Schwerpunkte (baricentro)

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1 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb ETGKETLEHRE cwerpunkte (aricentro) Der cwerpunkt ist der Durcgangspunkte der Resultierenden aller assenkräfte einer Linie, einer läce oder eines Körpers. m cwerpunkt eines Körpers kann man sic das Gewict desselen konentriert vorstellen. G Ein im cwerpunkt unterstütter Körper (läce, Linie) efindet sic im indifferenten Gleicgewict. lle Linien durc den cwerpunkt nennt man cwerlinien. Der cwerpunkt kann recnerisc oder grapisc ermittelt werden. cwerpunkt von Linien s s L L L L + L + L + L + L llgemein: Li s L s ( i) i ( Li i) Li - -

2 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb cwerpunkt von läcen s s llgemein: i s s ( i) i ( i i) i Beispiel: s 5, s 6,

3 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Trägeitsmoment (momento d ineria) Trägeitsmomente sind läcenmomente weiten Grades und ergeen sic aus dem Produkt von läcen und dem Quadrat von Längen: Trägeitsmomente sind rein matematisce Begriffe und nur von der orm und Größe einer läce anängig. an untersceidet wiscen: - axialem Trägeitsmoment - polarem Trägeitsmoment - entrifugalem Trägeitsmoment Das axiale Trägeitsmoment llgemein: ( i i ) ( i ) i Das axiale Trägeitsmoment ergit sic aus dem Produkt der läce und dem Quadrat der stände u den csen x w.. Durc den cwerpunkt einer läce lassen sic unendlic viele cweracsen legen und damit erält man eensoviele versciedene Trägeitsmomente (usname: Kreis und Kreisring). Hauptträgeitsacsen Extremwerte Hauptsmmetrieacsen - -

4 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Jede Querscnittsfläce at aer wei cweracsen um die das Trägeitsmoment einmal ein aximum und einmal ein inimum aufweist. Es sind dies die Hauptacsen um die daugeörigen Hauptträgeitsmomente. Diese Hauptacsen aen folgende Eigenscaften: - sie steen senkrect ueinander - jede mmetrieacse ist auc Hauptacse Trägeitsmomente wictiger Querscnitte ) Recteck ) Quadrat ) Vollkreis r r π ( R r ) ) Kreisring r R π - -

5 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Der at von teiner it dem at von teiner kann das Trägeitsmoment für eine ur cweracse parallele cse erecnet werden. Das Trägeitsmoment einer läce für eine ur cweracse parallele cse ist gleic der umme aus Eigenträgeitsmoment und dem Produkt aus läce und dem Quadrat des stands eider csen. Üung Der Trägeitsradius i (raggio d ineria) Er ist eine Größe ei der Bemessung von knickgefärdeten Druckstäen. Der Trägeitsradius ängt vom Trägeitsmoment und der Querscnittsfläce a. i i i i - 5 -

6 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb im all eines Rectecks i 0,89 i 0,89 Da ein knickgefärdeter Drucksta stets um die cse mit dem kleineren Trägeitsmoment ausknickt, ist für diesen tailitätsnacweis der kleinste Trägeitsradius maßgeend i min. min min i i usknicken in -Rictung eicnen wir die Trägeitsradien auf den Hauptacsen ein, eralten wir die Trägeitsellipse. Das iderstandsmoment (momento di restistena) Er ist eine wictige Größe für die Bemessung von Biegeträgern und für die Ermittlung von Biegespannungen im Querscnitt. Das iderstandsmoment ist ein aß für die Biegefestigkeit eines Trägers und ist vom Trägeitsmoment, sowie vom größten aserastand von der pannungslinie aus aängig. aserastand Trägeitsmoment a [ ] w a im all eines Rectecks 6 a 6 a a a pannungslinie

7 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Beansprucung von Bauteilen Bauteile müssen auf ire Beansprucung in untersuct werden. irken auf ein Tragwerk äußere Kräfte, so ergeen sic uflagerkräfte und innere Kräfte, welce den äußeren Kräften das Gleicgewict alten. Die Größe der Beansprucung eines Bauteils ist von den cnittkräften (, Q, ) und von Querscnittsamessungen aängig. Ein aß für die Beansprucungen ist die pannung. pannung ie ist die innere Kraft eogen auf die Querscnittfläce. pannung nnere Kraft [] Querscnittsfläce Je nac rt der cnittkraft untersceiden wir wiscen: ormalspannung.b. ugspannung, Druckspannung Tangentialspannung.B. cerspannung, cuspannung ormänderung Unter dem Einfluß von pannungen entsteen an einem Tragwerk ormänderungen. Diese können um Beispiel Verlängerungen (infolge von ugspannungen) oder Verkürungen (infolge von Druckspannungen) sein. ormänderungen können elastiscer oder plastiscer atur sein. Denung: Unter der Denung verstet man die Verlängerung l eines taes eogen auf die ursprünglice Länge l 0. Verlängerung l ε ursprünglice Länge l 0 Durc Verkürungen entsteen negative Denungen, sogenannte taucungen. Beispiel geg: l 0 m l 0,0 m l l l 0, m l 0, m ε 0,0 % l 0 m 0-7 -

