Übungsbeispiele zu linearen und quadratischen Funktionen Quadratische Gleichungen

Transkript

1 1) Die Erzieherinnen und Erzieher im Kindergarten "Kunterbunt" trinken gerne Kaffee der Marke "Goldbohne Premium". Die Vorratsdose enthält momentan 1,8 kg Kaffeebohnen. Wöchentlich werden 350 g für die Kaffeemaschine benötigt. a) Stelle eine Tabelle auf, die den Kaffeevorrat nach 1, 2, 5 Wochen beschreibt! b) Stelle die Zuordnungsvorschrift der linearen Funktion auf, die diesen Vorgang beschreibt! c) Nach welcher Zeit ist der Kaffeevorrat aufgebraucht? d) Stelle die Kaffeevorratsfunktion im Koordinatensystem dar! e) Es soll Kaffee nachbestellt werden, wenn die Vorratsdose nur noch 400 g enthält. Wann wird das der Fall sein? 2) Eine zylinderförmige Regentonne mit 1 m 2 Grundfläche enthält 150 Liter Wasser. Es fließen 80 Liter Wasser pro Stunde zu. a) Stelle eine Tabelle auf, die das Volumen in der Tonne nach 1, 2, Stunden beschreibt! b) Stelle die Zuordnungsvorschrift der linearen Funktion auf, die den Füllvorgang beschreibt! c) Wann ist die Tonne voll, wenn sie 320 Liter fasst? d) Zeichne die Füllfunktion im Koordinatensystem! e) Stelle eine Tabelle auf, die die Füllhöhe (in Abhängigkeit von der Zeit) nach 1, 2, Stunden beschreibt! 3) Die nebenstehende Graphik zeigt das Volumen einer Regentonne (Fassungsvermögen 200 Liter) während 3 Stunden: a) Wieviel Liter fließen pro Stunde zu? b) Wieviel Liter wurden innerhalb der 3 Stunden aus der Tonne entnommen? c) Wieviel Liter fließen innerhalb der 3 Stunden in die Tonne? d) Stelle die Zuordnungsvorschrift der linearen Funktion auf, die den Füllvorgang während der 1. Stunde beschreibt? e) Stelle die Zuordnungsvorschrift der linearen Funktion auf, die den Füllvorgang während der folgenden 2 Stunden beschreibt? f) Wann wäre die Tonne zur Gänze gefüllt gewesen, wenn man kein Wasser entnommen hätte? 4) Tobias und Mario arbeiten als Krankenpfleger in einer Rehabilitationsklinik und beziehen das gleiche Grundgehalt. Zur Zeit müssen beide viel Überstunden leisten. Am Monatsende vergleichen sie ihre Gehaltsabrechnungen. Der Bruttolohn von Tobias beträgt 3559, der von Mario Tobias hat im laufenden Monat 43 Überstunden, Mario dagegen nur 27 Überstunden geleistet. a) Stelle die Zuordnungsvorschrift der linearen Funktion auf, nach der man den Bruttolohn B in Abhängigkeit von der geleisteten Überstunden h berechnen kann! b) Stelle eine Tabelle für das Bruttogehalt bei 10, 20, 50 Überstunden auf und zeichne die Werte in ein geeignetes Diagramm ein! c) Was ändert sich in der Darstellung, wenn i) die Überstundenpauschale auf 25.- erhöht wird? ii) das Grundgehalt auf erhöht wird? 5) Zur Versorgung der Futterautomaten im Streichelzoo "Koalabär" benötigt der Tierpfleger täglich 7,5 kg Tierfutter. Zwölf Tage, nachdem das Futterlager zum letzten Mal aufgefüllt wurde, befinden sich dort noch 250 kg. a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die den Inhalt des Futterautomaten beschreibt und zeichne den dazugehörigen Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem! b) Auf welche Menge wurde das Futterlager vor zwölf Tagen aufgefüllt? 1

