10 Tensorfelder . (10.1) ds = lim 21

Transkript

1 10 Tensorfelder Im letzten Kapitel haben wir Tensoren nur im Zusammenhang mit Vektorräumen diskutiert. In physikalischen Theorien tauchen Tensoren aber meistens in Form Tensorfelder auf, zum Beispiel als Kraftfelder auf dem physikalischen Raum. Unter einem Feld verstehen wir eine Abbildung, die jedem Punkt des Raumes eine Zahl, einen Vektor, oder eben einen Tensor bestimmter Stufe zuordnet. In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Darstellung von solchen Feldern in verschiedenen Koordinatensystemen beschäftigen. Insbesondere geht es darum, das Transformationsverhalten von Tensorfeldern bei Koordinatentransformationen zu verstehen, das wir im letzten Kapitel anhand von Basistransformationen in Vektorräumen diskutiert haben. In physikalischen Anwendungen müssen wir oft spezielle Koordinatensysteme wählen, die dem gestellten Problem angepasst sind, um überhaupt einer Lösung näher zu kommen. Zum Beispiel konnten wir das Kepler-Problem, also die Bewegungsgleichung für einen Planeten im Sonnensystem, erst durch den Übergang zu Kugelkoordinaten lösen. Kugelkoordinaten sind krummlinige Koordinaten. Das bereitete ein paar Schwierigkeiten, da wir, bevor wir die Bewegungsgleichungen explizit aufstellen konnten, erst einmal Größen wir Geschwindigkeit und Beschleunigung in solchen Koordinaten darstellen mussten. Um solche Rechnungen nicht für jedes neue Koordinatensystem noch einmal durchführen zu müssen, wollen wir hier eine Art Rezeptsammlung für den Umgang krummlinigen Koordinatensystem bereitstellen. Das Tensorkalkül ist dafür die geeignete Sprache. Wir werden zuerst nur affine Koordinatensystem betrachten und zeigen, dass sich das Transformationsverhalten von Tensorfeldern in solchen Koordinatensystem unmittelbar auf das Transformationsverhalten beim Basiswechsel zurückführen lässt. Anschließend werden wir dies verallgemeinern und zeigen, dass in krummlinigen Koordinatensystemen ein ganz ähnliches Verhalten gilt. Schwierigkeiten mach dort nur das Ableiten, so dass wir dazu eine spezielle kovariante Ableitung einführen müssen. Mit ihr werden wir in der Lage sein, viele der Ergebnisse, zu denen wir früher erst nach mühsamen Rechnungen gekommen sind, durch sehr einfaches Einsetzen von nur ein paar wenigen zu bestimmenden Größen zu reproduzieren. Dazu gehören zum Beispiel die Ausdrücke für Geschwindigkeit und Beschleunigung in Kugelkoordinaten, oder auch die für den Laplace-Operator oder die Divergenz oder Rotation eines Vektorfeldes in verschiedenen krummlinigen Koordinatensystemen. Vektoren und duale Vektoren Wir erinnern uns, dass ein affiner Raum E eine Menge von Punkten ist, der ein Vektorraum V zugeordnet ist, so dass zu je zwei Punkten ein Abstandsvektor existiert. Um die Notation etwas besser an die aus dem letzten Kapitel anzupassen, bezeichnen wir die Punkte jetzt auch mit fett gedruckten Buchstaben a, b,... E. Außerdem schreiben wir für den Abstandsvektor, der von a E nach b E zeigt, einfach b a V. Obwohl es sich dabei nicht wirklich um das Bilden einer Differenz handelt, ist die Notation sehr naheliegend. Entsprechend können wir den Punkt, der aus a E durch Verschiebung um einen Vektor v V entsteht, mit a + v E bezeichnen. Es gilt dann zum Beispiel a + (b a) = b, und es gelten auch sonst die üblichen Rechenregeln wie bei der gewöhnlichen Addition und Subtraktion von Vektoren. Wir müssen nur darauf achten, dass wir nicht zwei Punkte addieren können, und dass wir Punkte nicht mit Zahlen multiplizieren können. Für a, b E und s R ergeben die Ausdrücke a + b oder s a keinen Sinn. Wir ersetzen außerdem das Symbol V für den zugeordneten Vektorraum durch die Bezeichnung TE, was soviel bedeutet wie Tangentenraum von E. Die Bezeichnung rührt daher, dass der zugeordnete Vektorraum TE als die Menge aller Tangentenvektoren von Kurven in E betrachtet werden kann. Eine Kurve ist eine differenzierbare Abbildung λ : R E, deren Ableitung ein Vektor ist, nämlich der Tangentenvektor λ (s) = dλ ds = lim ɛ 0 21 λ(s + ɛ) λ(s). (10.1) ɛ

2 Im Zähler steht ein Abstandsvektor von zwei Punkten, so dass der Grenzwert im Vektorraum TE gebildet wird. Der Tangentenvektor einer Kurve ist also auf ganz natürliche Weise ein Vektor, ohne das wir dafür zuerst ein Koordinatensystem einführen müssen, um die Ableitungen auf die Koordinatendarstellung der Kurve anzuwenden. Es gibt nun eine ebenso natürliche Definition des zu TE dualen Vektorraumes T E. Dazu betrachten wir ein skalares Feld, also eine Abbildung φ : E R. Wir definieren die Richtungsableitung von φ an der Stelle r E in Richtung des Vektors v TE wie folgt. Wie werten das Feld φ entlang der Kurve s r + s v aus, und bilden von dieser Funktion die Ableitung an der Stelle s = 0. Das Ergebnis bezeichnen wir mit dφ(r + s v) φ(r + ɛ v) φ(r) v φ(r) = = lim. (10.2) ds s=0 ɛ 0 ɛ Aufgabe 10.1 Man zeige, dass die rechte Seite von (10.2) für festes r E eine lineare Funktion von v TE ist, wenn die Funktion φ hinreichend glatt ist, so dass Grenzwerte beliebig vertauscht werden können. Demnach wird, wenn wir den Punkt r E festhalten, durch φ(r) : TE R, v v φ(r) (10.3) eine lineare Abbildung definiert. Diese lineare Abbildung heißt Gradient von φ an der Stelle r. Für jedes r ist folglich φ(r) T E, das heißt der Gradient ist ein dualer Vektor, oder genauer ein duales Vektorfeld auf E. In einem affinen Raum sind Vektoren die Tangentenvektoren von Kurven, und duale Vektoren die Gradienten von skalaren Feldern. Tatsächlich besteht zwischen den beiden Objekten eine Art Symmetrie, denn ein Tangentenvektor ist die Ableitungen einer Kurve, also einer Abbildung R E in den affinen Raum hinein, während der Gradient die Ableitung eines skalaren Feldes ist, also einer Abbildung E R aus dem affinen Raum hinaus. Beide Objekte lassen sich in natürlicher Weise miteinander kombinieren, nämlich indem wir die Ableitung eines Feldes φ : E R entlang einer Kurve λ : R E berechnen. Das ist die Ableitung einer gewöhnlichen Funktion R R, nämlich dφ(λ(s)) ds = λ (s) φ(λ(s)). (10.4) Sie wird gebildet, indem man der Tangentenvektor der Kurve mit dem Gradienten des Feldes multipliziert, und zwar im Sinne der natürlichen Produktes eines Vektors mit einem dualen Vektor. Wie hier schreiben wir den Vektor auch gelegentlich als erstes Argument, und den dualen Vektor als zweites Argument. Da die Beziehung zwischen einem Vektorraum und seinem Dualraum symmetrisch ist, spielt das keine Rolle. Aufgabe 10.2 Man mache sich auch hier noch einmal klar, dass der Punkt in (10.4) kein Skalarprodukt ist, der affine Raum E also kein metrischer Raum sein muss, um eine solche Ableitung eines skalaren Feldes entlang einer Kurve zu bilden. Affine Koordinaten Um Kurven und Felder explizit zu beschreiben, müssen wir ein Koordinatensystem verwenden. Ein affines Koordinatensystem wird durch die Wahl eines Ursprungs o E und einer Basis e i von TE festgelegt. Jeder Punkt r E lässt sich dann eindeutig durch einen Satz von Koordinaten r i identifizieren, r = o + r i e i, r i = (r o) e i. (10.5) 22

