Skript zur Verwendung von Übungszwecken. Aufgabensammlung zum Propädeutikum Mathematik. WiSe 2018/19
|
|
- Martha Schuster
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Skript zur Verwendung von Übungszwecken Aufgabensammlung zum Propädeutikum Mathematik für die Studiengänge Maschinenbau (-MB), Ingenieurwissenschaften (-IngWiss), Wirtschaftsingenieurwesen (-WiIng) und Augenoptik/Optische Gerätetechnik (-AOG) WiSe 08/9 Josef Esser, Dr. rer. nat. Technische Hochschule Brandenburg Fachbereich Technik
2 Elementare algebraische Umformungen Aufgabe : Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke ohne Benutzung des Taschenrechners % von 5, 00 Aufgabe : Stellen Sie 7 8 als Dezimalzahl dar. Stellen Sie 0, 8 als Bruch dar. Aufgabe 3: Bringen Sie die folgenden Ausdrücke auf den Hauptnenner. x a x + a 3 x b + b x b x Aufgabe 4: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. a 3b a b + b a + a b 5a + b b a 3a + 3b a b c) 3 ab c a b 3 c 5 6 a3 bc d) (a 3 (b Aufgabe 5: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. (a, b 0) a 6 a 3 + b 0 4 b a a a Aufgabe 6: Geben Sie die folgenden Winkel im Bogenmaß bzw. Gradmaß an π
3 Arbeitsblatt: Rechnen mit Brüchen Die Gleichung 4x 7 hat in der Menge der ganzen Zahlen Z {..., 3,,, 0,,, 3,...} keine Lösung. Daher erweitert man die Menge der ganzen Zahlen Z um ihre inversen Elemente der Multiplikation zur Menge der rationalen Zahlen. Q { m n m Z, n N, n 0} Zu jedem n Z \ {0} führt man den Kehrwert n n mit der Eigenschaft n n n n ein. Sprich das inverse Element der Multiplikation. Die Lösung der Gleichung 4x 7 ist nun x 7 4. In der Menge der rationalen Zahlen ist jede Divisionsaufgabe mit Ausnahme der Division durch 0 lösbar. Einige Regeln für das Rechnen in der Menge der rationalen Zahlen Q sind. Das neutrale Element bzgl. der Addition ist die Zahl 0 mit a a a für alle a N. (Nullelement). Das neutrale Element bzgl. der Multiplikation ist die Zahl mit a a a für alle a Q. (Einselement) 3. Für diese Rechenoperationen gelten jeweils das Kommutativ- und das Assoziativgesetz sowie das Distributivgesetz: a + b b + a und a + (b + c) (a + + c a b b a und a (b c) (a c a (b + c) a b + a c Beispiel: Wir bringen unter Verwendung des Einselements und des Distributivgesetzes zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. a b + c d a b d d + c d b b bd (ad + c ad + cb bd Beispiel: Wir verwandeln x 0, in einen gewöhnlichen Bruch. 00 x, x 0, 99 x x
4 3 Arbeitsblatt: Rechnen mit Potenzen Die Potenz a n ist gegeben durch die Basis a und durch den Exponenten n. Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten (Hochzahlen) addiert und die Basis beibehält. Beispiel a m a n a m+n Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten (Hochzahlen) subtrahiert und die Basis beibehält. Beispiel a m a n am n Sinnvolle Festlegungen sind a 0, a a und a n a n mit a 0. Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert, indem man das Produkt bzw den Quotienten der Basen bildet und mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. Beispiel a n b n (a n ( 3) 3 6 a n b n (a b )n b (6 3 )5 5 3 Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Beispiel (a n ) m a m n (3 ) Die Potenzgesetze gelten auch für Exponenten (Hochzahlen) aus der Menge Q. n a m a m n a 0
5 4 Elementare algebraische Umformungen Aufgabe 7: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke zu einem gewöhnlichen Bruch c) 0, 345 Aufgabe 8: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmenregeln. ln ln 4 ln(e 3 x ) c) lg 0 d) ln b a ln a b Aufgabe 9: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. +sin x sin x cos x ( sin x) ( + sin x)( cos x) ( sin x) + (x + ) x x + x + c) a + 8 a 4 a + a + a a +
6 5 Abkürzende Schreibweisen Aufgabe 0: Berechnen Sie. 4 k k 0 k k c) 6 k k d) 6! Aufgabe : Überprüfen Sie die folgenden Aussagen für n,, 3, 4. n k k n(n + ) n k k 6 n(n + )(n + ) Aufgabe : Schreiben Sie unter Benutzung des Summenzeichens folgende Summen um (n )
7 6 Arbeitsblatt: Rechnen mit Logarithmen Was ist ein Logarithmus? am Beispiel der Gleichungen n 8 0 n (Gedankenexperiment: Falten eines DIN A4-Blattes in der Übung.) Die Logarithmusdefinition: Die Potenz a n b lässt sich umstellen zu n log a b mit a, a, b > 0 sprich n ist der Logarithmus von b zur Basis a. Also: Der Logarithmus einer Zahl b zur Basis a ist die Zahl n, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Der Logarithmus eines Produkts x y zur Basis a erhält man, indem die einzelnen Logarithmen addiert werden und die Basis beibehalten wird a, a, x, y > 0. log a (x y) log a x + log a y Der Logarithmus eines Quotienten x y zur Basis a erhält man, indem die einzelnen Logarithmen subtrahiert werden und die Basis beibehalten wird a, a, x, y > 0. log a ( x y ) log a x log a y Der Logarithmus einer Potenz x y zur Basis a erhält man, indem der Logarithmus mit dem Exponenten multipliziert und die Basis beibehalten wird a, a, x, y > 0. log a (x y ) y log a x Insbesondere sind log a a log a 0 log 0 x lg x dekadischer Logarithmus zur Basis 0 log e x ln x natürlicher Logarithmus zur Basis e, 788
