NUMERISCHE SIMULATION VON STOSSWELLEN IN FREISPIEGELSTRÖMUNGEN

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1 DISS. ETH Nr. 968 NUMERISCHE SIMULATION VON STOSSWELLEN IN FREISPIEGELSTRÖMUNGEN A B H A N D L U N G Zur Erlangung des Titels DOKTOR DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN der EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZÜRICH vorgelegt von Daniel René Näf Dipl. Bau-Ing. ETH, Master of Science WPI (Worcester Polytecnic Institute), Mass., USA georen am. Oktoer 964 von Rüti ZH Angenommen auf Antrag von: Prof. Dr. D. Viscer, Referent Prof. Dr. F. Valentin, Korreferent Dr. P. Rutscmann, Korreferent 997

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3 - 3 - VERDANKUNGEN An erster Stelle get mein Dank an meinen Betreuer der Dissertation, Herrn Dr. P. Rutscmann, welcer mir äufig ur Seite stand und mic mit dem von im entwickelten Programm FEMTOOL vertraut macte. Da das Programmpaket unter ständiger Entwicklung stand, und es auc eute noc stet, war der Austausc iemlic intensiv. An die unekannten Beteiligten des Scwei. Nationalfonds, sowie den Doktorvater meiner Areit, Prof. D. Viscer und den externen Koreferenten Prof. F. Valentin, Müncen get mein Dank. Ein erlices Dankescön get auc an K. Heinelmann, welcer die Herleitungen für die erweiterten Gleicungen üerprüfte. Auc F. Müri in ic u speiellem Dank verpflictet, da er mir in allen Systemelangen ilfreic ur Seite stand. Den ürigen Mitareitern an der Dolderstrasse sprece ic eenfalls meinen Dank aus, da sie mit Gespräcen u neuen Ideen veralfen.

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5 - 5 - INHALTSVERZEICHNIS VERDANKUNGEN...3 INHALTSVERZEICHNIS...5 ZUSAMMENFASSUNG...8 ABSTRACT...9 PROBLEMSTELLUNG... GRUNDLAGEN...3. NAVIER-STOKES-GLEICHUNGEN...3. REYNOLDSGLEICHUNGEN EULERGLEICHUNGEN....4 FLACHWASSERGLEICHUNGEN d Flacwassergleicungen d Flacwassergleicungen Reiungsterme Solengefälle Darstellungsformen der Flacwassergleicungen Dimensionslose Gleicungen d Flacwassergleicungen Dimensionslose Gleicungen TURBULENZMODELLE Null - Gleicungsmodelle Ein - Gleicungsmodelle Zwei - Gleicungsmodelle k - ε Modell k - ε Modell für tiefengemittelte Gleicungen Andere Turulenmodelle LITERATURÜBERSICHT NUMERISCHE MODELLIERUNG RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG Grad der Ansatfunktionen Upwind Allgemeines Flacwassergleicungen ZEITDISKRETISIERUNG RAND- UND ANFANGSBEDINGUNGEN Randedingungen Anfangsedingungen FEMTOOL FLACHWASSERSIMULATIONEN...65

6 DIMENSIONAL Dammruc Dammruc, Vergleic mit Fennema &Caudry[987] Dammruc, Vergleic mit Beffa [994] DIMENSIONAL Teilweiser Dammruc Kontraktion Gefälle Strömungsusammenruc und Auslasen FOLGERUNGEN Boussinesq-Gleicungen Andere Metoden MODIFIZIERTE GLEICHUNGEN MODIFIZIERTE D GLEICHUNGEN Kontinuität und Impulsgleicungen Moment der Kontinuitäts- und Impulsgleicungen Set der 8 Gleicungen MODIFIZIERTE D GLEICHUNGEN Set der notwendigen Gleicungen VERGLEICH MIT BOUSSINESQ-GLEICHUNGEN SIMULATIONEN MIT MODIFIZIERTEN GLEICHUNGEN DIMENSIONAL Dammrucprolem Strömender Afluss Sciessender Afluss Folgerungen DIMENSIONAL Dammruc Teilweiser Dammruc Strömend Sciessend Kontraktion KONVERGENZPROBLEME SCHLUSSFOLGERUNGEN UND AUSBLICK ZUSAMMENFASSUNG AUSBLICK LITERATURVERZEICHNIS...3 A. HERLEITUNG DER MODIFIZIERTEN D GLEICHUNGEN...38 A. ANNAHMEN UND METHODE...38 Kontinuität...4 X-Impulsgleicung...4 Z-Impuls...4 Moment der Kontinuitätsgleicung...4 Moment des x-impulses...44 Moment des -Impulses...48

7 - 7 - A. SET DER 8 GLEICHUNGEN...53 A.3 UPWIND...57 A.4 DIMENSIONSLOSE GLEICHUNGEN...58 B. HERLEITUNG DER MODIFIZIERTEN D GLEICHUNGEN...59 B. METHODE...59 Kontinuitätsgleicung...6 Kinematisce Randedingung an der Wasseroerfläce...6 Kinematisce Randedingung an der Sole...6 X-Impulsgleicung...6 Y-Impulsgleicung...6 Z-Impuls...6 Moment der Kontinuitätsgleicung...63 Moment der x-impulsgleicung...63 Moment der y-impulsgleicung...67 Moment der -Impulsgleicung...67 B. SET DER NOTWENDIGEN GLEICHUNGEN...7 B.3 UPWIND...74 B.4 DIMENSIONSLOSE GLEICHUNGEN...75

8 ZUSAMMENFASSUNG In einem ersten Scritt werden die -dimensionalen Flacwassergleicungen in eine FE Toolox eingeaut und getestet. Ein Upwind-Scema reduiert numerisce Scwingungen. Die Möglickeit Elemente mit Ansatfunktionen öerer Ordnung für jede Variale einuauen, kann eenso mitelfen, diese Osillationen ausudämpfen. Die Üerprüfung des Programms erfolgt sowol anand von anderen numeriscen Simulationen, als auc durc die Berecnung analytisc lösarer Proleme. Hieru wird vor allem das -dimensionale Dammrucprolem mit Strömungswecsel verwendet. Die Besondereiten von sciessenden Aflüssen, insesondere das Auftreten von Fliesswecseln und Stosswellen, wird am Beispiel einer Scussrinnenkontraktion aufgeeigt, und die eraltenen Resultate mit Messungen verglicen. Auc das instationäre Pänomen des anand von Messungen u eoactenden Strömungsusammenrucs und -auslasens wird mittels numeriscer Simulation geprüft. Gute Üereinstimmung ist erielt worden. Da die Tiefenmittelung für die Beandlung von Stosswellen keine ausreicend genauen Resultate liefert, werden Erweiterungen diskutiert, so etwa die Turulenmodellierung oder die Einfürung von Boussinesqtermen in die Flacwassergleicung. Ein neuer Ansat, der den Impuls in der 3. Rictung erücksictigt, aer trotdem auf einem -dimensionalen Net areitet, wird aus den Reynoldsgleicungen ageleitet und implementiert. Er erlaut neen der Berücksictigung von vertikalen Gescwindigkeiten mit einem quadratiscen Ansat, eine eenfalls quadratisce Druckverteilung sowie eine lineare Verteilung der oriontalen Gescwindigkeit. Die notwendigen erstmaligen Herleitungen der -dimensionalen Gleicungen sind esonders ausfürlic dargestellt. Der neue Ansat wird am -dimensionalen Dammruc sowol für strömenden und sciessenden Afluss verifiiert. Die erstmalig durcgefürten -dimensionalen Berecnungen erfaren am Beispiel des teilweisen Dammrucs ire Anwendung. Die vorandenen Resultate eigen, dass mit diesem Berecnungsverfaren speiell an der Front der Scwallwelle Resultate erielt werden, welce edeutend verfeinerte Aussagen ulassen. Die numeriscen Scwierigkeiten die angetroffen wurden, sceinen lösar.

9 - 9 - ABSTRACT Te solution of sock waves in supercritical flows wit a roust numerical tool for te sallow water equations is searced. Furter investigations are directed towards te extension of te equations for non-ydrostatic pressure distriution. In a first step, te two dimensional sallow water equations were implemented and torougly tested using a finite element toolox (FEMTOOL). An upwind sceme was found to reduce te numerical oscillations. Sape functions of iger order for eac variale also elped to prevent ig frequency oscillations. Te program validation consisted of comparisons wit results of oter numerical simulations, as well as wit examples for wic analytical solutions were availale. Te effects created on ig velocity flows wit canging flow properties are sown for a supercritical spillway contraction. Tese results were compared wit experimental oservations. Te transient penomenon associated wit coking flows as recorded in experiments is tested wit te numerical model and good agreement can e reported. Since te sallow water equations for te investigation of sock waves do not produce satisfactory results, extensions of te asic sallow water equations were sougt. Eiter turulence modeling or te implementation of Boussinesq terms were examined as improvement options. A new approac, allowing te use of a two dimensional grid, is derived from te Reynolds equation and implemented in FEMTOOL. Beside te consideration of quadratic distriuted vertical velocities and a quadratic pressure distriution additional to te ydrostatic pressure, a linear oriontal velocity distriution is assumed. It is te first time, tat suc equations ave een derived. To date, only one dimensional equations ave een successfully implemented and te twodimensional equations cannot e found in te literature. Te vertically averaged and moment equations togeter wit te kinematic oundary conditions provide te necessary set of equations for te solution of te unknowns defined. Te new set of equations is tested for te one dimensional damreak for su- and supercritical flow. Te two dimensional equations were validated on te asis of a partial damreak prolem. Te influence of te additional parameters is limited to te front of te sock waves.

10 . Prolemstellung - - PROBLEMSTELLUNG Das Ziel der vorliegenden Areit liegt darin, ein einfaces und kräftiges Werkeug ur numeriscen Berecnung von Stosswellen in sciessenden Freispiegelgerinnen ereitustellen. Solce Aflüsse sind in Kanalisationsanlagen und vor allem in Scussrinnen von Stauanlagen anutreffen. Infolge von Querscnittsänderungen, seien das Kurven oder Gerinneverengungen und -erweiterungen, ilden sic ei sciessenden Aflüssen steende Wellen. Diese erreicen Höen, welce ein merfaces der Zuflusswassertiefe etragen können. Die Dimensionierung von Bauwerken für sciessende Aflüsse ängt also stark von diesen Stosswellen a. Insesondere für Scussrinnen, welce unter Umständen Längen von mereren undert Metern, eventuell sogar Längen im Kilometerereic, aufweisen, ist eine Minimierung dieser Stosswellen entsceidend. Biser wurden solce Bauwerke meist mittels pysikaliscer Modelle emessen, da genaue Berecnungsmetoden nict vorlagen. Auc eute noc werden für vereinfacte Bedingungen Kanalkontraktionen mit Modellversucen eingeend untersuct. Ein aktuelles Beispiel stellt REINAUER [995] dar, welcer vereinfacte Bemessungsformeln für Kontraktionen entwickelt at, die aus gewonnenen Erkenntnissen von Modellversucen stammen. Die im Ramen jener Areit eraltenen Messresultate können der Verifikation der Berecnungen dienen. Ältere Untersucungen an der VAW efassten sic eenfalls mit sciessenden Aflüssen, welce an Modellen untersuct wurden, so.b. ANASTASI [98] oder SCHWALT [994]. Mit den eutigen Voraussetung an Recnerkapaitäten und - gescwindigkeiten stellen numerisce Berecnungen eine Alternative dar. Die Vorteile numeriscer Modelle sind vielfältig. Einerseits sind sie ser flexiel, d.. jeglice Geometrien, Gefälle und Reiungsverältnisse können prolemlos modelliert werden. Andererseits sind sie auc ser scnell. Insesondere ur Optimierung von versciedenen Varianten, wo der Einfluss einer Vielal von Parametern untersuct wird, sind die

11 - -. Prolemstellung numeriscen Modellierungen den pysikaliscen Modellen üerlegen. Man denke nur an den Aufwand für die Errictung eines einigen Modells eines Staudammes mit Scussrinne. Müssen dann noc aulice Massnamen ur Veränderung des Modells getroffen werden, so wird klar wie aufwendig Modellversuce sind. Zusätlic um gewonnenen Areits- und Zeitvorteil sclägt sic die Verwendung numeriscer Modelle auc in den Projektierungskosten positiv nieder. Damit sic die numeriscen Modellierungen auc der Wirklickeit entsprecend veralten, ist das genaue Verständnis der auftretenden Strömungen und der inen ugrunde liegenden Gleicungen notwendig. Es ist scnell klar, dass sic Stosswellenpänomene nict mit einer eindimensionalen Modellierung escreien lassen. O jedoc eine weidimensionale Betractungsweise ausreict, muss sic erst noc eigen. Da kompliierte Berandungen in diesen Aflüssen auftreten, ist es von eminenter Bedeutung, die Geometrie eines Bauwerkes ser flexiel einuauen. Die räumlice Diskretisierung kann mit einem unstrukturierten Net am weckmässigsten vorgenommen werden. Hieru eignet sic für die numerisce Simulation die Metode der finiten Elemente vorüglic. Eine FE Toolox wurde dau ereits an der VAW entwickelt, und das erforderlice 'know ow' ist desal voranden. Das Modell muss nict nur in der Lage sein unterkritisce und sciessende Aflüsse u erfassen, sondern darf auc eim Auftreten von Stössen nict versagen. Stösse resultieren aus Aflüssen, welce scneller sind als die Ausreitungsgescwindigkeit einer Welle. In der Vergangeneit at sic geeigt, dass ei der numeriscen Modellierung von Stössen unerwünscte Scwingungen auftreten. Es muss desal auc untersuct werden, welce Ansäte u irer Reduktion erfolgversprecend sind. Die tiefengemittelten, -dimensionalen Flacwassergleicungen wurden von versciedenen Autoren erfolgreic implementiert und für Verältnisse, in denen keine dreidimensionalen Strömungseinflüsse auftreten und nict von ydrostatiscer Druckverteilung agewicen wird, erfolgreic angewandt. Neen JIMENEZ & CHAUDHRY [988] eigte eispielsweise auc BEFFA [994] die Begrenungen des tiefengemittelten Ansates auf. In der Literaturüersict werden die wictigsten numeriscen Areiten vorgestellt, die sic mit dieser Tematik efassen.

12 . Prolemstellung - - Eine Einfürung in die Turulenmodellierung soll ausloten, inwieweit sic eine Einettung in die tiefengemittelten Flacwassergleicungen ausalen kann. Proleme der Kavitation sowie des Lufteinsclusses werden im Ramen dieser Areit nict eandelt. Da die vereinfacte Anname ydrostatiscer Druckverteilung u Felern füren kann, wurde esonderes Gewict auf die nict-ydrostatisce Druckverteilung gelegt, sowie auf den Eineug der vertikalen Gescwindigkeiten. Trotdem sollte sic das Verfaren auf ein weidimensionales geometrisces Net anwenden lassen. Dadurc kann die Einfürung einer weiteren Nictlinearität an der freien Oerfläce umgangen werden. Die Anal der u verwendenden Elemente kann so eenfalls klein gealten werden, was den Vorteil einer verfeinerten Diskretisierung in der Eene mit sic ringt. Neen stationären Prolemen, wie sie die steende Welle darstellt, sollen instationäre Pänomene eenso escreiar sein. Als Beispiel dafür seien ier nur das Dammrucprolem oder der Strömungsusammenruc erwänt. Die Verifikation des Codes nimmt eine wictige Stelle in der Entwicklung numeriscer Verfaren ein. Alle Metoden sollten desal an geeigneten Beispielen getestet werden.

13 GRUNDLAGEN -3-. Grundlagen Die Grundlagen für die Beandlung der Proleme der Fluiddynamik stellen die Gesete der Mecanik dar. Angewandt auf die Fluidmecanik ergeen sic folgende wictigen Grundgesete, die im Folgenden detailliert eandelt werden: - Masseneraltungssat - Impulseraltungssat - Energieeraltungssat Die Energiegleicung ist für die Fluiddynamik nur von untergeordneter Bedeutung und wird meist nict erücksictigt. Die Herleitungen orientieren sic an VREUGDENHIL [994].. NAVIER-STOKES-GLEICHUNGEN Masseneraltung, Kontinuität Die allgemeine Form der Masseneraltung wird dadurc ausgedrückt, dass der resultierende Massenfluss in das Kontrollvolumen der Massenvergrösserung im Innern des raumfesten Kontrollvolumens V entsprict (Figur.). Ausgedrückt in Integralform: V t dv u nd Γ = (.) Γ woei das Volumenintegral die eitlice Änderung der Masse einaltet und das Integral üer den Rand Γ den Massenstrom darstellt. Es edeuten die Dicte des Fluids, t die Zeit, u den Gescwindigkeitsvektor mit den Komponenten u, v und w im kartesiscen Koordinatensystem x, y,, n den Normalenvektor auf den Rand Γ und T = u v w,, divu = u = y y (.)

