Die Brownsche Bewegung

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1 stellt einen grundlegenden Baustein der Wahrscheinlichkeitstheorie dar. Vordergründig ist sie ein mathematisches Modell der physikalischen Brownschen Bewegung, hat sich jedoch von dieser Motivation inzwischen vollständig gelöst und besitzt nun eine eigenständige Bedeutung. Wie der Poissonprozess lässt sie sich verteilungsfrei charakterisieren; bis auf triviale Modifikation ist die Brownsche Bewegung der einzige Lévy-Prozess mit stetigen Pfaden Grund hierfür ist der Zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller. Sie ist ein Limesobjekt, das etwa entsteht, wenn man eine einfache, symmetrische Irrfahrt S reskaliert. Präzise - man geht von S zur zufälligen Funktion X n mit Definitionsbereich [0, 1] über, indem man setzt 7.1 X n k/n := 1 Sk für 0 k n, k ganz; X n. ist affin dazwischen. n Hierbei ist n N ein Maßstabsparameter, der nach unendlich strebt. Definition 7.1. Brownsche Bewegung Ein stochastischer Prozess B t t [0,1] über einem W tsraum Ω,, P heißt standardisierte Brownsche Bewegung stbb, wenn er den nachstehenden Bedingungen genügt; die Verteilung auf BC[0,1] heißt Wienermaß. i B 0 = 0; ii B t t [0,1] besitzt stetige Pfade; iii für t 0 < t 1 <... < t k in [0,1] sind die Zuwächse B ti B ti 1, 1 i k, unabhängig; iv B t B s N0,t s für alle 0 s t 1. Bemerkung 7.2. ngenommen, eine stbb existiere, dann bestimmt die gemeinsame Verteilung der Zuwächse wegen B 0 = 0 die gemeinsame Verteilung der B t0,...,b tk, k N. Nach Proposition 6.19 ist die Verteilung von B t t [0,1] auf BC[0,1] damit festgelegt insofern hat das Wort Wienermaß einen eindeutigen Sinn. Man erhält unmittelbar i B t0,...,b tk, k N, sind gemeinsam normalverteilt; ii EB t = 0 und für s t cov B s,b t = cov Bs,B t B s + B s = s = mins,t. 53

2 Ungekehrt hat ein stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden und i, ii natürlich die in der Definition 7.1 angegebenen Eigenschaften i,iii und iv; d.h. man hat eine äquivalente Charakterisierung der Brownschen Bewegung als zentrierten Gaußprozess mit stetigen Pfaden und Kovarianzstruktur ii. Ein Gaußprozess ist ein stochastischer Prozess, dessen endlichdimensionalen Verteilungen sämtlich gaußisch sind In Vorbereitung auf den Existenzbeweis folgende Proposition 7.3. Sei X n n N eine Folge von Zufallsvariablen von Ω,, P in einen polnischen Raum E, d, d sei vollständig. Gibt es zwei strikt positive summierbare Folgen ε n n N und η n n N, so dass gilt P dx n,x n+1 > η n εn für alle n N, dann existiert eine Zufallsvariable X : Ω, E,d mit X = lim n X n f.s. BEWEIS. Wegen der Vollständigleit von E,d ist nur zu zeigen, dass X n f.s. eine Cauchy- Folge darstellt; dies folgt, sofern { P sup k,x l k,l mdx 1 } { P sup k,x l j k,l mdx 1 } = 0. j j=1 m=1 Letzteres ist der Fall, wenn gilt: η,ε > 0 m : j=1 m=1 P sup dx k,x l η k,l m ε. Sei nun m derart, dass n m ε n < ε und n m η n < η. Wegen sup k,l m dx k,x l n m dx n,x n+1 folgt die Behauptung. Satz 7.4. Standardisierte Brownsche Bewegungen existieren. BEWEIS. Wir konstruieren eine Folge zufälliger Polygonzüge B k., die jeweils auf dem Gitter G k := { i/2 k 0 i 2 k} durch Zufallsvariable definiert und dazwischen linear interpoliert sind; außerdem an den Gitterpunkten den Bedingungen der Definition 7.1 genügen. Das Konstruktionsprinzip ist wie folgt: und B 0 0 = 0, B 0 1 N0,1; B k+1 2i 2 k+1 := B k i 2 k ; B k+1 2i k+1 := B k i 2 k + 1 { B k i k B k i } 2 k + Z i,k+1, mit Z i,k iid N0,2 k+1. ngenommen, die Bedingungen i, iii und iv damit auch i und ii gelten für B k an den Gitterpunkten G k. Für die Zuwächse von B k+1 gilt 54