8 7 Elementare algebraische Umformungen Aufgabe 3: Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke ohne Benutzung des Taschenrechners c) d) 0, 39 Aufgabe 4: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. (5 ) ( 3 ) 4 ( 7 ) 3 ln ln 3 ln 4 Aufgabe 5: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. x (x+) (x + ) x (x + ) c) +y y y +y +y y + y +y x y (x y)x + x y (x + y)x Abkürzende Schreibweisen Aufgabe 6: Berechnen Sie die folgenden Summen. 8 + ( ) k k0 c) 9 ( k + k + ) k0 n ( k + k + ) k0
9 8 Aufgabe 7: Schreiben Sie unter Benutzung des Summenzeichens folgende Summen um n n Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 8: Lösen Sie nach x auf und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. 0x + 6x + 6 6x 4 x + x a + b c) 0, mm x 3, 5 m Elementare algebraische Umformungen Aufgabe 9: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmenregeln. log a (x + ) + log a (x + ) log a (x ) ln(a ab + b ) + ln(a + Aufgabe 0: Machen Sie bei den folgenden Ausdrücken den Nenner rational. 4 3 c) + 3 a 3 + a d) 6 5 3
10 9 Abkürzende Schreibweisen Aufgabe : Überprüfen Sie die folgenden Aussagen für n,, 3, 4. n k k(k + ) n + Aufgabe : Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten. ( ) 7 für k 0,,..., 7 k c) d) e) f) ( ) ( ) n 0 ( ) n n ( ) n ( ) n n Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 3: Lösen Sie nach x auf und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. x + 5x x x c) ln x ln 4 d) x+ 0, 5 3
11 0 Aufgabe 4: Lösen Sie die folgenden Gleichungen und überprüfen Sie jeweils ihr Ergebnis mithilfe des Wurzelsatzes von Vieta. x + 3x 8 0 6x + 0x + 0 c) a x (a x)(b x) d) 5x + 0x 0 e) x 4x Abkürzende Schreibweisen Aufgabe 5: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. xn+ (n + )! x n n! 3 (n+) ((n+))! 3 n (n)! Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 6: Lösen Sie nach x auf und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. 35x+5 4 8x x c) ax+ ax a+b a b
12 Aufgabe 7: Worin besteht der Fehler? Überlegen Sie, welche Umformungen gemacht wurden. x + 9 x 30 3 x 7 3 x <> x + 30 x 7 x 30 3 x <> x 30 7 x x 30 3 x <> 7 x 3 x <> 7 x 3 x <> 7 3 Aufgabe 8: Ein Onkel ist 40 Jahre alt und sein Neffe ist 5 Jahre alt. In wie viel Jahren ist der Onkel doppelt so alt wie sein Neffe? Elementare Umformungen und Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen Aufgabe 9: Skizzieren Sie das rechtwinklige Dreieck (γ 90 0 ) mit den Seiten a 3 cm und b 4 cm. Bestimmen Sie die folgenden Größen: den Winkel α den Winkel β c) die Seitenlänge c d) sin α + cos α Aufgabe 30: Skizzieren Sie das rechtwinklige Dreieck (γ 90 0 ) mit den Seiten c und dem Winkel β 30 0 in einem Einheitskreis dargestellt in einem x, y Diagramm. Bestimmen Sie die folgenden Größen: cos β sin β c) tan β d) a + b
13 Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 3: Lösen Sie nach den angegebenen Größen auf. nu I n, R a nr i + R a u v (m m ) + m v m + m m, v c) J n i m i r i m, m n d) R R + R R, R Aufgabe 3: Eine Strecke der Länge l soll so in zwei Teile (der Längen x und l x) geteilt werden, dass sich die Länge der Gesamtstrecke zur Länge des größeren Teils x genauso verhält wie x zur Länge des kleineren Teiles l x. Wie ist x zu wählen und welchen Wert hat dann das Verhältnis l x? Aufgabe 33: Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. 4 + lg 3 x 7 lg 3 x ex e x y c) ex e x e x + e x y Ungleichungen Aufgabe 34: Lösen Sie die folgenden Ungleichungen und skizzieren Sie die Lösungsmenge. x + < x 3 3x + 3 < 5 x und x + > 0 c) x 3 d) y + 3 < 6x + 5
14 3 Vermischte Aufgaben Aufgabe 35: Wie lautet die Gleichung des Kreises mit den folgenden Eigenschaften? Der Kreis geht durch den Punkt P ( ) und hat den Mittelpunkt M( 3). Beschreiben Sie den Kreis aus mithilfe von trigonometrischen Funktionen. Aufgabe 36: Ein Drachen wird an einer Schnur von 00 m Länge unter einem Winkel von 60 0 zur Horizontalen gehalten. Wie hoch steht der Drachen? Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 37: Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. 4x + 3 x 3 x c) x + 4 x + Aufgabe 38: Worin besteht der Unterschied zwischen den gegebenen Gleichungen? x 5 + x und x(x 5) ( + x)x x x und (x )(x + 4) (0 x)(x ) c) x + 6 x und x + 6 x + x x + Aufgabe 39: Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. lg x lg 4 log a x log a 4 c) lg x 6 lg x 3 + 6
15 4 Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Aufgabe 40: Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme und interpretieren Sie die Gleichungen grafisch. x + y 3 3x y x 7 3y 5 x + y 7 x + y Aufgabe 4: Vor zwei Jahren war ein Vater dreimal so alt wie sein Sohn. In 5 Jahren wird er nur noch doppelt so alt sein. Wie alt sind zur Zeit Vater und Sohn? Vermischte Aufgaben Aufgabe 4: Um den Äquator der Erde (Erde ist als Kugel idealisiert) wird ein Reifen, der m zu lang ist, gelegt. Wie weit steht der Reifen ab? Noch ein ähnliches Problem: Ein Reifrock der Prinzessin vergrößert ihren Hüftumfang um m. Wie weit steht der Reifrock von der Hüfte ab? Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 43: Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie den Gültigkeitsbereich an. 3 x x x x c) + x x 3 Ungleichungen Aufgabe 44: Lösen Sie die folgenden Ungleichungen und skizzieren Sie die Lösungsmenge. x + 3 < 3x 4 x x + > c) 5 x + 3 y 5 3 x 5 y + 5