14 . Grundlagen Figur. eigt die Definitionen im Kontrollvolumen, wie sie ier und auc für die nacfolgenden Gleicungen verwendet werden. Mit Hilfe des Sates von Gauss wird Γ und Γ = udv V (.3) t oder div( u) dv = (.4) V Die Gleicung (.3) oder (.4) ist allgemeingültig, sowol für inkompressile, als auc für viskose und nict äe Flüssigkeiten. τ ndγ u n Γ V q -pndγ Figur.: Definitionen im Kontrollvolumen Der Masseneraltungssat sagt aus, dass für eine Flüssigkeit mit konstanter Dicte die Volumendilatation eines Elementes, das eine estimmte Masse entält, Null sein muss. In einem dicteeständigen, oder volumeneständigen Fluid ist das Strömungsfeld also divergenfrei. Daraus folgt: u v w divu = = (.5) y Hieru wurde ein kartesisces Koordinatensystem mit den Rictungen x, y, und mit den jeweiligen Gescwindigkeitskomponenten u, v und w verwendet. Die oengenannte Beieung eisst die Kontinuitätsgleicung für inkompressile Flüssigkeiten.

15 -5-. Grundlagen Für Stationarität t = gilt: div ( u) = (.6) woei u als Massenfluss eeicnet wird, welcer divergenfrei sein muss. Ist die Gescwindigkeit gleicmässig üer den Querscnitt A verteilt, so wird der Volumenstrom Q durc eine starre Stromröre konstant: Impulssat Q= ua = ua (.7) Der Impulssat esagt, dass die totale eitlice Änderung des Impulses im Volumen V gleic der Summe der angreifenden Kräfte K ist. V u dv u u ndγ = pndγ τndγ F edv (.8) t Γ Γ Γ Die eiden Ausdrücke auf der linken Seite stellen die eitlice Änderung des Impulses im Volumen V, respektive den Impulsstrom üer die Berandung Γ dar. Der erste Term auf der recten Seite eeicnet den Einfluss der Druckkraft p auf Γ, der weite die Summe der Oerfläcenkräfte und der lette die Volumenkraft Fe am Volumen V. τ eeicnet den Spannungstensor. Der Impulsstrom uu ndγ lässt sic auc durc ( u ) udv darstellen, Γ wie das in der Literatur auc äufig gesciet. Der Spannungstensor τ sett sic usammen aus: T τ = µ [ u ( u) ] µ ' ui (.9) woei I der Eineitstensor, µ die dynamisce Zäigkeit und µ' der. Viskositätskoeffiient, der gewönlic mit der Stokesscen Hypotese als V V µ ' = µ 3 (.) angenommen wird. u und u eeicnen den Gradienten, w. die Divergen von u. In kartesiscen Koordinaten x, y, :

16 . Grundlagen u u = u y u v v y v w w y w (.) Ausgedrückt in differentieller, konservativer (Eraltungs-) Form für kartesisce Koordinaten erält man für den Impulssat: ( ) u uu pi τ = F e (.) t Dieses Set wird als die Navier-Stokes-Gleicungen eeicnet. Die angreifende Volumenkraft F e, die Gravitationskraft mit der Gravitationskonstanten g, wirkt nur in der vertikalen -Rictung: u u uv uw p σ τ x xy τ x = (.3) t y y v uv v vw p τ yx σ y τ y = (.4) t y y y w uw vw w p τ τ x y σ g = (.5) t y y Für die Normalspannungen wurde anstelle von τ xx σ x verwendet. Für die anderen Koordinatenrictungen gilt sinngemäss Gleices. Energiesat Die totale eitlice Änderung der Gesamtenergie im Volumen V ist gleic der Leistung der angreifenden Kräfte K plus der von Aussen ugefürten Wärme W: E dv Eu ndγ = pu ndγ u ndγ F udv q ndγ t ( τ ) e V Γ Γ Γ V Γ (.6) Das erste Volumenintegral in oiger Gleicung git die eitlice Änderung der Energie E im Volumen V, das Randintegral auf der linken Seite der Gleicung den Energiestrom. Auf der recten Seite der Gleicung edeuten die ersten Terme die Leistung der Druckkraft, respektive der Reiungskraft an Γ, das Volumenintegral die Leistung der Volumenkraft und der lette

17 -7-. Grundlagen Term die von Aussen ugefürte Wärme üer Γ, worin q den Wärmestrom eeicnet. Die Gesamtenergie E sett sic usammen aus der inneren Energie e und der kinetiscen Energie: E = e u (.7) Der Wärmestrom q ängt von der Wärmeleitfäigkeit λ und der Temperatur T a: q =λ T (.8) Die 5 Gleicungen: Kontinuitätsgleicung, 3 Impulsgleicungen für die 3 Koordinatenrictungen und der Energiesat eissen Navier-Stokes- Gleicungen. In der Fluiddynamik spielen die Einflüsse der Temperatur eine untergeordnete Rolle, desal vereinfact sic das System der Gleicungen unter Vernaclässigung der Temperatureinflüsse um den Energiesat, und nur die verleienden Gleicungen werden erücksictigt. Im Folgenden sei ei der Verwendung der Navier-Stokes-Gleicungen vom reduierten System ausugeen. Häufig werden im Ramen der Fluiddynamik auc nur die Impulsgleicungen als Navier-Stokes- Gleicungen eeicnet. Stokes-Gleicungen Werden in der allgemeinen Navier-Stokes-Gleicung die konvektiven Terme vernaclässigt, entstet aus den Impulsgleicungen folgendes System von Gleicungen: u ( pi τ) = F e (.9) t. REYNOLDSGLEICHUNGEN Die viskosen Spannungen τ ij können als Flüssigkeitsdeformationsrate ausgedrückt werden: τ ij ν u u i j = (.) j i

18 . Grundlagen woei der Parameter ν[m /s] die kinematisce Viskosität escreit. Die Akürungen x i eeicnen die Rictungen x, y, und für u i gilt u, v, w. i und j variieren wiscen und 3. Die Aflüsse sind turulent, d.. ufällige Bewegungen oder Wirel in untersciedlicen Längenmassstäen treten auf. Diese Bewegungen werden meist dadurc isoliert, dass die Gleicungen in irgendeiner Weise gemittelt werden. Hier wird angenommen, dass sic jede Variale in einen, sic nur langsam ändernden, gemittelten Term u und einen, die Fluktuationen escreienden Anteil u' aufteilen lässt u = u u'; Φ = Φ Φ ' (.) Das Mittel eines Produktes ist nict identisc mit dem Produkt der Mittel: uv = uv u' v' (.) Wird diese Gliederung für die Navier-Stokes-Gleicungen durcgefürt und anscliessend der Durcscnitt ermittelt, so eralten wir die Reynoldsgleicungen. Sie esiten diesele Form wie die Navier-Stokes- Gleicungen, untersceiden sic aer durc einen usätlicen Spannungsanteil. u u uv uw p σ τ x xy τ x = (.3) t y y v uv v vw p τ yx σ y τ y = (.4) t y y y w uw vw w p τ τ x y σ g = (.5) t y y Reynolds leitete aus streng mecaniscen Geseten die sceinare Scuspannung τ in einer turulenten Strömung er. Die Feldmodelle asieren auf gemittelten Quantitäten, die Fluktuationen werden wie folgt transportiert: τ = u' u' (.6) ij i j woei das x i Moment in x j Rictung transportiert wird (oder umgekert). Die daraus resultierenden Spannungen auf die Flüssigkeit werden turulente oder Reynolds-Spannungen genannt. Sie escreien den Impulsaustausc von Flüssigkeitselementen durc turulente Bewegungen

19 -9-. Grundlagen und treten gleic wie die viskosen Spannungen auf. Sie können wie folgt usammengefasst werden: τ ij ν u u i = j j u iu j i ' ' (.7) Die Zäigkeit der Flüssigkeit, ausgedrückt durc die kinematisce Viskosität, kann erücksictigt werden. Randedingungen an Oerfläce und Sole Wasseroerfläce S(u,v,w,p,σ,τ ) Sole B(u,v,w,p,σ,τ ) w v(r) u(q) S y y Beugsoriont S x x Figur.: Beeicnungen in vertikaler Rictung Für die Lösung von Differentialgleicungen werden Randedingungen enötigt. Allgemeine Randedingungen werden in Kapitel 4 eandelt. Dennoc werden ier die speiellen Aspekte an der festen Sole und der Wasseroerfläce eandelt, da sie für die Aleitung der Flacwassergleicungen edeutend sind. Die dau notwendigen Beeicnungen sind in Figur. dargestellt. Da Wasserpartikel die Oerfläce nict verlassen, lautet die kinematisce Randedingung an der freien Oerfläce

20 . Grundlagen - - w = u t ( ) ( ) v y (.8) Der eitaängige Term erücksictigt die eitlice Änderung der Wasseroerfläce. Mit den Indies und wird die Lage der jeweiligen Grösse an der freien Oerfläce, respektive an der Sole, escrieen. Die dynamiscen Randedingungen an der Oerfläce seten voraus, dass die Spannungen an der Wasseroerfläce inneral der Flüssigkeit denjenigen in der Luft gleicuseten sind. Werden atmospärisce Druckscwankungen p atm nict erücksictigt und p atm als p eeicnet, so ergit sic unter Vernaclässigung der Windkräfte, welce die Scuspannnungen an der Oerfläce verscwinden lassen: p = τ = σ =. (.9) Die kinematisce Bedingung für eine feste Sole wird eralten, wenn die Gescwindigkeitskomponenten senkrect ur Sole verscwinden, d.. keine Partikel in die Sole eintreten oder umgekert: w = u v y (.3) Für die dynamisce Randedingung entlang der Sole gilt, dass die äe Flüssigkeit sic an der Sole selst nict ewegt, d.. die sogenannte Sclupfgescwindigkeit an der Sole Null ist: u = v= (.3).3 EULERGLEICHUNGEN Die Vernaclässigung der Reiung in den Navier-Stokes-Gleicungen ergit die Euler-Gleicungen. In differentieller Form dargestellt, eralten die Impulsgleicungen folgende Form: u ( u ) u p= F e (.3) t

21 --. Grundlagen Die Bernoulli-Gleicung lässt sic relativ einfac aus dem Impulssat erleiten. Sie stellt im Wesentlicen die Bilan der mecaniscen Energie eines idealen Fluids dar. Wird die Euler-Gleicung entlang einer Stromlinie integriert, so erält man für eine inkompressile, reiungfreie Flüssigkeit die Beieung: p u g = konst (.33) Die Konstante at einen eitaängigen Wert und kann von Stromlinie u Stromlinie variieren. Für den stationären Fall wird die Konstante eitunaängig. Die Auflösung der Gleicung von Bernoulli, für einen elieigen Querscnitt A und die Breite der Wasseroerfläce, nac dem Minimum ergit: = u g A (.34) Dieser Ausdruck, der auc Froudeal genannt wird, at eine wictige Bedeutung in der Hydraulik. Die kritisce Tiefe, die ei einem Minimum der speifiscen Energie auftritt, trennt den Afluss in wei Bereice, einen strömenden und einen sciessenden. Für einen recteckigen Kanal mit der Breite und Wassertiefe wird A/ ur Wassertiefe und die Froudeal somit u: u F = = g u c (.35) Der Ausdruck unter der Wurel in der Froudeal entsprict der Wellenausreitungsgescwindigkeit c. Störungen können sic im strömenden Wasser mit Gescwindigkeiten kleiner als die Wellenausreitungsgescwindigkeit sowol flussawärts als auc -aufwärts emerkar macen, d.. die Wellen reiten sic in eide Rictungen aus. Für Aflüsse mit Froudealen grösser als, was gleicedeutend ist mit üerkritiscem oder sciessendem Afluss, kann sic die Störung nur noc flussawärts ausreiten. Jedes Hindernis in der Strömung lässt eine solce Störung entlang einer genau definierten Kurve, die auc Carakteristik genannt wird, entsteen. Diese Störungen, die sic als Stosswellen emerkar macen, aen ein Wellental und auc einen Wellenerg, der

22 . Grundlagen - - sic in einer Eröung der Wassertiefe eigt und dadurc usätlices Freiord erfordert. Für stationäre Strömungen ewegen sic diese Stosswellen nict, mit Ausname von turulenten Fluktuationen. Steende Wellen können an elieigen Störungen der Strömung entsteen, seien das Rictungsänderungen, Veränderungen und Erweiterungen, oder auc an Pfeilern..4 FLACHWASSERGLEICHUNGEN.4. 3d Flacwassergleicungen Für die weiteren Vereinfacungen wird angenommen, dass die Vertikalgescwindigkeit w viel kleiner ist als u und v. Diese Vereinfacung ist gleicedeutend mit der Anname ydrostatiscer Druckverteilung. So reduiert sic die -Impulsgleicung (.5) angenäert auf: p g = (.36) Integration oiger Gleicung üer die Wassertiefe ergit: ( ) ( ) p()= p gd = p g gd eeicnet die Referendicte. Mit der Aleitung des Druckes nac dx (.37) p = g ( ) p g ( ) (.38) und der Vernaclässigung von atmospäriscen Druckscwankungen sowie der Anname konstanter Dicte ergit sic daraus:

23 -3-. Grundlagen p g g = (.39) In die Reynoldsgleicung (.3.4) eingesett, erält man für den Druckterm: g g (.4) Die resultierenden Gleicungen nemen folgende Form an und können, usammen mit der Gleicung für den Druck (Gl..39), als 3d Flacwassergleicungen eeicnet werden. u v w = (.4) y u u uv uw σ τ τ g g x xy x = (.4) t y y v uv v vw τ σ τ g g yx y y = (.43) t y y y y.4. d Flacwassergleicungen Werden nun die 3d Flacwassergleicungen üer die Wassertiefe integriert, erält man einen Sat von d Flacwassergleicungen. Für die weiteren Vereinfacungen rauct man die Leini-Regel, die ier für die Aleitung der Grösse u nac x kur dargestellt sei. u d = ud u u ( ) (.44) Integration der Kontinuitätsgleicung von der Sole is ur freien Oerfläce unter Anwendung der Leini-Regel ergit u u v w y d = ud y ( ) ( ) v w y vd u v w y (.45)

24 . Grundlagen Für jede Grösse f kann folgende Mittelung üer die Aflusstiefe definiert werden f fd (.46) Einseten der kinematiscen Randedingungen für Sole und freie Oerfläce ergit mit der Definition der Mittelung, wie sie oen vorgenommen wurde, die ekannte tiefengemittelte Masseneraltungsgleicung u v = (.47) t y Integration der Konvektionsterme in der x-impulsgleicung (Gl..3) fürt auf u u u u uv uw d = ud ud t y t y ( ) ( ) ( ) t u uv uw y = uv y uw uvd u t u uv ( u u) d ( u u)( v v) d y y (.48) Die verleienden Integrale eeicnen die Dispersion. Sie entsteen wegen nict uniformer Gescwindigkeitsverteilung üer die Wassertiefe. Integration der Gravitationsterme üer die Wassertiefe fürt auf g g x x d g g = (.49) Die tiefengemittelte Divergen der x-komponente des Spannungstensors lautet

25 -5-. Grundlagen σ τ τ y x xy x d = σ xd τ xy y σ x ( ) ( ) τ xy y d τ σ x x τ xy τ y x (.5) Werden die Spannungen an der Wasseroerfläce vernaclässigt, wie in Gleicung (.9) angenommen, erält man für den Spannungstensor folgende Gestalt σ x τ xy σ x τ xy τ x (.5) y y Diese stellen somit auf die oriontale Eene projiierte Spannungen dar. Die tiefengemittelten Spannungen einalten die Zäigkeit, turulente Reiung und die Dispersion: τ ij ν u u i j = u iu j ( ui ui)( uj uj) d j i ' ' (.5) Die Reiungsterme an der Sole werden in einen einigen Term τ x, τ y usammengefasst; es entstet dann folgendes Set von Gleicungen: ( ) ( ) u v Kontinuität: = (.53) t y x-impuls: y-impuls: ( u) ( u) ( uv) t g τ σ τ g y y ( v) ( v) ( uv) t x x xy = (.54) g τ τ σ g y yx y = (.55) y y y y.4.. Reiungsterme Solreiung Für den Spannungstensor wird eine empirisce Reiungsformel mit dem Reiungskoeffiienten c f angesett. Die Anname eüglic der Reiung get davon aus, dass einig die Reiung am Boden einen Beitrag liefert. Die Grenscict entlang der Seitenwände wird vernaclässigt.

