2.3. Eigenschaften integrierter Mikrospulen mit hochpermeablen Kernen

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1 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen.3. Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen.3.. Die Spiegelungsmetode Nac der Berecnung der Magnetisierung des Kernes durc das u messende Feld soll nun die Magnetisierung durc die aus Metall-- und Metall--Leitanen um den Kern gewickelten Spulen erfolgen. A..9 eigt die u erecnende Anordnung esteend aus einer Al- Leitan und dem Permalloykern. Aus der Lösung dieses Prolems können elieige Spulenkonfigurationen durc Üerlagerung der Lösung erecnet werden. SiO µ r = a Al Medium µ r = 5 NiFe d Medium µ r = SiO A..9: Grundlegende Anordnung ur Felderecnung Medium 3 Prinipiell könnte die Betractung auc mit der in Kapitel. erläuterten Metode erfolgen. Allerdings ist daei die Anname von omogener Magnetisierung innneral der diskretisierten Bereice prolematisc, da die Felder in der Umgeung stromfürender Geiete im Allgemeinen inomogen sind und somit ser kleine Bereice gewält werden müßten. Die Spiegelungsmetode kommt one Diskretisierung aus und ist damit vor allem ur Diskussion der Feldverältnisse ei starken Feldänderungen und für Parametervariationen prädestiniert. Zur Beandlung der Magnetisierung kann unäcst wieder von den Mawellscen Gleicungen (.), (.) und (.3) für den stationären Fall ausgegangen werden. Die quasistatisce Erweiterung mit Betractung der Wirelströme, die wegen der Wecselfeldanregung notwendig ist, erfolgt in Kapitel.7. Auc ier ist die integrale Formulierung der Feldgleicungen weckmäßig (F) d r = ( S D & )da (.4) F B d A =. (.4) ( V)

2 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen 3 War die grundlegende dee des Summationsverfarens die Zerlegung des Feldes in einen wirelfreien und einen quellenfreien Anteil, so asieren nun die Betractungen auf den Stetigkeitsedingungen für B und an den Grenfläcen. Betractet man einen infinitesimalen Umlauf um einen Bereic einer Grenfläce wiscen wei Materialien untersciedlicer Permeailität µ, µ wie in A.., µ µ A..: Grenfläcenedingungen so kann man ausgeend von Gleicung (.4), stationären Verältnissen D & = und einer fläcenstromfreien Grenfläce S = screien: Q lim d r = (.43) ( t t ) ds= (.44) P =. (.45) t t Die Tangentialkomponeten des Feldstärkevektors an einer Grenfläce sind gleic. Zur erleitung einer Beieung für die Flußdicte wird eine infinitesimale ülle etractet. da A..: Grenfläcenedingungen B da da =da Wendet man die Gleicung (.4) auf diese infintesimale Grenfläce an, erält man lim BdA = ( B B ) da = (.46) B F n n = B (.47). n n Als Berecnungsmetoden für Felder von entsprecenden Anordnungen, die (.45) und (.47) genügen, werden in der Literatur die Spiegelungsmetode und die Metode der konformen Aildung angegeen. Die Spiegelungsmetode wurde für Berecnungen an Mikro-

