1. Übungsblatt. Markus Reiß Vorlesung Stochastik I Sommersemester 2016 Humboldt-Universität zu Berlin

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1 1. Übungsblatt 1. Beim TÜV werden n Fahrzeuge überprüft. Für i = 1,..., n bezeichne A i das Ereignis das i-te Fahrzeug erhält die Prüfplakette. Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse durch mengentheoretische Verknüpfungen der Ereignisse A i : (a) mindestens eines der n Fahrzeuge erhält keine Plakette; (b) kein Fahrzeug erhält eine Plakette; (c) genau ein Fahrzeug erhält keine Plakette; (d) höchstens ein Fahrzeug erhält eine Plakette. 2. Es seien F eine σ-algebra über Ω und Q : F [0, 1] eine normierte, additive Mengenfunktion (d.h. Q(Ω) = 1, Q(A B) = Q(A) + Q(B) für alle disjunkten A, B F ). Beweisen Sie, dass Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß (d.h. σ-additiv) ist genau dann, wenn Q σ-stetig ist. Zusatzaufgabe: Finden Sie ein Beispiel einer normierten, additiven Mengenfunktion auf einer σ-algebra, die kein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Tipp: Recherchieren Sie das Konzept des Banach-Limes und betrachten Sie für A N einen Banach-Limes l((x n (A)) n 1 ) der Folge x n (A) := A {1,...,n} n. 3. Lösen Sie die folgenden Textaufgaben jeweils mit vollständiger Angabe und Begründung der wahrscheinlichkeitstheoretischen Modellierung: (a) Wie viele Rosinen müssen in 500g Teig vorhanden sein, damit ein 50g- Brötchen mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit eine Rosine enthält? (b) Ein gewisser Chevalier de Méré wunderte sich, dass er beim Werfen mit drei Würfeln die Augensumme 11 häufiger beobachtet hatte als die Augensumme 12, obwohl doch 11 durch die Kombinationen 6 4 1, 6 3 2, 5 5 1, 5 4 2, 5 3 3, und die Augensumme 12 durch ebensoviele (welche?) Kombinationen erzeugt würde. Kann diese Beobachtung als vom Zufall bedingt angesehen werden oder ist die Argumentation falsch?

2 4. Für ganze Zahlen N 1, 0 W N, 0 n N, 0 w W gebe p N,W,n (w) die Wahrscheinlichkeit an, dass bei n-fachem Ziehen (ohne Zurücklegen) aus einer Urne mit W weißen und N W schwarzen Kugeln genau w weiße Kugeln gezogen werden. (a) Begründen Sie mit kombinatorischen Argumenten die Formel p N,W,n (w) = ( N W n w )( W w ) ( N n). (b) Weisen Sie anhand der Formel nach, dass p N,W,n eine Zähldichte auf Ω = {0, 1,..., W } ist (diese definiert die hypergeometrische Verteilung). (c) Berechnen Sie mit Hilfe dieser Formel die Wahrscheinlichkeit für k Richtige im Lotto 6 aus 49 (0 k 6). Abgabe vor der Vorlesung, nach Aufgaben getrennt, am Montag, dem

