8 Nichtlineare Probleme

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1 8 Nictlineare Probleme 8.1 Beispiele nictlinearer elliptiscer Differentialgleicungen Nictlineare elliptisce Differentialgleicungen gewinnen durc scnellere Recner und bessere Diskretisierungsmetoden zunemend an Bedeutung. Die biser als Beispiele angegebenen klassiscen Differentialgleicungen erweisen sic bei näerer Betractung allesamt als nictlinear. In der Wärmeleitungsgleicung divadu) = f ängt die Temperaturleitfäigkeit a von der Wärmeleitfäigkeit, der Dicte und der spezifiscen Wärme ab. Auc wenn man die letzten beiden als konstant anseen kann, ängt die Wärmeleitfäigkeit von der Temperatur ab. Damit ist div au)du) = f mit einer Funktion au), die experimentell bestimmt wird, ein genaueres Modell für die Wärmeleitung in einem Körper. Ein änlicer Typ von Gleicung sind Diffusionsgleicungen für Stoffkonzentrationen u = u 1,...,u N ) in einem flüssigen Medium, d i u i = F i u), i = 1,...N, wobei d i > 0 der ier als konstant angeseene Diffusionskoeffizient des Stoffs i ist. Die recte Seite bescreibt die Interaktion zwiscen den Konzentrationen, beispielsweise eine cemisce Reaktion. Die biser betracteten Gleicungen besaßen nur Nictlinearitäten in u und werden als semilinear bezeicnet. Die allgemeine quasilineare Gleicung zweiter Ordnung in Divergenzform ist d D i F i x, u, Du) = F 0 x, u, Du), i=1 wobei der Name Divergenzform sic darauf beziet, dass man sie in der Form divf = F 0 screiben kann mit F = F 1,...,F d ). Man beacte, dass das D i sic auf alle Variablen erstreckt, in denen das x i vorkommt, d d d D i F i = Fi,xi + F i,u D i u + F i,pj Diju 2 ), i=1 i=1 wobei der besseren Lesbarkeit alber F i x, u, p) gescrieben wird mit p Ê d. F i,xi, F i,u, F i,pj sind die partiellen Ableitungen der F i nac den einzelnen Variablen. Die Gleicung eißt quasilinear, weil sie noc linear in den zweiten Ableitungen Dij 2 u ist. Die Gleicung eißt elliptisc in x Ω, wenn die Koeffizienten vor den zweiten Ableitungen eine reell-positive Matrix bilden, wenn also j=1 d F i,pj x, ux), Dux))η i η j > 0 η Ê n \ {0}, i,j=1 erfüllt ist. Die Bedingung der Elliptizität ängt ier von der Lösung selber ab und sie brauct auc nict in allen Punkten von Ω erfüllt zu sein, was allerdings selten vorkommt. Quasilineare Aufgaben entsteen oft in der Festkörpermecanik, die Auslenkung einer Membran wird äufig mit dem quasilinearen Modell bescrieben. divfdu) = f, F : Ê d Ê d, 8.2 Das Newton-Verfaren Sei f : Ê n Ê n. Zur Lösung von fx) = 0 wält man einen Startvektor x 0 Ê n und bestimmt, sofern möglic, die Iterierten des Newton-Verfarens x k+1 = x k Dfx k ) 1 fx k ), k = 0, 1,

2 Ist f C 2 und ist Df in der Nullstelle x regulär, so gilt lokal die Felerabscätzung x k+1 x c x k x 2. Das Newton-Verfaren ist also quadratisc konvergent: Liegt x k nae bei x, so verdoppelt sic in jedem Newtonscritt die Anzal der gültigen Stellen. Für x 0 in einer möglicerweise ser kleinen Umgebung Ux) konvergieren die Iterierten des Newton-Verfaren gegen x. Man kann durc eine Dämpfung des Newton-Verfarens die Konvergenzumgebung Ux) ereblic vergrößern. Dazu überlegen wir uns als erstes, dass die Newton-Rictung d k = Dfx k ) 1 fx k ) eine Abstiegsrictung für das Funktional x) = fx) 2 ist. Es gilt nämlic d dt xk + td k ) t=0 = 2 fx), Dfx k )d ) = 2 fx k ), Dfx k )Dfx k ) 1 fx k ) ) = 2 fx k ) 2. Ist also fx k ) 0 und Dfx k ) regulär, so steigen wir in x k + td k für genügend kleines t ab. Das