Erläuterungen zu den zentral vorgegebenen Mathematik-Aufgaben anhand von Beispielen

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1 Erläuterungen zu den zentral vorgegebenen Mathematik-Aufgaben anhand von Beispielen VERA 2005 Projekt VERA Aufgabe (Nr. 1) Kreuze an. Beispiel: Ein Mann ist ungefähr 1 Meter groß. richtig # falsch # Eine Haustür ist ungefähr 5 Meter hoch. # # Eine Schultasche ist ungefähr 2 Meter breit. # # Eine Klassentür ist ungefähr 1 Meter breit. # # Ein Kleiderschrank ist ungefähr 2 Meter hoch. # # Ein Bett ist ungefähr 6 Meter lang. # # 2 Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung Die Teilaufgaben dieser Aufgabe werden getrennt ausgewertet. Bitte verwenden Sie die folgende Zuordnung: richtig falsch a) Eine Haustür ist ungefähr 5 Meter hoch. X richtig X F1 entfällt b) Eine Schultasche ist ungefähr 2 Meter breit. X richtig X F1 entfällt c) Eine Klassentür ist ungefähr 1 Meter breit. X richtig entfällt X F1 d) Ein Kleiderschrank ist ungefähr 2 Meter hoch. X richtig entfällt X F1 1

2 Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik Aufgabe 1 richtig falsch e) Ein Bett ist ungefähr 6 Meter lang. X richtig X F1 entfällt Erläuterungen zur Gesamtaufgabe: Die jeweils falschen Antworten entstehen wahrscheinlich aufgrund einer fehlenden Größenvorstellung für Gegenstände des Alltags. 3 Fähigkeitsniveau VERA-Fähigkeitsniveau 1 (elementare Fähigkeiten) Allgemein:! Einfache Aufgaben mit grundlegenden Anforderungen werden hinreichend sicher gelöst. Sachrechnen:! Einfache Größenvorstellungen sind vorhanden. 4 Standardzuordnung (inhaltsbezogene Kompetenzen) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben. Größen und Messen! Größenvorstellungen besitzen Repräsentanten für Standardeinheiten kennen, die im Alltag wichtig sind 5 Didaktische und methodische Hinweise Aufgabentyp/Aufgabenformat: Plausibilitätsprüfung mathematischer Aussagen/Multiple-Choice mit einer richtigen Antwort Aufgabenbeschreibung: In Analogie zu einem vorangestellten Beispiel müssen die Kinder fünf sprachlich völlig gleich strukturierte Aussagen über die ungefähre Länge, Höhe und Breite von Alltagsgegenständen, die ihnen allesamt gut vertraut sein sollten, auf ihre Richtigkeit überprüfen. Dabei beziehen sich alle Aussagen auf die Standardeinheit Meter, so dass kein Wechsel der Stützpunktvorstellung (1 Meter) notwendig ist. Die falschen Aussagen sind als solche leicht zu erkennen, da die Angaben bzgl. der ungefähren Länge oder Höhe der betreffenden Gegenstände sehr deutlich von ihrer tatsächlichen Länge oder Höhe abweichen. Voraussetzungen:! alltagsnahe Vorstellungen von Größen besitzen! Größen abschätzen können! Repräsentanten für die Standardeinheit Meter kennen! die mathematischen Fachbegriffe Länge, Breite, Höhe und ungefähr kennen Mögliche Lösungswege: Der Spielraum für eine individuelle Vorgehensweise bei der Aufgabenbearbeitung ist nicht groß. Nach dem Anschauen des Beispiels werden die meisten Kinder damit beginnen, eine Aussage nach der anderen auf ihre Richtigkeit hin zu überprüfen, ohne sich zunächst einen 2

