Lehrstuhl für Finanzierung und Investition Prof. Dr. Hans Hirth

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1 Prof. Dr. Hans Hirth 1 Lehrstuhl für Finanzierung und Investition Prof. Dr. Hans Hirth Modul Investition und Finanzierung 2 SWS VL + 2 SWS TUT Tutorien starten ab.. genaue Termine der Tutorien und Sprechzeiten der Tutoren folgen Downloadbereich mit VL-Skript + Altklausuren samt Lösungen Benutzername: fin Paßwort: finanzen Zuständiger Wissenschaftlicher Mitarbeiter: Dipl.-Kfm. Norman Zimmermann

2 Prof. Dr. Hans Hirth 2 I. Einführung Investition und Finanzierung Gliederung II. Investitionsrechnung 1. Grundlagen 1.1 Arten von Investitionen 1.2 Typen von Investitionsentscheidungen 1.3 Diskontierung 1.4 Statische und dynamische Investitionsrechnungen Statische Investitionsrechnungen Dynamische Investitionsrechnungen

3 Prof. Dr. Hans Hirth 3 2. Investitionsentscheidungen bei Sicherheit und exogenem Kalkulationszinssatz 2.1 Entscheidungen auf Basis des Kapitalwerts Kapitalwert und Endwert Annuität Interner Zinssatz Kapitalwertrate Einbeziehung von Steuern Einbeziehung nicht-flacher Zinskurven Einbeziehung von Risiko 2.2 Investitions- u. Konsumentscheidung Fisher-Modell und vollkommener Kapitalmarkt Hirshleifer-Modell und unvollkommener Kapitalmarkt 2.3 Nutzungsdauerentscheidungen Ohne Ersatzinvestition Mit Ersatzinvestition 3. Endogene Kalkulationszinssätze

4 Prof. Dr. Hans Hirth 4 III. Finanzierung 1. Finanztitel als Instrumente der Finanzierung 1.1 Abstimmungsbedarf zw. Unternehmen u. Haushalten 1.2 Transformationsaufgaben von Finanztiteln 1.3 Eigen- und Fremdfinanzierung 1.4 Innen- und Außenfinanzierung 2. Liquiditätssicherung 2.1 Liquidität, Nutzen und Kosten 2.2 Liquiditätsplanung 3. Bedeutung der Kapitalstruktur 3.1 Kapitalkosten 3.2 Leverage-Effekt und Leverage-Risiko 3.3 Irrelevanz d. Verschuldungsgrads bei vollk. Kapitalmarkt 3.4 Relevanz d. Verschuldungsgrads bei unvollk. Kap.markt Zur Vorlesung gibt es das Lehrbuch: Hirth, Hans: Grundzüge der Finanzierung und Investition, Oldenbourg Verlag, 3. Auflage, 2012.

5 Prof. Dr. Hans Hirth 5 I. Einführung Beispiel: Haus gemeinsam mit Bruder geerbt A1: Haus für verkaufen eigener Anteil weiter Miete zahlen für ähnl. Haus (20 J.) p. a. A2: Bruder auszahlen und 20 Jahre selbst drin wohnen Auszahlen des Bruders jährliche Instandhaltungen p. a. geschätzter Endwert des Hauses

6 Prof. Dr. Hans Hirth 6 A3: Bruder auszahlen, 20 Jahre vermieten, dann verkaufen Auszahlen des Bruders weiter Miete zahlen für ähnl. Haus p.a. jährliche Mieteinzahlungen p. a. jährliche Instandhaltungen p. a. geschätzter Endwert des Hauses

7 Prof. Dr. Hans Hirth 7 Welche Alternative ist besser? Jahr A1 A2 A = A3 ineffizient, da von A2 dominiert.

8 Prof. Dr. Hans Hirth 8 Vergleich A1 und A2 ohne weiteres schwierig, denn - unterschiedl. Zahlungen fallen zu unterschiedl. Zeiten an Auf- und Abzinsung - zukünftige Zahlungen i.d.r. unsicher Risikoprämien Außerdem verstecktes Finanzierungsproblem: Haben Sie Eigenmittel, um Bruder auszuzahlen?

9 Prof. Dr. Hans Hirth 9 Ist eventuelle Kreditaufnahme sinnvoll? In der Regel ist Kreditzins (Sollzins) > Anlagezins (Habenzins). Warum? Transaktionskosten in weitem Sinn Vertragsanbahnung -verhandlung -überwachung -durchsetzung z.b. Kosten Kredit- Konto- Gerichtse. Bankfiliale verhandlung überwachung verfahren Transaktionskosten durch Zinsdifferenz zu decken

10 Prof. Dr. Hans Hirth 10 Fälle von Unsicherheit Sicherheit nur eine künftige Entwicklung vorstellbar Bsp.: Fliegender Hubschrauber kommt irgendwann wieder herunter. Quasi-Sicherheit mehrere künftige Entwicklungen vorstellbar, aber nur eine wird zugrundegelegt (z. B. die wahrscheinlichste oder die gefährlichste) Bsp.: Siemens stellt morgen keinen Insolvenzantrag. Risiko mehrere denkbare Entwicklungen, deren Eintrittswahrscheinlichkeiten berücksichtigt werden (können) Wahrscheinlichkeitsverteilung Bsp.: Wkt., daß Siemens in den nächsten 50 J. insolvent wird, ist 10%.

11 Prof. Dr. Hans Hirth 11 Ungewißheit mehrere künftige Entwicklungen vorstellbar, deren Eintrittswahrscheinlichkeiten nicht berücksichtigt werden (können) Bsp.: In den nächsten 50 J. wird Siemens insolvent oder eben nicht. Im folgenden meistens zur Vereinfachung: Sicherheit! Als Problem verbleibt: unterschiedl. Zahlungen zu unterschiedl. Zeiten Vergleichbarmachung durch Ab-/Aufzinsung

12 Prof. Dr. Hans Hirth 12 Untersuchungsgegenstand der Investition & Finanzierung: Beurteilung von Zahlungsströmen, egal wodurch generiert. Investitionsmaßnahme generiert Zahlungsstrom durch Mittelverwendung beginnt normalerweise mit Auszahlung mit der Absicht, Mittel langfristig zu binden Daher: Laufende Auszahlungen wie z. B. für kleinere Beschaffungen sind keine Investition. Finanzierungsmaßnahme generiert Zahlungsstrom durch Mittelbeschaffung beginnt normalerweise mit Einzahlung kurzfristig (Liquidität) und langfristig (Kapitalaufbringung) universaler Anwendungsbezug, nicht nur in Unternehmen

13 Prof. Dr. Hans Hirth 13 II. Investitionsrechnung 1. Grundlagen 1.1 Arten von Investitionen Realinvestitionen (Sachinvestitionen) Erwerb von Vermögensgegenständen. Erst deren produktiver Einsatz führt zu Zahlungsrückflüssen. Bruttoinvestition Schienennetz Nettoinvestition = neue Strecken + Ersatzinvestition Instandhaltung alter Strecken Mehrung der Substanz Erhaltung der Substanz Abgrenzung teilweise uneindeutig; z.b. bei Rationalisierung: Ersatz, aber nicht gleichwertiger, sondern qualitativ besser

14 Prof. Dr. Hans Hirth 14 Finanzinvestitionen Erwerb von Zahlungsansprüchen, z. B. durch Wertpapierkauf, Beteiligungen Abgrenzung teilweise uneindeutig; z.b. Aufbau einer Beteiligung: reine Finanzanlage oder unmittelbare Verfügungsgewalt über Vermögensgegenstände des Unternehmens? 1.2 Typen von Investitionsentscheidungen Entscheidung über Durchführung einer Investition ( absolute Vorteilhaftigkeit ; aber Unterlassensalternative? s.u.) Auswahl zwischen einander ausschließenden Investitionen ( relative Vorteilhaftigkeit )

15 Prof. Dr. Hans Hirth 15 Beachte zur Unterlassensalternative bei vorhandenen Eigenmitteln: Alternative ist nicht Verzicht auf jegliche Investition, sondern Durchführung einer Finanzinvestition (durch Unternehmen oder durch Financiers nach Ausschüttung) OPPORTUNITÄTSKOSTEN Bei identischem Kredit- und Anlagezinssatz: Unterscheidung, ob Eigenmittel vorhanden sind, ist überflüssig, da Zinskosten identisch.