Standardbeispiel ierzu ist für n = 1 die Funktion fx) = arctanx. Für x 0 genügend groß zeigt fx 0 )/f x 0 ) zwar in Rictung der Nullstelle x = 0, aber es kommt zu einem Überscießen: Die Iterierten alternieren und nemen betragsmäßig immer mer zu. Besser wäre daer der Algoritmus t 0 = argmin t 0,1] fx k + td k ), d = Dfx k ) 1 fx k ), x k+1 = x k + t 0 d k, der in dieser Form natürlic kaum durcfürbar ist. Im gedämpften Newton-Verfaren verwendet man im einfacsten Fall ein Bisektionsverfaren: t=1. i=0 1 ifi==imax) stop if fx+td) < fx) ) ten x=x+td else i=i+1 t=t/2 goto 1 endif Den möglicen Fall, dass die Iterierten gegen ein lokales Minimum von fx) konvergieren, erkennt man daran, dass irgendwann das Programm mit i=imax ausgestoppt wird. Ein Scritt des Newton-Verfarens verlangt die Berecnung von Dfx k ) und die Lösung eines linearen Gleicungssystems. Der numerisce Aufwand zur Bestimmung von Df kann eventuell reduziert werden, indem man Differenzenquotienten verwendet D j + f i x) = 1 f ix + e j ) f i x)). Ist f 1 und ε die Mascinengenauigkeit, so ist mit einem Rundungsfeler von cε/ bei Auswertung des Differenzenquotienten zu recnen. Da der Differenzenquotient von erster Ordnung konsistent ist, eralten wir bei D 2 jj f i 1 die Abscätzung D j f i x) D + j,gerundet f ix) D j f i x) D + j,exakt f ix) + D + j,exakt f ix) D + j,gerundet f ix) c + ε ). Die recte Seite wird minimal für die Wal ε, was zu einer Genauigkeit des Differenzenquotienten von c ε fürt. Bei den eutigen Recnern ängt die Recengescwindigkeit kaum von der 107

3 verwendeten Genauigkeit ab, solange letztere im Ramen bleibt. Man kann also die f i und den Differenzenquotienten in öerer Genauigkeit bestimmen und dann in normaler Recengenauigkeit abspeicern. Formeln öerer Ordnung für die partielle Ableitung, wie sie früer empfolen wurden, benötigen mer Auswertungen von f i und sind in der eutigen Zeit zur Approximation von Df obsolet. Homotopie-Verfaren Um an gute Startwerte zu kommen, kann man eine Homotopie gx, t) = 0 versucen mit g : Ê n [0, 1] Ê n, so dass gx,0) = 0 leict zu lösen und gx,1) = fx) erfüllt ist. Ist D x g regulär entlang xt), t)) mit gxt), t) = 0, so existiert nac dem Satz über implizite Funktionen diese Lösungskurve. Allerdings verlangt die Definition einer solcen Homotopie ein gewisses Verständnis der Problemstellung, naeliegende Homotopien wie gx, t) = tfx) + 1 t)i füren meist nict zum Ziel. Beispiel 8.1 Wir betracten die Auslenkung eines ebenen inkompressiblen Materials, das im einfacsten Fall durc Fv) = Dv 2 2fv)dx Min in H 1 Ω) 2 modelliert wird mit den Neben- und Randbedingungen Ω det Dv = 1 in Ω, v = g auf Γ. Da det Dv die lokale Fläcenverzerrung der Abbildung v angibt, bedeutet detdv = 1, dass das Material inkompressibel ist, was z.b. für Gummi gut erfüllt ist. Ω ist ier das Recteck 0, 10) 0, 1). Die Randbedingung und die intendierte Lösung u kann man der folgenden Skizze entnemen. Γ Ω Γ u Durc bloßes Zusammendrücken, also one äußere Kräfte f = 0), soll das Band seitlic erausgedrückt werden, wozu am recten Randteil von Γ die Bedingung v10, y) = v6, y), 0 y 1, gestellt wird. Naeliegend ist ier eine Homotopie der Randbedingung v t 10, y) = t, y), bei der t von 10 nac 6 langsam eruntergefaren wird. Da die unsymmetrisce Lösung erst ab einem kritiscen Parameter t 0 existiert, erält man durc diese Homotopie nur die symmetrisce Lösung, bei der der freie Rand sic nac oben und unten ausbeult. Zum Ziel fürt, zunäcst die identisce Randbedingung v10, y) = 10, y) zu nemen und stattdessen mit f 2 x, y) = t die Scwerkraft einzuscalten. Nacdem das Band sic genügend abgesenkt at, drückt man den recten Rand mit der oben angegebenen Homotopie zusammen und zum Scluß nimmt man wieder die Scwerkraft eraus. Sei g : Ê n [0, 1] Ê n eine für unsere Zwecke genügend glatte Homotopie-Funktion, so dass das Problem gx,0) = 0 mit dem Newton-Verfaren gelöst werden kann. Algoritmus 8.2 Homotopie-Verfaren). 