26 . Grundlagen τ = cf uu (.56) Für die d Gleicungen siet das wie folgt aus: τ x = cu u v (.57) f τ y = cv f u v (.58) Es git nun versciedene Metoden diesen Reiungskoeffiienten darustellen. Eingeaut sind die eiden Varianten nac Strickler und Céy. gn g Strickler: c f = = 3 k 3 (.59) Céy: g c f = C (.6) n ist der Reiungskoeffiient nac Strickler, respektive Manning und entsprict dem Kerwert von k [ m 3 / s]. C[ m / s] stellt den Reiungskoeffiienten nac Céy dar. Zu eacten ist, dass für die Stricklerformel keinesfalls negativ werden darf, was onein pysikalisc unsinnig wäre, und die numerisce Berecnung ur ungewollten Beendigung füren müsste. Den Zusammenang wiscen Mannings n und dem Céy Koeffiienten escreit CHOW [959] wie folgt: C R 6 = woei R=A/P. R eeicnet den n ydrauliscen Radius, A die Querscnittsfläce und P den enetten Umfang. Viskosität VREUGDENHIL [994] get davon aus, dass viskose Spannungen in realen Situationen nur von untergeordneter Bedeutung sind und desal vernaclässigt werden können. Durc Verwendung von Viskosität, wie sie numerisc eventuell angeeigt sein kann, werden unerwünscte Scwingungen gedämpft, aer auc steile Stossfronten ageflact.

27 -7-. Grundlagen Turulente Reiung Eine näerungsweise Berücksictigung der Turuleneinflüsse kann erielt werden durc das Hinufügen eines turulenten Viskositätskoeff. ν t ur kinematiscen Viskosität. Die tiefengemittelte Wirelviskosität ν t κ = u * (.6) 6 u ist mit κ=.4, der Kármán Konstanten, der Aflusstiefe und u* = der Reiungsgescwindigkeit der Sole definiert. Die gemittelte Gescwindigkeit lässt sic wie folgt darstellen: u = u v (.6) Der Einfluss der effektiven dynamiscen Viskosität auf sciessende Aflüsse ist minim und kann in praktiscen Berecnungen vernaclässigt werden, wie eine eigene Üerprüfung geeigt at. Dispersion Da nict einmal das Voreicen der Dispersion fest leit, denn die Fluktuationen können sowol als treiende wie auc als remsende Kraft wirken, ist eine vereinfacte Berücksictigung für eine d Berecnung nict sinnvoll. Falls diese Anteile eine grössere Bedeutung eralten, ilft nur eine 3-dimensionale Betractung des Prolems (VREUGDENHIL [994]). c f.4.. Solengefälle Gleicungen (.54) und (.55) erlauen, dass für jeden einelnen Punkt eine eigene Solenlage eüglic eines frei wälaren Horiontes eingesett werden kann. Dies ermöglict grösstmöglice Flexiilität und erlaut, auc uneene Gerinne präise u modellieren. Damit können auc die Querscnitte elieig diskretisiert werden mit Böscungen und Üerflutungsonen. Für die Eingae eines konstanten Gefälles kann, anstelle der punktweisen, vertikalen Solenlage, auf der recten Seite die Neigung eingegeen werden. Mit S der Neigung in der jeweiligen Rictung und der Darstellung der Reiungseinflüsse vereinfact mit dem Solreiungsterm S f ergit sic:

28 . Grundlagen ( u) ( v) Kontinuität: = (.63) t y x-impuls: y-impuls: ( u) ( u ) g ( uv) t g = g S y ( v) ( v ) g ( uv) t ( x S fx ) g = g S y y y ( y S fy) (.64) (.65) Bei der Komination eider Metoden muss sorgfältig darauf geactet werden, dass nur die relativen Aweicungen ur geneigten Eene in der punktweisen Definition ungleic Null gesett werden Darstellungsformen der Flacwassergleicungen Die Gleicungen eralten dadurc folgendes Ausseen: Kontinuität: q r = (.66) t y q t q qr g y g = gs x-impuls: ( ) r t qr r g y y g = gs y y-impuls: ( ) fy fx (.67) (.68) mit q=u und r=v folgt für das Gleicungssystem: Kontinuität: q r = (.69) t y q u q uv v q u r g = gs fx (.7) t y y y x-impuls: ( g u ) r uv v q u r v r g = gs fy (.7) t y y y y-impuls: ( g v ) In Matrixscreiweise siet das Gleicungssystem wie folgt aus: Ut Fx Gy S = (.7)

29 u v U = u ; F = u g ; G = uv v uv v g -9-. Grundlagen ; S = g( S x Sfx ) S y S fy ) Es edeuten (x,y,t) die Wassertiefe, u(x,y,t), respektive v(x,y,t), die üer die Wassertiefe gemittelte Gescwindigkeit in x, respektive in y, Rictung, g die Gravitationskonstante, S das Solengefälle, S f das Reiungsgefälle und C den Reiungskoeffiienten nac Céy. nu Strickler: u v S = fx 4 3 respektive: gs = gn q q r fx 7 3 Céy: u u v S = fx respektive: gs g q q r fx C = C Kontinuität: u u v v = (.73) t y y u u u u uv v u u v g = t t y y y x-impuls: ( g u ) gs fx (.74) v v v v uv v u u v g = t t y y y y-impuls: ( g v ) gs fy (.75) Der Üergang von der konservativen Form in weiter reduierte Gleicungen gesciet, indem man die Impulsgleicungen (.74) und (.75) ausdiffereniert, dann die Kontinuitätsgleicung (.73) von diesem Resultat sutraiert. Daraus entstet folgender Sat von Impulsgleicungen: x-impuls: u u u g v u = gs ( x S fx) (.76) t y y-impuls: v v v g u v = gs ( y S fy) (.77) t y y Die Kontinuitätsgleicung in der ausdifferenierten Form siet wie folgt aus: u u v v = (.78) t y y

30 . Grundlagen Diese Form eisst äufig nict-konservative oder differentielle Form der Flacwassergleicung. Die konservative und die nict-konservative Form sind äquivalent. Für die numerisce Diskretisierung ist dies leider nict mer der Fall, was insesondere ei Stosswellen wictig ist. Diese Diskrepan rürt daer, dass für die Vereinfacungen angenommen wurde, dass die Varialen differenierar sind. Für Diskontinuitäten ist diese Anname nict mer utreffend. Ein Beispiel für die Auswirkung dieser versciedenen Formulierungen ist in Kapitel 5 gegeen. Ascliessend seien noc einmal die notwendigen Vereinfacungen, die für die Herleitung der Flacwassergleicungen getroffen wurden, aufgefürt: isotermisce Bedingungen mit konstanter Dicte (inkompressiel) und Vernaclässigung von atmospäriscen Druckscwankungen Vertikalgescwindigkeit w klein im Vergleic u u und v x in Rictung parallel u Wasserett angenommen, in vertikaler Rictung, das eisst nict senkrect u x. uniforme Gescwindigkeitsverteilung von u und v, d.. konstant üer die Wassertiefe. In der Kontinuitätsgleicung entstet dadurc kein Feler, falls die gemittelte Gescwindigkeit dau verwendet wird. Reiungseinflüsse usammengefasst in einen Solreiungsterm Windkräfte, Corioliskräfte und Turulenen werden vernaclässigt Dimensionslose Gleicungen Die Längen werden durc eine carakteristisce Länge dividiert: * * x x * = ; = ; y = y (.79) ref ref ref Für den Afluss erfolgt eine dimensionslose Grösse von q u = q q ; r = r q (.8) * * * ref ref * * qref q q * ref r = ; v = (.8) * * ref ref

31 -3-. Grundlagen Aus den oengenannten Bedingungen resultiert für den Zeitmasssta folgender dimensionsloser Zusammenang t t q * ref = (.8) ref Einseten in die Kontinuitätsgleicung (.69) ergit mit t q ref ref = ref * * t (.83) q = q ref ref * q * (.84) Kontinuität: t * * * * q r = (.85) * * y C k Mit der dimensionslosen Reiung C * = (Céy) oder k * ref = g g (Strickler-Manning) wird aus der x-momentengleicung (.7) folgende Beieung: x-impuls: q t v * * * q y g 3 ref u q * * ref * * * * * * q * * u uv * * * y * r u g * g * ref * ref * * = S (.86) * * fx y q q ref 3 Das Solengefälle ereits dimensionslos durc ein Längenverältnis x ausgedrückt, erfärt durc die Üerfürung in die dimensionslose Form, keine Änderung. ref S * = S (.87) Mit der Céy-Gleicung wird der dimensionslose Reiungsterm u: 3 6 S * fx = q g ref 3 ref q * * C r 3 * * * * q r = F ref 3 (.88) * * C Für den Strickler-Koefffiienten gilt dann: S * fx = F ref * * p r * * 3 (.89) k

32 . Grundlagen Für die y-impulsgleicung gilt sinngemäss: r t * * v * * * * q r uv v u g 3 * * * * ref v * * * q r y * * 3 ref ref 3 ref ref ref * * * * y g * g * * * = S * fy (.9) q y p.4.3 d Flacwassergleicungen Die Flacwassergleicungen lassen sic weiter vereinfacen für den - dimensionalen Fall. Die Herleitung der Gleicungen kann in der Literatur nacgesclagen werden, es sei ieru nur auf folgende Darstellungen verwiesen: LIGGETT [975], HUTTER [99], ABBOTT [979]. Für den -dimensionalen Fall, genannt nac Barré de Saint-Venant, gelten folgende Differentialgleicungen: ( u) Kontinuität: = (.9) t Moment: ( u) ( u) g ( ) t ( S f ) = g S (.9) Oige Gleicungen gelten für recteckige Querscnitte, für prismatisce Querscnitte ergit sic folgende Beieung unter der Voraussetung, dass keine Zu- und Aflüsse stattfinden: A ( ua) Kontinuität: = (.93) t Moment: ( ua) ( ua) t ( S f ) ga = ga S (.94) woei A der Querscnittsfläce entsprict. Für nict prismatisce Kanäle und der Wassertiefe als unaängige Variale, ändert sic für das Momentengleicgewict gegenüer den prismatiscen Kanälen nicts. Einig die Kontinuität ergit folgende Beieung:

33 -33-. Grundlagen u A u A u t = (.95) worin für den Ausdruck A nacsteende Beieung einuseten ist: A ξ = d x (.96) Es gilt für die Breite an der Wasseroerfläce und für ξ() die Breite des Aflusses an einer elieigen Tiefe Dimensionslose Gleicungen Die für die -dimensionalen Flacwassergleicungen gegeenen dimensionslosen Gleicungen werden für den d Fall auf folgendes Gleicungssystem reduiert: t * * * q = * (.97) q ref ref q q t * * q * gref q ref ref * q * u q * ref * ref * * ref ref ref ref ref ( f ) =g S S * * q t * * ( f ) g * * * * q q u g ref * * ref * = S S * * * * (.98) q q ref 3 ref 3.5 TURBULENZMODELLE Gute Zusammenfassungen üer die versciedenen Turulenmodelle sind 97 von LAUNDER & SPALDING, oder von REYNOLDS [976], sowie 98 von RODI gescrieen worden, sie einalten im wesentlicen die ier vorgestellten sowie einige kompliiertere Modelle. Rodi unterlegt seine Zusammenfassung mit vielen Beispielen aus der Literatur, die analysiert

34 . Grundlagen werden. LAUNDER & SPALDING [97] geen jeweils vortragsmässige Kurusammenfassungen der einelnen Modelle. Eine neuere Zusammenfassung erscien 988 im ASCE Journal of Hydraulic Engineering vom ASCE TASK COMMITTEE ON TURBULENCE MODELS IN HYDRAULIC COMPUTATIONS. Versciedene Faktoren aen die Entwicklung und Anwendung von fortgescritteneren Turulenmodellen inneral des letten Jarents eeinflusst. In erster Linie sollen immer komplexere Proleme genauer gelöst werden. Der rasante Fortscritt in der Computertecnologie tat sein Weiteres, Speicerkapaität und Gescwindigkeit moderner Computer aen sic inneral weniger Jare um merere Grössenordnungen eröt. Aer dennoc kann eine genaue Auflösung der turulenten Bewegung, wegen den Verältnissen wiscen makroskopiscen und mikroskopiscen Längenskalen, noc nict vorgenommen werden [ASCE TASK COMMITTEE 988, MÜLLER 993]. Fortgescrittene Turulenmodelle verwenden meist usätlice partielle Differentialgleicungen, welce nict nur grössere und scnellere Computer enötigen, sondern auc die Möglickeiten für genauere Resultate und essere Auflösungen in sic ergen. Die folgenden Gleicungsmodelle eieen sic auf die Art und Weise, wie die turulenten Spannungen ausgedrückt werden. Im Null- Gleicungsmodell wird die turulente Viskosität direkt mit dem mittleren Gescwindigkeitsfeld in Verindung geract. Das Ein-Gleicungsmodell verwendet für die Turulenen eine usätlice partielle Differentialgleicung für den Gescwindigkeitsmasssta. Eine weitere partielle Differentialgleicung für den turulenten Längenmasssta wird im Zwei-Gleicungsmodell inugefügt, und Spannungsgleicungsmodelle enötigen für alle Komponenten des turulenten Spannungstensors partielle Differentialgleicungen. Die Pilosopie inter der Einfürung von Transportgleicungen für mer und mer turulente Grössen liegt darin, dass mer pysikalisce Gegeeneiten eineogen werden, welce die versciedenen komplexen, pysikaliscen Turulenpänomene mit unemender Genauigkeit escreien. Ein einiges Modell mit einem ganen Set empiriscer Konstanten ermöglict eine viel universellere Modellierung. Die Erfarung mit versciedenen Modellen eigt, dass dieser Gedanke gerectfertigt ist. Boussinesq ersette den Ausdruck mit der fluktuierenden Gescwindigkeit, wie in Gleicung (.6) dargestellt. Durc das Produkt aus dem mittleren

35 -35-. Grundlagen Gescwindigkeitsgradienten und einer Grösse µ t, die als turulente Zäigkeit eeicnet wird. Dieses sogenannte Wirelviskositätskonept git für die Fluktuationen folgende Beieung: u u ' ' i j uu i j = ν t j i 3 kδ ij (.99) mit δ ij = für i = j und δ ij = für i j Der lette Term wurde eingefürt, damit die Gleicung auc für Normalspannungen gilt. Die turulente kinetisce Energie k wird gleic dem eitlicen Mittelwert der Scwankungsewegung definiert: k = u' v' w' (.) Im Gegensat ur molekularen Viskosität µ, ist µ t keine Eigenscaft der Flüssigkeit, sondern eine von Punkt u Punkt variierende Grösse, welce massgeend von der Struktur der Turulen am jeweiligen Punkt estimmt wird. Das Prolem estet nun also darin, die Verteilung der Wirelviskosität u estimmen. Analog ur Wirelviskosität ν t kann die Wireldiffusion Γ einer skalaren Grösse definiert werden: uφ' = Γ Φ x i (.) φ eeicnet eine skalare Grösse, die entweder die Konentration oder die Temperatur darstellen kann. Γ als turulente Diffusivität von Wärme oder Masse ist keine Flüssigkeitseigenscaft, sondern aängig vom Grad der Turulen und muss als Teil des Turulenmodells speifiiert werden. Meistens wird die turulente Diffusivität direkt mit der Eddy-Viskosität ν t gekoppelt. Γ= ν t σ t (.) σ t wird als turulente Prandtl- oder Scmidt- Zal eeicnet und ist dimensionslos.

36 . Grundlagen An dieser Stelle leit u emerken, dass die Üersict üer die versciedenen Turulenmodellierungen keinerlei Anspruc auf Vollständigkeit eret. Es werden nur die wictigsten Modelle erwänt..5. Null - Gleicungsmodelle Null-Gleicungsmodelle einalten keine Transportgleicungen für die turulenten Grössen. Diese Modelle asieren auf dem Wirelviskositätsprinip und estimmen die Wirelviskosität aufgrund von Experimenten oder einfacen empiriscen Formeln. PRANDTL [95] at mit seinem Vorsclag die eiden Formeln miteinander in Verindung geract. Er fürte dau eine neue Länge ein, den sogenannten Miscungsweg l m. Seine Idee asiert darauf, dass die Wirelviskosität proportional ur mittleren fluktuierenden Gescwindigkeit und um Miscungsweg ist. Für Scuspannungsscicten mit in einer Rictung vorerrscenden, turulenten Spannung sowie Gescwindigkeitsgradient, wird die mittlere fluktuierende Gescwindigkeit gleic dem Produkt von l m und dem Gescwindigkeitsgradienten. u ν t = l m (.3) y Soald der mittlere Gescwindigkeitsgradient Null wird, verscwinden die Eddy-Viskosität und die Diffusivität. Diese Eigenscaft rürt daer, dass die Anname getroffen wurde, dass ein lokaler Gleicgewictsustand der Turulen errsct; d.. die lokale Dissipation ist gleic gross wie die Produktion. Diese Modelle sind nict geeignet, wenn konvektiver oder diffusiver Transport der Turulen vorerrsct, wie das.b. für rückströmende Aflüsse der Fall ist..5. Ein - Gleicungsmodelle PRANDTL [945] entwickelte ein neues Modell ur Berecnung der Turulenen.