3 dann B k+1 2i k+1 B k+1 2i 2 k+1 = 1 { B k i k B k i } 2 k + Z i,k+1 N0,2 k+1 und B k+1 2i k+1 B k+1 2i k+1 = 1 { B k i k B k i } 2 k Z i,k+1 N0,2 k+1. Darüberhinaus sind die beiden Zuwächse unkorreliert und da normalverteilt auch unabhängig. Es ist offensichtlich, dass damit die Bedingungen i, ii und iv auch an allen Gitterpunkten von B k+1 erfüllt sind. Für den Supremumsabstand gilt nun db k,b k+1 = max i Z i,k+1 und damit P db k,b k+1 η k 2 k+1 P Z i,k+1 η k = 2 k+2 1 Φ η k 2 k/2+1 =: ε k, wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichne. Setzt man ferner η k := α k mit 2 1/2 < α < 1, so kann man mit der Ungleichung 1 Φu 1 2 exp u2 /2 leicht nachrechnen, dass k η k < und k ε k < gelten. Es folgt nach Proposition 7.3 die f.s.-konvergenz von B k. gegen ein B. in C[0,1], BC[0,1]. Es bleibt noch zu zeigen, dass auch B. die Eigenschaften iii und iv hat. Es ist unmittelbar klar für alle binären Punkte t = i/2 k, 0 i 2 k, i,k N, weil B an diesen Stellen gleich B k für hinreichend großes k ist. Für andere Punkte t [0,1] wählt man eine Folge binärer Punkte t k, welche gegen t konvergiert; die Zufallsvariable Bt ist f.s.- Limes von Bt k. Die Verteilung von Bt k konvergiert dann schwach gegen die Verteilung von Bt, auch wenn man mehrere Teilpunkte simultan approximiert, und iii und iv bleiben im Grenzwert erhalten. Bemerkung 7.5. Eine standardisierte Brownsche Bewegung auf der positiven reellen chse ist eine Zufallsvariable mit Werten in C[0,, die i, iii und iv aus Definition 7.3 sinngemäß für alle t i [0, erfüllt oder äquivalent i und ii. Hierbei sei C[0, versehen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf Kompakta wie im Beweis von Proposition 6.19 zeigt man B [0, C[0, = BC[0,. Eine stbb auf [0, erhält man beispielsweise, indem man die Pfade von einer Folge unabhängiger stbb s B n n N auf C[0,1] stetig aneinanderhängt: k 1 B t := B n 1 + B k t k 1 für k 1 t k. n=1 Es ist einfach einzusehen, dass das so definierte B eine stbb auf C[0, ist. Sofern nichts anderes gesagt ist, werden wir von jetzt an als standardisierte Brownsche Bewegung immer den Prozess mit [0, als Zeitparameter verstehen. 55

