Versuch 9. Transiente Stabilität

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1 - 1 - Energietechnisches Praktikum II Versuch 9 Institut für Elektrische Anlagen und Energiewirtschaft der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. H.-J. Haubrich Transiente Stabilität 1 Einleitung und Ziel des Versuches 1.1 Der Begriff der transienten Stabilität Für den Betrieb eines Drehstromverbundes ist es notwendig, dass alle Generatoren mit der synchronen Drehzahl entsprechend der Nennfrequenz rotieren. Da Laständerungen verglichen an Ausgleichsvorgängen sehr langsam auftreten, kann der Normalbetriebszustand als quasistationär gelten. Netzfehler mit starker Spannungsabsenkung (z. B. 3-polige Kurzschlüsse), die elektrisch nahe an einem Generator liegen, können zu geringen Klemmenspannungen an der Maschine führen. Dadurch kann der beeinflusste Generator entsprechend weniger, im Extremfall gar keine, elektrische Leistung abgeben. Gleichzeitig jedoch können die Ventile an der Antriebsturbine nicht sofort die Turbinenleistung reduzieren, so dass der Turbosatz, bestehend aus Generator und Turbine, beschleunigt wird und damit das Polrad gegenüber dem Netz vorläuft. Bei lang anliegenden Fehlern hat sich dieser Winkel so stark vergrößert, dass nach Fehlerklärung der Turbosatz durch das Netz nicht mehr synchronisiert werden kann und er in den motorischen Betrieb übergehen würde. Die Möglichkeit der Resynchronisierung des Turbosatzes hängt neben der Fehlerklärungszeit, die die Beschleunigungsenergie entscheidend beeinflusst, auch von der abgegebenen Bremsleistung nach Klärung des Netzfehlers ab. Diese Bremsleistung, die der Generator über Kuppelleitungen dem Netzverbund zuführt, wird wesentlich von den Leitungskenndaten beeinflusst. Der hier behandelte Begriff der transienten Stabilität bezieht sich zunächst auf die transiente Synchronlaufstabilität, d. h. auf die Fragestellung, ob das Gesamtversorgungssystem aller Generatoren im Verbundnetz nach einer Störung wie oben beschrieben noch synchron läuft. Dieser Aspekt ist von dem Begriff der transienten Frequenzstabilität, d. h. hinsichtlich der Frage, ob das Frequenzverhalten des noch

2 - - synchronen Systems stabil ist, abzugrenzen. Diese letztgenannte Systemeigenschaft soll hier nicht weiter betrachtet werden (siehe hierzu [1]). 1. Bedeutung der transienten Stabilität Prinzipiell ist der Untersuchung der transienten Frequenzstabilität zunächst eine Betrachtung der transienten Synchronlaufstabilität (im folgenden abkürzend als transiente Stabilität bezeichnet) voranzustellen. Dennoch haben Untersuchungen der transienten Stabilität in der Vergangenheit in vermaschten Netzen wie dem westeuropäischen UCTE-Verbundsystem nur geringe Bedeutung gefunden. Der Grund hierfür ist die stabilisierende Wirkung der engen Vermaschung des Übertragungsnetzes, so dass transiente Stabilität nahezu immer gewährleistet war. Erst mit dem Übergang zu großen Generatorleistungen haben solche Untersuchungen auch in eng vermaschten Netzen an Bedeutung gewonnen, da sich die für das transiente Verhalten relevanten Maschinenparameter ungünstig verändert haben. Eine ebenso bedeutsame Fragestellung bildet die transiente Stabilität bei dem Zusammenschluss von Verbundnetzen, der zunächst durch wenige Kuppelleitungen realisiert wird. So musste im konkreten Fall auch der Anschluss der fünf neuen deutschen Bundesländer an das UCTE-Verbundnetz hinsichtlich der transienten Stabilität untersucht werden. Hier sollten mehrere eng gruppierte Generatoren großer Leistung auf ostdeutscher Seite mit dem Verbundsystem über wenige Leitungen gekuppelt werden. Bei Verlust der transienten Stabilität und Abschaltung dieser Generatorgruppe hätte im UCTE-Verbundnetz ein akuter Leistungsmangel geherrscht, den auch ein großer Verbund mit den Ausmaßen des UCTE-Systems nicht ohne Probleme hätte bewältigen können. Vor dem Anschluss war somit unbedingt die transiente Stabilität dieser Generatorgruppe zu gewährleisten. 1.3 Ziel des Versuches Im Rahmen dieses Versuches sollen die theoretischen Grundlagen für Untersuchungen der transienten Stabilität dargestellt und relevante Einflussgrößen aufgezeigt werden. In einem praktischen Laborexperiment sind nachfolgend die Kenntnisse auf die modellhafte Betrachtung eines Einmaschinenproblems anzuwenden, und in der Auswertung zu verdeutlichen.

