Schubspannungen werden nicht nur durch Torsion, sondern auch durch Querkräfte hervorgerufen.

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1 15. cu cuspannungen werden nict nur durc Torsion, sondern auc durc uerkräfte ervorgerufen. Tragprate eines Druckeälters als tpisces Beispiel eines scueanspructen Bauteils. aus: 1

2 15.1 cu durc uerkräfte Greifen Kräfte quer ur Längsacse eines taes mit dict neeneinander liegenden Wirkungslinien an, so treten im dawiscen liegenden uerscnitt cuspannungen auf, die man auc als cerspannungen eeicnet. / / cerspannungen treten eim cneiden und tanen auf und spielen ei crauen-, Niet-, cweiß- und Kleeverindungen eine wictige Rolle.

3 Zusätlic treten noc Biegespannungen auf, die jedoc ei gedrungenen Bauteilen mit kleinem Heelarm und fester Einspannung (Presspassung) vernaclässigt werden können. Die cuspannungen sind üer dem uerscnitt ungleicmäßig verteilt. Vereinfact recnet man aer oftmals mit einer mittleren Ascerspannung Hierei ist die uerkraft und A die uerscnittsfläce des Trägers Die cerfestigkeit ist ei äen Werkstoffen f 0,5 R e, ei spröden Werkstoffen ist f R m. Mit einer icereit von 1,5...4 folgt damit m A ul R min. e R ; 4 m A

4 Beispiel: Berecnung einer Nietverindung Gegeen: 10 kn, 0 mm, 4 mm, n 6, ul 90 N/mm Gesuct: Erf. Nietdurcmesser d, läcenpressung p, Normalspannung im Blec Üung: Berecnung einer cweißverindung Gegeen: 10 kn, 0 mm, 4 mm Gesuct: cuspannung in der cweißnat 4 a

5 15. cu durc Biegemomente Bei Beansprucung eines Balkens durc ein veränderlices Biegemoment M(x) treten infolge der Beieung dm ( x) dx immer uerkräfte auf (uerkraftiegung), die im Balkenquerscnitt usätlice cuspannungen ewirken. Die uerkraft ist im cnitt senkrect ur Längsacse mit den cuspannungen im Gleicgewict. da A q Aus dem at der ugeordneten cuspannungen folgt, dass in Eenen parallel ur Längsacse etragsmäßig gleice cuspannungen x x auftreten. 5

6 Die Längsscuspannungen lassen sic auc aus dem Vergleic eines aus Einelrettern esteenden und eines massiven Balkens veranscaulicen. x Die Einelretter können sic frei axial verscieen und gleiten aneinander a. Zwiscen den Brettern treten keine Axialkräfte auf. Werden die Bretter miteinander u einem massiven Balken verklet, wird die Längsverformung eindert und es treten infolge der Reaktionskräfte cuspannungen wiscen den Brettern auf. Das gleice gilt für alle asern der Bretter, so dass auc in allen Eenen parallel ur Längsacse cuspannungen auftreten. 6 x

7 15..1 cuspannungsverteilung Der cuspannungsverlauf üer dem uerscnitt ist nict konstant und lässt sic ei einem trapeförmigen Träger anand eines parallel ur eitenwand ausgericteten uaderelements verdeutlicen. ζx 0 ζη 0 xη 0 ηx 0 η ζ x ηζ 0 xζ 0 An freien, unelasteten Oerfläcen können aufgrund felender uerkräfte keine cuspannungen auftreten. Werden von der eitenwand keine Kräfte eingeleitet, gilt daer ηζ 0 und ηx 0 und somit auc ζη 0 und xη 0. Versciet man das uaderelement in die linke oere Ecke, wird auc ζx 0 und somit xζ 0. 7

8 Am oeren und unteren Rand sind daer die cuspannung Null, dawiscen erreicen sie ein Maximum. Bei Trägern mit gekrümmter Außenfläce laufen die cuspannungen tangential um Rand auf einen Pol u, ei dünnwandigen Profilen ist die Rictung der cuspannungen durc die Mittellinie des uerscnitts festgelegt. P q P Die parallel ur uerkraft gericteten Vertikalkomponenten der cuspannungen q sind üer der uerscnittsreite konstant. Bei smmetriscen Profilen een sic die Horiontalkomponenten der cuspannung gegenseitig auf. 8

9 Zur Berecnung der cuspannungen etractet man das Gleicgewict an einem erausgescnittenen Teilstücks eines auf Biegung eanspructen Balkens. dx A x A M σ dx () M+dM x σ+dσ σ () () da dx A σ+dσ Das Kräftegleicgewict in x-rictung am Volumen V liefert x 0 ( σ + dσ ) A da σ da ( ) ( ) dx A mit der vom etracteten cnitt nac außen gericteten Teilfläce A 9

10 Aus dem Kräftegleicgewict folgt ( ) 1 ( ) dσ dx A dm dx dσ da dx Wird die Biegespannung I σ und eingesett, ergit sic die cuspannungsverteilung ( ) I ( ) A da M I mit der uerkraft und dem statiscen Moment A da I eüglic der Teilfläce A nac der Balkenlängsacse ageleitet 10 A A