3 Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik Aufgabe 1 Überblick über alle fünf Aussagen zu verschaffen und zu merken, dass es in allen Aussagen um die Standardeinheit Meter geht. Grundsätzlich könnte ein Kind seine Lösungen noch kontrollieren, indem es die Aussagen zueinander in Beziehung setzt und sich damit weitere Vergleichsgrößen schafft, z.b. Ich weiß, dass ein Kleiderschrank ungefähr 2 Meter hoch ist, und ich weiß auch, dass ein Kleiderschrank ungefähr so hoch ist wie eine Haustür. Dann kann eine Haustür nicht 5 Meter hoch sein. Anregungen für die Unterrichtspraxis: Das Schätzen von Größen im Größenbereich Längen kann wie auch in den anderen Größenbereichen nur dann in der gedanklichen Vorstellung gelingen, wenn Größen zunächst vielfach geschätzt und die Schätzwerte anschließend auf enaktiver Ebene auf ihre Richtigkeit überprüft worden sind. Dabei ist es hilfreich, wenn sich jedes Kind aus geeigneten Materialien (z.b. Pappstreifen) selbst einen Meterstab (nach Vorlage des in der Klasse vorhandenen Meterstabes) anfertigt. Beispiele:! Suche Gegenstände, die ungefähr so lang, breit oder hoch sind wie dein Meterstab.! Schätze erst und miss dann nach mit deinem Meterstab. in der Schule geschätzt (in m) gemessen (in m) Höhe der Klassentür Länge der Tafel Breite des Klassenraums zu Hause geschätzt (in m) gemessen (in m) Breite des Bettes Höhe des Kleiderschrankes Länge des Kinderzimmers! Was passt zusammen? Verbinde. Höhe einer Tür Länge eines Autos Breite eines Bettes Länge eines Klassenraumes Schätzübungen sollten auch bzgl. der Standardeinheit cm und in anderen Größenbereichen durchgeführt werden.! Wie lang, wie breit... Wie lang ist eine Musikkassette? Wie breit ist eine Schultafel? Wie hoch ist eine Klassentür? Wie lang ist ein Schulheft DIN A 4? Wie breit ist ungefähr ein Fingernagel? Wie lang ist ungefähr eine Daumen-Zeigefinger-Spanne? Wie lang und wie breit ist ein Fußballfeld?! Wie lange dauert... Wie lange dauert das Abspielen einer Musikkassette? Wie lange dauert eine Schulstunde? Wie lange dauert ein Fußballspiel mit Halbzeitpause? Wie lange dauert ein 100 m-lauf (Männer)? Wie lange dauert der Weg von der Schule zum Bäcker? Wie lange dauern hundert Pulsschläge? Wie lange dauern zehn Liegestütze? (Ministerium für Schule, Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Schriftenreihe Schule in NRW, Nr. 9036/1, Qualitätsentwicklung und Qualitätssicherung, Aufgabenbeispiele Klasse 3: Mathematik, Frechen 2002, S. 96) 4m 10m 1m 2m 3

4 1 Aufgabe (Nr. 3) Nach dem Schütteln der Kugeln fallen die Ziffern 1, 2 oder 3 in das Hunderter-, Zehneroder Einerloch. Es entsteht jedes Mal eine dreistellige Zahl H Z E Gib alle dreistelligen Zahlen an, die entstehen können. 2 Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung Die Aufgabe wird nur dann als richtig gewertet, wenn alle möglichen dreistelligen Zahlen eingetragen wurden (die Reihenfolge der Auflistung spielt keine Rolle). richtig Achtung: Hier sind Doppelkodierungen möglich, d.h. es können Fehler des Fehlertyps 1 (F1) und gleichzeitig solche des Fehlertyps 2 (F2) vorliegen. Eine der korrekten Zahlen wird mindestens zweimal genannt, dafür fehlt eine andere. F1 Beispiel: 123, 132, 213, 312, 213, 321 Eine dreistellige Zahl, bestehend aus den Ziffern 1, 2 und/oder 3, enthält zwei gleiche Ziffern. Beispiele: 112, 233 Beispiele: vierstellige Zahlen, Zahlen mit anderen Ziffern als 1, 2 und 3 Annahmen zu den Fehlern: Am Aufbau der Zahlenfolge lässt sich evtl. erkennen, ob überhaupt planvoll vorgegangen wurde (z.b. von der niedrigsten F1 zur höchsten Zahl) und an welcher Stelle sich ein Bruch in der Systematik findet. F2 Es wurde vermutlich nicht erkannt, dass in der dargestellten Situation jede Ziffer nur einmal pro Zahl vorkommen kann. Das Modell/das Aufgabenformat wurde möglicherweise nicht verstanden. 3 Fähigkeitsniveau VERA-Fähigkeitsniveau 1 (elementare Fähigkeiten) Allgemein:! Einfache Aufgaben mit grundlegenden Anforderungen werden hinreichend sicher gelöst. Arithmetik:! Einfache kombinatorische Aufgaben können gelöst werden (z.b. das Zusammensetzen von Zahlen aus drei Ziffern). 4