2 c) Bei einem Lagerbestand von 50 kg wird der Futterautomat wieder aufgefüllt. Wann ist das erforderlich? d) Wie lange würde das Futter noch reichen, wenn man das Futterlager nicht auffüllt? 6) Der Telefonanbieter "T-HELLO" bietet folgendes Tarifmodell an: jede Gesprächsminute kostet 0,06, die monatliche Grundgebühr beträgt 8,50. Die Konkurrenzfirma CALL verrechnet für jede Gesprächsminute 0,08, die monatliche Grundgebühr beträgt 5. a) Vervollständige die folgende Tabelle und vergleiche anhand der Ergebnisse die beiden Tarifmodelle! T-HELLO Gesprächszeit in min Gesamtkosten in 19,30 38,50 CALL Gesprächszeit in min Gesamtkosten in b) Anja stehen monatlich 25.- fürs Telefonieren zur Verfügung (Oma zahlt!). Für welchen Anbieter soll sie sich entscheiden und warum c) Stelle die beiden Tarifmodelle in einer geeigneten Graphik gegenüber! Bei welcher Gesprächszeit sind die Gesamtkosten bei beiden Anbietern gleich hoch? d) CALL hat im letzten Monat zahlreiche Vieltelefonierer an T-HELLO verloren und deshalb ein neues Tarifmodell entwickelt. Man zahlt nun für die ersten 20 Minuten nichts, danach für jede Gesprächsminute 0,08. Zeichne für diese Tariffunktion eine geeignete Graphik! 7) Die nebenstehende Graphik zeigt die monatlichen Tarifmodelle der beiden Telefonanbieter Mobilo und Cybercall. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, welche falsch? a) Mobilo verrechnet die höhere Grundgebühr. b) Vieltelefonierer sollten zu Cybercall wechseln. c) Wer 5 Stunden monatlich telefoniert, erspart sich mit Cybercall mehr als 10.- d) Dauerquatscher sind mit Mobilo immer besser dran! e) Die Kostendifferenz zwischen Mobilo und Cybercall kann in Einzelfällen bis zu monatlich betragen. 8) (Fortsetzung von 7) a) Bestimme aus der Graphik die Gleichungen der linearen Kostenfunktionen für Mobilo und Cybercall! Wie hoch sind die gesprächsgebühren je Minute bei beiden Anbietern? b) Aus Kostengründen beschließt Mobilo, die Gesprächsgebühr je Minute um 1 Cent zu erhöhen. Was ändert sich dadurch in der Graphik? die Mobilo-Funktion wird steiler der Schnittpunkt verschiebt sich nach rechts die Funktionen schneiden einander nicht mehr die Mobilo-Funktion wird flacher 2

3 9) Die dargestellte Funktion hat die Gleichung: 10) Die Funktionsgleichung der dargestellten linearen Funktion lautet: f(x) = 2x + 1 f(x) = x + 1 f(x) = - x + 1 f(x) = -x -1 f(x) = -0,4x 2,5 f(x) = 0,25x 2,5 f(x) = -2,5x 2,5 f(x) = -x 2,5 11) Welcher der dargestellten Funktionsgraphen passt zur Funktion f(x) = 0,5x 1? A B C D 12) In welchem Punkt schneidet die Funktion f(x) = -4x + 3 die x-achse? x = 0,75 x = 0,7 x = -0,7 x = -0,75 13) Überprüfe die Richtigkeit der folgenden Aussagen über lineare Funktionen! Der Graph einer linearen Funktion ist stets eine Gerade. zutreffend nicht zutreffend Jede lineare Funktion schneidet die x-achse. Parallele Geraden haben stets dieselbe Steigung Eine lineare Funktion f(x)= k x + d, für die k>0 gilt, ist monoton steigend Verdoppelt man in einer linearen Funktionf(x) = k x + d den Wert für k, wird ihr Graph flacher Halbiert man in einer linearen Funktion f(x) = k x + d den Wert für d, erhält man eine zu f parallele Gerade 3