16 5 Vermischte Aufgaben Aufgabe 45: Wie lauten die Gleichungen von Kreisen mit den folgenden Eigenschaften? Der Kreis berührt im Punkt P (5 0) die x-achse und hat den Radius r. Der Kreis geht durch die Punkte P ( 3 3) und P ( 5) und hat den Radius r 5. c) Der Kreis geht durch die Punkte P (5 3) und P ( ) und berührt die y-achse. Elementare Umformungen und Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen Aufgabe 46: Skizzieren Sie das Dreieck mit den Seiten a 8 cm und c 5 cm, und dem Winkel β 0 0. Bestimmen Sie die folgenden Größen: die Seitenlänge b den Winkel α c) den Winkel γ d) den Flächeninhalt F Aufgabe 47: Berechnen Sie ohne Benutzung des Taschenrechners. cos(600 0 ) sin( 67 π 6 ) c) tan( 50 0 ) Elementare algebraische Umformungen Aufgabe 48: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. 36x y 48xy 4(x + y) + 45x y + 60xy 5(x + y) ax+bx (c + d) a+b + ax bx (c + d) a b
17 6 Elementare algebraische Umformungen Aufgabe 49: Formen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmenregeln um. ln(5p q 3 ) ln( 3 b 3c ) c) ln( ab a + b ) Aufgabe 50: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. (v 0) (ax + ay)n+ b n (abx + aby) n v v 4v (v ) Aufgabe 5: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. 3 7 e a π 4 c) 4 6 e a4π 3 8 e a π e a π 3 Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 5: Lösen Sie die folgenden Gleichungen. e, t 0 e t 0,3 c) 0, 54, 03 e h 7.99
18 7 Aufgabe 53: Wird ein Kondensator mit der Kapazität C über einen ohmschen Widerstand R entladen, so nimmt seine Ladung q exponentiell mit der Zeit t nach der Gleichung q(t) q 0 e t R C ab. Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, von dem an die Kondensatorladung unter 0 % ihres Anfangswertes gesunken ist (Zeitkonstante R C 0, 3 ms). Aufgabe 54: Bestimmen Sie aus der barometrischen Höhenformel p(h), 03 bar e 7.99 m den Luftdruck in den Höhen h.000 m und h m. Elementare algebraische Umformungen h Aufgabe 55: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmenregeln. ln x + ln x ln x ln c + 3 ln b ln 3 c) ln(7 e 7 x ) Aufgabe 56: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. (x, y > 0) a a b a + a b ( y 4 x 3 x 3 y 4 ) x 5 y 6 Aufgabe 57: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. ln( ax + ) + ln( ax ) ln(ax ) c) ( 3 + 3)
19 8 Gleichungen mit einer Unbekannten Aufgabe 58: Lösen Sie die folgenden Gleichungen. 0, 95 e 5,5 t 60 65, 57 e 0,087 t + 0 c) 5, 30 ( e t 0,5 ) Aufgabe 59: Lösen Sie nach den angegebenen Größen auf. v 0 a v 0 t at nach t h + v 0 sin ϕ t gt 0 nach t Aufgabe 60: Lösen Sie nach den angegebenen Größen auf. m a + M a M g m g nach a m ω (h + R E ) γ m M E (h + R E ) nach h
20 9 Elementare algebraische Umformungen und Lösen von Gleichungen an Beispielaufgaben aus dem Bereich der komplexen Zahlen Aufgabe 6: Stellen Sie folgende komplexe Zahlen durch einen Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene dar. z + 3j z 4j c) z 3 j Aufgabe 6: Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in Polarform an und bestimmen Sie jeweils die konjugiert komplexe Zahl. z 3 + 5j z 6 c) z 3 4j Aufgabe 63: Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der kartesischen Form an. z 3 e j 30 0 z 5(cos( 60 0 ) + j sin( 60 0 )) c) z 3 e j 3 π Aufgabe 64: Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und geben Sie das Ergebnis in der kartesischen Form an. (3 j)(4 + j) 3 j + 3(j 8) 4 3j c) ( 4j) + 3 j j
21 0 Aufgabe 65: Führen Sie die folgenden Operation mit der komplexen Zahl z + j durch und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. j z z c) e j 30 0 z Aufgabe 66: Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen. z 3 j z 4 6 e j 60 0 c) z 5 3 4j Elementare algebraische Umformungen und Lösen von Gleichungen an Beispielaufgaben aus dem Bereich der Vektoralgebra Aufgabe 67: Normieren Sie die folgenden Vektoren. a 4 b 3 e x 4 e y + 8 e z c) c Aufgabe 68: Bilden Sie mit den Vektoren a, b und c folgende Skalarprodukte. 3 a b 0 c 4 4 0
22 a b ( a 3 (4 c) c) ( a + ( a c) Aufgabe 69: Durch die Punkte A (; 4; ), B (3; ; 0) und C ( ; ; ) wird ein Dreieck festgelegt. Berechnen Sie die Länge der drei Seiten, die Innenwinkel im Dreieck sowie den Flächeninhalt. Aufgabe 70: Gegeben sind die Vektoren a, b und c. Berechnen Sie mit ihnen die folgenden Vektorprodukte. 0 a 4 b c 6 3 a b ( a (3 c) c) ( a + c) ( Aufgabe 7: Bestimmen Sie das Volumen des von den Vektoren a, b und c aufgespannten Spats. 3 a b 4 c 7 8 Aufgabe 7: Zeigen Sie: Die Vektoren a, b und c liegen in einer gemeinsamen Ebene. 3 a 4 b 3 c
23 Lösungen Aufgabe : 9 3, 75 Aufgabe : 0, Aufgabe 3: x +a (x ax 3+x b xb Aufgabe 4: 4 b a c) 3 (abc)6 d) (a 5 Aufgabe 5: a + b 8 a 7 Aufgabe 6: 9 4π 35 0 Aufgabe 7: c) Aufgabe 8: ln 3 3 x c) d) ln b a Aufgabe 9: cos x x + c) a 4 a+ Aufgabe 0: c) d) 70 Aufgabe : n :, n : 3 3, n 3 : 6 6, n 4 : 0 0 n :, n : 5 5, n 3 : 4 4, n 4 : Aufgabe : n k3 (k ) 6 k ( ) k+ k Aufgabe 3: 5 c) 7 d) 3 33 Aufgabe 4: 56 ln 9
