Vorwort zur zehnten Auflage

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4 Vorwort zur zehnten Auflage Im Jahre 2004 feierte die Grenzschicht-Theorie ihr hundertjähriges Bestehen. Es existieren nicht sehr viele Theorien, die bei einem derartigen Jubiläum noch so aktuell sind und sich nach wie vor so großer Beliebtheit bei der praktischen Anwendung erfreuen wie die Grenzschicht-Theorie. Dieses wurde bei einem im Jahre 2004 in Göttingen abgehaltenen internationalen Kongress eindrucksvoll bestätigt, wie der Tagungsband G.E.A. Meier, K.R. Sreenivasan, H.-J. Heinemann (Eds.): IUTAM Symposium on One Hundred Years of Boundary Layer Research, Springer, Dordrecht, 2006, erkennen läßt. Als Ludwig Prandtl im Jahre 1904 die Grenzschicht-Theorie konzipierte, wollte er damit Strömungen bei großen Reynolds-Zahlen (d.h. bei kleiner Reibung) berechnen. Dazu betrachtete er die Strömungen mit kleiner Reibung als Störungen der entsprechenden Strömungen ohne Reibung (Potentialströmungen). Da letztere nicht die Haftbedingung an der Wand erfüllen, handelt es sich bei der Berechnung der Strömungen bei großen Reynolds-Zahlen um ein sogenanntes singuläres Störungsproblem. Die von Ludwig Prandtl formulierte Grenzschicht-Theorie ist inzwischen eine in der Mathematik gängige Methode zur Lösung von singulären Störungsproblemen, und zwar unter der Bezeichnung Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen (vgl. W. Eckhaus: Matched Asymptotic Expansions and Singular Perturbations. North-Holland, Amsterdam, 1973) Singuläre Störungsprobleme treten jedoch nicht nur in der Strömungsmechanik auf, sondern auch in vielen anderen Bereichen der Naturwissenschaften und Technik, z.b. Festkörpermechanik, Bruchmechanik, Astronomie, Plasmaphysik, Chemie, Biologie, Ozeanographie. Obwohl sich das vorliegende Buch allein der strömungsmechanischen Anwendung widmet, sind die Methoden der Grenzschicht-Theorie von allgemeiner Bedeutung. Seit dem Erscheinen der 9. Auflage sind inzwischen acht Jahre vergangen. Es war daher erforderlich, neuere Literatur in den Text einzuarbeiten. Besonders dankbar bin ich Herrn Professor Wilhelm Schneider, Wien, für etliche Hinweise auf Ergänzungen und Textverbesserungen. Frau Ursula Beitz hat mich bei allen Literaturangelegenheiten wieder in dankenswerter Weise unterstützt. Bei Erscheinen der ersten Auflage dieser Grenzschicht-Theorie im Jahre 1951 hat wohl niemand geglaubt, dass dieses Buch in seiner Weiterentwicklung nach über 50 Jahren noch immer so informativ und interessant sein würde. Bochum, Juli 2005 Klaus Gersten

5 Vorwort zur neunten Auflage Zweifellos gehört die Grenzschicht-Theorie von Hermann Schlichting zu den wichtigsten Büchern auf dem Gebiet der Strömungstechnik der letzten Dekaden. Kurz vor seinem Tode hat Hermann Schlichting noch die achte Auflage herausgebracht, die er unter Mitwirkung seines ehemaligen Kollegen und Freundes Friedrich Wilhelm Riegels neu bearbeitet hatte. Als diese Auflage vergriffen war und der Verlag eine Neuauflage anstrebte, habe ich diese Aufgabe gern übernommen. Während meiner fünfzehnjährigen Tätigkeit am Institut meines hochverehrten Lehrers Hermann Schlichting war ich bereits bei früheren Auflagen des Buches beteiligt und hatte einige Kapitel überarbeitet. Erleichternd kam hinzu, daß die Grenzschicht-Theorie im weitesten Sinne seit vielen Jahren mein bevorzugtes Forschungsgebiet ist. Es wurde sehr schnell klar, daß eine völlig neue Überarbeitung notwendig war. Dieses war auch schon Hermann Schlichting bewußt. Im Vorwort zur achten Auflage schrieb er dazu: Im Interesse einer Systematik unseres heutigen Wissens wäre es wünschenswert gewesen, die Darstellung völlig zu überarbeiten. Doch hätte ein solches Vorgehen das Erscheinen um einige Jahre hinausgeschoben. Gegenüber der achten Auflage mußte die Literatur der letzten 15 Jahre berücksichtigt werden, und neuere Entwicklungen, z.b. bei den Turbulenzmodellen, waren zusätzlich aufzunehmen. Um jedoch den Umfang des Buches in etwa zu belassen, mußten manche Ergebnisse, die bei den heutigen Möglichkeiten des Computereinsatzes nicht mehr so wichtig erscheinen, gekürzt dargestellt oder gänzlich weggelassen werden. Damit ergab sich die Notwendigkeit, den Text praktisch völlig neu zu schreiben. Die Grundeinteilung des Buches wurde jedoch beibehalten. Es bestehen nach wie vor die vier großen Abschnitte: Grundgesetze der Strömungen von viskosen Fluiden, laminare Grenzschichten, Einsetzen der Turbulenz, turbulente Grenzschichten. Es wurde jedoch ein neuer fünfter Abschnitt über numerische Verfahren der Grenzschicht-Theorie angefügt. Die Kapiteleinteilung mußte etwas geändert werden, um die Systematik in der Darstellung des Stoffes zu verbessern. Wegen der notwendigen Straffung des Stoffes bestand das Bestreben, sich auf die eigentliche Grenzschichttheorie als die Theorie der Strömungen bei hohen Reynolds-Zahlen zu konzentrieren. So entfiel beispielsweise das Kapitel über schleichende Bewegungen, also über Strömungen bei sehr kleinen Reynolds-Zahlen. Es lag nahe, den Stil und das Niveau der Darstellung mit der gleichen Zielgruppe wie bei Hermann Schlichting anzustreben. Das ständig wachsende Forschungsgebiet der Grenzschicht-Theorie hat inzwischen eine solchen Umfang angenommen, daß ein einzelner den gesamten Überblick

