Vorlesung SS 2013 REGELUNGSSYSTEME. Univ.-Prof. Dr. techn. Andreas KUGI

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1 - Vorlesung SS 2013 REGELUNGSSYSTEME Univ.-Prof. Dr. techn. Anreas KUGI

2 Regelungssysteme Vorlesung SS 2013 Univ.-Prof. Dr. techn. Anreas KUGI TU Wien Institut für Automatisierungs- un Regelungstechnik Gruppe für komplexe ynamische Systeme Gusshausstrasse Wien Telefon: Internet: Institut für Automatisierungs- un Regelungstechnik, TU Wien

3 Inhaltsverzeichnis 1. Nichtlineare Systeme Lineare un nichtlineare Systeme Satellitenregelung Balken mit Kugel Positionierung mit Haftreibung Linearer un nichtlinearer Oszillator Fahrzeugmanöver Gleichstrommaschinen Hyraulischer Aktor (Zweistangenzyliner) Literatur Dynamische Systeme Differenzialgleichungen Der Normbegriff Inuzierte Matrixnorm Banachraum Hilbertraum Existenz un Eineutigkeit Einfluss von Parametern Literatur Lyapunov-Theorie: Grunlagen Autonome Systeme Das Vektorfel Stabilität er Ruhelage Direkte (Zweite) Methoe von Lyapunov Einzugsbereich Das Invarianz-Prinzip Lineare Systeme Inirekte (Erste) Methoe von Lyapunov Nichtautonome Systeme Lineare Systeme Lyapunov-ähnliche Theorie: Barbalat s Lemma Literatur Singuläre Störtheorie Gruniee Unterschieliche Zeitskalen

4 Inhaltsverzeichnis Seite II 4.3. Schnelle un langsame Mannigfaltigkeit Lineare zeitinvariante Systeme Literatur Lyapunov-Theorie: Reglerentwurf Integrator Backstepping Verallgemeinertes Backstepping Aaptives Backstepping PD-Regelgesetz Inverse Dynamik (Compute-Torque) Literatur Exakte Linearisierung un Flachheit Eingangs-Ausgangslinearisierung Nullynamik Eingangs-Zustanslinearisierung Trajektorienfolgeregelung Exakte Feeforwarlinearisierung mit Ausgangsstabilisierung Exakte Eingangs-Zustanslinearisierung mit Beobachter Trajektorienfolgeregelung für einen nichtflachen Ausgang Mehrgrößenfall Exakte Linearisierung Flachheit Literatur A. Grunlagen er Differentialgeometrie (nicht prüfungsrelevant) A1 A.1. Mannigfaltigkeit A1 A.2. Tangentialraum A3 A.3. Kotangentialraum A7 A.4. Lie Klammer A11 A.5. Distribution un Koistribution A14 A.6. Theorem von Frobenius A18 A.7. Literatur A20 B. Beobachterentwurf für lineare zeitvariante Systeme (nicht prüfungsrelevant) B1 B.1. Literatur B11 C. Dissipativität un Passivität (nicht prüfungsrelevant) C1 C.1. Glühsimulator C1 C.2. Einfaches Elektromagnetventil C3 C.3. Systemtheoretisches Konzept C4 C.3.1. Dissipativität C4 C.3.2. Passivität C5 C.3.3. Eigenschaften Passiver Systeme C7 C.3.4. Passivität un Lyapunov-Stabilität C9

5 Inhaltsverzeichnis Seite III C.4. Lineare passive Systeme C10 C.5. Positive Reellheit C13 C.6. Kanonische Form Passiver Systeme C16 C.6.1. Hamiltonsche Systeme C16 C.6.2. Port-Hamiltonsche Systeme C18 C.7. Passivitätsbasierter Reglerentwurf C20 C.8. Literatur C27

6 Abbilungsverzeichnis 1.1. Zur Drehbewegung eines Satelliten Balken mit rollener Kugel Kran mit Schwenkarm Geschlossene kinematische Kette Feer-Masse-System mit Haftreibung Zum statischen Reibkraftmoell Blockschaltbil in Simulink zum Feer-Masse-System mit Haftreibung Sprungantwort es linearen Systems Positionsregelung eines Feer-Masse-Systems mit Haftreibung mit Hilfe eines PI-Reglers Nichtlinearer un linearer Oszillator Einfaches Fahrzeugmoell Ersatzschaltbil einer fremerregten Gleichstrommaschine Stationäre Kennlinien bei er Felregelung Ersatzschaltbil einer Reihenschlussmaschine Zweistangenzyliner mit 3/4-Wegeventil Bewegung auf einer Kugel Zum Begriff es Vektorfeles am Beispiel es elektrischen Feles zweier Punktlaungen Vektorfel eines instabilen aber anziehenen Punktes Einfaches elektrisches System Zur Konstruktion einer Lyapunovfunktion Zur Abgeschlossenheit von Niveaumengen Blockschaltbil es untersuchten ynamischen Systems Zur Berechnung es Einzugsbereiches von Abbilung Einfaches mechanisches System Grenzpunkte un Grenzmengen Simulationsergebnisse es vollstänigen un es reuzierten Moells er Gleichstrommaschine Kaskaierter Regelkreis Blockschaltbil es linearen Systems (4.14b) Elektrisches Netzwerk Moell eines Viertelfahrzeuges Reuziertes quasi-stationäres Moell eines Viertelfahrzeuges

7 Abbilungsverzeichnis Seite V 5.1. Aktive Fahrzeugämpfung Roboter mit rei Freiheitsgraen Einfacher elastisch gekoppelter Roboterarm Blockschaltbil er Zwei-Freiheitsgra-Regelkreisstruktur Schematische Darstellung es Einspurmoells Achskennlinien (Seitenkraft es Reifens als Funktion es Schräglaufwinkels) für verschieene Boenverhältnisse Blockschaltbil er exakten Eingangs-Zustanslinearisierung mit Regler- Beobachterstruktur Schematische Darstellung er Magnetlagerung Schematische Darstellung es Laborversuchs Ball-on-Wheel Schematische Darstellung es grunsätzlichen Aufbaus einer Axialkolbenpumpe in Schrägscheibenbauweise Hyraulisches Ersatzschaltbil er Axialkolbenpumpe mit Last Schematische Darstellung es Laborhelikopters Schematische Darstellung eines Brückenkrans A.1. Zur Definition einer Mannigfaltigkeit A2 A.2. Zur stereographischen Projektion A2 A.3. Zur Abbilung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten A6 A.4. Zur geometrischen Deutung er Lie-Klammer A12 A.5. Die Lie-Klammer als Kommutator A15 C.1. Glühsimulator C.2. Einfaches Elektromagnetventil C.3. Parallelschaltung un Rückkopplung zweier passiver Systeme C.4. Hintereinanerschaltung passiver Systeme C.5. Passives System mit linearem Regler C1 C3 C7 C8 C15

8 1. Nichtlineare Systeme Die Analyse- un Entwurfsmethoen zur Automatisierung linearer Systeme sin am weitesten fortgeschritten. Verantwortlich hierfür ist as Superpositionsgesetz, as ie mathematische Behanlung ieser Klasse ynamischer Systeme wesentlich erleichtert. Die physikalischen Grungesetze beinhalten aber vielfach wesentliche Nichtlinearitäten. Können iese nicht mehr vernachlässigt weren, muss man auf ie Methoen er nichtlinearen Regelungstechnik zurückgreifen. Infolge es Superpositionsgesetzes fallen bei linearen Systemen lokale un globale Eigenschaften zusammen. Bei nichtlinearen ynamischen Systemen gilt ies nicht mehr. Beschränkt man sich bei nichtlinearen Systemen auf lokale Eigenschaften, ann können vielfach urch Linearisierung er Systemgleichungen noch lineare Methoen zum Ziel führen. Ist man jeoch an globalen Eigenschaften wie Stabilität im Großen, etc. interessiert, muss man as nichtlineare mathematische Moell untersuchen. Eine große Klasse nichtlinearer ynamischer Systeme kann urch mathematische Moelle von nichtlinearen Differenzialgleichungen erster Ornung beschrieben weren. Für iese Moelle steht jeoch kein einfaches Hilfsmittel zur Eingangs- Ausgangsbeschreibung wie as er Laplace-Transformation im linearen Fall zur Verfügung. Die Analyse solcher Systeme erfolgt aher vorzugsweise im Zustansraum Lineare un nichtlineare Systeme Die Beziehung ẋ = Ax (1.1) beschreibt ein lineares, zeitinvariantes, autonomes System n-ter Ornung mit konzentrierten Parametern. Neben em Superpositionsprinzip kann as System urch weitere Eigenschaften charakterisiert weren. Die Ruhelagen x R von (1.1) sin Lösungen es Gleichungssystems 0 = Ax R. (1.2) Im Falle et (A) 0 hat as System genau eine Ruhelage, nämlich x R = 0, anerenfalls besitzt es unenlich viele Ruhelagen. Aufgabe 1.1. Geben Sie ein System 2-ter Ornung (1.1) mit unenlich vielen Ruhelagen an. Mit er Transitionsmatrix Φ (t) = e At = E + At + A 2 t An tn n! +... (1.3)