4 14) Die folgende Graphik veranschaulicht die Entwicklung der Preise für Strom, Gas und Heizöl in den Jahren Beantworte die folgenden Fragen anhand der Graphik! Gas war im Jahre 2006 der teuerste Energieträger Der Preis von Heizöl lag 2008 ständig über dem Index 100 Der Preis von Strom stieg in den letzten 5 Jahren um etwa ein Viertel Gegen Jahresende 2008 kam es zu einem dramatischen Preisverfall bei Heizöl Seit 2008 war Gas immer teurer als Strom zutreffend nicht zutreffend 15) Die folgende Graphik zeigt die Entwicklung der Arbeitslosenzahl in Österreich seit Beantworte die folgenden Fragen anhand der Graphik! Im Zeitraum war die Arbeitslosenzahl in Österreich durchwegs rückläufig Von 2006 auf 2007 war der Rückgang der Arbeitslosenzahl stärker als von 2005 auf 2006 Die größte Zunahme verzeichnete man im Zeitraum Der Rückgang der Arbeitslosenzahl verlangsamte sich von Die Arbeitslosenzahl ist im Zeitraum gestiegen zutreffend nicht zutreffend 4

5 16) Die nebenstehende Graphik zeigt ausgewählte Ergebnisse der PISA-Studie: a) Bewerte die folgenden Zeitungsschlagzeilen anhand der Graphik! Österreichs Lesekompetenz immer zutreffend unter dem OECD-Schnitt nicht zutreffend Finnlands Mathematik seit 2000 ständig im Aufschwung Österreich 2009 in allen Bereichen hinter Deutschland Nach einem Zwischenhoch im Bereich Naturwissenschaften fällt Österreich wieder zurück b) Verfasse einen Zeitungsartikel, der das Abschneiden Österreichs im Zeitraum dokumentiert! 17) In einem großen Hotel erfolgt die Warmwasserbereitung für Badezimmer elektrisch mittels Durchlauferhitzer. Pro Jahr entstehen Kosten für elektrische Energie. Die Umrüstung auf Fernwärme kostet einmalig Die anfallenden Energiekosten betragen dann nur noch pro Jahr. a) Veranschauliche die Kosten für beide Varianten in einer Tabelle! b) Stelle die Gleichungen der linearen Kostenfunktionen für beide Varianten auf und zeichne sie im Koordinatensystem! c) Wie lange dauert es, bis sich die Investition rentiert und wie hoch sind die Kosten zu diesem Zeitpunkt? 18) Holger hat gerade sein Medizinstudium mit Erfolg abgeschlossen und beteiligt sich an einem Mediziner Austauschprogramm. Er geht für 1 Jahr in die USA. Aus Washington kommt dafür George nach Deutschland. In Deutschland wird die Temperatur in Grad Celsius [ 0 C], in Amerika in Grad Fahrenheit [ 0 F] gemessen. Holger und George wissen aus dem Studium, das zwischen beiden Temperaturskalen ein linearer Zusammenhang besteht. Dabei entsprechen 0 0 C einer Temperatur von 32 0 F sowie C einer Temperatur von F. Holger und George interessieren sich für eine Funktionsgleichung, mit der sie Temperaturen schnell in die für sie jeweils vertraute Einheit umrechnen können. a) Stelle für Holger eine Funktionsgleichung auf, die die Umrechnung von 0 F in 0 C ermöglicht! b) Stelle für George eine Funktionsgleichung auf, die die Umrechnung von 0 C in 0 F ermöglicht! c) Die Temperatur in einem Wannenbad beträgt 95 0 F, wie viel 0 C wären das? d) Bei einer Körpertemperatur von 40 0 C sollten fiebersenkende Maßnahmen getroffen werden. Wieviel 0 F sind das? 19) Die Abbildung zeigt den Gesamtkosten einer linearen Kostenfunktion. a) Lies aus dem Graphen die Höhe der fixen Kosten und die variablen Stückkosten in ab! b) Wie hoch sind die Gesamtkosten K bei einer Produktion von x Stück? c) Zu welchem Preis muss man ein Stück verkaufen, wenn 175 Stück erzeugt werden und kein Verlust entstehen soll! 5