3 Man beachte, dass die Koordinaten r i jetzt einen oberen Index tragen, da es sich um die Komponenten eines Vektors r o TE handelt. Eine sehr geschickte Art, den Zusammenhang zwischen dem Koordinatensystem auf E und der zugehörigen Basis e i von TE auszudrücken, ergibt sich aus der folgenden Beobachtung. Wir betrachten den Punkt r E als eine Funktion der reellen Zahlen {r i }. Das Koordinatensystem ist eine Abbildung R N E : {r i } r({r i }) = o + r i e i, (10.6) mit N = dim E. Wenn wir die partiellen Ableitungen dieser Funktion r nach den Koordinaten r i bilden, finden wir i = e i. (10.7) Die Basisvektoren e i von TE, die zu einem affinen Koordinatensystem gehören, sind die partiellen Ableitungen des Punktes r nach den Koordinaten r i. Dafür gibt es auch eine sehr anschauliche geometrische Erklärung. Die Basisvektoren e i sind die Tangentenvektoren der Koordinatenlinien. Eine Koordinatenlinie ist eine Kurve, die dadurch definiert ist, dass alle bis auf eine Koordinate konstant sind, und die verbleibende Koordinate als Kurvenparameter aufgefasst wird. In einem affinen Koordinatensystem sind die Koordinatenlinien die Geraden, die parallel zu den Achsen liegen. Der Tangentenvektor einer solchen Koordinatenlinie ist die Ableitung nach dem Kurvenparameter, also genau die partielle Ableitung / i, bei der eine Koordinaten variiert wird und alle anderen festgehalten werden. Mit diesem Trick können wir den Tangentenvektor einer Kurve sehr leicht berechnen. Die Kurve λ(s) wird durch ihre Koordinatendarstellung λ i (s) beschrieben, also durch eine Verkettung einer Funktion R R N : s {λ i (s)} mit der Koordinatenabbildung {r i } r. Folglich gilt für die Ableitung die Kettenregel λ (s) = dλ ds = i = (s) dλ i ds = e i λ i (s). (10.8) Die Komponenten des Tangentenvektors sind durch die Ableitungen der Koordinatenfunktionen gegeben. Das ist natürlich nichts neues, denn so hatten ursprünglich den Tangentenvektor einer Kurve definiert. Mit Hilfe der Darstellung (10.7) lässt sich das offenbar sehr geschickt reproduzieren. Entsprechend wird ein skalares Feld durch eine Funktion φ({r i }) der Koordinaten dargestellt. Betrachten wir wieder die Richtungsableitung des Feldes an der Stelle r E in Richtung eines Vektors v TE, so finden wir mit der Kettenregel v φ(r) = dφ(r + s v) ds = dφ({ri + s v i }) = v i φ({ri }) s=0 ds s=0 i = v i i φ(r). (10.9) Daraus folgt, dass die partiellen Ableitungen φ/ i an der Stelle r die Komponenten des Gradienten φ(r) bezüglich der dualen Basis e i sind. Wir benutzen dafür die abkürzende Schreibweise i = / i, also φ(r) = i φ(r) e i. (10.10) Der Index bei i steht unten, weil es sich um die Komponenten eines dualen Vektors handelt. Für die Ableitung eines Feldes entlang einer Kurve gilt schließlich in der Koordinatendarstellung dφ(λ(s)) ds = λ (s) φ(λ(s)) = λ i (s) i φ(λ(s)). (10.11) Das können wir wieder als Tensoroperation verstehen. Wir haben einen Tensor der Stufe (1, 0) mit einem Tensor der Stufe (0, 1) multipliziert und anschließend die kontrahiert. Das Ergebnis ist ein Tensor der Stufe (0, 0), also ein Skalar. 23

4 Aufgabe 10.3 Es sei E ein zweidimensionaler affiner Raum, auf dem die affinen Koordinaten (x, y) definiert sind. Wir betrachten eine Kurve λ und ein skalares Feld φ, gegeben durch x(s) = cosh(s), y(s) = sinh(s), φ(x, y) = x 2 y 2. (10.12) Man stelle den Tangentenvektor der Kurve in der Basis (e x, e y ), und den Gradienten des Feldes in der dualen Basis (e x, e y ) dar. Man bestimme daraus die Ableitung des Feldes entlang der Kurve und überprüfe das Ergebnis durch direktes Nachrechnen, also durch Ableiten der Funktion φ(s) = φ(x(s), y(s)) nach s. Aufgabe 10.4 Man zeige, dass sich auch die dualen Basisvektoren als Ableitungen ausfassen lassen. Dazu betrachtet man die Koordinaten r i als reelle Funktionen auf E. Dann ist r i = e i, das heißt die dualen Basisvektoren sind die Gradienten der Koordinaten. Koordinatentransformationen Wir wollen nun zeigen, dass sich die gerade eingeführten Objekte tatsächlich wie Tensoren verhalten. Dazu müssen wir untersuchen, was bei einer Koordinatentransformation passiert, die ja gleichzeitig einen Basiswechsel impliziert. Es sei ein altes Koordinatensystem gegeben, in dem wir die Koordinaten eines Punktes r mit r i bezeichnen. Die neuen Koordinaten r a desselben Punktes definieren wir dadurch, dass wir entweder die alten Koordinaten als Funktion der neuen schreiben, oder umgekehrt die neuen als Funktion der alten. Beim Übergang von einem affinen Koordinatensystem zu einem anderen handelt es sich dabei um eine affine Abbildung, also r i = Λ i a r a + ξ i r a = Λ a i r i + ξ a. (10.13) Eine affine Koordinatentransformation besteht aus einer linearen Abbildung mit Verschiebung. Damit die beiden Gleichungen (10.13) äquivalent sind, muss gelten Λ a i Λ i b = δ a b, Λ a i ξ i + ξ a = 0. (10.14) Die Übergangsmatrizen sind wieder zueinander invers, und die Verschiebungen müssen sich gegeneinander aufheben, wenn wir die eine zuerst mit der Übergangsmatrix transformieren. Aufgabe 10.5 Man zeige, dass ξ i die alten Koordinaten des neuen Ursprungs sind, und ξ a die neuen Koordinaten des alten Ursprungs. Die additiven Terme in (10.13) sind also die Darstellungen von Vektoren, die angeben, wohin der Ursprung des Koordinatensystems verschoben wird. Betrachten wir nur die Beziehungen (10.13) zwischen den Koordinaten, so stellen wir fest, dass sich die Übergangsmatrizen Λ i a und Λ a i wieder sehr geschickt als partielle Ableitungen schreiben lassen, nämlich als die der neuen Koordinaten nach den alten oder umgekehrt, Λ i a = i a, Λa i = a i. (10.15) Dass die beiden Matrizen zueinander invers sind, ergibt sich dann ganz einfach aus der Kettenregel, Λ a i Λ i b = a i i b = a b = δa b. (10.16) Außerdem können wir daraus sehr leicht die Transformation der zugehörigen Basis ableiten. Es gilt in beiden Koordinatensystemen, dass die zugehörige Basis von TE durch die partiellen Ableitungen des Punktes nach den Koordinaten gegeben sind, e i = i, e a = a = i i a = e i Λ i a. (10.17) 24

