 () Zeichne g 0, g 0,5, g, g 3, g und g! 6 5 y(0, x) y(0.5, x) y(, x) y(3, x) y(, x) y(, x) (3) Welche Gerade durch P wird von der Gleichung g k nicht erfasst? x = ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe Gib die betragsfreie Form der Funktion f (x) = x + + x an!

32 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 3 f (x) = x + + x = x für x < ; = für x < ; x für x ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f (x) = x x + x = x + x x + = x + für x 0; + x + x x + = x + für 0 < x ; = + x x + x + = x + 3 für < x ; + x x + + x = x für x > ;. f(x) Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe

33 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 33 f (x) = sgn (x 4) x + = 4 + x für x < ; 0 für x = ; = 4 x für < x < ; 4 für x = ; x für x > ; f(x) Hausaufgabe Buch Seite, Aufgabe Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen: ( b) f (x) = x 3 3x + x = x (x 3x + ) = x x 3 5 c) ) ( x 3+ 5 x = 0; x = 3 5; x 3 = 3+ 5; } f (x) = x 4 5x + 4; x = f (x) = u = u; 5u + 4; = u = ; u = 4; = x = ; x = ; x 3 = ; x 4 = ; )

34 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 34 Buch Seite, Aufgabe 6 Wo liegt der Scheitel der Parabel, wo sind die Funktionswerte negativ? e) f (x) = (x ) (x + ) = x + x ; = f (x) = x + = 0; = x = ; = y = f ( ) = 9 ; 4 = S ( ; 9 4) ; D N = ] ; [ ; f) f (x) = x + x + = = f (x) = x + ; = x = ; = y = ; = S (; ) ; x = ; x = + ; D N = R \ [ ; + ] ;... Hausaufgabe Blatt, Aufgabe 0 Gegeben ist die Schar der Funktionen f a : x f a (x) = ax + ( a) x; x R; mit dem Parameter a R und den zugehörigen Graphen G a. a) Zeichne die Graphen G, G 0 und G.

35 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 35 4 f(, x) f(/., x) f(0, x) f( /., x) f(, x) b) Zeige, dass genau zwei Punkte allen Graphen der Schar angehören. f a (x) = f a (x) a x + ( a ) x = a x + ( a ) x : x = x = 0; a x + a = a x + a a x ( a ) x (a a ) = a + a : (...) x = a a a a x = P (0; 0); P (; ); c) Wie muss a gewählt werden, damit G a durch den Punkt P (4; 0) geht? Zeichne den zugehörigen Graphen. y P = f a (x P ) 0 = 8a + 4 = a d) Bestimme allgemein für a 0 die Nullstellen von f a. f a (x) = 0; = ax + a = 0; = x = a a ; N( a a ; 0); e) Für welchen Wert von a berührt G a die x-achse?

36 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 36 x = a ; a f a (x) = ax + ( a) x = ax + a = 0; a a + a = 0 a a + 4a = 0 a + = 0 +a : = a } =... Hausaufgabe Buch Seite 6, Aufgabe e Untersuche, ohne den Graphen zu zeichnen, die folgenden Funktion auf ihr Monotonieverhalten: f : x x ; x R ; x < x ; x, x R ; = f(x ) f(x ) = x x = x x x x < 0; f ist streng monoton fallend Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f(x) = 4+x +x ; x R ; x, x R; x < x ; = f(x ) f(x ) = 4+x +x 4+x +x = x x +3x +3x +8 x x +x +x +4 ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f(x) = x ; x + x ; x + y = = x y x + y = 0; = x = ± y ; y = y 0; y 0; = W = [ ; ] ; Infimum ist y =, Supremum ist y =. Maximum ist (; ), Minimum ist ( ; ).

37 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe Untersuche f auf Symmetrie, Monotonie für x 0 und Beschränktheit (Wertemenge)! f(x) = 4+ x + x ; Symmetrie f( x) = 4+ x + x Monotonie x, x 0; x < x ; = f(x ) f(x ) = 4+x (x x )(4 ) HN < 0; smf für x 0; = f(x); Symmetrie zur y-achse Beschränktheit y = 4+ x + x (...) y + x y = 4 + x x y x (y ) = 4 y : (...) x = 4 y y = y ; 4 y 0 (...) y 4 y 0 +x : y { y und y = y und y ; = W = ]; ] ; +x 4+x +x = 8+4x +x +x x 8 4x x x x = HN oder

