Prüfer: Dr. M. Lenz, Prof. Dr. M. Rumpf. Klausurdauer: 180 Minuten. Bitte Namen, Vornamen und Matrikel-Nr. einsetzen. Name:... Vorname:...

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1 Klausur zum Modul Ingenieurmathematik II (B22) 25. August 27 für den Bachelorstudiengang Geodäsie und Geoinformation In der Klausur können Punkte pro Aufgabe, also insgesamt Punkte erreicht werden. Zum Bestehen sind mindestens 42 Punkte erforderlich. Prüfer: Dr. M. Lenz, Prof. Dr. M. Rumpf Klausurdauer: 8 Minuten Bitte Namen, Vornamen und Matrikel-Nr. einsetzen. Name: Vorname: Matrikel-Nr.: Bitte Schlüsselwort (zur Veröffentlichung der Klausurergebnisse im Netz) eintragen: Schlüsselwort: Aufgabe: Punkte: Aufgabe: Punkte: Gesamtzahl der Punkte Note Datum Unterschrift Viel Erfolg!

2 Seite Aufgabe : a) Berechnen Sie das Integral e x 2 ln(x)dx. (5 Punkte) b) Berechnen Sie das Integral 3 2x + x 2 dx. (5 Punkte) a) e x 2 ln(x)dx = 3 x3 ln(x) e e = 3 e3 9 (e3 ) = 9 (2e3 + ) 3 x3 x dx b) Variante : Substitution mit y = + x 2. Also ist 3 2x dx = dy = 2( ). + x 2 y Variante 2: Substitution mit sinh: z 2x arsinh(z) dx = 2 sinh(y) cosh(y)dy + x 2 + sinh(y) = 2 arsinh(z) sinh(y)dy = 2(cosh(arsinh(z)) cosh()) = 2( + z 2 ) 2 2

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4 Seite 3 Aufgabe 2: Seien im Folgenden a, b, φ R und r >. a) Geben Sie den Real- und den Imaginärteil von an. a + ib und re iφ = (reiφ ) (+2 Punkte) b) Geben Sie den Real- und den Imaginärteil von i 27 an. (2 Punkte) c) Geben Sie den Real- und den Imaginärteil von e a+ib an. (2 Punkte) d) Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil aller Lösungen von z 4 = 4. (3 Punkte) a) a + ib = a a 2 + b + i b 2 a 2 + b 2 cos(φ) = + i sin(φ) reiφ r r b) i 2 =, i 4 =, i 27 = i 26 i = i, also Realteil, Imaginärteil c) e a+ib = e a cos(b) + ie a sin(b) d) 4 = 4e iπ, also sind alle Loesungen von z 4 = 4 gegeben durch z { 2e i π 4, 2e i 3π 4, 2e i 5π 4, 2e i 7π 4 } In Real- und Imaginärteil: z { + i, + i, i, i}

5 Seite 4 Aufgabe 3: Betrachten Sie die Funktion f : R 2 R, ( ( )) ( ) f(x, y) = exp 3 x3 x 3 y3 y Df = a) Berechnen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von f.(2+3 Punkte) b) Bestimmen Sie die Menge der kritischen Punkte von f. (2 Punkte) c) Klassifizieren Sie die kritischen Punkte von f nach Minima, Maxima oder Sattelpunkten. (3 Punkte) ( e ( x3 3 x x 2 ) ( ) y 3 3 y, e ( x3 3 x y 2 )) Also sind die kritischen Punkte (, ), (, ), (, ), (, ) ( ) ( ) y 3 D 2 f = y e x3 3 x (x 2 ) 2 y y e x3 3 x x e x3 3 x (x 2 ) (y 2 ) 3 3 e x3 3 x (x 2 ) (y 2 ) 2e x3 3 x y also in (, ) Minimum (positiv definit), in (, ) Maximum (negativ definit), Sattelpunkte in (, ), (, )..