16 Prof. Dr. Hans Hirth Diskontierung Fragestellung: Zahlungen fallen zu unterschiedlichen Zeitpunkten an Vergleichbarkeit erforderlich Zwei Möglichkeiten (1) zeitliche Verschiebung v. Zahlungen durch Markttransaktionen auf einen einheitlichen Zeitpunkt objektiver Vergleich allein über Zahlungshöhe möglich (2) subjektiver Vergleich der Zahlungen durch indiv. Zeitpräferenz

17 Prof. Dr. Hans Hirth 17 Vergleich mittels Markttransaktionen Vergleich zweier Zahlungsansprüche z 0 bzw. z t. Was ist mehr wert? z t. z t Zeit Zinssatz für Anlage und Verschuldung sei i. Variante A: Transformation von z 0 in die Zukunft t durch Anlage in = 1: z 0 + z 0 i = (1+i) z 0 (Rückz.) (Zins)

18 Prof. Dr. Hans Hirth 18 in = 2: Wiederanlage auch des Zinses (1+i) z 0 + (1+i) z 0 i = (1+i)² z 0 usw. Betrag in = 1 Zinsen von = 1 bis 2 in = t: (1+i) t z 0 Vergleich: (1+i) t z 0 > (<) z t z 0 ist besser (schlechter) als z t. Beispiel: Ist z 0 = 100 oder z 2 = 120 besser? für i = 8 %: (1,08) = 116,64 < 120 z 0 schlechter! für i = 10 %: (1,1) = 121 > 120 z 0 besser!

19 Prof. Dr. Hans Hirth 19 Variante B: Transformation von z t in die Gegenwart durch Kreditaufnahme z t muß für Tilgung und Bedienung aller Zinsen und Zinseszinsen einer gegenwärtigen Kreditaufnahme zum Zinssatz i ausreichen: z t = K t wobei K t : Kreditbestand inclusive Zinseszinsen in t K t ergibt sich schrittweise wie folgt: K t = K t1 + i K t1 = (1+i) K t1 = (1+i) (1+i) K t2 =.. usw. = (1+i) t K 0 wobei K 0 : aufgenommener Kreditbetrag in = 0

20 Prof. Dr. Hans Hirth 20 Anforderung (s.o.) z t = K t = (1+i) t K 0 z t K 0 = t (1 i) = (1+i) t z t Nun Vergleich mit z 0 möglich: z 0 > (<) (1+i) t z t z 0 ist besser (schlechter) als z t Beispiel: Ist z 0 = 100 oder z 2 = 120 besser? für i = 8 %: 100 < (1,08) = 102,88 z 0 schlechter für i = 10 %: 100 > (1,1) = 99,17 z 0 besser

21 Prof. Dr. Hans Hirth 21 Erkenntnisse Vergleich nicht nur von z 0 und z t, sondern auch von i abhängig. Vergleichbarkeit durch Auf- oder Abzinsung erbringt immer dasselbe Ergebnis (bei einheitlichem Zinssatz) Wert von z t zu einem beliebigen Zeitpunkt t*: Beispiel mit t* = 2 z 0 = (1+i) (1+i) 24 z 4 = 10 Zeit t

22 Prof. Dr. Hans Hirth 22 allgemeine Formel: B t* = (1+i) t* t z t bei t* > t: Aufzinsung bei t* < t: Abzinsung Sonderfälle t* = 0: B 0 heißt Barwert Beispiel: Barwert von z 2 = 120 ist für i = 10 % B 0 = (1+i) = 99,17 t* = T: B T heißt Endwert (mit T als Ende des Planungshorizonts) Beispiel: Endwert von z 0 = 100 ist für i = 10 % und T = 2 B 2 = (1+i) = 121

23 Prof. Dr. Hans Hirth 23 Unterjährige Verzinsung Ein unterjähriger Zins r (hier z. B. Monatszins) entspricht einem Jahreszins i mit Oder anders herum: 12 1 r 1 i Der Jahreszins beträgt z. B. i = 5 %. Äquivalent dazu wäre ein Monatszins von r 1 i 1 1,05 1 0, ,4% der monatlich ausgeschüttet und wiederverzinslich zu Monatszinssätzen von 0,4 % angelegt werden kann.

24 Prof. Dr. Hans Hirth 24 Zeitstetige (kontinuierliche) Verzinsung Ein Betrag B verzinst sich nach jedem unendlich kleinen Zeitintervall und diese Zinsen erwirtschaften danach wiederum Zinsen usw. Erhöhung von B nach einem unendlich kleinen Zeitintervall t B (t) Verzinsung r nach diesem Zeitintervall r Werterhöhung Kapitaleinsatz B'(t) B(t) Integration über t mit A= Integrationskonstante r t A ln B(t)

25 Prof. Dr. Hans Hirth 25 Beide Seiten als Exponent zur Basis e (Eulersche Zahl): e rt A e lnb(t) e A e rt B(t) Für t = 0 folgt Einsetzen führt zu e A B(0) B(t) B(0) r t e Das Startkapital B(0) verzinst sich nach Zeitdauer t mit dem r t Aufzinsungsfaktor e auf den Betrag B(t). r heißt zeitstetige oder kontinuierliche Zinsrate.

26 Prof. Dr. Hans Hirth 26 Zusammenhang zw. kontinuierl. Zinsrate und Jahreszinssatz Definiere: 1 Jahr läuft von τ = 0 bis τ = 1. Aufzinsungsfaktor für ein Jahr ist also: r 1 e Welcher Jahreszins i führt zum gleichen Endbetrag nach einem Jahr wie eine kontinuierliche Verzinsung mit r? Endwert bei kontinuierlicher Verzinsung B(0) r e = B(0) (1+i) Endwert mit einfachem Jahreszins r e = 1+i oder r = ln(1+i)

27 Prof. Dr. Hans Hirth 27 Beispiel Eine Anleihe mit Zinssatz von i = 5 % pro Jahr Entsprechende kontinuierliche Zinsrate r wäre etwas geringer: r = ln 1,05 = 0,04879 = 4,879 % Denn: Bei kontinuierlicher Verzinsung werden zwischendurch ständig Zinsen berechnet, auf die wiederum Zinsen verdient werden. Bei der diskreten Verzinsung werden die Zinsen dagegen erst am Ende abgerechnet.

28 Prof. Dr. Hans Hirth 28 Zeitanteilige Verzinsung In praxi werden unterjährige Zinsen mitunter vereinfacht berechnet. Bsp. Stückzinsberechnung Wie wird mit zwischenzeitlich aufgelaufenen Zinsen e. Anleihe verfahren, wenn Anleihe vor dem nächsten Zinstermin verkauft wird? Der Käufer der Anleihe zahlt dem Verkäufer die zwischenzeitlich aufgelaufenen Zinsen (Stückzinsen). Zitat: Die Stückzinsen werden ermittelt, indem das Produkt aus Zinssatz und erworbenen Nennwert mit dem Quotienten aus der Anzahl der Tage seit der letzten Zinszahlung und der Anzahl der Tage zwischen zwei Zinsterminen gebildet wird. (Finanzagentur der Bundesrepublik Deutschland: Informationen für Privatanleger über inflationsindexierte Wertpapiere der Bundesrepublik Deutschland, Stand 3. Mai 2011, S.3)

29 Prof. Dr. Hans Hirth 29 Beispiel Anleihe mit Nennwert 100 (= Bezugsgröße für Zinssatz) Zinssatz von 5 % pro Jahr Zinszahlung jährlich am 31. Dezember Anleihe wird am 31. März verkauft (also 1 Quartal = 360/4 = 90 Tage nach dem letzten Zinstermin). Käufer zahlt einen Zeitanteil von 90/360 = 1/4 der Jahreszinsen an den Verkäufer (zusätzlich zum Kurs der Anleihe): r 5% 1,25% für das Quartal 4

30 Prof. Dr. Hans Hirth 30 Fehler durch Vereinfachung, denn: Korrekter unterjähriger Quartalszins r bei gegebenem Jahreszins i = 5 % wäre ungefähr 4 r 1 i 1 1,227 % < 1,25 % zeitanteiliger Zins Käufer zahlt 0,023 Prozentpunkte zuviel. Reaktion Kompensation durch Kursabsenkung um 0,023 Prozentpunkte. (Annahme hierbei: Verkäufer hatte zum Nennwert gekauft und ursprünglicher Marktzins 5 % p. a. hat sich zwischenzeitlich nicht geändert.)