3 - 3 - Theoretische Grundlagen.1 Schwingungsgleichung des Synchrongenerators Für die grundlegende Betrachtung eines einzelnen Synchrongenerators, der über eine Leitung in ein starres Netz speist, lässt sich das in Bild 1 dargestellte einphasige Ersatzschaltbild für den stationären Betrieb angeben. P T ~ P G Turbine Generator Übertragung starres Netz j(x+x )Ι D Ι jx D jx E ϑ stat U E ~ U Bild 1: Ersatzschaltbild des betrachteten technischen Systemmodells Da auch bei den hier betrachteten transienten Vorgängen die Frequenz nur gering von der Nennfrequenz abweicht, können die Reaktanzen der Übertragungselemente entsprechend dem stationären Betrieb angenommen werden. Die Ersatzschaltbildgrößen des betrachteten Generators hingegen müssen in dem hier betrachteten Zeitbereich von einigen hundert Millisekunden durch transiente Größen ersetzt werden, da sich die magnetischen Verhältnisse in der Maschine ändern.

4 - 4 - Die Schwingungsgleichung des Synchrongenerators ergibt sich aus der Leistungsbilanz (Ein-Maschinenproblem): P dw P = + P (1) T G D dabei bedeutet: P T P G dw P D Turbinenleistung Generatorleistung Änderung der kinetischen Energie des Turbosatzes Dämpfungsleistung des Generators In diesem Versuch wird auf die Betrachtung der Dämpfung verzichtet, da sie im kritischen Anfangszeitraum der Störung zunächst irrelevant ist und ihre Vernachlässigung eine Abschätzung des Systemverhaltens zur sicheren Seite hin darstellt. Im stationären Arbeitspunkt ist die Turbinenleistung gleich der abgegebenen Generatorleistung, so dass der Turbosatz mit konstanter kinetischer Energie rotiert, d. h. nicht beschleunigt. Erst bei einem Ungleichgewicht von P T und P G infolge einer Störung oder einer plötzlichen Laständerung wird die kinetische Energie des Turbosatzes verändert. Im folgendem werden im Hinblick auf die Lösung der Differentialgleichung die einzelnen Terme der Leistungsbilanz diskutiert..1.1 Kinetische Energie Die kinetische Energie des Turbosatzes lässt sich zu W = 1 Jω () formulieren. In Gleichung () wird im folgenden die Anlaufzeitkonstante T A eingeführt. T A ist die fiktive Hochlaufzeit des unbelasteten Generators vom Stillstand auf Nenndrehzahl bei fiktivem Antrieb mit Nenndrehmoment. Bei Turbosätzen wird die Anlaufzeitkonstante für eine Wirkleistung gleich der Nennscheinleistung bei cos ϕ = 1 ermittelt. Damit erhält man (mit Polpaarzahl 1): J TA = ω 0 Sn (3) Mit der Anlaufzeitkonstanten kann die kinetische Energie nun zu