5 p x p u p p y p v p e v e y y r v r e x x e u u (a) (b) Abbildung 10.1: Bei einer affinen Koordinatentransformation gelten für die Koordinaten eines Punktes r E die Transformationen (10.13), die sich aus einer Verschiebung und einer Basistransformation zusammensetzen. Für die Komponenten eines Vektors p TE ist jedoch nur die Basistransformation relevant. Wir finden also das Transformationsverhalten der Basisvektoren allein durch Anwenden der Kettenregel. Das einzige, was wir uns dazu einprägen müssen, ist die Darstellung (10.7) der Basis als Ableitung des Punktes nach den Koordinaten. Wir können das an einem Beispiel veranschaulichen. In einem zweidimensionalen affinen Raum sei ein Koordinatensystem (x, y) gegeben, mit den zugehörigen Basisvektoren (e x, e y ). Ein zweites Koordinatensystem (u, v) werde durch x = u cos α v sin α + 1, y = u sin α + v cos α 1 (10.18) definiert. Das entspricht anschaulich einer Drehung der Koordinatenachsen um einen Winkel α und einer Verschiebung des Ursprungs um einen Vektor e x e y. Die Beziehung (10.18) lässt sich leicht invertieren. Es ist u = (x 1) cos α + (y + 1) sin α, v = (1 x) sin α + (1 + y) cos α. (10.19) Um die neuen Basisvektoren (e u, e v ) durch die alten auszudrücken, benutzen wir die Formel (10.17) und finden e u = x u e x + y u e y = cos α e x + sin α e y, e v = x v e x + y v e y = sin α e x + cos α e y. (10.20) Wir müssen also gar nicht erst die Übergangsmatrizen berechnen, sondern können direkt die partiellen Ableitungen der alten Koordinaten nach den neuen benutzen, um die Basisvektoren ineinander umzurechnen. Wir finden natürlich wieder eine Drehung um den Winkel α. Die Verschiebung des Ursprungs macht sich dabei nicht bemerkbar. 25

6 Um die Komponenten eines Vektors oder eines dualen Vektors umzurechnen, können wir genauso vorgehen. Für die Übergangsmatrizen setzen wir die partiellen Ableitungen der Koordinaten ein. Für einen Vektor p = p i e i = p a e a und einen dualen Vektor q = q i e i = q a e a gilt p a = Λ a i p i = a i pi. q a = q i Λ i a = q i i a. (10.21) Vektoren spüren von der Verschiebung des Ursprungs nichts, sondern sieht quasi nur die Drehung der Basis. Als einfache Regel gilt auch hier, dass wir nur die passende partielle Ableitung bilden müssen, so dass die Summenkonvention zur Anwendung kommt. Im Zähler steht die Koordinate mit einem oberen Index, im Nenner fungiert der Koordinatenindex dagegen als unterer Index, wie wir dies schon bei der Definition des Gradienten gesehen haben. Es ergibt sich dann ganz von selbst, dass der Gradient eines skalaren Feldes wie ein dualen Vektor, und der Tangentenvektor einer Kurve wie ein Vektor transformiert. Es handelt sich in beiden Fällen um eine einfache Anwendung der Kettenregel, nämlich a φ = φ a = φ i i a = iφ Λ i a bzw. λ a = λa s = a i λ i s = Λa i λ i. (10.22) Aufgabe 10.6 In dem affinen Raum aus Aufgabe 10.3 sei ein zweites Koordinatensystem (u, v) durch u = 1 + x + y, v = 1 + x y (10.23) definiert. Welche Beziehung besteht dann zwischen den alten Basisvektoren (e x, e y ) und den neuen Basisvektoren (e u, e v )? Wie lautet die Darstellung der Kurve durch u(s) und v(s) in dem neuen Koordinatensystem, und wie die des Feldes φ(u, v)? Welche Darstellung hat der Tangentenvektor der Kurve in der Basis (e u, e v ), und welche der Gradient des Feldes in der dualen Basis (e u, e v )? Tensorfelder Wir können nun den Begriff des Feldes auf einem affinen Raum erweitern, indem wir nicht nur skalare Felder und deren Gradienten betrachten, sondern ganz allgemein Tensorfelder. Ein Tensorfeld auf einem affinen Raum ist eine Abbildung, die jedem Punkt einen Tensor zurordnet. Ein Tensorfeld der Stufe (m, n) definiert also eine Abbildung E T (m,n) E, wobei T (m,n) E den Raum aller Tensoren der Stufe (m, n) auf dem Vektorraum TE bezeichnet. Ein Vektorfeld F ist in diesem Sinne ein Tensorfeld der Stufe (1, 0), das jedem Punkt r E einen Vektor F (r) TE zuordnet. Typische Beispiel für solchen Vektorfelder kennen wir bereits aus der elementaren Mechanik. Kraftfelder wie zum Beispiel das elektrische Feld oder das Gravitationsfeld sind Vektorfelder auf dem physikalischen Ortsraum. Eigentlich sind wir mit diesem Konzept also schon vertraut. Ein Tensorfeld ist nur die naheliegende Verallgemeinerung eines Vektorfeldes. Es umfasst skalare Felder als Tensorfelder der Stufe (0, 0), die Vektorfelder selbst als Tensorfelder der Stufe (1, 0), sowie duale Vektorfelder der Stufe (0, 1), die typischerweise als die Gradienten von skalaren Feldern auftreten. Mit Hilfe des Tensorbaukastens können wir aus diesen Grundobjekten Tensorfelder beliebiger Stufe bilden, indem wir sie addieren, multiplizieren und kontrahieren. Um ein Tensorfeld F explizit darzustellen, müssen wir wieder ein Koordinatensystem verwenden. Ihm kommen in diesem Fall zwei Bedeutungen zu. Zum einen treten die Koordinaten wie bei einem skalaren Feld als Argumente auf. Das Feld wird durch eine Funktion F (r) = F ({r i }) der Koordinaten dargestellt. Zusätzlich müssen wir den Tensor selbst aber auch noch in seine Komponenten bezüglich einer 26

7 Basis zerlegen. Dazu verwenden wir immer die Basis e i bzw. die duale Basis e i, die zu dem gewählten Koordinatensystem gehört. Ein Tensorfeld der Stufe (m, n) wird also explizit durch einen Satz von (dim E) m+n Funktionen dargestellt, die jeweils von dim E reellen Variablen abhängen, F (r) = F i j k l({r i }) e i e j e }{{}} k {{ e } l. (10.24) m n Für ein Vektorfeld oder ein duales Vektorfeld ergeben sich auf diese Weise dim E Funktionen von dim E Variablen, im Falle des dreidimensionalen Ortsraumes also drei Funktionen von drei Variablen. Auch das sollte uns schon vertraut sein. Ein Kraftfeld wird durch drei Funktionen von drei Variablen explizit dargestellt. Beim Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen ist nun zu beachten, dass sich sowohl die Koordinaten, die als Argumente auftreten, als auch die Basisvektoren transformieren. Am besten machen wir uns das zuerst an einem nicht ganz trivialen Beispiel klar, das auch als kleine Rechenübung dient. In einem zweidimensionalen Raum sei ein Vektorfeld F gegeben, das wie folgt im Koordinatensystem (x, y) dargestellt wird, F = (x + y) e x + (x y 2) e y, oder F x = x + y, F y = x y 2. (10.25) In Abbildung 10.2(a) ist dieses Vektorfeld grafisch dargestellt, indem an den Gitterpunkten des Koordinatensystems jeweils der Wert des Feldes als Pfeil dargestellt ist. Wir wollen dieses Vektorfeld in das durch (10.18) definierte Koordinatensystem (u, v) umrechnen. Dazu gehen wir in zwei Schritten vor. Zuerst schreiben wir die Komponenten F x und F y als Funktionen von u und v. Das ergibt F x = (u v) sin α + (u + v) cos α, F y = (u v) cos α (u + v) sin α. (10.26) Diese rechnen wir jetzt in die Komponenten F u und F v um, indem wir die allgemeine Formel (10.21) für die Umrechnung der Vektorkomponenten verwenden, F u = u x F x (u, v) + u y F y (u, v) = cos α ((u v) sin α + (u + v) cos α) + sin α ((u v) cos α (u + v) sin α) = cos(2 α) (u + v) + sin(2 α) (u v), F v = v x F x (u, v) + v y F y (u, v) = sin α ((u v) sin α + (u + v) cos α) + cos α ((u v) cos α (u + v) sin α) = cos(2 α) (u v) sin(2 α) (u + v). (10.27) Aufgabe 10.7 Man beweise die folgenden trigonometrischen Formeln, die bei dieser Rechnung verwendet wurden, 2 sin α cos α = sin(2 α), cos 2 α sin 2 α = cos(2 α). (10.28) Setzen wir speziell α = π/8, so ist sin(2 α) = cos(2 α) = 1/ 2. Die Komponenten nehmen dann eine besonders einfache Form an, und das Vektorfeld hat in dem neuen Koordinatensystem die Darstellung F = 2 u e u 2 v e v, oder F u = 2 u, F v = 2 v. (10.29) 27