3 2. Übungsblatt 1. Zu einer Tanzstunde kommen n Paare. Um für Abwechslung zu sorgen, wird jeder Dame rein zufällig einer der Herren zugelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein ursprüngliches Paar miteinander tanzen wird? Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Wahrscheinlichkeit für n. Anleitung: Sei A k das Ereignis Dame k wird ursprünglicher Partner zugelost. Beweisen Sie die Einschluss-Ausschluss-Formel: ( n P k=1 A k ) = n (( 1) l 1 P ( ) ) A k1 A kl. l=1 {k 1,...,k l } {1,...,n} Bestimmen Sie die rechte Seite mittels der Ergebnisse für Urnenmodelle. 2. Bei einer Stichwahl zwischen Kandidaten A und B werden die Stimmen nacheinander ausgezählt. Am Ende hat Kandidat A mit a Stimmen gegen Kandidat B mit b Stimmen gewonnen (a > b). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A während der gesamten Auszählung vorne lag? Anleitung: (a) Begründen Sie die zwei Modellierungen mit der Grundmenge Ω 1 = {M {1,..., a + b} M = a} bzw. Ω 2 = {g : {0,..., a + b} N 2 0 g(0) = (0, 0), g(a+b) = (b, a), g(i) g(i 1) {(0, 1), (1, 0)}, i = 1,..., a+b} und der jeweiligen Gleichverteilung. Interpretieren Sie Ω 2 als Pfade auf dem Gitter N 2 0 und stellen Sie eine Realisierung gemeinsam mit der Diagonalen in dem Gitter dar. (b) Formalisieren Sie die Ereignisse A 1 = Pfad geht durch den Punkt (1, 0) und A 2 = Pfad geht durch den Punkt (0, 1), liegt aber nicht oberhalb der Diagonalen in Ω 2. Weisen Sie A 1 A 2 = und mit geeignetem Spiegelungsargument A 1 = A 2 nach. (c) Schließen Sie darauf, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit (a b)/(a + b) beträgt, indem Sie das entsprechende Ereignis durch A 1 und A 2 ausdrücken.

4 3. Es sei Z = {Z i i I} mit einer Indexmenge I N eine abzählbare Zerlegung von Ω in disjunkte Teilmengen. (a) Geben Sie die kleinste σ-algebra σ(z) über Ω an, die das Mengensystem Z umfasst, und beschreiben Sie alle (σ(z), B R )-messbaren Funktionen g : Ω R. (b) Bestimmen Sie mittels (a) für Ω = [0, 1) ({ }) F n := σ [k2 n, (k + 1)2 n ) k {0, 1,..., 2 n 1}. Zeigen Sie, dass F := n 1 F n eine Algebra über [0, 1) bildet. Ist F auch eine σ-algebra? (c) Bestimmen Sie zu f(x) = x und n N die (F n, B R )-messbare Funktion f n : [0, 1) R, die f f n 2 L 2 = [0,1) (f(x) f n(x)) 2 dx unter allen (F n, B R )-messbaren Funktionen minimiert. Untersuchen Sie lim n f n (x). 4. Es sei F : R [0, 1] gegeben durch F (x) = 2 n 1 [1/n, ) (x). n=1 Zeigen Sie, dass es sich um die Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes P auf B R handelt, und berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten P ([1, )), P ([1/10, 1)), P ({0}), P (( 5, 1/2)), P (Q). Bestimmen Sie den Träger von P : supp(p ) = } {A R A ist abgeschlossen und P (A) = 1. Abgabe vor der Vorlesung, nach Aufgaben getrennt, am Montag, dem

5 3. Übungsblatt 1. In einem Kreis vom Radius r werde rein zufällig eine Sehne ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Länge dieser Sehne größer als r? Verwenden Sie folgende Zufallsbeschreibungen: (a) Die Sehne ist durch ihren Mittelpunkt eindeutig bestimmt. Die Lage des Mittelpunkts ist gleichmäßig in der Kreisscheibe verteilt. (b) Die Sehne ist durch ihre Endpunkte eindeutig bestimmt und aus Symmetriegründen wählen wir den einen Endpunkt fest. Der andere möge gleichmäßig auf dem Kreisrand verteilt sein. (c) Die Sehne ist durch ihren Abstand vom Kreismittelpunkt und die entsprechende Richtung eindeutig festgelegt. Aus Symmetriegründen kann die Richtung fest gewählt werden, der Abstand sei gleichmäßig auf [0, r] verteilt. 2. Es sei X eine exponential-verteilte Zufallsvariable mit Parameter λ > 0. (a) Zeigen Sie, dass X in folgendem Sinne gedächtnislos ist: t, x > 0 : P (X > x + t X > t) = P (X > x). Erklären Sie diese Eigenschaft am Beispiel einer zufälligen Wartezeit. (b) Beweisen Sie umgekehrt, dass jede solche gedächtnislose Zufallsvariable auf (R +, B R +) exponential-verteilt ist. (c) Bestimmen Sie die Verteilung einer Zufallsvariable Y auf (N 0, P(N 0 )), die im folgenden diskreten Sinne gedächtnislos ist: m, n N 0 : P (Y m + n Y m) = P (Y n). 3. Betrachten Sie eine Lichtquelle im Abstand r > 0 einer (unendlich langen) Projektionsfläche, die im Winkel Φ ( π/2, π/2) strahlt. Wie ist der projizierte Lichtpunkt X R verteilt, wenn Φ gleichmäßig verteilt ist? 4. Simulation von Normalverteilungen: Es seien U, V unabhängige U((0, 1))-verteilte Zufallsvariablen. Setze R = 2 log(u), X = R cos(2πv ) und Y = R sin(2πv ). Beweisen Sie, dass X und Y unabhängige standard-normalverteilte Zufallsvariablen sind. Tipp: Berechnen Sie die Dichte von R und betrachten Sie dann die Polarkoordinatentransformation (R, V ) (X, Y ) unter Verwendung des Dichtetransformationssatzes.