37 -37-. Grundlagen Davon ausgeend, dass k der pysikalisc sinnvollste Masssta für die turulente Gescwindigkeitsfluktuation darstellt, kann die turulente Viskosität wie folgt ausgedrückt werden: ν t = cµ ' kl (.4) woei L den Längenmasssta der turulenten Bewegung und c µ ' eine empirisce Konstante eeicnet. Dieser Ausdruck wird äufig als Kolmogorov/Prandtl-Beieung eeicnet. Die Verteilung von k kann mittels einer Transportgleicung gefunden werden. Für grosse Reynoldsalen at die Gleicung folgende Form: k k β ν u t u uu ' ' j j p ' ' ' ui ui ui i = i uu i j gu i i i i j j j ' ' ' Φ ' (.5) ' ' Die linksseitigen Terme edeuten die Änderungsrate, respektive den konvektiven Transport. Der erste Term auf der recten Seite git den diffusiven Transport, die folgenden Terme geen die Produktion durc Scuspannungen, die Auftriesproduktion/ -destruktion, die den Austausc wiscen turulenter kinetiscer Energie k und potentieller Energie aneigt, und sclussendlic die viskose Dissipation. β ist eine experimentell u estimmende Auftrieskonstante, g i der Anteil der Gravitation in der jeweiligen Rictung. In der k-gleicung (.5) treten neue unekannte Terme auf. Damit das Gleicungssystem in einer gesclossenen Form verwendet werden kann (closure), müssen diese Terme durc Modellannamen ersett werden. Analog ur Wireldiffusion einer skalaren Grösse (Gl..) wird der diffusive Transport von k äufig proportional um Gradienten von k angenommen u uu ' ' ' j j p t k i ν = σ k i (.6) woei σ k eine empirisce Konstante eeicnet. Für den letten Term, die viskose Dissipation ε, kann folgendes Modell angesett werden: ε = c D k L 3 (.7)

38 . Grundlagen worin L den Längenmasssta und c D eine empirisce Konstante edeuten. Werden die ürigen Terme mittels des Wirelviskositäts-, respektive Wireldiffusionsprinipes umgeformt, so erält man k k ν t ui = t σ i i k k ν u u i t i j j i u β ν i t Φ gi c σ j t i D k 3 (.8) L Nac LAUNDER & SPALDING [97] gilt angenäert cd cµ' 8. und c k. Ein-Gleicungsmodelle sind nict geeignet, falls grosse Oerfläcenkrümmungen und Turulenen im freien Afluss u modellieren sind. Bei Separation oder in Grenscicten, die grossen Bescleunigungen ausgesett sind, wird das Modell ungenau. Grundsätlic verelfen Ein-Gleicungsmodelle nict unedingt u esserer Quantifiierung der Turulenen gegenüer Null- Gleicungsmodellen. Da sie aer advektiven und diffusiven Transport einalten, sowie Zeiteffekte escreien können, finden sie in diesem Zusammenang ire Verwendung. Meist werden sie ersett durc die einfaceren Miscungsweggesete oder durc die kompliierteren Zwei-Gleicungsmodelle, die usätlic den Längenmasssta aus einer Transportgleicung estimmen..5.3 Zwei - Gleicungsmodelle Der Längenmasssta L, der die Grösse der Wirel carakterisiert, die den grössten Anteil u den turulenten Spannungen eitragen, kann änlic wie der Gescwindigkeitsmasssta k estimmt werden. Versciedene Möglickeiten, welce jeder Komination Z=k m L n genügen, wurden vorgesclagen [RODI 98], denn k ist ereits ekannt aus der k-gleicung. TAYLOR, HUGHES, MORGAN [98] verwenden eispielsweise das sogenannte kl-turulenmodell anstelle des geräuclicen k-ε Modells k - ε Modell Die Komination k 3/ /L, welce pysikalisc der Dissipationsrate ε entsprict, wird dau meist verwendet, da kein weiter Quellterm in der

39 -39-. Grundlagen Näe der Wände mer nötig ist, im Gegensat u Gleicungen mit anderen Varialen. Das Modell, esteend aus den folgenden Gleicungen, welce das Wirelviskositätsprinip enüten, siet folgendermassen aus: Ausgeend vom Kolmogorov/Prandtl-Ausdruck (Gl..4) und der Definition der viskosen Dissipation (Gl..7) erält man ν t c k = µ ε (.9) ν t eeicnet wiederum die Wirelviskosität, c µ eine empirisce Konstante, k die kinetisce Energie der turulenten Bewegung pro Eineitsmasse und ε die Dissipationsrate. Die Verteilung von k und ε sind gegeen durc die Transportgleicungen. Die k-gleicung wurde ereits in (.8) gegeen. Werden in dieser Gleicung der Diffusionsterm P und der Produktionsterm G wie folgt definiert u u i P = ν t j j i ui t G = βg ν Φ ; i, (.) σ j t i so eralten die Gleicungen für k und ε folgendes Ausseen k k ν t ui = t σ i i k k P G ε (.) i ε ε ν ε t ε ε ui = cε ( P G)( c3εrf ) cε (.) t x x σ x k k i i ε i Die Aleitung nac der Zeit git die Änderung der Dissipation, der weite, linksseitige Term die Konvektion, wärend auf der recten Seite der erste Term die Diffusion angit, und die verleienden Terme die Produktion, respektive die Zerstörung eeicnen. c ε, c ε und c 3ε sind empirisce Konstanten. Der Auftrie wird nict nur durc den Term G estimmt, sondern erält in der Form, wie die Gleicung aufgestellt ist, noc eine usätlice Möglickeit erücksictigt u werden. Die Ricardson-Zal R f als Mass für

40 . Grundlagen die Dictescictung, sowie die Auftrieskonstante c 3ε dienen dau. Für weitere Eineleiten u den Auftriestermen sei auf RODI [98] verwiesen. Für die von Kármán-Konstante κ wird ein Wert von.4 angenommen. Für die anderen Konstanten geen LAUNDER & SPALDING [974] folgende Werte: c µ =.9, c ε =.44, c ε =.9, σ k =. und σ ε =.3 (.3).5.3. k - ε Modell für tiefengemittelte Gleicungen Die folgenden tiefengemittelten Gleicungen verwenden k, ~ und ε, ~ als Energie- respektive Dissipationsparameter. Auf eine esondere Kenneicnung der tiefengemittelten Gescwindigkeitsterme wird verictet. u k ~ v k ~ ~ ~ ν t k ~ ~ ν t k = P PkV y σ y σ y ~ ε (.4) k k ε ~ ε ~ ~ ν t ε ~ ~ ν t ε ~ ~ ε u v = c ~ P PV c x y x σ x y σ y k k k ε ε ε ~ ε ~ k (.5) mit P u v u v = ~ t x ν y y (.6) P ist die Produktion von k, ~ als Folge der Interaktion wiscen turulenten Spannungen und oriontalen, mittleren Gescwindigkeitsgradienten. für P kv und für P εv gelten die folgenden Beieungen P 3 4 c U P c U * * = ; ε = (.7) kv k V k Weil die Beieung durc die odennaen Scicten estimmt wird, werden die usätlicen Produktionsterme mit der resultierenden Reiungsgescwindigkeit U * korreliert, woei ( ) U* = c U V f (.8)

41 -4-. Grundlagen gilt und c f den Reiungskoeffiienten darstellt, der von der Bettrauigkeit aängt, und die empiriscen Konstanten c k und c ε folgende Beieungen erfüllen: c k = ; cε =. c f c 36 ε 34 c f cµ (.9) Die empiriscen Konstanten c k und c ε werden aus ungestörtem Normalafluss estimmt. Die ürigen Konstanten leien eralten, so wie sie von LAUNDER & SPALDING [974] gegeen wurden. Der Hauptanteil an P kv und P εv rürt von den signifikanten vertikalen Gescwindigkeitsgradienten in der Näe des Bodens er, welce durc Interaktion mit den relativ grossen, turulenten Scuspannungen in dieser Region Turulenen ereugen. Diese Produktion ist usätlic u der Produktion P infolge oriontaler Gescwindigkeitsgradienten u erücksictigen und ängt stark von der Bodenrauigkeit a. Die Anpassung des k-ε Modells für tiefengemittelte Berecnungen ist iemlic empirisc, denn alle Terme, errürend aus der nict Uniformität des vertikalen Profils, werden in den usätlicen Quelltermen P kv und P εv asoriert. Die Gleicungen vernaclässigen die Dispersionsterme, wie sie in Gleicung (.48) auftreten. Doc die iser mit dem Modell gemacten Erfarungen [.B. RASTOGI & RODI 978] ergaen ermutigende Resultate. Zwei-Gleicungsmodelle ieen nict nur den Transport des turulenten Gescwindigkeits-, sondern auc des Längenmassstas in Betract. Anwendung der Transportgleicung für den Längenmasssta erlaut die Bestimmung von längenmassstälicen Verteilungen in komplexen Aflussituationen. Desal sind die Zwei-Gleicungsmodelle die einfacsten, welce erfolgversprecend sind für Aflüsse, ei denen der Längenmasssta empirisc nict auf einface Art estimmt werden kann. Versciedene Längenmassstasgleicungen, welce sic gleic veralten, wurden in der Literatur vorgesclagen, doc die ε-gleicung wurde die elieteste, da sie relativ einfac ist. Das k-ε Modell ist das am erfolgreicsten und äufigsten angewandte Turulenmodell. Generell kann um k-ε Modell gesagt werden, dass es wegen der Vernaclässigung oder der approximativen Beandlung des Transports der individuellen turulenten Spannungen nict allen Situationen genügt.

42 . Grundlagen Andere Turulenmodelle Turulente Spannungs-/Flussmodelle, wie.b. Reynoldsspannungsgleicungen [LAUNDER, REECE, RODI 975] oder 'Large Eddy Simulation'- Metode [FINDIKAKIS & STREET 979], die mit mer Gleicungen areiten, einalten ugleic auc mer Unekannte, welce den usätlicen Aufwand nur selten rectfertigen. Erscwerend wirkt sic aus, dass mit jenen Modellen noc keine grossen Erfarungen im praktiscen Einsat gemact wurden und ir Veralten desal scwer auscäten ist. Hinu kommt, dass die Berecnung von sciessenden Freispiegelaflüssen in einae ungestörten Aflüssen den Eineug eines u kompliierten Modells nict enötigen. Alle 'closure'-scemen areiten grundsätlic mit wei fundamentalen skalaren Grössen des turulenten Aflussveraltens, nämlic mit der turulenten kinetiscen Energie und irer Dissipationsrate. Das einfacste 'closure '-Modell verindet diese wei Parameter u einer mittleren Aflusseansprucungsrate mittels der kinematiscen Wirelviskosität, welce grundsätlic als varialer Proportionalitätsfaktor dient. Das algeraisce Spannungsmodell versuct, eine algeraisce Spannungsrate u der Beansprucung in Beieung u stellen, die auf einer Transportgleicung der Gescwindigkeitskorrelation asiert, wärend das speifiscere Scuspannungsmodell direkt die Transportgleicung verwendet, um die turulenten Scuspannungen u carakterisieren. SCHAMBER & LAROCK [978] und [98] seten die FE-Metode für Turulenmodelle ein. Beispiele werden für den eindimensionalen Fall gegeen. BAKER [978]versuct sic eenfalls mit der FE-Metode an der 3-dimensionalen, kompressilen Navier-Stokes Gleicung. Die meisten Turulenmodelle wurden ausgieiger mit der finiten Differenenmetode getestet, wärenddessen sic die FE-Metode erst in neuerer Zeit entfalten konnte.

43 Literaturüersict 3 LITERATURÜBERSICHT Die Ausreitung von Stosswellen, die sic in sciessenden Strömungen ei Krümmungen, Verengungen, Erweiterungen oder einfac an einem Hindernis im Afluss ausilden, soll ier etwas genauer dargestellt werden. Üerkritisce Strömungen sind in der Praxis äufig anutreffen. Neen natürlicen Aflüssen in steilen Ascnitten sind auc ei Bauwerken wie.b. ei Hocwasserentlastungen, künstlicen Verengungen oder Kanalisationssystemen, Aflüsse im üerkritiscen Bereic u vereicnen. Den damit einergeenden Prolemen, wie steende Wellen und grössere Störungen an der Wasseroerfläce, ist speiell Recnung u tragen. Kavitation und Lufteinscluss dürfen eenfalls nict ausser act gelassen werden. Zu Beginn der 3er Jare dieses Jarunderts wurde man darauf aufmerksam, dass die iserigen Berecnungsgrundlagen für die Aflussöen ei sciessenden Strömungen in Kurven nict genügten. Die darauf einsetende Forscungstätigkeit efasste sic uerst weitgeend mit Experimenten (IPPEN & KNAPP [936], KNAPP & IPPEN [938]). Beide untersucten steende Wellen in Kurven, woei in der ersten Pulikation noc keine Teorie aufgestellt wurde. Der weite Artikel nimmt Beug auf von Kármáns Gasanalogie. Eine geeignete Zusammenfassung üer die Pänomene sciessender Aflüsse und deren Beandlung wird im CIGB (ICOLD) Bulletin 8 [99] gegeen. VON KÁRMÁN [938] eigte die Änlickeiten, die wiscen der Üerscallströmung von Gasen und üerkritiscer Strömung esteen. Auc PREISWERKS Areit [938] weist in diese Rictung. KNAPP & IPPEN [938] fürten Experimente in einer Kurve mit sciessendem Afluss durc. Zur Minimierung der Stosswellen im recteckigen Kanal testeten sie unterirdisce Scwellen, Üergangskurven und Querneigung. Eine früe Konferen üer 'te state of te art' im üerkritiscen Aflussereic fand 949 statt. Die Resultate davon sind 95 in die Transactions des ASCE eingegangen. IPPEN [95] puliierte einen Teil seiner teoretiscen Aleitungen üer Wandalenkungen, Verengungen, Kurven und Erweiterungen. IPPEN [95] ergänte dau einige Versuce, KNAPP [95]

44 3. Literaturüersict get speiell auf Kurven ein. IPPEN & DAWSON [95] esprecen detailliert Verengungen und ROUSE et al. [95] escränkte sic auf Kanalerweiterungen. v β Θ A vn vt A Scnitt A-A v v Figur 3.: Stosswelle infolge Alenkung Das von IPPEN & DAWSON [95] entwickelte Stufenmodell ist die erste Modellierung für Kanalkontraktionen. In Figur 3. ist das Modell kur dargestellt und eigt, wie eine Eröung der Aflusstiefe ei einer Alenkung entstet. Durc Üerlagerung, Interferen und Reflexion entsteen dann Stufen für die weiter stromawärts liegenden Punkte. Negative Wellen entsteen an Punkten mit einspringenden Ecken, die sic eenfalls stromawärts ausreiten und mit den positiven Wellen üerlagern. Der Stosswellenwinkel β, wie er für dieses Modell definiert wird, ist einig aängig von der Froudeal im Zufluss, F : sin β = F (3.) Lerücer wie CHOW [959] oder HENDERSON [966] asieren für üerkritisce Aflüsse weitestgeend auf den Ergenissen, wie sie 95 von IPPEN et.al. präsentiert wurden.

