Leistungen in Mehrphasensystemen J. Brenner, Nürnberg
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- Maya Baum
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1 Leistungen in Mehrphasensysteen J. Brenner, ürnberg Bereich Betrag der Wirkleistung in Mehrphasensysteen Bild ist eine beliebige chnittstelle zwischen Quelle Verbraucher eines Mehrphasensystes it n Außenleiter + eutralleiter dargestellt. Bild : chnittstelle eines Mehrphasensystes it eutralleiter ind die dort vorliegenden Augenblickswerte periodische Zeitfunktionen gleicher eriodendauer, dann können an dieser chnittstelle u.a. die Effektivwerte (.) U u dt;,,,, idt;,,,, (.) sowie, abhängig von der Energieflussrichtung, die Wirkleistung [] ± u i dt (.)
2 geessen werden. Den Zusaenhang dieser Messgrößen beschreibt die chwarzsche Ungleichung [] u i dt u dt i dt (.4) oder it den Gleichungen (.), (.) (.) U (.5) Daraus folgt für den Bereich den Betrag der Wirkleistung i Mehrphasensyste it eutralleiter U U (.6) U (.7) Bild ist eine beliebige chnittstelle zwischen Quelle Verbraucher eines Mehrphasensystes it n Außenleiter dargestellt. Bild : chnittstelle eines Mehrphasensystes ohne eutralleiter
3 ind die dort vorliegenden Augenblickswerte periodische Zeitfunktionen gleicher eriodendauer, dann können an dieser chnittstelle u.a. die Effektivwerte U u dt;,,,, (.8) idt;,,,, (.9) sowie, abhängig von der Energieflussrichtung, die Wirkleistung [] ± u i dt (.) geessen werden. Den Zusaenhang dieser Messgrößen beschreibt die chwarzsche Ungleichung [] u i dt u dt i dt (.) oder it den Gleichungen (.8), (.9) (.) U (.) Daraus folgt für den Bereich den Betrag der Wirkleistung i Mehrphasensyste ohne eutralleiter U U (.) U (.4) cheinleistungen in Mehrphasensysteen Mit der Definition Die cheinleistung ist der Betrag der größten Wirkleistung, die it den jeweils vorliegenden pannungs- troeffektivwerten erreicht werden kann,
4 4 folgt aus der Betragsungleichung (.7) für die cheinleistung i Mehrphasensyste it eutralleiter U (.) aus der Betragsungleichung (.4) für die cheinleistung i Mehrphasensyste ohne eutralleiter U (.) Mit der Effektivwertgleichung [] Uν U ν, ν> (.) wird die cheinleistungsgleichung (.) alternativ Uν ν, ν> (.4) Leistungsfaktor in Mehrphasensysteen Mit den cheinleistungsgleichungen (.) (.) werden die Bereichsungleichungen (.6) (.) (.) oder (.) Mit der Definition Der Leistungsfaktor ist das Verhältnis von Wirkleistung zu cheinleistung λ (.) wird die Ungleichung (.) λ (.4)
5 5 d.h. auf Gr dieser Ungleichung ist es öglich, für den Leistungsfaktor den Kosinus eines Winkels Φ einzuführen. λ cos Φ; Φ π (.5) Der Winkel Φ ist eindeutig bestit, wenn er auf Φ π beschränkt wird. 4 Wirkleistung in Mehrphasensysteen Mit Gleichung (.5) folgt aus Gleichung (.) für die Wirkleistung cos Φ; Φ π (4.) Dabei gehören zu Φ < π / positive - Werte (Wirkleistungsbezug) zu π / < Φ π negative - Werte (Wirkleistungsabgabe). Zu Φ π / gehört der Wert. 5 Blindleistung in Mehrphasensysteen Mit der Definition Der Betrag der Wirkleistung die Blindleistung sind die beiden orthogonalen Koponenten der cheinleistung lassen sich diese nur positiv definierten drei Leistungsgrößen nach Bild als rechtwinkliges Dreieck darstellen. Folglich gilt Bild : Orthogonale Koponenten der cheinleistung + Q oder + Q (5.) Für die Blindleistung folgt daraus Q (5.)
6 6 Mit Gleichung (4.) wird diese Gleichung Q cos Φ cos Φ oder Q sin Φ; Φ π (5.) 6 cheinleistungen in speziellen Mehrphasensysteen Die cheinleistung i Einphasen-Zweileitersyste wird nach Gleichung (.) it oder it U (6.) Die cheinleistung i Zweiphasen-Zweileitersyste wird nach Gleichung (.) (.) it + + U oder it U / (6.) Die cheinleistung i Zweiphasen-Dreileitersyste wird nach Gleichung (.) it + (6.) Die cheinleistung i Dreiphasen-Dreileitersyste wird nach Gleichung (.) (.) it ( U ) ) Die cheinleistung i Dreiphasen-Vierleitersyste wird nach Gleichung (.) it + (6.5) + Die cheinleistung i echsphasen-echsleitersyste wird nach Gleichung (.) (.) it 6
7 7 6 6 (6.6) wobei U 6 U 6 ( U ) (6.7) (6.8) syetrischen Dreiphasen-Dreileitersyste ist U, U. Folglich wird die cheinleistung nach Gleichung (6.4) in diese yste (6.9) U syetrischen Dreiphasen-Vierleitersyste ist U. Folglich wird die cheinleistung nach Gleichung (6.5) in diese yste (6.) 7 Beispiele Mit den Messwerten i Einphasen- Zweileitersyste U [ V ]; 5[ A ]; 46[ W] berechnen sich die cheinleistung, der Leistungsfaktor die Blindleistung 5 5[ W] cosφ / 46 / 5,9 Φ arccos / arccos,9, Q sin Φ 5 sin, 96 W Mit den Messwerten i Dreiphasen- Dreileitersyste U 59 V ;U 58 V ;U 6 V 4 A ; 5 A ; 6 A 65 W
8 8 berechnen sich die cheinleistung, der Leistungsfaktor die Blindleistung ,8 W cosφ / 65 / 896,8,75 Φ arccos / arccos,75 4,6 Q sin Φ 896,8sin 4,6 67,9 W Mit den Messwerten i Dreiphasen- Vierleitersyste U V ; U 9 V ; U V A; 9A; A 5 W berechnen sich die cheinleistung, der Leistungsfaktor die Blindleistung W cosφ / 5 / 66,784 ( ) Φ arccos / arccos,784 4,6 Q sin Φ 66sin4,6 46 W Literatur [] J. Brenner: Wirkleistungen in Mehrphasensysteen [] J. Brenner: chwarzsche Ungleichungen [] J. Brenner: pannungen in Mehrphasensysteen
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