6 5. Betrachten Sie den Ergebnisraum Ω = {0, 1} N des unendlich oft wiederholten Münzwurfs. Es sei Π n : Ω {0, 1} n die durch Π n (ω) = (ω 1,..., ω n ) gegebene Kooordinatenprojektion. Zeigen Sie, dass das System der Zylindermengen A := {Π 1 n (A n ) n N, A n {0, 1} n } eine Algebra über Ω bildet. Setzen Sie P (Π 1 n (A n )) := A n /2 n und weisen Sie nach, dass P ein Prämaß auf A definiert. Konstruieren Sie damit einen Wahrscheinlichkeitsraum und unabhängige Zufallsvariablen (X k ) k 1 mit P (X k = 1) = P (X k = 0) = 1/2, k N (unendliches Bernoulli-Schema). 6. Es seien (X k ) k 1 wie in Aufgabe 5 sowie Y := X k 2 k. k=1 (a) Begründen Sie, weshalb Y eine Zufallsvariable ist, und bestimmen Sie P (Y ((m 1)2 n, m2 n ]) für beliebige n N und m = 0, 1,..., 2 n. (b) Schließen Sie, dass die Verteilungsfunktion von Y mit der Verteilungsfunktion der gleichmäßigen Verteilung auf [0, 1] übereinstimmt (d.h. Y ist U[0, 1]-verteilt). (c) Betrachten Sie nun die Zufallsvariablen Z n := n 2X k 3 k, Z := k=1 2X k 3 k. Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von Z n für n = 1, 2, 5 exakt und skizzieren Sie die von Z (Computereinsatz gestattet). (d) Ist die Verteilungsfunktion von Z stetig? Besitzt Z eine Wahrscheinlichkeitsdichte? 7. [Zusatzsatzaufgabe] Ein Schatzsucher vermutet einen Schatz auf der Verbindungslinie zweier Pyramiden. Er überlegt sich folgende Strategie, um den Schatz zu finden: er gräbt zunächst rein zufällig an einem Punkt auf der Linie. Dann verfährt er iterativ: er wählt eine der beiden Pyramiden rein zufällig aus, geht die halbe Strecke (zwei Drittel der Strecke) in Richtung dieser Pyramide und gräbt; dies iteriert er bis zum Finden des Schatzes. Wird er bei beliebig langer Suche so den Schatz letztlich finden? Simulieren Sie beide Varianten für Iterationen auf dem Intervall [0, 1] und zeichnen Sie jeweils einen Punkt für jeden Grabungsort. Erklären Sie das Ergebnis mittels Aufgabe 6. Was ergibt sich im Fall, dass der Schatz im von drei Pyramiden aufgespannten Dreieck liegt und der Schatzsucher jeweils eine der drei Pyramiden zufällig wählt? k=1 Abgabe vor der Vorlesung, nach Aufgaben getrennt, am Montag, dem Die Aufgaben sind mit Namen, Matrikelnummer und Übungsgruppe zu versehen. Korrektorensprechstunde: Freitags, 12:45 bis 13:30 Uhr, Raum 1.104, RUD 25.