38 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 38.9 f(x) Hausaufgabe Zettel, Aufgabe Errate eine Nullstelle und berechne die übrigen: a) f(x) = x 3 + x 9x 9; x = 3; x = ; x 3 = 3; b) f(x) = x 3 6x + 6x ; x = ; Zettel, Aufgabe c Faktorisiere: f(x) = x 5 + 3x 3 36x; x = 3; x = ; x 3 = 0; x 4 = ; x 5 = 3; f(x) = x (x 3) (x ) (x + ) (x + 3) ; Zettel, Aufgabe 3a Die Graphen der Funktionen f und f schneiden sich an der Stelle x =. Bestimme die übrigen Schnittpunkte! In welchem Bereich gilt f (x) f (x)? f (x) = x + 4; f (x) = ax;

39 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 39 f (x ) = f (x ); = a = 9; = f (x) = 9x; f (x) = f (x); = x = 7; f (x) f (x); = x R \ ]; 7[ ; Zettel, Aufgabe 4a Wo gilt f(x) > g(x)? f(x) = x ; g(x) = x 4 ; f(x) > g(x); = x > x 4 ; = > x ; x 0; = x < ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f(x) = x ; D f = R \ { ; } ; W f = R \ ] ; 0] ; f( x) = = f(x); Symmetrie zur y-achse; x Bei x = und x = liegen Unendlichkeitsstellen mit VZW vor. 6 f(x)

40 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Buch Seite 35, Aufgabe d Bestimme Nullstellen, Unendlichkeitsstellen und erkennbare Symmetrieeigenschaften der Graphen folgender Funktion: f : x f(x) = x x 6 x 3 +x x = (x 3)(x+) x(x+)(x ) = Nullstellen N(3; 0); Lochstellen L( ; 5 6 ); Unendlichkeitsstellen Bei x = 0 und x = mit VZW; Asymptoten x = 0; x = ; y = 0; Symmetrie f( + h) f( x 3 ; D x(x ) f = R \ { ; 0; } ; h) = = h 4 h ; Keine Symmetrie zu x = ; 0 5 f y x

41 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 4 Buch Seite 35, Aufgabe k Skizziere im wesentlichen ahand der Nullstellen und Unendlichkeitsstellen den groben Verlauf des Graphen folgender Funktion: f : x f(x) = (x )(x )(x 3) x 3 6x +x 6 = (x )(x )(x 3) (x )(x )(x 3) = ; D f = R \ {; ; 3} ; Keine Nullstellen, Lochstellen P (; ), P (; ), P 3 (3; ), keine Unendlichkeitsstellen;..9. Hausaufgabe Buch Seite 46, Aufgabe Gib das ν-te Glied der Folge a ν an für: a) a ν = + ν ; ν = 7; = a 7 = + 7 ; b) a ν = ν 5; ν = ; = a = ; Buch Seite 46, Aufgabe 3 Aus den ersten vier Gliedern dieser Folgen lässt sich jeweils ein Bildungsgesetz erraten. Wie lautet der Term für das allgemeine Glied a ν? Beachte, dass es u.u. mehre Möglichkeiten geben kann (Anmerkung von mir: lol wtf es gibt sogar unendlich viele Möglichkeiten, aber mom, ich schreibe kurz alle auf, bin gleich wieder da SCNR). a),, 3, 4,..., ν b), 3, 3 4, 4 5,..., ν ν+ (oder z.b. auch: a ν = ν 0 ν + 0 ν3 ;) c), 4 3, 9 4, 6 5,..., ν ν+ (oder z.b. auch: a ν = ν + 0 ν 0 ν3 ;) d) 0, 3, 4, 3 5,..., ν ν+ e),,,,..., ( ) ν+

42 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Buch Seite 48, Aufgabe Berechne das n-te Glied der nachstehenden geometrischen Folgen: a) a ν = { 3, 3, 6,...} ; = a ν = 3 ν ; = a 0 = 768; b) a ν = {,, 7,...} ; = a 5 5 ν = ( ) 6 ν 5 ; = a5 = 59; 65 Buch Seite 48, Aufgabe 3 Von einer geometrischen Zahlenfolge a ν = {a, a, a 3,...} ist bekannt: a 3 = 4 sowie a 5 = 8. Berechne a und a 6! a ν = a q ν ; = a = = a = 4 = 8 ; q q 4 = q = ; = a = 4 = ; q = a ν = (± ) ν ; = a 6 = 8 ; a 6 = 8 ; aν ; q ν.. 3. Hausaufgabe Buch Seite 48, Aufgabe 6 Berechne a) den Luftdruck in 8km und km Meereshöhe. p(8km) 0,4bar; p(km) 0,3bar; b) die ungefähre Höhe, in der der mittlere Luftdruck p s = 75mbar beträgt. h 4,km;