9 1.1. Lineare un nichtlineare Systeme Seite 2 lautet ie Lösung es Anfangswertproblems Man überzeugt sich leicht, ass x(t) er Abschätzung x(t) = Φ (t) x 0. (1.4) a 1 e α 1t x (t) a 2 e α 2t (1.5) mit reellen Zahlen a 1, a 2, α 1, α 2 > 0 genügt. D. h., eine Trajektorie x (t) es Systems (1.1) kann in enlicher Zeit weer in ie Ruhelage x R = 0 einlaufen noch in enlicher Zeit über alle Grenzen wachsen. Obige Eigenschaften müssen auf ein nichtlineares, autonomes System n-ter Ornung ẋ = f (x) (1.6) nicht mehr zutreffen. Die Ruhelagen ieses Systems sin nun Lösungen es nichtlinearen Gleichungssystems 0 = f (x R ). (1.7) über ie Lösungsmenge X R von (1.7) kann keine allgemeine Aussage gemacht weren. So kann X R genau ein Element, eine enliche Anzahl von Elementen oer eine unenliche Anzahl von Elementen umfassen. Aufgabe 1.2. Geben Sie ein System 1-ter Ornung (1.6) mit genau rei Ruhelagen an. Nichtlineare Systeme können auch in enlicher Zeit in ie Ruhelage einlaufen. Hierzu betrachte man ie Gleichung Für ie Lösung obigen Systems gilt ẋ = x, x 0 > 0. (1.8) {( x0 t ) 2 x (t) = 2 für 0 t 2 x 0 0 sonst. (1.9) Die Lösung eines nichtlinearen Systems kann auch in enlicher Zeit über alle Grenzen wachsen. Hierzu wir as System betrachtet. Die Lösung lautet ẋ = 1 + x 2, x 0 = 0 (1.10) x (t) = tan (t), 0 t < π 2. (1.11) Für t π 2 existiert keine Lösung.

10 1.2. Satellitenregelung Seite Satellitenregelung Abbilung 1.1 zeigt einen Nachrichtensatelliten. Wir er Satellit als starrer Körper aufgefasst, ann kann seine Drehbewegung urch ie Beziehung Θw = w (Θw) + M (1.12) mit ω1 w = ω2, ω3 (1.13a) Θ11 Θ12 Θ13 Θ = Θ12 Θ22 Θ23, Θ13 Θ23 Θ33 (1.13b) M1 M = M2 M3 beschrieben weren. (1.13c) körperfestes Koorinatensystem x3 Inertialsystem ω3 z x2 0 y x 0c ω2 ω1 x1 Abbilung 1.1.: Zur Drehbewegung eines Satelliten. Dabei bezeichnet w en Vektor er Drehwinkelgeschwinigkeiten, Θ ie Matrix er Trägheitsmomente un M en Vektor er Drehmomente. Die Größen w, Θ un M weren

11 1.3. Balken mit Kugel Seite 4 abei auf as satellitenfeste Koorinatensystem (0 C, x 1, x 2, x 3 ) im Schwerpunkt 0 C bezogen. Legt man as Koorinatensystem (0 C, x 1, x 2, x 3 ) in ie Trägheitshauptachsen es Satelliten, gilt womit sich obiges System zu vereinfacht. Θ Θ = 0 Θ Θ 33 Θ 11 ω 1 = (Θ 33 Θ 22 ) ω 2 ω 3 + M 1 Θ 22 ω 2 = (Θ 11 Θ 33 ) ω 1 ω 3 + M 2 Θ 33 ω 3 = (Θ 22 Θ 11 ) ω 1 ω 2 + M 3, (1.14) (1.15a) (1.15b) (1.15c) Aufgabe 1.3. Wieviel prinzipiell verschieene Ruhelagen können Sie für en Satelliten (1.15) für M = 0 angeben? 1.3. Balken mit Kugel Eine Kugel mit er Masse m K rollt auf einem rehbar gelagerten Balken (siehe Abbilung 1.2). Mittels eines am Drehpunkt es Balkens eingebrachten Moments M wir ie Referenz ϕ 2 Ψ Referenz r r 0 M x 2 ϕ 1 x 1 Abbilung 1.2.: Balken mit rollener Kugel. Einrichtung beeinflusst. Es gelten folgene geometrische Beziehungen x 1 = r cos (ϕ 1 ) r 0 sin (ϕ 1 ) x 2 = r sin (ϕ 1 ) + r 0 cos (ϕ 1 ) (1.16a) (1.16b)

12 1.3. Balken mit Kugel Seite 5 sowie un ψ = ϕ 2 + ϕ 1 (1.17) ṙ = r 0 ϕ 2. (1.18) Vernachlässigt man ie Reibungskräfte, ann lautet ie Lagrangefunktion L (ϕ 1, ϕ 1, r, ṙ) = 1 ( ) 2 m K ẋ 2 1 (ϕ 1, ϕ 1, r, ṙ) + ẋ 2 2 (ϕ 1, ϕ 1, r, ṙ) }{{} translatorischer Anteil er kinetischen Energie 1 + (Θ B ϕ Θ K ψ 2) m K gx 2 (ϕ 1, r) } 2 {{}}{{} rotatorischer Anteil er kinetischen Energie potentielle Energie (1.19) mit er Masse er Kugel m K, em Trägheitsmoment es Balkens Θ B, em Trägheitsmoment er Kugel Θ K = 2 5 m Kr0 2 un er Erbeschleunigung g. Aufgabe 1.4. Zeigen Sie, ass für as Massenträgheitsmoment einer homogenen Kugel mit em Raius r 0 gilt Θ K = 2 5 m Kr 2 0. Mit en verallgemeinerten Koorinaten r(t) un ϕ 1 (t) erhält man aus en Lagrangeschen Gleichungen ie Bewegungsgleichungen in er Form ( t ṙ L (ϕ 1, ϕ 1, r, ṙ)) r L (ϕ 1, ϕ 1, r, ṙ) = 0 (1.20a) ( ) L (ϕ 1, ϕ 1, r, ṙ) L (ϕ 1, ϕ 1, r, ṙ) = M. (1.20b) t ϕ 1 ϕ 1 Um zu einfacheren Ergebnissen zu gelangen, wir vorausgesetzt, ass ie Kugel eine Punktmasse ist, also gilt r 0 = 0 sowie Θ K = 0. Damit vereinfacht sich ie Lagrangefunktion zu L (ϕ 1, ϕ 1, r, ṙ) = 1 2 m Kṙ m Kr 2 ϕ Θ B ϕ 2 1 m K gr sin (ϕ 1 ) (1.21) un as mathematische Moell lautet 2 t 2 ϕ 1 = 2 t 2 r = r ϕ2 1 g sin (ϕ 1 ). Die Ruhelagen ieses Systems sin urch gegeben. 1 m K r 2 + Θ B (M 2m K rṙ ϕ 1 gm K r cos (ϕ 1 )) ϕ 1,R = 0 (1.22a) (1.22b) (1.23a) M R = gm K r R (1.23b) r R beliebig (1.23c)