7 4. Übungsblatt 1. Über einen verrauschten Kanal werden binäre Ziffern versendet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 0 oder 1 übertragen werden soll, ist jeweils 0, 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass die empfangene Ziffer der versendeten entspricht, ist 0, 9. (a) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 versendet wurde, wenn eine 1 empfangen wurde? (b) Es wird nun zur Sicherheit die zu übertragende Ziffer jeweils dreimal verschickt (d.h. 111 oder 000). Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 übertragen werden sollte, wenn 111 empfangen wurde? Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 übertragen werden sollte, wenn bekannt ist, dass die Summe der drei empfangenen Ziffern gleich 2 ist? 2. Es seien (X i ) i I eine Familie unabhängiger (S i, S i )-wertiger Zufallsvariablen und g i : S i T i (S i, T i )-messbare Funktionen. Zeigen Sie, dass dann auch die Familie (g i (X i )) i I unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in (T i, T i ) bildet. 3. Es seien X 1,..., X n unabhängige reellwertige Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktionen F 1,..., F n. (a) Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktionen von M = max(x 1,..., X n ) und m = min(x 1,..., X n ) gegeben sind durch F M (x) = n i=1 F i(x) bzw. F m (x) = 1 n i=1 (1 F i(x)). (b) Bestimmen Sie für den Fall, dass jedes X i gleichmäßig auf [0, 1] verteilt ist, die Dichte von M und m. Sind M und m unabhängig? (c) Die Zeit bis zum Zerfall eines radioaktiven Atoms wird durch die Exponentialverteilung Exp(λ) beschrieben. Wie ist die Zeit bis zum ersten Atomzerfall in einer Probe aus N solchen Atomen verteilt?

8 4. Es seien (X i ) i N unabhängige, auf { 1, 1} gleichverteilte Zufallsvariablen und S 0 := 0; S n := n X i, n N. i=1 (S n ) n N0 ist die sogenannte symmetrische Irrfahrt. (a) Zeigen Sie für alle festen k N: P ( S n+k S n = k für unendlich viele n N) = 1. (b) Schließen Sie aus (a) auf P ( S n m für alle n N) = 0 für jedes feste m N und folgern Sie ( ) P S n = = 1. sup n N (c) Zeigen Sie P (sup n N S n = ) = P (inf n N S n = ) 1/2 und verwenden Sie das 0-1-Gesetz von Kolmogorov, um die Wahrscheinlichkeit exakt zu bestimmen. Abgabe vor der Vorlesung, nach Aufgaben getrennt, am Montag, dem

9 5. Übungsblatt 1. Beweisen Sie: Besitzen P und Q Zähldichten p bzw. q auf Z (auf N 0 ), so besitzt P Q die Zähldichte (p q)(k) := m Z p(k m)q(m) (auf N 0: (p q)(k) := k m=0 p(k m)q(m)). Bestimmen Sie Bin(n 1, p) Bin(n 2, p) für n 1, n 2 N, p [0, 1]. 2. Es seien U 1, U 2, U 3, U 4 unabhängige gleichmäßig auf [ 1, 1] verteilte Zufallsvariablen. (a) Bestimmen Sie die Dichten von U 1 + U 2 und U 1 + U 2 + U 3. (b) Zeichnen Sie die Dichte von Sn := 3 n (U U n ) für n = 1, 2, 3, 4 sowie die Dichte der Standardnormalverteilung in ein Koordinatensystem (Computereinsatz gestattet). 3. Die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, sei Poisson-verteilt zum Parameter λ > 0. Aus jedem der sich unabhängig voneinander entwickelnden Eier schlüpfe mit Wahrscheinlichkeit p [0, 1] eine Larve. Berechnen Sie die Verteilung der Anzahl der Larven. Hinweis: Bedingen Sie auf die Anzahl der gelegten Eier unter Verwendung der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit. 4. Bestimmen Sie für eine Zufallsvariable X den Erwartungswert E[X] (sofern er existiert) im Fall folgender Verteilungen: (a) N(µ, σ 2 ); (b) Exp(λ); (c) Cauchyverteilung (d.h. f X (x) = 1 π (d) χ 2 (1)-Verteilung. 1 1+x 2 ) und Abgabe vor der Vorlesung, nach Aufgaben getrennt, am Montag, dem