1) Sei t 0 = 0 und x 0 die Lösung von gx 0, t 0 ) = 0. Wäle t 0 t min. 2) Sei x k die Lösung von gx k, t k ) = 0 und t k vorgegeben. Löse 8.1) gx, t k + t k ) = 0 mit Start 8.2) x = x k. 1. Fall: Mit Hilfe des Newton-Vefarens bekommt man eine Lösung x von 8.1). Setze 108

4 x k+1 = x, t k+1 = t k + t k. Ist t k+1 = 1, so STOP. Andernfalls setze t k+1 = 1.5 t k. Wenn t k + t k+1 > 1, so t k+1 = 1 t k. Setze k = k + 1 und gee nac 2). 2. Fall: Das Problem 8.1) ist mit dem Newton-Verfaren nict lösbar. Setze t k = t k /2. Ist t k < t min, so STOP. Andernfalls gee nac 2). Man nennt 8.2) den Prädiktor und 8.1) den Korrektor. Bessere Prädiktoren sind möglicerweise Sekanten-Prädiktor: x k + t k t k 1 x k x k 1 ) Tangenten-Prädiktor: x k t k D x gx k, t k ) 1 g t x k, t k ) Der Tangenten-Prädiktor berut auf dem Satz über implizite Funktionen: Ist D x gx, t) regulär und D t gx, t) 0, so ist ein Tangentenvektor durc x t) = D x gx, t) 1 D t gx, t) gegeben. Der Tangenten-Prädiktor kommt vor allem bei voll besetzten Systemen in Betract, weil man die LR- Zerlegung von D x gx, t k ) als Näerung von D x gx k, t k ) verwenden kann, wobei x die Newton- Iterierte vor x k ist. Alles in allem ist das Newton-Verfaren die erste Wal, um ein großes nictlineares Gleicungssystem anzugeen. Die carakteristisce Scwierigkeit, gute Startwerte zu finden, ist jedoc für große Gleicungssysteme unspezifisc und daer kein Gegenstand weiterer Untersucungen. 8.3 Das SOR-Newton-Verfaren Zur Lösung des nictlinearen Systems f i x) = 0, 1 i n, in x Ê n kann man wie bei den Relaxationsverfaren für lineare Geicungssysteme versucen, die i-te Gleicung f i..., x i,...)! = 0 durc Änderung von x i zu erfüllen. Da dies der Lösung einer eindimensionalen nictlinearen Gleicung entsprict, liegt es nae, die exakte Lösung durc einen Newton-Scritt zu ersetzen x neu i = x alt i f ix alt ) D i f i x alt ). Get man mit dieser Vorscrift durc die Gleicungen und ersetzt die alten Werte sofort durc die neuen, so erält man das Gauß-Seidel-Newton-Verfaren. Mit einem Relaxationsparameter 0 < ω < 2 bekommen wir das SOR-Newton-Verfaren x neu i = x alt i ω f ix alt ) D i f i x alt ). Ist fx) = Ax b, so ist D i f i x) = a ii und das SOR-Newton-Verfaren stimmt mit dem SOR- Verfaren zur Lösung von Ax = b überein. Es dürfte klar sein, dass das Verfaren nur funktioniert, wenn die Ableitung D i f i eine gewisse Dominanz über die anderen Ableitungen D j f i besitzt. Löst man ein nictlineares Gleicungssystem mit dem Newton-Verfaren und verwendet für die entsteenden linearen Gleicungssysteme das SOR-Verfaren, so färt man meist besser, wenn man stattdessen gleic das SOR-Newton-Verfaren nimmt. Allerdings muss man gerade am Anfang, wenn die Iterierten noc nict so gut sind, mit dem Relaxationsparameter vorsictig sein. Der Vergleic mit dem gedämpften Newton-Verfaren zeigt deutlic, dass Unterrelaxation eine Möglickeit ist, die Konvergenzeigenscaften des Verfarens zu verbessern. 109