31 Prof. Dr. Hans Hirth 31 Vergleich mittels individueller Zeitpräferenz Idee: Zahlungen nur Mittel zum Zweck letzte Zielgröße: Konsum zu unterschiedlichen Zeitpunkten Bewertung unterschiedl. Konsumströme durch Nutzenfunktionen U = U(c 0, c 1,..., c T ) einfaches Beispiel: U = c 0,4 0,5 0 c 1 2 0,5 U U Indifferenzkurve : c1 0, 4 c1 0, 8 Hyperbel c c 0 0

32 Prof. Dr. Hans Hirth 32 Abb.: Indifferenzkurven, Isonutzenlinien c 1 steigender Nutzen c 0

33 Prof. Dr. Hans Hirth 33 Bewertung zweier unterschiedl. Konsumpläne: Plan A: (c 0 ; c 1 ) = (40; 60) Plan B: (c 0, c 1 ) = (60, 40) Investor I: U I = c 0 0,5 c 1 0,4 U I (A) = 32,53 und U I (B) = 33,88 bevorzugt B Investor II: U II = c 0 0,4 c 1 0,5 U II (A) = 33,88 und U II (B) = 32,53 bevorzugt A Investor I hat stärkere Gegenwartspräferenz

34 Prof. Dr. Hans Hirth 34 Abb.: subjektive Bewertung von Konsumplänen (c 0, c 1 ) c 1 60 A Investor I Investor II 40 B c 0 Erkenntnis Je steiler Indifferenzkurve, desto stärker Neigung zu gegenwärtigem Konsum, desto größer individuelle Diskontrate. Zshg. zw. indiv. Diskontrate und Marktzins wird in II.2.2 vertieft.

35 Prof. Dr. Hans Hirth Statische und dynamische Investitionsrechnungen Statische Investitionsrechnungen Zeitkomponente wird nicht angemessen berücksichtigt meist Betrachtung nur einer Periode, die repräsentativ (= identisch) für alle Perioden ist oder dem Durchschnitt aller Perioden gleicht (1) Gewinnvergleichsrechnung Wähle das Projekt mit dem größten Gewinn (durchschnittl. bzw. der einer repräsentativen Periode) und verzichte auf Projekte, die Verluste bringen!

36 Prof. Dr. Hans Hirth 36 Werden bei der Gewinnermittlung kalkulatorische Zinsen auf das gebundene Kapital angesetzt? Hier im folgenden Nein. Andernfalls Inkonsistenz zu ansonsten statischer Betrachtung. GVR ist nur dann unproblematisch, wenn alle Projekte mit identischer Nutzungsdauer (nicht: 2 Mio für 2 J. vs. 1 Mio. 10 J.) identischem Kapitaleinsatz (falls Kap.ko. nicht im Gewinn berücksichtigt) (nicht: 1 Mio. Gewinn mit Einsatz von 10 vs. 1 Mrd. ) und konstanten Periodengewinnen (nicht: (1; 2; 3) vs. (3; 2; 1))

37 Prof. Dr. Hans Hirth 37 (2) Kostenvergleichsrechnung Unsinnige Entscheidungsregel wäre: Minimiere Gesamtkosten einer Periode Produktionsverzicht optimal! sinnvolle Entscheidungsregel: Minimiere Gesamtkosten einer Periode bei gegebenen Erträgen Äquivalenz zur Gewinnvergleichsrechnung!

38 Prof. Dr. Hans Hirth 38 (3) Renditevergleichsrechnung Wähle das Projekt mit der höchsten durchschnittlichen (repräsentativen) Rendite, solange diese eine Mindestverzinsung übersteigt! Rendite = Gewinn (vor eingesetztes Zinsen) Kapital Return on Investment RoI eingesetztes Kapital : Falls Rückflüsse bereits während der Periode anfallen Durchschnittswert in der Periode Bei identischem Kapitaleinsatz der Alternativen RVR erbringt gleiche Entscheidung wie GVR. gleiche Problematik wie bei GVR

39 Prof. Dr. Hans Hirth 39 (4) Amortisationsrechnung Wähle das Projekt, dessen gesamte Auszahlungen am schnellsten durch Einzahlungen gedeckt werden. Amortisationsdauer : Zeitdauer, nach der sich das Projekt amortisiert. unmittelbarer Zahlungsbezug (i. Ggs. zu GVR, KVR und RVR) Beispiel Anfangsauszahlung in t=0: t=1 t=2 t=3 t=4 EZÜ in Folgeperioden: (30.000; ; ; ) Amortisationsdauer: 3 Perioden

40 Prof. Dr. Hans Hirth 40 Problem: Vernachlässigung aller Zahlungen jenseits der Amortisationsdauer sowie der Zeitstruktur innerhalb der Amortisationsdauer eher zur Risikoabschätzung geeignet Je weiter die Zukunft, desto riskanter die Prognose. Kurze Amortisationsdauer birgt weniger Unsicherheit. Unsicherheit bezieht sich dabei aber nur auf die Amortisation, nicht auf den Gewinn.

41 Prof. Dr. Hans Hirth 41 Beachte: Wenn das Projekt auch später noch Auszahlungen benötigt, müssen sich diese ebenfalls amortisieren. Beispiel: ( 100; 80; 80; 70; 40; 20) Amortisationsdauer: 4 Perioden Falls Möglichkeit des Projektabbruchs besteht: Amortisationsdauer: entweder 2 oder 4 Perioden, je nach Absicht bzgl. Projektabbruchs Im folgenden grundsätzlich gemeint: ohne Abbruchmöglichkeit, sonst bestünde ein Projekt ja selbst aus mehreren Alternativen.

42 Prof. Dr. Hans Hirth Dynamische Investitionsrechnungen Eigenschaften Erfassung der gesamten Dauer der Projekte Einbeziehung der zeitlichen Verteilung über Diskontierung dynamisch? im folgenden meist: einmalige Plang. im Entscheidungszeitpunkt, keine Abfolge von Entscheidungen schwach ausgeprägte Dynamik echte Dynamik: Wie wirken heutige Entscheidungen auf morgige?

43 Prof. Dr. Hans Hirth Investitionsentscheidungen bei Sicherheit und exogenem Kalkulationszinssatz 2.1 Entscheidungen auf Basis des Kapitalwerts Kapitalwert und Endwert Abb.: Notation der Zeitpunkte bzw. Perioden t 1 t... T1 T Zeitpunkte t T Perioden Zahlungen am Ende der Perioden e t : Einzahlungsüberschuß E t A t im Zeitpunkt t (am Ende der Periode t) e 0 : bei Investition mit Anfangsauszahlung A 0 ist e 0 = A 0 < 0

44 Prof. Dr. Hans Hirth 44 Kapitalwert K T = 4 Zeit t e 0 + e 1 + e 2 + e 3 + e 4 K T t et (1 i) A 0 et (1 i) t0 T t1 t

45 Prof. Dr. Hans Hirth 45 Beispiel Zahlungsreihe ab t = 0: {100; 50; 40; 30; 20; 10} i = 10 % Kapitalwert K = , , , , ,1 5 = 20,92

46 Prof. Dr. Hans Hirth 46 Tab.: Finanzplan bei Entnahme des Kapitalwerts Zeitpunkt t EZÜ e t Entnahme c t 20,92 Zinsen i KB t-1 12,09 8,30 5,13 2,64 0,91 Kapitalfreisetzung (e t c t i KB t-1 ) 37,91 31,70 24,87 17,36 9,09 Kapitalbindung KB t 120,92 83,01 51,31 26,44 9,08 0

47 Prof. Dr. Hans Hirth 47 Kapitalbindung eingesetztes Kapital incl. Zinsen darauf, das noch nicht durch entsprechende EZÜ zurückgeflossen ist ( freigesetzt wurde). hier eingesetzt (gebunden) für Investition und Konsum bei vollst. Fremdfinanzierung: Kapitalbindung = Kreditbestand. Kapitalfreisetzung Verringerung der Kapitalbindung = KB t KB t1 hier mittels verbleibenden Überschuß e t c t i KB t1 bei vollst. Fremdfinanzierung: Kap.freisetzung = Kredittilgung

48 Prof. Dr. Hans Hirth 48 Endwert B T T = 4 Zeit t e 0 + e 1 + e 2 + e 3 + e 4 B T T e t0 t (1 i) Tt (1 i) T T e t0 t (1 i) t (1 i) T K