11 18. uerkraftscu 11 Zur Berecnung der cuspannung in einem cnitt mit der Breite infolge der uerkraft ist das läcenträgeitsmoment I eüglic des cwerpunktes und das statisce Moment der Teilfläce A u estimmen. ) ( ) ( I A da d 1 d Das statisce Moment esitt im cwerpunkt ( 0) ein Maximum und wird am oeren und unteren Rand ( ± /) Null. Das statisce Moment eines Recteckquerscnittes ergit sic aus / A / d A da d d d

12 Wird das läcenträgeitsmoment I /1 eingesett ( ) I I 6 () ergit sic ein paraelförmiger cuspannungsverlauf. Bei 0 ist die maximale cuspannung x max max Mit der mittleren cuspannung m /A / ( ) folgt max m Die maximale cuspannung im Recteckquerscnitt ist 1,5 mal so groß wie die mittlere cuspannung, die sic aus dem Verältnis von uerkraft und uerscnittsfläce ergit. 1

13 15.. cwerpunktsat Die Integration kann man umgeen, wenn die cwerpunktskoordinate s der von der etracteten aser agescnittenen Teilfläce A ekannt ist. Es gilt dann mit dem cwerpunktsat s A ( ) s A ( ) I A ür das Beispiel eines Kreisquerscnitts folgt mit r A r ( ϕ sin ϕ) / die Teilfläce mit dem cwerpunktastand und daraus das statisce Moment s 4 r sin ( ϕ / ) ϕ sinϕ s A 4 r sin ( ϕ / ) ( ϕ sin ϕ) ( ϕ sin ϕ) 1 r sin ϕ ( ϕ / ) s A

14 Mit / r sin(ϕ/) folgt /1 und damit die cuspannung ( ) I 1 I ett man I π r 4 /4 und erücksictigt (/) r, ergit sic die cuspannungsverteilung 4 ( r ) ( ) 4 1 π r / 4 4 A 1 r Die cuspannung ist auc eim Kreisquerscnitt paraelförmig verteilt Die maximale cuspannung tritt eenfalls in der Mitte ei 0 auf max 4 A 4 m mit der mittleren cuspannung m /A und der uerscnittsfläce A π r. 14

15 Beispiel: Gescweißter T-Träger unter uerkraftelastung Gegeen: 5 kn, 40 mm, 60 mm, s 4 mm, a mm Gesuct: cwerpunktskoordinate s, läcenträgeitsmoment I, cuspannung in den cweißnäten s und max. cuspannung max. s a s s 15

16 ... ortsetung cuspannung in der cweißnat 1 1 Max. cuspanung: A A 16

17 Üung: I-Träger unter uerkraftelastung Gegeen: 0 kn, 80 mm, 70 mm, s 10 mm, t 8 mm Gesuct: läcenträgeitsmoment I, stat. Momente, max. cuspannung max, cuspannungen ei 40 mm t s s A A 17

18 max 1, 5 A Das Verältnis aus cu- und Biegespannung ergit sic σ max max 15.. Verältnis aus cu- und Biegespannung Oftmals werden ei iegeeanspructen Trägern die cuspannungen vernaclässigt. Betractet man einen einseitig eingespannten Balken mit Recteckquerscnitt, gilt für die max. Biegespannung M σ max 6 L max W Die cuspannung infolge der uerkraft ist L 6 L 4 1 L d.. erst ei ser kuren Trägern > L sind die cuspannungen in der Größenordnung der Biegespannungen und müssen erücksictigt werden. 18

19 18. cuverformung Neen der Durciegung unterliegt ein Träger infolge der uerkraft einer usätlicen Verformung. ür konstante cuspannungen ist der cerwinkel γ G A mit der uerkraft, der läce A und dem cumodul G, woei vorausgesett wird, dass die uerscnitte een leien (Bernoulli-Hpotese). dx G γ γ0 Da die cuspannungen jedoc paraelförmig verteilt sind mit dem Maximum in der Mitte des Profils, werden die uerscnitte in der Realität verwölt. 19 γ0 γ max

20 Um den Effekt der uerscnittverwölung u erücksictigen, wird die von der uerscnittsform aängige cuverteilungsal κ eingefürt. Es gilt dann für den mittleren cerwinkel: γ κ G A G A Die läce A wird mit der cuverteilungsal κ u einem reduierten cuquerscnitt, der sog. cufläce A A / κ usammengefasst. ür ν 0, gilt näerungsweise: κ 1,1 κ 1, κ κ, κ 1...,4 0

21 Der mittlere cerwinkel ist gleic der Neigung des Profils infolge cu dwq ( x) γ dx G A Die Durciegung infolge der uerkraft ergit sic durc Integration w 1 ( x dx G A q ) Wird die Beieung M(x) (x) dx eingesett, folgt w M ( x) G A q + w 0 woei die Integrationskonstante w o an die Randedingungen anupassen ist. Die Gesamtdurciegung ergit sic aus der umme der Biege- cuanteile w w + w q und 1

22 ür einen eingespannten Recteckträger unter uerkraftelastung ergit sic w x q + w 0 G A Aus der Randedingung w q L ( x L) + w 0 0 G A folgt mit κ 1, mit M(x) - x w 0 x L L G A w q ( x) 1, ( L x) G A Das Verältnis der Verformung aus cu und Biegung ergit sic für x 0 w w q L 1, G A E I L,6 L E 1 G L E 0, G L Auc ier ist nur ei kuren Trägern die cuverformung u erücksictigen. 0,8 L