Einführung in MATLAB für die Übungen zur Numerik partieller Differentialgleichungen von Dr. Harald Schmid

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1 Einführung in MATLAB für die Übungen zur Numerik partieller Differentialgleichungen von Dr. Harald Schmid Grundlagen MATLAB ist eine Abkürzung von MATrix LABoratory, und wurde in erster Linie für Numerische Berechnungen, zur Visualisierung von Daten sowie zur Entwicklung von Algorithmen und graphischen Benutzeroberflächen geschaffen. Die Vorteile von Matlab sind ein großer Umfang an mathematischen Funktionen (vor allem für Berechnungen mit Matrizen) und eine einfach zu erlernenden Programmiersprache. Zuerst ein paar grundsätzliche Hinweise: Das Software-Paket MATLAB steht im CIP-Pool Physik zur Verfügung. Informationen hierzu sind auf der WWW-Seite (unter dem Buchstaben M bzw. den Menüeinträgen Wissenschaft -> Mathematik-> Numerisch) zu finden. Das Programm wird mit matlab aufgerufen. Mit dem MATLAB-Befehl help kann man Hilfe ganz allgemein oder, bei Angabe eines bestimmten Stichworts (z.b. help matfun für Matrixfunktionen), Hilfe zu speziellen Themen und Anweisungen erhalten. Programme werden in Textdateien mit der Endung.m geschrieben, z.b. test.m, und dann auf der Kommandozeile mit dem Dateinamen ohne Endung aufgerufen (im Beispiel: test). Mit dem Prozentzeichen % kann ein Kommentar eingefügt werden, d.h., die Zeile wird nicht als MATLAB-Anweisung interpretiert. Bitte nicht an Kommentaren sparen! Mit dem Semikolon ; nach einem Befehl wird die Ausgabe unterdrückt. Mehrere Befehle in einer Zeile werden durch ein Komma, oder (falls keine Ausgabe erwünscht ist) durch ; getrennt. Abbildung 1: Die MATLAB-Toolbox

2 In obigem Bild ist auf der rechten Seite das Kommandofenster zu sehen, in dem die Befehle eingegeben werden. Hierbei ist >> die Eingabeaufforderung. Befehlswiederholung ist mit den Cursor-Tasten möglich. Das Programm wird mit quit, exit oder durch Aufruf des entsprechenden Menüeintrages beendet. Auf der linken Seite befindet sich oben die Liste aller verwendeten Variablen mit Größe und Typ, und unten sind alle bisher ausgeführten Anweisungen zu sehen. MATLAB enthält einen eigenen Editor, mit dem Programmdateien erstellt werden können. Eine neue.m-datei kann man im Menü unter File -> New -> M-File anlegen und auch vom Editor aus starten. Zahlen: Die Eingabe von rationalen Zahlen erfolgt im Dezimalsystem (mit Dezimalpunkt statt -komma). Optional kann ein Vorzeichen + oder - vorangestellt sein, oder ein ganzzahliger Exponent nach der Angabe von e bzw. E folgen. Beispiele:-1.234, e-6. Zahlen werden im Binärsystem mit 52 Bit Mantisse gespeichert. Die relative Rechengenauigkeit ist daher Komplexe Zahlen werden als zwei rationale Zahlen, verknüpft durch +, eingegeben, wobei der Imaginärteil durch ein nachfolgendes i oder j gekennzeichnet ist. Beispiel: e5i oder 1.2j+3.4e5. Bei Imaginärteil 0 wird nur der Realteil angezeigt. Es gibt noch spezielle Zahlen, und zwar Inf (für Infinity, entsteht bei Überlauf und ist vorzeichenbehaftet) sowie NaN (für Not a Number, entsteht bei Rechnungen mit undefiniertem Ergebnis; Operationen mit NaN ergeben wieder NaN). Für einfache Berechnungen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren) stehen die Operatoren +, -, *, /, ^ zur Verfügung. Die Auswertung von Termen erfolgt dabei in der üblichen Reihenfolge, also: Potenz, Punkt, Strich, und zwar von links nach rechts, wobei Klammerung mit ( ) möglich ist. Für die Zahl π ist die Bezeichung pi vorhanden, und es stehen die wichtigsten mathematischen Funktionen zur Verfügung, etwa sin, tan, exp, log, sqrt (Wurzel) Die Argumente sind jeweils in Klammern und Winkel im Bogenmaß anzugeben. Für die Arbeit mit komplexen Zahlen gibt es die Funktionen abs, conj, imag, real Runden kann man z.b. mit floor, ceil, round. Beispiele: >> exp(2*pi*i) ans = i >> abs( i) ans = >> sqrt(2) ans =