49 Prof. Dr. Hans Hirth 49 proportional zum Kapitalwert; führt immer zu derselben Entscheidung K > 0 B T > 0 K A > K B B TA > B TB Achtung: Für den Vergleich müssen sich die Endwerte sich auf denselben Zeitpunkt T beziehen. Interpretation: Betrag, der am Ende der Laufzeit entnommen werden kann, ohne daß eigene Mittel eingesetzt werden. Beispiel: dieselben Daten wie oben B T = 1,1 5 K = 1,1 5 20,92 = 33,69

50 Prof. Dr. Hans Hirth 50 Tab.: Finanzplan bei Entnahme des Endwerts Zeitpunkt t EZÜ e t Entnahme 33,69 c t Zinsen ,6 +0,14 +2,15 i KB t-1 Kapitalfreisetzung ,4 20,14 +21,54 (e t c t i KB t-1 ) Kapitalbindung ,4 21,54 0 KB t

51 Prof. Dr. Hans Hirth Annuität = maximale, konstante Entnahme g in jeder Periode bis zum Projektende T Barwert des Entnahmestroms muß Kapitalwert des Projekts gleichen. Barwert der Annuitäten = Kapitalwert des Projekts T g(1 t1 g T i) 1 (1 t1 t i) t K K

52 Prof. Dr. Hans Hirth 52 Rechentrick Der Nenner ist (1): N = q 1 + q 2 + q q T mit Bruttozins q = 1 + i. Dann gilt (2): q N = 1 + q 1 + q 2 + q q (T1). Dann ist (2) (1): (q 1) N = 1 q T N = 1 q q 1 T 1 (1 i i) T. Dann folgt: i g T 1 (1 i) K Renten-Wiedergewinnungsfaktor = 1/Renten-Barwertfaktor (hier nachschüssig, d.h. erste Rente erst in t=1)

53 Prof. Dr. Hans Hirth 53 Beispiel: Dieselben Daten wie oben T = 5; i = 10 %, K = 20,92 0,1 g 20,92 0, , ,1 5,52 g ist proportional zum Kapitalwert, führt also zu derselben Vorteilhaftigkeitsentscheidung. absolut: K > 0 g > 0 relativ: K A > K B g A > g B falls T A = T B Vorsicht: Falls T A > T B ist, kann K A > K B, aber g A < g B vorkommen. Spezialfall: unendliche (oder ewige) Rente Setze T, dann folgt: g = i K

54 Prof. Dr. Hans Hirth 54 Tab.: Finanzplan bei Entnahme der Annuitäten Zeitpunkt t EZÜ e t Entnahme 5,52 5,52 5,52 5,52 5,52 c t Zinsen 10 6,55 3,76 1,69 0,41 i KB t-1 Kapitalfreisetzung 34,48 27,93 20,72 12,79 4,08 (e t c t i KB t-1 ) Kapitalbindung ,52 37,59 16,87 4,08 0 KB t

55 Prof. Dr. Hans Hirth 55 Erkenntnis Entnahmestrom mit festem Kapitalwert kann beliebig auf die Zeitpunkte verteilt werden. wurde jetzt an drei Beispielen belegt Interner Zinssatz = Kalkulationszinssatz i*, bei dem der Kapitalwert einer Investition den Wert Null annimmt. (kritische) Interpretation: Investition ist in der Lage, einen Kreditzins bis i* zu verkraften. Vorteilhaftigkeitskriterium: Investition lohnt, wenn i < i*.

56 Prof. Dr. Hans Hirth 56 K(i*) = 0 e 0 + e 1 (1+i*) 1 + e 2 (1+i*) e T (1+i*) T = 0 Lösung: Nullstellen eines Polynom T-Grades analytische Probleme 1) geschlossene Lösungen nur bis T = 4 möglich (bewiesen von Niels Hendrik Abel, norweg. Mathematiker; T=2: Vietascher Wurzelsatz; T=3: Cardanische Formel; T=4: geeignete Subst. des kubischen Terms; T > 4: nur in Spezialfällen) belanglos, da numerische Approximationslösungen Newtonsches Näherungsverfahren, siehe unten 2) möglicherweise mehrere Lösungen, keine reelle Lösung, keine positive Lösung

57 Prof. Dr. Hans Hirth 57 Kapitalwertfunktion K(i) K(i) T e t0 t (1 i) t K'(i) T t1 t e t (1 i) (t 1) K' '(i) T t t1 (t 1) e t (1 i) (t 2) Wenn ab t = 1 nur noch positive EZÜs (also e t > 0 ab t 1), dann K (i) < 0 und K (i) > 0 für alle i > 100 % konvexer Verlauf, monoton fallend.

58 Prof. Dr. Hans Hirth 58 Abb.: Kapitalwertfunktion einer Investition mit e t > 0 ab t = 1 K (i) T e t0 t 1 i* i e 0 = A 0

59 Prof. Dr. Hans Hirth 59 Newtonsches Näherungsverfahren K K(q 0 ) K(q 1 ) q 0 α q 1 q 2 q* q

60 Prof. Dr. Hans Hirth 60 - Start mit einem beliebigen Wert q 0 - Kapitalwert K(q 0 ) und Ableitung K (q 0 ) berechnen. - Außerdem gilt 1.) tan α = und - Gleichsetzen von 1.) und 2.) K(q q 1 0 q 2.) tan α = '(q ) K 0 ) 0 K' (q 0 ) K(q q 1 0 q ) 0 Auflösen nach q 1 : q1 q0 K(q K'(q 0 0 ) )

61 Prof. Dr. Hans Hirth 61 Berechnete Werte von K(q 0 ) und K (q 0 ) einsetzen und so q 1 ermitteln. Test, ob Kapitalwert an der Stelle q 1 bereits fast null ist. Falls nicht, zweiter Näherungsschritt nötig, bei dem q 2 ermittelt wird. Hierfür in obiger Gleichung q 0 durch q 1 ersetzen und q 1 durch q 2 ersetzen. Weitere Näherungsschritte bis Kapitalwert hinreichend nahe an Null und q* gefunden.

62 Prof. Dr. Hans Hirth 62 Beispiel Projekt mit Zahlungsstrom ( 100; 50; 40; 30; 20; 10) Wir starten mit z. B. i 0 = 15 %, also q 0 = 1,15. Kapitalwertfunktion: K(q) = q q q q q 5 Ableitung: K (q) = 50 q 2 80 q 3 90 q 4 80 q 5 50 q 6 An der Stelle q 0 = 1,15 betragen K(q 0 ) = 9,85 und K (q 0 ) = 203,26

63 Prof. Dr. Hans Hirth 63 Einsetzen in hergeleitete Formel K(q0 ) 9,85 q1 q0 1,15 K'(q ) 203,26 0 1,1985 Berechnung neuer Kapitalwert K(q 1 ) = 0,73.. ist noch nicht nahe genug an Null. Neuer Start bei q 1 = 1,1985 Ableitung der Kapitalwertfunktion an der Stelle q 1 beträgt K (q 1 ) = 174,12.

64 Prof. Dr. Hans Hirth 64 Einsetzen K(q 1 ) und K (q 1 ) in hergeleitete Formel K(q1) 0,73 q2 q1 1,1985 K'(q ) 174,12 1 1,2027 Kapitalwert bei i = 20,27 % berechnen: K(20,27) = 0,00338 Das ist schon sehr nahe an der Null. Damit beträgt der interne Zins ungefähr i* = 20,27 %.

65 Prof. Dr. Hans Hirth 65 Normalinvestition zunächst nur Auszahlungsüberschüsse anschließend nur Einzahlungsüberschüsse nur ein Vorzeichenwechsel in der Zahlungsreihe mit A t, E t > 0 ( A 0 ; A 1 ; ; A s ; E s+1 ;.; E T ) Im ökonomisch sinnvollen Bereich q 0 besitzt eine Normalinvestition genau einen einzigen internen Zinssatz!