24 3 Aufgabe 5: x+ y c) Aufgabe 6: 5 0 c) n+ n+ Aufgabe 7: n k k k 7 k ( ) k+ k k Aufgabe 8: x, x x ab a+b, x, a, b 0, a b c) x 5, Aufgabe 9: (x+) log a x ln(a3 + b 3 ) Aufgabe 0: 3 4 c) 6+5 a 6a 9 4a d) 8( 5 + 3) Aufgabe : n :, n : 3 3, n 3 : , n 4 : Aufgabe :, 7,, 35, 35,, 7, c) d) e) n f) n Aufgabe 3: x 7, x R keine Lösung, x 7 6 c) x, x > 0 d) x 4, x R Aufgabe 4: x 6, 3 x 3 4, 7 b a 4 c) x a, d) x 0, e) keine Lösung Aufgabe 5: x(n + ) 9 (n+)(n+) Aufgabe 6: x 9, x 4 x, x 0, 3 c) x b, x a, a b, b Aufgabe 7: von 3 nach 4: Division mit (x 30) verliert die einzige Lösung x 5 Aufgabe 8: in 0 Jahren
25 4 Aufgabe 9: 36, , 3 0 c) 5 cm d) Aufgabe 30: 3 c) 3 3 d) Aufgabe 3: n I Ra U I R i, R a n(u I R i) I v m m +u v u v, v u (m +m )+v (m m ) m c) m J n i m i r i, m n J n i m i r i d) R R R R +R, R R R R R Aufgabe 3: x 5 l l x 5+, goldener Schnitt Aufgabe 33: x 00, x > 0 x ln(y + y + ), x, y R c) x +y ln( y ), x R, < y < Aufgabe 34: x > 5 < x < 3 c) x < 3 oder x 4 d) y < 3x + Aufgabe 35: (x + ) + (y 3) 5 x + 5 cos ϕ, y sin ϕ, 0 ϕ < π Aufgabe 36: h 86, 6 m Aufgabe 37: x,, x 4 x,, x R c) x 0, x 4 Aufgabe 38: in den Lösungen keine Lösung bzw x 0 x 3 bzw. x 3, c) x bzw. keine Lösung Aufgabe 39: x, x > 0 x, x > 0 c) x 00, x > 0 Aufgabe 40: x 5, y 3 x, y 3
26 5 Aufgabe 4: S 9, V 53 Aufgabe 4: h 6 cm Aufgabe 43: x 5, x x, x c) x 4, x 0, x Aufgabe 44: x > 7 3 < x < c) y 8 x + Aufgabe 45: (x 5) + (y ± ) 4 (x ) + y 5 oder (x + 3) + (y + ) 5 c) (x, 5) + (y 3) 6, 5 oder (x 5) + (y + ) 5 Aufgabe 46: b 9, 8 cm α 3, 44 0 c) γ 46, 56 0 d) F 86, 60 cm Aufgabe 47: 0, 5 0, 5 c) 3 3 Aufgabe 48: 8x y x+y x c + d Aufgabe 49: ln 5 + ln p + 3 ln q 3 ln b ln 3 ln c c) ln a + ln b ln(a + Aufgabe 50: a b(x + y) v Aufgabe 5: 3e a π e aπ c) e 8 a Aufgabe 5: t 3, t 0, 69 c) h Aufgabe 53: t 0, 69 ms Aufgabe 54: p 0, 8938 bar, p 0, 548 bar
27 6 Aufgabe 55: 0 ln( 3 b 3c ) c) ln 7 7 x Aufgabe 56: b x y x4 y 5 Aufgabe 57: ax+ ln (ax ) 3 4 c) Aufgabe 58: t, 498 t 75, 96 c) t 0, 3533 Aufgabe 59: t v 0 a ± v 0 a v 0 a t v 0 sin ϕ g ± v 0 sin ϕ g + h g Aufgabe 60: a (M m) M+m g Aufgabe 6: grafische Darstellung h 3 γ ME ω R E Aufgabe 6: r 34, ϕ 0, 0, z 3 5j r 6, ϕ 80 0, z 6 c) r 4, ϕ 90 0, z3 4j Aufgabe 63: z, 598 +, 5j z, 5 4, 330j c) z 3 j Aufgabe 64: 6 j 3, 8 + 3, 04j c) 8j Aufgabe 65: + j, Drehung um j, Spiegelung an der x-achse c) 0, 340 +, 3j, Drehung um Aufgabe 66: r, ϕ 30 0, 50 0, 70 0 r, ϕ 40 0, 30 0, 0 0, 30 0 c) r 5 5, ϕ 0, 63 0, 6, 37 0, 33, 37 0, 05, 37 0, 77, 37 0 Aufgabe 67: a 89 b c) 3 c
28 7 Aufgabe 68: 88 c) Aufgabe 69: AB 7, AC 9, BC 0, α 54, 6 0, β 77, 47 0, γ 48, 37 0, F 8 FE Aufgabe 70: (, 4, 9) T (93, 9, 6) T c) (, 6, ) T Aufgabe 7: 75 VE Aufgabe 7: Da V 0 VE.
29 8 FH Brandenburg - FB Technik Dr. Josef Esser esser@fh-brandenburg.de Propädeutikum Mathematik WS 04/5 Testaufgaben Aufgabe : Berechnen Sie den folgenden Ausdruck ohne Benutzung des Taschenrechners Aufgabe : Berechnen Sie ohne Benutzung des Taschenrechners. 5 % von 5, 00 Aufgabe 3: Lösen Sie folgende Gleichung nach x auf und berechnen Sie x. 0x + 3(x + ) 3(6x 4) x Aufgabe 4: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck unter Verwendung von Potenzgesetzen. ( 5 ) ( 3 ) 4 ( 7 ) Aufgabe 5: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe der Logarithmenregeln. log 0 (00) log 0 ( 0 ) Aufgabe 6: Stellen Sie die folgende Gleichung nach R i um. U I R i + R a
30 9 R i Aufgabe 7: Geben Sie den folgenden Winkel im Gradmaß an. 9 4 π 0 Aufgabe 8: Berechnen Sie die folgende Summe. 4 k k Viel Erfolg!
31 30 FH Brandenburg - FB Technik Dr. Josef Esser esser@fh-brandenburg.de Propädeutikum Mathematik WS 04/5 Testaufgaben Aufgabe : Berechnen Sie den folgenden Ausdruck ohne Benutzung des Taschenrechners Aufgabe : Berechnen Sie ohne Benutzung des Taschenrechners. 5 % von 5, 00 3,75 Aufgabe 3: Lösen Sie folgende Gleichung nach x auf und berechnen Sie x. 0x + 3(x + ) 3(6x 4) x Aufgabe 4: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck unter Verwendung von Potenzgesetzen. ( 5 ) ( 3 ) 4 ( 7 ) 56 Aufgabe 5: Berechnen Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe der Logarithmenregeln. log 0 (00) log 0 ( 0 ) 3 Aufgabe 6: Stellen Sie die folgende Gleichung nach R i um. U I R i + R a
32 3 R i U RaI I Aufgabe 7: Geben Sie den folgenden Winkel im Gradmaß an. 9 4 π Aufgabe 8: Berechnen Sie die folgende Summe. 4 k k 30 Viel Erfolg!
33
34 TH Brandenburg - FB Technik Dr. Josef Esser esser@th-brandenburg.de Propädeutikum Mathematik WS 06/7 Mathe-Check Name, Vorname: Immatrikulations-Nr.: Studiengang: Punkte: Aufgabe : Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke ohne Benutzung des Taschenrechners % von 5, 00 Aufgabe : Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. a 3b a b 5a + b b a 3a + 3b + b a a b + a b c) 3 ab c a b 3 c 5 6 a3 bc d) (a 3 (b e) 9 a a + b b f) a a a Aufgabe 3: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmusregeln. ln ln 4 ln(e 3 x ) Aufgabe 4: Lösen Sie nach x auf. 0x + 6x + 6 6x 4 x + x x a + b x c) x + 5x 4 0 x d) 7 6x x x e) ln x ln 4 x f) x+ 0, 5 3 x Aufgabe 5: Geben Sie die folgenden Winkel im Bogenmaß bzw. Gradmaß an π Aufgabe 6: Berechnen Sie. 4 k k 5! Viel Erfolg!