10 6. Übungsblatt 1. Zeigen Sie E[X] = 0 P (X x) dx für beliebige nichtnegative Zufallsvariablen X, indem Sie P (X x) = R 1(y x)p X (dy) und anschließend die Integralvertauschung begründen. Darf man auch P (X > x) statt P (X x) einsetzen? 2. Es sei µ ein beliebiges Maß auf (R, B R ) sowie X eine reellwertige Zufallsvariable mit µ-dichte f X : R [0, ), das heißt f X ist Borel-messbar mit P (X B) = B f X dµ, B B R. (a) Beweisen Sie: Für eine Borel-messbare Funktion h : R R gilt h(x) L 1 R h(x) f X (x) µ(dx) <. In dem Fall gilt die Formel E[h(X)] = R h(x)f X (x) µ(dx). (b) Was ergibt sich in (a) mit dem Zählmaß µ auf Z für eine diskrete Zufallsvariable X mit Zähldichte p X? (c) Bestimmen Sie den Erwartungswert einer zensierten Exponentialverteilung mit Parametern λ, z > 0, das heißt einer Zufallsvariablen X mit P (X B) = λe λx dx + e λz 1(z B), B B R, [0,z] B indem Sie ein geeignetes Maß µ definieren, so dass X eine µ-dichte f X besitzt. Hinweis: Es gilt f d(µ 1 + µ 2 ) = f dµ 1 + f dµ 2 für f L 1 (µ 1 + µ 2 ). 3. Charakterisieren Sie die Minimalstellen m R der Funktion d : R [0, ) mit d(x) := E[ X x ] für eine beliebige Zufallsvariable X L 1. Anleitung: Zeigen Sie für beliebige x < m E[ X x ] E[ X m ] (x m)p (X < m) + (m x)p (X m), indem Sie 1 = 1(X x) + 1(X (x, m)) + 1(X m) schreiben, und betrachten Sie analog den Fall x > m.

11 4. Bei der Fußballeuropameisterschaft treten 24 Mannschaften mit einem Kader von jeweils 23 Spielern gegeneinander an. Es gibt von jedem Spieler ein Sammelbildchen. Am Kiosk wird ein sichtgeschützt verpacktes Bildchen für fünf Cent verkauft. Wieviel wird ein Sammler im Mittel am Kiosk ausgeben, bis er von jedem Spieler (mindestens) ein Bildchen besitzt? Tipp: Sei N i die Anzahl der erworbenen Bildchen, bis man von i Spielern ein Bildchen besitzt. Bestimmen Sie die Verteilung von D i = N i N i 1. Zusatzaufgabe: Was ergibt sich, falls sich zwei Sammler zusammentun und Bildchen tauschen? Abgabe vor der Vorlesung, nach Aufgaben getrennt, am Montag, dem Korrektorensprechstunde: Freitags, 12:30 bis 13:30 Uhr, Raum 1.104, RUD 25.