8 y v replacements (c) (d) x u (a) (b) Abbildung 10.2: Dasselbe Vektorfeld, dargestellt in zwei verschiedenen Koordinatensystemen. Dieses Koordinatensystem ist in Abbildung 10.2(b) dargestellt. Tatsächlich sieht das Vektorfeld dort etwas einfacher aus als in der Abbildung (a). Durch die spezielle Wahl des Winkels α lässt sich das Koordinatensystem also besser an das Vektorfeld anpassen. Nach dem gleichen Prinzip lässt sich die Umrechnung eines beliebigen Tensorfeldes von einem Koordinatensystem in ein anderes in zwei Schritte zerlegen. Man rechnet zuerst die Koordinaten um, von denen der Tensor abhängt, und transformiert anschließend die Komponenten in die neue Basis. Dabei müssen wir jeden einzelnen Index transformieren, und dazu die Formeln (10.21) entsprechend verallgemeinern. Das allgemeine Transformationsgesetz für ein Tensorfeld F der Stufe (m, n) lautet F a b c d(r) = a i b j F i j k l(r) k c l d, (10.30) wobei der Punkt r, an dem das Feld ausgewertet wird, links als Funktion der Koordinaten r a, rechts dagegen als Funktion der Koordinaten r i darzustellen ist. Aufgabe 10.8 Als Beispiel betrachten wir das Vektorfeld F x (x, y, z) = z y F y (x, y, z) = z x, F z (x, y, z) = x 2 + y 2 (10.31) auf dem dreidimensionalen affinen Raum mit Koordinaten (x, y, z). Ein neues Koordinatensystem werde durch u = x + y, v = y x, w = z + d (10.32) 2 2 definiert, wobei d irgendeine Konstante ist. Man bestimme die Komponenten F u (u, v, w), F v (u, v, w) und F w (u, v, w) des Vektorfeldes in den neuen Koordinaten. Genau wie Tensoren lassen sich natürlich auch Tensorfelder addieren, multiplizieren und kontrahieren. Wir tun dies einfach punktweise. Die Summe von zwei Tensorfeldern gleicher Stufe F und G ist durch 28

9 (F +G)(r) = F (r)+g(r) definiert, und das Tensorprodukt durch (F G)(r) = F (r) G(r), jeweils für alle Punkte r E. Allerdings gibt es für Tensorfelder noch eine zusätzliche Grundoperation, die es für Tensoren als solche nicht gibt. Das ist die Ableitung. Wenn wir nämlich ein beliebiges Tensorfeld wie in (10.24) durch seine Komponenten darstellen, so können wir die partiellen Ableitungen dieser Funktionen nach den Koordinaten bilden. Als Beispiel betrachten wir ein Vektorfeld F = F k e k. Die partiellen Ableitungen der Funktionen F k nach den Koordinaten r i bezeichnen wir wieder mit i F k = F k i. (10.33) Da es dim E Funktionen F k gibt und dim E Koordinaten r i, können wir auf diese Weise insgesamt (dim E) 2 partielle Ableitung bilden. Es sollte nicht überraschen, dass diese Größen wieder die Komponenten eines Tensorfeldes sind. Der Beweis erfolgt völlig analog zu (10.22). Dort hatten wir gezeigt, dass die partiellen Ableitungen eines skalaren Feldes wie die Komponenten eines dualen Vektors transformieren. Um zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen (10.33) wie die eines Tensors der Stufe (1, 1) transformieren, müssen wir nur zusätzlich für den Index k noch eine weitere Übergangsmatrix anbringen. Wir benutzen die Beziehung F c = c k F k, (10.34) wobei die rechte Seite als Funktion der Koordinaten r i dargestellt ist, die linke Seite dagegen als Funktion der Koordinaten r a. Dann leiten wir beide Seiten nach r a ab, wobei wir auf der rechten Seite, da sie ja eine Funktion der Koordinaten r i ist, dazu die Kettenregel verwenden. Das ergibt F c a = a ( c k F k ) = i a ( c ) i F k. (10.35) k Nun ist aber die Übergangsmatrix c / k konstant, das heißt die Ableitung wirkt nur auf F k. Daraus folgt F c a = i c F k a k i a F c = Λ c k i F k Λ i a. (10.36) Das ist das Transformationsverhalten für einen Tensor der Stufe (1, 1). Wir können also von jedem Vektorfeld F die Ableitung bilden, und erhalten ein Tensorfeld der Stufe (1, 1), das wir mit F bezeichnen. Allgemein lässt sich zu jedem Tensorfeld F der Stufe (m, n) die Ableitung F bilden, die dann ein Tensorfeld der Stufe (m, n + 1) ist, da es einen zusätzlichen unteren Index trägt. Die Komponenten des Feldes F sind die partiellen Ableitungen der Komponenten von F nach den Koordinaten, i F k l = F k l i. (10.37) Außerdem können die diese Operation natürlich mehrmals ausführen, also höhere Ableitungen F, F etc. bilden. Für Tensorfelder sind die Möglichkeiten, die sich zu deren Verknüpfung ergeben, um eine Operation erweitert. Die Grundoperationen für Tensorfelder sind Addition, Tensormultiplikation, Kontraktion und Ableitung Aufgabe 10.9 Man führe den Beweis für einen Tensor beliebiger Stufe, zeige also, dass sich die Komponenten (10.37) tatsächlich wie ein Tensor der Stufe (m, n + 1) verhalten, wenn F ein Tensor der Stufe (m, n) ist. 29