5 - 5-1 ω 1 W = T S = T S f A n ω A n f (4) 0 0 mit: S n f 0 ω 0 Bemessungsleistung Nennfrequenz Nennkreisfrequenz formuliert werden. In Gleichung (4) kann die Frequenz f mit linearisiert werden:. f = f0 + f 1 f + f 1 f W = T S 0 T S 1+ A n f A n f (5) 0 0 Wird nun die Ableitung der kinetischen Energie W nach der Zeit t gebildet, ergibt sich: dw d 1 f T A S n d f T A S T A S = n + n = (6) f 0 f0 Hierin kann f (Abweichung der Frequenz (Drehzahl) des Turbosatzes von der Nennfrequenz (Nenndrehzahl)) durch die zeitliche Ableitung der Winkelabweichung ϑ der Polradstellung gegenüber der durch die Netzspannung U vorgegebenen Referenzachse ersetzt werden: 1 1 d f = = π ω ϑ π so dass sich für den Beschleunigungsterm ergibt: dw TASn d ϑ = πf 0 (7)

6 Turbinenleistung Im transienten Zeitbereich unmittelbar nach der Störung ist die Turbinenleistung P T in erster Näherung konstant, da sie hier durch Regeleinrichtungen noch nicht beeinflusst wird. Durch die Annahme konstanter mechanischer Antriebsleistung im Kurzzeitintervall wird die Gültigkeit der Schwingungsgleichung auf einige Sekunden nach Störungseintritt begrenzt. Jedoch entscheidet sich gerade in diesem ersten Zeitbereich nach der Störung, ob der Generator resynchronisiert werden kann, so dass die getroffene Einschränkung hinsichtlich einer näherungsweisen Untersuchung transienter Stabilität zulässig ist..1.3 Transiente Generatorleistung Beim Auftreten einer Störung muss während des transienten Vorganges ein verändertes Ersatzschaltbild des Synchrongenerators betrachtet werden. Dabei wird die Polradspannung E durch E und die synchrone Längsreaktanz X D durch X D ersetzt. Ursache hierfür ist die physikalische Gegebenheit, dass sich der Hauptfluss in der Erregerwicklung nicht sprunghaft ändern kann. Der aus der Störung, z. B. einen Kurzschluss, resultierende erhöhte Ständerstrom ruft somit einen zusätzlichen Fluss hervor, der zunächst praktisch ausschließlich als Streufluss im Luftspalt auftritt. Entsprechend dem erhöhten magnetischen Widerstand ergibt sich eine verringerte transiente Längsreaktanz X D.. Für den gesamten neuen Rotorfluss ergibt sich eine transiente Polradspannung E, die gegenüber der Polachse um den Winkel ϑ verschoben ist und während des Ausgleichvorgangs als näherungsweise konstant angenommen werden kann. Die Position des resultierenden Luftspaltfeldes gegenüber dem Bezugssystem wird somit durch den transienten Übertragungswinkel ϑ beschrieben. Das zugehörige Ersatzschaltbild und Zeigerdiagramm des Generators zeigt Bild. ϑ Die transient zu übertragende Leistung hängt auch von der Impedanz jx der weiteren Übertragungskomponenten wie Blocktransformator und Anschlussleitung ab. Sie bestimmt sich damit zu: UE P G = 3 sin ϑ (8) ( XD + X )

7 - 7 - j(x D-X D ) Ι E j(x+x ) Ι D E E ~ j(x -X ) D D E ~ Ι jx D jx U ϑ ϑ U Bild : Transientes Ersatzschaltbild des Synchrongenerators mit Übertragungskomponenten. Lösung der Schwingungsgleichung Mit Einsetzen der ermittelten Leistungsterme ergibt sich für die Schwingungsgleichung eine Differentialgleichung. Ordnung, die infolge der nichtlinearen Generatorleistung ebenfalls nichtlinear ist: UE T S PT 3 sin ϑ A n = X + XD πf 0 d ϑ (9) mit ϑ =ϑ -ϑ 0, ϑ 0 : Winkel des transienten Ersatzschaltbildes im stationären Fall vor Fehlereintritt In Gleichung (9) wurde schon berücksichtigt, dass die zweiten Ableitungen vom transienten und stationären Übertragungswinkel näherungsweise als gleich anzusehen sind. Betrachtet werden im folgenden Ereignisse, in denen durch Spannungsabsenkungen in der Nähe des Generators die elektrisch abgegebene Leistung stark zurückgeht, so dass der Generator mitunter außer Tritt fallen und nach der Fehlerklärung nicht mehr resynchronisiert werden kann. Diesen Fehlerfall kann man in zwei Phasen unterteilen: Phase 1: Der Generator wird während der Fehlerzeit mit Turbinenleistung beschleunigt. Phase : Nach Fehlerklärung versucht der Generator sich wieder zu resynchronisieren.