6 VIII Vorwort zur neunten Auflage praktisch nicht mehr haben kann. Daher bin ich zwei Kollegen äußerst dankbar, die mich tatkräftig unterstützt haben. Herr Professor E. Krause schrieb das neu hinzugefügte Kapitel über die numerischen Verfahren der Grenzschicht-Theorie, und Herr Professor H. Oertel Jr. besorgte die Neubearbeitung des Abschnittes über das Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie). Weitere Hilfe wurde mir verschiedentlich zuteil. Den Herren Dr.-Ing. Peter Schäfer und Dr.-Ing. Detlef Vieth verdanke ich zahlreiche neue Beispielrechnungen. Herr Dr. Vieth hat außerdem den gesamten Text kritisch gelesen. Ihm verdanke ich zahlreiche Verbesserungsvorschläge. Frau Renate Gölzenleuchter gebührt ganz besonderer Dank für die Anfertigung der Bilder, die bis auf einen kleinen Teil neu erstellt wurden. Bei Frau Ursula Beitz möchte ich mich für die sorgfältige und mühevolle Überprüfung des Literatur- und Namensverzeichnisses besonders bedanken. Frau Marianne Ferdinand und Herr Eckhard Schmidt haben tüchtig mitgeholfen. Es konnten bei weitem nicht alle Literaturzitate übernommen werden, so daß für spezielle Literaturhinweise zu früheren Arbeiten eventuell auf die achte Auflage zurückgegriffen werden muß. Die äußerst fruchtbare Zusammenarbeit mit der Satzfirma Jörg Steffenhagen sei besonders lobend erwähnt. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag für die angenehme Zusammenarbeit. Ich hoffe, wir konnten im Sinne von Hermann Schlichting sein Werk weiterführen. Bochum, Oktober 1996 Klaus Gersten

7 Inhaltsverzeichnis Einleitung XIX Teil A: Grundlagen der Strömungen mit Reibung 1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung Wirkliche und ideale Fluide Viskosität Reynolds-Zahl Laminare und turbulente Strömungen Asymptotisches Verhalten für große Reynolds-Zahlen Vergleich von Messungen mit der reibungsfreien Grenzlösung Zusammenfassung Grundzüge der Grenzschicht-Theorie Grenzschicht-Konzept Laminare Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte Turbulente Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte Ausgebildete turbulente Strömung im Rohr Grenzschicht am Tragflügelprofil Ablösung der Grenzschicht Übersicht zum folgenden Stoff Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide Beschreibung von Strömungsfeldern Kontinuitätsgleichung Impulsgleichung Allgemeiner Spannungszustand verformbarer Körper Allgemeiner Verformungszustand strömender Fluide Beziehung zwischen Spannungen und Verformungsgeschwindigkeiten Hypothese von Stokes Volumenviskosität und thermodynamischer Druck Navier-Stokes-Gleichungen Energiegleichung... 68

8 X Inhaltsverzeichnis 3.11 Bewegungsgleichungen für beliebige Koordinatensysteme (Zusammenfassung) Bewegungsgleichungen für kartesische Koordinaten in Index-Schreibweise Bewegungsgleichungen in speziellen Koordinatensystemen Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen Ähnlichkeitsgesetze Ähnlichkeitsgesetze für Strömungen mit Auftriebskräften (gemischte erzwungene und natürliche Konvektion) Ähnlichkeitsgesetze für die natürliche Konvektion Wirbeltransportgleichung Grenzfall sehr kleiner Reynolds-Zahlen Grenzfall sehr großer Reynolds-Zahlen Mathematisches Beispiel zum Grenzübergang Re Mehrdeutigkeit der Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen Stationäre ebene Strömungen Couette-Poiseuille-Strömungen Jeffery-Hamel-Strömungen (ausgebildete Düsen- und Diffusor-Strömungen) Ebene Staupunktströmung Parabel-Umströmung Kreiszylinder-Umströmung Stationäre axialsymmetrische Strömungen Kreisrohr-Strömung (Hagen-Poiseuille-Strömung) Strömung zwischen zwei konzentrischen rotierenden Zylindern Axialsymmetrische Staupunktströmung Strömung an einer rotierenden Scheibe Axialsymmetrischer Freistrahl Instationäre ebene Strömungen Strömung an einer plötzlich in Gang gesetzten ebenen Wand (Erstes Stokessches Problem) Strömung an einer oszillierenden Wand (Zweites Stokessches Problem) Zeitlicher Anlauf der Couette-Strömung Instationäre asymptotische Absaugung Instationäre ebene Staupunktströmung Oszillierende Kanalströmung Instationäre axialsymmetrische Strömungen Zeitlicher Wirbelzerfall

9 Inhaltsverzeichnis XI Instationäre Rohrströmung Zusammenfassung Teil B: Laminare Grenzschichten 6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht Aufstellung der Grenzschichtgleichungen Wandreibung, Ablösung und Verdrängung Dimensionsbehaftete Darstellung der Grenzschichtgleichungen Reibungswiderstand Plattengrenzschicht Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen für ebene Strömungen Wandbindung Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen Herleitung der gewöhnlichen Differentialgleichung A Grenzschichten mit Außenströmungen (U(ξ) = 0) B Grenzschichten ohne Außenströmung (U(ξ) = 0) Keilströmungen Strömung im konvergenten Kanal Trennungsschicht Gezogene Platte Freistrahl Wandstrahl Transformation der Koordinaten Görtler-Transformation von Mises-Transformation Crocco-Transformation Reihenentwicklungen der Lösungen Blasius-Reihe Görtler-Reihe Asymptotisches Verhalten der Lösungen stromabwärts Nachlauf hinter ebenen Körpern Grenzschicht an einer bewegten Wand Integralsätze der Grenzschicht Impulssatz der Grenzschicht Energiesatz Impulsmomentensätze

10 XII Inhaltsverzeichnis 8 Näherungsverfahren zur Lösung der Grenzschichtgleichungen für stationäre ebene Strömungen Integralverfahren Ablösungskriterium nach Stratford Vergleich der Lösungen des Näherungsverfahrens mit exakten Lösungen Verzögerte Staupunktströmung Divergenter Kanal (Diffusor) Kreiszylinder-Strömung Symmetrische Strömung um ein Joukowsky-Profil Temperaturgrenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld Grenzschichtgleichungen für das Temperaturfeld Erzwungene Konvektion bei konstanten Stoffwerten Einfluß der Prandtl-Zahl Ähnliche Lösungen der Temperaturgrenzschicht-Gleichungen Integralverfahren zur Berechnung des Wärmeüberganges Einfluß der Dissipation; Verteilung der adiabaten Wandtemperatur Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld Vorbemerkung Grenzschichtgleichungen Grenzschichten mit mäßigem Wärmeübergang (ohne Schwerkrafteinfluß) Störungsrechnung Methode der Stoffwertverhältnisse (Temperaturverhältnisse) Methode der Referenztemperatur Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß) Aufgabenstellung und Stoffgesetze Einfache Lösungen der Energiegleichung Transformation der Grenzschichtgleichungen Ähnliche Lösungen Integralverfahren Grenzschichten bei Hyperschallströmungen Natürliche Konvektion Grenzschichtgleichungen Transformation der Grenzschicht-Gleichungen Grenzfall großer Prandtl-Zahlen (T w = const)