12 7. Übungsblatt 1. Zu Daten (x i, y i ) 1 i n in R 2 wird die Regressionsgerade y = âx + ˆb definiert mittels der Methode der kleinsten Quadrate: (â, ˆb) := argmin (a,b) R 2 { n i=1 ( ) 2 } y i (ax i + b). (a) Bestimmen Sie â und ˆb als Funktion der empirischen Mittel x = 1 n n i=1 x i, ȳ = 1 n n i=1 y i, der empirischen Varianzen σ 2 x = 1 n n i=1 (x i x) 2, σ 2 y = 1 n n i=1 (y i ȳ) 2 und der empirischen Korrelation ρ xy = 1 n n i=1 (x i x)(y i ȳ)/( σ x σ y ) (falls σ x, σ y > 0). (b) Um die Abhängigkeit der durch Melanome (Hautkrebs) verursachten Todesfälle von der Sonneneinstrahlung zu bestimmen, wurde in den Bundesstaaten der USA die Mortalität (Todesfälle pro 10 7 Einwohner) und der Breitengrad erfasst. Bestimmen Sie aus den Daten Staat Delaware Iowa Michigan New Hampshire Oklahoma Texas Wyoming Mort Breite die zugehörige Regressionsgerade und zeichnen Sie diese zusammen mit den Daten in ein Koordinatensystem (Computereinsatz gestattet). Welche Mortalität ist in Ohio (Breitengrad 40) in etwa zu erwarten? 2. Es sei X L 4 eine Zufallsvariable mit symmetrischer Verteilung (d.h. P (X x) = P (X x) für alle x R). Setze Y = X 2. Weisen Sie nach, dass X und Y unkorreliert, aber im Allgemeinen nicht unabhängig sind. Bestimmen Sie die beste lineare Vorhersage von Y durch X (bzgl. mittlerem quadratischen Fehler). Welche ist die beste nichtlineare Vorhersage?

13 3. Es seien X 1,..., X n unabhängige N(µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariablen mit µ R und σ > 0. Zeigen Sie für X = 1 n n i=1 X i, σ 2 = 1 n n i=1 (X i X) 2 : (a) Die Zufallsvariablen X und σ 2 sind unabhängig. Hinweis: Beweisen Sie zunächst, dass X und (X k X) 1 k n gemeinsam normalverteilt und unabhängig sind. (b) X ist N(µ, σ 2 /n)-verteilt und n σ 2 ist χ 2 (n 1)-verteilt (zur Erinnerung σ 2 χ 2 (p) = χ 2 (1) p ). Was ist der Erwartungswert von σ 2? 4. Es sei ein zweidimensionaler Zufallsvektor (X, Y ) mit Dichte f (X,Y ) gegeben. (a) Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P (X x Y [y h, y + h]) für x, y R, h > 0 mit f Y (y) > 0 und f Y stetig bei y. Zeigen Sie, dass der Grenzwert der bedingten Wahrscheinlichkeit für h 0 existiert und gleich x f (X,Y ) (ξ, y) dξ f Y =: F X Y =y (x) (y) ist. (b) Man definiert daher die bedingte Dichte von X gegeben Y = y als f X Y =y (x) := x F X Y =y (x) = f (X,Y ) (x, y) f Y, sofern f Y (y) > 0. (y) Zeigen Sie, dass f X Y =y in der Tat eine Dichtefunktion ist für alle y mit f Y (y) > 0. (c) Ein Stock der Länge 1 wird an einer zufälligen Stelle gebrochen (gleichverteilt). Das längere Stück wird wiederum an einer zufälligen Stelle (gleichverteilt) gebrochen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich die drei Teile zu einem Dreieck legen lassen? Begründen Sie Ihre Modellierung mittels bedingter Dichte. Abgabe vor der Vorlesung, nach Aufgaben getrennt, am Montag, dem

14 8. Übungsblatt 1. Es seien (X n ) n 1 Zufallsvariablen, die P -fast sicher gegen eine Zufallsvariable X konvergieren. Folgern Sie schrittweise: (a) P ( ε > 0 n 1 : sup m n X m X > ε) = 0. (b) ε > 0 : P ( n=1 {sup m n X m X > ε}) = 0. (c) ε > 0 : lim n P (sup m n X m X > ε) = 0. (d) X n konvergiert gegen X P -stochastisch. 2. Es sei (Y n ) n N eine Folge von L 2 -Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ). (a) Es gelte lim n E[Y n ] = µ R und lim n Var(Y n ) = 0. Zeigen Sie, dass Y n für n in L 2 sowie stochastisch gegen µ konvergiert. (b) Folgern Sie aus Teil (a) eine Verallgemeinerung (bezüglich Annahmen an Erwartungswert und Varianz) des schwachen Gesetzes der großen Zahlen. 3. Ein Spieler startet mit dem Anfangskapital K 0 = 1. Bei jeder Runde i = 1,..., n setzt er sein gesamtes Kapital ein, es wird eine faire Münze geworfen, und bei Kopf erhält er den anderthalbfachen Einsatz zurück, bei Zahl nur den halben. (a) Stellen Sie das Kapital nach der n-ten Runde als K n geeigneten unabhängigen Zufallsvariablen R i dar. = n i=1 R i mit (b) Weisen Sie nach, dass das Spiel fair ist in dem Sinne, dass E[K n ] = 1 gilt. (c) Zeigen Sie, dass trotzdem lim n K n = 0 (fast sicher) gilt. Tipp: Betrachten Sie log(k n ). (d) Wogegen konvergiert der Median von K n? Erklären Sie anschaulich die Gründe für das Grenzwertverhalten von K n, E[K n ] und dem Median von K n.