3 Variablen: Variablennamen beginnen stets mit einem Buchstaben und bestehen aus bis zu 31 Zeichen. Erlaubt sind dabei Buchstaben (keine Umlaute), Zahlen und_(unterstrich). Diese sind case sensitive, d.h. zwischen Groß- und Kleinbuchstaben wird unterschieden. Die Typdeklaration erfolgt anders als bei etwa C++ indirekt durch Zuweisung von Werten mit =. Nicht zugewiesene Rückgabewerte werden in der speziellen Variable ans (answer) gespeichert. Definierte Variablen kann man mit who bzw. whos anzeigen und mit clear Variablenname löschen. clear ohne Variablennamen löscht alle Variablen. Beispiel: >> x = pi; y = cos(x) y = -1 Matrizen und Vektoren: Matrizen sind das wichtigste Datenformat in MATLAB. Die Eingabe einer Matrix erfolgt durch eckige Klammern [], wobei die Einträge einer Zeile durch, oder Leerzeichen getrennt sind und Zeilen durch ; oder Zeilenschaltung separiert werden. Zeilenfortsetzung wird durch angegeben (z.b. falls eine sehr lange Matrix-Zeile zur besseren Lesbarkeit in zwei Datei- bzw. Bildschirm-Zeilen aufgeteilt werden soll). Vektoren sind (1 n)- bzw. (n 1)-Matrizen. Skalare sind (1 1)-Matrizen, und hier dürfen die eckigen Klammern auch entfallen. Beispiele: >> A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9] A = >> [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ] ans = Zur Eingabe spezieller Matrizen gibt es beispielsweise die Anweisung ones(n,m) für eine (n m)- Matrix, bei der alle Einträge gleich 1 sind (nicht die Einheitsmatrix!), und zeros(n,m) liefert die (n m)-nullmatrix. Dagegen erzeugt rand(n,m) eine (n m)-matrix mit Zufallswerten zwischen 0 und 1. Ist v ein Vektor, so ergibt diag(v) eine quadratische Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente die Komponenten von v sind. Für die Eingabe von Vektoren gibt es ebenfalls nützliche Abkürzungen. So steht a:s:b für den Vektor [a,a+s,a+2*s,,a+m*s] mit m=floor((b-a)/s), und a:1:b kann durch a:b ersetzt werden. Die Anweisung linspace(a,b,n) liefert einen Vektor mit der äquidistanten Unterteilung des Intervalls [a, b] in n Punkte, was besonders für das Anlegen von Knotenpunkten eines Graphen (s.u.) nützlich ist, und linspace(a,b) entspricht linspace(a,b,100). Beispiele:

