Kurzrepetition Stützkurs

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1 zusf_stuetzkurs.nb Urs Vonesch Kurzrepetition Stützkurs. Die vier Grundoperationen.. Grundbegriffe a + b Summand plus Summand = Summe (Addition) a - b Minuend minus Subtrahend = Differenz (Subtraktion) a b Faktor mal Faktor = Produkt (Multiplikation) a : b Dividend durch Divisor = Quotient (Division) a n y oder y Basis hoch Eponent = Potenz = Koeffizient, y = Variable Der Multiplikationspunkt wird meist weggelassen. (+6) - (-) + (-) - (+) Wir unterscheiden Vorzeichen und Operationszeichen. Zahlen mit Vorzeichen werden in Klammern gesetzt. Vorzeichenregeln: a + (+b) = a + b

2 zusf_stuetzkurs.nb a + (+b) = a + (-b) = a - (+b) = a - (-b) = a + b a - b a - b a + b a 0 = 0 0 : a = 0 a : 0 nicht erlaubt (wird "unendlich gross") Zahl und Gegenzahl: Gegenzahl zu. -. Gegenzahl zu - + Gegenzahl zu (a - b) -(a - b) oder (b - a) Die Gegenzahl ist die auf dem Zahlenstrahl an 0 gespiegelte Zahl. Es ist die mit (-) multiplizierte Zahl. Es ist (b - a) = (-) (a - b) = - (a - b) Zahl und reziproke Zahl (Kehrwertzahl) Kehrwert zu Kehrwert zu Kehrwert zu Kehrwert zu Kehrwert zu.. Addition und Subtraktion a) c + c + c + c b) yz +yz + yz c) a + 9a + a d) r + 8 r + r 6a) (a + b) + (a + b) b) (m + n) + m + n

3 zusf_stuetzkurs.nb + = + = 8a) - (y + z) b) a + (b - c) 9a) m + (p - m) b) a - (b + c - d) 0a) a - (a - b) b) - (0y - ) c) 9 - ( + y) ) (-) + (-y) (-6y) + (-) ) 9m - 8n - (-n) - (-m) ) a + b - a + 6b + a - b a) a + b - (a - b) b) a + b - ( + 6b) - ( + 8b b). a + [b - (c + b - a) + c] - [8a - (b - c)] Mehrfache Klammern von innen her auflösen. Behalten Sie die Form der übrigen Klammern {[ ]} bei. Gegeben eine Summe in einer Klammer, vor der ein Minuszeichen steht. Löst man die Klammer auf, so ändern sich die Operationszeichen aller Glieder, die vorher in der Klammer standen. Beispiel: - ( - y + z - ) = - + y - z + = - + y - z Terme mit Zahlen und Buchstaben werden in der Regel alphabetisch geordnet, und die Zahlen werden an den Anfang oder an den Schluss des Terms gebracht (siehe Beispiel oben). 6. a - {6a - (b + c - a) + [c - (a + b)]}. a - {[(b - ab) - (a + ab)] - (6a - b)}

4 zusf_stuetzkurs.nb. a - {[(b - ab) - (a + ab)] - (6a - b)} 8a) a - {[(b + c) - d] + e} b) a - [(a - 9b + c) - (9a + b)] 9a) 8a - [-(a - 8b) + a - b] b) ( - y) + {z + [z - y) + p] - y} Lösungen: a) c b) yz c) a d) 6r 6a) (a + b) b) (m + n) 8a) - y - z b) a + b - c 9a) m + p - m b) a - b - c + d 0a) a + b b) - 0y + c) - y ) - - y ) 00m + 6n ) a - b a) b b) a - b - 6 ) 0a + b + c 6) a + 0b + c ) 8a - b + 6ab 8a) a - b - c + d - e b) 0a + b - c 9a) 9a - b b) - y + z + p