10 Krummlinige Koordinaten Nun kommen wir zu einer weiteren Stärke des Tensorkalküls. Wie wir bereits an einigen praktischen Beispielen gesehen haben, lassen sich bestimmte physikalische Probleme erst dann lösen, wenn wir das Koordinatensystem an das spezielle Problem anpassen. Dabei genügte es nicht immer, nur affine Koordinatensystems zu betrachten. Wir mussten auch krummlinige Koordinaten einführen, etwa Kugelkoordinaten, um das allgemeine Zentralkraftproblem zu lösen. Tatsächlich lässt sich alles, was wie bisher über Tensoren und Tensorfelder gesagt haben, auch mit Hilfe von krummlinigen Koordinatensystemen formulieren. Zunächst definieren wir, was wir unter einem krummlinigen Koordinatensystem verstehen. Ist E ein N-dimensionaler affiner Raum, so ist ein krummliniges Koordinatensystem eine Abbildung R N E, {r i } r ( {r i } ), (10.38) die einem Satz von N reellen Zahlen r i einen Punkt r E zuordnet. Das ist völlig analog zu (10.6), mit den einzigen Unterschied, dass wir nun von der Koordinatenabbildung nicht mehr verlangen, dass die affin ist. Wir verlangen nur noch, dass sie hinreichend oft differenzierbar ist. Außerdem muss sie, damit es sich wirklich um ein Koordinatensystem handelt, zumindest lokal umkehrbar sein. Lokal umkehrbar heißt, dass wir zumindest in der Umgebung eines Punktes allen anderen Punkten eindeutig ihre Koordinaten zuordnen können. In der Regel ist ein krummliniges Koordinatensystem nicht global invertierbar. Verwenden wir zum Beispiel Polarkoordinaten in der Ebene, so ist die Winkelkoordinate nur bis auf eine Vielfaches von 2π bestimmt. Dasselbe gilt für Kugelkoordinaten im dreidimensionalen Raum. Aber zumindest in der Umgebung eines Punktes lassen sich eindeutig die Koordinaten aller anderen Punkte angeben. Im allgemeinen ist es auch so, dass von einem krummlinigen Koordinatensystem nur eine Teilmenge von E erfasst wird. Bei einem Polarkoordinatensystem zum Beispiel nicht der Ursprung, und bei räumlichen Kugel- oder Zylinderkoordinaten nicht die z-achse. Wir sagen dann, dass das Koordinatensystem nur eine Teilmenge des Raumes abdeckt, und können es natürlich nur dort verwenden. Das spielt aber im folgenden keine Rolle, denn wir machen nur Aussagen über lokale Eigenschaften von Koordinaten und Feldern. Notfalls müssen wir, um den Raum vollständig abzudecken, mehrere Koordinatensysteme verwenden. Der Begriff der lokalen Invertierbarkeit lässt sich auch wie folgt fassen. Wir betrachten einen Punkt r E, sowie eine kleine Umgebung dieses Punktes. Dort können wir die Koordinatenlinien als N parametrisierte Kurven auffassen, die sich im Punkt r schneiden. Eine Koordinatenlinie ist auch hier wieder eine Kurve, die sich ergibt, wenn wir alle bis auf eine Koordinate festhalten und die verbleibende als Kurvenparameter verwenden. Nur ist es jetzt eben keine Gerade mehr, sondern eine beliebige Kurve. Wir können von diesen Kurven im Punkt r die Tangentenvektoren bilden. Sie zeigen an, in welche Richtung die einzelnen Koordinatenlinien verlaufen. Die Tangentenvektoren bekommen wir, genau wie vorher, indem wir von der Funktion (10.38) die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten r i bilden. Es sind also e i (r) = i (10.39) die Tangentenvektoren der Koordinatenlinien im Punkt r. Die Schreibweise ist ein wenig verkürzt, aber es sollte klar sein, wie die Ableitung zu verstehen ist. Zunächst ist der Punkt r eine Funktion der Koordinaten {r i }. Diese Funktion leiten wir partiell ab, und erhalten so einen Satz von N Vektoren, die als Funktionen der Koordinaten {r i } gegeben sind. Setzen wir die Koordinaten des vorgegebenen Punktes r ein, so erhalten wir die Vektoren e i (r). Lokal invertierbar bedeutet nun, dass diese N Vektoren in jedem Punkt linear unabhängig sind, also eine Basis es Tangentenraumes TE bilden. Anschaulich heißt das, dass wir von jedem Punkt r aus in jede Richtung gehen können, ohne das Koordinatensystem zu verlassen. Die auf diese Weise durch das Koordinatensystem in jedem Punkt r definierte Basis e i (r) heißt lokale Koordinatenbasis. Sie bildet die Analogie zu der festen Basis e i, die zur Definition eines affinen Koordinatensystem gehört. 30

11 Ein krummliniges Koordinatensystem definiert an jedem Punkt eine lokale Koordinatenbasis. Das können wir uns am besten wieder an einem einfachen Beispiel klar machen. Wir betrachten einen zweidimensionalen affinen Raum, auf dem wir zunächst ein affines Koordinatensystem (x, y) einführen. Ein Punkt r E ist dann eindeutig durch r(x, y) = o + x e x + y e y als Funktion von x und y gegeben, und es gilt für die zugehörigen Basisvektoren x = e x, y = e y. (10.40) Als krummliniges Koordinatensystem führen wir nun ein Polarkoordinatensystem ein, das wie folgt als Abbildung definiert werden kann, (r, ϕ) r(r, ϕ) = o + r cos ϕ e x + r sin ϕ e y. (10.41) Wenn wir diese Funktion nach r und ϕ ableiten, so finden wir für die Tangentenvektoren der Koordinatenlinien e r (r, ϕ) = = cos ϕ e x + sin ϕ e y, e ϕ (r, ϕ) = ϕ = r sin ϕ e x + r cos ϕ e y. (10.42) In Abbildung 10.3(a) sind die Koordinatenlinien des affinen Koordinatensystems (x, y) gezeigt, in Abbildung 10.3(b) die des Polarkoordinatensystems (r, ϕ). An zwei ausgewählten Punkten r 1 und r 2 sind die entsprechenden Tangentenvektoren eingezeichnet. Wie man sieht, ergeben sich bei einem affinen Koordinatensystem in jedem Punkt die gleichen Vektoren (e x, e y ), während in einem krummlinigen Koordinatensystem die Vektoren (e r, e ϕ ) ortsabhängig sind. Trotzdem bilden die beiden Vektoren (e r, e ϕ ) in jedem Punkt r, außer am Ursprung, der von den Polarkoordinaten nicht abgedeckt wird, eine Basis des Tangentenraumes TE. Wir können jeden Vektor v als Linearkombination dieser Vektoren schreiben, und die Koeffizienten als die Komponenten v r und v ϕ des Vektors bezeichnen. Wir müssen nur immer dazu sagen, an welcher Stelle r wir diese Entwicklung vorgenommen haben. Zum Beispiel können wir ein Vektorfeld F darstellen, indem wir den Vektor F (r) an der Stelle r in der dort definierten Basis entwickeln, also F (r, ϕ) = F r (r, ϕ) e r (r, ϕ) + F ϕ (r, ϕ) e ϕ (r, ϕ). (10.43) Das ist die natürliche Art und Weise, ein Vektorfeld in einem krummlinigen Koordinatensystem darzustellen. Das einzig neue ist, dass jetzt nicht nur die Komponenten F i von den Koordinaten abhängen, sondern auch die Basis e i, in der das Feld entwickelt ist. Das hat zur Folge, dass ein konstantes Vektorfeld nicht unbedingt konstante Komponenten haben muss, und umgekehrt bedeuten konstante Komponenten nicht, dass das Vektorfeld konstant ist. Auch das kann man an einem einfachen Beispiel sehen. In Abbildung 10.3 ist jeweils zweimal derselbe Vektor v eingezeichnet, einmal am Punkt r 1 und einmal am Punkt r 2. Definieren wir ein konstantes Vektorfeld F = v, so sind die Komponenten F x und F y dieses Vektorfeldes natürlich konstant. Die Komponenten F r und F ϕ in Polarkoordinaten sind jedoch nicht konstant. Wie man in der Abbildung sieht, hat der Vektor v an der Stelle r 1 andere Komponenten bezüglich der dort definierten Basis als an der Stelle r 2. Umgekehrt sei ein Vektorfeld gegeben, das in Polarkoordinaten die konstanten Komponenten F r = 1 und F ϕ = 0 hat, also F = e r. In affinen Koordinaten gilt dann F = cos ϕ e x + sin ϕ e y oder F = 31