4 Proposition 7.6. Invarianzeigenschaften des Wienermaßes Sei B eine stbb in C[0,. Dann gilt i B ist eine Brownsche Bewegung Umkehrung des Ortes; ii c 1/2 Bc. ist eine Brownsche Bewegung Reskalierung von Ort und Zeit; iii Der stochastische Prozess Z, punktweise gegeben durch Z t := tb 1/t für t > 0 und Z 0 = 0, ist nach bänderung der Pfade auf eine P-Nullmenge eine standardisierte Brownsche Bewegung eine spezielle Inversion der Zeit. BEWEIS. Da alle Prozesse gaußisch und zentriert sind, ist es für die Verteilungseigenschaft ausreichend die gewünschte Kovarianzstruktur zu verifizieren, was offensichtlich ist; darüberhinaus für iii, dass Z f.s. rechtsseitig stetig in 0 ist. Sei nun t n ein Folge aus 0, mit t n 0, d.h. m n := [1/t n ]. Es gilt Z tn = t n B 1/tn = 1 1/t n m n i=1 Bi B i /t n B1/tn B mn. Wegen m n /1/t n 1 und der Unabhängigkeit der Zuwächse der stbb konvergiert der erste usdruck nach dem starken Gesetz der großen Zahlen gegen 0; ferner folgt mithilfe der später folgenden Proposition 7.21, dass P Bu B n > n ε = P sup u [n,n+1] sup B u > n ε u [0,1] 7.21 = 2PB 1 > n ε 1 2 exp n2ε /2. für jedes ε > 0. Die Suprema sind messbar, da man sie wegen der Stetigkeit von B auf [n,n + 1] Q bzw. [0,1] Q einschränken kann. Mit dem Lemma von Borel-Cantelli folgt 1 daraus, dass sup u [n,n+1] n Bu B n 0 f.s. und damit Ztn 0 f.s. man kann die usnahmemenge unabhängig von der Folge t n wählen. Bemerkung 7.7. Die Invarianz unter den bbildungen in ii nennt man auch die Selbstähnlichkeit der stbb: ein auf ein Teilintervall restringiertes Stück der stbb hat, nach geeigneter Skalierung von Orts- und Zeitkoordinate, die gleiche Verteilung wie die stbb im ganzen Intervall. Man beachte, dass es sich um eine stochastische Selbstähnlichkeit handelt, die sich auf das Verteilungsgesetz bezieht, nicht um eine pfadweise Selbstähnlichkkeit, wie man sie bei gewissen Cantorfunktionen antrifft. us der Brownschen Bewegung können weitere Prozesse aufgebaut werden. Einer der wichtigsten im Hinblick auf die Theorie empirischer Prozesse ist die Definition 7.8. Brownsche Brücke Sei B t t [0,1] eine stbb. Dann heißt der stetige Prozess B 0 mit B 0 t := B t tb 1 Brownsche Brücke. Äquivalent: Eine Brownsche Brücke ist ein zentrierter Gaußprozess mit 56

5 stetigen Pfaden und Kovarianzstruktur cov B s,b t = s1 t, 0 s t 1. Proposition 7.9. Sei B eine stbb. Setzt man L t := tb 1, dann gilt B t = L t + B 0 t, und L und B 0 sind stochastisch unabhängig. BEWEIS. Der erste Teil ist klar. Für die Unabhängigkeit muss man die Unabhängigkeit aller endlichdimensionalen Projektionen zeigen. Wegen cov L s,b 0 t = se B1 B t tb 1 = st t = 0 folgt im vorliegenden gaußschen Fall die Unabhängigkeit. Bemerkung Die ussage von Prop. 7.9 impliziert, dass man für jedes reelle a die Brownsche Bewegung unter der Bedingung {B 1 = a} rekonstruieren kann: Unter dieser Bedingung gilt B t = at + Bt 0, d.h. man erhält eine Brownsche Bewegung, indem man zu dem linearen Prozess t a t eine Brownsche Brücke B 0 addiert. Die Verteilung µ a von t at+bt 0 hängt in der schwachen Topologie der Maße in BC[0,1] stetig von a ab und ist eine Version der bedingten Verteilung von P B B1=a. In diesem Sinne ist µ 0, die Verteilung von B 0, die bedingte Verteilung von B gegeben B 1 = 0. Diese Deutung von µ 0 legt die zutreffende Vermutung nahe, dass eine Brownsche Brücke im Verteilungslimes 7.1 einer reskalierten Irrfahrt unter der Bedingung S n = 0 entsteht. Wir kommen hierauf in Kapitel 9 zurück. Pfadeigenschaften der Brownschen Bewegung Im folgenden wird das Variationsverhalten der Pfade einer stbb auf einem Intervall [a, b] untersucht. Hierzu sei T = {a = t 0 <... < t n = b} eine Partition und V T,p;B := k B ti B ti 1 p i=1 die Variation von B zum Exponenten p bzgl. T. Seien ferner s i = t i t i 1 und s T := max i=1,...,k s i. Satz i Fast alle Pfade der BB sind in jedem Intervall [a,b] von unbeschränkter Variation, d.h. supv T,1;B = f.s. T 57