5 Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik Aufgabe 3 4 Standardzuordnung (inhaltsbezogene Kompetenzen) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben. Zahlen und Operationen! in Kontexten rechnen einfache kombinatorische Aufgaben (z.b. Knobelaufgaben) durch Probieren bzw. systematisches Vorgehen lösen! Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems verstehen 5 Didaktische und methodische Hinweise Aufgabentyp/Aufgabenformat: Bilden von Zahlen durch Kombinieren/Kurzantwort Aufgabenbeschreibung: Die vorliegende Aufgabenstellung zielt vorwiegend auf kombinatorische Fähigkeiten ab. Es gilt, alle möglichen dreistelligen Zahlen aus den Ziffern 1, 2 und 3 zu finden, wobei jede Ziffer nur einmal pro Zahl verwendet werden darf. Als kombinatorische Problemstellung findet sich die vorliegende Aufgabe im Rahmen der Zahlenraumerweiterung (Sicherung des Stellenwertverständnisses). Voraussetzungen:! Grunderfahrungen zu einfachen kombinatorischen Problemstellungen besitzen! Kenntnisse der Stellentafel sind erforderlich, um die Fachbegriffe zu verstehen Mögliche Lösungswege: Die Aufgabe kann durch systematisches oder unsystematisches Vorgehen gelöst werden. Als systematische Herangehensweisen bieten sich an:! Notieren geordneter Zahlenkolonnen, z.b.: 123, 132, 213, 231, 312, 321! Darstellung in Zahlenblöcken, z.b.: ! Baumdiagramme! Heranziehen einer Stellentafel/Tabelle Anregungen für die Unterrichtspraxis: Es ist wünschenswert, ein systematisches Vorgehen zu vermitteln, z.b. anhand von Tabellen und Baumdiagrammen. Beispiele:! mit 4 Ziffernkärtchen sollen alle 3-stelligen (2-stelligen) Zahlen gefunden werden, die möglich sind! Speiseeis-Kombinationen finden (z.b. aus 5 Sorten 3 Kugeln auswählen)! 3 (4, 5) Kinder schütteln sich zur Begrüßung die Hände. Wie viele Handschläge sind es?! Zusammensetzen von Figuren aus 4 Köpfen, 4 Körpern, 4 Beinen! Arbeiten mit Zahlenkombinationen, z.b. mit Zahlenschiebern, Klappbüchern, Zahlenschlössern, Autokennzeichen oder Telefonnummern 5

6 1 Aufgabe (Nr. 7) Wer ist am schwersten? Kreuze an. Ali Tim Ute Tim # # Ali Tim # Ute # Alle sind gleich schwer. # Das kann man nicht bestimmen. 2 Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung Ute Tim und Ute (beides angekreuzt) Das kann man nicht bestimmen. richtig F1 Annahmen zu den Fehlern: F1 Die beiden Abbildungen wurden möglicherweise nicht zueinander in Beziehung gesetzt. F2 Es gibt mehrere mögliche Alternativen: - Die Darstellung wurde möglicherweise nicht verstanden. - Die beiden Abbildungen wurden möglicherweise nicht zueinander in Beziehung gesetzt. Vermutlich bestehen Unsicherheiten im Umgang mit Relationen. 3 Fähigkeitsniveau VERA-Fähigkeitsniveau 2 (erweiterte Fähigkeiten) Allgemein:! Aufgaben mittleren Anforderungsniveaus werden hinreichend sicher gelöst. Sachrechnen:! Die Zuordnung arithmetischer Operationen/Relationen zu Sachsituationen gelingt. 4 Standardzuordnung (inhaltsbezogene Kompetenzen) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben. Größen und Messen! Größenvorstellungen besitzen Größen vergleichen, messen und schätzen 6