43 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Buch Seite 5, Aufgabe Eine geometrische Reihe besteht aus zehn Gliedern. Der Anfangswert ist a =, der Quotient ist q = 3. Wie lautet das 0. Glied und wie groß ist die Summe aller Glieder? a ν = a q ν = 3 ν ; a 0 = 39366; s 0 = a qn q = 59048; Buch Seite 5, Aufgabe Berechne folgende Summen: b) = ( 4)0 4 = 0975; c) = 4 ( ) 3 0 [ ( = 8 ) ] 3 = 89; Hausaufgabe Buch Seite 5, Aufgabe d Berechne folgende Summe: = 3 ( 5) 9 5 = ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe 4x Weise nach: lim = 0; x x + x, ε R + ; 4x s < ε; (x x s + s + ) 4x s < x sε + ε; (x sε + ε) x s ( ε) + 4x s ε < 0; Lösungsformel... x s < + 4 ε ; ε

44 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Buch Seite 56, Aufgabe Kennzeichne das Verhalten der Funktion f : x f(x) für immer größer werdende x-werte! Skizziere den Graphen! a) f(x) = 4 ; D +x f = R + 0 ; 4 +x s < ε; 4 < x ε s; b) f(x) = 3 ; D x f = R + ; 3 x < ε; 3 xs > ; ε 0 f f 5 y x Hausaufgabe Buch Seite 59, Aufgabe 5a Bestimme ein x s so, dass für alle x mit x > x s gilt: 5 < 5x 6 x 000 ;... x s = ε+ ε = 50;

45 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 45 Buch Seite 59, Aufgabe 6a Löse die Ungleichung in Aufgabe 5 für x > allgemein durch Einsetzen der positiven (als klein zu denkenden) Zahl ε an Stelle von. Bestimme dann: 000 5x 6 lim = 5; x x Buch Seite 63, Aufgabe 3b Von welcher Stelle x ab gilt gegebenfalls f(x) > 000 = a? f(x) > a; x + > a; x + > a ; x > 0 6 ; Hausaufgabe Bestimme mit Hilfe der Grenzwertsätze die folgenden Grenzwerte! Es liegt jeweils der Definitionsbereich des Terms zugrunde. d) lim x (3 + x ) = 3; e) lim (5 x x ) = 5; f) lim x π x = 0; g) lim x x = 0; h) lim = 0; x log x i) lim x x = ; k) lim x +x = 0; l) lim ( x x + ) = 0; x x m) lim x x x x 3 x 3 = ; n) lim x 5x 0 3x+5 = 5 3 ; o) lim x 3x 0 +5x = 3 5 ; p) lim x x 3x+ x +x 6 = ; q) lim ( x 6x 7 ) = 4; x 3x+ x +4 r) lim ( x3 x+ ) = 0; x x 3 + x s) lim ( x5 a 5 sin( x x 5 +a 5 πx) ) = 0; x Hausaufgabe Buch Seite 70, Aufgabe 6

46 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 46 Bestimme für die Folgen a ν den Grenzwert lim ν a ν nach geeigneter Umformung des Terms: a) lim ν a ν = lim (+ν) ν ν +ν = lim = 0+ = ; ν ν 0 b) lim ν a ν = lim 3 sin π ν ν sin π ν = 6; c) lim a ν = lim ν+ v ν ν ν++ ν = lim + ν = ν + + ν + = 0; Buch Seite 70, Aufgabe 9 Bestimme für die Folge a ν den Grenzwert a und ermittle eine natürliche Zahl n so, dass a ν a < 0,00 wird für alle ν > n: a) a ν = + ν+ ; lim ν a ν = + 0 = ; n = 000; b) a ν = 3 + ( )ν ν ; lim a ν = = 3; ν n = 00000; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe x lim f(x) = lim x x x x ±h+h = lim h h 0+ ±h lim f( ± h) = ± 0 ± = ± = lim f(x); h 0+ x ± h = lim ±h = lim ± h ± ; h 0+ ±h h Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe { x für x ; f(x) = x x für x > ; lim = lim f( + h) = lim + h + x + h 0 h 0 h h = lim h + h = = 0; h 0 lim = lim f( h) = lim h = 0 = ; x h 0 h 0