6 Seite 5 Aufgabe 4: a) Sei Ω R d eine beschränkte, offene Menge und Ω glatt. Wie lautet der Satz von Gauß auf Ω? (2 Punkte) b) Sei Ω = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 } und ( ) x 3 v : Ω R 2, v(x, y) =. x 2 y Berechnen Sie für v beide im Satz von Gauß auftretenden Integrale. ( ) cos(φ) Hinweis: Benutzen Sie, dass Ω durch parametrisiert ist. Es sin(φ) gilt cos(φ) 2 dφ = (φ + sin(φ) cos(φ)). (4+4 Punkte) 2 a) Sei Ω R d eine beschränkte, offene Menge und Ω eine glatte Fläche (in dem Sinn, dass der Rand Ω eine lokale, stetig differenzierbare Parametrisierungbesitzt). Mit N(x) bezeichnen wir die äußere Normale auf Ω, dann gilt für ein stetig differenzierbares Vektorfeld v auf Ω divv(x)dx = v(x) N(x) da(x) b) Ω Ω Ω ( ) x 3 x 2 y Ω 3x 2 + x 2 d(x, y) = ( ) x da(x, y) = y = 2π Ω 2π x 2 (x 2 + y 2 )da(x, y) cos(φ) 2 dφ = 2 (φ + sin(φ) cos(φ)) 2π = π r4(r cos(φ)) 2 dφdr = π

7 Seite 6 Aufgabe 5: Sei v R d ein Vektor der Länge und H = 2vv T, wobei R d,d die Einheitsmatrix ist. a) Rechnen Sie nach, dass H stets symmetrisch ist. (2 Punkte) b) Rechnen Sie nach, dass H stets orthogonal ist. (2 Punkte) c) Zeigen Sie, dass v ein Eigenvektor von H ist. Geben Sie den dazugehörigen Eigenwert an. d) Sei w R d, w, v T w =. Zeigen Sie, dass w ein Eigenvektor von H ist. Geben Sie den dazugehörigen Eigenwert an. e) Berechnen Sie die Determinante von H. Hinweis: Verwenden Sie c) und d). (2 Punkte) (2 Punkte) (2 Punkte) a) Es ist H T = ( 2vv T ) T = 2(vv T ) T = 2vv T = H. b) Es gilt HH T = H 2 = ( 2vv T )( 2vv T ) = 2vv T 2vv T + 4vv T vv T = 2vv T 2vv T + 4vv T =. c) Es ist Hv = v 2vv T v = v 2v = v, also ist v Eigenvektor von H mit Eigenwert. d) Es ist Hw = w 2vv T w = w, also ist w Eigenvektor von H mit Eigenwert. e) Es ist det(h) = ( ) n =.

8 Seite 7 Aufgabe 6: a) Betrachten Sie eine beliebig oft differenzierbare Funktion f : R d R für d 2. Geben Sie die Formel für die Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung (d.h. mit einem Restglied dritter Ordnung) von f um dem Punkt x = (x,..., x d ) R d an. (2 Punkte) Sei im Folgenden f : R 2 R, f(x, x 2 ) = ln( + x 2 + x 2 2). b) Berechnen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von f. (2+3 Punkte) c) Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung (d.h. mit Restglied dritter Ordnung) der Funktion f um den Punkt (x, x 2 ) = (, ). (3 Punkte) a) Sei f : R d R eine dreimal stetig differenzierbare Funktion und y R d. Dann existiert ein von x und y abhängiges θ (, ) so dass b) Es gilt f(x + y) = f(x) = α 2 α f(x) y α + α! α =3 α f(x + θy) y α α! = f(x) + f(x) y + 2 yt D 2 f(x)y + O( y 3 ). ( 2x +x 2 +x2 2 2x 2 +x 2 +x2 2 ) und D 2 f(x) = 2 x 2 +x x 2 (x 2 +x2 2 +)2 4x x 2 (x 2 +x2 2 +)2 4x x 2 (x 2 +x2 2 +)2 2 x 2 +x x 2 2 (x 2 +x2 2 +)2 c) Es ist f((, )) = ( ) und D 2 f(x) = ( ) Daher f(x + y) = ln(2) + y y2 + Rest.

