( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) Lösung: Der Strom fließt im Draht nach oben, also im Gegenuhrzeigersinn. Maschenregel: UR Uind

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1 . Auf zwei paallelen Schienen im Abstand d 5, cm gleite ein senkecht dazu velaufende Daht ( m 5g) eibungsfei. Die Schienen seien am linken Ende übe einen Ohmschen Widestand Ω vebunden. (De Widestand in den Schienen und im Daht ist zu venachlässigen). Senkecht dazu (in die Zeichenebene hinein) stehe ein Magnetfeld de Stäke B, T. De Daht uhe am Anfang am linken Ende de Schienen ( x m ). a) De Daht wede zum Zeitpunkt t s angestoßen und bewege sich anfangs mit de Geschwindigkeit v( ) v,ms nach echts. In welche ichtung fließt de entstehende Induktionsstom und wie goß ist e am Anfang? Stellen Sie die Bewegungsgleichung fü den Daht auf und lösen Sie sie. In welchem Abstand hält de Daht an? b) Zusätzlich zum Widestand wede nun noch eine Gleichspannungsquelle geschaltet (,V ). De Daht uhe wiede am linken Ende de Schienen. Wie muss diese gepolt sein, damit de Daht sich nach echts bewegt? Stellen Sie auch fü diesen Fall die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie sie. Welche Endgeschwindigkeit eeicht de Daht? a) echte-hand-egel: De Stom fließt im Daht nach oben, also im Gegenuhzeigesinn Maschenegel: ind I t + Φ ɺ t I t + Bdv t ( ) ( ) ( ) ( ) Bd I( t) v( t) Daaus folgt fü den Stom am Anfang: Bd I v ma (B negativ, da gegen z-ichtung) F BdI t mvɺ t Loentzkaft: ( ) ( ) L m v t v exp λ t Diffeentialgleichung: vɺ ( t) v( t) Anfangsbedingung: v( s) v Ansatz: ( ) [ ] λv exp[ λ t] v exp[ λ t] λ,8s m m I t ma exp, 8s t Egebnis: Stomstäke ( ) ( ) t m B ( ) d m B d x t v τ dτ v exp t v xe exp t m + m m x ( t) 5m ( exp, 8s t ) xe v 5m De Daht bleibt also nach 5m stehen. - -

2 b) Die Kaft soll nach echts zeigen, also muss de Stom in dem Daht nach unten fließen, d.h. Pluspol oben, Minuspol unten. Maschenegel: ind I( t) + Φ ɺ ( t) I( t) + Bdv( t) Loentzkaft: F BdI( t) mvɺ ( t) Zusammen: ɺ ( ) ( ) Patikuläe ( ) Homogene ( ) Anfangsbedingung: v( ) L Bd v t + v t m m vp t 5ms Bd vh t Cexp t m v t v t + v t ( ) ( ) ( ) p C h Bd Zusammen: v( t) 5ms ( exp, 8s t ) De Daht eeicht also eine Endgeschwindigkeit von die Induktionsspannung genauso goß wie, d.h. es fließt kein Stom. t m m x ( t) v( τ) dτ ve t + exp t v m ve e ( ) + ( ) x t 5ms t 6,5m exp, 8s t 5ms. In diesem Zustand ist. Eine quadatische Leiteschleife (Kantenlänge a, Masse m, Widestand ) falle senkecht duch ein homogenes Magnetfeld B. Zum Zeitpunkt t s tete die Leiteschleife aus de uhe in das Magnetfeld ein. Stellen Sie die Bewegungsgleichung de Leiteschleife beim Einteten auf und lösen Sie sie. Wie bewegt sich die Leiteschleife weite, sobald sie sich vollständig im Magnetfeld befindet? Maschenegel: ind I( t) + Bdv( t) Gesamtkaft: mg + BdI( t) mvɺ ( t) v t + v t g m Zusammen: ɺ ( ) ( ) - -

3 Analog zu b): ( ) gm v t exp t m gm g m x ( t) t + exp t m. Beechnen Sie die Induktivitäten von a) einem Koaxialkabel mit Innenadius i, cm, Außenadius a 5, cm, Länge l 5,m b) eine ingfömigen Spule mit quadatischem Queschnitt de Kantenlänge a 5,cm, einem Mitteladius a) cm, N 5 Windungen und einem Eisenken,. Ampeesches Gesetz: Keisintegal übe Innenleite π B ( ) I B( ) I π Fluss duch Queschnittsfläche zwischen Innen- und Außenleite: a i a I d I a Φ l B( ) d l l ln π π a Induktionsspannung: ind Φ ɺ l ln Iɺ π b) i a 6 L l ln,6 H π i Ampeesches Gesetz: Keisintegal duch die Spule π B ( ) N I B( ) NI π + a/ + a/ d + a / Fluss: Φ a B( ) d a NI a NI ln π π a / a / a/ a / Induktionsspannung: ɺ + ɺ π a / + a / L a N ln,h π a / ind NΦ a N ln I i i - -