6 ii Für allgemeines p > 0 gilt für p < 2 P lim V T,p;B = b a für p = 2 s T 0 0 für p > 2. Erläuterung: Der stochastische Grenzwert P lim s T 0 V T,p;B = V V < f.s. entlang von Partitionen T mit s T 0 bedeutet hier ε,η > 0 δ > 0 : P V T,p;B V η ε für alle T mit s T δ. nalog im Falle V = : ε,k > 0 δ > 0 : P V T,p;B K ε für alle T mit s T δ. Insbesondere folgt daraus V T n,p;b V entlang einer Partitionenfolge mit s T n 0. Man beachte, dass in obiger Definition nur der Limes entlang deterministischer Partitionen betrachtet wird; die Frage, welche vom Pfad abhängigen Partitionen man zulassen kann, ohne die ussage von Satz 7.11 zu verletzen, wird hier nicht diskutiert. BEWEIS. Wir zeigen zunächst ii für p = 2. Sei T eine feste Partition. Dann gilt EV T,2;B = i s i = b a und VarV T,2;B = Var Bti B ti 1 2 = 2 2b as T. Damit folgt die ussage mithilfe der Chebyshev-Ungleichung. Für p > 2 gilt mit M T := max i { Bti B ti 1 } V T,p;B Bti B ti 1 2 M T p 2. Die Stetigkeit der Pfade impliziert M T 0 f.s. für s T 0. Der erste Term konvergiert stochastisch gegen b a, der zweite f.s. gegen 0, womit die ussage bewiesen ist. Für p < 2 gilt analog 7.2 V T,p;B Bti B ti 1 2 M T p 2, woraus ebenfalls die ussage folgt. i Sei T n eine Folge von Partitionen mit s T n 0. Dann gilt B B ti,n t 2 P i 1,n b a. Damit existiert eine Teilfolge T nk mit Bti,nk B t 2 i 1,nk b a f.s. Wegen 7.2 folgt V T nk,1;b f.s. und mit sup T V T,1;B V T nk,1;b damit die Behauptung. i s 2 i 58

7 Bemerkung ussage i des obigen Satzes impliziert: f.s. jeder Pfad ist in keinem Intervall [a,b], a < b Q, Lipschitz-stetig. f.s. jeder Pfad ist in keinem Intervall [a,b], a < b Q, monoton, und damit: f.s. liegt die Menge der lokalen Maxima von B dicht in [0,1]. weist also ein ziemlich pathologisches Pfadverhalten auf. Markov-Eigenschaft Gewöhnliche Markov-Eigenschaft Sei B eine stbb auf [0, und sei F t die kanonische Filtration, d.h. F t = σb s ;s t, F := σf t ;t 0. Zu festem s > 0 betrachten wir den Prozess t B s+t, ein Prozess mit Start an dem zufälligen Ort B s. Sei P a die Verteilung einer BB mit Start in a. Was ist die bedingte Verteilung von B s+t t [0, gegeben F s? Satz Für jede beschränkte messbare Funktion h auf C[0, ist E hb s+ Fs = hxdp Bs x f.s. Satz 7.13 sagt insbesondere, dass E. F s B s -messbar ist: das Bedingen auf die Vergangenheit bis s ist äquivalent zum Bedingen auf die Gegenwart s. BEWEIS. Seien 0 t 1 < t 2 <... < t k und λ 1,λ 2,...,λ k R. Dann erhält man exp 7.3 λ 1 x t λ k x tk dp a x = exp λ 1 x t1 + a λ k x tk + a dp 0 x = exp a k λ i i=1 ndererseits gilt mit B t := B s+t B s E exp λ 1 B s+t λ k B s+tk Fs = E exp = exp B s 7.3 = { k i=1 exp λ 1 x t λ k x tk dp 0 x. λ i B s } exp λ 1 Bt λ k Btk Fs k λ i E exp λ 1 Bt λ k Btk Unabhängigkeit i=1 exp λ 1 x t λ k x tk dp B s x, womit die Behauptung folgt. 59