47 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe { + x für x ; f(x) = x für x > ; lim f(x) = lim x = ( ) = ; x + x + lim f(x) = lim + x x x = + ( ) = ; Hausaufgabe Buch Seite 9, Aufgabe Gegeben ist die Funktion f : x x x; D f = R; Berechne den Differenzquotienten bzgl. der Stelle x 0 = und den zugehörigen Differentialquotienten! m s = x x x 0 + x 0 x x 0 ; m t = x ; Buch Seite 9, Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion f : x Berechne f (0)! f (0) = lim x 0 = lim x 0 x x 0... = x 0 x x ( x) = = lim x 0 x = = = ; x x ; D f = [ 3; [ ; Hausaufgabe Buch Seite 8, Aufgabe 7 Berechne f () :

48 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 48 a) f(x) = x 3 3 x 4 x ; f (x) = 3x 3 x + 4 x ; f () = = ; b) f(x) = ( x x ) = x + x ; f (x) = 0 x ; f () = = 0; c) f(x) = x3 +x + x = x + x + x ; f (x) = x + x ; f () = + = ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgaben. f(x) = 5x; f (x) = 5 x = 5x x ;. f(x) = x (x + 3) = x 3 + 3x; f (x) = 6x + 3; x 3. f(x) = x = x x = x ; f (x) = x 3 = = x 3 4. f(x) = x m x n = x m+n ; f (x) = (m + n) x m+n ; x 3 x 3 ; Hausaufgabe Buch Seite 6, Aufgabe 6 Wie lautet die Gleichung der Halbtangente an den Graphen der Funktion f : x x 3 ; x [ ; [ im Punkt P ( ; )? Welche Flächenmaßzahl hat das Dreieck, das die Halbtangente mit den Koordinatenachsen bildet? t : y y P = y + x x P x + = f ( ) = 3; y = 3x + 3 = 3x + ; t(0) = ; t( 3 ) = 0; A = 3 = 3 ;

49 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 49 Buch Seite 6, Aufgabe 8 Für den Graphen der Funktion f : x x; x R + 0 ist zu bestimmen: a) Der Neigungswinkel der Tangente im Punkt P ( 3 4 ;?); t : y y P x x P = y = x y 3 4 x 3 4 = f ( 3) = ; 3 4 = x = 3 3 x 3 4 ; arctan 3 3 = arctan 3 = π 6 ; b) Die Abszisse jenes Kurvenpunktes Q, für den die Tangente unter α = 60 = π gegen die x-achse geneigt ist. 3 f (x) = x = tan π 3 = 3; 3 = x; x = ; Hausaufgabe Buch Seite, Aufgabe 7a Wo und unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven mit den Gleichungen y = x 3 und y = x + x 7? Wie lauten die Tangentengleichungen in den Schnittpunkten? y = y ; x 3 = x + x 7; 4 = x ; x = ; S (, 7), S (, ) f (±) = ; f (±) = ± + ; f () = 6; f ( ) = ; ϕ = arctan 6 arctan 7 ; ϕ = arctan arctan ; t, : y + 7 x + = ; y, = x 3; t, : y x = ; y, = x 3; t, : y + 7 x + = ; y, = x ; t, : y x = 6; y, = 6x ;

50 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe Bestimme zur Kurve f : f(x) = ax + bx + c die Koeffizenten a, b, c so, dass f durch den Punkt A(, ) geht und die Gerade g(x) = x + 4 in B(, 6) berührt. = 4a + b + c; c = 4a b; 6 = a + b + c = a + b + 4a b; 5 = 3a b; b = 3a 5; f () = a + b = ; b = a; 3a 5 = a; 7 = a; b = 3 ( 7) 5 = 6; c = 4 ( 7) 6 = 3; f(x) = 7x + 6x 3; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f(x) = ax 3 + bx + cx + d berührt die Gerade g(x) = x + 3 in A(, ) und hat in B(, 5) eine waagrechte Tangente. f( ) = = a + b c + d; d = + a b + c; f() = 5 = a + b + c + d = a + b + c + + a b + c; 4 = a + c; c = a; f ( ) = 0 = 3a + b + c = 3a + b + a; = a + b; b = a; f ( ) = = 3a b + c = 3a + + a + a = 4a + 4; 8 = 4a; a = ; b = = 3; c = = 0; d = = 6; f(x) = x 3 3x + 6;