7 Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik Aufgabe 7 5 Didaktische und methodische Hinweise Aufgabentyp/Aufgabenformat: bildhafte Darstellung von Gewichtsbeziehungen/Multiple-Choice mit einer richtigen Antwort Aufgabenbeschreibung: Zwei bildhafte Darstellungen, die in Zusammenhang stehen, müssen mathematisch interpretiert werden. Die Abbildung ermöglicht über das Balkenwaagen-Modell der Wippe einen unmittelbaren Vergleich im Größenbereich Gewichte und damit auch ohne quantitative Angaben das Bestimmen von Größenbeziehungen. Die Aufgabe stellt als Bild eine zweistellige transitive Relation dar. Es gilt: Wenn a > b und b > c, dann ist a > c. Voraussetzungen:! Verständnis des Prinzips Wippe/Waage! Informationen aus bildlichen Darstellungen entnehmen können! Informationen zueinander in Beziehung setzen und Schlüsse daraus ziehen können! Grunderfahrungen im Modellieren besitzen! über Vorstellungen zu den Relationen ist schwerer als/leichter als verfügen Mögliche Lösungswege: Durch die Verknüpfung der beiden Aussagen Ali ist leichter als Tim (oder auch: Tim ist schwerer als Ali) und Ute ist schwerer als Tim (oder auch: Tim ist leichter als Ute) lassen sich die Kinder bezüglich ihrer Gewichte in eine Reihenfolge bringen. Das Aufstellen einer Reihenfolge, d.h. die Verknüpfung beider Relationen, kann auf unterschiedliche Weise erfolgen:! durch intuitives Sehen, d.h. Kinder mit ausgeprägtem Vorstellungsvermögen stellen sich die gleich groß dargestellten Personen plastisch vor! durch quantitative Konkretisierung: Den drei Kindern werden (fiktive) Größenangaben zugeordnet, z.b.: Tim 40 kg Ali 30 kg Tim 40 kg Ute 50 kg durch zeichnerische Konkretisierung in einer Skizze: Ali Tim In beiden Darstellungsformen kann auf einen Blick erkannt werden, dass Ute am schwersten ist.! durch formal-logisches Denken: Um die drei Personen in eine Reihenfolge bringen zu können, müssen u.u. gleiche, vergleichbare Relationen geschaffen werden; das erfordert reversibles Denken. Ute Tim Beispiel: Ali ist leichter als Tim Reihenfolge: Ali Tim (Tim) Ute Ute ist schwerer als Tim daraus folgt: Tim ist leichter als Ute Es entsteht die logische Verknüpfung: Ali ist leichter als Tim und Tim ist leichter als Ute. Daraus kann die richtige Schlussfolgerung gezogen werden. 7

8 Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik Aufgabe 7 Anregungen für die Unterrichtspraxis: Um das Verständnis für die Eigenschaft der Transitivität zu schulen, sollten an der Balkenwaage paarweise Wiegevorgänge von 3 bis 4 Objekten durchgeführt werden. Hierbei sollten die Kinder möglichst selbständig überlegen, welche und wie viele Wiegevorgänge nötig sind, um alle Objekte in eine richtige Reihenfolge bringen zu können. Da die Denkwege der Kinder sehr verschieden sind, sollte eine zu starke Lenkung vermieden werden. Viel wichtiger ist es, eine offene, spielerisch-experimentierende Auseinandersetzung mit logischen Problemstellungen zu initiieren. In diesem Zusammenhang ist es notwendig, die Transitivität vor allem in Sachsituationen mit Relationen aus dem täglichen Sprachgebrauch zu betrachten (a kleiner b, b kleiner c, also a kleiner c; größer als, schwerer als, leichter als, schneller als, springt weiter als...). Weitere Aufgaben nach diesem Muster:! Tim sagt: Ich bin jünger als Ute, aber älter als Ali. Wer ist am ältesten? Und wer ist am jüngsten?! Ordne sie nach ihrer Größe: Maria ist kleiner als Marko, aber größer als Evi.! Ordne sie nach ihrem Alter: Lisa ist älter als Markus, aber noch nicht so alt wie Niko.! Bildliche Darstellungen auf der Balkenwaage: a) Wie schwer ist die Ananas, wenn jeder Apfel 100g wiegt? b) Wie schwer ist der Blumenkohl, wenn eine Gurke 200g wiegt? Wie schwer ist eine Tomate? c)? Was steht anstelle des Fragezeichens? 8