8 Starke Markov-Eigenschaft Definition Sei F t t 0 eine Filtration. Eine Zufallsvariable mit Werten in [0, ] heißt Stopzeit bezüglich F t t 0, wenn {τ < t} F t für alle t gilt. Ferner definiert man die σ-lgebra der Stopzeit F τ+ := { F : {τ < t} F t für alle t 0 }. F liegt also in F τ+, wenn bis zur Zeit τ beobachtbar ist, ob das Ereignis eingetreten ist oder nicht. Es ist unmittelbar einsichtig, dass eine Stopzeit τ bzgl. F τ+ messbar ist. Bemerkung In der Definition der Stopzeit haben wir offensichtlich eine Wahl getroffen zwischen {τ t} und {τ < t}. In diskreter Zeit ist das ein großer Unterschied; für eine rechtsstetige Filtration, d.h. wenn gilt F t = F t + := s>t F s für alle t 0, sind die Definitionen in stetiger Zeit äquivalent. Die kanonische Filtration ist im allg. nicht rechtsstetig das später folgende 0-1-Gesetz von Blumenthal zeigt aber gerade, dass sich im Falle F t = σb s ;s t die σ-lgebren F t und F t + lediglich um Nullmengen unterscheiden. Es stellt sich die Frage, ob eine analoge ussage zu Satz 7.13 auch für Stopzeiten gilt; diese wird beantwortet durch Satz Sei F t t 0 die kanonische Filtration und τ eine F t t 0 -Stopzeit. i Sei h eine beschränkte messbare Funktion. Dann gilt E hb τ+. Fτ+ = hxdp Bτ x f.s. auf {τ < }. ii uf {τ < } ist B, punktweise definiert durch Bt := B t+τ B τ eine von F τ+ unabhängige stbb. BEWEIS. i Zu zeigen ist 7.4 hb τ+. dp = hxdp Bτ xdp für alle F τ+ und {τ < }. Hierzu diskretisieren wir die Stopzeit τ zu τ n := min { j/2 n j/2 n > τ } und zeigen, dass 7.4 richtig ist für τ n anstelle von τ aber unverändert mit F τ+. Sei j,n := {τ n = j/2 n }. Dann ist die disjunkte Vereinigung aller j,n,j,n N, außerdem gilt j,n F j/2 n wegen j,n = {τ < j/2 n } \ {τ < j 1/2 n }. Die gewöhnliche Markov-Eigenschaft impliziert hb τn+.dp = hxdp Bτn xdp, j,n j,n 60

9 und Summation über j liefert 7.4 für τ n : 7.5 hb τn+.dp = hxdp Bτn xdp. Im Grenzwert n gilt τ n ց τ und damit B τn+t B τ+t Stetigkeit auf {τ < }. Sei h : C[0, R eine beliebige stetige Funktion von der Form hx = ψx t1,...,x tk, t 1,...,t k [0,, ψ stetig. Dann konvergiert die linke Seite in 7.5 hb τn+.dp hb τ+. dp. Da die bbildung u hxdp u x = hx + udp 0 x stetig und beschränkt ist, konvergiert folglich das rechte Integral in 7.5 nach dem Satz von der dominierten Konvergenz: hxdp Bτn xdp hxdp Bτ x, womit i bewiesen ist. ii Wir zeigen: E 1 {Bτ+. B τ } F τ+ = P B auf {τ < } f.s. Die Unabhängigkeit von F τ+ folgt unmittelbar, da die rechte Seite nicht mehr vom Zufall abhängt. Sei also h : C[0, R mit hx := 1{x. x0 }. us i folgt E 1 {Bτ+. B τ } F τ+ = E hb τ+. Fτ+ = hxdp Bτ x f.s. = P Bτ x. x0 7.6 = P 0 x. x0 = P 0 x., wobei 7.6 gilt, da der transformierte Pfad t xt x0 stets in 0 startet und diese W t somit unabhängig vom Startpunkt ist. Korollar Blumenthals 0-1-Gesetz Für F 0+ := s>0 F s gilt P = 0 oder P = 1. BEWEIS. Für die konstante Stopzeit τ. = 0 gilt offenbar F τ+ = s>0 F s. Mithilfe der starken Markov-Eigenschaft erhalten wir P = P F 0+ dp = P B 0 dp = PdP = P 2. Blumenthals 0-1-Gesetz liefert weitere Pfadeigenschaften: 61