13 1.3. Balken mit Kugel Seite 6 Aufgabe 1.5. Ersetzen Sie in Abbilung 1.2 ie rollene Kugel urch einen reibungsfrei gleitenen Würfel mit er Masse m 2 un er Kantenlänge l. Geben Sie zu iesem Moell ie Lagrangefunktion un ie Bewegungsgleichungen an. Aufgabe 1.6. Abbilung 1.3 zeigt einen Kran mit einem Schwenkarm. Bestimmen Sie mit Hilfe es Lagrange-Formalismus ie Bewegungsgleichungen. Als verallgemeinerte Koorinaten weren ie Winkel ϕ 1 un ϕ 2 eingeführt. Als Eingangsgrößen ienen ie beien Momente M 1 un M 2. ϕ 2 l z 2 y 2 Stab 2 z 1 M 2 x 2 Stab 1 l x 1 y 1 ϕ 1 M 1 Abbilung 1.3.: Kran mit Schwenkarm. Aufgabe 1.7. In Abbilung 1.4 ist ein einfacher Manipulator bestehen aus fünf Balkenelementen argestellt. Es hanelt sich abei um ein System mit zwei Freiheitsgraen, wobei als verallgemeinerte Koorinaten ie Größen q 1 un q 2 eingeführt weren. Dieser Manipulator hat ie ganz besonere Eigenschaft, ass as Differenzialgleichungssystem entkoppelt, wenn eine einfache geometrische Beziehung erfüllt ist. D. h., q 1 bzw. q 2 wir leiglich urch M 1 bzw. M 2 beeinflusst. Dies ist für en Reglerentwurf besoners angenehm. Gerae solche Beispiele sin typisch mechatronische Aufgaben, a in iesem Fall ie Konstruktion so urchgeführt wir, ass ie Regelungsaufgabe sich in weiterer Folge vereinfacht. Um ies zu bewältigen, ist jeoch ie Kenntnis es mathematischen Moells erforerlich. Manipulatoren ieses Typs wuren unter anerem von er Firma Hitachi unter er Moellbezeichnung HPR10II gebaut.

14 1.4. Positionierung mit Haftreibung Seite 7 l c4 l 3 y l c3 l c1 q 1, q 2, M 1 M 2 l 2 x l c2 Abbilung 1.4.: Geschlossene kinematische Kette Positionierung mit Haftreibung Abbilung 1.5 zeigt eine auf einer rauen Fläche gleitene Masse m mit er Feerkraft F F = cx, er Reibkraft F R un er Eingangskraft F u. Beim Reibkraftmoell unterscheix 0 x F F Fu F R Abbilung 1.5.: Feer-Masse-System mit Haftreibung. et man grunsätzlich zwischen statischen un ynamischen Moellen. Beim statischen Moell wir ie Reibkraft F R als Funktion er Geschwinigkeit v = t x angegeben. Wie in Abbilung 1.6 gezeigt, setzt sich ie Reibkraft im Allgemeinen aus einer geschwinigkeitsproportionalen (viskosen) Komponente r v v, einer Coulombschen Komponente (Trockenreibung) r C sign (v) sowie einer Haftreibungskomponente, beschrieben urch en Parameter r H, zusammen. Weiters wure experimentell beobachtet, ass er Kraft- Geschwinigkeitsverlauf bei Eintreten bzw. Verlassen es Haftreibzustanes ie Form er

15 1.4. Positionierung mit Haftreibung Seite 8 F R (v) r H Geschwinigkeitsproportionaler Reibanteil Coulomb scher Reibanteil Haftreibanteil Statische Reibung r C v 0 v 0 v r C r H Abbilung 1.6.: Zum statischen Reibkraftmoell. Kurve 3 von Abbilung 1.6 aufweist (Stribeck-Effekt). Die Geschwinigkeit v S, bei er ie Reibkraft F R ein Minimum annimmt, wir auch als Stribeck-Geschwinigkeit bezeichnet. Sehr häufig wir ann für ie gesamte Reibkraft ein Moellansatz er Form ( ( ) ) v 2 F R = r v v + r C sign (v) + (r H r C ) exp sign (v) (1.24) v0 mit einer Bezugsgeschwinigkeit v 0 verwenet. Das mathematische Moell von Abbilung 1.5, angeschrieben um ie entspannte Lage er Feer, lautet ann (1) Haftbeingung ist erfüllt, also v = 0 un F u cx r H, t x = 0 m t v = 0 (1.25a) (1.25b) (2) Haftbeingung ist nicht erfüllt t x = v m t v = F u F R cx (1.26a) (1.26b) mit er Reibkraft F R nach (1.24).

16 N L 1.4. Positionierung mit Haftreibung Seite 9 Bei er Implementation es mathematischen Moells (1.25) un (1.26) in einem numerischen Simulationsprogramm wie Matlab/Simulink muss ganz genau arauf geachtet weren, ass ie Strukturumschaltung zwischen (1.25) un (1.26) auch tatsächlich richtig implementiert wir. Abbilung 1.7 zeigt eine richtige Implementation in Form eines Simulink-Blockschaltbils mit Hilfe er Stateflow-Toolbox. Die zugehörige Matlab- S-function mit em Namen ein_masse.m ist im Folgenen aufgelistet. Der Vollstänigkeit halber sei an ieser Stelle erwähnt, ass as gesamte Moell er Strecke mit korrekter Strukturumschaltung auch sehr effizient in einer C-Coe-S-function ohne Verwenung er Stateflow-Toolbox implementiert weren kann. F I E J E E F K J B H? A. K I F H E C B E A = I I I O I J A? N L A? E J O F I E J E N L A? E J O. = > I I J K? I J K?. K L A? E J O I J E? I E F A B B A? J! I J K? B = C I J E? I E F A B B A? J I F H E C = I I I O I J A I J K? A J H O I J K? B = > I. = > I H 0 L A? E J O B = > I. = > I H 0 I E C A J H O I J K? 2 H E J " = H! # % Abbilung 1.7.: Blockschaltbil in Simulink zum Feer-Masse-System mit Haftreibung. function ein_masse(block) % % Simulationsmoell für Einmasseschwinger mit Haftreibung %

17 1.4. Positionierung mit Haftreibung Seite 10 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Beschreibung: Einmasseschwinger für Vorlesung Regelungssysteme % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % inputs: u1(1)... Eingangskraft % u2(1)... stuck Flag % states: x(1)... x Position er Masse % x(2)... v Geschwinigkeit er Masse % outputs: y1(1)...x % y1(2)...v % y2(1)...-c*x % parameters: % p(1)... c Steifigkeit Feer % p(2)... m Masse % p(3)... r_c Coulomb Reibungskonstante % p(4)... r_v viskose Reibungskonstante % p(5)... r_h Haftreibungskonstante % p(6)... v_0 Referenzgeschwinigkeit % p(7)... x_i Anfangsposition er Masse % p(8)... v_i Anfangsgeschwinigkeit er Masse %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Sample Time: Continuous %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% setup(block); function setup(block) % Register number of input an output ports block.numinputports = 2; block.numoutputports = 2; % Register number of continuous states block.numcontstates = 2; % Register ialog parameter block.numdialogprms = 8; % Port imensions block.inputport(1).dimensions = 1; block.inputport(1).samplingmoe = Sample ; block.inputport(1).directfeethrough = false; block.inputport(2).dimensions = 1; block.inputport(2).samplingmoe = Sample ; block.inputport(2).directfeethrough = false;