11 Inhaltsverzeichnis XIII Ähnliche Lösungen Allgemeine Lösungen Variable Stoffwerte Einfluß der Dissipation Indirekte natürliche Konvektion Gemischte Konvektion Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen) Die verschiedenen Arten der Grenzschichtbeeinflussung Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen Grundlagen Massives Absaugen (v w ) Massives Ausblasen (v w + ) Ähnliche Lösungen Allgemeine Lösungen Ausblasen und Absaugen bei natürlicher Konvektion Zweistoffgrenzschichten Überblick Grundgleichungen Analogie zwischen Wärme- und Stoffübertragung Ähnliche Lösungen Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten Axialsymmetrische Grenzschichten Grenzschichtgleichungen Mangler-Transformation Grenzschichten an Rotationskörpern ohne Rotation Grenzschichten an Rotationskörpern mit Rotation Freistrahl und Nachlauf Dreidimensionale Grenzschichten Grenzschichtgleichungen Grenzschichten am Zylinder Grenzschichten am schiebenden Zylinder Dreidimensionaler Staupunkt Grenzschichten in Symmetrie-Ebenen Allgemeine Konfigurationen Instationäre Grenzschichten Grundlagen Vorbemerkung Grenzschichtgleichungen Ähnliche und halbähnliche Lösungen

12 XIV Inhaltsverzeichnis Lösungen für kleine Zeiten bzw. große Frequenzen Ablösung instationärer Grenzschichten Integralsätze und Integralverfahren Instationäre Bewegung von Körpern in ruhender Umgebung Anfahrvorgänge Oszillation von Körpern in ruhender Umgebung Instationäre Grenzschichten bei einer stationären Grundströmung Periodische Außenströmung Stationäre Strömung mit schwacher periodischer Störung Zeitlicher Übergang zwischen zwei nur wenig verschiedenen stationären Grenzschichten Kompressible instationäre Grenzschichten Vorbemerkung Grenzschicht hinter einer Stoßwelle Längstangeströmte ebene Platte bei zeitlich veränderlicher Außengeschwindigkeit und Wandtemperatur Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie Vorbemerkung Grenzschichttheorie höherer Ordnung Hyperschall-Wechselwirkung Dreierdeck-Theorie Marginale Ablösung Massive Ablösung Teil C: Übergang laminar turbulent 15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie) Einige experimentelle Ergebnisse über den laminar turbulenten Übergang Übergang bei der Rohrströmung Übergang in der Grenzschicht Grundlagen der Stabilitätstheorie Vorbemerkung Grundlagen der primären Stabilitätstheorie Orr-Sommerfeld-Gleichung Berechnung der Indifferenzkurve und der Indifferenz-Reynolds-Zahl a Plattengrenzschicht

13 Inhaltsverzeichnis XV b Einfluß des Druckgradienten c Einfluß der Absaugung d Einfluß des Wärmeüberganges e Einfluß der Kompressibilität f Einfluß der Wandrauheit g Weitere Einflüsse Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen Vorbemerkung Grundlagen der sekundären Stabilitätstheorie Grenzschichten an gekrümmten Wänden Grenzschicht an der rotierenden Scheibe Dreidimensionale Grenzschichten Lokale Störungen Teil D: Turbulente Grenzschichten 16 Grundzüge der turbulenten Strömungen Vorbemerkung Mittlere Bewegung und Schwankungsbewegung Grundgleichungen für die mittlere Bewegung turbulenter Strömungen Kontinuitätsgleichung Impulsgleichungen (Reynolds-Gleichungen) Gleichung für die kinetische Energie der turbulenten Schwankungsbewegung (k-gleichung) Thermische Energiegleichung Schließungsproblem Beschreibung der turbulenten Schwankungsbewegung Korrelationen Spektren und Turbulenzballen Turbulenz der Außenströmung Berandung turbulenter Gebiete und Intermittenz Grenzschichtgleichungen für ebene Strömungen Durchströmungen Couette-Strömung Zweischichten-Struktur des Geschwindigkeitsfeldes und logarithmisches Überlappungsgesetz Universelle Wandgesetze Widerstandsgesetz Turbulenz-Modelle

14 XVI Inhaltsverzeichnis Wärmeübertragung Ausgebildete Durchströmungen (A = const) Kanalströmung Couette-Poiseuille-Strömungen Rohrströmung Schlankkanal-Theorie Ebene Düsen und Diffusoren Einlaufströmung für Kanal und Rohr Turbulente Grenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld Turbulenz-Modelle Vorbemerkung Algebraische Turbulenzmodelle Turbulente Energiegleichung Zweigleichungs-Modelle Reynolds-Spannungs-Modelle Modelle für die Wärmeübertragung Niedrig-Reynolds-Zahl-Modelle Grobstruktur-Simulation und direkte numerische Simulation Anliegende Grenzschichten ( τ w = 0) Schichtenstruktur Grenzschichtgleichungen in Defekt-Formulierung Widerstandsgesetz und Kenngrößen der Grenzschicht Gleichgewichtsgrenzschichten Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte Grenzschichten mit Ablösung Stratford-Strömung Quasi-Gleichgewichtsgrenzschichten Berechnung ebener Grenzschichten mit Integralverfahren Direktes Verfahren Inverses Verfahren Berechnung ebener Grenzschichten mit Feldverfahren Anliegende Grenzschichten ( τ w = 0) Grenzschichten mit Ablösung Niedrig-Reynoldszahl-Turbulenzmodelle Zusätzliche Einflüsse Berechnung thermischer Grenzschichten Grundlagen Berechnung thermischer Grenzschichten mit Feldverfahren

15 Inhaltsverzeichnis XVII 19 Turbulente Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld Grundgleichungen Zeitliche Mittelung bei variabler Dichte Grenzschichtgleichungen Kompressible turbulente Grenzschichten Temperaturfeld Überlappungsgesetz Reibungsbeiwert und Nußelt-Zahl Integralverfahren für adiabate Wände Feldverfahren Stoß-Grenzschicht-Interaktion Natürliche Konvektion Axialsymmetrische und dreidimensionale turbulente Grenzschichten Axialsymmetrische Grenzschichten Grenzschichtgleichungen Grenzschichten ohne Körperrotation Grenzschichten mit Körperrotation Dreidimensionale Grenzschichten Grenzschichtgleichungen Berechnungsverfahren Beispiele Instationäre turbulente Grenzschichten Mittelung und Grenzschichtgleichungen Berechnungsverfahren Beispiele Turbulente freie Scherströmungen Vorbemerkung Gleichungen für ebene freie Scherschichten Ebener Freistrahl Globale Bilanzen Fernfeld Nahfeld Wandeffekte Trennungsschicht Ebener Nachlauf Axialsymmetrische freie Scherströmungen Grundgleichungen Freistrahl (U = 0, =8α(x x 0 ))