3 4 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen stripleitungen erfolgreic enutt /WE 7/, die änlice Geometrieverältnisse wie die integrierten Spulen nac A..9 aen. Die Spiegelungsmetode nac /MLY 9/ ist ein syntetisces Lösungsverfaren für statisce und stationäre Felder im ascnittsweise omogenen Raum. Es erut auf wei wesentlicen Eigenscaften von Feldern:. Quellen und Wirel sowie Potentiale eines Feldes sind elieig superponierar. Dies gilt auc für die Feldkomponenten (E- und - Feldstärken) selst. Randedingungen sind ingegen nict superponierar.. Ein Feldprolem at ei vorgegeenen Feldursacen (Quellen, Wirel, eingeprägte Feldstärken) und Randedingungen (Geometrieeigenscaften, Äquipotentialfläcen, Trennfläcen) eine eindeutige Lösung. D.., at man ein Feld (durc Berecnung, gescickte Annamen, Erraten etc.) gefunden, das sowol die Feldursacen als auc die Randedingungen erfüllt, so ist dieses auc die eakte Lösung des Prolems. Umgekert allerdings kann ein gegeenes Feld in Teilereicen Lösung mererer Feldproleme sein. Diese Eigenscaften. und. mact man sic nun ei der Spiegelungsmetode unute, indem man folgende Scritte durcfürt:. Man unterteilt den u erecnenden Raum in omogene Teilräume T, T,..., T n. Daei wird man natürlic gegeene Geometrien (Trennfläcen etc.) erücksictigen, um das Prolem so einfac wie möglic u alten.. Zur Berecnung des Feldes im Teilraum T i wird vorüergeend angenommen, daß der gesamte Raum die Eigenscaften von T i esitt. Die dadurc wangsläufig auftretenden Veränderungen des Feldes werden dadurc kompensiert, daß man usätlice Feldquellen und -wirel günstig außeral von T i legt. Daei at man viele Freieitsgrade. Geometrisce Üerlegungen (Symmetrien etc.) elfen ei der günstigen Wal. 3. Das Feld wird mit den noc freien Parametern (Art, Anal, Ort und Betrag der Feldursacen) allgemein estimmt. Es ist jedoc nur für T i gültig. Fürt man dies für alle n Teilgeiete durc, so erält man n allgemeine Felder. 4. Durc Einseten dieser Felder in die Randedingungen werden die darin entaltenen Parameter estimmt. 5. Erneutes Einseten der estimmten Parameter in die Felder der Teilräume liefert scließlic den Feldverlauf im gesamten Raum. Zunäcst werden entsprecend /SC 9/, /LE 86/ die Spiegel- und Ersatquellen für einen linienförmigen Strom ei = d in einem alraum m der Permealität µ m gegenüer einem alraum n mit der Permeailität µ n erecnet (-Medienprolem in A.. a).

4 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen 5 A.. a) Originalstrom ) Spiegelstrom für Medium m c)ersatstrom für Medium n Um die Randedingungen u erfüllen, werden eine Ersatquelle T mn für das Medium n A.. ) und eine Spiegelquelle S nm für das Medium m A.. c) angesett. Das Feld eines Linienstromes in y-rictung lautet: = π [ ] ( ) Damit können die Feldstärken der einelnen Quellen angeen werden : Originalquelle: Spiegelquelle: Ersatquelle: = π S T = = [ ( ) ] ( ) d S nm [ ( ) ] ( ) d π T mn [ ( ) ] ( ) d π,,. (.48) ( d ),, (.49) ( d ),, (.5) ( d ) Daraus folgt für die Feldkomponenten in den eiden Feldereicen: und m m ( ) ( ) [ d ],,. (.5) ( ) ( ) d Snm d = π π [ d ] Snm = π [ ( d) ] π ( d) n n [ ] ( ) ( ) Tmn d = π [ d ] Tmn = π [ ( d) ] Mit den Gleicungen (.45) und (.47) ergit sic für = : und (.5) (.53) (.54). (.55) µ m m=µ n n (.56)

5 6 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen und daraus für und m = n (.57) n m Snm = µµ m n Tmn = µ µ µ m µ mµ n (.58). (.59) Nacdem nun ein Scema ur Konstruktion einer Lösung an einer Zweimediengrene eistiert, kann nac /SC 9/ /WE 7/ die Lösung für einen Linienstrom gegenüer einer ocpermealen Scict konstruiert werden. A..3: Linienstrom gegenüer ocpermealer Scict Zur Lösung werden daei awecselnd durc entsprecende Spiegel- und Ersatströme die Randedingungen an einer der Grenscicten erfüllt und damit an der anderen verlett, so daß für diese wieder Spiegel- und Ersatladungen angesett werden usw.. Zuerst wird ur Erfüllung der Randedingungen an der Mediengrene / für den Strom die Spiegelquelle S ei = - (a - d) für Medium und die Ersatquelle T ei = a für Medium angesett. Diese Ersatquelle verlett jedoc die Randedingungen an der Mediengrene /3. Desal wird für Medium 3 eine Ersatquelle T T 3 ei = a und für Medium eine Spiegelquelle T S 3 ei = - (a d) angesett. Die Fortsetung dieses Verfarens fürt u der in A..4 angegeenen Anordnungen von Spiegel - und Ersatströmen für die Felder in den einelnen Medien. Daraus ergeen sic dann die Summenformeln für Medium u ( n ) = (, d) (, a d) S T T (, a d n d) S (.6) ( n ) = (, d) (, a d) S T T (, a d n d) S (.6) und für Medium n = T (, d) T (, ( ) [ a n d]) S (.6) n = T (, d) T (, ( ) [ a n d]) S (.63) n n

6 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen 7 a4d Medium Medium Medium 3 T S 3S T S 3S T ad T S 3 S T S 3 S T a Originalstrom T T T -(a-d) S d -(ad) T S 3 T T S 3 -(a3d) T S 3S T T S 3S -(da) T S 3 3S T T S 3 3S A..4: Anordnung der Spiegel- und Ersatströme und für Medium 3 scließlic n = T T (, a n d) S (.64) n = T T (, a n d) S (.65) Daei gilt: S T = S = µ µ µ µ 3 S = µµ µ µ µ = µ µ T µ = T = µ µ 3 (.66) (.67) (.68) (.69) Um die Summenformeln nict unnötig u kompliieren, wurden die Äquivalenen S 3 = S und T = T 3, die aus dem gleicen µ für Medium und 3 resultieren, ereits in die Formeln eineogen.