18 1.4. Positionierung mit Haftreibung Seite 11 block.outputport(1).dimensions = 2; block.outputport(1).samplingmoe = Sample ; block.outputport(2).dimensions = 1; block.outputport(2).samplingmoe = Sample ; % Set block sample time to continuous time block.sampletimes = [0 0]; % Register methos block.regblockmetho( InitializeConitions, block.regblockmetho( Outputs, block.regblockmetho( Derivatives, function InitConitions(block) % efine parameters x_i = block.dialogprm(7).data; v_i = block.dialogprm(8).data; x0(1) = x_i; x0(2) = v_i; block.contstates.data=x0; function Output(block) % efine x, y, u, p for better coe reaability x = block.contstates.data; c = block.dialogprm(1).data; % set value of output y1(1) = x(1); y1(2) = x(2); y2(1) = -c*x(1); block.outputport(1).data=y1; block.outputport(2).data=y2; function Derivatives(block) % efine x, y, u, p for better coe reaability x = block.contstates.data; u1 = block.inputport(1).data; u2 = block.inputport(2).data;

19 1.4. Positionierung mit Haftreibung Seite 12 % efine parameters c = block.dialogprm(1).data; m = block.dialogprm(2).data; r_c = block.dialogprm(3).data; r_v = block.dialogprm(4).data; r_h = block.dialogprm(5).data; v_0 = block.dialogprm(6).data; F_u = u1(1); stuck = u2(1); % ifferential equations if (stuck>0.5) x(1)=0.0; x(2)=0.0; else F_R = r_c*sign(x(2))+r_v*x(2)+(r_h-r_c)*exp(-(x(2)/v_0)^2)*... sign(x(2)); x(1) = x(2); x(2) = -c/m*x(1)-f_r/m+f_u/m; en; block.derivatives.data=x; function Terminate(block) Haftreibung in Kombination mit einem Regler mit Integralanteil führt im Allgemeinen zu unerwünschten Grenzzyklen. Um ies zu zeigen, soll im nächsten Schritt für as Feer-Masse-System von Abbilung 1.5 mit er Eingangskraft F u ein PI-Regler als Positionsregler entworfen weren. Für en Entwurf es PI-Reglers ist es üblich, en Coulombschen Reibanteil un ie Haftreibungskomponente zu vernachlässigen,. h. r H = r C = 0. Damit liegt nämlich ein einfaches lineares System mit er Position x als Ausgangsgröße un er Kraft F u als Eingangsgröße un er zugehörigen Übertragungsfunktion G (s) = ˆxˆFu = 1 ms 2 + r v s + c (1.27) vor. Wählt man für ie Parameter ie Werte c = 2, m = 1, r C = 1, r v = 3, r H = 4 un v 0 = 0.01, ann führt er PI-Regler R (s) = 4 s+1 s für as lineare System (1.27) zu er Sprungantwort es geschlossenen Kreises von Abbilung 1.8. Implementiert man en PI-Regler am ursprünglichen Moell (1.25) un (1.26), so erhält man en Positions- un Geschwinigkeitsverlauf von Abbilung 1.9.

20 1.4. Positionierung mit Haftreibung Seite Position x Zeit t Abbilung 1.8.: Sprungantwort es linearen Systems Position x Geschwinigkeit v Stellkraft Fu Zeit t Zeit t Abbilung 1.9.: Positionsregelung eines Feer-Masse-Systems mit Haftreibung mit Hilfe eines PI-Reglers. Aufgabe 1.8. Versuchen Sie ie Ergebnisse von Abbilung 1.9 in Matlab/Simulink nachzuvollziehen. Überlegen Sie sich Maßnahmen, um ie Grenzzyklen zu verhinern (Tote Zone, Integrator mit abschaltbarem I-Anteil, Dither etc.). Aufgabe 1.9. Bestimmen Sie für en Reibmoellansatz (1.24) mit en Parametern r C = 1, r v = 3, r H = 4 un v 0 = 0.01 ie Stribeck-Geschwinigkeit v S. Neben en statischen Reibkraftmoellen finet man in er Literatur auch verschieene ynamische Moelle. Im Wesentlichen beruhen viele ieser Moelle auf einem bürstenförmigen Kontaktmoell zweier rauher Oberflächen. Beim so genannten LuGre-Moell

21 1.5. Linearer un nichtlinearer Oszillator Seite 14 errechnet sich ie Reibkraft in er Form F R = σ 0 z + σ 1 t z + σ 2 v, (1.28) mit er Relativgeschwinigkeit v er beien Kontaktflächen. Die mittlere Durchbiegung er Bürsten z genügt abei er Differenzialgleichung mit v z = v t χ σ 0z (1.29) ( ( ) ) v 2 χ = r C + (r H r C ) exp. (1.30) Analog zum statischen Reibkraftmoell (siehe (1.24)) bezeichnet r C en Koeffizienten er Coulomb-Reibung, r H ie Haftreibung un v 0 eine Bezugsgeschwinigkeit. Die Koeffizienten σ 0, σ 1 un σ 2 erlauben eine Parametrisierung es Reibkraftmoells mit Hilfe von Messwerten. Für eine konstante Relativgeschwinigkeit v errechnet sich ie statische Reibkraft ( tz = 0) zu ( ( ) ) v 2 F R = σ 2 v + r C sign ( v) + (r H r C ) exp sign ( v). (1.31) Man erkennt, ass mit (1.31) ie Beziehung von (1.24) vorliegt. Der Parameter σ 2 von (1.28) entspricht also em Parameter r v es viskosen Reibanteils von (1.24). Der Vorteil es ynamischen Reibmoells liegt arin, ass für ie Simulation keine Strukturumschaltung notwenig ist. Jeoch wir im Allgemeinen as gesamte Differenzialgleichungssystem sehr steif, was en Einsatz spezieller Integrationsalgorithmen erforert Linearer un nichtlinearer Oszillator Der einfachste lineare Oszillator mit einer Kreisfrequenz von ω 0 wir urch ein Differenzialgleichungssystem er Form v 0 v 0 ẋ 1 = ω 0 x 2 ẋ 2 = ω 0 x 1 (1.32a) (1.32b) mit er Ausgangsgröße x 1 beschrieben. Ein prinzipieller Nachteil ieses Oszillators ist, ass Störungen ie Amplitue veränern können (siehe Abbilung 1.10 links). Es ist naheliegen, en linearen Oszillator so zu erweitern, ass ie Amplitue stabilisiert wir. Eine Möglichkeit azu zeigt as nachfolgene System ) ẋ 1 = ω 0 x 2 x 1 (x x (1.33a) ) ẋ 2 = ω 0 x 1 x 2 (x x (1.33b) In Abbilung 1.10 (rechtes Bil) ist er Einfluss er nichtlinearen Terme zu entnehmen.

22 1.6. Fahrzeugmanöver Seite x2 0 x x 1 x 1 Abbilung 1.10.: Nichtlinearer un linearer Oszillator. Aufgabe Berechnen Sie für en nichtlinearen Oszillator (1.33) ie allgemeine Lösung. Verwenen Sie azu ie transformierten Größen x 1 (t) = r (t) cos (ϕ (t)) x 2 (t) = r (t) sin (ϕ (t)). (1.34a) (1.34b) 1.6. Fahrzeugmanöver Abbilung 1.11 zeigt ein rastisch vereinfachtes Moell eines Fahrzeugmanövers. Als Stellgrößen weren ie Rollgeschwinigkeit u 1 un ie Rotationsgeschwinigkeit u 2 er Achse betrachtet. Das zugehörige mathematische Moell lautet x 1 sin (x 3 ) 0 x 2 = cos (x 3 ) u u 2. (1.35) x Linearisiert man as Moell um eine Gleichgewichtslage x 1,R [ ] x R = x 2,R 0, u R = 0 x 3,R, (1.36)

23 1.7. Gleichstrommaschinen Seite 16 u 2 x 2 x 3 u 1 x 1 Abbilung 1.11.: Einfaches Fahrzeugmoell. erhält man sin (x 3,R ) 0 ẋ = x + cos (x 3,R ) u u 2. (1.37) Man überzeugt sich leicht, ass ie Erreichbarkeitsmatrix [ ] R (A, B) = B AB A 2 B (1.38) en Rang zwei hat. Jees um eine Gleichgewichtslage linearisierte Moell es Fahrzeugmanövers ist also nicht steuerbar. Aus er Erfahrung ist aber bekannt, ass ies auf as ursprüngliche System nicht zutreffen kann (oer wie ist Ihre Erfahrung mit em Einparken?) Gleichstrommaschinen Abbilung 1.12 zeigt as Ersatzschaltbil einer fremerregten Gleichstrommaschine. Das zugehörige mathematische Moell lässt sich in er Form L A t i A = u A R A i A kψ F ω }{{} u in t ψ F = u F R F i F (1.39a) (1.39b) Θ G t ω = kψ F i }{{ A } M L (1.39c) M el