9 1 Aufgabe (Nr. 11) Zerlege das Rechteck mit einer geraden Linie in... a) zwei Rechtecke b) ein Dreieck und ein Viereck (Auf Teilaufgabe a) wird im Folgenden kein Bezug genommen.) c) zwei Dreiecke d) ein Fünfeck und ein Dreieck 2 Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung Die Teilaufgaben dieser Aufgabe werden getrennt ausgewertet. Bitte verwenden Sie die folgende Zuordnung: b) Diese Teilaufgabe gilt dann als richtig gelöst, wenn eine Linie durch eine Ecke und durch eine der gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks gezogen wurde. zusätzlich zur korrekten Gerade eine vertikale Linie eingezeichnet Beispiele:, innerhalb der gegebenen Figur eine oder mehrere andere Figuren gezeichnet Beispiele:,, richtig F1 Annahmen zu den Fehlern: Die Aufgabenstellung wurde nur teilweise beachtet. Anstatt wie gefordert nur eine Linie zu zeichnen, wurde vermutlich F1 angenommen, dass für zwei Figuren auch zwei Geraden gezeichnet werden müssen. F2 Es wurde vermutlich nicht verstanden, dass die Ausgangsfigur zerlegt werden soll. Stattdessen wurde versucht, die Aufgabe durch das Zeichnen einer oder mehrerer anderer Figuren zu lösen. c) Diese Teilaufgabe gilt dann als richtig gelöst, wenn eine Diagonale durch das vorhandene Rechteck gezogen wurde. zwei Linien schneiden je eine Ecke zu zwei Dreiecken ab (es resultiert dazwischen eine weitere Figur, die je nach Aufteilung ein Dreieck, Viereck, Fünfeck oder Sechseck sein kann) Beispiele:,,, vier schräge Linien zu zwei Dreiecken gezeichnet Beispiele:, richtig F1 Annahmen zu den Fehlern: Die Aufgabenstellung wurde nur teilweise beachtet. Anstatt wie gefordert nur eine Linie zu zeichnen, wurde vermutlich F1 angenommen, dass für zwei Figuren auch zwei Geraden gezeichnet werden müssen. F2 Innerhalb der Figur wurden zwei Dreiecke gezeichnet, die Aufgabenstellung somit nicht vollständig berücksichtigt. 9

10 Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik Aufgabe 11 d) Diese Teilaufgabe gilt dann als richtig gelöst, wenn eine Linie durch das vorhandene Rechteck gezogen wurde, welche durch keine Ecke des Rechtecks und nicht durch sich gegenüberliegende Seiten geht. F1 wird kodiert, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind: 1) diagonale Linie aus einer Ecke zu einer der Seitenlinien (es resultiert also ein Dreieck) oder ein Dreieck gezeichnet und 2) ein Fünfeck gezeichnet richtig F1 Beispiele:, entfällt Annahmen zu den Fehlern: Die Aufgabenstellung wurde nicht vollständig berücksichtigt und/oder es bestehen Schwierigkeiten, die Aufgabe angemessen zu lösen. Evtl. wurde nicht erkannt, dass mit der Abtrennung eines Dreiecks (dieser Teil der F1 Aufgabenstellung wurde vermutlich beachtet) ein Vieleck entsteht, das je nach Setzen der Linie ein Drei-, Vier- oder Fünfeck darstellt. Daher wurde eine alternative Strategie (Zeichnen eines Dreiecks und/oder Fünfecks) gewählt. F2 entfällt 3 Fähigkeitsniveau VERA-Fähigkeitsniveau 3 (fortgeschrittene Fähigkeiten) Allgemein:! Es werden auch anspruchsvollere Aufgaben hinreichend sicher gelöst. Geometrie:! Das Zerlegen einer Fläche in vorgegebene Figuren gelingt. 4 Standardzuordnung (inhaltsbezogene Kompetenzen) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben. Raum und Form! geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen Modelle von Körpern und ebenen Figuren herstellen und untersuchen (Bauen, Legen, Zerlegen, Zusammenfügen, Ausschneiden, Falten...) 5 Didaktische und methodische Hinweise Aufgabentyp/Aufgabenformat: geometrische Problemstellungen zeichnerisch umsetzen/kurzantwort Aufgabenbeschreibung: In dieser Aufgabe geht es um die Zerlegung eines Rechtecks in vorgegebene Teilfiguren durch Einzeichnen einer Geraden. Das Zerlegen und Zusammensetzen von ebenen Figuren gehört zu den grundlegenden Operationen in der Geometrie und vertieft das Verständnis für die Eigenschaften von ebenen Figuren (regelmäßige und unregelmäßige Vielecke). Voraussetzungen:! über ein entsprechendes räumliches Vorstellungsvermögen verfügen! Vorstellungen von ebenen Figuren und deren Eigenschaften besitzen! Kenntnisse über Dreieck, Viereck, Fünfeck, Rechteck anwenden! ebene Figuren in der Vorstellung zerlegen 10