10 Korollar Sei B eine stbb. Dann gilt: B t t 0 oszilliert f.s. für t ց 0. für jedes t 0 ist B in t f.s. nicht Hölder-1/2-stetig. BEWEIS. Der erste Punkt ist schnell einzusehen: Denn := { n N t 1/n Bt > 0 } liegt in F 0+, hat also Maß 0, weil P = 1 aus Symmetriegründen unmöglich ist. Für den zweiten Punkt müssen wir verifizieren, dass für jedes K > 0 gilt P K = 1 ist mit K := { inf { t > 0 : B t K t } = 0 } es reicht, den Punkt t = 0 zu betrachten, da B s+. B s für jedes s > 0 wieder seine stbb ist. Dafür setzt man K s := { inf { t > 0 : B t K t } < s }, womit K = s>0 K s F 0+. Wegen der Selbstähnlichkeit der stbb Prop. 7.6 ii ist P K = inf s>0 P K s PB 1 K > 0 und deshalb P K = 1. Bemerkung Vorsicht bei der Reihenfolge der Quantoren beim zweiten Punkt: Wir haben nicht gezeigt, dass B f.s. in keinem t 0 Hölder-1/2-stetig ist, was übrigens auch nicht korrekt wäre. Proposition Spiegelungsprinzip Sei B eine Brownsche Bewegung und τ eine Stopzeit. Dann hat B dieselbe Verteilung wie der reflektierte Prozess B, gegeben durch B t := B mint,τ B t B mint,τ. BEWEIS. Da offensichtlich Gleichheit im Falle τ = gilt, mögen wir τ < annehmen. Man definiert B τ t := B mint,τ und B t := B τ+t B τ. Nach Satz 7.16 ist B eine von τ,b τ unabhängige stbb. Nach Proposition 7.6 i ist B verteilt wie B, womit die Verteilungen der Tripel τ,b τ,b und τ,b τ, B identisch sind. Es bleibt nur noch zu bemerken, dass B t = B τ t + B t τ +, Bt = B τ t B t τ +, t 0. Man sagt, der Prozess B geht aus B durch Spiegelung an der Stopzeit τ hervor. Eine schnelle Konsequenz ist Proposition Zu a R sei τ a := min t {B t = a} der erste Zeitpunkt, an welchem die Brownsche Bewegung B den Wert a annimmt τ a ist eine Stopzeit. Dann gilt P τ a t = P B t a t > 0,a > 0. BEWEIS. nach dem Spiegelungsprinzip Wegen B τa = a ist unter der Bedingung {τ a t} der Prozess B, gegeben durch B s := B τa+s a, wieder eine stbb starke Markov- Eigenschaft, insbesondere ist er spiegelsymmetrisch. Man erhält mit PB 1 = a = 0 Pτ a t = Pτ a t,b t > a + Pτ a t,b t < a = 2Pτ a t,b t > a, und wegen { τ a t,b t > a } = { B t > a } folgt die Behauptung. 62

11 Verteilungsfreie Charakterisierung der Brownschen Bewegung Definition Lévy-Prozess Ein stochastischer Prozess X t t 0 mit càdlàg -Pfaden heißt Lévy-Prozess, wenn er nachstehenden Forderungen genügt: L1 X 0 = 0; L2 für 0 t 0 < t 1 <... < t k sind die Zuwächse X ti X ti 1 unabhängig; L3 Es existiert eine Familie µu u 0 von W-Maßen auf BR, so dass X t X s µt s, s < t. càdlàg = rechtsseitig stetig mit existierenden linksseitigen Limites bkürzung für continue à droite, limite à gauche Bemerkung Das einfachste Beispiel eines solchen Prozesses ist neben der stbb der Poissonprozess Kapitel 5. In diesem Fall ist µu die Poissonverteilung zum Parameter λ u mit einer positiven Konstante λ > 0 Intensität. llgemein kann man die Familie in L3 nicht beliebig vorschreiben; damit die Verteilungen von je endlich vielen X t eine projektive Familie im Sinne des Satzes von Kolmogorov bilden, muss µ eine Faltungshalbgruppe sein, d.h. µu µs = µu + s für alle u,s 0. Es ist bekannt und leicht nachzurechnen, dass dies der Fall ist für die oben erwähnte Poissonfamilie und die Familie N0,c der zentrierten Gaußverteilungen. c 0 Proposition Wenn ein Lévy-Prozess X stetige Pfade hat, existieren sämtliche Momente von X u,u 0. BEWEIS. Man definiert die Zufallsvariable T := inf{t : X t > 1}. Da X bei t = 0 stetig ist, kann man PT < s 1/2 erreichen, sofern man s klein genug wählt. Da X stetig ist, hat man X T = 1 in {T < s}; aufgrund der starken Markov-Eigenschaft der Beweis von Satz 7.16 funktioniert offenbar auch für stetige Lévy-Prozesse ist unter der Bedingung {T < s} die in [0, definierte zufällige Funktion t X T+t 1 ebenso verteilt wie t X t. Es folgt allgemein P sup t s X t 2 = P sup t s s 0 P sup t s X t 2 T = s dp T s 1 m X t m für jedes m N. 2 D.h. sup t s X t wird durch eine geometrische Variable zum Parameter 1/2 majorisiert. Dasselbe rgument gilt bei passender Wahl von s auch für X anstelle von X. lle Momente ,