66 Prof. Dr. Hans Hirth 66 Exkurs: Beweisskizze (nur für diejenigen, die es interessiert) K kommt an der Stelle q 0 aus dem positiven Unendlichen. K konvergiert an der Stelle q gegen den Wert A 0. Wegen des Vorzeichenwechsels muß die Kapitalwertkurve die q-achse also mindestens einmal schneiden. Im Bereich K 0 ist die Ableitung K (q) stets negativ (Beweis siehe unten). Wichtig ist, daß K auch für alle K = 0 negativ ist! Daraus ergibt sich: Die Kapitalwertkurve muß die q-achse einmal an ihrer ersten Nullstelle schneiden und verläuft dabei von links oben nach rechts unten. Eine zweite Nullstelle kann es nicht geben. Denn dann müßte die Kurve von unten kommend die q- Achse entweder erneut schneiden (K > 0) oder tangieren (K = 0). Beides ist wegen K < 0 für alle K = 0 ausgeschlossen. Beweis für K (q) < 0 im Bereich K 0: Der Zahlungsstrom ( A 0 ; A 1 ; ; A s ; E s+1 ;...; E T ) hat den Kapitalwert s K = 0 A t q -t + s+1 E t q -t Dessen erste Ableitung beträgt K (q) = s 0 A t q -t-1 + s+1 E t q -t-1

67 Prof. Dr. Hans Hirth 67 Es ist K (q) > = < 0, wenn s A t q > 0 -t-1 = s+1 E t q -t-1 < Multiplikation mit q 0 ergibt s A t q > 0 -t = s+1 E t q -t < Nun ist folgende Zusatzüberlegung hilfreich. Wir teilen den Kapitalwert auf in K = B E B A mit B E = s+1 E t q -t Kapitalwert aller Einzahlungen s B A = 0 A t q -t Kapitalwert aller (positiv definierten) Auszahlungen Dann ist s 0 A t q t t B A der gewogene Durchschnitt aller Auszahlungszeitpunkte. Dabei wird jeder dieser Zeitpunkte t = 0,, s mit dem Anteil des Barwerts von A t (im Zähler) am Barwert sämtlicher Auszahlungen (im Nenner) gewichtet. Dieser gewogene Durchschnitt liegt irgendwo zwischen 0 und s.

68 Prof. Dr. Hans Hirth 68 Analog ist s+1 E t q t t B E der gewogene Durchschnitt aller Einzahlungszeitpunkte. Dabei wird jeder dieser Zeitpunkte t = s+1,, T mit dem Anteil des Barwerts von E t (im Zähler) am Barwert sämtlicher Einzahlungen (im Nenner) gewichtet. Dieser gewogene Durchschnitt liegt irgendwo zwischen s+1 und T. Für die beiden Durchschnitte gilt eindeutig: s 0 t A t q -t B A s+1 t E t q -t B E B E B A s 0 t A t q -t s+1 t E t q -t Im Bereich B E B A (d. h. K 0) muß dann gelten: s 0 t A t q -t s+1 t E t q -t woraus folgt (s. o.): K (q) < 0 im Bereich K 0.

69 Prof. Dr. Hans Hirth 69 K Abb.: kein reeller interner Zinssatz i K(i) < 0 für alle i nie lohnend Beispiel: (200; 10; 100) K(i) > 0 für alle i stets lohnend Beispiel: (200; 10; 100) uninteressante Sonderfälle, untypische Investitionen!

70 Prof. Dr. Hans Hirth 70 mehrere reelle interne Zinssätze Beispiel e = (100; 235; 138) i 1 * = 15 % und i 2 * = 20 % K 0,05 3 0,15 0,2 0 i 20 % wäre der richtige, aber nur solange i > 15 %.

71 Prof. Dr. Hans Hirth 71 Finanzplan und Kapitalbindung Beispiel 1 e = (100; 50; 40; 30; 20; 10) i* = 20,27 % Tab.: Kapitalfreisetzung Beispiel 1 Zeitpunkt t EZÜ e t Zinsen i* KB t-1 Kapitalfreisetzung (e t i KB t-1 ) Kapitalbindung KB t 20,27 14,24 9,02 4,77 1,68 29,73 25,76 20,98 15,23 8, ,27 44,51 23,53 8,30 0,02 0

72 Prof. Dr. Hans Hirth 72 Beispiel 2 e = (100; 235; 138) (s.o.) i 1 * = 15 % u. i 2 * = 20 % Bei Verwendung von i 2 * = 20 %: Tab.: Kapitalfreisetzung Beispiel 2.1 Zeitpunkt t EZÜ e t Zinsen i* KB t-1 Kapitalfreisetzung (e t i KB t-1 ) (138+23) =115 Kapitalbindung KB t Implizite Annahme, daß bei negativer Kapitalbindung das Guthaben zu i* angelegt werden kann. Wiederanlageprämisse

73 Prof. Dr. Hans Hirth 73 Ähnliches bei Verwendung von i 1 * = 15: Tab.: Kapitalfreisetzung Beispiel 2.2 Zeitpunkt t EZÜ e t Zinsen i* KB t-1 Kapitalfreisetzung (e t i KB t-1 ) (138+18) =120 Kapitalbindung KB t

74 Prof. Dr. Hans Hirth 74 Erkenntnisse Kriterium des internen Zinssatzes nur sinnvoll, wenn Kapitalbindung stets positiv Pos. Kap.bindg. bei allen Normalinvestitionen erfüllt, aber auch bei anderen denkbar. Dann gilt: Kapitalwert ist genau dann positiv, wenn Kalkulationszinssatz kleiner ist als der interne Zinssatz (i < i*). Dann Interpretation: i* ist Rendite auf das im Zeitablauf gebundene Kapital.

75 Prof. Dr. Hans Hirth 75 Auswahlentscheidungen mit dem internen Zinsfuß möglicher Gedanke: A besser als B, wenn i A * > i B * nur richtig, wenn K A (i) > K B (i) für alle i K Abb.: richtige Auswahl mit internem Zinssatz i B * i A * K A (i) K B (i) i

76 Prof. Dr. Hans Hirth 76 sonst möglich: Abb.: falsche Auswahl mit internem Zinssatz K î i A * i B * K B (i) i K A (i)

77 Prof. Dr. Hans Hirth 77 Beispiel e A = (150; 90; 82,5) i A * = 10 % e B = (80; 49,6; 44,8) i B * = 12 % î = 7,7 % Trotz i B * > i A * ist für i < î Projekt A besser als B. Test bei i = 6 %: K A = 8,33 > K B = 6,66

78 Prof. Dr. Hans Hirth 78 Vorgehen bei Auswahl zwischen Normalinvestitionen A und B mit Hilfe des internen Zinssatzes Sind A und B lohnend? i A * > i und i B * > i? falls nein: entspr. Projekt unvorteilhaft, kein Auswahlproblem falls ja: weiter! (im Bsp. mit i = 6 % erfüllt) Hat Investition mit höherer Kapitalbindung auch höheren internen Zinsfuß? (Problem: Kapitalbindung vorab bestimmen) falls ja: große Invest. A besser (im Bsp. nicht wegen i A * < i B *) falls nein: kleine Invest. B könnte besser sein. Übergang von kleiner (rentierlicheren) zu großer Investition vorteilhaft?

79 Prof. Dr. Hans Hirth 79 Betrachtung der Differenzinvestition : Mehrausz./-einz. der großen Investition Im Beispiel e A = (150; 90; 82,5) e B = (80; 49,6; 44,8) e AB = (70; 40,4; 37,7) Ist Differenzinvestition eine Normalinvestition? falls nein: i* nicht zweckmäßig; spätestens jetzt Kapitalwertkri- terium K (AB) falls ja: Übergang zu großer Investition A genau dann lohnend, wenn i* AB > i. im Bsp. i* AB = 7,7 % > i = 6 %, also A besser als B.

80 Prof. Dr. Hans Hirth 80 Erkenntnisse zum internen Zinssatz oft nur numerisch lösbar, jedoch kein Gegenargument echte Probleme bei Nicht-Normalinvestitionen Mehrdeutigkeit Wiederanlageprämisse bei negativer Kapitalbindung bei Normalinvestitionen Durchführung lohnend, wenn i* > i Auswahlentscheidung ggf. mit Differenzinvestition Rekonstruktion der richtigen Entscheidung ist mühsam. Kapitalwert ist vorzuziehen.

81 Prof. Dr. Hans Hirth Kapitalwertrate KWR setzt den Kapitalwert K eines Projekts ins Verhältnis zum eingesetzten Kapital A 0 : K KWR Annahme: negativer Einzahlungsüberschuß nur in t = 0. A 0 steht also wirklich für das gesamte eingesetzte Kapital. A 0 Interpretation: oder auch: KW = heutiger Verm genszuwachs eingesetztes Verm gen KWR drückt aus, wieviel Kapitalwert pro eingesetztem Euro erwirtschaftet wird.

82 Prof. Dr. Hans Hirth 82 Wofür braucht man dieses Kriterium? Beispiel Kalkulationszins 10 % Festes Investitionsbudget 10 Mio.. 3 Projekte (weder teilbar, noch mehrfach durchführbar) A = ( 10 Mio.; 2 Mio.; 12 Mio.) B = ( 6 Mio.; 7 Mio.; 1 Mio.) C = ( 4 Mio.; 1 Mio.; 5 Mio.)