16 XVIII Inhaltsverzeichnis Nachlauf ( U N U, =λ(x x 0 ) 1/3 ) Auftriebsstrahlen Ebener Auftriebsstrahl Axialsymmetrischer Auftriebsstrahl Ebener Wandstrahl Teil E: Numerische Verfahren der Grenzschicht-Theorie 23 Numerische Integration der Grenzschichtgleichungen Laminare Grenzschichten Vorbemerkung Bemerkungen zu den Grenzschichttransformationen Explizite und implizite Diskretisierung Lösung der impliziten Differenzengleichungen Integration der Kontinuitätsgleichung Ermittlung des Grenzschichtrandes und der Wandschubspannung Integration der transformierten Grenzschichtgleichung mit dem Box-Schema Turbulente Grenzschichten Methode der Wandfunktionen Niedrig-Reynoldszahl-Turbulenzmodelle Instationäre Grenzschichten Stationäre dreidimensionale Grenzschichten Verzeichnis häufig verwendeter Formelzeichen 707 Literatur- und Namenverzeichnis 715

17 Einleitung Kurze geschichtliche Übersicht Am Ende des 19. Jahrhunderts war die Strömungsmechanik in zwei Richtungen auseinandergefallen, die kaum noch miteinander in Berührung standen. Auf der einen Seite war die theoretische Hydrodynamik, die von den Eulerschen Bewegungsgleichungen ausging, zu großer Vollkommenheit entwickelt worden. Da jedoch die Ergebnisse dieser sogenannten klassischen Hydrodynamik in vielen Punkten in krassem Widerspruch zur Erfahrung standen besonders bezüglich der sehr wichtigen Frage des Druckverlustes in Rohren und Kanälen sowie des Widerstandes eines durch ein Fluid bewegten Körpers, hatte sie für die Praxis wenig Bedeutung. Aus diesem Grund hatten auf der anderen Seite die Ingenieure, konfrontiert mit praktischen Problemen der Strömungsmechanik, ihre eigene stark empirisch ausgerichtete Wissenschaft, die Hydraulik, entwickelt, die sich auf eine große Menge von Versuchsdaten stützte und sich in den Methoden und den Zielen von der theoretischen Hydrodynamik sehr stark unterschied. Es ist das große Verdienst von L. Prandtl, zu Anfang des 20. Jahrhunderts den Weg aufgezeigt zu haben, wie diese beiden auseinanderstrebenden Richtungen der Strömungsmechanik wieder zusammengeführt werden konnten, sowie aus der Synthese von Theorie und Experiment eine Entwicklung angebahnt zu haben, die in der modernen Strömungsmechanik in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts zu ungeahnten Erfolgen geführt hat. An sich war es schon damals bekannt, daß die starke Diskrepanz zwischen den Ergebnissen der klassischen Hydrodynamik und der Wirklichkeit in sehr vielen Fällen von der Vernachlässigung der Reibung in der Theorie herrührt. Darüber hinaus waren auch die vollständigen Bewegungsgleichungen der Strömungen mit Reibung (Navier-Stokes-Gleichungen) seit langem bekannt. Wegen der großen mathematischen Schwierigkeiten dieser Gleichungen hatte man aber (abgesehen von wenigen Einzelfällen) noch keinen Zugang zu der theoretischen Behandlung der Strömungen mit Reibung gefunden. Für die technisch wichtigen Fluide Wasser und Luft ist jedoch die Viskosität sehr klein, und infolgedessen sind auch die von der Viskosität verursachten Reibungskräfte im großen und ganzen recht klein im Vergleich zu den übrigen Kräften (Schwerkraft, Druckkraft). Es machte deshalb lange Zeit große begriffliche Schwierigkeiten einzusehen, daß die in der klassischen Theorie vernachlässigten Reibungskräfte einen entscheidenden Einfluß auf den Ablauf der Bewegung haben sollten. In seinem Vortrag Über Flüssigkeitbewegung bei sehr kleiner Reibung auf dem Heidelberger Mathematiker-Kongreß im Jahre 1904 hat L. Prandtl (1904) den Weg gezeigt, wie Strömungen mit Reibung gerade für die praktisch wichtigen Fälle ei-

18 XX Einleitung ner theoretischen Behandlung zugeführt werden können. Prandtl zeigte durch theoretische Überlegungen zusammen mit einigen einfachen Experimenten, daß man die Strömung in der Umgebung eines Körpers in zwei Gebiete einteilen kann: eine sehr dünne Schicht in der Nähe des Körpers (Grenzschicht), wo die Reibung eine wesentliche Rolle spielt, und das übrige Gebiet außerhalb dieser Schicht, wo die Reibung vernachlässigt werden kann. Mit Hilfe dieses Konzeptes konnte nicht nur eine physikalisch sehr einleuchtende Erklärung für die wichtige Rolle der Viskosität beim Widerstandsproblem gegeben werden, sondern gleichzeitig wurde unter weitgehender Zurückdrängung der mathematischen Schwierigkeiten der Weg für die theoretische Behandlung der Strömung mit Reibung freigelegt. Seine theoretischen Überlegungen stützte Prandtl schon damals durch einige sehr einfache Versuche in einem kleinen, selbst gebauten Wasserkanal. Damit war der Anfang gemacht, die verlorengegangene Verbindung zwischen Theorie und Praxis wiederherzustellen. Die Theorie dieser sogenannten Prandtlschen Grenzschicht oder Reibungsschicht hat sich als außerordentlich fruchtbar erwiesen und der weiteren Entwicklung der Strömungsforschung seit Anfang dieses Jahrhunderts einen entscheidenden Antrieb gegeben. Unter dem Einfluß der damals aufblühenden Flugtechnik hat sich die neue Theorie recht schnell entwickelt und ist bald zusammen mit anderen wichtigen Fortschritten Tragflügeltheorie, Gasdynamik zu einem der Grundpfeiler der modernen Strömungsmechanik geworden. Zu den wichtigsten Anwendungen der Grenzschicht-Theorie gehört die Berechnung des Reibungswiderstandes von umströmten Körpern z.b. des Widerstandes einer längsangeströmten ebenen Platte, des Reibungswiderstandes eines Schiffes, eines Tragflügelprofils, eines Flugzeugrumpfes oder einer Turbinenschaufel. Eine besondere Eigenschaft der Grenzschicht ist, daß unter gewissen Umständen in unmittelbarer Wandnähe Rückströmung auftritt. Damit ist dann eine Ablösung der Grenzschicht vom Körper und eine mehr oder minder starke Wirbelbildung auf der Rückseite des umströmten Körpers verbunden. Dadurch wird eine starke Änderung der Druckverteilung auf der Rückseite des umströmten Körpers verursacht. Hieraus resultiert der Druckwiderstand der umströmten Körper, zu dessen Berechnung die Grenzschicht-Theorie somit den Zugang liefert. Die Grenzschicht-Theorie gibt eine Antwort auf die wichtige Frage, welche Form ein umströmter Körper haben muß, damit die schädliche Ablösung vermieden wird. Aber nicht nur bei der Umströmung des Körpers kann Ablösung auftreten, sondern auch bei der Durchströmung eines Kanals. Somit können auch die Strömungsvorgänge in den Schaufelkanälen von Strömungsmaschinen (Pumpen, Turbinen) sowie in Diffusoren und Düsen durch die Grenzschicht-Theorie beschrieben werden. Auch die Vorgänge bei Maximalauftrieb eines Tragflügels, bei denen ebenfalls Ablösungen von Bedeutung sind, lassen sich nur aufgrund der Grenzschicht-Theorie verstehen. Auch für den Wärmeübergang zwischen einem Körper und dem ihn umströmenden Fluid spielen die Vorgänge in der Grenzschicht die entscheidende Rolle. Zunächst wurde die Grenzschicht-Theorie hauptsächlich für laminare Strömungen eines inkompressiblen Fluids entwickelt, für die der Ansatz für die Reibungskräfte mit dem Stokesschen Reibungsgesetz bereits vorlag. Dieses Teilgebiet ist später in zahlreichen Arbeiten so weitgehend erforscht worden, daß es heute in seinen wesent-