4 . Vie Widestände Z, Z, Z, Z weden an die vie Kanten eines Quadates gesetzt. An zwei gegenübeliegende Ecken wid eine Wechselspannung angelegt, die andeen beiden Ecken weden übe ein Stommessgeät mit Innenwidestand G vebunden (Wheatstonesche Bückenschaltung). Beechnen Sie die Stomstäke, die von dem Geät gemessen wid. Welche Bedingung müssen die vie Widestände efüllen, damit kein Stom duch die Bücke fließt? Wozu lässt sich diese Schaltung vewenden? Man hat Knoten, 6 Vebindungen, also unabhängige Vaiable fü die Stomstäken. Wähle folgende dei ingstöme (alle dei im hzeigesinn): J : Stom von de Spannungsquelle übe Z und Z J : Stom von de Spannungsquelle übe Z und Z J : ingstom duch das Geät, Z und Z Alle Einzelstomstäken lassen sich duch diese dei ingstöme ausdücken: I J I J + J I J I J J IG J Nun wende man die Maschenegel deimal an: Z J + Z J + J ( I. ) ( ) ( II. ) ZJ + Z ( J J ) ( III. ) ( ) ( ) J + Z J + J + Z J J G Ode in Matixscheibweise: Z + Z Z J Z + Z Z J Z Z G + Z + Z J Z Z Z + Z Z + Z Duch mfomung ( III. ) ( I. ) + ( II. ) ehält man eine Gleichung fü J - -

5 Z Z Z Z G + Z + Z J Z + Z Z + Z Z + Z Z + Z ZZ ZZ J Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z + Z ( )( )( ) ( ) ( ) G Z Z Die Bedingung J IG ist genau dann efüllt, wenn. Z Z Die Wheatstonesche Bückenschaltung lässt sich zu genauen Messung eines Widestandes nutzen, indem man einen unbekannten, zwei bekannte und einen egelbaen Widestand einsetzt. Man ändet den egelbaen Widestand so lange, bis in de Bücke kein Stom meh fließt und kann dann den unbekannten Widestand aus den andeen beechnen. 5. Betachten Sie folgende vie Schaltungen. Die Eingangsspannung liegt übe eine eihenschaltung von einem ohmschen Widestand mit einem Kondensato, bzw. mit eine Spule. Die Ausgangsspannung wid entwede übe dem ohmschen Widestand ode übe dem Kondensato, bzw. übe de Spule gemessen. Betachten sie den Betag des Vehältnisses von Ausgangs- zu Eingangsspannung in Abhängigkeit von de Fequenz. Welche diese Schaltungen eignet sich als Hochpass (hohe Fequenzen weden duchgelassen) und welche als Tiefpass (niedige Fequenzen weden duchgelassen). Mit Kondensato: Gesamtwidestand: Z g + iωc Spannung übe dem Kondensato: aus ein + ω C Z C aus ein ein ZC + + iωc Fü ω ist aus ein, fü ω ist aus, also Tiefpass. Spannung übe dem Ohmschen Widestand: aus ein ein Z C + + iωc aus ein + ω C Fü ω ist aus, fü ω ist aus ein, also Hochpass

6 Mit Spule: Gesamtwidestand: Zg iω L + iωl Spannung übe de Spule: aus ein ein iω L + + iωl aus ein + ω L Fü ω ist aus, fü ω ist aus ein, also Hochpass. Spannung übe dem Ohmschen Widestand: aus ein ein Z L L + ω + i aus ein ω L + Fü ω ist aus ein, fü ω ist aus, also Tiefpass. 6. Ein geladene Kondensato mit keisfömigen Platten (Ladung Q, Plattenadius, P Plattenabstand d) wede übe einen Ohmschen Widestand entladen. a) Beechnen Sie die Stomstäke im Stomkeis b) Beechnen Sie das elektische Feld im Kondensato, die Veschiebungsstomstäke, und das daduch ezeugte magnetische Feld. c) Beechnen Sie den Betag des Poynting-Vektos. In welche ichtung zeigt e? Zeigen Sie, dass de Fluss des Poynting-Vektos aus dem Kondensato heaus gleich de elektischen Leistung im Ohmschen Widestand ist. (De aum außehalb des Kondensatos soll als feldfei angenommen weden) A p π a) Kapazität: C ε ε d d Q( t) Diffeentialgleichung: Q( t) C + ɺ Qɺ t C t Q( t) Q exp C Q t I( t) Qɺ ( t) exp C C ( ) Q( t) - 6 -