12 (c) (d) e y v e r v e ϕ r 2 e x e y v r 2 e ϕ v r 1 e x (a) r 1 e r (b) Abbildung 10.3: In einem affinen Koordinatensystem (a) sind die Tangentenvektoren der Koordinatenlinien die Basisvektoren e i. In einem krummlinigen Koordinatensystem (b) bilden die Tangentenvektoren der Koordinatenlinien in jedem Punkt r eine andere Basis e i (r). x/r e x + y/r e y. Die Komponenten sind also F x = x/r und F y = y/r, wobei r als Funktion von x und y aufzufassen ist. Das ist sicher kein konstantes Vektorfeld. Wir können von der Darstellung eines Vektorfeldes in krummlinigen Koordinaten nicht unmittelbar auf bestimmte Eigenschaften schließen. Insbesondere beim Ableiten von Vektorfeldern, worauf wir gleich noch näher eingehen werden, spielt das eine gewisse Rolle. Solange wir keine Ableitungen bilden, ist das Rechnen mit Tensorfeldern in krummlinigen Koordinatensystemen aber nicht komplizierter als in affinen Koordinatensystemen. Für die Transformation eines Tensorfeldes von einem affinen in ein krummliniges Koordinatensystem gelten formal genau dieselben Regeln wie für die Transformation von einem affinen Koordinatensystem zu einem anderen. Der entscheidende Trick ist derselbe wir vorher. Die Übergangsmatrizen lassen sich als partielle Ableitungen der neuen Koordinaten nach den alten oder umgekehrt schreiben. Der einzige Unterschied ist, dass diese jetzt ortsabhängig sind. Nehmen wir zum Beispiel die Definition (10.39) der Basisvektoren e i (r) in einem krummlinigen Koordinatensystem, und stellen wir die krummlinigen Koordinaten r i als Funktion von affinen Koordinaten r a dar, so finden wir e i (r) = i = a a i = e a Λ a i(r). (10.44) Die krummlinigen Basisvektoren e i (r) an der Stelle r ergeben sich aus den affinen Basisvektoren e i durch eine Übergangsmatrix Λ a i(r), die jetzt vom Ort r abhängt, an dem wir uns befinden. Sie ist aber immer noch durch dieselbe partielle Ableitung gegeben, nur dass diese jetzt nicht mehr konstant ist. Wir müssen also gar nicht den Umweg über die Koordinatenabbildung (10.38) machen, sondern können die Transformation der Basis direkt aus dem Zusammenhang zwischen den beiden Koordinatensystem ablesen. Im obigen Beispiel ist x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, (10.45) 32

13 und daher Das ist natürlich dasselbe wie (10.42). e r = x e x + y e y = cos ϕ e x + sin ϕ e y, e ϕ = x ϕ e x + y ϕ e y = r sin ϕ e x + r cos ϕ e y. (10.46) Aufgabe Man zeige, dass die Beziehung (10.44) sogar dann noch gilt, wenn beide beteiligten Koordinatensystem krummlinig sind, wobei dann natürlich beide Basen ortsabhängig sind. Insbesondere können wir das Transformationsgesetz (10.30) für beliebige Vektorfelder unmittelbar übernehmen, das heißt für den Übergang von einem beliebigen Koordinatensystem zu einem beliebigen anderen gilt für einen Tensor der Stufe (m, n) F a b c d(r) = a i b j F i j k l(r) k c l d, (10.47) wobei links m und rechts n Übergangsmatrizen stehen, die jetzt alle vom Ort abhängen. Als Beispiel wollen wir die Metrik in Polarkoordinaten ausdrücken. Wenn (x, y) kartesische Koordinaten sind, dann ist g xx = g yy = 1 und g xy = g yx = 0. Explizites Ausschreiben der Summen in (10.47) liefert dann g rr = g xx x x + g x xy y + g y yx x + g y yy Dieselbe Rechnung für die anderen drei Komponenten ergibt y = cos2 ϕ + sin 2 ϕ = 1. (10.48) g rr = 1, g rϕ = g ϕr = 0, g ϕϕ = r 2. (10.49) Ein Vektor v, der an der Stelle (r, ϕ) durch seine Komponenten v r und v ϕ dargestellt ist, hat also den Betrag v 2 = (v r ) 2 + r 2 (v ϕ ) 2. Und ein Vektorfeld, das konstante Komponenten F ϕ = q und F r = 0 hat, steigt, wenn man den Betrag des Feldes betrachtet, wie q r mit dem Radius an. Aufgabe Wie sieht die inverse Metrik g ij in Polarkoordinaten aus, und welches Verhalten hat der Betrag eines Vektorfeldes mit zunehmendem r, wenn dessen Komponenten mit unteren Indizes F r und F ϕ konstant sind? Die Koordinatenbasis, die an der Stelle (r, ϕ) durch die Polarkoordinaten definiert ist, ist offenbar keine Orthonormalbasis. Auch das ist in Abbildung 10.3 zu sehen. Die Vektoren e r und e ϕ stehen zwar überall senkrecht zueinander. Der Vektor e ϕ, der tangential zu den Kreisen um den Ursprung zeigt, wird aber nach außen hin immer länger, während der Vektor e r, der radial nach außen zeigt, immer ein Einheitsvektor ist. Alle diese Eigenschaften der Basisvektoren lesen wir auch aus (10.49) ab, denn die Komponenten der Metrik sind, wie wir wissen, die Skalarprodukte der Basisvektoren, g ij = e i e j. Als zweites Beispiel berechnen wir noch den antisymmetrischen Einheitstensor in Polarkoordinaten. Da wir uns in einem zweidimensionalen Raum befinden, hat er nur zwei Indizes und ist durch ω xy = 1 oder ω xy = 1 eindeutig festgelegt. Die Basis (e x, e y ) soll also positiv orientiert sein. Um ihn zu transformieren, müssen wir nur eine Komponente berechnen, zum Beispiel ω rϕ = ω xx x x ϕ + ω x xy y ϕ + ω y yx x ϕ + ω y yy y ϕ = r cos2 ϕ + r sin 2 ϕ = r. (10.50) Es gilt also ω rr = 0, ω rϕ = r, ω ϕr = r, ω ϕϕ = 0. (10.51) 33

14 Wie man leicht sieht, stimmt auch hier die Beziehung (9.86) zwischen dem antisymmetrischen Einheitstensor ω ij, der Determinante g der Metrik, und dem Levi-Civita-Symbol ε ij, nur dass dieses jetzt auch nur zwei Indizes trägt. Aus (10.49) entnimmt man, dass g = det(g ij ) = r 2 ist, und somit g = r. Setzen wir dann noch ε rϕ = 1, so bekommen wir ω ij = g ε ij = r ε ij, was mit (10.51) übereinstimmt. Da sich dabei ein positives Vorzeichen ergibt, ist das Koordinatensystem (r, ϕ) offenbar ebenfalls positiv orientiert. Auch das sehen wir in der Abbildung Die Basen (e r, e ϕ ) haben überall die gleiche Orientierung wie (e x, e y ). Aufgabe Man bestimme die Komponenten der Metrik und des antisymmetrischen Einheitstensors in Zylinderkoordinaten (r, ϕ, u), definiert durch x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = u, (10.52) wobei (x, y, z) ein kartesischen Koordinatensystem ist. Die ungewöhnliche Bezeichnung u für die dritte Koordinaten wurde hier nur gewählt, um sie eindeutig einem der beiden Koordinatensysteme zuzuordnen. Man erkläre anhand des allgemeinen Transformationsgesetzes für Tensoren (10.47), warum es erlaubt ist, Koordinaten, die bei der Transformation nicht beteiligt sind, in beiden Koordinatensystemen denselben Namen zu geben. Aufgabe Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) sind durch die Beziehungen x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ (10.53) zu einem kartesischen Koordinatensystem (x, y, z) definiert. Man zeige, dass die Metrik in Kugelkoordinaten die Darstellung g rr = 1, g ϑϑ = r 2, g ϕϕ = r 2 sin 2 ϑ, (10.54) und der antisymmetrische Einheitstensor die Darstellung ω rϑϕ = ω ϑϕr = ω ϕrϑ = ω rϕϑ = ω ϑrϕ = ω ϕϑr = r 2 sin ϑ (10.55) hat. Alle nicht angegebenen Komponenten sind Null. Aufgabe Wir betrachten ein Vektorfeld auf dem dreidimensionalen Euklidischen Raum, das in kartesischen Koordinaten durch F = f(r) (y e x x e y ), mit r = x 2 + y 2, (10.56) dargestellt wird. Wie sieht dieses Vektorfeld aus? Wie verhält sich sein Betrag als Funktion des Abstandes von der z-achse? Man bestimme die Komponenten des Vektorfeldes in Zylinderkoordinaten, und zwar sowohl die Komponenten (F r, F ϕ, F z ) mit oberen Indizes, also auch die Komponenten (F r, F ϕ, F z ) mit unteren Indizes. Was fällt auf, wenn man das Verhalten dieser Komponenten als Funktion von r betrachtet? Warum ist das so? Aufgabe Man führe dieselben Überlegungen wie in Aufgabe für das Vektorfeld F = f(r) (x e x + y e y ), mit r = x 2 + y 2, (10.57) durch. Man diskutiere auch hier das Verhalten der Komponenten (F r, F ϕ, F z ) und (F r, F ϕ, F z ) als Funktion von r. Warum ergibt sich etwas ganz anderes als in Aufgabe 10.14? 34