51 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 5 y x f g t Hausaufgabe Buch Seite 6, Aufgabe Berechne den Neigungswinkel der Tangente der Sinuslinie mit der Gleichung y = sin x auf 0,0 genau: a) P (,?); c) P ( 3,?); α = arctan cos 4,7 ; α = arctan cos 3 4,05 ; Buch Seite 6, Aufgabe 3 Für den Graphen der Funktion f : x sin x; x [0, π] sollen die Abszissen jener Kurvenpunkte auf eine Dezimale genau berechnet werden, für die a) die Steigung ist. f (x) = = cos x; x = 60 = π 3 ; x = 5 3 π;

52 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 5 c) die Tangente parallel ist zur Geraden g : x 3y 6 = 0. g : y = 3 x ; f (x) = 3 = cos x; x 0,8 x 5, 4; Hausaufgabe Buch Seite, Aufgabe 7b Welchen Punkt haben die Graphen von f : x cos x + sin x und g : sin x cos x in [0, π] gemeinsam? Man berechne den Schnittwinkel in diesem Punkt! cos x+sin x = sin x cos x; 3 cos x = 0; cos x = 0; x = π ; P ( π, ); f ( π) = sin π + cos π = + 0 = ; g ( π) = cos π + sin π = 0 + = ; ϕ = arctan arctan( ) 08 ; ϕ = 80 ϕ 7 ; 4 f g t_f t_g 3 y x Hausaufgabe Buch Seite 3, Aufgabe 5

53 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 53 Gegeben ist die Schar von Funktionen f a : x y = ax x +, wobei der Scharparameter a eine beliebige reele Zahl vertritt. a) Für welche Belegung von a geht die Tangente in P (,?) G fa durch den Ursprung des Koordinatensystems? t a (x) f() = t a(x) a + = t a(x) a + = f x x x a() = a ; t a : t a (x) = ax x a + + a = (a ) x + a; a = 0; a = ; b) Wie lautet die Gleichung der Normalen durch P für beliebige Werte von a? n a (x) f() x = n a(x) a + x = f a() = a ; n a (x) = x a + a = a x a 4a + 3 ; a ; a c) Für welche a-werte bilden Tangente und Normale durch P mit der y-achse ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge? (Vier Lösungen) 5 t a (0) = a; n a (0) = a 4a + 3 ; a n a (0) t a (0) = 5; L a =... = { 5, } ; 4 t a (0) n a (0) = 5; L a =... = { 0, 4} 3 ; L a = L a L a = { 0, 3 4, 5 4, } ;

54 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG f_(5/4) t_(5/4) n_(5/4) f_ t_ n_ y x Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f(x) = x 3 3x; D f = R; f (x) = 3x 3 = 3 (x + ) (x ) ; f (x) > 0; 3 (x + ) (x ) > 0; f (x) = 0; 3 (x + ) (x ) = 0; P (, ); P (, ); f (x) > 0; f steigt. f (x) < 0; f fällt. f (x) = 0; f hat eine waagrechte Tangente. { f (x) > 0; f ist sms; für x R \ ], [ ; f (x) < 0; f ist smf; für x ], [ ;

55 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG f f y x Hausaufgabe Buch Seite 7, Aufgabe 5 Zeige, dass die Funktion f : x f(x) = x 4 4x 3 an der einen Nullstelle der Ableitung einen Extremwert hat, an der anderen aber nicht. f (x) = 4x 3 x = 0; x = 0; 4x = ; x = 3; f (x) = x 4x; f (0) = 0; P TEP (0, 0); f (3) 0; P TIP (3, 7);

56 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 56 5 f f y x Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f(x) = x 4 4x = x (x 4) = x (x + ) (x ) ; Nullstellen N (, 0); N (0, 0); N 3 (, 0); Symmetrie f( x) = x 4 4x = f(x); Symmetrie zur y-achse Extrema f (x) = 4x 3 8x = 4x (x ) = 4x ( x + ) ( x ) = 0; f (x) = x 8; x = ; f (x ) = f ( ) > 0; P TIP (, 4); x = 0; f (x ) = f (0) < 0; P HOP (0, 0); x 3 = ; f (x 3 ) = f ( ) > 0; P TIP (, 4);

57 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 57 Monotoniebereiche f (x) = 4x ( x + ) ( x ) > 0; Graph f ist in sms in ], 0 [ ], [ ; f ist in smf in ], [ ] 0, [ ; 8 f f 6 4 y x Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f(x) = 4 5 x5 + 3x 3 = 4 5 x3 (x + 5 ) ( x 5 Nullstellen N ( 5, 0); N (0, 0); N 3 ( 5, 0); Symmetrie f( x) = 4 5 x5 3x 3 = f(x); Symmetrie zum Ursprung; Extrema und Terassenpunkte f (x) = 4x 4 + 9x = 0; x = 3 ; x = 0; x 3 = 3 ; f (x) = 6x 3 + 8x; ) ;