45 Literaturüersict IPPEN & HARLEMAN [956] untersucten analytisc ser detailliert scwace Wassersprünge und verifiierten die teoretiscen Ergenisse mit Versucen. ENGELUND & MUNCH-PETERSEN [953] versucen das Prolem u generalisieren und sprecen nict mer von einer einigen Stosswelle, sondern einem Wellenmuster, das sic aus vielen Anteilen usammensett (HENDERSON [966]). Die dadurc eraltenen Formulierungen erseten den Ausdruck des Alenkwinkels Θ mittels der Froudeal, respektive der Flacwasserwellen-Ausreitungsgescwindigkeit, durc einen Ausdruck, der die Ausreitungsgescwindigkeit der Tiefwasserwellen einaltet. HARRISON [966] verwendet den gleicen Ansat und erweitert die Teorie auf trapeförmige Kanäle. Trapeförmige Kanäle wurden auc von LENAU [979] untersuct, und er stellte fest, dass die Wellenmuster nict mer so regelmässig sind wie für recteckige Kanäle. HAGER & ALTINAKAR [984] vergleicen die Teorie VON KÁRMÁNS [938], die auf der Anname konstanter Energieöe asiert, mit derjenigen von KNAPP & IPPEN [938], die von einem konstanten Gescwindigkeitsfeld ausget. Empfelungen ur Konstruktion geradliniger Verengungen sind um Beispiel gegeen in IPPEN & DAWSON [95], STURM [985] oder auc in HAGER & BRETZ [987]. ANASTASI [98] untersucte experimentell Scussrinnenverengungen mittels gekrümmter Solen ur Aufeung von Stosswellen. Durc kontinuierlice Querneigung der Sole mit einem Maximum in der Querscnittsmitte der fäcerförmigen Einläufe konnten die Stosswellen teilweise eträctlic reduiert werden. Diesem Bemessungsprinip liegt die Idee ugrunde, dass die Zentrifugalescleunigungen durc die Querescleunigungen kompensiert werden. SCHWALT & HAGER [99] und auc HAGER & MAZUMDER [99] versucen die Bereice, in denen nict-lineare Effekte erücksictigt werden sollten, u lokalisieren und füren dau einige Versuce an arupten Wandalenkungen und an plötlicen Erweiterungen durc. TÄUBERT [97, 974] entwickelt, aufauend auf grapiscer Iteration, ein Computerprogramm ur Lösung von steenden Wellen, deren Reflexionen und Üerlagerungen.

46 3. Literaturüersict Die Metode der Carakteristiken war weit verreitet für die Berecnung stetiger Aflüsse. Die Metode der Carakteristiken asiert darauf, dass man versuct, die partiellen Differentialgleicungen so u verändern, dass sie sic entlang von vorgescrieenen Linien, den Carakteristiken, auf gewönlice Differentialgleicungen reduieren lassen. Dau werden versciedene Annamen getroffen, die die Lösungen üeraupt erst ermöglicen. Die meisten Ansäte seten Reiungsfreieit voraus und vernaclässigen die Gescwindigkeiten vertikal ur Sole. Die Anwendung der Metode der Carakteristiken war eines der ersten Hilfsmittel, Stosswellenproleme u lösen, da sic das Verfaren vorüglic für die grapisce Beandlung eignet. Vor allem die Förderer der Analogie wiscen Gasen und Hydraulik waren Ende der 3er Jare dafür verantwortlic, dass sic die Metode ausreitete und weiterum angewandt wurde. Für die Lösung mit Hilfe eines Computers werden die notwendigen Algoritmen derart umgescrieen, dass sie als finite Differenformulierungen etractet werden können. Pionierareit leisteten dau LIGGETT & VASUDEV [965], die sowol Reiung als auc Solenneigung in den numeriscen Code einfügten. Unaängig davon entwickelten BAGGE & HERBICH [967] für weidimensionalen, üerkritiscen Afluss ein numerisces Modell, das aer Einflüsse von Reiung und Gefälle vernaclässigt. HERBICH & WALSH [97] üerprüften die Berecnungsmetode experimentell. VILLEGAS [976] und DAKSHINAMOORTHY [98] seien als weitere Anwender der Metode der Carakteristik erwänt. ELLIS & PENDER [98] entwickelten ein Programm, das, asierend auf der Metode der Carakteristiken, für Verengungen als auc Kurven geeignet ist und die komplexe Zone der Interferenen und Reflexionen der Wellen aildet. JIMENEZ & CHAUDHRY [988] wenden ein expliites finite Differenenverfaren für die Lösung der d Flacwassergleicungen auf eine Scussrinnenkontraktion an. Aus irer Untersucung folgern sie, dass die Berecnungen vernünftig sind, solange die Druckverteilung ydrostatisc leit.

47 Literaturüersict ZHOU [995] erecnet mit der finiten Volumen-Metode und einer Gescwindigkeits-Tiefen-Kopplung Üergänge wiscen strömenden und sciessenden Aflüssen mittels der -dimensionalen Flacwassergleicungen. Das klassisce Dammrucprolem wurde vielfac untersuct. Erwänt seien ier nur BEFFA [994], FENNEMA & CHAUDHRY [987], YANG, CHANG & HSU [993] und JHA, AKIYAMA, & URA [995]. Allen Untersucungen ist gemeinsam, dass Lösungen der tiefengemittelten Flacwassergleicungen gesuct werden. Die Untersciede liegen in der gewälten Metode und in den Strategien für die Dämpfung unerwünscter Scwingungen. Sciessende und strömende Kanalkontraktionen mit geraden oder kreisförmigen Seitenwänden werden von DEMUREN [98] mit einem - dimensionalen, tiefengemittelten Ansat für stationäre Proleme erecnet. Trot Eineug des Prandtlscen Miscungsweggesetes scliesst er, dass für grosse Froudealen die Üereinstimmung mit den Messwerten nict mer esonders gut ist. DEMUREN erklärt dies mit dreidimensionalen Effekten, die im Berecnungsmodell unerücksictigt leien. In RUTSCHMANN, JIMENEZ & CHAUDHRY [99] wird eine optimale Kanalkontraktion gesuct, die aufgrund von Berecnungen mit den Flacwassergleicungen ermittelt wird. CHAUDHRY [993] präsentiert aus geraden und aus Kreisögen usammengesette Kanalkontraktionen, welce teilweise aus den Berecnungen von BHALLAMUDI & CHAUDHRY [99] stammen. BERGER & STOCKSTILL [995] wenden die FEM auf die d Flacwassergleicung an und implementieren ein Upwind-Scema. Sie erecnen damit neen dem steenden Wassersprung auc eine sciessende Kanalkontraktion nac Versucen von IPPEN & DAWSON [95]. MOLLS & CHAUDHRY [995] erecnen eenfalls Kanalkontraktionen mit einem tiefengemittelten Ansat. Sie erücksictigen usätlic aer die Wirelviskosität. HAGER, et.al. [994] vergleicen experimentelle Resultate einer sciessenden arupten Wandalenkung mit denjenigen eines tiefengemittelten, numeriscen finiten Differenen Modells. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass sic die meisten Modelle, die für sciessende Aflüsse eingesett wurden, mit einem einfacen tiefengemittelten Flacwasseransat egnügen. Teilweise sind

48 3. Literaturüersict Turuleneinflüsse erücksictigt worden, doc im wesentlicen aen sic die Modelle in den letten Jaren nict stark verändert. Die numeriscen Scwingungen konnten durc versciedene Ansäte praktisc eliminiert werden, doc die strukturellen Vereinfacungen, welce die Tiefenmittelung einringt, sind ei weitem noc nict eoen. Die aktuellsten Messungen in Kanalkontraktionen von REINAUER [995] eroen einig den Afluss und die Wassertiefe. Druckmessungen sind keine voranden, so dass Aussagen etreffend Aweicungen von ydrostatiscer Druckverteilung, Lufteinscluss, und Einfluss der Vertikalgescwindigkeit weitestgeend auf Vermutungen asieren. STEFFLER & JIN [993] erweitern die -dimensionale Flacwassergleicung unter Eineug nict-ydrostatiscer Druckverteilung und vertikaler Gescwindigkeiten in einem teoretiscen Artikel mittels Momentengleicungen. Eenfalls 993, in JIN & STEFFLER, werden für einen geogenen d Kanal die Momentengleicungen der Impulsgleicungen angewendet. Dort werden aer nur die eiden tiefengemittelten, oriontalen Gescwindigkeiten modifiiert. KHAN & STEFFLER [996a] wenden die Momentengleicungen des Impulses unter Eineug der kinematiscen Randedingungen für einen -dimensionalen Afluss im Gefällsknick mit nacfolgend steilem Gerinne an(versuce von MONTES [994], EHRENBERGER [99]). Weitere Beispiele in KHAN & STEFFLER [996a] sind der Solenuckel, als auc eine d Mauerüerfall- Sprungscane. Eine änlice Berecnung von KHAN & STEFFLER [996c] untersuct den -dimensionalen Wassersprung mit linearer, oriontaler Gescwindigkeitsverteilung und einem vereinfacten Turulenmodell. Eine interessante Aandlung mit den Momentengleicungen von KHAN & STEFFLER [996] eget neue Wege. Mit Hilfe der oen erwänten Erweiterungen der Flacwassergleicungen werden auc Proleme eines freien Üerfalles eandelt. Mit einem eindimensionalen Recennet wird die Lage der Unterseite des freien Strales als Unekannte eingefürt und als usätlice Gleicung die Druckedingung an der Stralunterseite verwendet.

49 4 NUMERISCHE MODELLIERUNG Numerisce Modellierung 4. RÄUMLICHE DISKRETISIERUNG Die für die numerisce Diskretisierung verwendeten Metoden lassen sic in folgende Hauptkategorien einteilen: finite Differenen, finite Volumenund finite Element-Metoden. Es gilt anumerken, dass die Metoden nict immer klar voneinander u untersceiden sind. Sie können in Einelfällen u denselen algeraiscen Formulierungen füren. Für die finite Differenenmetode werden die Werte der Varialen an einem diskreten Ort formuliert und die Aleitungen inneral der Differentialgleicungen durc finite Differenen-Näerungen ersett. Diese werden durc Taylor-Serien der unekannten Varialen an den interessierenden Punkten approximiert. Die unendlice Serie der Taylor-Expansion werden an einer Stelle agescnitten. Für den Eineug der eiden enacarten Punkte gesciet dies nac dem dritten Term, so dass die wei Gleicungen die Aleitungen erster und weiter Ordnung entalten. Daraus können die Aleitungen als Funktionen der enacarten Stütstellen estimmt und in die Differentialgleicung sustituiert werden, was ur finiten Differenen- Formulierung fürt. Finite Volumen-Formulierungen asieren auf der Massen-, Moment- und eventuell Energieeraltung üer ein typisces Kontrollvolumen des Aflussereices. Oft werden dau versette (staggered) Nete verwendet. PATANKAR [98] git eine Zusammenfassung und Diskussion üer die versciedenen finite Differenen und finite Volumen-Formulierungen. Das Lösungsgeiet wird in der finiten Elementen-Metode in eine Anal Elemente eingeteilt. Eine Interpolationsfunktion für die Näerung des Funktionsverlaufs der Aflussvarialen üer jedes Element wird eingesett. Meist wird dau die Galerkin-Metode verwendet, auf die später näer eingegangen wird. Grosse, dreidimensionale Proleme wurden erst spät

50 4. Numerisce Modellierung gelöst, weil die notwendigen Computerresourcen nict ur Verfügung standen. Gute Grundlagen für die Anwendung der finiten Element-Metode in der Hydrodynamik git BAKER [983]. GRAY [98] untersuct in seinem kritiscen Artikel versciedene u jener Zeit vorandene FE- Modelle, unter anderem etractet er die Masseneraltung inneral einer Kanalkontraktion und scliesst mit der Feststellung, dass die notwendige numerisce Dämpfung einen Nacteil der FE-Metode darstellt, dass aer die im Titel gestellte Frage Do Finite Element Models Simulate Free Surface Flow positiv eantwortet werden kann. Koordinatensystem und Netverfeinerungsmetoden Die meisten Programme verwenden kartesisce Koordinaten, einige esiten die Möglickeit auc mit ylindriscen Koordinaten u areiten. Für die finite Differenen-Metode sind speielle Transformationsverfaren entwickelt worden, welce die Berecnung für Geiete jeglicer Form erlauen. Im Weiteren wurden adaptive Nete entwickelt, die effiiente Lösungen von Aflussprolemen mit versciedenen Längenskalen und/oder grossen Gradienten anieten. Diese Metoden üerlagern in Geieten grosser Gradienten automatisc ein lokales, feineres Net üer das relativ gromascige Net des gesamten Lösungsraumes. Finite Elemente-Metode Üer die Metode der finiten Elemente existieren viele allgemeine Lerücer. Es sei an dieser Stelle nur auf ZIENKIEWICZ [977] und SCHWARZ [984] verwiesen. Die FEM angewandt auf die Navier-Stokes- Gleicungen wird eispielsweise in TAYLOR & HUGHES [98] escrieen. Einen leict verständlicen, kur gealtenen Üerlick üer die FEM ur Lösung von Aflüssen mit freier Oerfläce git FINNIE [993]. Die Differentialgleicung soll repräsentiert werden durc folgenden Ausdruck F( Φ ) = (4.) Für die gesucte partielle Differentialgleicung F(Φ) wird eine Lösung gesuct. Da die Näerung F( Φ $ ) aer im allgemeinen nict gerade der Lösung entsprict, entstet ei der Bildung der Differen ein Residuumsvektor R: R= F( Φ $ ) F( Φ) (4.)

51 Numerisce Modellierung Die allgemeine Form der gewicteten Residuen lautet desal: Ω ( ) WRdΩ = W F( Φ $ ) F( Φ) dω = (4.3) i Ω i woei W die Gewictsfunktion darstellt. Nun wird versuct dieses Residual mit einem geeigneten Ansat üer das gane interessierende Geiet gleic Null u seten. Durc die Wal einer Folge von Gewictsfunktionen entsteen so viele Gleicungen, als für die Bestimmung der Parameter notwendig sind. Die algeraiscen Gleicungen, welce die Parameter als Unekannte entalten, werden gelöst, um die Näerungslösung der Differentialgleicung u eralten. Versciedene Metoden, je nac Klasse der Gewictsfunktion, resultieren daraus. Im Speiellen sei die gewictete Residualmetode von Galerkin erwänt. Die Wal der Tecnik für die räumlice Diskretisierung ist eng mit der Netgrösse, die für die Auflösung enötigt wird, und mit der Beandlung der konvektiven Terme verunden. Ausgeend von einem räumlicen Net, wird ein speielles Interpolationsscema angewandt, welces die differentiellen Terme approximiert. Der daraus resultierende Feler liegt in der Unmöglickeit eine Variale an jeder Stelle vollständig aufulösen. Die Felergrösse ist aängig von der Netgrösse und der Komplexität der Interpolationsfunktion, und es ist wictig, die Grösse des Diskretisationsfelers auscäten. Typisce Feler können speiell aus den konvektiven Termen resultieren und sic als falsce Diffusion, für ein eitaängiges Prolem 'two-grid-lengt aliasing', ergeen. Die Metode der gewicteten Residuen fürt daei u folgenden Gleicungen, ier für die weidimensionale Flacwassergleicung aufgeeigt: Ω W i t q r y d Ω = (4.4) Ω Ω W q q qr g ( ) t x y x g S S d i ( ) ox fx Ω = (4.5) W r qr r g ( ) t x y y g S S d i ( ) oy fy Ω = (4.6)

52 4. Numerisce Modellierung Die Gleicung (4.4) ist die Kontinuitätsgleicung, und die eiden folgenden Gleicungen stellen den Impuls in x- respektive in y-rictung dar. Wi sind die Wictungsfunktionen, welce nur die Forderungen positiv, finit und eindeutig erfüllen müssen. Der Üergang u einem System mit einer endlicen Anal Elementen gesciet durc Einfüren der sogenannten Ansatfunktionen Ni in die uvor escrieenen Gleicungen. Die Variale, respektive deren Aleitung, wird also mit den Knotenwerten auf folgende Art verunden: n φ = N j φ j φ = j = n j = N j φ j (4.7) (4.8) Die Ansatfunktionen, auc als Interpolationsfunktionen eeicnet, werden in lokalen Koordinaten ausgedrückt. Desal kann Gleicung (4.8) wie folgt dargestellt werden: Ω n W F N φ F( Φ) i j j j = = (4.9) Für den Fall, dass die sogenannte Galerkin Metode verwendet wird, können die Wictungsfunktionen Wi gleic den Ansatfunktionen Nj gesett werden. Oengenannte Gleicung ist auf jedes einelne Element anuwenden. Auf die Diskussion üer Feler wird ier nict eingegangen. Eine ausfürlice Bescreiung von Genauigkeit und Feler der räumlicen Diskretisierung kann in Kap. 7 von VREUGDENHIL [994] nacgelesen werden. 4.. Grad der Ansatfunktionen Scacrettartige Muster von der doppelten Elementgrösse als Wellenlänge können.b. ei einem quadratiscen Net mit 6 mal 6 Elementen auftreten. Als Möglickeit ur Beeung dieses Netdiskretisierungsfelers können die Ansatfunktion für die Wassertiefe und die Gescwindigkeiten untersciedlic angesett werden. Die Wassertiefe muss ei gleicem Net

53 Numerisce Modellierung für Tiefe und Gescwindigkeit in der Ansatfunktion eine Ordnung niedriger angesett sein, als die Gescwindigkeiten. Eine andere, im Falle des verwendeten Programms nict ser praktisce Metode estet darin, das Net für die Gescwindigkeiten u verfeinern und dadurc die Scwierigkeiten u umgeen. Die lette Variante estet darin, ein sogenanntes Upwind-Verfaren einuseten. Darauf wird in einem späteren Kapitel eingegangen. Figur 4. eigt an einem syntetiscen Beispiel die Auswirkungen der gewälten Ansatfunktionen. In einem Becken mit Wassertiefe 5 m wird als Anfangsedingung der mittlere Knoten mit m Tiefe eingesett. Das System wird aus der Rue eraus sic selst üerlassen. Die Resultate eigen den Zustand nac einer Sekunde. Es werden 3 Elemente der Länge m verwendet, und die Randedingungen erfordern, dass kein Fluss durc die eiden Ränder erfolgen kann. Ein Reiungsfaktor nac Céy von 8 wird ei eener Sole verwendet. Die Resultate in Figur 4. wurden one Upwind erecnet, so dass der Grad der Ansatfunktion als einiger Einfluss isoliert werden kann. Für den linearen Fall sind die Vorscwingungen ser stark, die mittlere Zone ingegen weist nur mässige Scwingungen auf. Bei Verwendung von quadratiscen Ansatfunktionen für die Tiefe als auc den Afluss sind die Scwingungen vor allem in der Mitte inakeptael gross. Auc die eiden Maxima sind ser stark gerocen. Für gemiscte Ansatfunktionen, d.. lineare Elemente für die Wassertiefe und quadratisce für den Afluss, sind die Resultate ervorragend und die Scwingungen sind one Dämpfung der Maxima praktisc verscwunden. In der praktiscen Anwendung werden oft lineare Nete für die Wassertiefe und quadratisce für die Aflüsse verwendet. Für praktisce Fälle sei noc geeigt, dass die Scwingungen nict in jedem Fall so scön gedämpft werden wie im syntetiscen Prolemfall.