35 FH Brandenburg - FB Technik Dr. Josef Esser esser@fh-brandenburg.de Propädeutikum Mathematik WS 04/5 Mathe-Check Name, Vorname: Immatrikulations-Nr.: Studiengang: Punkte: Aufgabe : Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke ohne Benutzung des Taschenrechners Aufgabe : Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. 5 % von 5, 00 3, 75 a 3b a b 5a + b b a 3a + 3b 4 + b a a b + a b b a c) 3 ab c 3 e) 9 a a b 3 c 4 6 a + b a3 bc 3 (abc)6 d) (a 3 (b (a b a + b f) Aufgabe 3: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmusregeln. ln ln 4 ln 3 ln(e 3 x ) 3 x a a a 8 a 7 Aufgabe 4: Lösen Sie nach x auf. 0x + 6x + 6 6x 4 x + x x a + b x ab a + b c) x + 5x 4 0 x 7; d) 7 6x x x { }; keine Lösung e) ln x ln 4 x f) x+ 0, 5 3 x 4 Aufgabe 5: Geben Sie die folgenden Winkel im Bogenmaß bzw. Gradmaß an π 3 4 π 35 0 Aufgabe 6: Berechnen Sie. 4 k k 30 5! 0 Viel Erfolg!
36 35 Quellenverzeichnis. Prof. Dr. Angela Schwenk, Prof. Dr. Werner Nehrlich, Brückenkurs Mathematik, Beuth Hochschule für Technik Berlin, 5. Auflage (004).. Kusch, Mathematik für Schule und Beruf, Teil Arithmetik, 5. Auflage Essen Girardet (97). 3. Wendeler, Vorkurs der Ingenieurmathematik, Harri Deutsch Verlag. Auflage (00). 4. Stingl, P., Einstieg in die Mathematik für Fachhochschulen, Hanser Fachbuchverlag. Auflage (00). 5. Papula, L., Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band, Vieweg 0. Auflage (00). 6. Papula, L., Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band, Vieweg 0. Auflage (00).
Skript zur Verwendung von Übungszwecken. Aufgabensammlung zum Propädeutikum Mathematik. WiSe 2017/18
Skript zur Verwendung von Übungszwecken Aufgabensammlung zum Propädeutikum Mathematik für die Studiengänge Maschinenbau (-MB), Ingenieurwissenschaften (-IngWiss), Wirtschaftsingenieurwesen (-WiIng) und
MehrBrückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015
HOCHSCHULE HANNOVER UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES AND ARTS Dipl.-Math. Xenia Bogomolec Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Übungsblatt 1 (Grundlagen) Aufgabe 1. Multiplizieren Sie folgende
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Allgemeiner Maschinenbau Fahrzeugtechnik Dresden 2002
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Kartographie/Geoinformatik Vermessung/Geoinformatik Dresden
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengang Bauingenieurwesen Dresden 2005 . Mengen Kenntnisse
Mehr1 Mengenlehre. Maturavorbereitung GF Mathematik. Aufgabe 1.1. Aufgabe 1.2. Bestimme A \ B. Aufgabe 1.3. Aufgabe 1.4. Bestimme B \ A. Aufgabe 1.
Maturavorbereitung GF Mathematik Kurzaufgaben 1 Mengenlehre Aufgabe 1.1 Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3} und B = {2, 3, 6, 8}. Bestimme A B. Aufgabe 1.2 Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3} und B
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Betriebswirtschaft International Business Dresden 05 . Mengen
MehrÜbungsblatt 1 zum Propädeutikum
Übungsblatt 1 zum Propädeutikum 1. Gegeben seien die Mengen A = {,, 6, 7}, B = {,, 6} und C = {,,, 1}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geben Sie diese in aufzählender Form an.. Geben
MehrÜbungsblatt 1 zum Propädeutikum
Übungsblatt 1 zum Propädeutikum 1. Gegeben seien die Mengen A = {,, 6, 7}, B = {,, 6} und C = {,,, 1}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geben Sie diese in aufzählender Form an.. Geben
MehrPropädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Wintersemester 2016 / 2017 Carsten Krupp BBA und IBS Vorkurs Mathematik - Wintersemester 2016 / 2017 Seite 1 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer,
MehrPropädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Sommersemester 2016 Carsten Krupp BBA Seite 1 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer, 2004 Piehler, Sippel, Pfeiffer: Mathematik zum Studieneinstieg,
MehrPropädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Wintersemester 2017/2018 Carsten Krupp Betriebswirtschaftslehre (BBA) und International Business Studies (IBS)) Vorkurs Mathematik - Wintersemester 2017/2018 Seite 1 Literaturhinweise
MehrHöhere Mathematik für Naturwissenschaftler Studienjahr 2016/17
1/37 0. Organisatorisches 2/37 Übung Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler Studienjahr 2016/17 Dr. Udo Lorz TU Bergakademie Freiberg Fakultät für Mathematik und Informatik Links zur Vorlesung Website
MehrPotenzen - Wurzeln - Logarithmen
Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Anna Geyer 4. Oktober 2006 1 Potenzrechnung Potenz Produkt mehrerer gleicher Faktoren 1.1 Definition (Potenz): (i) a n : a... a, n N, a R a... Basis n... Exponent od. Hochzahl
MehrPropädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Wintersemester 2018/2019 Carsten Krupp BBA und IBS Termine: Freitag, 14.09.18 von 9.00-18.00 Uhr Raum 1H.0.01 (Neubau - R100) Montag, 17.09.18 von 9.00 18.00 Uhr Raum 1H.0.01 (Neubau
MehrPropädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Sommersemester 2018 Carsten Krupp BBA und IBS Termine: Freitag, 23.02.18 von 9.00-18.00 Uhr Raum 1H.0.01 (Neubau - R100) Montag, 26.02.18 von 9.00 18.00 Uhr Raum 1H.0.01 (Neubau
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen
Mehr12 Übungen zu Gauß-Algorithmus
Aufgaben zum Vorkurs B S. 2 Übungen zu Gauß-Algorithmus 2x x 2 = 7x +, 5x 2 = 7 Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: 2x x 2 = x +2x 2 = 2 2x x 2 = 7x +, 5x 2 =, 5 x 2x 2 = x +x 2 = 5 2x +x 2 = 4
MehrÜbungen zu dem Mathe-Fit Kurs
Hochschule Darmstadt Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften WS 00/ Übungen zu dem Mathe-Fit Kurs Thema : Mengen A.. Durch welche charakterisierenden Eigenschaften können die folgenden Mengen beschrieben
MehrCorinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen:
2. Zahlbereiche Besonderheiten und Rechengesetze Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen: 2.1. Die natürlichen Zahlen * + besitzt abzählbar unendlich viele Elemente
MehrPropädeutikum Mathematik
Wintersemester 2015/16 Prof. Dr. Friedrich Fels Abteilung WI Seite 1 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer, 2004 Piehler, Sippel, Pfeiffer: Mathematik zum Studieneinstieg,
MehrEinführung in die Algebra
1 Einführung in die Algebra 1.1 Wichtige Formeln Formel Symbol Definition Wert Bedingungen n Fakultät n! k = 1 2 3 n n N Binomialkoeffizient Binomische Formeln Binomischer Lehrsatz Potenzen ( ) n k Definition
MehrVorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben
Justus-Liebig-Universität Gießen Fachbereich 07 Mathematisches Institut Vorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben PD Dr. Elena Berdysheva Aufgabe. a) Schreiben Sie die folgenden periodischen Dezimalzahlen
MehrAufgabensammlung Klasse 8
Aufgabensammlung Klasse 8 Inhaltsverzeichnis 1 Potenzen mit natürlichen Hochzahlen 3 1.1 Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen..................... 3 1.1.1 Addition und Subtraktion von Potenzen...................