5 zusf_stuetzkurs.nb.. Multiplikation a + a + a + a = a = a. ( = Koeffizient, a = Variable) a b = 0 ab. Man darf vertauschen und die Koeffizienten miteinander multiplizieren. a = a Vorzeichenregeln: a b = ab (+ + = +) (-a) (c) = -0ac (- + = -) a (-) = -a (+ - = -) (-p) (-q) = 6 pq (- - = +) Distributivgesetz: a (b + c) = umgekehrt: ab + ac = n (a + b - c) = ab + ac ("ausmultiplizieren") a (b + c) ("ausklammern") na + nb - nc umgekehrt: na + nb - nc = n (a + b - c) ausklammern und ausmultiplizieren von rechts: (b + c) a = ba + ca oder ab + ac Punktrechnung vor Strichrechnung: Multiplizieren vor Addieren + = + = Multiplikation von Klammersummen: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd

6 zusf_stuetzkurs.nb 6 (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd (a - b)(c + d) = ac + ad - bc - bd (a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd Ausklammern gemeinsamer Koeffizienten: a - b - = (6 - + a - b - ) (-) ausklammern: ( - + ) b - a - (a - b ) - - y - ( + y) Ausklammern von Klammern: (a + b) c + (a + b) d = (a + b) (c + d) c + d = (c + d) Klammern Sie gemeinsame Klammern aus. Manchmal müssen Sie zuerst eine zweite Klammer selber setzen. a) (a + b) - (a + b)y = b) a(+)+b(+)= c) (a - b) ( + y) - (a + b) ( + y) = d) (a + b) + a + b = e) + y + a + ay = f) a ( - ) - + = g) a + ay + b + by = (Hier entsteht die gemeinsame Klammer erst nach einem Zwischenschritt!)

7 zusf_stuetzkurs.nb Kommentar zu den Aufgaben a) bis h): a), b) Klammer ausklammern c) Klammer ausklammern. Die zweite Klammer [...] enthält in sich weitere Klammern, die zuerst aufzulösen sind. d) Die zweite Klammer ist zuerst herzustellen. Achtung: Neutralelement beachten! e) Vorne: Klammer herstellen; hinten: a ausklammern. Erst jetzt Klammer ausklammern. Neutralelement beachten! f) Hintere Klammer herstellen -> Wechsel des Operationszeichens! Dann Klammer ausklammern. g) Vordere zwei Summanden: a ausklammern, hintere zwei Summanden:b ausklammern. Jetzt die gemeinsam entstandene Klammer ausklammern Lösungen: a) (a + b)( - y) b) ( + )(a + b) c) ( + y)(a - 6b) d) (a + b)( + ) e) ( + y)( + a) f) ( - z)(a - ) g) ( + y)(a + b).. Brüche und Division Das Vorzeichen beim Dividieren: a b = -a ÅÅÅ b = + a b - a b a ÅÅÅ -b = - a b -a ÅÅÅ -b = + a b Weitere Beziehungen: a a = -a ÅÅÅ -a = -a ÅÅÅ a = - a ÅÅÅ -a = -

8 zusf_stuetzkurs.nb 8 a - b ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ b - a = a- b -Ha - bl = - (Eine wichtige Beziehung: Zahl Gegenzahl = -) 6 ab + ac - 8 ad ÅÅÅ = a a H b + c - 6 dl Å a = b + c - 6d Achtung: Summanden dürfen nicht einzeln gekürzt werden! n ÅÅ n + an - bn = n Å nh + a - bl = + a - b Das Kürzen erfolgt über vorgängiges Ausklammern! Beachten Sie: - a oder im Nenner sein.) b = Å -a b = a Å -b (Das Vorzeichen kann vor dem Bruch, im Zähler Übungen:. a) 0 a b) ÅÅÅ 0 c) a d) ÅÅÅ -a e) a f) ÅÅÅ -a g) a -a a -a 0. a) -80a : c b) -b : - c) -6 abc f) - -8 z - g) - Å -6-0 y ÅÅ - ab - a d) Å e) - a -9 ab ÅÅÅ y. a) ÅÅ - y y - b) a - c) - ÅÅ b - a - a a - b d) y - -H - yl e) - H - L - Å. (8ac - ad - a) : a. (-ab + 8ab - 6a b) : (-ab) 8 ab y 6. ( ÅÅÅ ab 8. (- ÅÅÅ ab + ÅÅÅ y ab + ÅÅÅ ab - ÅÅÅ y - ÅÅ ab ) : ab 6 ) : (-ab)