54 4. Numerisce Modellierung Figur 4.: Auswirkung der Ansatfunktionen one Upwind auf syntetisces Prolem Es wird dau das d Dammrucprolem verwendet, wie es in FENNEMA & CHAUDHRY [987] escrieen wird. Details dau werden später im Kapitel 5 erläutert. Für ein Wassertiefenverältnis / =.5 sind in Figur 4. die Resultate nac 6 sec. one usätlices Upwind dargestellt. Wie anunemen war, sind die Scwingungen im linearen Fall am Grössten und erstrecken sic praktisc üer den ganen Recenereic. Die quadratiscen Elemente eigen praktisc keine vorlaufenden Scwingungen. Elemente mit gemiscten Ansatfunktionen eigen eigentlic nur in der uniformen Aflussone, direkt oeral der Scwallwelle, Scwingungen. Figur 4.: Auswirkungen der Ansatfunktionen one Upwind auf Wassertiefe für d Dammruc

55 Numerisce Modellierung Es muss inugefügt werden, dass sic der Recenaufwand ei Verwendung gemiscter oder quadratiscer Ansatfunktionen eträctlic steigert, und die erielten Veresserungen den Aufwand nict a priori rectfertigen, wie das lette Beispiel eigt. 4.. Upwind 4... Allgemeines Konvektion spielt in vielen Aflüssen eine entsceidende Rolle, und der Bedarf genauer Beandlung ist desal von grösster Wictigkeit. Früere Formulierungen der Konvektionsterme asierten auf entralen Differenen, doc fürten diese u Stailitätsprolemen und unerwünsctem numeriscen Veralten. Für die Betractung ist wictig u wissen, dass Instailitäten auftreten können, wenn die Terme. und. Ordnung nict günstig verteilt sind. Das Verältnis der Terme. und. Ordnung, d.. von Konvektion u Diffusion, wird durc die sogenannte Pecletal escrieen. Dieses Verältnis muss aus Stailitätsgründen möglicst klein sein, für die Konvektions- Diffusionsgleicung kleiner als. Dies kann durc die Einfürung von künstlicer Diffusion erreict werden. Streng genommen ist die Verinderung dieser Osillationen nur möglic, wenn das Net derart verfeinert wird, dass die Konvektion auf Elementeene nict mer dominant ist (GRESHO & LEE [979]). Wenn aer vor allem die gloale Lösung interessiert, dann ist eine Verfeinerung in diesen Bereicen nict notwendig, so dass nac anderen Lösungen gesuct werden muss. Die Proleme, insesondere ei einer Modellierung mit FE sind so gravierend, dass sic GRAY [98] fragte: Do FE models simulate surface flows?. Um aus diesen Scwierigkeiten erausukommen wurden 'Upwind Difference' Scemen entwickelt, welce die konvektiven Terme durc den Wert der Konvektion oeral (upstream, Upwind) des untersucten Netintervalles erseten. Die Metode wurde ursprünglic für die finiten Differenen entwickelt, doc ald wurde sie für FE-Formulierungen adoptiert. Diese Formulierungen aen eine künstlice, numerisce

56 4. Numerisce Modellierung Diffusion ur Folge. Aus diesem Grund wird das reine Upwind-Verfaren selten verwendet. Die Scwierigkeiten der Beandlung konvektiver Terme tritt unaängig von finiten Differenen oder finiten Element Metoden auf. MALCHEREK & ZIELKE [993] geen für FD und FE Metoden eine Üersict versciedener Carakteristik und Upwind-Verfaren. HEINRICH ET. AL. [977] stellte fest, dass die Verwendung eines Petrov / Galerkin Verfarens, wie es in Figur 4.3 dargestellt ist, vorteilaft sei. Daei wird die Gewictsfunktion im upstream Bereic stärker gewictet als im stromawärts gelegenen Bereic. Streamline upwind/petrov- Galerkin Fliessrictung Galerkin Petrov- Galerkin k- k k Figur 4.3: Gewictsfunktionen One speielle Massnamen wird auc quer ur Aflussrictung Diffusion eingefürt. Zur Vermeidung dieser Tatsace versucten HUGHES & BROOKS [979] ein Scema einufüren, welces nur in Flussrictung künstlice Diffusion entält (streamline upwind/petrov-galerkin). Zur Beiealtung einer konsistenten Galerkin Formulierung werden die Gewictsfunktionen auf alle Terme der Differentialgleicung angewendet. JOHNSON [98] get darauf ein und liefert matematisce Beweise dau. In BROOKS & HUGHES [98] werden dau einige Berecnungseispiele für versciedene Gleicungssysteme gegeen Flacwassergleicungen Da auc die tiefengemittelten Flacwassergleicungen konvektive Terme einalten, wurde ereits frü damit egonnen die oen skiierten Ideen auc auf dieses Gleicungssystem anuwenden. Die Anwendung der Petrov-Galerkin Formulierung fürt u folgenden Resultaten:

57 Numerisce Modellierung Im Jare 98 unternam KATOPODES Versuce mit einem ad oc upwind Scema für finite Elemente. Die Herleitung geeigneterer Upwind- Formulierungen für die -d Flacwassergleicungen ist in KATOPODES [984a] detailliert erläutert. Er get dort auc auf Pasenfeler ein, und in KATOPODES [98] ist escrieen, dass sic ein optimaler Upwind-Faktor finden lässt, der einig die ocfrequenten unerwünscten Scwingungen in der Nacarscaft von Diskontinuitäten reduiert. Die -d Aleitung, an welcer sic die vorliegende Upwind-Formulierung orientiert, ist gegeen in KATOPODES [984]. Sie entsprict der sogenannten streamline upwind/petrov-galerkin-formulierung von BROOKS & HUGHES [98]. KATOPODES & WU [986] geen für eine expliite -d Formulierung mit Upwind Stailitäts-, Pasen- und Amplitudenanalysen, die auc mit Berecnungseispielen ergänt werden. Wird die allgemeine Form der Gleicungen in Matrixform gescrieen, so entstet folgendes Gleicungssystem: U A U B U F = (4.) t y woei U = q der Vektor der Unekannten darstellt. r Die Matrien A, B und F sind folgendermassen definiert: A = c u u (4.) uv v u B = uv v u c v v F g = g y gs gs fx fy (4.) (4.3) Wird nun Upwind nac der vorer escrieenen Metode eingefürt, ergit sic für die Ansatfunktionen T N N = N ε x A ε yb T N y (4.4)

58 4. Numerisce Modellierung Einseten in das Gleicungssystem (4.) und Verwenden der Metode der gewicteten Residuen liefert n e Ω N * T U t A U B U F dω y (4.5) mit der Anname für den Upwind Parameter in den eiden ortogonalen Rictungen x und y ε x = x [ u c] 5 (4.6) ε y = y [ v c] 5. (4.7) Die Grösse der Anname der Upwind-Parameter stimmt üerein mit derjenigen von BROOKS & HUGHES [98]. Eigene Versuce mit den Flacwassergleicungen aen geeigt, dass ein Diffusionskoeffiient ε in der Grössenordnung wiscen - und -3 liegen soll, um umindest eim steenden Wassersprung u optimalen Resultaten u gelangen. Als Testfall für Upwind diente der steende Wassersprung wie er in KATOPODES [984a] escrieen wird. 6 versciedene Versuce wurden durcgefürt in positiven und negativen x-/ resp. y-rictung, sowie an einem um 45 gedreten Net in eiden Rictungen. Figur 4.4: Steender Wassersprung nac KATOPODES [984a]: Analytisce Lösung üerlagert mit erecneter Lösung mit Upwind (Parameter=.9) und one Upwind.

59 Numerisce Modellierung Die in Figur 4.4 geeigten Berecnungen erfolgten mit einem linearen Net, Zeitscritt.7 sec. Die Lösung ist gegeen für einen Zeitpunkt nac Zeitscritten. Zum Scluss sei das Veralten des klassiscen d Dammruces mit Upwind geeigt. Figur 4.5: Auswirkungen der Ansatfunktionen mit Upwind auf Wassertiefe für d Dammruc Bei Verwendung von Upwind sind die Scwingungen für alle verwendeten Ansatfunktionen, wie aus Figur 4.5 ersictlic, weitestgeend eliminiert. Ein kleines Unterscwingen der vorauseilenden Scwallwelle für lineare und quadratisce Elemente leit eralten. Üerscwingen gerade vor dem Scwall wird ei den gemiscten Ansatfunktionen angetroffen. In der kontinuierlicen Depressionsone anscliessend an den Speicer sind die Dämpfungen für die gemiscten Elemente am grössten. Zum Scluss dieses Ascnittes muss noc eine einscränkende Bemerkung ur Verwendung von Upwind gemact werden. GRESHO & LEE [979] eracten die Verwendung von Upwind-Metoden als gefärlic, da die Scwingungen Unulänglickeiten in der räumlicen Diskretisierung oder den Randedingungen u Tage ringen, welce durc die Dämpfung ausradiert werden. Sie sclagen eine feinere Netdiskretisierung ur Beeung vor. Modernere Upwind-Metoden, die selektiv ocfrequente Scwingungen eliminieren, einalten diese Proleme nict mer im gleicen Ausmass.

60 4. Numerisce Modellierung ZEITDISKRETISIERUNG Für die Zeitdiskretisierung steen grundsätlic expliite und impliite Metoden ur Verfügung. Expliite Scemen verwenden für die Berecnung der Werte auf der neuen Zeiteene einig Werte des alten Zeitscrittes. Für impliite Berecnungen sind die Varialen der neuen Zeiteene gekoppelt mit den Nacarn des neuen Zeitscrittes wie auc mit der Lösung der vorergeenden Zeiteene. Expliite Verfaren enötigen kleinere Zeitscritte ur Berecnung, raucen aer edeutend weniger Receneit pro Zeitscritt, da die Lösung mit relativ einfacen Beieungen aus dem vorergeenden Zeitscritt konstruiert werden kann. Eine eliete Einteilung der Zeitscrittscemen asiert auf Vorwärts-, Rückwärts- oder entraler Zeitdifferenierung. Vorwärts-Differenierung produiert expliite Formulierungen, Rückwärts-Differenierung fürt u impliiten Scemen. Die meisten Programme verwenden Ein-Scritt- Zeitscrittmetoden. Aspekte, die für das numerisce Veralten des Zeitscrittscemas eingealten werden müssen, ilden die Stailität, Genauigkeit, Pasen- und Amplitudenfeler. Weitergeende Erläuterungen u den versciedenen finite Differenenformulierungen können eispielsweise in VREUGDENHIL [994] oder CHAUDHRY [993] nacgesclagen werden. Durc die Verwendung des finiten Elementverfarens nict nur in den Raumrictungen, sondern auc für die Zeitdimension lassen sic expliite als auc impliite Scemen prolemlos einfügen. Ansatfunktionen öerer Ordnung für die Zeitdiskretisierung, die unaängig denjenigen des Ortes sind, können mittels finiter Elementdiskretisierung in Zeitrictung eenfalls erücksictigt werden. Eenso kann die gekoppelte, impliite Lösung mererer Zeitscritte erielt werden. Leider at die finite Elementformulierung der Zeit den Nacteil, dass sie ausser Act lässt, dass sic jede Grösse nur in Zeitrictung ausreitet. Wird mit dem ocgestellten Index (t) der u erecnende Zeitscritt und mit (t-) der vorergeende eeicnet, so siet die Kontinuitätsgleicung wie folgt aus: t () t ( t) () t q r = (4.8) y Die eiden Momentengleicungen nemen folgende Screiweise an:

61 Numerisce Modellierung () t q X-Impuls: t ( t) ( t ) ( t ) ( ) ( ) ( g u ) t t u v () t g y () t ( t ) q ( t ) () t ( t) () t () t q ν q r u v ( t ) y y u ( t ) () t r Y-Impuls: t r q q r = g SOx y ( t ) C () t ( t) ( t) ( t) ( t) ( t ) ( t ) ( ) ( ) ( g v ) t t u v ( t) () t g y y (4.9) () t ( t ) r ( t ) () t () t () t q ν r r v v ( t ) y y u ( t ) r r q r = g SOy x ( t ) C () t ( t) ( t) ( t) (4.) ( t) mit u = q ( t) ( t ) und ( t) v = r ( t) ( t ) Zeitaängige Proleme werden im Ramen dieser Areit mittels kominierten Raum-Zeitelementen gelöst, woei die Lösung durc die Funktion in der Raum- und Zeiteene approximiert wird. Es estet die Möglickeit auc in Zeitrictung Ansatfunktionen öerer Ordnung, unaängig vom Grad der Ansatfunktion im Raum, u verwenden. Ein instationäres Prolem kann sowol mit mereren impliiten Zeitscritten von einem Zeitpunkt um anderen, als auc mit einem einigen impliiten Zeitscritt, gelöst werden. Durc letteres Verfaren wird eine starke Kopplung aller Zeitsceien erreict. Genauere Angaen üer die Implementation von finiten Elementen in der Zeit sind in RUTSCHMANN [993, 994] gegeen. Dort werden auc versciedene Beispiele dau erecnet. Es eigt sic, dass der Recenaufwand mit der Anal simultan gelöster Zeiteenen stark ansteigt und für die meisten Proleme die Receneit limitierend wird.