15 Aufgabe Man stelle die dualen Basisvektoren e r (r, ϕ) und e ϕ (r, ϕ) für ebene Polarkoordinaten als Funktion der dualen Basisvektoren e x und e y dar. Aufgabe Im dreidimensionalen Euklidischen Raum soll ein Volumenintegral über ein skalares Feld φ einmal in kartesischen Koordinaten (x, y, z) und einmal in krummlinigen Koordinaten (u, v, w) ausgeführt werden. Es sei g die Determinante der Metrik im krummlinigen Koordinatensystem, die im allgemeinen von den Koordinaten, also vom Ort abhängt. Man zeige, dass das Integral durch dx dy dz φ(x, y, z) = du dv dw g(u, v, w) φ(u, w, v) (10.58) gegeben ist. Die Wurzel aus der Determinante der Metrik definiert also in einem beliebigen krummlinigen Koordinatensystem das Volumenelement. Man vergleiche dies mit den bekannten Ausdrücken für das Volumenelement in Kugel- und Zylinderkoordinaten. Aufgabe Krummlinige Koordinaten im dreidimensionalen Euklidischen Raum müssen nicht die physikalische Dimension einer Länge haben. Sie können sogar verschiedene Einheiten tragen. In Kugelkoordinaten gilt zum Beispiel r = Länge, aber ϑ = ϕ = Winkel, das heißt zwei der drei Koordinaten sind dimensionslos. Anderseits bilden die Vektoren (e r, e ϑ, e ϕ ) keine Orthonormalbasis. Es handelt sich also nicht um Einheitsvektoren, und folglich müssen sie auch nicht dimensionslos sein. Welche physikalische Dimension haben sie? Welche Beziehung besteht allgemein zwischen den physikalischen Dimensionen von krummlinigen Koordinaten r i und denen der zugehörigen Basisvektoren e i? Welche physikalischen Dimensionen haben die Komponenten g ij der Metrik in Kugelkoordinaten, bzw. in einem allgemeinen krummlinigen Koordinatensystem? Die kovariante Ableitung Wir können nun beliebige Tensorfelder auch in krummlinigen Koordinatensystemen darstellen. Grundsätzlich gilt dabei stets, dass man ein Tensorfeld, wenn man es an einem Punkt r auswertet, auch in der lokalen Basis in diesem Punkt in seine Komponenten zerlegt. Folglich können wir Tensorfelder auch in krummlinigen Koordinatensystemen punktweise addieren, multiplizieren und kontrahieren. Bei Ableiten gibt es aber ein Problem. Denn dabei vergleichen wir ja die Werte eines Tensors an zwei verschiedenen Punkten und bilden einen Grenzwert. Wir zeigen zunächst, dass die beiden einfachsten Ableitungen, nämlich das Bilden des Tangentenvektors einer Kurve und des Gradienten eines skalaren Feldes, trotzdem auch in krummlinigen Koordinatensystemen in der gleichen Art und Weise funktionieren. Das ist im Grunde ganz einfach, denn wir man leicht sieht, gelten die Transformationsregeln (10.22) auch dann noch, wenn die beiden Koordinatensysteme krummlinig sind. Es sind einfache Anwendungen der Kettenregel, die natürlich auch dann gelten, wenn die Übergangsfunktionen i / a bzw. a / i nicht konstant sind. Das Bilden des Tangentenvektors einer Kurve oder des Gradienten eines skalaren Feldes macht in krummlinigen Koordinatensystemen keine Probleme. Bei einem Vektorfeld ist es schon schwieriger. So haben wir bereits gesehen, dass konstante Komponenten eines Vektorfeldes nicht bedeuten, dass das Feld als solches konstant ist, und umgekehrt hat ein konstantes Vektorfeld in krummlinigen Koordinaten keine konstanten Komponenten. Würden wir einfach die Ableitung der Komponenten nach den Koordinaten bilden, würden daher ein völlig falsches Bild davon bekommen, wie sich das Vektorfeld von Punkt zu Punkt verändert. Um die richtige Ableitung eines Vektorfeldes in krummlinigen Koordinaten zu bilden, schauen wir uns die explizite Darstellung eines Vektorfeldes an, nämlich als Linearkombination der lokalen Basisvektoren F (r) = F i (r) e i (r). (10.59) 35

16 Was passiert nun, wenn wir ein dieses Feld ableiten? Offenbar müssen wir dabei beachten, dass nicht nur die Komponenten F i von r abhängen, sondern auch die Basis e i, in der das Feld dargestellt ist. Bilden wir zum Beispiel die Ableitung nach r k, so finden wir F = ( ) F i e k k i = k F i e i + F i k e i. (10.60) Nun möchten wir diesen Vektor gerne wieder in der lokalen Basis e j am Ort r darstellen. Dazu müssen wir die Ableitungen der Basisvektoren wieder nach diesen entwickeln. Das heißt, wie müssen den Vektor k e i als Linearkombination der Basisvektoren e j darstellen, k e i = Γ j ik e j. (10.61) Die Koeffizienten dieser Entwicklung bilden ein Schema von (dim E) 3 Zahlen, das man Christoffel-Symbol nennt. Es ist gewissermaßen ein Maß dafür, wie krummlinig ein Koordinatensystem ist. Für ein affines Koordinatensystem sind alle Einträge gleich Null, denn dort sind die Basisvektoren konstant. Aufgabe Tatsächlich ist das Christoffel-Symbol eines Koordinatensystems genau dann gleich Null, wenn es sich um ein affinen Koordinatensystem handelt. Warum ist das so? Wenn wir (10.61) in (10.60) einsetzen und ein paar Indizes umbenennen, bekommen wir F k =( k F i + Γ i jk F j ) e i. (10.62) Wir haben also die Ableitung eines Vektors wieder als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben. Die Komponenten dieses Vektors, also den Ausdruck in der Klammer, bezeichnen wir mit k F i = k F i + Γ i jk F j, (10.63) und nennen ihn die kovariante Ableitung von F k nach r i. Wir wollen zeigen, dass es sich dabei um die Komponenten des Tensors F bezüglich des krummlinigen Koordinatensystems handelt. In einem affinen Koordinatensystem ist dieser Tensor durch die Komponenten c F a gegeben, also durch die partiellen Ableitungen der Komponenten F a nach den Koordinaten r a. Wir können dafür auch c F a schreiben, denn in einem affinen Koordinatensystem verschwindet das Christoffel-Symbol. Wir müssen also zeigen, dass c F a und k F j zwei Darstellungen desselben Tensors der Stufe (1, 1) sind. Dazu schreiben wir das Transformationsgesetz auf, wobei wir eine Übergangsmatrix auf die linke und eine auf die rechte Seite schreiben. Zu zeigen ist also a i kf i = c cf a a F i k i + a k i Γ i jk F j = c F a k c. (10.64) Um die linke Seite umzuformen, setzen wir die Definition (10.39) der Basisvektoren in die Definition (10.61) des Christoffelsymbols ein. Das ergibt Γ i jk i = 2 r Γ i a j k jk i = j. (10.65) k Die zweite Gleichung folgt aus der ersten, indem wir den Punkt r im affinen Koordinatensystem durch r = o + r a e a ausdrücken und benutzen, dass die Basisvektoren e a konstant sind. Wenn wir das dann in die linke Seite von (10.64) einsetzen, finden wir a F i i + a k i Γ i jk F j = a F j j + 2 r a k j F j = ( a ) k k j F j = F a (10.66) k Das ist aber nach der Kettenregel gleich der rechten Seite von (10.64). Wir haben also gezeigt, dass der Ausdruck (10.63), wenn wir ihn in ein affines Koordinatensystem transformieren, dort die Ableitung F des Vektorfeldes F repräsentiert r a

