Strömende Flüssigkeiten

Transkript

1 Sömene lüssigkeien Man eleg ie lüssigkei in kleine olmenelemene Δ. Die Bewegng e Massen Δm Δ wi ch ie Käfe af as olmenelemen besimm n mi em Akionsini beechne. Gewichskaf: Käfe ch Dckneschiee: g g ga ( ) 8

2 Beeiche höhee Diche ween nach nen beschlenig. Beseh ein Dckneschie wischen links n echs wi as olmenelemen seiwäs beschlenig (oben/nen, von/hinen ebenso). Zsälich wiken Reibngskäfe wischen olmenelemenen mi neschielichen Geschwinigkeien. Gesamkaf af as olmenelemen ie beschlenig: g R Bescheibng e lüssigkeis-bewegng ch Angabe e Geschwinigkei (, ) (,,, ) an jeem O jee Zei (Sömngsfel). (, ) Häng (, ) ( ) nich elii von e Zei ab, sich man von eine saionäen Sömng. 83

3 Beschlenigng eines olmenelemenes:. in saionäe Sömng: Das olmenelemen gelang in e Zei Δ von nach o ha es ggf. eine anee Geschwinigkei. Beschlenigng Beisiel Beschlenigng in -Richng bei eschiebng in -Richng: Beisiel Beschlenigng in -Richng bei eschiebng in -Richng: Alle möglichen eschiebngen sammen egeben: Δ 84

4 . in eiabhängige Sömng: Zsälich kann as Sömngsfel noch elii von e Zei abhängen. Allgemein gil fü ie Beschlenigng in -Richng: Mi e Abküng (Nabla) egib sich Des olmenelemen wi beschenig, wenn ie Geschwinigkei am selben O nimm oe wenn es in einen Beeich höhee Geschwinigkei veschoben wi.,, ) ( 85

5 Bewegngsgleichng fü lüssigkei ohne Reibng: (Ele-Gleichng) Akionsini Beschlenigng n Käfe einseen: liefe: L. Ele, 755 { { g a m g ga ) ( g ga ) ( Ele-Gleichng 86

6 Um ie lüssigkei vollsänig bescheiben mss man fü jeen Pnk Geschwinigkei n Diche bw. Dck angeben. (, ) (, ) Sömngsfel ekofel Dicheveeilng skalaes el Z Beechnng e eilichen Enwicklng e Sömng mss ach eine Dgl. fü ie Diche afgesell ween: Koniniäsgleichng Zflss/Abflss-Bilan fü olmenelemen: m Zflss m m ' Abflss m m ( ' ) 87

7 Beücksichigng e aneen Seien liefe: ach äne sich ie Diche in em olmenelemen: Die Klamme beeichne man als Divegen Qellsäke eines ekofeles Diche im olmenelemen nimm, wenn meh fließ als abfließ. Diche im olmenelemen nimm ab, wenn meh abfließ als fließ. m m iv Koniniäsgleichng 88

8 Saionäe Sömngen in Rohen ohne Reibng lüssigkei sei inkomessibel also (, ) cons. De Massensom is übeall im Roh gleich (analog m elek. Som). Gil, weil es bei Inkomessibiliä keine Qellen oe Senken gib Im Zeielemen i ch ie läche A ie gleich Masse m, wie ch ie läche A' iv 0 A A' ' m A A A' ' A ' < A ' > also mss sein: ' A' A 89

9 Beechnng es Dckes bei solchen Sömngen: Elesche Gleichng wa ( ) g ga Keine Abhängigkeien von,,, a saionä, ohne Reibng n g 0. Ableingen nach,, sin Nll. Inegieen: cons. cons. Benolli-Gleichng is e saische Dck, heiß Sack 90

10 esch: De Dck wi mi Seigohen gemessen. Im Beeich goße Geschwinigkei is e Dck kleine (Bil a). Mi Reibng (Bil b): De Dck nimm sälich koninielich m Abflss hin ab. Enegiebeachng: In em olmen Δ is ie elasische Enegie E elas Δ geseiche. Bei e Geschwinigkei ha Δ ie kineische Enegie: E kin Δ Enegieehalng liefe: E elas E Δ kin Δ cons. 9

11 Rohe mi Höhenneschie: Z elasische n kineische Enegie komm noch oenielle Enegie: E o ghδ Enegieehalng liefe: E elas E E Δ kin o Δ ghδ cons. also h g cons. 9

12 Honamisches Paaoon Die schnelle Sömng wischen en beien Plaen eeg Uneck: Umgebngsck: 0 0 Dck wischen Scheiben: 0 0 Uneck: Die Scheibe schweb, wenn: A > mg 93

13 Dnamische Afieb beim liegen: Um einen lgegflügel söm ie Lf enlang e Obeseie einen längeen Weg als enlang e Uneseie. Dach oben schnellees Sömen. Dck oben: 0 > Dck nen: 0 Die Dckiffeen wischen oben n nen eeg eine Kaf nach oben: ( ) A Dch ie Reibng an e Tagfläche is e Poess ewas komliiee. 94