7 8 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen Um die Rictigkeit des Ansates (8) is (37) nacuweisen, wurden die Summenformeln für die Bedingungen = ma, a =,5 µm und d =,5 µm in ein kleines C-Programm umgesett und die Normalkomponenten der Flußdicte B und Tangentialkomponenten der Feldstärken an den Grenfäcen für die jeweils aneinanderstoßenden Raumgeiete nac A..3 erecnet und miteinander verglicen. -Felder (tangential) Grenfläce / Grenfläce /3 - B [µt] - [µm] Grenfläce / B [mt] B [mt] B [mt] B-Felder (normal) [µm] [A/m] [µm] Grenfläce /3 B [µt] B [µt] B 3 [µt] A..5: Kontrolle der Randedingungen an den Grenfläcen von A..3 [µm] Wie A..5 eigt, erfüllt die erecnete Lösung alle Randedingungen, die Lösungen für die entsprecenden Feldkomponenten aneinander angrenender Feldereice sind an der Grenfläce identisc. Für die Realstruktur am Sensor ist jedoc nict das Feld einer Punktladung gesuct, sondern einer recteckigen Stromverteilung. n /SC 9/ und /WE 7/ wird das Prolem durc eine entsprecende Anordnung von Linienladungen gelöst. Eleganter ist es, das aus dem Geset von Biot-Savart oder dem Vektorpotential erecnete Feld in die Gleicungen (.6) is (.65) einuseten. Dau etractet man in A..6 unäcst wei differentielle Ströme im differentiellen Astand d und d mit einer Stromdicte S in y-rictung gegenüer einer ferromagnetiscen Scict und die ugeörigen Spiegel- w. Ersatströme, die das Feld in Medium 3 escreien.

8 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen 9 A..6: Spiegelströme mit differentiellem Astand ueinander Man erkennt leict, daß sic die Lagerelation wiscen den differentiellen Strömen durc die Spiegelungsoperationen nict ändert. Diese Tatsace und die Aussage. ur Superponierarkeit von Feldursacen ermöglict die Anwendung der Spiegelungsmetode auf elieige Stromverteilungen. Das Feld einer recteckförmigen Stromverteilung gemäß A..7 A..7: Recteckförmiger Stromleiter ergit sic im omogenen Medium nac dem Geset von Biot-Savart oder eleganter aus dem Vektorpotential für eene Feldproleme nac /WUN 89-/ V y = µ S rb ln r r da (.7) y 4 π A aufgescrieen für die Gegeeneiten von A..7 V y = µ π 4 rb ln dd (.7) ( ) ( ) und mit der Eickonstante des Vektorpotentials gewält u r B = sowie einigen Umformungen V y = µ 8 π [( ) ( ) ] dd ln (.7)

9 3 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen und einer umfangreicen Recnung u der im Anang A3 angegeenen Formel. Daraus erält man durc Rotationsildung die Feldstärke R = rot V y. (.73) µ Screit man (.7) nun für eine Folge von recteckigen Spiegelströmen eispielsweise für Medium 3 an, ergit sic V =T T y3 y 8 π ( ) ( [ ( ) ] n ln a n d S dd,(.74) und wegen der Vertauscarkeit der Operationen Summation und ntegration V =T T y3 y n [( ) ( ( a n d ) ] dd S n 8 ln (.75) = π [ y( )] n Vy3 =T T V, a n d S. (.76) Sett man (.76) in (.73) ein und vertausct die Summation mit der Rotationsildung ergit sic [ y ( )] n 3 =T T rot V, a n d S (.77) µ ( ) n 3 =T T R, a n d S (.78) d.. die Merfacspiegelungsmetode ist auc für Stromdicteverteilungen anwendar. Aus (.73) und der Formel für V y aus dem Anang lassen sic die Komponenten von R R = π ln arctan ln arctan arctan arctan (.79)