4 >> t = [1:2:12] t = >> z = linspace(1,12,6) z = Die Indizierung, also der Zugriff auf bestimmte Elemente und Teilmatrizen, erfolgt durch die Angabe von Indexvektoren als Argumente der Matrixvariablen, wobei der erste Index 1 und letzter Index end ist. Beispiele: A(2,end) liefert das letzte Element in der zweiten Zeile von A, und A(z,s) erzeugt eine Teilmatrix der durch z und s indizierten Zeilen und Spalten (Reihenfolge entsprechend der Indexvektor-Einträge). Hierbei ist : die Kurzform für 1:end. Beispielsweise liefert dann B(:,2) die zweite Spalte von B, oder B(1:2,end-1:end) würde die rechte obere (2 2)-Teilmatrix von B ergeben. Zu bemerken ist noch, daß Teilmatrizen auch Werte zugewiesen werden können, und daß die Zuweisung eines Element mit Index größer als Matrixgröße das Auffüllung mit 0 bewirkt. Das Löschen von ganzen Zeilen und Spalten kann man etwa durch Zuweisung der leeren Matrix [ ] erreichen. Für die Arbeit mit Matrizen gibt es sehr nützliche Befehle. Zum Beispiel liefert A. bzw. A die transponierte bzw. komplex konjugierte Matrix von A. Alternativ geht dies auch mit den Anweisungen transpose(a) bzw. ctranspose(a). Ferner gibt diag(a,k) einen Vektor mit der k-ten Nebendiagonalen von A zurück. Beispiel: Ist A = ones(3,3), so ergibt I = diag(diag(a,0)) die (3 3)-Einheitsmatrix. Mit tril(a,k) und triu(a,k) kann man etwa die untere bzw. obere Dreiecksmatrix von A ab der k-ten Nebendiagonalen erhalten. Schließlich kann man mit inv(a) die Inverse zu A berechnen, und eig(a) liefert einen Vektor mit den Eigenwerten von A zurück. Weitere Matrixfunktionen, etwa zur LR- oder Cholesky-Zerlegung, sind unter help matfun aufgelistet. Für Berechnungen mit Matrizen stehen einerseits die Element-Operatoren.+,.-,.*,./,.^ zur Verfügung, die jedes Elemente des ersten Operanden mit dem entsprechendem Element des zweiten Operanden in der angegebenen Weise verknüpfen. Sind z.b. a ij die Einträge einer Matrix A, dann hat B = A.*A die Einträge b ij = a 2 ij, d.h. A.*A ist nicht die Matrixmultiplikation! Ist ein Operand ein Skalar, so wird dieser mit allen Elementen des anderen Operanden verknüpft. Ferner hat man: A+B Matrixaddition (entspricht A.+B), A-B Matrixsubtraktion (entspricht A.-B), A*B Matrixmultiplikation (hier gibt es keine vergleichbare Element-Operation), A^k k-fache Matrixmultiplikation (k = positive integer-zahl), A\B Lösung der Gleichung AX=B (d.h. X = A 1 B) B/A Lösung von XA=B (entspricht X = BA 1

5 Programmierung Bedingte Anweisungen (Verzweigungen) werden mittels der if-(else-)abfrage durchgeführt. Syntax: if Ausdruck_1 elseif Ausdruck_2 else end Ist der logische Ausdruck Ausdruck_1 wahr, werden die unmittelbar folgenden Befehle ausgeführt. Andernfalls wird der logische Ausdruck Ausdruck_2 der nachfolgenden elseif-anweisung geprüft usw. Sind alle logischen Ausdrücke falsch, werden die Befehle des else-zweiges bearbeitet. Die elseif-zweige und der else-zweig können auch entfallen, und es sind belebig viele elseif-zweige erlaubt. Ein logischer Ausdruck ist dabei ein Ausdruck, der die Werte 0 für falsch bzw. ungleich 0 für für wahr liefert. Diese werden durch die Vergleichsoperatoren <, <=, == (Gleichheit), >=, >, und ~= (Ungleichheit) erzeugt. Hat beispielsweise die Variable x den Wert 1, so liefert der logische Ausdruck x < 0 den Wert 0 für falsch. Achtung: = ist die Wertzuweisung an Variablen und nicht der Test auf Gleichheit! Schleifen dienen zur mehrmaligen Abarbeitung bestimmter Programmteile. Die for-schleife hat die Syntax for Variable = Matrix end Hierbei werden der Variablen Variable nacheinander die Spalten der Matrix zugewiesen, und für jede Spalte werden die Befehle einmal ausgeführt. Für einfache Schleifendurchläufe, etwa für einen Index k, der von 1 bis n laufen soll, schreibt man for k = 1:n end (zur Erinnerung: 1:n ist der Vektor bzw. die (1 n)-matrix [ 1 2 n ], d.h. der Variablen k werden nacheinander die Werte 1, 2 usw. zugewiesen). Der vorzeitige Abbruch der Schleife ist mit dem Befehl break möglich. Hinweis: Oft können for-schleifen durch geeignete Vektor- /Matrixoperationen ersetzt werden, die in der Regel wesentlich effizienter sind. Neben der for- Schleife steht auch noch die while-schleife zur Verfügung.