83 Prof. Dr. Hans Hirth 83 Kapitalwert Kapitalwertrate Interner Zins A: 1,74 Mio. (1) 17 % (3) 20 % (3) B: 1,19 Mio. (2) 20 % (2) 30 % (1) C: 1,04 Mio. (3) 26 % (1) 25 % (2) In Klammern steht die jeweilige Rangposition des Projekts nach dem jeweiligen Kriterium. Antwort: Reihung hängt vom Kriterium ab. In welche Projekte soll nun das Budget fließen? Nicht in Projekt A - obwohl es den höchsten Kapitalwert aufweist -, weil es gleichzeitig das gesamte Budget verschlingt.

84 Prof. Dr. Hans Hirth 84 Denn entscheidend ist hier: Wieviel Kapitalwert wird pro eingesetzter Geldeinheit erwirtschaftet. Kapitalwertrate Pro eingesetztem Euro bekommt man bei C den höchsten Kapitalwert und bei B den zweithöchsten. Daher Lösung: C und B Budget ist damit ausgeschöpft. K C + K B = 1,19 Mio. + 1,04 Mio. = 2,23 Mio. > K A = 1,74 Mio.

85 Prof. Dr. Hans Hirth 85 Warum hier Kapitalwert kein sinnvolles Reihungskriterium? (1) Kapitalwertberechnung berücksichtigt zwar unterschiedliche Höhe des eingesetzten Kapitals, allerdings nur über die Zinskosten des gebundenen Kapitals. (2) Hier gibt es die zusätzliche Restriktion, daß das eingesetzte Kapital nicht nur Zinskosten verursacht, sondern außerdem in nur begrenztem Umfang zur Verfügung steht. (3) Bei festem Budget verdrängen sich die Projekte gegenseitig. Dies wird allein durch den Kalkulationszins (als Preis für den Kapitaleinsatz) nicht hinreichend widergespiegelt.

86 Prof. Dr. Hans Hirth 86 Bei nur einer Periode mit Zahlungsstrom ( A 0 ; e 1 ) führen KWR und interner Zins zur gleichen Reihung. Beweis: e interner Zinssatz: i* 1 1 A e1 A0 K q e1 Kapitalwertrate: KWR 1 A A q A Als Bruttorenditen formuliert: q* = 1 + i* = e A 1 0 bzw. q KWR = 1 + KWR = e1 q A 0

87 Prof. Dr. Hans Hirth 87 Man erkennt: q* = q KWR q Bei geg. Kalkulationszins q hat ein Projekt immer dann einen höheren internen Zins als ein anderes, wenn es eine höhere KWR besitzt Einbeziehung von Steuern Schon ein unverdächtig simples Steuersystem kann die Vorteilhaftigkeit von Investitionen umkehren. keine Entscheidungsneutralität

88 Prof. Dr. Hans Hirth 88 Ein simples Steuersystem proport. Gewinnsteuer, keine Freibeträge, voller Verlustausgleich Gewinn der Realinvestition: g t = e t d t Abschreibung: allgemein: d t steht für nicht auszahlungswirks. Aufwand in t außerdem: d t = A 0 Steuerzahlung: s t = v g t = v (e t d t ) Steuersatz d t

89 Prof. Dr. Hans Hirth 89 Einzahlungsüberschuß nach Steuern: e t s = e t s t = e t v (e t d t ) Diskontsatz nach Steuern: i s = i (1 v) Grund: Rendite der Alternativanlage unterliegt derselben Steuer. Bruttozinssatz: q s = 1 + i s

90 Prof. Dr. Hans Hirth 90 K Abb.: Steuereffekte in der Kapitalwertfunktion Volumeneffekt Zinseffekt i s i K s (e s ;Zins) Zins K(e;Zins) Wenn Zinseffekt stärker als Volumeneffekt Steuerparadoxon

91 Prof. Dr. Hans Hirth 91 Formel: Kapitalwert mit Steuern K s A 0 T e s 1 i t1 t t s t Steuereffekte analytisch Sei e Zahlungstrom vor Steuern e s i Zahlungsstrom nach Steuern mit e s = e s Kalkulationszinssatz ohne Steuern i s Kalkulationszinssatz mit Steuern

92 Prof. Dr. Hans Hirth 92 K(e s ; i s ) K(e; i) = K (e s ; i s ) K (e; i s ) + K(e; i s ) K(e; i) = Volumeneffekt + Zinseffekt T 1 t t t s t t s t T 1 t t t t s t t s t t s t t T 1 t t t t s t t s t t s s t ) q (q e q s q e q e q e q s e q e q e q e q e Volumeneffekt < 0 Zinseffekt > 0 = Barwert der = Erhöhung des Barwerts Steuerausz. der EZÜ durch Zinssenkung (beachte: q s < q q s t > q t )

93 Prof. Dr. Hans Hirth 93 Beispiel eines Steuerparadoxons Daten: e und d wie in Tabelle i = 10 %; v = 50 % i s = 5 % Tab.: Steuerparadoxon g t t e t d t e t = e t d t = v g t = e t s t ,5 27,5 K = 3,76 K s = 4,32 = K(e; i) = K(e s ; i s ) s t s

94 Prof. Dr. Hans Hirth 94 Zur Interpretation positiver Kapitalwert relative Vorteilhaftigkeit i. Vgl. zur alternativen (Finanz-)Anlage Steuerparadoxon Alternative (Finanz-)Anlage wird durch Steuer stärker beeinträchtigt als Sachinvestition. Stärkere Entlastung bei den Zinskosten als Belastung der Investitionsrückflüsse bringt insgesamt Vermögenszuwachs Einbeziehung nicht-flacher Zinskurven bisherige Annahme: einheitl. Zinssatz für alle Laufzeiten ( flache Zinskurve ) realistischer jedoch: ansteigende Zinskurve

95 Prof. Dr. Hans Hirth 95 i t Abb.: Fristigkeitsstruktur der Zinssätze inverse flache normale Laufzeit t Achtung: i t ist nicht Zinssatz in Periode t, sondern der Periodenzinssatz bei Laufzeit vom Zeitpunkt 0 bis t

96 Prof. Dr. Hans Hirth 96 Differenzierung verschiedener Arten von Zinssätzen Kassazinssätze Zinssatz für Geschäfte, die sofort durchgeführt werden Zerobond-Zinssatz z 0t ( spot rate ) keine zwischenzeitliche Zinszahlung, gesamte Zinszahlung erst am Ende der Laufzeit (z.b. Zero-Bonds) Bsp. Wertpapier mit 3 Jahren Laufzeit u. Zerobond-Zinssatz z 03 = 6 % t Zahlung (1,06) = ,16

97 Prof. Dr. Hans Hirth 97 Kupon-Zinssatz i 0t mit zwischenzeitl. Zinszahlung (z.b. übliche Kreditverträge, Kuponanleihen) Bsp. Wertpapier mit 3 Jahren Laufzeit u. Kupon-Zinssatz i 03 = 6 % t Zahlung Terminzinssatz z st oder i st ( forward rates ) Zinssätze für Geschäfte, die jetzt vereinbart, aber erst künftig durchgeführt werden.

98 Prof. Dr. Hans Hirth 98 Bsp. Wertpapierkauf auf Termin zum Terminkurs (soll hier dem Nennwert gleichen) a) mit z 24 = 6% t Zahlung (1,06) = b) mit i 24 = 6% t Zahlung Im folgenden sind mit Terminzinssätzen stets die z st gemeint, die i st werden keine Rolle spielen.

99 Prof. Dr. Hans Hirth 99 Beziehung zwischen den Zinssätzen... über das Prinzip der Arbitragefreiheit herstellbar: Äquivalente Positionen haben gleiche Preise. Dominante Positionen haben höhere Preise. arbitrage (frz.): - w rtliche Übersetzung Schiedsgericht - Ökonomen meinen damit Ausnutzen von Preisunterschieden. Auf vollkommenen Märkten ist Arbitragefreiheit notwendige Bedingung für ein Marktgleichgewicht.

100 Prof. Dr. Hans Hirth 100 Arbitragefreiheit bei Finanzanlagen impliziert: Finanzanlagen, die den gleichen Rückfluß generieren, müssen den gleichen Preis haben. Die gegebene Zinsstruktur muß so sein, daß bei Anlage eines geg. Betrags von 0 bis t jede beliebige Kombination möglicher Zinssätze zum gleichen Kapitalwert führt. Der Preis jeder Anlagemöglichkeit entspricht dem Barwert ihrer Rückflüsse. Oder anders: Der Kapitalwert jeder Finanzanlage beträgt null.