19 Einleitung XXI lichen Zügen als geklärt gelten kann. Später wurde die Theorie auch auf die praktisch wichtigeren turbulenten inkompressiblen Grenzschichtströmungen ausgedehnt. Für turbulente Strömungen hatte zwar bereits O. Reynolds um 1890 den grundlegend wichtigen Begriff der turbulenten Scheinreibung eingeführt, vgl. O. Reynolds (1894). Dieser gestattete aber noch nicht die theoretische Berechnung der turbulenten Strömungen. Die Einführung des Begriffes des Prandtlschen Mischungsweges, vgl. L. Prandtl (1925), brachte hier wesentliche Fortschritte und machte zusammen mit systematischen Versuchen auch turbulente Strömungen der theoretischen Behandlung mit Hilfe der Grenzschicht-Theorie zugänglich. Eine rationelle Theorie der ausgebildeten turbulenten Strömungen steht auch heute noch aus. Später sind, veranlaßt durch das starke Anwachsen der Geschwindigkeit in der Flugtechnik, auch die Grenzschichten bei kompressibler Strömung eingehend untersucht worden. Dabei bildet sich neben der Strömungsgrenzschicht eine Temperaturgrenzschicht aus, die für den Wärmeübergang zwischen dem strömenden Medium und dem umströmten Körper von großer Bedeutung ist. Bei großen Mach-Zahlen tritt infolge innerer Reibung (Dissipation) eine starke Erhitzung der beströmten Körperoberfläche auf, die insbesondere für die Flugtechnik und den Satellitenflug ein schwieriges Problem darstellt ( Hitzemauer ). Die für die gesamte Strömungsmechanik fundamental wichtige Erscheinung des Überganges der laminaren Strömungsform in die turbulente wurde zuerst von O. Reynolds in den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts bei der Rohrströmung näher untersucht, vgl. O. Reynolds (1883). Im Jahre 1914 konnte Prandtl am Beispiel der Kugelströmung auf experimentellem Wege zeigen, daß auch die Grenzschicht laminar und turbulent strömt und daß der Ablösungsvorgang und damit das ganze Widerstandsproblem von diesem Übergang laminar-turbulent beherrscht wird, vgl. L. Prandtl (1914). Die theoretischen Untersuchungen über den Übergang laminarturbulent gehen von der Reynoldsschen Vermutung der Instabilität der Laminarströmung aus. Sie wurden 1921 von Prandtl in Angriff genommen. Nach manchen vergeblichen Versuchen gelang erstmalig W. Tollmien (1929) und H. Schlichting (1933) die theoretische Berechnung der Indifferenz-Reynolds-Zahl für die längsangeströmte ebene Platte. Es dauerte jedoch mehr als zehn Jahre, bis die Theorie durch die sehr sorgfältigen Experimente von H.L. Dryden ( ) und seinen Mitarbeitern bestätigt werden konnten. Auch der Einfluß anderer Parameter auf den Übergang (Druckgradient, Absaugung, Mach-Zahl, Wärmeübergang) konnte durch die Stabilitätstheorie der Grenzschicht aufgeklärt werden. Diese Theorie hat u.a. bei den Tragflügelprofilen mit sehr geringem Widerstand (Laminarprofile) eine wichtige Anwendung gefunden. Eine zusammenfassende Darstellung der Stabilität und des Übergangs laminar turbulent der Grenzschicht stammt von P.J. Schmidt; D.S. Henningson (2000). Ein wesentliches Kennzeichen der modernen Strömungsforschung im allgemeinen und auch des Teilgebiets Grenzschichtforschung im besonderen ist die sehr enge Verbindung von Theorie und Experiment. Die entscheidenden Fortschritte sind meist durch einige wenige Grundlagenversuche zusammen mit theoretischen Überlegungen erreicht worden. Eine Übersicht über die Entwicklung der Grenzschicht- Theorie unter besonderer Betonung der gegenseitigen Befruchtung von Theorie und

