musikalischen Akustik

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1 JOHANNES BARKOWSKY Mathematische Quellen der musikalischen Akustik Mit 305 graphischen Darstellungen und 71 Tabellen 2007 FLORIAN NOETZEL VERLAG HEINRICHSHOFEN-BÜCHER WILHELMSHAVEN

2 sverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 1.1 Ableiten und Integrieren Sinus-und Kosinusfunktion Komplexe Zahlen Polarkoordinaten Euler-Gleichung Bogenmaß und Sinusfunktionen Fourier-Reihe Gibbs-Phänomen Addition von Sinusschwingungen Einige Definitionen Schallwahrnehmung 2.1 Das Gehör Ohm'sches Grundgesetz der Akustik Residualtöne Nicht-lineare Übertragung Klirrfaktor Kombinationstöne Obertöne Schwebungen und.rauhigkeit 67

3 2.7 Dezibel (db) Schalldruckpegel Addition von Schalldrücken Schallleistungspegel und Schallintensitätspegel Wahrnehmung von Lautheit Phon und Sone Musikalische Dynamikstufen Bewertungskurven Binaurales Hören Tonhöhe, Tonchroma, absolutes Gehör Stimmungssysteme 3.1 Der Tonraum Temperierte Stimmung Pythagoräische Stimmung Reine Stimmung Mitteltönige Stimmungen Zyklische Stimmungen Auswahlsysteme Außereuropäische Tonsysteme Physikalische Herleitung von Tonleitern Kirchentonarten Klangsynthese 4.1 Schwingung von Luftmolekülen Schallwandler Additive Synthese 72S 4.3 Amplitudenmodulation Ringmodulation Multiplikative Mischung 7 34

4 4.4 Frequenzmodulation Chowning FM Waveshaping Tschebyscheff-Polynome Subtraktive Synthese Formanten Formanten der Singstimme Formanten der Sprechstimme Rauschen Synthese mit Hilfe von Wellenformspeichern Karplus-Strong-Algorithmus Normalisierung A-D-, D-A-Wandlung und Störabstand Rekonstruktionsfilter Datenreduktion: verdecktes Rauschen Klangerzeugung durch schwingende Luftsäulen 5.1 Volumen, Druck und Temperatur Adiabatenexponent 7SO 5.2 Wellengleichung Schallgeschwindigkeit Lösung der Wellengleichung Fortschreitende Wellen Reflektierte Wellen Beidseitig offene Pfeifen Einseitig offene Pfeifen Zylindrisches Rohr, druckgesteuert Konisches Rohr Bauformen der Orgelpfeifen 227

5 5.6 Schallerregung in Labialpfeifen Laminare und turbulente Strömung Schneidenton Mensur Akustische Impedanz Dämpfung und Absorption Klangerzeugung durch schwingende Saiten 6.1 Schwingender Massenpunkt Wellengleichung für eine Saite ohne Biegesteifigkeit Lösung nach Bernoulli Lösung nach d'alembert Stegkräfte Auslenkung einer angeschlagenen Saite Grundfrequenz einer Saite ohne Biegesteifigkeit Saiten mit Biegesteifigkeit Klavier und Flügel Bewegung der gestrichenen Saite nach Helmholtz Wolfstöne 3 7S 7. Klangerzeugung durch schwingende Membranen 7.1 Zweidimensionale Wellengleichung Lösung der Wellengleichung Randbedingungen Die kreisrunde Membran Lösung der Wellengleichung Bessel'sche Funktionen Schwingungsmoden 343

6 Klanganalyse 8.1 Fourier-Transformation Herleitung der Fourier-Koeffizienten Diskrete Fourier-Transformation und Rücktransformation Abtasttheorem Fourier-Transformation mit komplexen Koeffizienten Rücktransformation Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Fourier-Integral Reelle Spektralfunktion Fensterfunktionen Anzahl der Abtastpunkte korrigieren Spektrogramme Beurteilung einer Zeitfunktion Weitere Funktionen und Transformationen 9.1 Autokorrelation Cepstrum Faltungstheorem Laplace-Transformation Sprungfunktion Rechteckpuls Stufenfunktion Dirac'sche Deltafunktion 439 ^ 9.5 Übertragungsfunktionen Abtastfunktion z-transformation Kurvenintegrale Fourier-, Laplace-, z-transformation im Vergleich 455

7 1 0. Gedämpfte Schwingungen Frequenz einer gedämpften Schwingung Inharmonizität des Flötentons? Spektrum einer gedämpften Schwingung Klangfilterung 11.1 Kondensator Ladungskurve Spule Filterung durch.fourier-transformation Filterung durch Faltung Nicht-rekursive Filter Linearer Phasengang Nullstellen Filterlänge n = Filterlänge n = Berechnung der Übertragungsfunktion Filterkoeffizienten und Fourier-Kosinusreihe Zeitunterschied - Frequenzunterschied Rekursive Filter Resonanzfilter Raumakustik 12.1 Reflexion, Brechung, Beugung, Streuung Schallreflexion Schallbrechung Schallbeugung Schallstreuung Huygens-Fresnel'sches Prinzip Gangunterschied der Elementarwellen Fraunhofer'sche Beugung Schallreflexionen im Raum 544

8 12.5 Absorption Helmholtz-Resonatoren Nachhall Tabellen der Schallabsorption in Luft Beispielrechnungen Hörsamkeit Sprachverständlichkeit 5/ Haas-Effekt Sprachübertragungsindex STI Raumakustische Kriterien für die Aufführung von Musik 577 Griechische Buchstaben 584 Vergrößerung und Verkleinerung von Einheiten (Sl-Präfixe) 585 Übersicht der Formelzeichen 587 Bibliographie 597 Index 605