6 Graphiken 2D-Graphen werden mit dem Befehl plot erzeugt. plot(x,y) zeichnet einen Polygonzug mit den durch die Vektoren X und Y festgelegten Knoten (Imaginärteile werden ignoriert). plot(y) entspricht der Anweisung plot(1:length(y),y), falls Y reell ist, und plot(real(y),imag(y)) für komplexe Y. Bei Matrizen wird pro Spalte ein Polygonzug gezeichnet. Zusätzlich kann man eine Zeichenkette aus Stilparametern in Anführungszeichen als weiteres Argument angeben. Damit kann man Punkt- und Linientypen oder Farben festlegen. Zum Beispiel liefert plot(x,y, -. ) einen Graphen mit Strich-Punkt-Linie. Weitere Einzelheiten: siehe help plot. Mehrere Linien mit unterschiedlichen Stilparametern erhält man mit plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,). 3D-Graphen: Die Anweisung mesh(x,y,z) zeichnet ein Drahtgittermodell der Werte Z, die zu den Knotenpunkten X,Y gehören. Im Gegensatz dazu liefert surf(x,y,z) ein Oberflächenmodell des Graphen. Beispiel: Es soll die Funktion z = cos(x)e y2 über dem Rechteck (x,y) [ π,π] [ 1, 1] gezeichnet werden, und zwar als Drahtgitter und auch als zweidimensionale Fläche, wobei die Knotenpunkte jeweils einen Koordinatenabstand von 0.1 haben sollen. Hierzu soll ein kleines Programm, also eine.m-datei geschrieben werden. Diese könnte dann so aussehen: x = linspace(-pi,pi,21); y = -1:0.1:1; z = cos(x) *exp(-y.*y); figure; mesh(x,y,z); figure; surf(x,y,z); Nach Ausführung des Programmes werden dann zwei Fenster auf dem Bildschirm angezeigt: Abbildung 2: Die MATLAB-Toolbox Dabei wurde der Befehl figure benutzt, um für jeden Graphen ein eigenes Fenster zu öffnen. Will man mehrere Graphen in einem Koordinatensystem bzw. einem Fenster unterbringen, kann man die Anweisungen hold bzw. subplot verwenden. Näheres hierzu und auch andere Möglichkeiten wie Titelangabe, Achsenbeschriftungen usw. findet man unter help graphics. Weitere 3D-Graphik-Befehle werden mit help grap3d angzeigt.

7 Funktionen In MATLAB kann man auch Funktionen definieren. Diese werden als.m-dateien abgespeichert und mit ihrem Dateinamen (ohne Endung.m) aufgerufen. Die erste Zeile der Datei muß dabei das Schlüsselwort function, gefolgt von der Definition des Aufrufs in der Form [R{\"u}ckgabeliste]=Name(Parameterliste) enthalten. Der Name kann beliebig sein, sollte aber dem Dateinamen entsprechen, und bei leeren Listen können die Klammern auch entfallen (falls die Rückgabe- und Parameterliste leer sind, entspricht dies einer ganz normalen.m-datei). Die verwendeten Variablen sind lokal, also nur innerhalb der Funktion gültig, und beim Aufruf der Funktion werden die Parameterwerte kopiert. Die Funktion wird entweder mit dem Befehl return oder bei Dateiende verlassen. Mit type Name kann man den Quellcode der Funktion Name ansehen. Viele MATLAB-Funktionen sind übrigens als.m-dateien verfügbar. Beispiel: Es wird eine Datei test.m mit dem Quelltext function [x] = test(a,b) x = a+b; erzeugt und auf der Kommandozeile als Funktion aufgerufen: >> [y] = test(1,2) y = 3 Es können auch Funktionen selbst als Parameter an Funktionen übergeben werden. Eine Möglichkeit ist die Übergabe als Zeichenkette, d.h., der Funktionsname wird als Zeichenkette (eingeschlossen in Anführungszeichen ) in der Parameterliste angegeben, und die Auswertung der Funktion erfolgt dann innerhalb des Programms mit feval(name,parameterliste). Hierbei wird die Parameterliste der übergebenen Funktion wie beim direkten Aufruf der Funktion angegeben. Beispiel: Ist der Quellcode function myplot(f,a,b) x=linspace(a,b); y=feval(f,x); plot(x,y) unter myplot.m abgespeichert, so wird mit dem Aufruf myplot( sin,0,pi) der Graph von sin(x), x [0, π], gezeichnet.