7 ( ) ( ) C t Q t Q t b) elektische Feldstäke: E( t) exp d Cd Cd C Veschiebungsstomstäke: εa Q t Q t Iv ( t) ε AE ɺ exp exp I ( t) d C C C C Iv Iv Veschiebungsstomdichte: j v A π P m das Magnetfeld zu beechnen, integiee man entlang eine Keislinie um die Mittelpunktsachse des Kondensatos: Q t π B( ) jv π B(, t) jv ( t) exp CA C E ( t) B(, t) Q t c) Poynting-Vekto: S(, t) exp C Ad C Sei die linke Platte positiv geladen. Dann zeigt E nach echts. Da B negatives Vozeichen hat, läuft es im mathematisch negativen Sinn um E, d.h. wenn man in ichtung von E schaut im Gegenuhzeigesinn. Das Keuzpodukt von E und B und damit die ichtung von S zeigt also von de Kondensatoachse weg. Es fließt also Enegie aus dem Kondensato hinaus, und zwa nicht duch die Kondensatoplatten, sonden duch die Mantelfläche. Q t Diese Fluss betägt: S( P, t) Pπ d exp C C Q t Die Leistung im Ohmschen Widestand betägt: P( t) I ( t) exp C C Die Enegie, die dem elektischen und magnetischen Feld also duch das Entladen des Kondensatos veloen geht, wid im Ohmschen Widestand in Wäme umgesetzt. 7. Betachten Sie einen mit dem Ohmschen Widestand belasteten Tansfomato, bei dem de Ohmsche Widestand in den Spulen nicht venachlässigt weden kann. Die beiden Spulen haben gleiche Queschnittsfläche und gleiche Länge. Wie sieht nun das Vehältnis de Spannungen aus? Man ehält analog zu echnung im Skipt folgendes Gleichungssystem: iωl iω LI + iω LI + I I I iω L + iω L + ( ) iω L I + iω L I + + I iωl ω L L + ω + + iω L + iω L + i L I - 7 -

8 Duch weitees mfomen gelangt man zu folgendem Egebnis: iωl I i ω L + + i ω L + I ( )( ) iωl i L L ( + ) + ω ( + ( + )) I l ( + ) N N + ( + ) i N N ω ANN Fü hohe Fequenzen: ( + ) N l + ( + ) + ω N N N AN N N N N + + N 8. (Aus de Semestale SS7) Gegeben sei folgende Schaltung: a) Geben Sie fü das unten gezeigte Widestandsnetzwek die Ausgangsspannung V als Funktion von den Eingangsspannungen V, V, V und an. b) Nehmen Sie dann an, dass V, V, V jeweils entwede die Spannung ode V (gegenübe dem Edpotential) annehmen können. Beechnen Sie die Ausgangsspannung fü jede de 8 Kombinationen. c) Wozu könnte dieses Netzwek dienen? - 8 -

9 a) mal Maschenegel: V V j + j j + j j ( I. ) ( ) ( ) ( II. ) V V ( j j ) + ( j j ) + ( j j ) ( III. ) V ( j j ) + ( j j ) ( IV. ) j + ( j j ) + ( j j ) + ( j j ) In Matixscheibweise: 5 j V V 5 j V V j V 6 j Zum Lösen wende man den Gauß-Algoithmus an, wobei man aufhöen kann, wenn j bestimmt ist. ( II. ) 5( II. ) + ( I. ) ( I. ) ( I. ).Schitt: IV. 5 IV. + I. III. III. Egebnis:.Schitt: Egebnis:.Schitt: Egebnis: j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 j V V 7 j V + V 5V j V 7 9 j V V ( III. ) ( III. ) + ( II. ) ( IV. ) ( IV. ) + ( II. ) ( I. ) ( I. ) ( II. ) ( II. ) 5 j V V 7 j V V 5V j V + 6V + V 8 j 5V 5V ( III. ) ( III. ) ( IV. ), 6( IV. ) + ( III. ) ( I. ) ( I. ) ( II. ) ( II. ) 5 j V V 7 j V V 5V j V + 6V + V 7 j V + 6V + V V V V 6 V V V V j