Mehr= 4 = x + 3. y(x) = x
Ü Aufgabenblatt Inhalt Brüche. Gleichungen. Summen. Potenzen. Logarithmen. Ebener Winkel (Definition und Einheiten). Trigonometrische Funktionen. Basisgrößen und Basiseinheiten des SI. Bequemes Rechnen
Mehr1. Aufgabe: Es seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie, dass die folgenden Rechenregeln richtig sind: (c) A B = A B und A B = A B.
. Aufgabe: Es seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie, dass die folgenden Rechenregeln richtig sind: (a) (A B) C = (A C) (B C) und (A B) C = (A C) (B C). (b) A (A B) = A und A (A B) = A. (c) (A B) = A B
MehrDie komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. www.bommi2000.de 1 Die nicht lösbaren quadratischen Gleichungen Seite 1 2 Das
MehrKomplexe Zahlen. Bemerkungen. (i) Man zeigt leicht, dass C mit diesen beiden Operationen
Komplexe Zahlen Da für jede reelle Zahl x R gilt dass x 0, besitzt die Gleichung x + 1 = 0 keine Lösung in R bzw. das Polynom P (x) = x + 1 besitzt in R (!) keine Nullstelle. Dies führt zur Frage, ob es
MehrÜbungen zu dem Mathe-Fit Kurs
A.. Thema : Mengen Hochschule Darmstadt Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften Übungen zu dem Mathe-Fit Kurs Gegeben sind die Mengen 9 A { 8 }, 8 8 B {,7} 6 6 9 0 C { } 6 7 x D { x und y sind natürlichen
MehrMathematik-1, Wintersemester Vorlesungsplan, Übungen, Hausaufgaben
Mathematik-1, Wintersemester 2014-15 Vorlesungsplan, Übungen, Hausaufgaben Vorlesungen: Lubov Vassilevskaya Übungen: Dr. Wilhelm Mons, Lubov Vassilevskaya http://www.math-grain.de/ Inhaltsverzeichnis 1.
MehrBrückenkurs Höhere Mathematik
Vorkurse der Hochschule Aalen Brückenkurs Höhere Mathematik Aufgabensammlung März 209 Das Grundlagenzentrum (GLZ) wird aus Mitteln des Bundesministeriums für Bildung und Forschung (BMBF) unter dem Förderkennzeichen
Mehr1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an:
Aufgaben zum Vorkurs B S. 1 1 Übungen zu Mengen Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 < x < 4, 8} B = {t N t ist Teiler von 4} C = {z Z z ist positiv, durch 3 teilbar
MehrMathematik. für das Ingenieurstudium. 1 Grundlagen. Jürgen Koch Martin Stämpfle.
1 Grundlagen www.mathematik-fuer-ingenieure.de 2010 und, Esslingen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Werkes,
MehrMathematik Tutorium. x 2
Mathematik Tutorium Fakultät Grundlagen Termin Algebra Aufgabe : Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a) 5 ) : ) 5 b) n+ n c) an+ a n a n+ + a n d) ) ) : ) ) e) 5 f) 5 z + z 5 Aufgabe : Berechnen
MehrPropädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Wintersemester 2016/2017 Prof. Dr. Dieter Leitmann Abteilung WI WiSe 2016/17 Seite 1 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer, 2004 Piehler, Sippel,
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Automatisierungstechnik Nachrichtentechnik/Multimediatechnik
MehrKomplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen
Komplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen Die komplexen Zahlen sind von der Form z = x + iy mit x, y R, wobei i = 1 als imaginäre Einheit bezeichnet wird. Wir nennen hierbei Re(z = x den Realteil von
MehrBrückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag
Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs
MehrMathematikvorkurs. Fachbereich I. Sommersemester Elizaveta Buch
Mathematikvorkurs Fachbereich I Sommersemester 2017 Elizaveta Buch Themenüberblick Montag Grundrechenarten und -regeln Bruchrechnen Binomische Formeln Dienstag Potenzen, Wurzeln und Logarithmus Summen-
MehrINHALTSVERZEICHNIS: DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN VON KOMPLEXEN ZAHLEN 2 GESCHICHTE DER KOMPLEXEN ZAHLEN 4 DARSTELLUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN 5
INHALTSVERZEICHNIS: ZAHLENBEREICHSERWEITERUNG 1 DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN VON KOMPLEXEN ZAHLEN 2 GESCHICHTE DER KOMPLEXEN ZAHLEN 4 DARSTELLUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN 5 RECHNEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN 7 DIE
MehrMathematische Einführung
und euklidische Geometrie 13.04.2011 Motivation Warum braucht man eine mathematische Einführung? Die Physik ist in der Sprache der Mathematik formuliert. Mathematische Methoden essentiell zur Lösung von
MehrKomplexe Zahlen und Geometrie
Komplexe Zahlen und Geometrie Dr. Axel Schüler, Univ. Leipzig März 1998 Zusammenfassung Ziel dieses Beitrages ist es, die komplexen Zahlen bei einfachen geometrischen Aufgaben einzusetzen. Besonderes Augenmerk
MehrAufgaben zum Vorkurs Mathematik für Natur- und Ingenieurwissenschaften. 1 Übungsblatt Mengen. Dr. Jörg Horst WS 2014/2015
Dr. Jörg Horst WS 04/05 Aufgaben zum Vorkurs Mathematik für Natur- und Ingenieurwissenschaften Übungsblatt Mengen Aufgabe : Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 0 < x
MehrÜbungsaufgaben zu Kapitel 1 bis 4 (Studiengang Produktionstechnik)
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Wintersemester 8/9 Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. B. Jung Übungsaufgaben zu Kapitel bis 4 (Studiengang Produktionstechnik) Aufgabe : Vereinfachen
MehrLösungen zu den Übungsaufgaben Übergang 10/ /2009 0hne Gewähr!