10 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen 3 R = π ln ln arctan arctan arctan arctan (.8) in Üereinstimmung mit /KUE 83/ erecnen. Damit wurde die Metode durc Einseten von (.79) und (.8) in die Lösung für eine Grenfläce und anscließendes analytisces Üerprüfen der Stetigkeitsedingungen an der Grenfläce und durc eine Recnung analog A..5 üerprüft. Für den Speialfall einer in -Rictung langgestreckten Stromelegung (Anname ei FEM- Recnungen für die usammengefaßten Einelleitanen) erält man daraus entsprecend /WUN 89-/ die vereinfacten Formeln = π arctan arctan (.8) w. = π arctan arctan (.83) und = π ln. (.84)

11 3 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen.3.. Ergenisse Mit dieser Metode wurde für eine typisce Spulenkonfiguration (4 Wdg. Meßspule wiscen je 5 Wdg. Anregungsspule ei.5 µm Kerndicke und µm Kernreite) für einen unäcst unendlic langen Kern für untersciedlice relative Permeailitäten der von der Meßspule umfaßte Fluß ei einer Stromstärke von ma erecnet. ca. 73 µm Anregungssp. Meßspule Anregungssp. d O l Kern.5 µm 5 Wdg. A..8: Typisce Spulenkonfiguration 4 Wdg. 5 Wdg. Daraus ergit sic die Gegeninduktivität M PE wiscen Anregungs- und Meßspule definitionsgemäß u: Φ Pick Wdg. M PE = Ec. (.85) Die Taelle Ta.. entält die Ergenisse der Recnung. µ R M PE [µ] lend Ta..: Aängigkeit von µ R A..9 veranscaulict den Zusammenang ei linearer Acsenteilung und logaritmiscer Acsenteilung.

12 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen 33 M PE [µ] M PE [µ] µ R µ R A..9: Aängigkeit der Gegeninduktivität M PE von µ r Ein weiterer interessierender Zusammenang estet wiscen der Gegeninduktivität wiscen Anregungs- und Meßspule M PE und der Oiddicke d O. d O [µm] M PE [µ] Ta..: Aängigkeit von der Oiddicke d O Die Grafik veranscaulict diesen Zusammenang. M PE [µ] d o [µm] A..: Aängigkeit der Gegeninduktivität M PE von der Oiddicke

13 34 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen Die Aängigkeit ist im tecnologisc interessierenden Bereic vernaclässigar klein. Für größere Astände (.B. µm in Ta..) nimmt die Gegeninduktivität mit steigender Oiddicke deutlic a. Eine Aängigkeit, die Gegenstand vieler Spekulationen war, ist die Aängigkeit von der Kerndicke, da diese u den tecnologisc kritiscen Parametern geört. d NiFe [µm] Ta..3: Aängigkeit von der Kerndicke d M PE [µ] Die Grafik veranscaulict auc diesen Zusammenang für lineare und logaritmisce Acsenteilung. M PE [µ] 3 M PE [µ] d [µm].. d [µm] A..: Aängigkeit der Gegeninduktivität M PE von der Kerndicke d Die vorsteenden Berecnungen gingen von der Anname eines in -Rictung unendlic langen Kerns aus. Zur Berecnung des Einflusses des Kernendes, d.. der Entmagnetisierung durc das Kernende, wird das Scema nac A..4 nac Anwendung in der -Rictung auf die daei gefundene Lösung nocmals in -Rictung angewendet. Die Zal der erforderlicen Spiegelungen ist wegen der scnelleren Konvergen daei deutlic geringer, da sic der A-

14 Eigenscaften integrierter Mikrospulen mit ocpermealen Kernen 35 stand der Spiegelströme jeweils um l Kern = 6 µm eröt gegenüer d = µm ei der Spiegelung in -Rictung. M PE [µ] l End l End [µm] A..: Aängigkeit der Gegeninduktivität M PE von der Länge des Kernendes l End Das Ergeniss in A.. eigt, daß die Gegeninduktivität wiscen wei Spulen am Ende eines Kernes edingt durc die Entmagnetisierung sinkt. Auffällig daei ist, daß das entsteende Scema von Spiegel- und Ersatströmen Änlickeit mit den Scemata ur erleitung Greenscer Funktionen /OBE 49/ at. Allerdings verscwindet ei den Greenscen Funktionen das Potential auf dem Bereicsrand. Sie stellen demnac den Grenwert der oigen Betractungen für µ r dar. Aus diesem Grund wurde auc auf die Suce von gesclossenen Ausdrücken für (.6) is (.65) verictet, da deren Eisten öcst unwarsceinlic ist und auc Greensce Funktionen oft als unendlice Summe.B. armoniscer Funktionen angegeen werden.