58 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 58 f (x ) = f ( 3 ) = 7 > 0; P TIP( 3, 8 0 ); f (x ) = f (0) = 0; Vorzeichenanalyse notwendig: f (x) wechselt das Vorzeichen in der Umgebung von x nicht; P TEP (0, 0); f (x 3 ) = f ( 3 ) = 7 < 0; P HOP( 3, 8 0 ); 8 6 f f y x Selbstgestellte Aufgabe f(x) = x x; D f = R + 0 ; Nullstellen N (0, 0); N ( 3, 0); Symmetrie f ist in R nicht definiert; Keine Symmetrie zur y-achse oder zum Ursprung; Extremum f (x 0 ) = 4x 0 x 0 = 0; x 0 = 4 ; f (x) wechselt in der Umgebung von x 0 das Vorzeichen von nach +; P TIP ( 4, 3 8 );

59 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 59 Monotonie f ist in [ 0, 4[ smf, in [ 4, [ sms. 0.4 f f 0. y x Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f(x) = x 8x; D f = [, 5] ; f (x s ) = 4x s 8 = 0; x s = ; f(x s ) = f() = 8; f( ) = 8 8 ( ) = 4; f(5) = = 0; W f = [ 8, 4] ;

60 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 60 5 f y x Hausaufgabe Buch Seite 07, Aufgabe Für die Funktion f : x f(x) = x + trifft bezüglich des Intervalls I = [, ] die Aussage des Extremwertsatzes zu. Warum? Gib das Maximum und das Minimum an! f ist in I stetig Anwendung des Extremwertsatzes möglich x s = 0; f( ) = 3; f() = 6; P HOP (, 6); P TIP (0, ); Buch Seite 08, Aufgabe 5 Hat f in I = [, ] eine Nullstelle? Begründe, warum man den Nullstellensatz anwenden darf bzw. warum nicht! a) f : x f(x) = x 3 + 4x + ; D f = R; f ist in I stetig Anwendung des Nullstellensatzes möglich f( ) = 4; f() = 7;

61 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 6 Ja, f hat in I eine Nullstelle. b) f : x f(x) = x ; D f = R; f ist in I stetig Anwendung des Nullstellensatzes möglich f( ) = ; f() = ; Ja, f hat in I eine Nullstelle Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe a) 4, 4 + 0, 4 =,05; b) 3, , 3 4 = 59,; c) 5, , 6 = ,694; Hausaufgabe Buch Seite 59, Aufgabe Welches Krümmungsverhalten zeigt die Funktion f in einer Umgebung der Stelle x 0? a) f : x f(x) = x 4 3x ; x 0 = ; f (x) = 4x 3 6x; f (x) = x 6; f (x 0 ) = f ( ) = 6 = 6; f ist an der Stelle x 0 linksgekrümmt. b) f : x f(x) = x 3 4x; x 0 = ; f (x) = 3x 4; f (x) = 6x; f (x 0 ) = f () = ; f ist an der Stelle x 0 linksgekrümmt.

62 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 6 Buch Seite 59, Aufgabe Bestimme für die folgende Funktion f : x f(x); x R die x- Werte der Extrema und die Wendepunkte (soweit vorhanden) des Graphen. f(x) = x 6x + 5; f (x TIP ) = x TIP 6 = 0; x TIP = 3; f (x) = ; f hat in D f keine Wendepunkte Hausaufgabe Buch Seite 6, Aufgabe 3a Bestimme Extremwerte und Wendepunkte von G f! Wie lauten die Gleichungen der Kurventangenten, die mit der positiven x-achse einen Winkel von 45 bilden? f : x f(x) = x3 x + 6x 4; f (x) = 4 x 4x + 6 = 4 (x 8) ; f (x) = x 4 = (x 8) ; x = 8: f (x ) = 0 Kein VZW; P TEP (8, ); 3 f (x) = ; P (6, 0); P 3 (0, 4 3 ); y x 6 = ; y = x 6; y x 0 = ; y 3 = x 6 3 ;