10 b) ( ) V V, V,V V V V ( ) V (,,) V (,, ) V (,,) V,, 5 6 ( ) V (,,) V (,, ) V (,, ) V,, 7 c) Vesteht man das Tipel ( V, V, V ) als Binäzahl, so ist das Egebnis jeweils popotional zu diese Zahl. Diese Schaltung kann also zu mwandlung eines digitalen Signals in ein analoges dienen. 9. An eine sinusfömige Eingangsspannung weden in Seie ein Schwingkeis (Kapazität C, Induktivität L, Ohmsche Widestand venachlässigba) und ein Ohmsche Widestand angeschlossen, übe dem dann das Ausgangssignal gemessen wid. Beechnen Sie das Vehältnis von Eingangs- zu Ausgangsamplitude in Abhängigkeit von de Fequenz ω. Wozu könnte diese Schaltung dienen? Was wäe, wenn man das Ausgangssignal übe dem Schwingkeis abgeifen wüde? aus ein Zges + iω C + iωl aus iωl iωl ein + + ω LC ω LC aus ein ω L + ( ω ) LC ( ) Fü ω und fü ω ist aus ein. Fü ω ist aus. Diese Schaltung LC kann man also vewenden um eine bestimmte Fequenz aus einem Signal zu entfenen. Wüde man das Ausgangssignal übe dem Schwingkeis abgeifen, so ehielte man: aus ein + ωc ωl Diese Anodnung hätte genau das umgekehte Vehalten und wüde nu eine bestimmte Fequenz des Eingangssignals duchlassen. - -

11 . Betachten Sie eine tousfömige Spule mit N Windungen. Senkecht duch deen Mittelpunkt velaufe ein geade, stomfühende Daht. De Queschnitt de Spule sei quadatisch, wobei eine Diagonale paallel, die andee senkecht zum Daht veläuft. De Abstand vom Daht zum Mittelpunkt dieses Quadats sei, de Abstand vom Mittelpunkt zu den Ecken sei d. Beechnen Sie die Spannung an den Enden de Spule, die duch den Stom I im Daht induziet wid. Magnetfeld des Dahtes: ( ) I Fluss duch die Spule: ( ) Induziete Spannung: B π + d z I Φ B da π d ( ) d + + Φ + + d I d d d d π d ( ( ) ( ) ) + d d ln d ln d I Φ π I d ( d ) ln ( d ) ln + d Φ d π d I + d d Φ d ln + ln π d N + d d ind NΦ ɺ d ln + ln ɺ I π d. Ein Hohlzylinde sei koaxial innehalb eine Spule de Länge l mit N Windungen I t I sin ω t. De platziet. Duch die Spule fließe ein sinusfömige Wechselstom ( ) Sp Zylinde habe die Höhe h, den adius und die Wanddicke d, wobei d gelten soll. Das Zylindemateial habe die elektische Leitfähigkeit σ und die magnetische Pemeabilität. Beechnen Sie mit Hilfe de. Maxwellgleichung und des mikoskopischen Ohmschen Gesetzes die Stomdichte, und daaus die Stomstäke im Zylinde. Welchen Ohmschen Widestand hat de Zylinde? Beechnen Sie nun die im Zylinde induziete Leistung. (Venachlässigen Sie bei de echnung ückkopplungs- ode Selbstinduktionseffekte). N SP l Sp. Maxwell Gleichung: Ed BdA Mikoskopisches Ohmsches Gesetz: j σ E Magnetfeld de Spule: H ( t) I ( t) el el - -

12 ( ) j t N N π ɺI t d π + ɺ I t πd Stomdichte im Zylinde: ( ) ( )( ) ( ) Z Sp σel l l Stomstäke im Zylinde: ( ) ( ) Widestand: Leistung: ( ) ( ) Mittlee Leistung: ( ( ) ) + d N jz t σeliωcos ω t l Sp ( ( ) ) + d N IZ t jz t hd hdσeliωcos ω t l π Z σ hd el ( ( ) ) + d N π PZ t ZIZ t hdσ eliω cos ω t l ( ( ) ) + d N π P hd I l Z σ el. Betachten Sie zwei kapazitiv gekoppelte, identische, ungedämpfte Schwingkeise. Beechnen Sie die Eigenfequenzen dieses Systems und vegleichen Sie sie mit de Fequenz eines einzelnen Schwingkeises. Gleichungen: Koeffizientendeteminante: iω L + I + I iωc K iωck I + iω L + I iωc iωc ωl ωc ω CK ω ω + LC L C L C ω LC L C L C C ω ± CK ± C C ω ± ±ω ± LCCK CK Wenn C zu goß ist, wid ein ω imaginä, was einem exponentiellen Abfall entspicht. Die allgemeine Lösung egibt sich aus Supeposition de beiden Eigenschwingungen. K K K - -