11 Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik Aufgabe 11 Mögliche Lösungswege: Die Aufgabenstellungen b), c) und vor allem d) dürften für die meisten Kinder ungewöhnlich sein. Ein Rückgriff auf Handlungserfahrungen ist von daher kaum möglich, Routinelösungen bieten sich nicht an. Um zu Lösungen zu gelangen, sind Eigenständigkeit und Kreativität gefordert und vor allem eine Haltung des Suchens und Entdeckens. Ein erster Schritt kann das Aufzeichnen der geforderten ebenen Figuren unter der Aufgabe als Repräsentanten sein. Durch Verschiebungen mit dem Stift, durch Vorspuren einer gedachten Linie mit dem Finger und durch versuchsweises Einzeichnen einer Linie ist ein so genanntes Probehandeln möglich, d.h. die Kinder können durch gedankliches oder (fiktiv) zeichnerisches Ausprobieren zu richtigen Zerlegungen gelangen. Bei der Aufgabenstellung c) ist ein Rückgriff auf Symmetrieerfahrungen möglich. Anregungen für die Unterrichtspraxis: Durch Falt- und Schneide-Aktivitäten, aber auch durch die Beschäftigung mit Legespielen wie Tangram erfahren die Kinder, dass sich bestimmte geometrische Formen in andere Grundformen verwandeln, zerlegen und umlegen bzw. zu verschiedensten Figuren zusammensetzen lassen. Beziehungen zwischen Teilfiguren sowie symmetrische Eigenschaften werden entdeckt. Gezielte Untersuchungen hierzu (z.b. durch Spannen am Geobrett) werden an Vielecken durchgeführt. Eine Sicherung der gewonnenen Erkenntnisse (des Formverständnisses) geschieht durch das Übertragen der Handlungsergebnisse auf die zeichnerische Ebene und vor allem auch durch das Benennen und Begründen erkannter Beziehungen zwischen den Formen. Beispiele:! vielfältigste Faltübungen, dabei immer wieder bewusst die entstandenen Formen bzw. Teilformen betrachten und benennen lassen! Herstellen von Formen-Puzzles, z.b. Zerschneiden eines Quadrats oder Rechtecks durch mehrere zu den Seiten nicht unbedingt parallel verlaufende Schnitte; Bestimmen der Teilfiguren; Zusammensetzen der Teile! Untersuchungen am Geobrett, z.b. Spannen verschiedener Vielecke am 4x4-Brett! vorgegebene Teilfiguren zu regelmäßigen Grundformen ergänzen! kopfgeometrische Übungen am Punkte-Raster: Spanne in Gedanken ein Gummi um E J G B. Welche Figur erhältst du? A B C D E F G H I J K L M N O P 11

12 1 Aufgabe (Nr. 19) Nimm jeweils zwei Zahlenkarten und berechne die Summe. Das Ergebnis soll zwischen 700 und 800 liegen a) b) 2 Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung Die beiden Teilaufgaben a) und b) sind gleichwertig zu behandeln. Es darf nicht die gleiche Aufgabe zweimal eingetragen werden. Als richtig gewertet wird hingegen, wenn Aufgabe und Tauschaufgabe eingetragen wurden. Im Folgenden sind die möglichen Lösungen aufgeführt. Die Reihenfolge der Summanden pro Aufgabe ist für die richtige Lösung unerheblich a) richtig oder oder F Annahmen zu den Fehlern: Es gibt mehrere mögliche Alternativen: - Evtl. wurde die Aufgabenstellung des zweiten Satzes überlesen. F1 - Nach dem Überschlagen einiger Rechnungen sollte das Ergebnis möglichst klein gehalten werden, deshalb wurden die beiden kleinsten Zahlen addiert. F2 Vermutlich wurde nicht erkannt, dass 700 nicht zwischen 700 und 800 liegt b) richtig oder oder F