63 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 63 f f f y_ y_3 y x Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f(x) = x 4 + 8x 3 + 8x ; P 0 (, ); f (x 0 ) = 4x x x 0 = 6; y = 6; y = 6x 5; x + 6x 5 = x 4 + 8x 3 + 8x ; x = 5; x = x 0 = ; Hausaufgabe Buch Seite 63, Aufgabe 4 Gegeben ist f : x f(x) = 7 x + 3x 0. Wo ist f nicht differenzierbar? Zeichne G f und G f in [ 6, 6]! Welche sprunghafte Richtungsänderung erfährt die Tangente beim Überschreiten jener Stellen, an denen die Funktion keine Ableitung hat? Wo ist f(x) < 7? 4 x + 3x 0 = 0; x = 5; x = ; { f (x + 3) für x < 5 x > ; 7 (x) = (x + 3) für x ] 5, [ ; 7

64 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 64 lim x 5± f (x) = ; f ist an 5 nicht diffbar; lim x ± f (x) = ±; f ist an nicht diffbar; Die Richtungsänderung beträgt jeweils 90. ] [ 7 (x + 3x 0) < 7; L = 7 + 3, \ { 3 } ; f f 7./4. y x Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f(x) = x 3 x 4 ; D f = R; Nullstellen f(x) = 0; N (, 0); N (0, 0); N 3 (, 0); Symmetrie f( x) = x 3 ( x) 4 = x 3 x 4 = f(x); Punktsymmetrie zum Ursprung;

65 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 65 Extrema { x 3 f(x) = (x 4) = 3 x3 4 x für x ], ] [, [ ; 3 x 3 (x 4) = ( 3 x3 4x) für x ], [ ; 3 { f x 4 für x ], [ ], [ ; 3 (x) = ( ) x 4 für x ], [ ; 3 ± ( x 0 3) 4 = 0; x 0 = 4; 3 4 x = = 3 3 = 3 3; x = 3 3; Vorzeichenanalyse von f : x = 3 3; Vorzeichenwechsel von f von nach +; P TIP, ( 3 3, 6 7 3); x = 3 3; Vorzeichenwechsel von f von + nach ; P HOP, ( 3 3, 6 7 3); x 3 = ; Vorzeichenwechsel von f von + nach ; P HOP, (, 0); x 4 = ; Vorzeichenwechsel von f von nach +; P TIP, (, 0); Wendepunkte { f x für x ], [ ], [ ; (x) = x für x ], [ ; ±x 5 = 0; x 5 = 0; P WEP, (0, 0); Sowie: P WEP, (, 0); P WEP,3 (, 0);

66 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 66 f f Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f(x) = (x x) ; f (x) = (x x) (x ) = 4x 3 8x 4x + 8x = 4x 3 x + 8x; f (x) = (x 4 4x 3 + 4x ) = 4x 3 x + 8x; Hausaufgabe Bilde für den angegebenen Term f(x) der Funktion f : x f(x); x D f den Ableitungsterm f (x)! Bei welchen Aufgaben stimmt D f nicht mit D f überein? Buch Seite 44, Aufgabe f f(x) = (sin x + cos x) 3 ; D f = R; f (x) = 3 (sin x + cos x) (cos x sin x) ; D f = D f ; Buch Seite 44, Aufgabe

67 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 67 c) f(x) = d) f(x) = e) f(x) = (x + x + ) ; D f = R; f (x) = (x + x + ) (x + ) (x + x + ) 4 ; D f = D f ; ( sin x) ; D f = R; f ( sin x) cos x (x) = ( sin x) 4 ; D f = D f ; ( + x) 4 ; D f = R + 0 ; f (x) = 4 ( + x) x ; D f = D f; Buch Seite 45, Aufgabe 5e f(x) = x + x + 3; D f = R; f (x) = x + x + x + 3 ; D f = D f; Buch Seite 45, Aufgabe 6b f(x) = x x + ; D f = R; f (x) = x + + x x + x; D f = D f; Hausaufgabe Buch Seite 45, Aufgabe 4 Gegegen ist die Funktion ϕ : x ϕ(x) = y = 4 x ; x D max ; a) Gib D max an! 4 x 0; 4 x ; x ; D max = [, ] ;