20 XXII Einleitung Experiment hat vor längerer Zeit A. Betz (1949) gegeben. Forschungsarbeiten über Grenzschichten, wie sie von Prandtl 1904 angeregt wurden, waren in den ersten zwanzig Jahren, bis etwa zu Prandtls Wilbur-Wright-Gedächtnisvorlesung vor der Royal Aeronautical Society in London, L. Prandtl (1927), fast ausschließlich auf Prandtls Institut in Göttingen beschränkt. Erst seit etwa 1930 haben sich auch andere Forscher, zunächst vor allem in England und USA, an dem weiteren Ausbau der Grenzschicht-Theorie beteiligt. Heute ist die Grenzschicht-Theorie über die ganze Welt verbreitet; sie bildet zusammen mit anderen Teilgebieten einen der wichtigsten Grundpfeiler der modernen Strömungsforschung. Mitte der fünfziger Jahre wurden die mathematischen Methoden der singulären Störungsrechnung systematisch entwickelt, vgl. S. Kaplun (1954), S. Kaplun; P.A. Lagerstrom (1957), M. Van Dyke (1964b), siehe auch W. Schneider (1978). Dabei wurde deutlich, daß die von Prandtl heuristisch entwickelte Grenzschicht- Theorie ein klassisches Beispiel zur Lösung eines singulären Störungsproblems darstellt. Danach ist die Grenzschicht-Theorie eine rationale asymptotische Theorie zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichung für große Reynolds-Zahlen. Damit eröffnete sich die Möglichkeit der systematischen Erweiterung zur Grenzschicht-Theorie höherer Ordnung, vgl. M. Van Dyke (1969), K. Gersten (1972), K. Stewartson (1974), K. Gersten; J.F. Gross (1976). Die zunächst für laminare Strömungen entwickelten asymptotischen Methoden wurden dann Anfang der siebziger Jahre auch auf turbulente Strömungen übertragen, vgl. K.S. Yajnik (1970), G.L. Mellor (1972). Literaturübersichten zur asymptotischen Theorie turbulenter Strömungen findet man bei K. Gersten (1987, 1989c), A. Kluwick (1989a) und W. Schneider (1991). Die systematische Anwendung asymptotischer Methoden (reguläre und singuläre Störungsmethoden) auf die Theorie reibungsbehafteter Strömungen wurde von K. Gersten; H. Herwig (1992) gegeben. Auch im Buch von P.A. Libby (1998) werden bevorzugt asymptotische Methoden eingesetzt. Die meisten charakteristischen Eigenschaften der asymptotischen Theorie für große Reynolds-Zahlen findet man bereits in Prandtls Arbeiten, vgl. K. Gersten (2000). Bei der Turbulenz-Modellierung führt die von Prandtl (1925) entwickelte Mischungsweg-Hypothese auf ein algebraisches Turbulenz-Modell. Zwanzig Jahre später wurde von L. Prandtl (1945) der Weg gewiesen, wie durch Verwendung von Transportgleichungen für turbulente Größen, wie kinetische Energie der Schwankungsbewegung, Dissipation, Reynoldssche Schubspannungen, Verbesserungen der Turbulenz-Modelle möglich sind. Berechnungsverfahren für turbulente Grenzschichten mit derartig verfeinerten Turbulenz-Modellen wurden beispielsweise von P. Bradshaw et al. (1967), W.P. Jones; B.E. Launder (1973), K. Hanjalic; B.E. Launder (1976), J. Rotta (1973) entwickelt. Übersichten zu Turbulenz-Modellierungen wurden unter anderem von W.C. Reynolds (1976), V.C. Patel et al. (1985), M. Hallbäck et al. (1996), T. Cebeci; J. Cousteix (1999) and T. Cebeci (2004) gegeben. In zwei äußerst bemerkenswerten Veranstaltungen an der Stanford-Universität in den Jahren 1968 und 1980/81 wurden die jeweils bestehenden Berechnungsverfahren für turbulente Grenzschichten untereinander verglichen und durch besonders ausgewählte Experimente überprüft, vgl. S. Kline et al. (1968) und S. Kline et al. (1981). Erwähnens-

21 Einleitung XXIII wert ist auch eine zusammenfassende Darstellung der Reynoldszahl-Einflüsse auf turbulente Wandgrenzschichten von M. Gad-el-Hak; P.R. Bandyopadhyay (1994). Die rasante Entwicklung im Bereich der Großrechneranlagen (Super-Computer) läßt die Tendenz in der Strömungsmechanik erkennen, in Zukunft verstärkt die Navier-Stokes-Gleichungen ohne jegliche Vereinfachung direkt numerisch zu lösen und auch turbulente Strömungen durch direkte numerische Simulation (DNS), d.h. ohne Turbulenz-Modelle oder mit Modellierung nur der hochfrequenten turbulenten Schrankungsbewegungen ( large eddy simulation ), zu berechnen, vgl. D.R. Chapman (1979). Numerische Verfahren zur Berechnung von Strömungen bei hohen Reynolds-Zahlen, die in der Praxis überwiegend vorkommen, werden jedoch nur dann effizient sein, wenn sie die besondere Schichten -Struktur der Strömung, wie sie sich aus der asymptotischen Theorie ergibt, berücksichtigt, etwa bei der Erstellung eines geeigneten Rechennetzes. Die Grenzschicht-Theorie wird daher auch in Zukunft ihre fundamentale Rolle bei der Berechnung von Strömungen mit hohen Reynolds-Zahlen behalten. Die erste zusammenfassende Darstellung hat die Grenzschicht-Theorie in zwei kurzen Artikeln von W. Tollmien (1931) im Handbuch der Experimentalphysik erfahren. Einige Jahre später folgte Prandtls umfassender Beitrag zu dem von W.F. Durand herausgegebenen Handbuch der Aerodynamik, L. Prandtl (1935). In den seitdem verflossenen sechs Jahrzehnten hat dieses Forschungsgebiet einen außerordentlich großen Umfang angenommen, vgl. H. Schlichting (1960) sowie auch I. Tani (1977), A.D. Young (1989), K. Gersten (1989a) und A. Kluwick (1998). Nach einer von H.L. Dryden (1955) gegebenen Übersicht erschienen im Jahre 1955 etwa 100 Arbeiten über Grenzschichten, und heute ist diese Zahl auf etwa 800 Arbeiten pro Jahr angewachsen. Dieses Teilgebiet der Strömungsforschung hat damit, ebenso wie manches andere Gebiet, einen so großen Umfang angenommen, daß es von einem einzelnen Forscher in all seinen Einzelgebieten kaum noch überblickt werden kann. Es ist aber andererseits ein klarer Hinweis auf die große Bedeutung der Grenzschicht- Theorie.

22 1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung 1.1 Wirkliche und ideale Fluide Für die theoretischen Untersuchungen der Strömungsmechanik wurde im vorigen Jahrhundert meist das ideale, d.h. viskositätsfreie, inkompressible Fluid zugrunde gelegt. Erst seit diesem Jahrhundert wird der Einfluß der Viskosität und der Kompressibilität in stärkerem Maße berücksichtigt. Bei der Strömung eines viskositätsfreien Fluids treten zwischen angrenzenden Schichten keine Tangentialkräfte (Schubspannungen), sondern nur Normalkräfte (Drücke) auf. Dies ist gleichbedeutend damit, daß das ideale Fluid einer Formänderung keinen inneren Widerstand entgegensetzt. Die Theorie der Strömungen idealer Fluide ist mathematisch sehr weit entwickelt und liefert in vielen Fällen auch eine befriedigende Beschreibung für die wirklichen Strömungen, wie z.b. bei der Wellenbewegung oder der Bildung von Flüssigkeitsstrahlen. Dagegen versagt die Theorie der idealen Fluide völlig bei dem Problem der Berechnung des Strömungswiderstandes eines Körpers. Sie liefert hier die Aussage, daß ein Körper, der sich mit Unterschallgeschwindigkeit gleichförmig durch ein unendlich ausgedehntes Fluid bewegt, keinen Widerstand erfährt (D Alembertsches Paradoxon). Dieses unannehmbare Ergebnis der Theorie der idealen Fluide ist darauf zurückzuführen, daß in wirklichen Fluiden sowohl zwischen den Schichten im Inneren als auch zwischen Fluid und einer beströmten Wand außer den Normalkräften auch Tangentialkräfte übertragen werden. Diese Tangential- oder Reibungskräfte wirklicher Fluide hängen mit einer Eigenschaft zusammen, die man die Viskosität der Fluide nennt. Im idealen Fluid ist auf der Grenzfläche zwischen einem festen Körper und dem Fluid wegen des Fehlens von Tangentialkräften im allgemeinen ein Unterschied der Tangentialgeschwindigkeiten vorhanden, d.h. es findet ein Gleiten des Fluids an der Wand statt. Beim wirklichen Fluid dagegen werden an einer beströmten festen Wand Tangentialkräfte übertragen, weil das Fluid an der Wand haftet. Das Vorhandensein von Tangentialspannung (Schubspannung) und die Haftbedingung an festen Wänden machen den wesentlichen Unterschied zwischen den idealen und den wirklichen Fluiden aus. Einige praktisch besonders wichtige Fluide, wie Wasser und Luft, haben eine sehr geringe Viskosität. Die Strömungen solcher Fluide kleiner Reibung stimmen in vielen Fällen recht gut mit denen des idealen Fluids überein, weil im großen und ganzen die Tangentialkräfte sehr klein sind. In der Theorie des idealen Fluids hat man deshalb die Viskosität vernachlässigt, weil dadurch so wesentliche Vereinfachungen der Bewegungsgleichungen erreicht werden, daß eine