8 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Das Hook sce Geset us der pannungs-denungslinie des tals erkennt man, dass der erste Bereic der Linie geradlinig verläuft. Es ist dies der elastisce Bereic des erkstoffs. ür diesen Bereic gilt das Hook sce Geset, welces folgendes esagt: die Denungen ε veralten sic proportional u den pannungen im elastiscen Bereic. ε ε ε E Elastiitätsmodul E ε ε ε ε E E E E tal Beton Hol (parallel ur aser) Hol (senkrect ur aser) mm mm mm mm Längsdenung l ε l0 l0 E ε l l0 l E,5 m x 5 x 5 täe Berecne die Verlängerung der täe! l E, 0 6,6 l 0,8 50 Querdenung ε q ird ein ta gedent (.B. in olge von ug) so wird er in der Querrictung dünner. ird er gestauct (in olge von Druck) so wird er in Querrictung dicker. Die Querdenal η git das Verältnis wiscen Querdenung (Querstaucung) und Längsdenung (Längsstaucung) an

9 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb d l ε l d ε q 0 d ε η q konstant ε Beton: η 0, 0, 5 ug η Druk 0,6 0,0 tal: η 0, 0, 5 l d ärmedenal α T nfolge Erwärmung dent sic ein Körper aus. Die ärmedenal git die Längenänderung eines m langen taes ei einer Temperaturänderung von C an. α l T α l T T 0 tal, 0 5 m m K Beispiel: Berecne die Längenänderung eines m langen talstüte ei folgenden T: ontage: 0 C am Bau: -0 C T 0 ( 0 ) 0 K 5 m lt α T l0 T, 0 m 0 K 0,006 m 6 mm m K pannungsarten Bei den pannungen untersceidet man wiscen ormal- und Tangentialspannungen.. ormalspannungen ie werden ereugt durc cnittkräfte die senkrect ur Querscnittsfläce wirken,.b. ormalkräfte, Biegemomente, Temperatureinwirkungen. ls ormalspannungen gelten: ug-, Druck-, Knick- und Temperaturspannungen. ie verursacen eine Hauptverformung der Querscnittsteilcen in Rictung der taacse.. ugspannung irken auf einen ta ugkräfte ein, so kommt es im Querscnitt u ugspannungen. ugspannungen eralten ein positives Voreicen. > n Kraft ettofläce - 9 -

10 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Bei der Bemessung von ugstäen,.b. ei Hol oder tal muss nacgewiesen werden, dass die auftretende ugspannung der ulässigen ugspannung ist. Die ulässige ugspannung ist die um den icereitsfaktor f reduierte ugfestigkeit und darf von den vorandenen ugspannungen nict üerscritten werden. vor 0 e 60 (t 7) 6 0 8, 0, 6 > n 70 Bedingung: n n 70 6, aus Taelle: 80 7,9 acweis: 70 voranden,6 < 6 7,9 effektiv. Druckspannung D irken auf einen ta Druckkräfte ein, so entsteen im Querscnitt Druckspannungen, sie eralten ein negatives Voreicen. - ls läce wird die ettofläce eingesett (Querscnitt - Löcer), es sei denn, die Löcer sind mit mindestens gleic festen toffen ausgefüllt. D n Bei der Bemessung von einfacen Druckelementen (keine Knickgefar) muss nacgewiesen werden, dass die auftretende Druckspannung D der ulässigen Druckspannung D ist. D vor D - 0 -

11 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb. Temperaturspannungen T st ein Tragwerk Temperaturscwankungen ausgesett so erfärt es, wenn die Lagerung es ulässt, eine estimmte Längenänderung. l ± α T l0 T ird dieses Tragwerk an der Längsänderung geindert (festes uflager oder Einspannung), so entsteen im Querscnitt pannungen. Es sind dies Temperaturspannungen und entsprecen einer inneren Längskräft. E T ε l α E ε E E E α T T T 0 l0 l0 l T Die auftretenden Temperaturspannungen sind somit entweder ug- oder Druckspannungen und werden durc die Temperaturänderungen T verursact. Beispiel ontage: 0 C später: 0 C 00 T 0 K m E α tal T tal T, 0 E α, 0 T 5 mm 5 m m K T 50, mm 5,0 6. Knickspannung K Bei ser sclanken Druckstäen kann es ereits im Bereic unteral der ulässigen Druckspannung infolge üermäßiger Verformung um Versagen des Tragwerkes kommen, owol noc gar nict erreict ist. D K ω usätlices oment Die Gefar des usknicknes ängt a von: - aterial des taes - Querscnittsfläce - Länge des taes - Lagerung des taes - -