8 Dünnbesetzte Matrizen Dünnbesetzte Matrizen (sparse matrices) sind Matrizen, bei denen ein großer Teil der Matrix- Elemente den Wert 0 hat. Solche Matrizen treten oft bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen auf. Ein typisches Beispiel sind Bandmatrizen, speziell Tridiagonalmatrizen, die nur in gewissen Nebendiagonalen Elemente ungleich 0 enthalten. Üblicherweise werden alle Matrix-Elemente intern im Rechner spalten- oder zeilenweise hintereinander abgelegt. Das hat den Vorteil, daß bei vollbesetzten Matrizen auf die einzelnen Matrixelemente schnell zugegriffen und die Matrixoperationen schnell ausgeführt werden können. Bei dünnbesetzten Matrizen hat dies aber Nachteile: Alle Elemente mit den Werten 0 werden genauso gespeichert wie Elemente mit Werten ungleich 0, und das belegt unnötigen Speicherplatz. Operationen mit den Werten 0 werden genauso ausgeführt wie Operationen mit Werten ungleich 0, das kostet unnötige CPU-Zeit. Offensichtlich kann man beides durch eine andere Speicherung der Matrizen einsparen, und MATLAB bietet neben der Standard-Speicherung von Matrizen auch eine solche, die speziell für dünnbesetzte Matrizen geeignet ist. Mathematisch sind voll- und dünnbesetzte Matrizen äquivalent, nur werden diese intern unterschiedlich gespeichert. Bezogen auf ein einzelnen Matrixelement benötigt man bei sparse-matrizen mehr Speicherplatz und mehr CPU-Zeit pro Operation, und sie sollten daher auch nur bei großen Problemen mit dünnbesetzten Matrizen genutzt werden. MATLAB bietet einen recht bequemen Umgang mit dünnbesetzten Matrizen und stellt beispielsweise folgende Befehle zur Verfügung: S = sparse(m) erzeugt aus einer vollbesetzten Matrix M die entsprechende dünnbesetzte Variante. Hinweis: mathematisch sind S und M äquivalent und der Besetzungsgrad beider Matrizen ist auch derselbe, nur die Bezeichnungen beziehen sich auf die Speichertechnik. M = full(s) erzeugt aus einer dünnbesetzten Matrix S die entsprechende vollbesetzte Matrix M. E = speye(n) erzeugt eine dünnbesetzte (n n)-einheitsmatrix. Die vollbesetzte Variante erhält man mit dem Befehl E=eye(n). S = spdiags(b,d,m,n) liefert eine dünnbesetzte m n Matrix S. Hierbei ist d ein Vektor der Länge p, dessen Werte angeben, welche Diagonalen der Matrix S besetzt sind. In den Komponenten von d steht der Wert 0 für die Hauptdiagonale, negative ganzzahlige Werte für die entsprechende untere Nebendiagonale und positive ganzzahlige Werte für die entsprechende obere Nebendiagonale. Beispiel: S = spdiags(b,[0,-2],4,5) generiert eine 3 4 Matrix S mit der Besetzungsstruktur S = [ * * * 0 * * 0 * 0 ] wobei die Werte dieser Diagonalen den Spalten der Matrix B entnommen werden. Diese muss p Spalten und min(m,n) Zeilen aufweisen, in unserem Beispiel also eine 4 2-Matrix sein. Die durch das erste Element von d bezeichnete Diagonale erhält dann die Werte

9 der ersten Spalte von B, die durch das zweite Element von d bezeichnete Diagonale die Elemente der zweiten Spalte von B usw. Falls eine Diagonale von S weniger Elemente umfasst als die entsprechende Spalte von B, werden die vorderen Elemente der Spalte von B nicht benutzt. Im Beispiel liefert also B = [ ] die Matrix S = [ ] und nicht benutzt werden die beiden 0-Werte der zweiten Spalte von B. Eine Wertzuweisung M(i,j)=x besetzt das Matrix-Element M(i,j) (also M i,j ) mit dem Wert x. Falls die Matrix M schon existiert, ändert sich dadurch nichts an der Speicherung der Matrix: eine dünnbesetzte Matrix M wird weiter als dünnbesetzte Matrix gespeichert, eine vollbesetzte Matrix weiter als vollbesetzte Matrix. Falls die Matrix M noch nicht definiert ist, wird sie allerdings als vollbesetzte (i j)-matrix erzeugt. Will man eine entsprechende dünnbesetzte Matrix M erzeugen mit einer Wertzuweisung an das Element M(i,j), benutzt man die Anweisung M = sparse(i,j,x). Allgemeiner kann man mit der Funktion sparse auch eine dünnbesetzte (n m)-matrix generieren und dem Element M i,j einen Wert zuweisen: M = sparse(i,j,x,n,m).