9 zusf_stuetzkurs.nb a : (9ac - 6ad + 8a) 9. Ausklammern und kürzen: (0ac - 90bc) : (a - 8b) 0. (0a - ay - 0b + 6by) : (0 - y). 0 a + b - ay - 8 by ÅÅ a + b Lösungen: a) 0 b) 0 c) a d) -a e) f) g) unbestimmt, nicht erlaubt a) ÅÅ -60 a c Å b) ÅÅÅ b c) y ab d) - e) ab y f) - ÅÅÅ 9 abc z g) - a) - b) - c) d) e) ) c - d - ) - b + a 6) ÅÅÅ y ) 8 8) c - d + 9) c 0) (0a - ay - 0b + 6by) : (0 - y) = (0a - 0b - ay + 6by) : (0 - y) = 0 (a - b) - y (a - b) : (0 - y) = (0 - y)(a - b) : (0 - y) = a - b ) 0 a + b - ay - 8 by ÅÅ a + b 6 H a + bl - yh a + bl H6 - yl H a + bl = ÅÅÅ a + b = ÅÅÅ a + b = 6 - y. Methoden der Umwandlung von Brüchen in Dezimalbrüche: Methode : Dividieren: = : = 0. Methode : Erweitern auf einen Dezimalnenner: ÅÅ 0 = Å 00 = = 8 ÅÅ 000 = 0.8;. Verwandeln Sie in einen Bruch: Methode der Umwandlung von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche: 0. = ÅÅ 000 = (kürzen) 8 ;. = Å 00 = ;.8 = ÅÅ 8 0 =

10 zusf_stuetzkurs.nb 0 8. Kürzen Sie: abc ÅÅ bc 60 y zq yz Å ab + ac ÅÅ a ac - ad + bc - bd ac + ad + bc + bd (Faktorzerlegung Zähler und Nenner) Summanden können nicht einzeln gekürzt werden. Zähler und Nenner müssen in Faktoren zerlegt werden. Gleiche Faktoren können gekürzt werden. Erweitern heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. Der Wert des Bruches bleibt unverändert. Kürzen heisst, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren. Der Wert des Bruches bleibt unverändert. 0. Erweitern Sie folgende Brüche, so dass ganzzahlige Zähler und Nenner entstehen: Beispiele: = ÅÅÅ = ÅÅ ;. 8 Å ÅÅÅ. 0 = ÅÅÅ ÅÅ 8 0 = 80.. a). Å. ÅÅ Å 0. + b) 8 - c) + 0. d) 0.8 -, a) 9 b) Multiplikation von Brüchen: Grundregel: Zähler mal Zähler; Nenner mal Nenner. 8 9 : ÅÅ Division Bruch durch Bruch: Bruch : Bruch = Bruch mal Kehrwert Bruch. a b : c d = a b d c = ÅÅ ad bc. a) b) 8 6