8 - 8 - Die elektrisch abgegebene Leistung wird im Fehlerfall in der ersten Phase zu P ' G = 0 entsprechend einem dreipoligen Klemmenkurzschluss als sichere Abschätzung angenommen. Die Differentialgleichung lautet dann: T S A P n d ϑ T0 0 = PT f = 0 = konstant (10) π 0 Nach zweimaliger Integration erhält man πf ϑ ( t) = ϑ T S P t A n T 0 (11) ϑ ( t) = ϑ + ϑ 0 mit den Anfangsbedingungen ϑ ( 0 ) = ϑ 0, ϑ & ( 0 ) = 0 (Beachte: ϑ ' 0 in rad) Aus der Betrachtung von Gleichung (11) ist zu erkennen, dass die Zeit bis zur Fehlerklärung t f die kritische Größe der Winkelvergrößerung darstellt und quadratisch eingeht. Wenn nun die Maschine nach der Fehlerklärung wieder an das Netz geschaltet wird, muss die vollständige nichtlineare Differentialgleichung behandelt werden, da nun P G 0 ist. In dieser zweiten Phase (Bremsbetrieb) werden als Anfangsbedingungen die Ergebnisse der 1. Phase (Beschleunigung) gewählt: πf ϑ ( tf ) = ϑ T S P t A n T 0 f (1) & πf ϑ ( t ) = 0 f T S P t A n T0 f (13) Die Schwingungsgleichung lässt sich nun iterativ nach dem Euler-Verfahren wie folgt lösen: ϑn = ϑn + ϑ& 1 n 1 t π ϑ& f n = ϑ& n ( T ϑn G ϑn TAS P ( 1 ) P ( 1)) t n (14) Dabei wurde die Schwingungsgleichung. Ordnung in zwei Differentialgleichungen 1. Ordnung aufgespalten. Die Funktion ϑ ( t ) wird dementsprechend im Zeitintervall t in jeder Iteration linearisiert.

9 - 9 - Bild 3 zeigt den prinzipiellen zeitlichen Verlauf des transienten Übertragungswinkels für einen stabilen und instabilen Betriebsfall. 80 Übertragungswinkel ϑ 40 ϑ krit Parabel Ι Ι Ι ϑ ḿax 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 Zeitpunkt der Störung mögliche Wiedereinschaltung t f t I: Übertragungswinkel ϑ'(t) bei erfolgreicher Resynchronisierung II: Übertragungswinkel ϑ'(t) bei Verlust der transienten Stabilität Bild 3: Verlauf des Übertragungswinkels über die Zeit nach [].3 Direkte Stabilitätsuntersuchung (Einmaschinenproblem) Im besonderen Fall des Einmaschinenproblems lässt sich die Frage nach transienter Stabilität näherungsweise auch ohne Lösung der Schwingungsgleichung beantworten. Dazu wird zunächst die Generatorleistung P' G im transienten Zeitbereich über dem Übertragungswinkel ϑ' aufgetragen.