Lösungen zu den Übungsaufgaben Übergang 0/ 008/009 0hne Gewähr!. Lineare Funktionen und lineare Gleichungen; Terme 4 a. g : y = x h : y = 4 x - 4 b. A = 4 = FE U = ( + 9 + 6 ) = 6LE c. Bestimmung von Z(,5
MehrMultiplikation und Division in Polarform
Multiplikation und Division in Polarform 1-E1 1-E Multiplikation und Division in Polarform: Mathematisches Rüstzeug n m b b = b n+m bn bm = bn m ( b n )m = b n m Additionstheoreme: cos 1 = cos 1 cos sin
Mehr1. Funktionale Zusammenhänge
1. Funktionale Zusammenhänge Proportionalität Grundwissen 8 Eigenschaften direkt proportionaler Größen x und y: zum n-fachen Wert von x gehört der n-fache Wert von y die Wertepaare (x ; y) sind quotientengleich,
MehrPropädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Wintersemester 2018/2019 Einladung Prof. Dr. Dieter Leitmann Abteilung Wirtschaftsinformatik WiSe 2018/19 Seite 1 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik,
MehrEinstiegsvoraussetzungen für das 3. Semester Angewandte Mathematik AM
Einstiegsvoraussetzungen für das 3. Semester Angewandte Mathematik AM 1. Siehe: Einstiegsvoraussetzungen für das 1. Semester 2. Bereich: Zahlen und Maße 2.1. Fehlerrechnung (Begriffe absoluter und relativer
MehrAufgabensammlung Vorkurs Mathematik für Studierende technischer Fächer und für Studierende der Chemie
Dr. Michael Stiglmayr Teresa Schnepper, M.Sc. WS 014/015 Bergische Universität Wuppertal Aufgabensammlung Vorkurs Mathematik für Studierende technischer Fächer und für Studierende der Chemie Aufgabe 1
MehrI Rechengesetze und Rechenarten
Propädeutikum 2018 17. September 2018 Primfaktoren I Natürliche und ganze Zahlen Primfaktorzerlegung Klammerausdrücke Primfaktorzerlegung Jede natürliche (und auch ganze) Zahl n N kann in ein Produkt von
MehrGrundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik
Grundwissen 10. Jahrgangsstufe Mathematik 1 Kreis und Kugel 1.1 Kreissektor und Bogenmaß Kreis Umfang U = π r=π d Flächeninhalt A=π r Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α Bogenlänge b= α π r 360 Flächeninhalt
MehrMathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 7: Komplexe Zahlen
Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 7: Komplexe Zahlen Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1/62 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I 7. Komplexe Zahlen Definition einer
MehrWiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius)
Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius) 1 Grundregeln des Rechnens 1.1 Zahlbereiche......... Zahlen N {1, 2, 3,...}......... Zahlen Z {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}......... Zahlen Q { a b a Z, b N}.........
MehrEinführung Im Bereich der komplexen Zahlen ist es möglich die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen.
Komplexe Zahlen Einführung Im Bereich der komplexen Zahlen ist es möglich die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen. Komplexe Zahl Unter dem Zahlenkörper der komplexe Zahlen C versteht man die Elemente
MehrBrückenkurs Mathematik ( )
Fachhochschule Hannover Fachbereich Elektrotechnik Dr. Gerhard Merziger Brückenkurs Mathematik 4.9. 5.9.006) Montag 4.9.06 Zahlen: IN, Z, Q, IR 0) Bruchrechnung:... Rechnen mit rationalen Zahlen Bruchrechnung)
MehrMathematik 1 Übungsserie 3+4 ( )
Technische Universität Ilmenau WS 2017/2018 Institut für Mathematik Thomas Böhme BT, EIT, II, MT, WSW Aufgabe 1 : Mathematik 1 Übungsserie 3+4 (23.10.2017-04.11.2017) Sei M eine Menge. Für eine Teilmenge
MehrFunktionen einer Variablen
Funktionen einer Variablen 1 Zahlen 1.1 Zahlmengen Im täglichen Gebrauch trifft man vor allem auf die natürlichen Zahlen N = {1,2,3,...}. Gelegentlich wird auch die Bezeichnung N 0 = {0,1,2,...} benutzt.
MehrELEMENTAR-MATHEMATIK
WILLERS ELEMENTAR-MATHEMATIK Ein Vorkurs zur Höheren Mathematik 13., durchgesehene Auflage von Dr.-Ing. G. Opitz und Dr. phil. H. Wilson Mit 189 Abbildungen VERLAG THEODOR STEINKOPFF DRESDEN 1968 Inhaltsverzeichnis
MehrGF Mathematik 4c PAM Übungsfragen
GF Mathematik c PAM Übungsfragen Vektorgeometrie Repräsentanten von zwei Vektoren a und b b a a + b a b c b a b b b Vektorgeometrie ( a b + c ) = b ( a + b c ). Eine Vektorgleichung ( ) ( ) a b + c = b
MehrMultiplizieren und Dividieren komplexer Zahlen in Polardarstellung
Multiplizieren und Dividieren komplexer Zahlen in Polardarstellung Arbeitsblatt Im folgenden Arbeitsblatt lernst du das Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung kennen. Multiplizieren und Dividieren
MehrKomplexe Zahlen. Allgemeines. Definition. Darstellungsformen. Umrechnungen
Komplexe Zahlen Allgemeines Definition Eine komplexe Zahl z x + y i besteht aus einem Realteil Re(z) x und einem Imaginärteil Im(z) y. Der Imaginärteil wird mit der Imaginären-Einheit i multipliziert.
Mehr1 Beschreibung der Grundlagen
Westsächsische Hochschule Zwickau Fachgruppe Mathematik Grundlagen Inhaltsverzeichnis Aufgaben zu den Grundlagen findet man über den folgenden Link: Aufgaben zu den Grundlagen 01 1 Beschreibung der Grundlagen
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A)
1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A) Wintersemester 2016/17 Kapitel 1: Zahlen Prof. Dr. Gerald Warnecke Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg http://fma2.math.uni-magdeburg.de:8001
MehrLINEARE ALGEBRA UND ANALYSIS FÜR FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik LINEARE ALGEBRA UND ANALYSIS FÜR FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2017/18 G. Matthies Lineare
MehrVorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure
Institut für Mathematik Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Ausführliches Inhaltsverzeichnis mit thematischen Links Prof. Dr. Konrad Engel PD Dr. Roger Labahn {konrad.engel, roger.labahn}@uni-rostock.de.09.