6 20) Eine Brauerei rechnet für die Auslieferung ihrer Getränkekisten mit dem eigenen Verkaufsfahrzeug 0,80 pro Kiste bei monatlichen Fixkosten von a) Bestimme die Gleichung der linearen Funktion, die die Kosten der Auslieferung beschreibt! Wie hoch sind die Kosten bei Auslieferung von 2500 Kisten? b) Ein Logistikunternehmen bietet die Auslieferung von Getränkekisten für 1,15 pro Kiste an. Bestimme die Gleichung der linearen Funktion, die die Kosten der Auslieferung durch das Logistikunternehmen beschreibt. Bei welcher Anzahl ausgelieferter Kisten ist das Logistikunternehmen kostengünstiger? c) Du bist Manager des Logistikunternehmens. Stelle für die Brauerei ein Angebot zusammen, sodass die Kosteneinsparung bei einem Absatz von 4000 Kisten 680 beträgt! 21) In einem volkswirtschaftlichen Modell sind die Konsumausgaben linear vom verfügbaren Einkommen abhängig. Bei einem Einkommen von betragen die Konsumausgaben Bei einem Einkommen von betragen sie a) Bestimme den Funktionsterm für die Konsumfunktion K! b) Berechne die Höhe der Konsumausgaben, wenn das Einkommen 800.-, bzw beträgt. c) Die Konsumquote ist der Anteil des Einkommens das für den Konsum aufgewendet wird. (Konsumquote = Konsum / Einkommen). Stelle die Konsumquote für die Einkommen aus b) in einer Tabelle dar! d) Wenn das Einkommen sinkt, sinkt die Konsumquote steigt die Konsumquote 22) Ein Internetanbieter unterbreitet einem Nutzer folgendes Angebot: 50 Stunden Internetnutzung bei Gesamtkosten von 27,50. Jede weitere Minute kostet 1 Cent. Erarbeiten Sie zwei Tarifmodelle, die dem Internetnutzer für 50 Stunden die gleichen Bedingungen einräumen. a) Tarif I ohne Grundgebühren! b) Tarif II mit 8 Grundgebühren! c) Welcher Tarif ist bei einer Nutzungsdauer von mehr als 50 Stunden der günstigste? 23) Der Schnellimbiss "MC- Pommes" benötigt für die Fritteusen täglich 19 kg frisches Fett. Momentan sind noch 250 kg im Lager vorhanden. a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die den Lagerbestand im Zeitverlauf angibt und zeichne den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem! b) Bei einem Lagerbestand von 95kg soll der Filialleiter nachbestellen. Nach wie viel Tagen muss die Bestellung erfolgen? c) Wie lange reicht das Fett, wenn nicht nachbestellt wird? 24) Holger und Ali haben die Vertragskonditionen für ihre Handys nie gelesen. Beide behaupten, sie hätten jeweils den günstigsten Vertrag und stützen sich dabei auf folgende Daten: Holger zahlt 10,10, wenn er im Monat 30 Minuten telefoniert und 13,70 bei einer Gesprächszeit von 60 Minuten. Ali zahlt 10,80, wenn er im Monat 40 Minuten telefoniert und 15,20 bei einer Gesprächszeit von 80 Minuten. a) Stelle für beide Verträge die Funktionsgleichungen der linearen Tariffunktionen auf! b) Zeichne die Graphen der beiden Tariffunktionen in ein geeignetes Koordinatensystem! c) Wer von beiden hat den günstigsten Vertrag? Begründe Deine Antwort! 25) Ein Tarifmodell eines Energieversorgers setzt sich aus einer monatlichen Grundgebühr G und den Verbrauchskosten p pro kwh zusammen. 6