15 4. Es seien (X n ) n 1 und X reellwertige Zufallsvariablen auf (Ω, F, P ). P (a) Beweisen Sie, dass aus X n X die Existenz einer Teilfolge (Xn(k) ) k 1 folgt mit X n(k) X P -fast sicher für k. Hinweis: Benutzen Sie ein Borel-Cantelli-Argument. (b) Für den Fall, dass X n nicht P -stochastisch gegen X konvergiert, zeigen Sie, dass es ε > 0 und eine Teilfolge (X n(k) ) k 1 gibt mit k 1 : P ( X n(k) X > ε) ε. Schließen Sie weiter, dass diese Teilfolge keine Teilteilfolge (X n(k(l)) ) l 1 besitzt, die P -f.s. gegen X konvergiert. (c) Folgern Sie aus (a) und (b) die Äquivalenz: Die Folge (X n ) konvergiert P -stochastisch gegen X genau dann, wenn jede Teilfolge (X n(k) ) eine Teilteilfolge (X n(k(l)) ) besitzt mit X n(k(l)) X P -f.s. für l. Freiwillig: Folgern Sie, dass fast sichere Konvergenz nicht metrisierbar ist auf Wahrscheinlichkeitsräumen, wo stochastische und fast sichere Konvergenz nicht identisch sind. Geben Sie Wahrscheinlichkeitsräume an, wo fast sichere und stochastische Konvergenz identisch sind. Abgabe vor der Vorlesung, nach Aufgaben getrennt, am Montag, dem

16 9. Übungsblatt 1. Es seien X n = (X n,1, X n,2 ), X = (X 1, X 2 ) zweidimensionale Zufallsvektoren d mit X n X. Zeigen Sie: (a) Es gilt X n,i d Xi für i {1, 2}. (b) Es gilt ax n,1 + bx n,2 d ax1 + bx 2 für a, b R sowie X n,1 X n,2 d X1 X 2. d (c) Zeigen Sie anhand von Beispielen, dass X n,i Xi für i {1, 2} im Allgemeinen nicht ausreicht, um auf (b) zu schließen. 2. Es sei P Q T V = sup A F P (A) Q(A) der Totalvariationsabstand zwischen Wahrscheinlichkeitsmaßen P und Q auf (Ω, F ). (a) Zeigen Sie, dass sup f 1 fdp fdq = 2 P Q T V gilt, wobei sich das Supremum über alle messbaren f : Ω R erstreckt mit f = sup ω Ω f(ω) 1. Tipp: Betrachte die Mengen {f > 0} und {f < 0}. (b) Schließen Sie für Ω = R d, F = B R d, dass P n P in Totalvariationsabstand die schwache Konvergenz P n P w impliziert. (c) Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Umkehrung von (b) nicht gilt. 3. Es seien X 1, X 2 zwei unabhängige reellwertige Zufallsvariablen mit Verteilungen P 1 und P 2 auf (R, B R ). (a) Zeigen Sie, dass für die charakteristischen Funktionen gilt ϕ P 1 P 2 (u) = ϕ P 1 (u)ϕ P 2 (u), d.h. ϕ X 1+X 2 (u) = ϕ X 1 (u)ϕ X 2 (u), u R. (b) Betrachten Sie nun X i Poiss(λ i ) mit λ i > 0 für i = 1, 2. Zeigen Sie unter Verwendung der Eindeutigkeit der charakteristischen Funktion, dass X 1 + X 2 Poisson-verteilt ist zum Parameter λ 1 + λ 2 und daher (Poiss(λ)) λ>0 eine Faltungshalbgruppe bildet.