101 Prof. Dr. Hans Hirth 101 Welche Zinssatzarten können für die Berechnung des Kapitalwerts verwendet werden? Bsp: Kapitalwertberechnung des Zahlungsstroms ( 100; 40; 60) K ? Abb.: Zinssatzarten 60 (1?) 2 i 02 i 02 e t = t = z 01 = i 01 z 12 z 02

102 Prof. Dr. Hans Hirth 102 Lösung: Entweder oder oder K K K z (1 z02 ) z01 (1 z01) ( z 60 z i02 i02 z12 ) Diskontierung von 40 auch mit i 01 möglich, aber nicht mit i 02 oder z 02, da unterschiedliche Frist (logisch).

103 Prof. Dr. Hans Hirth 103 Diskontierung von 60 bedeutet, danach zu fragen, wie hoch der heutige Kredit X sein darf, für dessen Tilgung samt Zinseszinsen die 60 in t = 2 verwendet werden. Variante 1 Es wird heute ein zweijähriger Kredit zum Zerobondzins z 02 aufgenommen, der aufgezinst den Betrag 60 ergibt: X (1+z 02 )² = 60 X = z 02

104 Prof. Dr. Hans Hirth 104 Variante 2 Es wird heute ein einjähriger Kredit zum Zins z 01 (bzw. i 01 ) aufgenommen. Die Tilgung und Zinszahlung wäre in t = 1: (1+z 01 ) X Diese künftige Auszahlung wird auf Termin über einen Anschlußkredit zum Zins z 12 finanziert. Endwert dieses Anschlußkredits ist in t= 2: (1+z 01 ) X (1+z 12 ) Wenn dieser Endwert gleich 60 sein soll, wäre der passende heutige Kredit X (1 z 60 ) (1 01 z 12 )

105 Prof. Dr. Hans Hirth 105 Variante 3 Es wird heute ein zweijähriger Kredit zum Kuponzins i 02 aufgenommen. Die daraus fälligen Auszahlungen sind in t = 1: i 02 X (zwischenzeitliche Zinszahlung) in t = 2: (1+i 02 ) X i 02 X wird über einen zusätzlichen Kredit auf Termin finanziert. Dessen Endwert ist in t = 2: i 02 X (1+z 12 ) Dann ist der Endwert beider Kredite in t = 2: (1+i 02 ) X + i 02 X (1+z 12 ) = X (1+ 2 i 02 + i 02 z 12 )

106 Prof. Dr. Hans Hirth 106 Wenn dieser Endwert gleich 60 sein soll, wäre der passende heutige Kredit X 1 2 i i02 z12 Die ersten beiden Varianten implizieren wegen Arbitragefreiheit (1 + z 02 ) 2 = (1 + z 01 ) (1+z 12 ) 2 (1 z02) z z impliziter erminzinssatz 01

107 Prof. Dr. Hans Hirth 107 Abb.: arbitragefreie Zinssätze bei t Perioden z 01 z 12 z 23 z t-1;t Endbetrag in t: 1 (1+z 01 ) (1+z 12 ).. (1+z t-1;t ) t Zeit z 0t Endbetrag in t: 1 (1+z 0t ) t

108 Prof. Dr. Hans Hirth 108 Allgemein: Termin- und Zerobond-ZInssätze (1 + z 0t ) t = (1 + z 01 ) (1+z 12 )... (1+z s1,s ) (1+z s,s+1 )... (1+z t1,t ) bei Arbitragefreiheit: (1+z 0s ) s (1+z st ) ts (1+z 0t ) t = (1+z 0s ) s (1+z st ) ts (1 z st ) ts (1 (1 z z 0t 0s ) ) t s

109 Prof. Dr. Hans Hirth 109 Formel: Kassa- und passendetermin-zerobond-zinssätze z st t s (1 z (1 z 0t 0s ) ) t s 1 mit s < t. Erkenntnisse bei nichtflacher Zinsstruktur Berechnung des Kapitalwerts wie gehabt, aber auf Basis der Zerobond-Zinssätze, nicht mit Kupon-Zinssätzen (allein) Arbitragefreiheit nur gewährleistet, wenn die Sätze der unterschiedlichen Zinsarten in bestimmtem Verhältnis zueinander stehen.

110 Prof. Dr. Hans Hirth Einbeziehung von Risiko Wenn Rückzahlungen risikobehaftet Bewertungsabschlag durch risikoaversen Entscheider Zwei Ansatzpunkte in Kapitalwertformel für Einbezug einer Risikoprämie Abschlag auf EZÜ: K 0 = Zuschlag* auf Kalk.zins: K 0 = * bzw. Abschlag, falls E(e t ) < 0 t=0 t=0 E(e t ) - 1+i t E(e t ) 1+i+rp t t P t Bemessung der Risikoprämie RP bzw. rp durch individuelle Risikopräferenz oder Marktbewertung des Risikos Genaueres in F&I 1 Risikomanagement und Kapitalmarkt

111 Prof. Dr. Hans Hirth Investitions- und Konsumentscheidung Fisher-Modell und vollkommener Kapitalmarkt a) subjektive Bewertung über indiv. Zeitpräferenz Beispiel zwei Zeitpunkte Anfangsausstattung mit liquiden Mitteln L = 100 Sachinvestitionsmöglichkeiten wie folgt: Tab.: Investitionserträge Gesamtinvestitionen I 0 in t = 0 Rückfluß I 1 in t =

112 Prof. Dr. Hans Hirth 112 Abb.: vier Investitions- und Konsumalternativen c c 0

113 Prof. Dr. Hans Hirth 113 Wieviel soll investiert werden? Ziel: Nutzenmaximierung! Investor I z.b. mit U = c 0 0,5 c 1 0,4 Tab.: Nutzen I I 0 I 1 = c 1 100I 0 = c 0 U , ,

114 Prof. Dr. Hans Hirth 114 Abb.: Optimierung I c c 0

115 Prof. Dr. Hans Hirth 115 Investor II z.b. mit U = c 0 0,1 c 1 0,8 Tab.: Nutzen II I 0 I 1 = c 1 100I 0 = c 0 U , ,

116 Prof. Dr. Hans Hirth 116 Abb.: Optimierung II c c 0

117 Prof. Dr. Hans Hirth 117 Ergebnis: Investor I bevorzugt I 0 = 40. Investor II bevorzugt I 0 = 80. Optimale Höhe d. Sachinvestition hängt v. indiv. Nutzenfunktion ab! keine Einigkeit bei mehreren Gesellschaftern schlechte Delegierbarkeit b) Bewertung mit zusätzl. Einbeziehung des Kapitalmarkts zusätzliche Möglichkeit, Mittel anzulegen und aufzunehmen Beispiel einheitlicher Zinssatz i = 10% für Anlage und Kredit zeitliche Transformation von Zahlungen in t = 0 nach t = 1 (oder umgekehrt) im Verhältnis 1 : 1,1 (oder 1,1 : 1)

118 Prof. Dr. Hans Hirth 118 Abb.: Zinsgeraden c 1 Steigung (1+ i) c 0

119 Prof. Dr. Hans Hirth 119 Abb.: Optimierung mit vollkommenem Kapitalmarkt c 1 I 0 =100 I 0 =80 Investor I Investor II I 0 =40 I 0 =0 c 0

120 Prof. Dr. Hans Hirth 120 Ergebnisse Beide Investoren bevorzugen nun Sachinvestition I 0 = 80, auch Investor I. Investor I nimmt Kredit am Kapitalmarkt auf und konsumiert relativ viel in t = 0. Investor II legt zusätzlich Mittel am Kapitalmarkt an und konsumiert relativ wenig in t = 0. Grund für identische Investitionsentscheidungen Bei I 0 = 80 könnten die meisten Mittel sofort entnommen werden. Diese Mittel müssen aber nicht sofort entnommen und konsumiert werden, sondern können wiederum über Kapitalmarktanlage (teilweise) in morgigen Konsum transformiert werden.