9 Seite 8 Aufgabe 7: Sei f : R R eine viermal stetig differenzierbare Funktion und h R. a) Zeigen Sie, dass für alle x R f(x + h) 2f(x) + f(x h) f (x) h 2 = O(h2 ) gilt. (5 Punkte) b) Zeigen Sie, dass für alle x R f(x) + 8f(x + h) 9f(x + 2h) + 2f(x + 3h) f (x) 6h = O(h3 ) gilt. (5 Punkte) a) f(x + h) = f(x) + hf (x) + 2 h2 f (x) + 6 h3 f (x) + O(h 4 ), f(x h) = f(x) hf (x) + 2 h2 f (x) 6 h3 f (x) + O(h 4 ). Addieren beider Abschätzungen ergibt b) Nun gilt f(x + h) + f(x h) 2f(x) = h 2 f (x) + O(h 4 ). f(x + h) = f(x) + hf (x) + 2 h2 f (x) + 6 h3 f (x) + O(h 4 ), f(x + 2h) = f(x) + 2hf (x) + 2h 2 f (x) h3 f (x) + O(h 4 ), f(x + 3h) = f(x) + 3hf (x) h2 f (x) h3 f (x) + O(h 4 ). 8f(x + h) 9f(x + 2h) + 2f(x + 3h) f(x) = 6hf (x) + O(h 4 ).

10 Seite 9 Aufgabe 8: Diagonalisieren Sie die (nicht symmetrische) Matrix 3 A = ( Punkte) Die Matrix hat die Eigenwerte und 2 (doppelter Eigenwert) mit Eigenvektoren (,, ) T, (,, 3) T, (,, ) T. Daher gilt mit 3 3 P =, P = und Q = diag(, 2, 2): A = P QP.

11 Seite Aufgabe 9: Gegeben sei eine Parametrisierung r(z) cos(ϕ) x(z, ϕ) = r(z) sin(ϕ) z wobei r(z) = z, z [, 4] und ϕ [, 2π]. a) Welches Fläche wird durch x parametrisiert? (2 Punkte) b) Geben Sie die Metrik der durch x parametrisierten Fläche an. (4 Punkte) c) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche. (4 Punkte). Zunächst handelt es sich um eine Rotationsfläche mit Funktion r(z) = z Dx = z 2 z 2 2 cos(ϕ) z 2 sin(ϕ) 2 sin(ϕ) z 2 cos(ϕ) g = ( ) 4 z + z 3. Berechnen Sie den Flächeninhalt. Flächeninhalt = 4 2π detgdϕdz = 4 = 2π ( 4 + z) = 2π( 4 2π zdϕdz 3 ) = 3π 4

12 Seite Aufgabe : a) Geben Sie den Transformationssatz der Integralrechnung im Raum R d an. (2 Punkte) b) Berechnen Sie mit Hilfe von Teil a) das Volumen der Menge M = { (x, y, z) R 3 2 x 2, y 2 + z 2 6 }. c) Bestimmen Sie mit Hilfe von Teil a) den Flächeninhalt der Menge M 2 = {(x, y) R 2 (ax) 2 + (by) 2 } mit a, b >. (4 Punkte) (4 Punkte) a) Sei Ω R d ein stückweise glatt berandetes Gebiet, g : Ω R d invertierbar und stetig differenzierbar und f : g(ω) R gleichmäßig stetig. Dann gilt f(y)dy = f(g(x)) det(dg(x)) dx. g(ω) b) Setze z g(r, φ, z) = r cos(φ) r sin(φ) Ω und Ω = {(r, φ, z) R 3 : r 4, φ < 2π, 4 z 4}. Dann ist Dg(r, φ, z) = cos(φ) r sin(φ) sin(φ) r cos(φ) und det(dg(r, φ, z)) = r. Mit dem Transformationssatz und f = folgt V = dy = f(y)dy = f(g(r, φ, z)) det(dg(r, φ, z)) d(r, φ, z) c) Sei = g(ω) 4 2π 4 4 ) g(ω) Ω rdrdφdz = 8 2 π[ 2 r2 ] 4 = 2π. ( x g(x, y) = a y b Dann gilt (mit Ω Einheitskreis) A = dy = det(dg(x, y)) d(x, y) = π ab. g(ω) Ω

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