MehrVorbereitungskurs. Mathematik. Berufliches Gymnasium für Gesundheit und Soziales
Vorbereitungskurs Mathematik Berufliches Gymnasium für Gesundheit und Soziales Erstellt von: S. Dittmann, F. Scholer Stand: 01.07.2016 Inhaltsverzeichnis 0. Vorwort 1. Termumformung - Klammerregeln 2.
MehrAddition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):
Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe
Mehr1 Übungen zu Kapitel 1 (Mengen)
Übungen zu Kapitel (Mengen Aufgabe.: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: a {x N 0 < x < 4, 8} b {z Z z ist positiv, durch 3 teilbar und kleiner als } c {x R x = 0} d {x Q (x =
MehrMathematik I (MATHE1) Klausuren lineare Algebra & analytische Geometrie
Mathematik I (MATHE1) Klausuren lineare Algebra & analytische Geometrie Prof. Dr. Thomas Risse www.weblearn.hs-bremen.de/risse/mai www.weblearn.hs-bremen.de/risse/mai/docs Fakultät Elektrotechnik & Informatik
MehrBegriffe Mathematik 4. Klasse
Begriffe Mathematik 4. Klasse Die mit einem gekennzeichneten Fragen sind für die 5 Kurzfragen relevant. Vektoren Kurzfrage 1 Was ist ein Vektor? Vektoren Kurzfrage 2 Was ist ein Repräsentant eines Vektors?
MehrModul Mathematik I Selbsteinschätzungstest und Anmeldungen im ILIAS-Portal
Modul Mathematik I Selbsteinschätzungstest und Anmeldungen im ILIAS-Portal Wintersemester 01/017 TH Köln Institut für Produktion Liebe zukünftige Studierende, viele von Ihnen haben am Anfang des Studiums
MehrExamen GF Mathematik (PAM) Kurzfragen 2017
Examen GF Mathematik (PAM) Kurzfragen 2017 Die mit einem + gekennzeichneten Fragen sind längere Kurzfragen. Kurzfrage 1+ Was ist ein Vektor? Ein Vektor ist die Menge aller gerichteten Strecken ( Pfeile
MehrMathematik- Vorkurs. Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger
Mathematik- Vorkurs Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger Von Prof. Dr. rer. nat. habil. Wolfgang Schäfer Oberstudienrat Kurt Georgi und Doz. Dr. rer. nat. habil. Gisela Trippier Unter Mitarbeit
MehrFachhochschule Kiel Fachbereich Wirtschaft. Skript für den Mathematikvorkurs
Fachhochschule Kiel Fachbereich Wirtschaft Skript für den Mathematikvorkurs Lena Bergweiler September 2018 Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 1 Mengenlehre 2 1.1 Mengen.................................. 2 1.2
MehrMenge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3,...} Aber: a + x = b ist nur lösbar, falls b > a
Komplexe Zahlen. Bedarfsfrage Menge der natürlichen Zahlen = {,, 3,...} Aber: a + x = b ist nur lösbar, falls b > a (Peano-Axiome). Erweiterung: Menge der ganen Zahlen = {..., -3, -, -, 0,,, 3,...} a +
MehrGrundwissensaufgaben Klasse 10
Grundwissensaufgaben Klasse 10 1.Grundwissensaufgaben zu Potenz- und Wurzelgesetzen: [Verwendung willkürlicher Zahlen und Buchstaben; eigene Aufgabenstellung] Fasse soweit wie möglich zusammen. a) ( 1,456)
MehrHöhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen
Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen Komplexe Zahlen Lösungshinweise. Sei z = + i und z = i. Berechnen Sie z + z, z z, z z, z z, z /z, z + z, z z, z z, z
MehrMathematik-Übungssammlung für die Studienrichtung Facility Management
Mathematik-Übungssammlung für die Studienrichtung Facility Management Auf den nachfolgenden Seiten finden Sie Übungen zum Stoff, welcher bei Studienbeginn vorausgesetzt wird. Der dazugehörige Stoff wird
MehrÜbung 4 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 15. Oktober 2018 in den Übungsstunden
Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 11.10.18 Übung 4 (für Pharma/Geo/Bio Uni Basel Besprechung der Lösungen: 15. Oktober 018 in den Übungsstunden Aufgabe 1 (a Sei f(x = cosx. Der Graph
MehrFachbereich I Management, Controlling, Health Care. Mathematikvorkurs. Wintersemester 2017/2018. Elizaveta Buch
Fachbereich I Management, Controlling, Health Care Mathematikvorkurs Wintersemester 2017/2018 Elizaveta Buch Themenüberblick Montag Grundrechenarten und -regeln Bruchrechnen Prozentrechnung Dienstag Binomische
MehrVierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist
7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7 Vierecke Trapez: Viereck, bei dem zwei Gegenseiten parallel sind gleichschenkliges Trapez: Trapez, bei dem die beiden Schenkel c gleich lang sind (b = d) d
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING1
Mathematischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 40 Kapitel 12 Komplexe Zahlen Kapitel 12 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs
Mehr1 Einleitung. 2 Sinus. Trigonometrie
1 Einleitung Die Trigonometrie (trigonon - griechisch für Dreieck) und die trigonometrischen Funktionen sind wichtige mathematische Werkzeuge zur Beschreibung der Natur. In der Physik werden trigonometrische
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Kapitel I: Mengen Aufgabe
MehrTerme und Gleichungen
Terme und Gleichungen Rainer Hauser November 00 Terme. Rekursive Definition der Terme Welche Objekte Terme genannt werden, wird rekursiv definiert. Die rekursive Definition legt zuerst als Basis fest,
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik Eine Einführung mit Beispielen und Übungsaufgaben von Prof. Dr. Karl Bosch 14., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Mengenlehre 1 1.1
MehrDie komplexen Zahlen. 1. Einführung. A) Erweiterung des Zahlenkörpers. Def. 1 (imaginäre Einheit)
Die komplexen Zahlen 1. Einführung A) Erweiterung des Zahlenkörpers Def. 1 (imaginäre Einheit) Die Gl. x 2 + 1 = 0 hat zwei Lösungen, nämlich i und - i. Es soll also gelten: i 2 = -1 und ( - i ) 2 = -1.
MehrKOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN
Übungen zu Theoretische Physik L2 KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN E I N R E F E R A T M I T A N N E T T E Z L A T A R I T S U N D F L O R I A N G R A B N E R. 2 1. 1 0. 2 0 1 3 INHALT Geschichte Definition
Mehr