12 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Die Knicklänge s K Die Knicklänge ist die Länge des taes, die ei der Druckelastung frei usknicken kann. Von Euler (7) wurde die Knicklänge von versciedenen Lagerungsfällen ergeleitet.. Eulerfall einseitige Einspannung + freies Lager s K l l. Eulerfall feste uflager s K l l. Eulerfall festes uflager + Eingespanntes s K 0,7 l l. Eulerfall eingespannte uflager s K 0,5 l l Die clankeit λ Der clankeitsgrad λ git de Knickempfindlickeit eines Druckstaes in ängigkeit von talänge, Lagerungsart und Querscnitt. - -

13 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb s λ K i Knicklänge Trägeitsradius Das usknicken eines Druckstaes erfolgt immer entlang des kleinsten Trägeitsradiuses. sk λ i i min i ussclaggeend für den Knicknacweis ist der kleinste Trägeistradius (i ), daraus folgt nämlic der größte clankeitgrad λ max. Die Knickal ω Üer den clankeitsgrad λ kann in ängigkeit um erkstoff die Knickal ω aus Taellen entnommen werden. Die Knickal drückt das Verältnis der einfacen ulässigen Druckspannung ur ulässigen Knickspannung aus. D ul ω K ul Beispiel: 80 talstüte e 60 HE-B 00 i,0 m i. Eulerfall s K l 00 sk 00 λ max 78,90 79 imin 5,07 Taelle ω,5 80 K ω,5,5 < 6 78,.5 Biegespannung erden Bauteile auf Biegung eanspruct, entsteen im Querscnitt Biegespannungen. nfolge von Belastung erfärt ein Biegeträger eine Durciegung, die im oeren Teil u taucungen und im unteren Teil u Denungen fürt. o Denungen auftreten errscen ugspannungen, wo taucungen auftreten errscen Druckspannungen. o Denungen in taucungen üergeen at man eine spannungsfreie aser, die sogenannten pannungsnulllinie. Diese fällt ei Biegeträgern mit der cweracse des Querscnitts usammen, die ug- w. Druckspannung nimmt u den Rändern in linear u. Träger unelastet gerade taacse l - -

14 fj fj fj oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Träger elastet Druck gekrümmte taacse ug l Vorderansict eitenansict anfallende pannungen D - weil taucung D neutrale aser + weil Denung D o Kraft w. D Volumenkeil 6 u w. u pannung Kraft läce Kraft pannung läce u erke: äußere Kräfte ewirken eine Durciegung, daraus ergit sic ein äußeres maximales oment ( toff der. Klasse). Die inneren Kräfte müssen durc das Kräftepaar ug- und Druckkraft ein mindestens gleic großes inneres oment aufringen. max äußeres oment innere ugkraft D innere Druckkraft - -

15 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Beispiel : 0 0 V m B V 0 Üerprüfe, o im etreffenden all die Biegespannungen im Holträger noc ulässig ist. ) Berecnen des maximalen eldmomentes max m 0 m ) Berecnung des iderstandmomentes ) B 0, 000 Beispiel : älen sie die rictige Balkenöe und erecnen sie die vorandenen Biegespannung 0? V m B V 0 ) Berecnen des maximalen eldmomentes max m 0 m ) B B voranden voranden 0, , 8 B < B vor. pannung ei Längskraft und Biegung Häufig treten im Querscnitt ug- w. Druckspannungen und Biegespannungen gleiceitig auf, da es sic ei eiden pannungsarten um ormalspannungen andelt, können diese addiert werden

16 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb + D,, D, D, + pannungsnulllinie,,,,, ± ärend ei einfacen Biegungen die pannungsnulllinie mit der pannungsacse usammenfällt, versciet sic ei pannungsüerlagerung die pannungsnulllinie. Beispiel: H V Q m + q 0 /m - B V 00-5 Üerprüfe die pannung für eine HE- B 0 ql V B V 5 00 H q l max 6,5 m 8 HE-B: 9 76, B, 00, 9 65 ± 8, 76 gefärlicste aser itte des Trägers pannung in aser unten + 6,5 m +, + 8, 9, ges,, pannung in aser oen, 8, 7, D ges D, D,,, D, 8, D D,, 7,,,,,, 8, + 9, - 6 -