62 4. Numerisce Modellierung RAND- UND ANFANGSBEDINGUNGEN 4.3. Randedingungen Differentialgleicungen können nur für ein speifisces Prolem gelöst werden, ei welcem die Randedingungen vorgegeen sind. Zur Lösung partieller Differentialgleicungen müssen Randedingungen vorgegeen werden, die das Prolem eindeutig carakterisieren. Die Anal und Art der Randedingungen ist aängig vom Typ der Strömung. Die korrekte Beandlung von Randedingungen ist wictig, da sic sonst unerwünscte Einflüsse sclect definierter Randedingungen ins Recengeiet ausreiten können und dort die pysikalisc korrekte Lösung üerlagern.( MORETTI [969]). Owol die Randedingungen einen wesentlicen Teil einer Berecnung darstellen, ist aus der Literatur wenig üer die korrekte Implementierung von Randedingungen u erfaren. Allgemein kann unterscieden werden wiscen Randedingungen entlang von festen Berandungen und solcen Rändern, die künstlic definiert werden. Das können eispielsweise Symmetrieränder oder auc frei gewälte Ränder des Berecnungsgeietes sein. Zusätlic müssen am Zu- und Afluss Randedingungen, die aängig von der Carakteristik des Strömungsustandes sind, implementiert werden. Typen von Randedingungen Randedingungen können im wesentlicen auf 3 Haupttypen escränkt werden, nämlic die Diriclet-, Neumann- und Caucy-, resp. Roins- Randedingungen. Erstere wird verwendet, wenn der Wert einer Grösse selst als Randedingung vorgescrieen werden soll. Als Beispiel sei ier nur die Zuflussrandedingung für sciessenden Afluss erwänt. Für Neumann-Randedingungen wird der Gradient einer Grösse vorgescrieen, also eispielsweise entlang einer festen Wand der Gradient der Normalengescwindigkeit. Roins-Randedingungen sind carakterisiert durc die Summe einer Neumann- und einer elieigen

63 Numerisce Modellierung Funktion multipliiert mit der Diriclet-Randedingung. Für die praktisce Lösung der Flacwassergleicungen werden ier nur die eiden ersten Typen von Randedingungen verwendet. Eine Freispiegelströmung ist carakterisiert durc folgende Berandungen, welce in die Berecnung der Flacwassergleicungen einfliessen müssen: Feste Wände Der Fluss senkrect durc feste Wände ist Null. Höcstens wandparallel kann ein Fluss erlaut sein. Die Wassertiefe rauct an einem solcen Rand nict definiert u werden. Symmetrieränder Durc die gescickte Ausnutung von Symmetrierändern, welce eenfalls einen Rand darstellen können, kann die Grösse des Berecnungsraumes klein gealten werden. An Symmetrieeenen sind für alle Quantitäten mit symmetriscem Veralten die senkrect dau steenden Gradienten gleic Null,.B. die Gescwindigkeiten parallel ur Symmetrieeene und die Normalspannungen. Andererseits sind die Gescwindigkeiten senkrect ur Symmetrieeene sowie die Scuspannungen gleic Null. Freie Ränder Die ürigen Ränder sollten weit genug von den interessierenden Stellen entfernt sein, denn nur so kann gewärleistet werden, dass sic keine unerwünscten Störungen in die Lösung einscleicen. Jeder freie Rand ist ein willkürlic gewälter Ort, an dem Bedingungen angenommen werden müssen, die nict gan genau der Natur entsprecen. Zu- und Aflussränder Die Anal der Randedingungen am Zufluss resp. Ausfluss ist nict fix. Je nac Aflussregime sind untersciedlice Randedingungen notwendig. Sciessende Aflüsse im ganen Gerinne erfordern keine Randedingungen am unteren Ende. Am Zuflussrand ingegen müssen alle Aflussparameter vorgegeen werden. Beispiel Scussrinne: oerer Rand,q,r unterer Rand r=

64 4. Numerisce Modellierung Für den Strömungswecsel von sciessend nac strömend, wie er am Beispiel des Wassersprunges eoactet werden kann, sind am Zufluss im -d Fall die Wassertiefe und der Afluss vorgegeen. Am strömenden, Unterwasserende ist ingegen nur der Afluss als Randedingung eingesett. Der umgekerte Fall erfordert am strömenden Zuflussrand nur eine einige Randedingung Anfangsedingungen Damit ein Prolem in der Zeit lösar wird, muss es von einem estimmten Anfangsustand ausgeen. Dau müssen an allen Knoten alle Varialen u einem estimmten Zeitpunkt, meist der Zeit t=, vorgegeen werden. Normalerweise sind diese Anfangsedingungen nict ekannt, doc wird ir Einfluss mit der Zeit immer geringer, da die äusseren Kräfte und Randedingungen den Afluss je länger je stärker estimmen. 4.4 FEMTOOL FEMTOOL ist eine finite Element Toolox, entwickelt an der VAW, inter der die Idee steckt, dass elieige partielle Differentialgleicungen für stationäre und instationäre, lineare und nict-lineare Proleme gelöst werden können. Die Implementation neuer Gleicungen estet einig darin, den Kern der Elementmatrix Routine einufügen. Zusätlic müssen Routinen, welce eitlice Änderungen in den Anfangsedingungen und Randedingungen erfordern, gescrieen werden. Speielle Benuterfunktionen, welce einmalig, nac jedem Zeitscritt oder jedesmal durclaufen werden, erlauen es, gekoppelte Proleme u definieren. Die Arcitektur ermöglict die Lösung elieig vieler Gleicungen, sowie die Freieit für die Wal der Ansatfunktionen in Raum und Zeit. Die Integration in Zeitrictung erfolgt eenfalls mit finiten Elementen und ermöglict die Koppelung der Zeiteenen. Die Speiceralloierung ist sowol dynamisc als auc statisc möglic. Das Pre- und Postprocessing ist prolemunaängig. In FEMTOOL steen versciedene iterative und direkte Gleicungslöser ur Verfügung.

65 Flacwassersimulationen 5 FLACHWASSERSIMULATIONEN Das folgende Kapitel eigt Berecnungen, welce dau dienen, das Programm u üerprüfen und die Möglickeiten der Berecnungen aufueigen. Für den -dimensionalen Fall ist mit dem Dammrucprolem ein Beispiel erangeogen worden, für welces eine analytisce Lösung existiert. Die Resultate aus den Berecnungen werden nict nur mit der analytiscen Lösung verglicen, sondern auc mit anderen Codes. Somit estet die Möglickeit die Qualität von FEMTOOL u eurteilen. Die -dimensionale Berecnung des teilweisen Dammrucprolemes ermöglict einen qualitativen Vergleic wiscen dem ier vorgestellten Programm und einem auf der finiten Differenenmetode erstellten Code. Ascliessend werden die Berecnungen auf Modellversuce einer sciessenden Kontraktion angewandt, die in den Laoratorien der VAW von REINAUER [995] ausgieig getestet wurde. Erstmalig werden dau auc Simulationen des instationären Strömungsusammenrucs und - auslasens durcgefürt. 5. -DIMENSIONAL Im vorergeenden Kapitel wurde anand des steenden Wassersprunges die Effiien des gewälten Upwind-Scemas demonstriert. Auf eine erneute Darstellung dieses -dimensionalen Prolems sei an dieser Stelle verictet. 5.. Dammruc Das Prolem des Dammruces ist seit längerer Zeit für den - dimensionalen Fall analytisc gelöst worden. Die ier um numeriscen Vergleic erangeogenen Beispiele sind dieselen, welce FENNEMA & CHAUDHRY [987] puliiert aen.

66 5. Flacwassersimulationen Reservoir Damm =m Unterwasser m m m Figur 5.: Scematisce Darstellung des Dammrucprolems Figur 5. eigt scematisc das Prolem, evor der Damm augenlicklic und vollständig entfernt wird. STOKER [957] git dau die analytisce Lösung wie folgt an und unterteilt den etracteten Ascnitt in 4 Zonen, wie in Figur 5. ersictlic: Zone : Das von der rückwärts screitenden Welle noc nict erreicte, ruende Wasser des Speicers. Zone : Eine kontinuierlice Depressionsone u welcer auc der Ort des Dammes geört und wo die Gescwindigkeiten und die Wasseröe Funktionen der Zeit und des Ortes sind. Die Funktion ist eine Parael one oriontale Tangente an den Üergängen u Zone, respektive 3, d.. an diesen Punkten errsct eine Diskontinuität des Wasserspiegelgefälles. Zone 3: Eine uniforme Aflussone direkt oeral der Scwallwelle, in der u=u und = sind. Zone : Die ursprünglice Aflussone unteral der Scwallwelle, wo die anfänglice Gescwindigkeit u= und die Wassertiefe = sind. x

67 Flacwassersimulationen () () (3) () M ξ X m 5 m m Figur 5.: Scematisce Darstellung der Wasserspiegelkurve nac erfolgtem Dammruc Es wird angenommen, dass die Scwallwelle eine vertikale Front esitt und im Unterwasserereic das Wasser in Rue ist. Das Wasserprofil der Zone 3 oeral der Scwallwelle scneidet das paraolisce Profil der Zone im Punkt M. Mit der Metode von Stoker und dem Konservationsprinip für Masse und Moment erält man für die Diskontinuität der Scwallwelle folgende Beieungen: c c u c ξ = 8 - c ξ c ξ = - 8 c 4ξ c (5.) (5.) In oigen Gleicungen eeicnet ξ die Scwallgescwindigkeit, wie in Figur 5. eingeeicnet. Die Wellenausreitungsgescwindigkeit ist gegeen durc c = g, die Indies eeicnen die Zonen, welce in Figur 5. in Klammern angedeutet sind. Eine dritte Gleicung muss eingefürt werden, um das Prolem einer gesclossenen Lösung ugänglic u macen. Entlang der Carakteristik C von Zone ur Scwallwelle gilt die Beieung uc ist konstant. Es gilt also auc:

68 5. Flacwassersimulationen u c c c = (5.3) c c Einseten von Gleicung (5.) und (5.) in Gleicung (5.3) ergit eine Gleicung für c als Funktion der eiden Wellenausreitungsgescwindigkeiten c und c. Daraus kann mittels Gleicung (5.) c und ieraus mit c = g die Wassertiefe estimmt werden. Desgleicen kann mit Gleicung (5.) die Wassergescwindigkeit u in der Zone ermittelt werden. Für die Wassertiefe in Zone, eine Funktion der Zeit t, gilt folgende Beieung: 5 x = - c - 9g t (5.4) Der Üergang u sciessendem Afluss ist erst ei Unterscreiten von / =.384 u eoacten. In diesem Fall eträgt die Wassertiefe an der Stelle des eemaligen Dammes konstant 4 9. Für eine ausfürlice Diskussion und Literaturüersict üer Dammrucproleme sei auf ALMEIDA & FRANCO [993] verwiesen. Sie esprecen sowol d als auc d Aflüsse, und sowol numerisce Simulationen als auc Modellversuce und teoretisce Aleitungen. Für die Berecnung sind lineare Elemente mit einer Seitenlänge von 5 m verwendet worden. Insgesamt sind so 8 Elemente auf die m lange Berecnungsstrecke verteilt. Die Zeitdiskretisierung ist eenfalls linear, und der Zeitscritt eträgt konstant sec. Die Berecnung wird üer 6 Zeitscritte durcgefürt. Die Variation der Wassertiefenverältnisse / wiscen und ermöglict die Betractung eines grossen Bereices von Froude-Zalen. Eindimensionale Betractungen am selen Prolem wurden von FENNEMA & CHAUDHRY [987] durcgefürt und dienen als Vergleicslösungen. Die Wassertiefenverältnisse / wurden u.5,.5 und.4 gewält Dammruc, Vergleic mit Fennema &Caudry[987] Für ein Wassertiefenverältnis / =.5 leit der Afluss immer strömend. Die Resultate sind für alle untersucten Tiefenverältnisse ervorragend. Die von FENNEMA & CHAUDHRY [987] eingefürten Grundgleicungen in der nict-konservativen Form füren u verfälscten

69 Flacwassersimulationen Wassertiefen und, was in diesem Fall edeutender sceint, u langsamen Fortpflanungsgescwindigkeiten der Wasserfront (siee dau auc Kapitel ). Wegen des gewälten Scemas sind in der oenerwänten Pulikation auc die Fronten viel u flac. Der Grund für diese flacen Fronten liegt in der eingefürten künstlicen Viskosität, welce die numeriscen Scwingungen reduiert. Es andelt sic ierei um einen usätlice, sogenannte numerisce Diffusion, die ei Stössen notwendig wird, um die Stailität des Recenscemas u gewärleisten. Je nac Ansat dieser numeriscen Diffusion werden das gesamte Geiet um grosse Gradienten eeinträctigt oder een nur die enacarten Knoten, wie das eim gewälten Upwind-Verfaren im Ramen dieser Areit der Fall ist. Werden die Berecnungen mit dem gleicen Net mittels FE und einem geeigneten Upwind durcgefürt, natürlic mit den entsprecenden Gleicungen in konservativer Form, sind Aweicungen gegenüer der analytiscen Lösung unedeutend. Im Bereic der Front ist ein kleines Üerscwingen u eoacten. Bereits ein solc groes Net mit 8 linearen Elementen fürt u guten Resultaten. Figur 5.3 eigt die Wassertiefe nac einer Zeit von 6 sec. und ein Wassertiefenverältnis von / von.5. Zum esseren Vergleic mit der analytiscen Lösung wurde die Berecnung auf einer reiungsfreien, oriontalen Sole durcgefürt. Figur 5.3: Wassertiefe für d Dammruc mit / =.5; t=6 sec

70 5. Flacwassersimulationen Die kleineren Wassertiefenverältnisse edingen einen Fliesswecsel von unterkritiscen u üerkritiscen Aflüssen. Auc ier eigt sic, dass die Lösung für / =.5 der analytiscen ser nae kommt (Figur 5.4). Figur 5.4: Wassertiefe für d Dammruc mit / =.5; t=6 sec Die folgende Figur 5.5 eigt einen Vergleic der versciedenen Formen der Flacwassergleicungen. Es ist deutlic u erkennen, dass mit weitergeender Vereinfacung in den Gleicungen die Front unemend inter der analytiscen Lösung erinkt. Figur 5.5: Vergleic der Wassertiefe für d Dammruc wiscen konservativer und nict-konservativer Form der Flacwassergleicungen für / =.5; t=6 sec a) Analytisce Lösung nac Stoker; ) Gl ; c) Gl ; d) Gl..7 und

71 Flacwassersimulationen Dass die Wassertiefe an der Stelle des eemaligen Dammes für sciessenden Afluss konstant leit, kann aus der folgenden Figur 5.6 scön entnommen werden. Figur 5.6: Wasserspiegelverlauf in Aängigkeit der Zeit für / =.5 Das lette Beispiel aus der Pulikation von FENNEMA & CHAUDHRY [987] eigt die Grenen in ur minimalen Unterwassertiefe auf. Ein Trockenfallen der Elemente kann mit der dort getesteten Scemen nur mit einer minimalen Wassertiefe von 4 cm verindert werden. Auc FEMTOOL ermöglict diese Wassertiefe noc prolemlos (Figur 5.7). Scwierigkeiten treten erst unteral von mm auf, d.. einem Wassertiefenverältnis von / =.. Nict iterative Scemen in FENNEMA & CHAUDHRY [987] konvergieren is u einem Wassertiefenverältnis von / =. Figur 5.7: Wassertiefe für d Dammruc mit / =.4; t=6 sec

72 5. Flacwassersimulationen Dammruc, Vergleic mit Beffa [994] Ein neuerer Vergleic mit dem von BEFFA [994] verwendeten Code fürt ei durcgeend unterkritiscem Fluss u vergleicaren Ergenissen (Figur 5.8). Dort wird ein finites Volumenverfaren mit Eulerscer impliiter Zeitdiskretisierung und einer Dissipation nac Jameson verwendet. Andere Verfaren ur Unterdrückung der Dissipation, die BEFFA [994] eenfalls untersucte, eigten sclectere Eigenscaften, so dass der Vergleic nur die este Variante mit eineiet. Auc JHA ET AL. [995] vergleict versciedene FD-Scemen für das d Dammrucprolem und erält vergleicare Resultate. Figur 5.8: Wassertiefe für d Dammruc wie BEFFA [994] mit / =.3; t= sec Für den sciessenden Afluss mit / =.3 verflact sic die Front ei BEFFA [994] useends. Das FE-Verfaren eigt immer noc eine steile Front. Die Untersciede sind iemlic deutlic, nict nur an der Front, sondern auc in den Zonen und, was sic esonders klar in Figur 5.9 eigt.

73 Flacwassersimulationen Figur 5.9: Wassertiefe für d Dammruc wie BEFFA [994] mit / =.3; t= sec Figur 5. eigt für den gleicen Fall die Aflusswerte auf. Auc ier eigt sic wiederum, dass die Aflüsse edeutend esser sind als mit der von BEFFA [994] verwendeten Metode. Figur 5.: Afluss für d Dammruc wie BEFFA [994] mit / =.3; t= sec

74 5. Flacwassergleicungen DIMENSIONAL 5.. Teilweiser Dammruc CHAUDHRY [993] stellt das Prolem eines teilweisen Dammruces vor. Es andelt sic um eine 75 m reite, nict-symmetrisce Bresce, die in der Rictung des Flusses m dick ist. Das Berecnungsgeiet erstreckt sic auf x m, und die Bresce ist nae der Mitte gelegen. Der Oerwasserstand eträgt m, und der Wasserspiegel unteral des Dammes liegt auf anfänglic 5 m. Zur Berecnung wird ein reiungsfreier, oriontaler Kanal angenommen. Es wird nict turulent und one Upwind gerecnet. In FENNEMA & CHAUDHRY [989] sind erste Resultate desselen Prolems ereits dargestellt. Für die Berecnung mit linearen Ansatfunktionen wird ein Net mit mal Elementen eingesett. Da das gromascige Net eine feinere Auflösung nict erlaut, wird die Bresce nict mer 75 m, sondern 8 m reit. Für die Wassertiefe sind keine Randedingungen eingefürt worden. Die Randedingungen für den Afluss entlang der Ränder wurde so gesett, dass keine Flüsse durc die Ränder ein- oder austreten können. Für die ürigen Knoten sind keine Randedingungen vorgescrieen. Die Berecnungen sind sowol für den strömenden Fall als auc für den sciessenden Fall durcgefürt worden. Die Unterwassertiefe im sciessenden Fall liegt ei.5 m. Die in Figur 5. gegeene eitlice Entwicklung der Wassertiefe git einen klaren Üerlick üer die Ausreitung der Scwallwelle infolge eines teilweisen Dammruces. In Figur 5. und Figur 5.3 sind die Resultate der Berecnung für strömenden und sciessenden Afluss one Verwendung von Upwind dargestellt.