24 1.7. Gleichstrommaschinen Seite 17 R A i A L A u A i F = f(ψ F ) u in M el ω, ϕ Ψ F u F Θ G M L R F Abbilung 1.12.: Ersatzschaltbil einer fremerregten Gleichstrommaschine. mit er Ankerinuktivität L A, em Ankerwierstan R A, em Erregerstrom i F = f (ψ F ), em Erregerkreiswierstan R F, em Trägheitsmoment er Gleichstrommaschine un aller starr angeflanschter Komponenten Θ G sowie er Ankerkreiskonstanten k anschreiben. Die Zustansgrößen sin in iesem Fall er Ankerstrom i A, er verkettete Erregerfluss ψ F sowie ie Drehwinkelgeschwinigkeit ω, als Stellgrößen ienen ie Ankerspannung u A sowie ie Erregerspannung u F un as Lastmoment M L wirkt als Störgröße auf as System. Diese Beschreibung er fremerregten Gleichstrommaschine setzt bereits voraus, ass nachfolgene Moellannahmen berücksichtigt wuren: Die räumlich verteilten Wicklungen können als konzentrierte Inuktivitäten in en jeweiligen Wicklungsachsen moelliert weren, ie um 90 C gegeneinaner verrehten Inuktivitäten im Anker- un Erregerkreis euten bereits an, ass eine vollkommene Entkopplung zwischen Anker- un Erregerfel angenommen wir, ie Wierstäne im Anker- un Erregerkreis seien konstant, es weren keine Eisenverluste berücksichtigt, es gibt keine Sättigungserscheinungen im Ankerkreis un ie Kommutierung were als ieal vorausgesetzt (keine Drehmomentenwelligkeit).

25 1.7. Gleichstrommaschinen Seite 18 Um as stationäre Verhalten er Gleichstrommaschine unabhängig von en speziell vorliegenen Maschinenparametern klassifizieren zu können, führt man im Weiteren eine Normierung von (1.39) auf imensionslose Größen urch. Mit en Bezugsgrößen er nominellen Drehwinkelgeschwinigkeit ω 0, es nominellen verketteten Erregerflusses ψ F,0 sowie u A,0 = u in,0 = kψ F,0 ω 0, (1.40a) i A,0 = u A,0, R A (1.40b) M el,0 = kψ F,0 i A,0, (1.40c) u F,0 = R F i F,0 (1.40) ergibt sich (1.39) in imensionsloser Form zu ( ) L A ia = u A i A ψ F ω R A t u A,0 i A,0 ψ F,0 ψ F,0 u F,0 t i A,0 ( ) ψf ψ F,0 ) Θ G ω 0 M el,0 t ( ω ω 0 = u F u F,0 f ( ψf ψ F,0 ) = ψ F ψ F,0 i A i A,0 M L M el,0, ω 0 (1.41a) (1.41b) (1.41c) wobei gilt i F i F,0 = f(ψ F ) i F,0 = f ( ψf ψ F,0 ). Wegen es größeren Luftspaltes in Ankerquerrichtung gilt L A R A ψ F,0 u F,0 un auch magnetische Sättigungserscheinungen im Ankerkreis sin im Allgemeinen zu vernachlässigen. Zur Vereinfachung er Schreibweise weren im Weiteren sämtliche normierten Größen x x 0 in er Form x x 0 = x angeschrieben. Für konstante Eingangsgrößen u A, u F un M L erhält man aus (1.41) für en stationären Zustan ie Gleichungen 0 = ũ A ĩ A ψ F ω (1.42a) 0 = ũ F f ( ) ψf (1.42b) 0 = ψ F ĩ A M L. (1.42c) Betrachtet man en normierten verketteten Fluss ψ F als unabhängige Eingangsgröße - iese kann stationär immer aus ũ F über ie zweite Gleichung von (1.42) berechnet weren - ann können für en stationären Zustan er fremerregten Gleichstrommaschine folgene Zusammenhänge ĩ A = 1 ψf ML, (1.43a) ω = 1 ψf ũ A 1 ψ2 F ML (1.43b) angegeben weren. Man beachte, ass er verkettete Erregerfluss ψ F urch ie Eisensättigung im Erregerkreis limitiert ist, weshalb man ψ F,0 immer so festlegen kann, ass

26 1.7. Gleichstrommaschinen Seite 19 näherungsweise im gesamten Arbeitsbereich gilt ψ F = ψ F ψ F,0 1. (1.44) Aufgabe Zeigen Sie, ass im Falle einer konstant erregten Gleichstrommaschine ψ F = ψ F,0 as mathematische Moell (1.39) linear ist. Man unterscheiet nun bei fremerregten Gleichstrommaschinen zwischen Anker- un Felregelung. Bei er Ankerregelung wir er Erregerfluss wie bei er konstant erregten Gleichstrommaschine ψ F = ψ F,0 gesetzt un ie Regelung er Drehwinkelgeschwinigkeit ω erfolgt über ie Ankerkreisspannung u A. Aufgabe Zeichnen Sie ie stationären Kennlinien von (1.43) für ψ F = 1 mit ũ A als Parameter (ũ A = 1.0, 0.5, 0.5, 1.0) im Bereich 0.5 M L 0.5. Im Gegensatz azu wir bei er Felregelung ie Ankerspannung mit em nominellen Wert u A = ±u A,0 betrieben un ie Drehzahlregelung erfolgt über ie Erregerspannung u F urch Schwächung es Erregerflusses im Bereich ψ F,min ψ F 1. Setzt man in (1.43) ũ A = 1, ann ergeben sich ie stationären Kennlinien von Abbilung Die maximal erreichbare Drehwinkelgeschwinigkeit ω max bei konstantem Lastmoment M L erhält man aus (1.43) mit ũ A = 1 über ie Beziehung ) ω ψ = (1 1 ψ2 2 ψf ML = 0 (1.45) F F in er Form ψ F,min = 2 M L, (1.46a) ω max = 1 4 M. L (1.46b) Man erkennt aus (1.46), ass für ein gegebenes konstantes Lastmoment M L er untere Grenzwert es Flusses urch ψ F,min = 2 M L gegeben ist. Das linke Bil von Abbilung 1.13 zeigt unter anerem, ass ein Verringern es Flusses ψ F je nach Lastmoment M L nicht unbeingt zu einer Erhöhung er Drehwinkelgeschwinigkeit ω führt. Daurch wir in er Praxis meist eine Kombination aus Anker- un Felregelung gewählt - nämlich in er Form, ass bis zum nominellen Wert er Drehwinkelgeschwinigkeit ω 0 ie Drehwinkelgeschwinigkeit urch ie Ankerspannung u A geregelt wir un er Erregerfluss ψ F auf seinen nominellen Wert ψ F,0 gehalten wir un erst bei Erreichen er Ankerspannung u A,0 eine weitere Erhöhung er Drehwinkelgeschwinigkeit urch Felschwächung erfolgt. Aufgabe In Abbilung 1.14 ist as Ersatzschaltbil einer Reihenschlussmaschine wie sie sehr häufig bei Traktionsantrieben verwenet weren argestellt. Die Bezeichnungen sin vollkommen analog zur fremerregten Gleichstrommaschine. Eventuell vorhanene externe Wierstäne im Ankerkreis weren em Ankerwierstan R A zugeschlagen un er einstellbare Wierstan R P ient er Felschwä-