14 Reibng in lüssigkeien: Zwei Plaen mi eine lüssigkeisschich awischen ween gegeneinane veschoben. Wegen Reibng in e lüssigkei benöig man ie Kaf: Δ A Δ A : iskosiä oe Zähigkei, Einhei: [] N s / m Pa s lüssigkei / mpa s T0 T0 T00 Wasse Benol 0.65 Ehanol.0 Glein Qecksilbe.55 95

15 Reibngskäfe in einem Sömngsfel: olmenelemen Δ efäh links n echs Reibngskäfe: Zsammen egib ies Aieen n eweien mi liefe: 96b

16 De Diffeenenqoien egib geae ie weie Ableing von nach Also: Dies is abe noch nich ie gesame Kafkomonene in -Richng, a ach Geschwinigkeisänengen in n -Richng ebenso beiagen. Insgesam egib sich fü ie -Komonene e Reibngskaf: 96

17 Die aneen Komonenen e Reibngskaf ehäl men ebenso Diese omel läss sich abgekü mi em Lalaceoeao scheiben Δ Die Reibngskaf lae abgekü: R Δ Achng: Dela beee hie en Lalaceoeao! 97

18 Navie-Sokes Gleichng Diffeenialgleichng fü ie Bewegng eine viskosen lüssigkei: { { R g a m g ga ) ( Δ Wi eilen ch n ehalen ie Navie-Sokes Gleichng g Δ ga ) ( Akionsini Analog Ele-Gleichng abe mi Reibng 98

19 Navie-Sokes Gleichng veanschalich an eine Menschenmenge ( ) Ihe Geschwinigkei äne sich g ga Δ weil Sie in einen Beech geschoben ween, wo ie Lee schnelle lafen weil es begab geh ( ) g weil af e einen Seie meh geängel wi als af e aneen Seie ga weil Sie von en an Ihnen vobeisömenen Leen migeissen ween Δ 98b

20 Laminae Sömngen Laminae Sömng wischen wei Wänen: Kaf af ie Sinfläche eines olmenelemenes afgn eines Dckneschies oben ( ) ( ) nen Reibngskaf: ( ) ( ) Δ 0 Bei eine saionäen Sömng sin beie Käfe gleich 99

21 Lösen ch inegieen: c c c As en Ranbeingngen ehäl man ie Konsanen c n c ( 0) 0 c ( ) 0 c c Das Geschwinigkeisofil is aabelfömig. 300

22 Laminae Sömng in keisfömigen Rohen: Hagen-Poiseille Gese Lalaceoeao in Zlinekooinaen sieh anes as: Es folg: Δ n Ableingen nach Δ ϕ c 0 c 0 0 weil L 30

23 4 c Es folg as e Ranbeingng : R 4 Beechnng es Dchflsses ch ein Roh mi Länge L: R R L R π π [ ] R R L π 4 8 R L π Hagen-Poiseille Gese 30 0 ) ( R

24 Tblene Sömngen Renolssche Zahl: Wi scheiben ie Navie-Sokes-Gleichng ( ) g ga Δ m n venachlässigen ie Schwekaf: ( ) ga Δ Lineaen Tansfomaion von Zei n Länge liefe imensionslose DGL. T ' l Ll' (kleine Bchs. mi Sich imensionslos, goße Bchs. fes mi Dimension) ' ' Re ' T ( ' ' ) ' ga' ' Δ' ' { L L T ' T L imensionslose Renols-Zahl 303

25 Mi nee Zei n Längenskala gemessene Sömngen sin ähnlich en sünglichen Sömngen, wenn ie Renols-Zahl gleich is. Anwenng: Sömngen m Schiffsmoelle in Zeile beache. Ineeaion e Renols-Zahl: Re L T U L eweien mi L U liefe: Re 3 L U L U E W kin Reibng Die Renols-Zahl biee eine Kieim m Sömngen einsfen: Kleine Renols-Zahl sake Reibng laminae Sömng goße Renols-Zahl viel kineische Enegie blene Sömng 304

26 Wibel In eibngsfeien lüssigkeien wi ie Gesamwibelsäke ehalen (Helmholsche Wibelsäe). Ensich em Dehimlsehalngssa. Bilng von Wibeln is n in lüssigkeien mi Reibng möglich. Bevoge Bilng an Hinenissen im Sömngsfel. Wibelbilng an msöme Kgel. Renolsahl 000 Ablösen e Wibel n Bilng eine Kaman-Wibelsaße 305

27 Renols-Kieim fü Wibelbilng: Wibelsaße af e Jieobefläche Sake Reibng laminae Sömngen Keine Reibng Wibelbilng nmöglich Schwache Reibng Wibelbilng Re min < Re < Bei Sömng in Rohen: Re min 000 Weiee Beisiele Wibelbilng ch nmeische Lösng e Navie-Sokes Gleichng 306

28 Magns-Effek: Dch Reibng an e Obefläche eines oieenen Zlines is ie Sömngsgeschwinigkei an e einen Seie schnelle als an e Aneen. Geschwinigkei oben: v o v ω Geschwinigkei nen: v v ω Nach Benolli is also e saische Dck nen göße als oben Afieb Δ ( v o v ) Bei einem Zline e Länge l is ie Afiebskaf von e Gößenonng: ωv l vekoiell: l v ω 307