12 von Xs := sup t s X t und erst recht von X t für t < s sind damit endlich. Für beliebiges u ist X u die Summe von n iid Zufallsvariablen, die wie X u/n verteilt sind; diese haben für u/n < s endliche Momente, daher auch die Summe. Satz Jeder Lévy-Prozess X mit stetigen Pfaden ist von der Form X t = at + cb t, wobei a,c zwei Konstanten sind mit c 0 und B eine stbb ist. Bemerkung Der Satz sagt, dass bis auf triviale Modifikation die Brownsche Bewegung der einzige stetige Lévy-Prozess ist. Man nennt a Driftparameter und c Diffusionskonstante. BEWEIS. Nach Proposition 7.24 hat X ein erstes und zweites Moment. Wenn die Varianz von X 1 null ist, ist die ussage des Satzes trivialerweise richtig mit a = EX 1 und c = 0. Wenn nicht, können wir annehmen, dass nach Subtraktion von tex 1 und Division durch eine Konstante gilt EX t = 0 und EX 2 t = t für alle t 0. Es ist zu zeigen, dass für ein festes u > 0 X u N0,u, der Einfachheit halber wählen wir u = 1. SCHRITT 1 Wir starten mit einer Modellrechnung in einem Intervall. Seien ε,δ > 0 gegeben. Wegen der Stetigkeit der Pfade existiert ein n N mit P sup X k/n+s X k/n > ε für ein 0 k < n 0 s 1/n insbesondere: P sup X s X 0 > ε 0 s 1/n δ; δ. Betrachten wir X im Intervall [0,t] mit 1/t Z. Sei T := min min{0 s t : X s = ε},t. Dann gilt EXt 2 = E X T 2 + 2X t X T X T + X t X T mit = EX 2 T + E X t X T 2 E X t X T 2 = E Xt X T 21{T<t} PT < t t δt. Denn wegen der wegen der starken Markov-Eigenschaft die, wie schon im vorigen Beweis angemerkt, offenbar auch für jeden stetigen Lévy-Prozess gilt ist X, gegeben durch X s := X T+s X T, ein von F T+ unabhängiger Prozess mit denselben Pfad- und Verteilungseigenschaften wie X. Insbesondere ist E X s = 0, auch wenn man die Stelle s zufällig aber von X unabhängig wählt es folgt E X t T F T+ = 0 f.s., womit E X T X t X T = E X T E Xt T F T+ = 0, 64

13 was 7.9 zeigt. Wegen X t T = X t X T und EX t = 0 folgt weiter EX T = 0. Insgesamt ergibt sich also sich also: 7.10 a t = EX 2 t EX 2 T t1 δ; b EX T = 0. us der Stetigkeit der Pfade folgt außerdem 7.11 X T ε. SCHRITT 2 Seien jetzt ε j j N und δ j j N zwei beliebige Nullfolgen; man wähle n j so groß, dass 7.7 für ε j und δ j erfüllt ist. Für jedes n = n j teilen wir das Einheitsintervall [0,1] in n gleiche Teile. Sei k,n := X Tk X k/n mit T k = min inf{s > k/n : X s X k/n = ε}, k + 1/n. Für jedes n sind diese Größen offenbar unabhängig; nach 7.7 hat man 7.12 P k,n X k+1/n X k/n für ein 0 k < n δ; die Summation von 7.10a über die n Teilintervalle gibt, zusammen mit 7.10b: n = E n 1 2 X k+1/n X k/n E k,n 2 1 δ; E k,n = 0. k=0 k=0 us 7.13 liest man ab, dass das Dreiecksschema k,n j, 0 k < n j, den Voraussetzungen des Zentralen Grenzwertsatzes von Lindeberg-Feller zur Grenzverteilung N0, 1 genügt die Lindebergbedingung ist trivial wegen k,n j ε j, was auf 7.11 beruht. Wegen 7.12 ist jede Grenzverteilung von k k,n j auch Grenzverteilung von n j 1 Xk+1/n X k/n = X1, k=0 womit notwendig X 1 N0,1. Bemerkung lternativ lässt sich das Resultat von Satz 7.25 auch mithilfe der sog. Lévy-Khintchine-Formel beweisen; letztere stellt die unendlich teilbaren W-Maße als eventuell kontinuierliche Faltungs-Mischung von Dirac-, Normal- und Poissonverteilungen dar. Dabei heißt ein W-Maß P auf R unendlich teilbar, wenn für jedes n N iid Zufallsvariablen X 1,...,X n existieren mit n i=1 X i P. 65

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