27 1.8. Hyraulischer Aktor (Zweistangenzyliner) Seite 20 ψ F = 0.3 ψ F = 0.4 ψ F = 0.6 ψ F = 0.8 ω 4 2 ω max ĩ A ψ F = 0.3 ψ F = 0.4 ψ F = 0.6 ψ F = M L ML Drehzahl-Drehmomenten-Kennlinie Ankerstrom-Drehmomenten-Kennlinie Abbilung 1.13.: Stationäre Kennlinien bei er Felregelung. chung. Geben Sie ein mathematisches Moell er Reihenschlussmaschine an un überlegen Sie, wie sich er Wierstan R P auf as stationäre Verhalten auswirkt. R F i F = f(ψ F ) i A R F Ψ F M el ω, ϕ u in u A Θ G M L L A R A Abbilung 1.14.: Ersatzschaltbil einer Reihenschlussmaschine Hyraulischer Aktor (Zweistangenzyliner) Abbilung 1.15 zeigt einen über ein 3/4-Wegeventil mit Nullübereckung angesteuerten Zweistangenzyliner. Man beachte, ass iese Konfiguration auch en sehr häufig auftretenen Fall eines oppeltwirkenen Zyliners mit einseitiger Kolbenstange (Differenzialzyliner) beinhaltet. Dabei bezeichnet x k ie Kolbenposition, V 0,1 un V 0,2 sin ie Volumina er beien Zylinerkammern für x k = 0, A 1 un A 2 beschreiben ie effektiven Kolbenflächen, m k ist ie Summe aller bewegten Massen, q 1 bzw. q 2 bezeichnen en Fluss vom Steuerventil zum Zyliner bzw. vom Zyliner zum Steuerventil, q int ist er interne Leckölfluss un mit q ext,1 un q ext,2 weren ie externen Leckölflüsse beschrieben. Im

28 F G ) F 1.8. Hyraulischer Aktor (Zweistangenzyliner) Seite 21 N G A N J 8 G E J 8 G A N ) F G N I F F I F J F I Abbilung 1.15.: Zweistangenzyliner mit 3/4-Wegeventil. Allgemeinen ist ie Dichte von Öl ρ oil eine Funktion es Drucks p un er Temperatur T. Der Temperatureinfluss soll im Weiteren vernachlässigt un als konstitutive Gleichung er isotherme Kompressionsmoul β T mit 1 = 1 β T ρ oil ( ) ρoil p T = const. (1.47) verwenet weren. Die Kontinuitätsgleichungen für ie beien Zylinerkammern lauten t (ρ oil (p 1 ) (V 0,1 + A 1 x k )) = ρ oil (p 1 ) (q 1 q int q ext,1 ) t (ρ oil (p 2 ) (V 0,2 A 2 x k )) = ρ oil (p 2 ) (q int q ext,2 q 2 ) (1.48a) (1.48b) mit en Zylinerrücken p 1 un p 2. Da ie internen un externen Leckölflüsse q int, q ext,1 sowie q ext,2 im Allgemeinen laminar sin, besteht ein linearer Zusammenhang zwischen Leckölfluss un Druckabfall. Unter Verwenung er Beziehung (1.47) vereinfacht sich

29 1.8. Hyraulischer Aktor (Zweistangenzyliner) Seite 22 (1.48) zu β T t p 1 = (V 0,1 + A 1 x k ) t p β T 2 = (V 0,2 A 2 x k ) ( q 1 A 1 t x k C int (p 1 p 2 ) C ext,1 p 1 ( q 2 + A 2 t x k + C int (p 1 p 2 ) C ext,2 p 2 ) ) (1.49a) (1.49b) mit en laminaren Leckölkoeffizienten C int, C ext,1 un C ext,2. Für ein 3/4-Wegeventil mit Nullübereckung errechnen sich ie Flüsse q 1 bzw. q 2 in er Form q 1 = K v,1 ps p 1 sg (x s ) K v,2 p1 p T sg ( x s ) q 2 = K v,2 p2 p T sg (x s ) K v,1 ps p 2 sg ( x s ) (1.50a) (1.50b) mit em Tankruck p T, em Versorgungsruck p S, er Steuerschieberposition x s, er Funktion sg (x s ) = x s für x s 0 un sg (x s ) = 0 für x s < 0 sowie en Ventilkoeffizienten K v,i = C A v,i 2/ρoil, i = 1, 2. Dabei bezeichnet er Ausruck A v,i x s en Blenenquerschnitt un C en Durchflusskoeffizienten (C , abhängig von er Geometrie er Steuerkante, Reynolszahl, Durchströmungsrichtung etc.). Vernachlässigt man ie Dynamik es Steuerschiebers un betrachtet ie Steuerschieberposition x s als Eingangsgröße in as System, ann erhält man für Abbilung 1.15 ein mathematisches Moell er Form t p β T 1 = (V 0,1 + A 1 x k ) (q 1 A 1 v k C int (p 1 p 2 ) C ext,1 p 1 ) (1.51a) t p β T 2 = (V 0,2 A 2 x k ) ( q 2 + A 2 v k + C int (p 1 p 2 ) C ext,2 p 2 ) (1.51b) t x k = v k (1.51c) t v k = 1 (A 1 p 1 A 2 p 2 k v k c k x k ) m k (1.51) mit q 1 un q 2 von (1.50).

30 1.9. Literatur Seite Literatur [1.1] C. Canuas e Wit, H. Olsson, K. J. Åström un P. Lischinsky, A new moel for control of systems with friction, IEEE Transactions on Automatic Control, B. 40, Nr. 3, S , März [1.2] W. Leonhar, Control of Electrical Drives. Springer, Berlin: Dover Publications, [1.3] H. E. Merritt, Hyraulic Control Systems. New York, USA: John Wiley & Sons, [1.4] H. Murrenhoff, Grunlagen er Fluitechnik. Aachen, Germany: Shaker, [1.5] G. Pfaff, Regelung elektrischer Antriebe I. München: Olenbourg, [1.6] M. W. Spong, Robot Dynamics an Control. New York: John Wiley & Sons, 1989.

31 2. Dynamische Systeme Ein ynamisches System (ohne Eingang) erlaubt ie Veränerung von gewissen Punkten (Elementen einer geeigneten Menge) in er Zeit t zu beschreiben. In er Regelungstechnik sin iese Punkte urch en Zustan x (t) es Systems gegeben. Kann als Menge er Zustäne X = R n gewählt weren, ann ist urch ein autonomes, mit gegeben. Aus er Beziehung Φ t (x) : R n R R n (2.1) x (t) = Φ t (x 0 ) (2.2) x 0 = Φ 0 (x 0 ) (2.3) folgt, ass Φ 0 ie ientische Abbilung I mit x = I (x) sein muss. Aus en Beziehungen x (t) = Φ t (x 0 ) x (s + t) = Φ s (x (t)) x (s + t) = Φ s+t (x 0 ) (2.4a) (2.4b) (2.4c) folgt nun x (s + t) = Φ s (Φ t (x 0 )) = Φ s+t (x 0 ) (2.5) oer Φ s Φ t = Φ s+t, (2.6) wobei ie Komposition er Abbilungen Φ s un Φ t bezeichnet. Durch Vertauschen er Reihenfolge in obigen Überlegungen folgt wourch ie Schreibweise Φ s+t gerechtfertigt wir. Φ s+t = Φ s Φ t = Φ t Φ s, (2.7) Aufgabe 2.1. Durch a (x) : R n R n un b (x) : R n R n seien zwei lineare Abbilungen es R n auf sich selbst gegeben. Ist ie Komposition (a b) (x) = a (b (x)) wieer eine lineare Abbilung? Gilt a b = b a?