13 Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik Aufgabe 19 Annahmen zu den Fehlern: Evtl. wurde nicht verstanden, dass Zahlen über 800 nicht zu dem genannten Zahlenraum gehören und der zweite F1 Satz interpretiert als: Das Ergebnis soll mit 7 (bzw. 700) oder 8 (bzw. 800) beginnen. F2 Vermutlich wurde nicht erkannt, dass 700 nicht zwischen 700 und 800 liegt. 3 Fähigkeitsniveau VERA-Fähigkeitsniveau 2 (erweiterte Fähigkeiten) Allgemein:! Aufgaben mittleren Anforderungsniveaus werden hinreichend sicher gelöst. Arithmetik:! Schriftliche Addition gelingt auch mit Überträgen in unüblichen Formaten (z.b. Lückenaufgaben). 4 Standardzuordnung (inhaltsbezogene Kompetenzen) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben. Zahl und Operationen! Rechenoperationen verstehen und beherrschen Lösungen durch Überschlagsrechnungen und durch Anwenden der Umkehroperation kontrollieren 5 Didaktische und methodische Hinweise Aufgabentyp/Aufgabenformat: überschlagendes Rechnen, schriftliche Addition im Zahlenraum bis 1000, Orientierung im Zahlenraum/Kurzantwort Aufgabenbeschreibung: Aus einer vorgegebenen Grundmenge sind zwei Zahlenpaare auszuwählen, die nicht nur schriftlich addiert, sondern deren Summe einer bestimmten Bedingung genügen soll. Dabei ist eine auf Runden und Überschlagen basierende Lösungsstrategie am effektivsten. Voraussetzungen:! Beherrschung des Algorithmus der schriftlichen Addition! Orientierung im Zahlenraum bis 1000! Verständnis der Begriffe Summe und zwischen Mögliche Lösungswege: Die effektivste Lösungsstrategie ist es, mit Hilfe des Überschlags diejenigen Zahlen zu ermitteln, die addiert werden können, um dann die Rechnung auszuführen. Mit Hilfe des Zahlensinns gelingt es, die geeigneten Zahlen herauszufinden. Anregungen für die Unterrichtspraxis: Beispielaufgaben sind alle Rechenaufgaben, bei denen der Überschlag eine Rolle spielt. Beispiele:! überschlagendes Rechnen mit Sachhintergrund! Plausibilität von Lösungen durch Überschlag prüfen 13

14 Erläuterungen zu den Zentralaufgaben Mathematik Aufgabe 19! Aus einem vorgegebenen Ziffernvorrat Zahlen für Additions- oder Subtraktionsaufgaben so bilden, dass die Ergebnisse bestimmte Bedingungen erfüllen, z.b.: Bilde aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 und 6 zwei dreistellige Zahlen. Die Summe soll möglichst klein sein. Die Summe soll zwischen 700 und 800 liegen. Die Summe soll genau 390 betragen.! Bei einer vorgegebenen Aufgabe durch Überschlag abschätzen, ob das Ergebnis in einem bestimmten Zahlbereich liegt, z.b.: Gegeben ist die Aufgabe Ist das Ergebnis wohl kleiner als 700? Ist das Ergebnis wohl größer als 900? Ist das Ergebnis wohl größer als 1000? Begründe. Rechne dann zur Kontrolle die Aufgabe aus.! mit Zahlenkarten arbeiten, z.b. in Partnerarbeit: Schüler A erhält die Ziffern Schüler B erhält die Ziffern Beide Schüler dürfen ihre drei Ziffernkarten vertauscht einsetzen, aber Schüler A darf keine Karte von B nehmen und umgekehrt. Hieraus lassen sich jetzt diverse Fragestellungen bilden, die alle darauf abzielen, das Verständnis für Größenvorstellung, Eigenschaften von Zahlen, Überschlag und Kombinatorik zu erarbeiten (hier eine kleine Auswahl): Bildet die Summe, die < 1000, aber > 800 ist? Wie viele gibt es davon? Wie viele Summen/Differenzen könnt ihr finden, die gerade/ungerade sind? Könnt ihr eine Differenz bilden, die durch 5 teilbar ist? Gibt es mehrere? Warum geht das? Könnt ihr eine Summe bilden mit der Einerziffer 1? Wieso? Schüler können veranlasst werden, selbst Fragen zu stellen, oder sie erhalten die Aufgabe, zu einer Gleichung einen passenden Sachtext zu suchen. 14