5 8.4 Das nictlineare CG-Verfaren Für f : Ê n Ê, f C 2 konvex, ist fx) Min im Ê n zu bestimmen. Die Hesse-Matrix D 2 f ist dann wie immer symmetrisc und wegen der Konvexität von f auc positiv-semidefinit. Algoritmus 8.3 Nictlineares CG-Verfaren). 1) Wäle x 0 Ê n und setze d 0 = Dfx 0 ). 2) Sei x k Ê n mit Sucrictung d k bereits bestimmt. Setze Bestimme Setze nun k = k + 1 und gee nac 2). α k = argmin α>0 fx k + αd k ), x k+1 = x k + α k d k. β k = g Dfx k+1 ), Dfx k ), d k) Ê, d k+1 = Dfx k+1 ) + β k d k. Die eindimensionale Funktion zu Anfang von Scritt 2) φα) = fx k + αd k ) ist konvex in α. Zur Minimierung von φ bestimmt man daer die Nullstelle von φ mit dem Newton- Verfaren. Die dazu benötigten ersten und zweiten Ableitungen von φ berecnet man mit den Differenzenquotienten φ α) = 1 φα + ) φα) ), φ α) = 1 2 φα + ) 2φα) + φα ) ), weil die Bestimmung über die Kettenregel viel zu aufwendig ist. Auc bei strikt konvexem f muss das Newton-Verfaren gedämpft werden. Als Beispiel kann man analog zu Abscnitt 8.2 φα) = α 0 arctanξ dξ nemen, die Nullstellenbestimmung von φ gelingt für alle Startwerte nur mit dem gedämpften Newton-Verfaren. Die Funktion g bildet das Kernstück des Verfarens, weil mit irer Hilfe Dfx k+1 ) an die alten Suctictungen fast) ortogonalisiert werden soll. Dazu gibt es untersciedlice Vorscläge Fletcer und Reeves: β k = Dfxk+1 ) 2 Dfx k ) 2 Dfx k+1 ), Dfx k+1 ) Dfx k ) ) Polak und Ribière: β k = Dfx k ) 2 Dfx k+1 ), Dfx k+1 ) Dfx k ) ) Hestenes und Stiefel: β k = d k, Dfx k+1 ) Dfx k ) ). Alle diese Formeln füren zum klassiscen CG-Verfaren, wenn wir sie auf quadratisce Funktionale der Form fx) = 1 2 Ax, x) b, x) anwenden. In diesem Fall ist Dfxk ) = b Ax k = r k, was die Formel von Fletcer und Reeves beweist. Wie wir bereits besprocen aben, gilt für die Iterierten des CG-Verfarens d k, r k+1 ) = r k, r k+1 ) = 0 sowie r k, d k ) = r k 2, womit auc die Formeln von Polak und Ribière bzw. Hestenes und Stiefel mit dem klassiscen CG übereinstimmen. Die Formel von Polak und Ribière ist nac Angaben in der Literatur besser geeignet als die anderen Formeln. 110

6 Als Vorkonditionierer kommen spd Matrizen P k in Frage, die die Hesse-Matrix D 2 fx k )) approximieren. Im Anfangsscritt setzt man d 0 = P0 1 Dfx 0 ). Die Minimierung von φα) = fx k +αd k ) bleibt eralten. Die neue Sucrictung wird bestimmt durc s k+1 = P 1 k+1 Dfxk+1 ) d k+1 = s k+1 + β k d k mit z.b. β k = Dfx k+1 ), s k+1 s k) Dfx k ), s k. ) 8.5 Das nictlineare Mergitterverfaren Zur Herleitung des nictlinearen Mergitterverfarens geen wir zunäcst vom Zweigitterverfaren für die lineare Gleicung L u = f in V aus. V H sei der Grobgitterraum mit Transferoperatoren P : V H V und R H : V V H. Der Defekt d = f L u alt wird bestimmt und die exakte Defektkorrektur L v = d wird durc das Grobgitterproblem 8.3) L H v H = R H d ersetzt. Die Korrektur ist dann 8.4) u neu = u alt + P v H. Im Full Approximation Sceme FAS) stet auf dem Grobgitter immer eine Näerung der aktuellen Iterierten des Feingitters 8.5) L H u H = L H R H u alt ) + R Hd mit Korrektur 8.6) u neu = u alt + P u H R H u alt ). 