32 2. Dynamische Systeme Seite 25 Aufgabe 2.2. D.h., sin lineare Abbilungen bezüglich es Hintereinanerausführens kommutativ? Die linearen Abbilungen a un b sin urch ie Matrizen A un B mit y = Ax un y = Bx gegeben. Wie lauten ie Matrizenarstellungen zu obigen Kompositionen? Im Weiteren wir noch vorausgesetzt, ass Φ t (x) eine (nach x) stetig ifferenzierbare Abbilung ist. Definition 2.1 (Dynamisches System). Ein (autonomes) ynamisches System ist eine C 1 (stetig ifferenzierbare) Abbilung ie folgenen Beingungen genügt: (1) Φ 0 ist ie ientische Abbilung I un (2) ie Komposition Φ s (Φ t (x)) erfüllt ie Beziehungen für alle s, t R. Φ t (x) : R n R R n, (2.8) Φ s+t = Φ s Φ t = Φ t Φ s (2.9) Man beachte, ass aus obiger Definition unmittelbar ( ) Φ s (Φ s (x 0 )) = Φ 0 (x 0 ) = Φ 1 s Φ s (x 0 ) = x 0 (2.10) folgt. Die Abbilung Φ t erfüllt also folgene Beingungen: (1) Φ 0 = I, (2) Φ s+t = Φ s Φ t = Φ t Φ s un (3) Φ 1 s = Φ s. Ein ynamisches System nach Definition 2.1 ist nun eng mit einem System von Differenzialgleichungen verbunen. Aus 1 ẋ (t) = lim t 0 t (Φ t+ t (x 0 ) Φ t (x 0 )) ( ) 1 = lim t 0 t (Φ t I) Φ t (x 0 ) = t Φ t Φ t (x 0 ) t=0 = t Φ t (x (t)) t=0 (2.11) folgt ẋ (t) = f (x (t)), f (x (t)) = t Φ t (x (t)). (2.12) t=0 Damit erfüllt ein ynamisches System noch ie Beziehung

33 2. Dynamische Systeme Seite 26 t Φ t (4) (x (t)) = f (x (t)) mit x (t) = Φ t (x 0 ). Man nennt ie Abbilung Φ t t=0 auch en Fluss zum Differenzialgleichungssystem (2.12). Aufgabe 2.3. Wählen Sie as spezielle ynamische System x (t) = e At x 0 oer Φ t (x) = e At x. Interpretieren Sie jetzt ie Eigenschaften er Transitionsmatrix entsprechen er Punkte (1) - (3) eines ynamischen Systems neu. Wie sieht as zugehörige Differenzialgleichungssystem aus? Als Beispiel wir ie Bewegung eines Punktes x 0 R 3 auf einer Einheitskugel mit em Ursprung als Mittelpunkt betrachtet (siehe azu Abbilung 2.1). Als Ansatz für eine (stetige) Transformation, ie Punkte er Einheitskugel wieer auf iese abbilet, wir ie Form x (t) = D (t, x 0 ) x 0 = Φ t (x 0 ) (2.13) mit einer (3 3)-Matrix D gewählt. Wegen x T 0 x 0 = x T (t) x (t) = 1 müssen ie Beingungen erfüllt sein. Aufgabe 2.4. Zeigen Sie ie Gültigkeit von (2.14). D T D = DD T = E (2.14) x 3 w ẋ x x 2 x 1 Abbilung 2.1.: Bewegung auf einer Kugel. Damit ie Abbilung 2.1 ein ynamisches System beschreibt, müssen ie Beingungen

34 2. Dynamische Systeme Seite 27 (1) D (0, x) = E un (2) D (s + t, x) = D (s, D (t, x) x) D (t, x) = D (t, D (s, x) x) D (s, x) gelten. Weiters weiß man, ass ein ynamisches System mit einem System von Differenzialgleichungen er Form ẋ = t (D (t, x) x) t=0 = t D (t, x) t=0 x (2.15) verbunen ist. Außerem gilt ie Beziehung ( ) W = t D (t, x 0) D T (t, x 0 ) 1 = lim t 0 t (D (t + t, x 0) D (t, x 0 )) D T (t, x 0 ) mit Beingung (2): = lim t 0 = lim t 0 1 t (D ( t, D (t, x 0) x 0 ) D (t, x 0 ) D (t, x 0 )) D T (t, x 0 ) 1 t (D ( t, D (t, x 0) x 0 ) E) D (t, x 0 ) D T (t, x 0 ) = t D (t, x) t=0. (2.16) Mit Hilfe von (2.14) ist es unmittelbar einsichtig, ass W schiefsymmetrisch ist, enn es gilt ( ) ( ) ( ) DD T = t t D D T + D t DT = 0 (2.17) bzw. ( ) ( ) t D D T = D t DT. (2.18) Eine schiefsymmetrische Matrix W hat im Allgemeinen ie Form 0 ω 3 (x) ω 2 (x) W (x) = ω 3 (x) 0 ω 1 (x) (2.19) ω 2 (x) ω 1 (x) 0 un somit kann ie Differenzialgleichung (2.15) wie folgt ẋ = Wx = w (x) x (2.20) mit w T (x) = [ω 1 (x), ω 2 (x), ω 3 (x)] angeschrieben weren. Das heißt, beschreibt ein ynamisches System ie Bewegung eines Punktes auf einer Kugel, ann erhält man bei er ifferenziellen Schreibweise as Kreuzproukt.

35 2.1. Differenzialgleichungen Seite Differenzialgleichungen Durch ein ynamisches System nach Definition 2.1 ist also ein System von Differenzialgleichungen festgelegt. Wann eine Differenzialgleichung er Form ẋ = f (x) (2.21) ein ynamisches System im obigen Sinne beschreibt, wir in weiterer Folge untersucht. In einem ersten Schritt sollen jeoch einige Grunbegriffe erläutert weren. Definition 2.2 (Linearer Vektorraum). Man nennt eine nichtleere Menge X einen linearen Vektorraum über einem (skalaren) Körper K mit en binären Operationen + : X X X (Aition) un : K X X (Multiplikation mit einem Skalar aus K), wenn folgene Vektorraumaxiome erfüllt sin: (1) Die Menge X mit er Verknüpfung + ist eine kommutative Gruppe,.h. für x, y, z X gilt: (1) x + y = y + x Kommutativität (2.22) (2) x + (y + z) = (x + y) + z Assoziativität (2.23) (3) 0 + x = x neutrales Element (2.24) (4) x + ( x) = 0 inverses Element (2.25) (2) Die Multiplikation mit einem Skalar a, b K genügt en Gesetzen: (1) a (x + y) = ax + ay Distributivität (2.26) (2) (a + b) x = ax + bx Distributivität (2.27) (3) (ab) x = a (bx) Assoziativität (2.28) (4) 1x = x, 0x = 0 (2.29) Definition 2.3 (Linearer Unterraum). Wenn X ein linearer Vektorraum über em Körper K ist, ann ist eine Teilmenge S von X ein linearer Unterraum, wenn gilt x, y S ax + by S für alle Skalare a, b K. Ein Ausruck er Form n a j x j = a 1 x 1 + a 2 x a n x n (2.30) j=1 mit X x j, j = 1,..., n un en Skalaren K a j, j = 1,..., n wir als Linearkombination er Vektoren x 1, x 2,..., x n X bezeichnet. Existieren nun Skalare a j, j = 1,..., n, ie nicht alle ientisch Null sin, so, ass ie Linearkombination n a j x j = 0 gilt, ann sin ie Vektoren x 1, x 2,..., x n X linear abhängig. Wenn außer er trivialen Lösung a j = 0, j = 1,..., n keine Skalare existieren, ie iese Beingung erfüllen, ann bezeichnet man ie Vektoren x 1, x 2,..., x n X als linear unabhängig. Für ie Menge aller j=1