10 P Ǵ P T ϑ 0 ϑ Bild 4: Generatorleistung im transienten Zeitbereich Im stationären Betrieb stellt sich der Winkel auf den stationären Wert ϑ' 0 ein, der dem Leistungsgleichgewicht zwischen erzeugter und abgeführter Leistung entspricht. Dieser Übertragungswinkel ist nicht mit dem nach Bild 1 identisch, da der Winkel ϑ beim Übergang vom stationären zum transienten Ersatzschaltbild auf ϑ' springt. Während des Störfalles wird die übertragene elektrische Leistung zu Null angenommen. Die Turbinenleistung bleibt hingegen zunächst konstant. Die in dieser 1. Phase stattfindende Winkelvergrößerung beschreibt Gleichung (10) mit der Zeit t als unabhängige Variable, die für die folgende Betrachtung von P(ϑ) in eine Winkelabhängigkeit überführt wird. Nach Umformungen erhält man: mit ω = πf 0 0 dϑ d ϑ ω PT d = 0 0 ϑ (15) TASn Vertauscht man nun auf der linken Seite der Gleichung die Differentation und die Multiplikation, so gilt: 1 d ( d ω0pt0 d ) = T S ϑ ϑ A n (16) Mit Elimination von erhält man: d ω0pt0 ( ) = dϑ 1 d ϑ TASn (17)

11 Die beidseitige Integration ergibt oder nach ϑ & = dϑ aufgelöst: 1 ϑ 0 dϑ ω0 ( ) = TASn + ϑ PT0dϑ ϑ 0 (18) ϑ 0 + ϑ ω ϑ & 0 = PT0dϑ (19) TASn ϑ0 Aus Gleichung (19) ist ersichtlich, dass die in Bild 5 dargestellte Fläche A proportional zur Beschleunigungsenergie des Turbosatzes ist ( W = 1 J&ϑ ). Nach Fehlerklärung gibt die Maschine die Generatorleistung P G ( ϑ ) an das starre Netz ab. Es gilt nun für die Winkelgeschwindigkeit ϑ & in der. Phase: ϑ ω ϑ & 0 = (PG ( ϑ ) PT0 )dϑ (0) TASn ϑ 0 + ϑ mit ϑ : Winkel bis zur Flächengleichheit von Fläche A und B. A: Beschleunigungsfläche (Phase Ι ) B: Maximale Bremsfläche (Phase ΙΙ ) P G P T B A ϑ ϑ ϑ 0 f krit ϑ π Bild 5: Direkte Stabilitätsuntersuchung beim Einmaschinenproblem mit Hilfe des Flächensatzes

12 - 1 - Die in Bild 5 mit B bezeichnete Fläche ist proportional zu der Energie, die nach Fehlerklärung in das Netz zusätzlich zur konstant bleibenden Turbinenleistung gespeist werden kann. Der Grenzfall der transienten Stabilität ist dann erreicht, wenn diese Energie gleich der Beschleunigungsenergie ist, d. h. in der Darstellung nach Bild 5, wenn Fläche A gleich Fläche B ist. Dadurch lässt sich auch der Winkel ϑ' fmax bestimmen, bis zu dem die Störung geklärt sein muss, d. h. der Generator wieder elektrische Energie abgeben kann. Dieser Winkel ist bei gleich großen Flächen A und B abzulesen. Desweiteren darf der Winkel ϑ' auch in der. Phase nicht über den Wert ϑ' krit hinaus steigen, da ansonsten die Bremsenergie nicht ausgereicht hat, um die beschleunigte Bewegung des Polrades abzufangen und somit eine Resynchronisation zu ermöglichen. Mit ϑ' krit = π - ϑ' 0 gilt für ϑ' fmax zusätzlich: X + X cosϑ fmax = D π ϑ + π ϑ UE P T 0( 0 ) cos( 0 ) (1) 3 Mit Gleichung (11) und Bestimmung von ϑ' fmax kann nun auch die maximale Fehlerklärungszeit t fmax berechnet werden: T S t A n f max = ( f max 0 ) PT 0ω ϑ ϑ () 0 (ϑ' fmax,ϑ' 0 in rad)

13 Vorbemerkungen zur Versuchsdurchführung 3.1 Vom technischen zum experimentellen Modell Technisches Modell : ~ Generator Turbine Masch.- trafo Leitung Netzkuppeltrafo Starres Netz Mathematisches Modell: E (E ) ~ X (X ) d d Polrad- spannung U G 3 X= X L +X K Generator- spannung ~ U N 3 Netzspannung Experimentelles Modell: R R V α X d (X ) d A P W X T S T S Ständer T W Läufer U V E(E ) V U N 3 Mp Generator Leitung, Trafos Starres Netz Bild 6: Modellbildung