17 4. Sei ϕ die charakteristische Funktion einer Zufallsvariable X L m (Ω, F, P ) mit m N. (a) Zeigen Sie ϕ C m (R) mit ϕ (k) (0) = i k E[X k ], k = 0,..., m. (b) Bestimmen Sie mit (a) die Momente E[X k ] für k N 0 im Fall X N(0, 1). (c) Zeigen Sie, dass eine Funktion r m : R C existiert mit sup u R r m (u) 3 E[ X m ] und r m (u) 0 für u 0, so dass gilt ϕ(u) = m (iu) k k=0 k! E[X k ] + (iu)m r m (u). m! Abgabe vor der Vorlesung, nach Aufgaben getrennt, am Montag, dem

18 10. Übungsblatt 1. Es sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Werten in N 0. Dann bezeichnet m X (s) = E[s X ] für s ( 1, 1) (mit 0 0 := 1) die erzeugende Funktion der Verteilung von X. Zeigen Sie: (a) m X ist bei s = 0 beliebig oft differenzierbar mit m X (0) = p X (0) und Ableitungen (m X ) (k) (0) = k!p X (k), k N. Schließen Sie, dass m X die Verteilung von X eindeutig bestimmt. (b) Es gilt stets lim s 1 (m X ) (s) = E[X], selbst im Fall E[X] = +. Wie kann man E[X 2 ] berechnen? (c) Bestimmen Sie m X für Bin(n, p)- und Poiss(λ)-verteilte X und gemäß (b) jeweils Erwartungswert und Varianz. 2. Es sei (X n ) n 1 eine Folge unabhängiger, identisch verteilter (i.i.d.) reeller Zufallsvariablen. Dann bezeichnet F n (x) = 1 n n i=1 1 [X i, )(x), x R, die empirische Verteilungsfunktion. Weisen Sie nach: (a) F n ist die Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes µ n, des sogenannten empirischen Maßes von X 1,..., X n. (b) Für alle x R gilt F n (x) F (x) := P (X 1 x) P -fast sicher. (c) Für alle x R gilt n(f n (x) F (x)) d N(0, F (x)(1 F (x))). Hinweis: Betrachte die Fälle F (x) = 0 und F (x) = 1 separat. 3. Ziel ist der Beweis des Satzes von Glivenko-Cantelli: Für die empirischen Verteilungsfunktionen gilt sogar fast sicher gleichmäßige Konvergenz, d.h. sup x R F n (x) F (x) 0 P -f.s. (a) Betrachten Sie U i U([0, 1]) i.i.d. mit empirischer Verteilungsfunktion G n und Verteilungsfunktion G. Wählen Sie zu ε > 0 ein m N mit m > 2/ε sowie E m := {k/m k = 0, 1,..., m}. Schließen Sie aus G n (x) G(x) P -f.s. für x E m, dass max x Em G n (x, ω) G(x) ε/2 und somit sup x [0,1] G n (x, ω) G(x) ε gilt für alle n N mit N = N(ω) N geeignet und P -fast alle ω Ω. Der Satz von Glivenko-Cantelli gilt also für X i U([0, 1]). (b) Für beliebige Verteilungsfunktionen F konstruiere X i mit Verteilungsfunktion F gemäß Quantilstransformation X i = F 1 (U i ) mit (U i ) aus (a) und Rechtsinverser F 1. Weisen Sie nach, dass für die empirischen Verteilungsfunktionen F n (x) = G n (F (x)), x R, gilt. Schließen Sie den Beweis mittels (a) ab.

19 4. Finden Sie eine alternative Beweisführung für den zentralen Grenzwertsatz. Erklären Sie die Hauptargumente und geben Sie Ihre Quelle an. Welche Eigenschaft der Normalverteilung wird benutzt? Abgabe vor der Vorlesung, nach Aufgaben getrennt, am Montag, dem