7 a) Stelle für jeden Tarif die Gleichung der linearen Kostenfunktion auf und zeichne die dazugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem! b) Ermittle für den monatlichen Verbrauch von 800kWh einer Durchschnittsfamilie den günstigsten Anbieter! c) Welche Bedeutung haben die Schnittpunkte der Geraden im Koordinatensystem? 26) Der Funktionsgraph der lineare Funktion f(x) = 2x - 2 wird um 4 Einheiten in Richtung der positiven x- Achse verschoben. Die Funktionsgleichung g(x) der verschobenen Geraden lautet dann: f(x) = 2x + 10 f(x) = 2x + 5 f(x) = 2x 10 f(x) = 2x 5 27) In einer Klinik wird einem Patienten gleichmäßig aus einer Infusionsflasche eine Kochsalzlösung zugeführt. Nach einer halben Stunde sind noch 0,8 l in der Flasche, nach 2 Stunden sind es nur noch 0,2 l. a) Stelle die Gleichung einer Funktion auf, die das Volumen in der Infusionsflasche im zeitlichen Verlauf beschreibt und stelle sie in einem geeigneten Koordinatensystem dar! b) Wie viel Liter befanden sich zu Beginn der Infusion in der Flasche? c) Wann war die Infusionsflasche leer? d) Aufgrund medizinischer Gründe wird nach einer Stunde die Zuflussgeschwindigkeit halbiert. Wie ändert sich dadurch die Funktionsgleichung? Wie lange dauert jetzt die gesamte Infusion? 28) Ordne den gegebenen Funktionsgleichungen die entsprechenden Funktionsgraphen zu! a) f 1 (x) = 2x 3 b) f 2 (x) = 3 c) f 3 (x) = -x + 12 d) f 4 (x) = -x + 3 e) f 5 (x) = x 12 f) f 6 (x) = 1 / 2 x 4 29) Bei einem Biobauern kauft man 1 kg Kartoffeln um 0,38. Für die Fahrtkosten hin und zurück müssen allerdings noch 7,40 veranschlagt werden. a) Stelle eine Formel für die Kosten K(x) auf, die sich aus den Fahrtkosten und dem Preis für x kg Kartoffeln ergeben! b) Kauft man 1 kg derselben Kartoffelsorte im Geschäft, so bezahlt man pro kg 0,46. Wie viel kg Kartoffeln muss man mindestens kaufen, damit sich die Fahrt zum Biobauern lohnt? c) Bei welcher Menge Kartoffeln ist der Preisunterschied zwischen Geschäft und Biobauern größer als 25.-? 7

8 30) Stefan verlässt um 8 Uhr Krems und marschiert mit konstanter Geschwindigkeit von 6km/h nach dem 29km entfernten Spitz. Gleichzeitig macht sich Edith von Spitz auf den Weg nach Krems, wobei ihre konstante Geschwindigkeit 3km/h ist. Löse grafisch, zu welchem Zeitpunkt sie einander begegnen. 31) Die nebenstehende Graphik zeigt den Flug eines Heißluftballons am Strand von Barbados. a) Beschreibe den Flug des Ballons! b) Stelle für die einzelnen Flugphasen die Gleichungen der enstsprechenden linearen Funktionen h 1 (t), h 2 (t), h 3 (t) auf. Gib den jeweiligen Gültigkeitsbereich in Intervallen an! c) Wann befindet sich der Ballon in einer Höhe von 450m (750m)? d) Mit welcher Funktionsgleichung h(t) könnte man den Ballonflug beschreiben, wenn man annimmt, dass der Ballon während des gesamten Zeitraums gleichmäßig aufgestiegen ist? 32) Bestimme die Gleichungen der in der Graphik dargestellten linearen Funktionen! 33) Um 6 Uhr startet ein Interregio von Aachen nach Hagen. Gleichzeitig startet in Hagen ein Güterzug nach Aachen. Zu welcher Zeit und in welcher Entfernung von Hagen begegnen sich die Züge, wenn die mittleren Geschwindigkeiten 100km/h (Interregio) und 75km/h (Güterzug) betragen? 34) a) Gib an, welche unterschiedlichen Steigungen der Fahrradfahrer auf seiner Etappe zu überwinden hat! b) Bestimme die Gleichungen der einzelnen Etappen! 8