121 Prof. Dr. Hans Hirth 121 Nachweis Bei welchem Investitionsvolumen ist derjenige Betrag am höchsten, der sofort entnommen werden könnte, wenn sämtliche Investitionsrückflüsse zur Tilgung der Finanzierung verwendet würden? I 0 I 1 Tab.: maximale Entnahme max. Kredit I 1 1,1 1 verbleibende Anfangsmittel nach I 0 max. Mittel V 0 in t = 0: , , , , , ,72

122 Prof. Dr. Hans Hirth 122 Allgemeine Regel für Investitionsentscheidungen bei vollkommenem Kapitalmarkt: Maximiere das Gegenwartsvermögen V 0 vor Konsumentscheidung! V 0 = (L I 0 ) + I 1 (1+i) 1 = L + { I 0 + I 1 (1+i) 1 } Überschuß d. diskontierten Rückflüsse über d. Anfangsauszahlung Kapitalwert der Investition, Nettobarwert (net present value) Daraus folgt das Kapitalwertkriterium für Investitionsentscheidungen:

123 Prof. Dr. Hans Hirth 123 Eine Investition lohnt sich, wenn ihr Kapitalwert positiv ist. Wenn sich verschiedene Investitionsprojekte ausschließen, wähle diejenige mit dem höchsten Kapitalwert. Fisher-Separation (Irving Fisher) (1) Sachinvestitionsentscheidung unabh. von indiv. Zeitpräferenz; Ziel: Kapitalwertmaximierung (2) Konsumentscheidung durch Aufteilung des Gegenwartsvermögens aus (1) auf die verschiedenen Zeitpunkte via Kapitalmarkt Folge Einstimmigkeit der Gesellschafter Möglichkeit der Delegation von Investitionsentscheidungen

124 Prof. Dr. Hans Hirth 124 Aufteilung des Gegenwartsvermögens auf den intertemporalen Konsum im Beispiel Bei I 0 = 80 maximales Gegenwartsvermögen V 0 = 118,18 Investor mit U = c 0 c 1 Wie teilt Investor die 118,18 optimalerweise auf seinen Konsum heute und morgen auf? mit U = c 0 c 1 = (V 0 s 0 ) [(1+i) s 0 ] über s 0 zu maximieren! s 0 : Teil des Gegenwartsvermögens V 0, der nicht gegenwärtig konsumiert wird (s 0 > 0)

125 Prof. Dr. Hans Hirth 125 U (s 0 ) = (V 0 s 0 ) 1 [(1+i) s 0 ] + (V 0 s 0 ) (1+i) [(1+i) s 0 ] 1 = 0 : (V 0 s 0 ) : [(1+i) s 0 ] (V 0 s 0 ) 1 + (1+i) [(1+i) s 0 ] 1 = 0 (V 0 s 0 ) s 0 s 0 + (V 0 s 0 ) = 0 s * 0 = V0 c 0 * = V 0 s 0 * V = 0 c * 1 = (1+i) s * 0 = (1+i) V0

126 Prof. Dr. Hans Hirth 126 Einsetzen von V 0 = 118,18 und i = 0,1 sowie α und β in c 0 * und c 1 * : Tab.: Konsumaufteilung Investor I Investor II = 0,5 und = 0,4 = 0,1 und = 0,8 * c 0 65,66 13,13 * c 1 57,78 115,55 U mit Kapitalmarkt 41,05 57,81 U ohne Kapitalmarkt (s.o.) 39,84 57,13 Berücksichtigung des Kapitalmarkts verbessert beide Investoren. Selbst Investor II verbessert sich, obwohl seine Sachinvestition unverändert bleibt.

127 Prof. Dr. Hans Hirth 127 Maßnahmen der Investoren Investor I in t = 0 Sachinvestition 80 verbleibende Eigenmittel 20 zusätzl. Kredit c 0 20 = 65,66 20 = 45,66 Konsum c 0 = 65,66 in t = 1 Investitionsrückfluß 108 Kredittilg. + Zins 1,1 45,66 = 50,226 Konsum c 1 = ,226 = 57,774

128 Prof. Dr. Hans Hirth 128 Investor II in t = 0 Sachinvestition 80 verbleibende Eigenmittel 20 zusätzl. Finanzanlage 20 c 0 = 20 13,13 = 6,87 Konsum c 0 = 13,13 in t = 1 Investitionsrückfluß 108 Rückfluß aus Finanzanlage 1,1 6,87 = 7,557 Konsum ,557 = 115,557

129 Prof. Dr. Hans Hirth Hirshleifer-Modell und unvollkommener Kapitalmarkt Unvollkommenheit abgebildet über Habenzins < Sollzins Projekte stilisiert über stetige Investitionsertragskurve. c 1 Habenzinsgerade A B Sollzinsgerade Investitionsertragskurve Anfangsvermögen c 0

130 Prof. Dr. Hans Hirth 130 Je nach Steigung der Indifferenzkurven liegt Tangentialpunkt der bestmöglichen Indifferenzkurve (1) auf der Habenzinsgerade (links von A). (2) auf der Investitionsertragskurve (zwischen A und B). (3) auf der Sollzinsgerade (rechts von B). Diese drei Fälle sind wie folgt zu interpretieren: (1) Investor investiert bis A und legt außerdem noch etwas am Kapitalmarkt an. (2) Investor investiert bis in den Bereich zwischen A und B. Er legt weder etwas am Kapitalmarkt an, noch nimmt er Kredit auf. (3) Der Investor investiert bis B und nimmt noch einen Kredit auf. keine Fisher-Separation mehr (nur noch bereichsbezogene)

131 Prof. Dr. Hans Hirth Nutzungsdauerentscheidungen ND: nicht gemeint technisch mögliche, sondern ökonomisch sinnvolle Entscheidung über optimalen Zeitpunkt der Ersetzung zahlreiche Varianten: ohne Ersatzinvestition mit identischer Ersatzinvestition mit besserer Ersatzinvestition ohne Ersatzinvestition bei Beendigung: Liquidationserlös statt weiterer lfd. Überschüsse

132 Prof. Dr. Hans Hirth 132 Beispiel: keine Ersatzinvestitionen i = 10 %, e n t : EZÜ in t bei Beendigung im Zeitpunkt n ( t) Tab.: keine Ersatzinvestition t e t L t e t e t e t K(n) 0 8,26 17,58 21,54 20,92 e t 4 e t 5 Bei Laufzeit n = 4 ist Kapitalwert am höchsten.

133 Prof. Dr. Hans Hirth 133 Aber: Vollst. Vergleich aller alternativen Zahlungsströme ist aufwendig. Behelf: Analyse der Wirkung der Verlängerung der ND um eine Periode Ausgangspunkt: K(n) = n e q t0 t t L n q n

134 Prof. Dr. Hans Hirth 134 Erhöhung des Kapitalwerts durch Verlängerung der ND um eine Periode (von n1 bis n): K(n) K(n1) n n1 t n = t (n1) e t q Ln q et q Ln1 q t 0 t 0 = e n q n + L n q n L n1 q (n1) = e n q n + L n q n L n1 q n (1+i) = q n [e n (L n1 L n ) i L n1 ] Barwert von EZÜ kalk. Zinsen auf Liqu.erlös) Minderung des Liqu.erlöses

135 Prof. Dr. Hans Hirth 135 Falls K(n) K(n1) > 0: Weiternutzung von n1 bis n vorteilhaft. Falls K(n) K(n1) < 0: Weiternutzung von n1 nur bis n unvorteilhaft. Aber: Weiternutzung bis (n+x) könnte höheren Kapitalwert erbringen. Behelf kann nur die Vorteilhaftigkeit einer Fortführung nachweisen, aber nicht die eines Abbruchs (außer vor der letzten Periode).

136 Prof. Dr. Hans Hirth mit Ersatzinvestition hier: unendliche Investitionskette identischer Investitionen i = 10 % Beispiel: identische Ersatzinvestitionen e t n : EZÜ in t, wenn Projekt nach n Perioden beendet wird und dann das gleiche Projekt neu beginnt.

137 Prof. Dr. Hans Hirth 137 Tab.: identische Ersatzinvestionen t e t L t 1 e t 2 e t 3 e t 4 e t 5 e t usw usw. usw usw usw. Beachte: Wenn der Ersatz der 1. Investition in t = n optimal ist, dann ist der Ersatz der 2. Investition in t = 2n optimal.

138 Prof. Dr. Hans Hirth 138 K (n): Kapitalwert der unendlichen Investitionskette K (n): Kapitalwert der endlichen Investition Zusammenhang zwischen beiden: K (n) = K(n) + q n K(n) + q 2n K(n) + usw. Kapitalwert 1. Invest. Kapitalwert 2. Invest. Kapitalwert 3. Invest. = K(n) (1 + q n + q 2n + q 3n +...) (1): Q