23 2 1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung ausgedehnte mathematische Theorie möglich ist. Es ist jedoch wichtig, darauf hinzuweisen, daß auch bei Fluiden mit sehr kleiner Viskosität gegenüber dem idealen Fluid die Haftbedingung bestehen bleibt. Diese Haftbedingung führt jedoch in manchen Fällen zu starken Abweichungen zwischen den Strömungsgesetzen der wirklichen und der idealen Fluide. Insbesondere hat die oben angegebene starke Diskrepanz zwischen dem Widerstandsgesetz des wirklichen und idealen Fluids ihre physikalische Ursache in der Haftbedingung an der Wand. Dieses Buch beschäftigt sich mit den Strömungsgesetzen der Fluide mit kleiner Viskosität, weil diese eine große praktische Bedeutung haben. Dabei wird sich herausstellen, wie man das teilweise weitgehend übereinstimmende und teilweise stark abweichende Verhalten der idealen und der wirklichen Fluide erklären kann. 1.2 Viskosität Das Wesen der Viskosität eines Fluids kann man sich am einfachsten durch den folgenden Versuch klarmachen: Es wird die Strömung zwischen zwei sehr langen parallelen ebenen Platten betrachtet, von denen die eine in Ruhe ist, während die andere mit konstanter Geschwindigkeit U in ihrer eigenen Ebene bewegt wird. Der Plattenabstand beträgt h (Bild 1.1). Der Druck sei im ganzen Fluid konstant. Aus dem Experiment erhält man die Aussage, daß das Fluid an den beiden Platten haftet, so daß an der unteren Platte die Geschwindigkeit null ist, während sie an der oberen Platte mit der Geschwindigkeit U der Platte übereinstimmt. Ferner herrscht zwischen den Platten im einfachsten Fall (Newtonsches Fluid, konstante Temperatur) eine lineare Geschwindigkeitsverteilung. Somit ist die Geschwindigkeit dem Abstand y von der unteren Platte proportional, und es gilt u(y) = y U. (1.1) h Um den Bewegungszustand aufrechtzuerhalten, muß an der oberen Platte eine Tangentialkraft in der Bewegungsrichtung angreifen, die den Reibungskräften des Fluids das Gleichgewicht hält. Nach den Versuchsergebnissen ist diese Kraft (Kraft pro Einheit der Plattenfläche = Schubspannung τ) proportional zu U/h, wofür im allgemeinen Fall auch du/dy gesetzt werden kann. Der Proportionalitätsfaktor zwischen τ und du/dy, der mit µ bezeichnet werden möge, hängt von der Natur des Fluids ab, d.h. ist ein Stoffwert des Fluids. Er ist klein für die sog. leichtviskosen Fluide Bild 1.1. Geschwindigkeitsverteilung eines viskosen Fluids zwischen zwei parallelen ebenen Wänden (Couette- Strömung)

24 1.2 Viskosität 3 wie Wasser, Alkohol und Luft, dagegen groß für die sog. sehr viskosen Fluide wie Öl und Glyzerin. Wir haben somit das Elementargesetz der Fluid-Reibung in der Form τ = µ du dy. 1) (1.2) Die Größe µ ist eine von der Temperatur stark abhängige Materialkonstante des Fluids, die als Viskosität des Fluids bezeichnet wird. Das durch Gl. (1.2) gegebene Reibungsgesetz heißt Newtonsches Reibungsgesetz. Die Gl. (1.2) kann als Definitionsgleichung für die Viskosität aufgefaßt werden. Es muß jedoch betont werden, daß die hier betrachtete Bewegung einen sehr einfachen Spezialfall darstellt. Die Strömung nach Bild 1.1 wird auch als einfache Scherströmung oder Couette-Strömung bezeichnet. Die Verallgemeinerung dieses elementaren Reibungsgesetzes ergibt das Stokessche Reibungsgesetz (vgl. Kap. 3). Die physikalische Einheit der Viskosität kann aus Gl. (1.2) sofort abgelesen werden 2. Die Schubspannung τ hat die Einheit kg/ms 2 oder N/m 2 und der Geschwindigkeitsgradient du/dy die Einheit s 1. Somit hat µ die Einheit [µ] = kg ms = Ns m 2 = Pa s. Bei allen Strömungen, bei denen Reibungskräfte mit den Trägheitskräften zusammenwirken, spielt eine wichtige Rolle der Quotient aus der Viskosität µ und der Dichte ϱ, der als kinematische Viskosität ν bezeichnet wird: ν = µ ϱ [ν] = m2 s. 3 ) (1.3) Fluide, bei denen ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung τ und dem Geschwindigkeitsgradienten du/dy besteht, heißen nicht-newtonsche Fluide. Da alle Gase und sehr viele technisch wichtige Flüssigkeiten, z.b. Wasser, Newtonsches Verhalten zeigen, für die also Gl. (1.2) gilt, werden in diesem Buch nur Newtonsche Fluide betrachtet. Wie bereits gesagt, ist die Viskosität ein Stoffwert. Da sie für den Impulstransport senkrecht zur Hauptströmungsrichtung sorgt, wird die Viskosität auch als Transporteigenschaft des Fluids bezeichnet. Es gibt auch entsprechende Stoffwerte des Fluids für Wärme- und Stofftransporte, wie in Kap und Kap noch gezeigt wird. 1 Nach der DIN-Norm 1342 (Viskosität Newtonscher Flüssigkeiten) wird die Viskosität mit η bezeichnet. Da jedoch η im folgenden eine dimensionslose Koordinate bedeutet, wird in diesem Buch in Abweichung von der DIN-Norm die Viskosität mit µ bezeichnet. 2 Es wird das internationale Einheitssystem SI verwendet, also: das Meter (m), die Sekunde (s), für die Masse das Kilogramm (kg), für die Kraft das Newton (N) und für den Druck das Pascal (Pa). Es ist: 1 Pa = 1 N/m 2 = 1 kg/m s 2. Als gesetzliche Einheit des Druckes gilt noch 1 bar = 10 5 Pa. Zum früher üblichen Maßsystem bestehen die Beziehungen 1kp= 9,80665 N und 1 at = 0, bar. 3 Ein anderes Maß für dieviskosität ist das Poise P = 0,1N s/m 2. Die kinematischeviskosität wird auch in Stokes S = 10 4 m 2 / s gemessen.

