Das Histogramm, bzw. Stabdiagramm / Histogramm / Balkendiagramm

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1 Histogram / Histogramm / histogram Akademische Disziplin der Statistik/academic field of statistics/ la discipline statistique/estadística/disciplina academica della statistica deskriptive Statistik/descriptive statistics/statistique descriptive Histogramm/histogram/histogram, diagramme à bandes/ diagrama de barras/istogramma delle frequenze Das Histogramm, bzw. Stabdiagramm / Histogramm / Balkendiagramm 1 Eine sehr beliebte Graphik und ein in allen Medien weitverbreitetes statistisches Darstellungsverfahren ist das Histogramm. Vermutlich ist es die Hauptanwendung deskriptiver statistischer Verfahren. Sie finden sich fast überall, wo über Zahlen geschrieben und berichtet wird, z.b. in Zeitungen, Firmenberichten, Parlamentsprotokollen, Fernsehnachrichten, usw. Wie das Torten-Diagramm ist es eine einfache graphische Darstellung, die sich in der Praxis bewährt hat. Strenggenommen werden dabei zwei Varianten unterschieden, die in der Praxis oft verwechselt oder gar bewußt vermischt werden, die Darstellung diskreter und die Darstellung stetiger Merkmale. Gemeinsam gilt für beide, daß von einer Datenmenge ausgegangen wird. Nach Durchführung einer statistischen Erhebung - und dies wird im folgenden als erfolgt angesehen - ist das Datenmaterial (die Urliste) so aufzubereiten, daß man die Fülle der Beobachtungen intellektuell aufnehmen und verarbeiten kann. Als erstes wird dazu der Begriff der absoluten und relativen Häufigkeit eingeführt. Seien {b 1, b 2,..., b n } die Beobachtungen - eine Erhebung der Länge n - zu einem beliebigen Merkmal X, das allgemein die Ausprägungen {X 1, X 2,..., X K }, K n aufweisen kann. Nicht alle b i (i {1, 2,..., n}) sind notwendigerweise verschieden, so daß die verschiedenen Ausprägungen mit den absoluten Häufigkeiten n k (k=1,2,...,k) mehrfach beobachtet wurden. Wenn die {n 1, n 2,..., n K } die absoluten Häufigkeiten eines beliebigen (nominalen, ordinalen oder kardinalen/diskreten oder stetigen) Merkmals bezeichnen, dann heißen die K f k = n k /n, mit n= Σ n k k=1 die relativen Häufigkeiten. Offensichtlich gilt: 0 f k 1. K=n trifft nur dann zu, falls alle Beobachtungen verschieden sind und zu jeder Ausprägung eine Beobachtung gemacht wird. Mit diesen Daten-Vereinbarungen können nun beide Varianten des Histogramms definiert werden.

2 Das Stabdiagramm - die Darstellung diskreter Merkmale Die Definition geschieht mit Hintergrund einer Illustration: 2 Illustration 1 (Ein diskretes Merkmal mit sechs Ausprägungen) Eine Menge von n Beobachtungen zum Merkmal B mit den verschiedenen Ausprägungen {B 1, B 2,..., B K } seien die jeweiligen Beobachtungen {n 1, n 2,..., n K }, z.b. die Ergebnisse von n=100 Würfen eines Würfels. Als Merkmalsausprägungen gibt es die sechs verschiedenen Augenzahlen {B 1, B 2,..., B K } = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Für die der Größe nach sortierten Merkmalsausprägungen (- die Sortierung ist für ein Stabdiagramm belanglos und dient hier nur der Übersichtlichkeit -) seien die folgenden Häufigkeiten n k (k=1,...,6) beobachtet worden: { B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6 } { 15, 20, 20, 10, 15, 20 }, n=100, K=6 bzw. als Tabelle: B k n k Zur Erleichterung der Einführung späterer Begriffe (z. B. empirischer und theoretischer statistischer Verteilungen -PDF-, weiterer Funktionen, z.b. Erwartungwerte - Mittelwert, Varianz, u.a.) sei das Beispiel umbezeichnet: x k n k Damit ergibt sich die folgende Definition des Stabdiagramms: Definition 1 (Stabdiagramm) Sei x eine beliebiges Element aus der Menge M, x M, M ={x 1, x 2,..., x K } die Menge von beobachteten verschiedenen Merkmalsausprägungen; sei weiter und g:= { M R + x g(x) : = { n k, fallsx=x k (k=1,...,k) 0, sonst M [0, 1] f:= { x f(x) := 1 n g(x) (die absolute Häufigkeitsfunktion) (die relative Häufigkeitsfunktion) Da es um Beobachtungen geht (Empirie =Beobachtungen aus der Praxis), heißen die Funktionen g und f auch empirische absolute bzw. relative Häufigkeitsfunktion, bzw. kurz: absolute bzw. relative Häufigkeit (s.o.).