17 Der Ableitung eines Tensorfeldes wird in krummlinigen Koordinaten durch die kovariante Ableitung seiner Komponenten dargestellt. Welche praktische Bedeutung hat das nun? Wir veranschaulichen uns dies wieder am Beispiel der Polarkoordinaten. Wenn wir die Basisvektoren e r und e ϕ nach den Koordinaten ableiten und das Ergebnis wieder als Linearkombination dieser Vektoren darstellen, dann finden wir nach einer kurzen Rechnung r e r = 0, ϕ e r = 1 r e ϕ, r e ϕ = 1 r e ϕ, ϕ e ϕ = r e r. (10.67) Daraus lesen wir ab, dass nur die folgenden Komponenten des Christoffel-Symbols nicht verschwinden, Γ r ϕϕ = r, Γ ϕ rϕ = Γ ϕ ϕr = 1 r. (10.68) Betrachten wir nun zum Beispiel ein Vektorfeld, das radial nach innen oder außen zeigt, also F = f(r) e r, oder F r = f(r), F ϕ = 0. (10.69) Wir wollen die Divergenz dieses Vektorfeldes berechnen. Die naive Rechnung divf = r F r + ϕ F ϕ = f (r) führt zum falschen Ergebnis. Wenden wir jedoch die Formel (10.63) an und bilden die kovariante Ableitung, dann ergibt sich Hier haben wir verwendet, dass i F i = i F i + Γ i ji F j = r F r + ϕ F ϕ + 1 r F r = f (r) + 1 f(r). (10.70) r Γ i ri = Γ r rr + Γ ϕ rϕ = 1 r, Γ i ϕi = Γ r ϕr + Γ ϕ ϕϕ = 0. (10.71) Aufgabe Man rechne das Vektorfeld (10.69) in affine Koordinaten (x, y) im und zeige, dass (10.70) tatsächlich das richtige Ergebnis ist, das sich auch aus a F a = x F x + y F y ergibt. Wir benötigen die kovariante Ableitung und damit das Christoffel-Symbol also dazu, um in krummlinigen Koordinaten Ableitungen von Vektorfeldern zu berechnen. Der Vorteil ist dabei, dass wir das Christoffel- Symbol für jedes Koordinatensystem nur einmal berechnen müssen, also eine Art Formelsammlung anlegen können, um es immer dann anwenden zu können, wenn wir mit diesen Koordinaten arbeiten. Natürlich lässt sich die kovariante Ableitungen auf beliebige Tensorfelder anwenden. Wie das geht, bekommen wir mit folgendem Trick heraus. Wir betrachten ein Vektorfeld F und ein duales Vektorfeld G, sowie das skalare Feld φ = G F. In einem affinen Koordinatensystem mit Koordinaten r a gilt dann φ = G a F a b φ = b (G a F a ) = b G a F a + G a b F a. (10.72) Das ist eine Beziehung zwischen Tensoren, folglich in jedem Koordinatensystem gilt, auch in einem krummlinigen. Dort müssen wir allerdings die Komponenten der Tensoren F und G, die auf der rechten Seite stehen, durch die kovarianten Ableitungen darstellen. Das skalare Feld φ dagegen können wir einfach partiell nach den Koordinaten r i ableiten. Es gilt also im krummlinigen Koordinatensystem k φ = k (G i F i ) = k G i F i + G i k F i = k G i F i + G i k F i. (10.73) Der dritte Ausdruck ergibt sich aus der Produktregel für partielle Ableitungen aus dem zweiten. Der letzte Ausdruck ergibt aus der rechten Seite von (10.72), wenn wir die beiden Summanden als Tensoren transformieren. Wenn wir nun hier die Definition (10.63) der kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes einsetzen, und anschließend die Indizes umbenennen, bekommen wir k G i F i = k G i F i + G i Γ i jk F j = k G i F i + G i Γ j ik F i. (10.74) 37

18 Da dies für jedes Vektorfeld F gelten muss, ergibt sich k G i = k G i G j Γ j ik. (10.75) Das ist der allgemeine Ausdruck für die kovariante Ableitung eines Tensorfeldes der Stufe (0, 1). Wir können also die kovariante Ableitung eines dualen Vektorfeldes mit dem gleichen Christoffel-Symbol bilden, allerdings mit einer leicht veränderten Indexstellung. Mit einem ganz ähnlichen Trick lässt sich die kovariante Ableitung eines beliebigen Tensorfeldes bestimmen. Das werden wir aber vorerst nicht benötigen. Aufgabe Man zeige, dass das Christoffel-Symbol in seinen beiden unteren Indizes symmetrisch ist, Γ k ij = Γ k ji. (10.76) Aufgabe Warum ist das Christoffel-Symbol nicht die Darstellung eines Tensors? Aufgabe Man zeige, dass die nicht verschwindenden Einträge des Christoffel-Symbol auf einem dreidimensionalen affinen Raum in Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) genau durch (10.68) gegeben sind, also mit denen für ein ebenes Polarkoordinatensystem identisch sind. Aufgabe Ein Vektorfeld in einem zweidimensionalen affinen Raum sei in Polarkoordinaten durch F = F r e r + F ϕ e ϕ dargestellt. Man zeige, dass dieses Feld genau dann konstant ist, wenn die Komponenten die folgenden Differenzialgleichungen erfüllen, r F r = 0, r (r F ϕ ) = 0, ϕ F r = r F ϕ, ϕ (r F ϕ ) = F r. (10.77) Aufgabe Man zeige, dass das Christoffel-Symbol in Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) die folgenden nicht verschwindenden Einträge hat, Γ r ϑϑ = r Γ r ϕϕ = r sin 2 ϑ Γ ϑ ϕϕ = sin ϑ cos ϑ Γ ϑ rϑ = Γ ϑ ϑr = Γ ϕ rϕ = Γ ϕ ϕr = 1 r Γ ϕ ϑϕ = Γ ϕ ϕϑ = cot ϑ. (10.78) Aufgabe Es sei r(t) eine parametrisierte Kurve in E, zum Beispiel die Bahn eines Teilchens im physikalischen Raum. Stellt man diese in einem krummlinigen Koordinatensystem durch die Funktionen r i (t) dar, so sind die Ableitungen v i (t) = ṙ i (t) die Komponenten der Geschwindigkeit v(t), dargestellt in der lokalen Basis an dem Ort, an dem sich das Teilchen gerade befindet. Man zeige, dass die Beschleunigung a(t) wie folgt dargestellt wird, a i (t) = r i (t) + Γ i kl(r(t)) ṙ k (t) ṙ l (t), (10.79) also durch eine kovariante Ableitung, wobei das Christoffel-Symbol wieder an dem Ort auszuwerten ist, an dem sich das Teilchen gerade befindet. Wie lauten folglich die Bewegungsgleichungen für ein kräftefreies Teilchen in Kugelkoordinaten (r(t), ϑ(t), ϕ(t))? Man betrachte speziell ein Teilchen, das sich in der Äquatorebene bewegt. Es sei also ϑ = π/2. Man zeige, dass sich in diesem Fall unmittelbar die Drehimpulserhaltung l = m r 2 ϕ = konst ergibt, sowie die radiale Bewegungsgleichung m r = r Ṽ (r), mit Ṽ (r) = l 2 m r 2. (10.80) Man vergleiche die Ausdrücke für Geschwindigkeit und Beschleunigung mit denen aus Kapitel 5, also (5.32) und (5.35). Warum stimmen die Komponenten nicht überein? Welcher wesentliche Unterschied besteht zwischen den dort eingeführten Basisvektoren ( e r, e ϑ, e ϕ ) und den hier verwendeten Basisvektoren (e r, e ϑ, e ϕ )? 38