36 2.1. Differenzialgleichungen Seite 29 Linearkombinationen von Vektoren einer nichtleeren Teilmenge M von X schreiben wir in weiterer Folge span (M). Der von M aufgespannte Unterraum (auch als lineare Hülle bezeichnet) ist er kleinste Unterraum gemäß Definition 2.3, er M umfasst,.h., seine Elemente lassen sich alle als Linearkombinationen von Elementen aus M arstellen. Wenn nun ein linearer Vektorraum X urch eine enliche Anzahl n von linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wir, ann hat X ie Dimension n un wir als enlich imensional bezeichnet. Wenn keine finite Anzahl existiert, ist X unenlich imensional Der Normbegriff Beispiele zu linearen Vektorräumen sin ie Vektoren esr n, ie (n m) - imensionalen, reellwertigen Matrizen oer ie komplexen Zahlen jeweils mit em Skalarkörper R. Definition 2.4 (Normierter linearer Vektorraum). Ein normierter linearer Vektorraum ist ein Vektorraum X über einem Skalarkörper K mit einer reellwertigen Funktion x : X R +, ie jeem x X eine reellwertige Zahl x, ie so genannte Norm von x, zuornet un folgene Normaxiome erfüllt: (1) x 0 für alle x X Nichtnegativität (2.31) (2) x = 0 x = 0 (2.32) (3) x + y x + y Dreiecksungleichung (2.33) (4) αx = α x für alle x X un alle α K (2.34) Aufgabe 2.5. Zeigen Sie, ass aus en Normaxiomen folgt x y x y. Im Weiteren weren einige klassische normierte Vektorräume betrachtet, wobei zwischen enlich un unenlich imensionalen Vektorräumen unterschieen wir. Unter er p-norm, 1 p <, eines Vektors x T = [x 1,..., x n ] versteht man en Ausruck un für p = gilt ( n ) 1/p x p = x i p (2.35) i=1 x = sup x i. (2.36) i Die am häufigsten verweneten Normen auf R n sin ie 1-Norm ( Einsernorm ) n x 1 = x i (2.37) i=1 un ie 2-Norm ( Quaratnorm oer Eukliische Vektornorm ) Es gelten nun folgene Ungleichungen: ( n ) 1/2 x 2 = x 2 i. (2.38) i=1

37 2.1. Differenzialgleichungen Seite 30 Satz 2.1 (Hölersche Ungleichung). Wenn für ie positiven Zahlen 1 p un 1 q ie Beziehung 1 p + 1 q = 1 (2.39) gilt, ann folgt für x T = [x 1,..., x n ] un y T = [y 1,..., y n ] ie Ungleichung n x i y i x p y q. (2.40) i=1 Satz 2.2 (Minkowski Ungleichung). Für x, y R n, 1 p, gilt x + y p x p + y p. (2.41) Das Gleichheitszeichen in (2.41) gilt ann un nur ann, wenn ax = by für positive Konstanten a un b. Man beachte, ass ie Minkowski Ungleichung er Dreiecksungleichung (3) für Normen in Definition 2.4 entspricht. In einem enlich imensionalen, normierten Vektorraum sin alle Normen äquivalent. Das heißt, wenn α un β zwei verschieene Normen bezeichnen, ann existieren immer zwei Konstanten 0 < c 1, c 2 < so, ass gilt. c 1 α β c 2 α (2.42) Aufgabe 2.6. Beweisen Sie ie Aussage, ass in einem enlich imensionalen Vektorraum alle p-normen äquivalent sin. Aufgabe 2.7. Zeigen Sie, ass es sich bei er Äquivalenz von Normen ( α β ) um eine Äquivalenzrelation hanelt. Hinweis: Sie müssen ie Eigenschaften Reflexivität ( α α ), Symmetrie ( α β β α ) un Transitivität( α β un β γ α γ ) nachweisen. Aufgabe 2.8. Zeichnen Sie in ie (x 1, x 2 ) -Ebene ie Mengen M 1 = { x R 2 x 1 1 }, M 2 = { x R 2 x 2 1 } un M = { x R 2 x 1 } ein. Verifizieren Sie an Han es Biles ie Ungleichung x 2 x 1 2 x 2 (2.43)

38 2.1. Differenzialgleichungen Seite 31 un finen Sie geeignete positive Konstanten c 1 un c 2 für ie Ungleichung c 1 x 2 x c 2 x 2. (2.44) Die Äquivalenz von Normen gilt für unenlich imensionale, normierte Vektorräume nicht. Unter em unenlich imensionalen Vektorraum L p [t 0, t 1 ], 1 p <, versteht man alle reellwertigen Funktionen x (t) im Intervall [t 0, t 1 ], für ie gilt x p = ( t1 t 0 ) 1/p x (t) p t <. (2.45) Man beachte an ieser Stelle, ass im Vektorraum L p [t 0, t 1 ] Funktionen, ie fast überall gleich sin, sich also nur auf einer Menge von abzählbaren Punkten unterscheien, als ientisch angesehen weren. Nur eshalb erfüllt ie Norm x p von (2.45) ie Beingung (2) von Definition 2.4. Der Vektorraum L [t 0, t 1 ] beschreibt nun alle reellwertigen Funktionen x (t), ie auf em Intervall [t 0, t 1 ] essentiell beschränkt sin,.h. beschränkt abgesehen auf einer Menge von abzählbaren Punkten. Die zugehörige Norm lautet ann x = ess sup t0 t t 1 x (t). Die Hölersche Ungleichung für ie L p -Räume lautet wie folgt (vergleiche Satz 2.1): Satz 2.3 (Hölersche Ungleichung für L p -Räume). Für x (t) L p [t 0, t 1 ] un y (t) L q [t 0, t 1 ] mit p > 1 un gilt 1 p + 1 q = 1 (2.46) t1 t 0 x (t) y (t) t x p y q. (2.47) Die Minkowski Ungleichung für L p -Räume entspricht wieerum er Dreiecksungleichung (3) gemäß er Normefinition 2.4 un wir eshalb an ieser Stelle nicht wieerholt. Die gängigen Normen sin auch hier ie L 1 -, L 2 - un ie L -Norm un weren im Folgenen nochmals kurz zusammengefasst. t1 x 1 = x (t) t, (2.48a) t 0 t1 x 2 = x 2 (t) t, (2.48b) t 0 x = ess sup t 0 t t 1 x (t). Man überzeugt sich leicht, ass sich für ie Funktion (2.48c) x (t) = { 1/t für t 1 0 für t < 1 (2.49)

39 2.1. Differenzialgleichungen Seite 32 ie L 1 -, L 2 - un ie L -Norm wie folgt x 1 =, x 2 = 1, x = 1 (2.50a) (2.50b) (2.50c) berechnen un somit aus er Existenz einer Norm nicht auf ie Existenz anerer Normen geschlossen weren kann. Aufgabe 2.9. Berechnen Sie ie L 1 -, L 2 - un ie L -Norm für ie Zeitfunktionen x (t) = sin (t), x (t) = 1 exp ( t) un x (t) = 1/ 3 t für 0 t. Zur äquivalenz von Normen sei noch folgene Definition zu topologisch äquivalenten normierten Vektorräumen erwähnt: ) Definition 2.5. Es seien (X, X ) un (Y, Y zwei normierte lineare Vektorräume. Man nennt nun X un Y topologisch isomorph, wenn eine bijektive lineare Abbilung T : X Y un positive reelle Konstanten c 1 un c 2 so existieren, ass gilt c 1 x X Tx Y c 2 x X (2.51) für alle x X. Man nennt ann ie Normen X un Y auch äquivalent. Abschließen sollte noch beachtet weren, ass ie Normen von enlich un unenlich imensionalen Vektorräumen auch kombiniert auftreten können. Als Beispiel betrachte man en Vektorraum C n [t 0, t 1 ], ie Menge aller vektorwertigen, stetigen Zeitfunktionen, ie as Intervall [t 0, t 1 ] auf en R n abbilen. Definiert man nun eine Norm er Form x (t) C = sup x (t) 2 t [t 0,t 1 ] ( n = sup t [t 0,t 1 ] 1/2 x 2 i (t)), i=1 (2.52) ann ist urch 2 eine Norm es R n mit einem n-imensionalen Vektor als Argument gegeben, wohingegen C ie Norm auf C n [t 0, t 1 ] mit einer vektorwertigen Zeitfunktion als Argument bezeichnet. Aufgabe Beweisen Sie, ass x (t) C von (2.50) eine Norm ist Inuzierte Matrixnorm Eine reellwertige (m n)-matrix A beschreibt eine lineare Abbilung es R n in en R m. Angenommen, x p bezeichnet eine zulässige Norm, ann efiniert man ie so genannte inuzierte p-norm in er Form Ax p A i,p = sup. (2.53) x 0 x p