17 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb. Tangentialspannungen τ ie werden ereugt durc cnittkräfte, die in Rictung der Querscnittsfläce wirken, wie.b. die Querkraft. Tangentialspannungen entsteen ei der Verscieung, dem sceren und dem Verdreen der Querscnittsteilcen gegeneinander. u den Tangentialspannungen älen:. cuspannungen cuspannung. cerspannungen cuspannung. Torsionsspannungen. cuspannung τ V τ H nfolge Belastung eines Trägers, quer ur taacse, entsteen außer den Biegemomenten auc Querkräfte, diese verursacen eine Verscieung neeneinanderliegender Querscnitte und es entsteen in der Querscnittsfläce Querscusspannungen τ V. Da sic der Träger unter der Belastung durciegt, die oeren asern gedrückt und die unteren asern geogen werden, kommt es auc ur Verscieung üereinanderliegender Querscnitte. Es entsteen Längsscuspannungen τ H in Rictung ur taacse. n jeder telle des Trägers gilt τ V τ H. τ V 0 weil Q 0 Querscuspannung τ V τ H τ H 0 weil keine gegenseitige Verscieung Längsscuspannung - 7 -

18 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Diese cuspannungen sind weder üer die Trägeröe noc üer die Trägerlänge gleicmäßig verteilt. Die größten cuspannungen treten in der pannungsnulllinie auf; am unteren und oeren Trägerrand sind sie gleic null. τ V τ H Q Q Querkraft statisces oment des unteral der untersucten aser liegenden Trägerteils eogen auf die ullfaser (läce unteral der aser x dem stand der cwerpunkt der läce und der aser) gesamte Trägeitsmoment Breite der untersucten aser τ cuspannung in der untersucten aser im all eines Rectecks: τ Q Q,5 ( ) Q Q Beispiel: q 6 / m V B V - Q 6 0,07 0,09 0,07 τ τ τ Q Q Q 0,09 0,07 0 Q 0 6,5 9, ³ ³ - 8 -

19 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb. cerspannung τ ie treten in der Querscnittsfläce wiscen tateilen auf, die auf scerung eanspruct werden. Es darf angenommen werden, dass cerspannungen gleicmäßig üer den Querscnitt verteilt sind. cerfläce τ τ Die Biegelinie. Träger auf wei tüten Die inkeländerung der Biegelinie eines Trägers auf wei tüten kann nac dem oor scen at ermittelt werden. a α β Tangenten inkeländerungen: inkeländerungen α und β sind die inkel wiscen den Tangenten ur Biegelinie und der taacse. Der inkel α (β) ist gleic der uflagerreaktion (B) die sic aus dem mit der omentenlinie elasteten Träger ergit, dividiert durc E. α E B β E Durciegung: Die Durciegung an irgend einer telle des Trägers auf wei tüten erält man, wenn man den Träger mit seiner omentenlinie elastet und für die etreffenden telle das Biegemoment erecnet und durc E dividiert. f x x E - 9 -

20 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Beispiel: 0 Q 5 V 0 m B V -5 V B V 5 l max 0 m Bemessung: B B 6,5 B gewält: PE-Profil 0 77, 5 acweise: 000 B 77,,9 ² B 6 ² Q τ 5, 0,87 0,7 5 ² τ 9, ² V 0 m B V 0 m B tan 0,009 0,5 0,009, m f ( l ), m E 6, ( l ),7 lternative aus Taellenuc (enderorst. 7) a f,7 E l. Kragträger f α Es gilt: der inkel α ist gleic dem nalt der omentenfläce dividiert durc E. ( ) α E - 0 -

21 oroder Daniel Konstruktionslere Klasse eb Die Durciegung f an der pite des Kragträgers ist gleic dem oment des mit der omentenfläce elasteten Trägers in Beug auf das freie Trägerende dividiert durc E. f E Beispiel: 0 0 Q 0-70 m V m m 0 V 0 70 m B B 7,5 B gewält: -Profil s 9, mm -0 m acweise: 7000 B 5,8 ² Q 0 57 τ, 0,9 570 inkeländerung: ( ) 0 m m + ( ) α tan 0,0 E 70 m+ 0 m B ² 6 ² τ 9, m 85 m ² Durciegung: 8, m f E 6 8, ,5 - -

22 OBERCHULE ÜR GEOETER PETER CH, BOE - acrictung Bauetrie - kripte aus 5 Jaren Oerscule Diese reit soll als didaktisce Unterlage für den culunterrict oder als acsclagewerk dienen. Diese reit eret keinen nspruc auf Vollständigkeit. c weise jeglice Verantwortung in Beug auf naltsfeler und elen von Textteilen von mir. c itte aer darum, mir alle eler mituteilen, damit ic die Unterlagen veressern und erweitern kann. Die Vervielfältigung ist mit Quellenangae erlaut. Die Dokumente dürfen one Erlaunis meinerseits nict verändert werden. oroder Daniel Tinderlaweg 906 t. Ulric daniel@moroder.de t. Ulric, eptemer 00