8.3),8.4) und 8.5),8.6) sind äquivalent: Aus 8.5) folgt und mit 8.6) u H = R H u alt u neu + L 1 H R Hd = R H u alt + v H = u alt + P v H. Obwol u alt P R H u alt ist es ein scwerer Feler, 8.6) zu ersetzen durc uneu = P u H. Man kann das Scema 8.5),8.6) für die Lösung nictlinearer Gleicungen A u = 0 übernemen. Da auf dem Grobgitter in jedem Fall Gleicungen der Form A H u H = f H zu lösen sind, betracten wir ier das Zweigitterverfaren zur Lösung von A u = f. 8.5),8.6) ergibt dann die nictlineare Defektgleicung 8.7) A H u H = A H R H u alt ) + R Hf A u alt ), die mit Start u H = R H u alt exakt oder näerungsweise gelöst wird. Die Korrektur ist dann wieder u neu = u alt + P u H R H u alt ). nae beieinander, so können wir in erster Näerung mit dem Mittel- Liegen u H und R H u alt wertsatz screiben Aus 8.7) folgt daer in erster Näerung A H u H A H R H u alt ) =! D H A H R H u alt ) u H R H u alt ).! 8.8) u H = R H u alt + D HA H R H u alt ) 1 R H f A u alt ). 111

7 Bei u H R H u alt andelt es sic bei 8.7) demnac um einen näerungsweisen Newton-Scritt auf dem Grobgitter. Sind u H und R H u alt weiter voneinander entfernt, so änelt 8.7) mer der regula falsi. In der Interpretation 8.8) ist daer d H = D H A H R H u alt ) 1 R H f A u alt ) die näerungsweise Sucrictung des Newton-Verfarens. Das gedämpfte nictlineare Mergitterverfaren ist daer A H u H = A H R H u alt ) + tr Hf A u alt ) mit einem Parameter 0 < t 1. Im Gegensatz zum Newton-Verfaren muss der Wert von t a-priori bekannt sein, wozu auc scon Strategien entwickelt wurden. Sicerer sceint es zu sein, t = 1 zu wälen und zunäcst ein provisorisces u H zu bestimmen, dass anscließend korrigiert wird. Ein solces Verfaren wird in der Mergitterversion im Folgenden bescrieben. Seien V 0,...,V m wieder endlic dimensionale Räume mit den üblicen Transferoperatoren R l : V l+1 V l und P l : V l 1 V l. A l : V l V l seien Operatoren und A m u m = f m sei in V m zu lösen. Mit w l = M l u l, f l ) bezeicnen wir das Ergebnis der nictlinearen Relaxation von A l u l = f l mit Start u l. In einfacen Fällen kann dazu das SOR-Newton-Verfaren aus Abscnitt 8.3) verwendet werden mit 0 < ω 1. sub- Algoritmus 8.4 Nictlineares Mergitterverfaren mit Line-Searc) recursive routine nmgl, γ, u l, f l )! l Level! γ Zal der rekursiven Aufrufe von mg! u l Startvektor und Iterierte für die Lösung von A l u l = f l, u l, f l V l!! Glätte den Defekt durc w l = M l u l, f l )! Bestimme das minimale Residuum und korrigiere t = argmin t 0,1] A l u l + tw l u l )} f l 2 u l = u l + tw l u l ) ifl==0) return! Bestimme recte Seite und Startvektor für die Grobgittergleicung f l 1 = A l 1 R l 1 u l ) + R l 1 f l A l u l ) u l 1 = R l 1 u l! Löse die Defektgleicung approximativ durc nmg Do i = 1, γ call nmgl 1, γ, u l 1, f l 1 ) enddo! Bestimme das minimale Residuum und korrigiere t = argmin t 0,1] A l ul + tp l u l 1 R l 1 u l ) ) f l 2 u l = u l + tp l u l 1 R l 1 u l ) Auf den zweiten Line-Searc zu verzicten, ist risikoreic. Wir atten ja bereits geseen, dass die Grobgitterkorrektur in etwa einem Newton-Scritt entsprict. Beide Line-Searces lassen sic natürlic durc ein Bisektionsverfaren wie in Abscnitt 8.2 ersetzen. Allerdings müssen die gefundenen Rictungen keine Abstiegsrictung für das Residuum sein. Das Newton-Verfaren und das nictlineare Mergitterverfaren im Vergleic: NMG benötigt viele Auswertungen von A l. Ist eine solce Auswertung teuer, kommt eer das Newton-Vefaren in Betract. 112

8 Nictlineare Relaxation ist oft natürlicer. Bei Nictlinearitäten der Form u D)u wie sie in den Navier-Stokes-Gleicungen vorkommen, kann man die zugeörige quadratisce Gleicung auc direkt lösen. Bei nictdiffferenzierbaren Operatoren ist NMG noc definiert, das Newton-Verfaren nict. Es gibt keine natürlice Definition von A H wie wir es von linearen Operatoren L kennen, nämlic L H = R H L P. 113