9 35) Beim Verkauf von Netbooks wird folgende Nachfrage der Kundinnen/Kunden wird beobachtet: Bei einem Preis von 300,- beträgt die Nachfrage Stück. Bei jeder Preiserhöhung um 50,- werden um 1000 Stück weniger Netbooks nachgefragt. Gehe davon aus, dass sich die Nachfrage bei jeder Preiserhöhung um 50,- um weitere 1000 Stück reduziert. a) Wie könnte die Nachfrage bei einem Preis von 250,- aussehen? b) Lege eine Tabelle an, die die Nachfrage bei einem Preis von 100 bis 700 in 50 - Schritten wiedergibt! c) Stelle diese Nachfragesituation in einem Koordinatensystem grafisch dar! d) Finde die Gleichung der linearen Nachfragefunktion, die diese Nachfragesituation beschreibt! 36) Eine Gruppe von Studentinnen hat eine Verkaufsidee. Sie bieten individuell zusammengestellte Müslimischungen an. Umfragen in ihrem Umfeld lassen erwarten, dass sie bei einem Preis von 4 etwa 1000 Packungen pro Monat verkaufen können. Bei einem Preis von 5 beträgt die Nachfrage nur 750 Packungen. Nimm an, dass zwischen Preis und Nachfrage ein linearer Zusammenhang besteht. a) Um wie viel Packungen nimmt die Nachfrage ab, wenn sich der Preis um 1 erhöht? b) Lege eine Tabelle für p = 1; 2; 3; 6 an. c) Stelle den Zusammenhang zwischen Preis und nachgefragter Menge in einem Koordinatensystem dar. d) Ermittle die Funktionsgleichung der Nachfragefunktion n(p) und gib eine sinnvolle Definitionsmenge und eine geeignete Zielmenge an. e) Bestimme rechnerisch Höchstpreis und Sättigungsmenge und kennzeichne die Werte in der grafischen Darstellung. 9

10 Teil 2 Quadratische Gleichungen quadratische Funktionen 37) Welcher Funktionsterm gehört nicht zu einem der abgebildeten Funktionsgraphen? f 1 (x) = x 2-5 f 2 (x) = (x + 2) 2 3 f 3 (x) = x f 4 (x) = x 2 6x + 7 f 5 (x) = x f 6 (x) = (x - 3) 2-2 f 7 (x) = x 2 + 4x ) Es sind Funktionsgleichungen und Graphen quadratischer Funktionen gegeben. Welcher Graph gehört zu welcher Funktionsgleichung? a) f 1 (x) = (x 1) 2 + 2,5 b) f 2 (x) = - 0,5x c) f 3 (x) = -2 (x - 3) 2-1 d) f 4 (x) = 0,5 (x + 3) 2 [Lösung: a) lila b) blau c) grün d) rot] 39) Fortsetzung: Bestimme für alle Funktionen des Beispiels 30 die Monotoniebereiche! 40) Eine Gleichung der Form x 2 = c mit c R hat zutreffend nicht zutreffend keine reelle Lösung für c<0 keine reelle Lösung für c=0 2 verschiedene Lösungen für c>0 eine Lösung für c 0 mindestens eine reelle Lösung nie die Lösung 0 10

11 41) In einem Formelheft ist die Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0 in folgender Form angegeben: x b 2a 2 b 4a 1,2 2 c a x 1,2 b 2 b 4ac. In Sabrinas Heft steht hingegen: 2a. Stefan findet in einem Mathebuch folgende Zeile: 2 b c b x 1,2. 2a a 2a Worin liegen die Unterschiede dieser Formeln? Erkläre und begründe! 42) Gib alle Werte für c an, sodass die folgenden Gleichungen die vorgegebene Lösungsmenge haben! Gleichung 2 reelle Lösungen 1 reelle Doppellösung keine reelle Lösung x 2 4x + c = 0 x 2 + 2x + c = 0 2x 2 + c x = 0 x 2 c = 0 x 2 + c x + 1 = 0 Lösung: (zuerst selber probieren, dann spionieren!!) Gleichung 2 reelle Lösungen 1 reelle Doppellösung keine reelle Lösung x 2 4x + c = 0 c < 4 c = 4 c > 4 x 2 + 2x + c = 0 c < 1 c = 1 c > 1 2x 2 + c x = 0 c 0 c = 0 nie x 2 c = 0 c > 0 c = 0 c < 0 x 2 + c x + 1 = 0 c < -2 oder c > 2 c = ± 2-2 < c < 2 11