14 Das technische Modell ist allgemein ein Abbild des in der Wirklichkeit betriebenen Systems und wird insbesondere hinsichtlich der Systemgrenzen, der Wechselwirkungen zur Systemumgebung und der Systemkomponenten untereinander definiert. Dieses Modell wird dann meist zu einem mathematischen Modell abstrahiert, welches einer rechnerischen Untersuchung zugänglich ist. In diesem Versuch wird zusätzlich ein experimentelles Modell unter Transformation der Spannungen und Ströme mit festen Maßstäben erstellt. Das Systemverhalten wird hierbei, wie Bild 6 zeigt, mittels der Verschaltung diskreter Bauteile entsprechend dem mathematischen Modell nachgebildet. Es werden folgende Maßstäbe zwischen realen Werten und Werten des experimentellen Modells gewählt: Größe Realer Wert Modellwert Maßstab Nennspannung 380 kv 3 * 50 V 4390 Bemessungsleistung 1600 MVA 55 VA Nennstrom 430 A 1,7 A 1430 stationäre Generatorreaktanz X D 14 Ω 40 Ω 3,1 transiente Generatorreaktanz X D 31 Ω 10 Ω 3,1 Übertragungsreaktanz X 90,6 Ω 30 Ω 3,1 Anlaufzeitkonstante T A 8 s 8 s 1 Tabelle 1: Zusammenhang zwischen realen und Modellwerten Eine wesentliche Abstraktion im Versuch besteht darin, dass der Modellsynchrongenerator durch eine Spannungsquelle und eine Längsreaktanz ersetzt wird. Die Spannungsquelle stellt ein Asynchronmotor mit feststehendem Schleifringläufer dar, bei dem die Spannung über einen Schleifring abgenommen wird. Die Phasenlage der Spannung kann über die Drehung des Läufers gegenüber dem Ständer eingestellt werden. Im Experiment wird nur das einphasige Ersatzschaltbild des Modellgenerators realisiert. Um die elektrische Leistung zu bestimmen, muss der experimentelle Leistungswert mit dem Faktor 3 multipliziert werden. Dann erst kann nach Tabelle 1 die Leistung im Modellgenerator auf die Leistung im Originalsystem umgerechnet werden. 3. Messung von transienten Größen Bei der Untersuchung von transienten Vorgängen im Experiment stellt sich grundsätzlich das Problem, dass die betrachteten Größen wie beispielsweise E und X D nur im Kurzzeitbereich nach dem Auftreten

15 der Störung das Systemverhalten korrekt beschreiben. In einem Experiment jedoch sind diese Zeiträume zu kurz, um mittels Messgeräten ohne Speicherfunktion diese Werte bestimmen zu können. Im zweiten Teil des Versuchs wird das transiente Verhalten des Originalsystems simuliert, indem die statischen Größen im experimentellen Modell durch die entsprechenden transienten Größen ersetzt werden. Dies ist möglich, da auch im transienten Fall zumindest annähernd ein vom Aufbau her gleiches einphasiges Ersatzschaltbild die transienten Vorgänge mathematisch beschreibt. Während des transienten Vorganges bleibt die Polradspannung E und die transiente Längsreaktanz X D konstant. Sie können durch ein wie folgt aufzubauendes Zeigerdiagramm (vgl. Bild ) ermittelt werden: 1. U in die reelle Achse legen. E im Winkel ϑ stat des stationären Arbeitspunktes legen 3. Spitzen beider Zeiger verbinden 4. Strom betragsmäßig berechnen ( da Reaktanzen bekannt ) 5. ( X + ) Ι X D berechnen und einzeichnen 6. E und ϑ' 0 für transiente Untersuchung ablesen Der Strom wird unmittelbar nach Störungseintritt als konstant angenommen, wodurch die oben beschriebene Konstruktion ermöglicht wird. Der Übertragungswinkel geht jedoch durch die Beschreibung im transienten Ersatzschaltbild vom stationären Wert ϑ stat in den transienten Anfangswert ϑ' 0 über. 3.3 Versuchsvorbereitung Hinweis: Die Versuchsvorbereitung ist vor Versuchsbeginn durchzuführen! Der Generator entsprechend den Daten in Tabelle 1 wird im folgenden Arbeitspunkt betrieben: U = U n / 3 E = 1, U n / 3 ϑ stat o = 80 Ermitteln Sie rechnerisch oder durch ein Zeigerdiagramm nach Bild die transiente Polradspannung E' und den zugehörigen Polradwinkel ϑ 0 vor Eintritt der Störung.