3 3 Der Graph dieser Abbildung heißt Stabdiagramm, d.h. diese Darstellung, der Graph, wird als Stabdiagramm bezeichnet. Offensichtlich lassen sich solche Stabdiagramme für alle Merkmale erstellen. Für die obige Illustration ergibt sich das folgende Schema: Fortsetzung der 1. Illustration (Das Schema eines Stabdiagramms) f x Für die Illustration folgen für g und f: g(x) = { 15, x=1 20, x=2 20, x=3 10, x=4, g: M R + und f(x) = { 15, x=5 20, x=6 0, sonst 0.15, x=1 0.20, x=2 0.20, x=3 0.10, x=4, f: M [0, 1] 0.15, x=5 0.20, x=6 0.00, sonst Offensichtlich unterscheidet sich der Graph von g vom Graphen von f nur durch die Skalierung.

4 4 Das Histogramm - die Darstellung stetiger Merkmale Bei stetigen Merkmalen ist die Stabdiagramm-Darstellung offensichtlich ebenfalls möglich, aber sie unterschlägt sozusagen einen Teil der vorhandenen Information, die Ausdehnung des Merkmals, das nicht auf Punkten {1, 2,, K}, sondern auf Intervallen {K 1, K 2,, K K } angesiedelt ist. Die damit erforderliche andere Darstellung geschieht ebenfalls mit Hintergrund einer Illustration: Illustration 2 (Ein stetiges Merkmal mit sechs Ausprägungen) Zur Schätzung zukünftiger Kosten führt eine Krankenversicherung bei ihren Mitgliedern eine Umfrage durch, bei der auch das Merkmal Körpergewicht (in Kilogramm) betrachtet wird. Unter den männlichen Befragten gab es dazu folgendes Ergebnis: K i [50,60) [60,70 ) [70,75) [75,80) [80,90) [90,110) K i n i Dabei bedeutet n i die Häufigkeit von Beobachtungen im Intervall (in der Klasse) K i. Offenbar sind die Klassen allgemein nicht von gleicher Breite K i, obwohl aus Gründen der Vergleichbarkeit eine verbreitete Empfehlung ist, die Beobachtungen zu schon vor Beginn der Erhebung festzulegenden gleichgroßen Klassen K i zusammenzufassen, d.h. wenn möglich sollten die Klassen alle die gleiche Breite haben. Ein zweite verbreitete Empfehlung, ebenfalls aus Gründen der Darstellung ist, dort, wo die meisten Beobachtungen zu erwarten sind, die Klassenbreiten kleiner zu halten als in den Bereichen, in denen relativ wenige Beobachtungen zu erwarten sind. Beide Empfehlung sind ebenfalls Möglichkeiten der optischen Manipulation, bzw. Präsentation, etwas das in allen wichtigen Fragen ein Rolle spielt (z.b. ECONOMIC POLICY). Mit diesen Vorbereitungen ergibt sich die folgende Definition des Histogramms: Definition 2 (Histogramm) Sei X ein stetiges (kardinales) Merkmal mit jeweils n i (i=1,2,...,k) Beobachtungen in K verschiedenen Klassen (Intervallen, verschiedenen Merkmalsausprägungen) der Breite (Intervall-Länge) K i. Dann heißt die Funktion f:= { R R n + i n x f(x) = {, fallsx K K i i 0, sonst (empirische) Dichtefunktion. Der Graph der Dichtefunktion heißt Histogramm.

5 Fortsetzung der 2. Illustration (Das Schema eines Histogramms) Für die obige Illustration ergeben sich für f folgende Funktionswerte: , für x [50,60) , für x [60,70) f(x) = { , für x [70,75) , für x [75,80) , für x [80,90) , für x [90,110) Das der Illustration zugehörige Histogramm hat dann das folgende Aussehen:.060 f x Da über die Verteilung der Beobachtungen innerhalb der Klassen (im Regelfall) keine Information vorliegt, trifft man (hier implizit) die Annahme, daß die Beobachtungen sich innerhalb einer Klasse gleichmäßig verteilen. Dies hat spätere Auswirkungen (s.u. PDF). Wie der Vergleich der Definitionen 1 und 2 zeigt, wird im Histogramm im Vergleich zum Stabdiagramm die Häufigkeit f durch die Intervallbreite skaliert.

6 6 Literatur G. Uebe, M. Schäfer, Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, Verlag Oldenbourg, München 1992, G. Bamberg, F. Baur, Statistik, Verlag Oldenbourg, München 1989 John DiNardo, Justin L Tobias, Nonparametric density and regression estimation, Journal of Economic Perspectives 15, No.4,2001, Edward R. Tufte, The visual display of quantitative information, Graphics Press, Cheshire, Connecticut, 1983, 3rd reprint 1984 Howard Wainer, Visual revelations, Copernicus (Springer-Verlag), Heidelberg 1997 Beispiele Beispiel 1 (Einige Aufgaben zum Histogramm) Beispiel 2 (Diverse Darstellungen, die einem Histogramm bzw. einen Stabdiagramm entsprechen, Formulierung als Aufgabe) Beispiel 3 (Einige Aufgaben zum Histogramm, bzw. Stabdiagramm) (STATISTICS, FREQUENCY)