25 4 1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung Die Viskosität ist im allgemeinen eine Funktion von Temperatur und Druck. Dabei dominiert die Temperatur-Abhängigkeit. Mit wachsender Temperatur nimmt im allgemeinen die Viskosität von Gasen zu, die von Flüssigkeiten ab. Zahlenwerte für die Viskosität verschiedener Stoffe sind in Kapitel 3.11 angegeben. 1.3 Reynolds-Zahl Es stellt sich jetzt die grundsätzliche wichtige Frage, wann die Fluid- Strömungen um zwei geometrisch ähnliche Körper bei gleicher Anströmungsrichtung zueinander geometrisch ähnlich sind, d.h. wann sie einen geometrisch ähnlichen Verlauf der Stromlinien haben. Solche Strömungen mit geometrisch ähnlicher Begrenzung und geometrisch ähnlichem Stromlinienbild heißen mechanisch ähnliche Strömungen. Damit die Strömungen um zwei geometrisch ähnliche Körper (z.b. um zwei Kugeln) bei verschiedenem Fluid, verschiedener Geschwindigkeit und verschiedener Größe des Körpers mechanisch ähnlich sind, muß offenbar die Bedingung erfüllt sein, daß in allen ähnlich gelegenen Punkten die auf ein Volumenelement wirkenden Kräfte in gleichem Verhältnis zueinander stehen. An einem Volumenelement greifen im allgemeinen folgende Kräfte an: Reibungskräfte (proportional zur Viskosität µ), Trägheitskräfte (proportional zur Dichte ϱ), Druckkräfte und Volumenkräfte (z.b. Schwerkräfte). Im folgenden soll zunächst nur das Verhältnis von Trägheitskräften und Reibungskräften betrachtet werden. Dieses muß demnach bei mechanisch ähnlichen Strömungen in ähnlich gelegenen Volumenelementen gleich sein. Für eine Bewegung, die im wesentlichen in der x- Richtung verläuft, beträgt die Trägheitskraft pro Volumeneinheit ϱ du/dt, wobei u die Geschwindigkeitskomponente in der x-richtung und d/dt den substantiellen Differentialquotienten bedeuten. Für eine stationäre Bewegung kann dafür auch ϱ u/ x dx/dt = ϱu u/ x geschrieben werden, wobei u/ x die Geschwindigkeitsänderung mit dem Ort bedeutet. Die Trägheitskraft pro Volumeneinheit ist somit ϱ u u/ x. Für die Reibungskraft läßt sich leicht aus dem Newtonschen Reibungsgesetz Gl. (1.2) ein Ausdruck ableiten. Für ein Volumenelement, dessen x-richtung mit der Bewegungsrichtung zusammenfällt, beträgt nach Bild 1.2 die Resultierende der Schubkräfte ( τ + τ ) y dy dx dz τdxdz= τ dx dy dz. y Die Reibungskraft der Volumeneinheit ist somit τ/ y, was nach Gl. (1.2) gleich µ 2 u/ y 2 ist. Damit wird die Bedingung der mechanischen Ähnlichkeit, daß in ähnlich gelegenen Punkten das Verhältnis der Trägheitskraft zur Reibungskraft gleich sein muß: Trägheitskraft Reibungskraft = ϱ u u/ x µ 2 u/ y 2 = const.

26 1.3 Reynolds-Zahl 5 Bild 1.2. Reibungskräfte amvolumenelement Es ist jetzt zu überlegen, wie sich diese Kräfte ändern, wenn sich die charakteristischen Größen der Strömung ändern. Diese sind die Dichte ϱ, die Viskosität µ, eine charakteristische Geschwindigkeit, etwa die Anströmgeschwindigkeit V, und eine charakteristische Längenabmessung des Körpers, etwa der Kugeldurchmesser d. Die Geschwindigkeit u in irgendeinem Punkt des Strömungsfeldes ist proportional der Anströmungsgeschwindigkeit V, der Geschwindigkeitsgradient u/ x ist proportional V/d, und ebenso ist 2 u/ y 2 proportional V/d 2. Damit wird das Verhältnis von Trägheitskraft zu Reibungskraft Trägheitskraft ϱu u/ x = Reibungskraft µ 2 u/ y 2 ϱv 2 /d µv /d 2 = ϱv d µ. Da der Proportionalitätsfaktor in ähnlich gelegenen Punkten gleich sein muß, ist die mechanische Ähnlichkeit der Strömungen also erfüllt, wenn die Größe ϱv d/µ für beide Strömungen den gleichen Wert hat. Die Größe ϱv d/µ, die mit µ/ϱ = ν auch in der Form Vd/νgeschrieben werden kann, ist eine dimensionslose Zahl; sie heißt die Reynolds-Zahl Re. Mechanische Ähnlichkeit der Strömung ist also vorhanden, wenn die Reynolds-Zahl Re = ϱv d µ = Vd ν (1.4) für beide Strömungen gleich ist. Dieses Gesetz wurde von O. Reynolds (1883) bei der Untersuchung der Strömung in Rohren entdeckt und heißt nach ihm das Reynoldssche Ähnlichkeitsgesetz. Daß die Reynolds-Zahl dimensionslos ist, kann man sofort bestätigen, wenn man für die einzelnen Größen ihre Einheit einsetzt: [ϱ] = kg m 3, [V ]=m kg, [d] = m, [µ] = s ms. Es wird [ ] ϱv d = kg µ m 3 m s m ms kg = 1, und somit ist die Reynolds-Zahl dimensionslos. Dimensionsbetrachtung. Anstatt von Betrachtungen der mechanischen Ähnlichkeit auszugehen, kann das Reynoldssche Ähnlichkeitsgesetz auch aus einer Dimensionsbetrachtung hergeleitet werden. Hierbei geht man von dem Prinzip aus, daß alle physikalischen Gesetze sich