16 Versuchsdurchführung a) Messen Sie die übertragene Leistung P G im stationären Arbeitspunkt nach Abschnitt 3.3. Diese Leistung wird als P T0 im folgenden als konstant angenommen. Wegen einer Kurzunterbrechung (KU) infolge Leitungskurzschluss kann keine elektrische Leistung mehr an das Netz abgegeben werden. Für den Betriebszustand vor der KU gilt: Stationärer Winkel ϑ stat = 80, E = 60 V, U = 50 V. b) Errechnen Sie mit den Gleichungen (1) und () aus obigem Betriebspunkt die maximale Ausschaltzeit t fmax. Hinweis: P T0 ist gleich der elektrisch abgegebenen Leistung im stationären Betrieb bei ϑ stat = 80. c) Ermitteln Sie den Verlauf des Winkels ϑ mit t f = 100 ms und 00 ms. Die Anfangswerte ϑ ( t f ) und ϑ& ( t f ) berechnen Sie analytisch mit den Gleichungen (1) und (13). Der weitere Verlauf des Winkels ist mit Hilfe des Euler-Verfahrens (Gleichung 14) zu ermitteln (Schrittweite 0.05 s), wobei die Iteration vier Werte nach eindeutiger Klärung der Frage, ob transiente Stabilität vorliegt, abzubrechen ist.

17 Euler-Verfahren (mit Umrechnung von rad auf grad): 180 ϑ = ϑ + π ϑ & n n 1 n 1 t ϑ& π = ϑ& f n n ( T ϑn G ϑn TAS P ( 1) P ( 1)) t n Hinweise: α 0 bei Wattmeteranzeige = 0 an der Maschine ablesen. Spannungen häufig kontrollieren und nachregeln. Leistungsanzeigen mit 3 multiplizieren. Vor dem Abschalten den Strom herabregeln (Induktivitäten). Wattmeter auf Wirkleistungsmessung einstellen. t f = 100 ms: Zeit [s] α [grad] ϑ [grad] & ϑ [rad/s] P' G [W] P=P T0 -P G [W] 0 α 0 + ϑ 0 = ϑ 0 = 0 0 P T0 = 0,10 ϑ (t f ) = 0,15

18 Euler-Verfahren (mit Umrechnung von rad auf grad): 180 ϑ = ϑ + π ϑ & n n 1 n 1 t ϑ& π = ϑ& f n n ( T ϑn G ϑn TAS P ( 1) P ( 1)) t n Hinweise: α 0 bei Wattmeteranzeige = 0 an der Maschine ablesen. Spannungen häufig kontrollieren und nachregeln. Leistungsanzeigen mit 3 multiplizieren. Vor dem Abschalten den Strom herabregeln (Induktivitäten). Wattmeter auf Wirkleistungsmessung einstellen. t f = 00 ms: Zeit [s] α [grad] ϑ' [grad] & ϑ [rad/s] P G [W] P=P T0 -P G [W] 0 α 0 + ϑ 0 = ϑ 0 = 0 0 P T0 = 0, ϑ (t f ) = 0,5

19 Literatur [1] Haubrich, H.-J. Elektrische Energieversorgungssysteme - Technische und wirtschaftliche Zusammenhänge Skriptum zur Vorlesung "Elektrische Anlagen II", RWTH Aachen, 1994 [] Handschin, E. Elektrische Energieübertragungssysteme Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1987