75 Flacwassergleicungen a) )

76 5. Flacwassergleicungen c) d) Figur 5.: Entwicklung der Wassertiefe in [m] für teilweisen Dammruc mit linearen Elementen und / =.5 mit Upwind: a) t=. sec.; ) t=.4 sec.; c) t=4.7 sec.; d) t=7. sec.

77 Flacwassergleicungen Figur 5.: Teilweiser Dammruc mit linearen Elementen und / =.5 one Upwind, Wassertiefe in[m]: t=7. sec. Figur 5.3: Teilweiser Dammruc mit linearen Elementen und / =.5 one Upwind, Wassertiefe in[m]: t=6. sec

78 5. Flacwassergleicungen Kontraktion Figur 5.4: Kontraktion mit Grad Gefälle, F=4., L k =.8 m, =.5 m Als Üerprüfung der Berecnungen diente in erster Linie eine Scussrinne, wie sie an den Laoratorien der VAW ur Verfügung stand. Die Bescreiung der Versucsanlage kann in REINAUER & LAUBER [996] nacgesclagen werden. Diese Modellversuce, durcgefürt von REINAUER [995], sollen ier als Vergleic erangeogen werden. Das Modell estet aus einer alen Verengung mit einer Symmetrieacse und einer festen Berandung wie in Figur 5.5 dargestellt.,f Flow u x L k Figur 5.5: Skie der Kontraktion Die Breite der oriontalen Kunststoffrinne mit recteckigem Querscnitt etrug vor der Kontraktion o =5 mm, nac der Breitenreduktion u =3 mm, so dass ein Kontraktionsverältnis ω= o / u =,6 resultiert. Die Länge der Kontraktion L k etrug entweder 8 mm oder 38 mm. Die Seitenwand der Symmetrieeene war ur Beoactung in Glas ausgefürt. Die Wassertiefe des Zuflusses etrug entweder 5 mm oder mm. Berecnungen erfolgten für eine Froudeal von F=4.

79 Flacwassergleicungen Interessant sind insesondere die maximalen Wasserspiegel auf der Symmetrieacse und entlang der Wand, sowie die Lage der jeweiligen Maxima in Beug auf den Beginn der Kontraktion. Die Modellversuce eigten eindeutig, dass das Stufenmodell nur eine sclecte Bescreiung des Wasserspiegels im Unterwasserereic darstellt. Die eoacteten Wellenmuster (am Rand öer als in der Kanalmitte) werden durc Berecnungen estätigt. Figur 5.6: Wand und Acswerte für F=4., L k =.8 m, =.5 m; Messungen von REINAUER [995], Berecnungen von JIMENEZ & CHAUDHRY [988] und FEMTOOL In Figur 5.6 werden die Messwerte mit den Berecnungen weier Codes verglicen (NAEF & RUTSCHMANN [995]). Neen FEMTOOL kommt ein expliites, sock-capturing FD-Verfaren von JIMENEZ & CHAUDHRY [988] um Zug. Jenes Programm, das die gleicen Vereinfacungen wie die Flacwassergleicungen einaltet, sagt die gleicen Wassertiefen

80 5. Flacwassergleicungen vorer, die Lage der Maxima sind aer noc weiter stromaufwärts verscoen. Eine ausgeprägte Plateauildung ist ei eiden Programmen festustellen. Die Höe des Maximums an der Symmetrieeene ist für die Bemessung einer Scussrinne nict massgeend. Es muss festgestellt werden, dass die wandnaen Effekte, die insesondere eim ersten Maximum an der Symmetrieeene um Tragen kommen, im numeriscen Modell nict in geeignetem Masse ageildet werden können. Krümmungseffekte, Lufteintrag und insesondere die einae senkrecten Wasserspiegel in Wandnäe können mittels eines ydrostatiscen Modells nur unulänglic ageildet werden. Es ist auc fraglic, o die Annamen des Flacwassermodells in diesem Bereic noc gültig sind (Wellenöe klein im Vergleic ur Wassertiefe). Das näcste Maximum, das erste an der Aussenwand, eigt diese ausgeprägte Wasserspiegeländerung nur noc in ser stark reduiertem Ausmass. Ein Vergleic der normalen Wassertiefe kommt desal erst für diese Aussenwandpunkte in Frage. Andererseits muss für die Praxis auc erücksictigt werden, dass nict nur die numerisce Berecnung, sondern auc die Modellversuce mit Felern eaftet sind. Als möglice Felerquellen des Modells seien ier nur die Massstaseffekte entlang der dünnen, einae vertikalen Wandscict erwänt, wo auc die Oerfläcenspannungen, die Dicke der Grenscict und änlices wictig wird. Die Bestimmung der Wasseroerfläce inneral des Sprays, wo einelne Tropfen auftreten, ist nict gan einfac. In dieser aufgerissenen Oerfläce mit viel Luft, ist keine klar definierare Wasseroerfläce feststellar. Die Genauigkeit der Eingangsparameter des Modellversuces, wie Afluss oder Wassertiefe, ist eenfalls in Betract u ieen. Messungen an ausgefürten Scussrinnen müssten korrekterweise für den Vergleic Modell - Berecnung - Wirklickeit in Betract geogen werden, um aussagekräftige Feststellungen u treffen. Die numerisce Berecnung erfolgte mit einem Net mit Elementen der Länge.44 m und varialer Breite. 3 Elemente mit jeweils gleicer Breite wurden in der Querrictung verwendet. Die Berecnungen erfolgten one Gefälle mit einem Reiungskoeffiienten der Solenreiung nac Céy von 65m ½ /s. Die Viskosität wurde Null gesett und mit einem Upwind-Verfaren gerecnet. Lineare Elemente, die ei Verwendung von Upwind evorugt eingesett werden, sind trot numeriscen Prolemen die essere Wal (Scacrettmuster). Die Osillationen mit Wellenlänge gleic der alen Netlänge sind noc deutlic u erkennen, eeinflussen aer die Gesamtlösung nur unwesentlic.

81 Flacwassergleicungen Zur Lage der Maxima kann gesagt werden, dass der Stosswinkel ß etwa in der Grössenordnung von sin β = F liegt. Ein Vergleic mit den Messungen eigt aer, dass die Stosswelle am Punkt der Verengung u steil wird und die Maxima dadurc etwas u weit stromaufwärts u liegen kommen. Beim Vergleic muss erücksictigt werden, dass die Auflösung des FEM Netes auf ca. 4 cm escränkt ist, da in Aflussrictung die Knotenastände für lineare Berecnungen diese Grösse aufweisen. Figur 5.7: Vergleic mit und one Diffraktor; Messungen von REINAUER [995], Berecnungen mit FEMTOOL Für die Reduktion der Stosswellen sclägt REINAUER [995] Soleneinauten vor, sogenannte Diffraktoren. Versciedene dieser lokalen Solenereungen werden in oensteender Areit getestet. Der optimale Diffraktor, aus den experimentellen Versucen gewonnen, escreit er

82 5. Flacwassergleicungen wie folgt: Der aus einem Kunststoffkeil esteende Diffraktor mit der Grundfläce eines rectwinkligen Dreiecks und der Höe von 47 mm wird so plaiert, dass der kürere Scenkel mit einer Länge von cm gerade am Beginn der Kontraktion endet. Der andere rectwinklige Arm mit 3 cm Seitenlänge eigt senkrect auf die Strömung ur Kanalmitte in. Der öcste Punkt wird genau auf die Ecke am Kontraktionseginn plaiert. Die Reduktion der Wassertiefenmaxima der Messungen infolge des Diffraktors ist signifikant. Die in Figur 5.7 als Stern dargestellten Messwerte mit Diffraktor geen leider nur die Maximalwerte wieder und nict das gane Profil. Für die Berecnungen mit Diffraktor, wie aus Figur 5.7 ersictlic, liegen die Werte nur geringfügig unter denjenigen one Diffraktor Gefälle Figur 5.8: Plot für 3º Gefälle, F=4., L k =.8 m, =.5 m Für ein Gefälle von 3 Grad wurden die Berecnungen analog u denjenigen in der Eene durcgefürt. Die Stosswelle in Figur 5.8 wird gekrümmt. Da das Gefälle eine Bescleunigung ur Folge at, sinkt der Wasserspiegel und desal steigert sic die Froudeal. Der Stosswellenwinkel, der eine Funktion von F ist, wird dadurc eenfalls

83 Flacwassergleicungen verändert. Die feine gekräuselte Oerfläce in Figur 5.8 ist nict das Resultat der numeriscen Berecnung. Es andelt sic nur um ein künstlic generiertes Wellenmuster durc Veränderung der Wassertiefe um maximal ±5% mit einem Zufallsgenerator. Das Asinken der Wassertiefe kann eim Profil entlang der Symmetrieacse in Figur 5.9 gut eoactet werden.. Figur 5.9: Wand- und Acsprofil für ein Gefälle von 3 ; Messwerte nac REINAUER [995] Die Berecnungen eigen den Beginn der Stosswelle ei x=.5 m und einer daugeörigen Tiefe von =.5 cm, die experimentellen Werte liegen ei x=.85 m und =.5 cm. Das Maximum entlang der Acse liegt experimentell ei x=3.5 m mit =3.9 cm. Die Berecnungen ergeen dasssele Maximum für x=3.3 m mit =.5 cm. Für dieses Gefälle ist kein Plateau entlang der Acse festustellen, da die negative Stosswelle, ausgeend vom Kontraktionsende, so mit der positiven Welle interferiert, dass sic das Maximum der Wassertiefe an der Acse scnell reduiert. Ascliessend u den Versucen mit Gefälle sei in Figur 5. eine Kontraktion mit Gefälle von dargestellt. Dau liegen keine Messwerte vor. Die Lage des ersten Maximum entlang der Wand liegt für dieses Gefälle gerade noc inneral des Recennetes. Im Gegensat ur 3 geneigten Kanalkontraktion ist das Plateau wieder ausgeprägt u eoacten.

84 5. Flacwassergleicungen Figur 5.: Wand- und Acsprofil für ein Gefälle von 5... Strömungsusammenruc und Auslasen Aus der Literatur ist wenig üer das Auftreten dieses Pänomens u erfaren. Einig HENDERSON [966] git für die Kontraktion mit geraden Seitenwänden Scranken für das Auftreten des 'coking' an. Beim coking andelt es sic um ein instationäres Pänomen, welces ei Kontraktionen infolge einer Reduktion der Froudeal ervorgerufen wird und durc einen wandernden Wassersprung carakterisiert werden kann Teoretisc Teoretisc sind drei Bereice ausumacen. Die numeriscen Grenwerte dieses Prolems sind einig aängig von der Zufluss-Froudeal und dem Kontraktionsverältnis ω. Da das von REINAUER [995] enutte Modell ein Kontraktionsverältnis von ω=.6 aufwies, werden die Grenwerte für dieses Verältnis angegeen. Bei Froudealen kleiner als F=.3, aer immer noc sciessendem Afluss, stellt sic durc Reduktion der Froudeal am Kontraktionsende ein Wassersprung ein, der durc die Kontraktion stromaufwärts wandert und an deren Fuss stationär wird.

85 Flacwassergleicungen Werden die Zufluss-Froudealen grösser als 3.7, so tritt kein 'coking' mer auf (HENDERSON [966]) und das u erwartende Stosswellenmuster tritt auf. Im Bereic wiscen F=.3 und F=3.7 sind eide Zustände möglic, sowol das Stosswellenmuster, als auc die Ausildung eines Wassersprunges gerade oeral der Kontraktion. Die Zustände sind stail, falls sic an den Bedingungen nicts ändert. Wird nur in geringem Ausmass der Afluss eeinflusst, so kann der Zustand kippen Experimentell Experimentell eoactete REINAUER [995] den Strömungsusammenruc des stailen Stosswellenmusters, ei langsamer Zurückname der Froudeal unter.4. Im Fall des Experimentes wird von einem stationären, realen Strömungsfeld mit öerer Froudeal ausgegangen und die Zufluss-Froudeal sukessive erniedrigt. Der Fall des Auslasens tritt nac REINAUER [995] ei ca. F=3. ein. Beginnend mit einem Wassersprung oeral der Kontraktion und kleinem F wird der Zufluss kontinuierlic gesteigert, is der immer öer werdende, sic aer nict verscieende Wassersprung plötlic in Aflussrictung u wandern und sic im Oerwasser das Stosswellenmuster ausuilden eginnt. Dieses Auslasen des Wassersprunges erfolgt ei einer grösseren Froudeal als der Zusammenruc, da mer Energie aufgewendet werden muss, um die im Wassersprung entaltene Energiedissipation u üerwinden Numerisc Ausgeend von einem imaginären Strömungsfeld mit Afluss an jedem Knoten identisc demjenigen am Zuflussrand, d.. q= m /s und p je nac Froudeal konstant und eenem Wasserspiegel =5 cm, wird der stationäre Zustand gesuct. Für Froudealen grösser als F=.45 entstet für die oriontale Sole mit Strickler k=3. m 3 / s mit Upwind das typisce Stosswellenmuster, wie es in Figur 5.4 dargestellt ist.

86 5. Flacwassergleicungen Figur 5.: Instationärer Wassersprung ei F=.45 Fällt die Froudeal unter.4, so eginnt sic eine Stosswelle ausuilden, erreict noc die Symmetrieacse, doc entstet dann langsam am Kontraktionsende ein Wassersprung, der üer die gesamte Kontraktion urückwandert und dann am Ende der ersten Elementreie, die ugleic den Beginn der Verengung markiert, Halt mact. In Figur 5. ist ein Plot für einen solcen instationären Wassersprung dargestellt. Für die Erielung einer gekräuselten Oerfläce ist ier dassele Verfaren angewandt worden, wie für Figur 5.8. Genaueres Einscränken mit kleineren Froudealunterscieden wurde angesicts des iemlic instailen Zustands, der dieses Pänomen kenneicnet, nict gemact. Die Üereinstimmung von Teorie, Experiment und numeriscer Simulation ist für den Fall des Stömungsusammenrucs ervorragend. Die in Figur 5. gegeenen Bilder eigen deutlic die Entwicklung des Wassersprunges ausgeend vom Stosswellenmuster is in um stationären Zustand mit dem Wassersprung u Beginn der Kontraktion. a) Zeit: t=. sec, min.(weiss): 5 mm

87 Flacwassergleicungen ) Zeit: t= 5.5 sec, min. (weiss): 47 mm, max. (scwar): 9 mm c) Zeit: t= 3.65 sec, min. (weiss): 47 mm, max. (scwar): 7 mm d) Zeit: t=.65 sec, min. (weiss): 47 mm, max. (scwar): 73 mm e) Zeit: t= 38.5 sec, min. (weiss): 35 mm, max. (scwar): 7 mm

88 5. Flacwassergleicungen f) Zeit: t= 4.65 sec, min. (weiss): 5 mm, max. (scwar): 64 mm Figur 5. a) - f): Entwicklung der Wassertiefe für Strömungsusammenruc ei F=.4 Die numerisce Simulation des Auslasens gestaltete sic etwas scwieriger. Langsames Steigern des Zuflusses fürte is F=5 nict u einem Auslasen des Wassersprunges. Ausgeend von einem stationären Zustand mit F=., d.. mit einem Wassersprung u Beginn der Kontraktion, wurde der Afluss plötlic stark gesteigert. Bis u F=3. ändert sic einig die Wassertiefe unteral des Wassersprunges. Für F>3 aer kleiner als 3.5 eginnt sic der Wassersprung langsam in die Kontraktion inein u verscieen, fällt dann aer wieder in die Ursprungsposition urück. Grössere Froudealen als F=3.7 füren dann u einem wirklicen Auslasen, wie es auc in Figur 5.3 u erkennen ist. Da sic die Messungen wegen der Instailität iemlic scwierig gestalteten und ereits auf kleinste Scwankungen in den Zuflussedingungen sensitiv reagierten (REINAUER [995]), sind ei der Berecnung änlice Scwierigkeiten u erwarten. a) min. (weiss): 5 mm, max. (scwar): 47 mm

89 Flacwassergleicungen ) min. (weiss): 43 mm, max. (scwar): mm c) min. (weiss): 9 mm, max. (scwar): 86 mm d) min. (weiss): 9 mm, max. (scwar): 77 mm e) min. (weiss): 46 mm, max. (scwar): 78 mm