68 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 68 b) Differenziere ϕ und bestimme den Differenzierbarkeitsbereich D ϕ! ϕ x (x) = 4 x = x ; 4 x D ϕ = D max \ {, } = ], [ ; c) Stelle die Gleichung der Normalen in einem beliebigen Punkt P (x 0, y 0 ) des Funktionsgraphen G ϕ auf und zeige, dass sie durch den Ursprung geht! n(x) ϕ(x 0 ) = 4 x x x 0 ϕ (x 0 ) = 0 ; x 0 n(x) = x x 0 4 x 0 ; n(0) = 0 x 0 4 x 0 = 0; Die Normale in einem beliebigen Punkt P (x 0, y 0 ) des Funktionsgraphen G ϕ geht durch den Ursprung; d) Zeichne G ϕ und erkläre das Ergebnis von Teilaufgabe c) geometrisch! Hinweis: Berechne x + y! x + n(x) = x + ( x x 4 x ) = x + 4 x = ; Bei ϕ(x) handelt es sich um einen Halbkreis mit dem Radius ; 3 phi phi n y 0 0 x

69 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Buch Seite 64, Aufgabe c mit W f und Graph Bestimme die Wertemengen der folgenden Funktion mit Hilfe der Extremwerte und des Verhaltens an Unendlichkeitsstellen sowie für x ±! f : x f(x) = x x 4 + ; D f = R; f(x) 0 für x ; f (x) = (x4 + ) x x 4x 3 (x 4 + ) = x5 + x 4x 5 (x 4 + ) = x5 + x (x 4 + ) Vorzeichenwechselanalyse gibt: f ist sms in ], ] und [0, ]; f ist smf in ], 0[ und ], [; P HOP (, ); P HOP (, ); P TIP (0, 0); W f = [ 0, ] ; = x x4 (x 4 + ) ; f f y x

70 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Aufgabe der Test-SA Bestimme die ganzrationale Funktion f dritten Grades, deren Graph im Ursprung einen Wendepunkt hat. Außerdem hat der Graph im Punkt P (, 0) eine Tangente, die parallel zur Geraden y = 8x + verläuft. (Kontrolle?) f(x) = ax 3 + bx + cx + d; f (x) = 3ax + bx + c; f (x) = 6ax + b; I. f(0) = 0; d = 0; II. f (0) = 0; b = 0; b = 0; III. f() = 0; 8a + c = 8a 6 4a = 0; a = ; IV. f () = 8; a + c = 8; c = 8 a; c = 8 + = 4; f(x) = x 3 + 4x; 5 4 f f f y x Aufgabe 4 der Test-SA Betrachtet wird die Funktionenschar f t (x) = t 3 x3 + 3x 5x mit t 0. a) Für welche Werte des Parameters t besitzen die Funktionen f t keine, genaue eine, zwei waagrechte Tangenten?

71 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG 7 f t(x) = tx + 6x 5 = 0; x, = 6 ± t ; t t = 0; t = 9; 5 Für t < 9 : Keine waagrechten Tangenten 5 Für t = 9 : Genau eine waagrechte Tangente 5 Für t > 9 : Genau zwei waagrechte Tangenten 5 b) Zeige, dass die Kurven G ft genau einen Wendepunkt W besitzen und bestimme dessen Koordinaten in Abhängigkeit von t. f t (x W (t)) = tx W (t) + 6 = 0; x W (t) = 3 t ; y W (t) = f ( ) 3 t = t t = 3 t ; t t c) Bestimme die Gleichung der Ortslinie, auf der alle Wendepunkte der Schar liegen. Welcher Punkt dieser Kurve ist kein Wendepunkt der Schar? (Begründung!) x W (t) = 3 t ; t = 3 x W (t) ; x 0; y W (x W (t)) = y W (x) = x 5x; x 0; (0, 0) ist kein Wendepunkt der Schar f t. y x f_{ 9/5} f_{ 5} f_{ } y_w

72 MATHEMATIK: INFINITESIMALRECHNUNG Hausaufgabe Aufgabe 3 der Test-SA Gegeben: f : x f(x) = x x ; D f = R \ {} ; a) Bestimme die Monotoniebereiche von f und schließe damit auf die Art und Lage der Extrema von f. f (x) =... = x x (x ) ; f ist sms in ], 0[ und ], [ ; f ist smf in ]0, [ und ], [ ; P HOP (0, 0); P TIP (, ); Uendlichkeitsstelle mit VZW bei x = ; b) Gegeben ist ferner die Funktion g : x g(x) = x +. Berechne lim [f(x) g(x)] und deute dieses Ergebnis geometrisch! x [ x x x + ] [ ] x (x + ) (x ) = lim = lim x (x ) x f(x) g(x) 0 für x ; lim x g(x) ist eine Asymptote von f(x); [ x x + (x ) ] ; 4 f g y x