11 zusf_stuetzkurs.nb Bruch mal ganze Zahl: Die ganze Zahl wird in den Zähler hinaufmultipliziert:. a) : b) : c) : = ÅÅ 8 = ÅÅ = Bruch durch ganze Zahl: Der Divisor (die ganze Zahl) wird in den Nenner multipliziert: : 6 = ÅÅ : 6 = ÅÅ = 8 6. a) : b) : Ganze Zahl durch Bruch: Ganze Zahl durch Bruch = Ganze Zahl mal Kehrwert des Bruches: : = = = 6. Lösungen: ) > sind ) = + ) ) 6 ; 0 ÅÅ ; 6 ; 6 ; 6 8 ; ) ÅÅ 9 ; 8 ÅÅ 0 ; 8 ) ; 8 ; 6) 0.; 0.; 0.8; 0.; 0.00;.;.0 6 ; ; ÅÅ ; ÅÅ ; 8a) a; qy 6 ; b + c ÅÅ ; c - d ÅÅÅ c + d 9) ÅÅÅ 8 abe 6 cde 0) ÅÅ ; ÅÅ 8 ; ÅÅ ; 8 = 8 a) 0 ÅÅ b) ÅÅ c) d) ÅÅ 0 a) 6 b) a) ÅÅ a) ÅÅ 0 0 b) ÅÅ c) b) ) 6 6a) b) 6 8

12 zusf_stuetzkurs.nb.6. Selbsttest. Kürzen Sie: H - bl H a + cl b) -c - a a) - Ha + nl ÅÅÅ c) Ha + nl b ab + ay - b - y ÅÅ bc + cy - b - y d) y + ÅÅÅ e) a + b f) 6 a - b 0 a + 8 b - c Å - g) - ÅÅ b - h) a - a b Å a + a + +. Addieren oder subtrahieren Sie, indem Sie zuerst gleichnamig machen, d.h. den Hauptnenner suchen: a) ÅÅ ac + ab - 0 ac + 6 ab b) 8 Achtung: Bruchstrich = Klammer! c) a a - 9 b + b Å a - b - d) ÅÅÅ a + ÅÅÅ a 8 - Å a b. Multiplizieren Sie: a) a - b 6 H + yl b) ( Ha - bl - H + yl ) ( ÅÅ + y a - b H + yl - Ha - bl ) c) Å a + c Å a - c ac d) ( Å a Å by a + c Å c a - c - ÅÅÅ b 6 + ÅÅÅ c ) ( 6 Å a - 0 b + c ). Division: a) : b) (- Å uv ) : ÅÅÅ v c) a ÅÅ a + b : ÅÅ a + b d) ÅÅ 9 0 : ÅÅ 0

13 zusf_stuetzkurs.nb e) abha + bl yhc - dl : a + b c - d abhb + cl + ÅÅÅ : d by + cy - 6 d abh a + bl ÅÅÅ : c yh6 a + bl 0 c ÅÅ Beachten Sie: Punktrechnung kommt vor Strichrechnung! f) 6 a - b + : c ÅÅÅ Vereinfachen Sie die Doppelbrüche: a) 8 ÅÅ b) ÅÅ + ÅÅ 8 6 c) 8 ÅÅ 6 : 9 Å ÅÅÅ d) + y Å - y. Vereinfachen Sie, indem Sie gleichnamig machen: a) + ÅÅ ÅÅ b c) ÅÅÅ - b) - b + - p - ÅÅÅ - p. Kürzen Sie: a) ÅÅ 8 b) Lösungen: a) - b b) ÅÅÅ h) ÅÅÅ - + c) ÅÅÅ a - b c - d) Å y + e) a + b a - b f) -a - b + c g) a) - ab b) ÅÅ 8 c) a + Å b d) Ha - bl a H69 b - L 69 ab - a Å oder b b a) ÅÅ b) - 9 c) by ÅÅ a d) a) ÅÅ 0 - u b) ÅÅ c) 9 a d) e) ab y f) Å a - b c a) ÅÅ 6 9 b) 0 c) 08 d) ÅÅÅ y + y - a) H - L Å H - L + H-L = - b) H - L b Å H-bL b H - bl + Å bh -bl = bh - bl c) H - pl - H - pl Å = H - pl H - pl - ÅÅ H - pl H - pl a) 0 b) 6

14 zusf_stuetzkurs.nb. Die Binomischen Formeln Die. Binomische Formel: a b ab b b a ab a Ha + bl = a + ab + b In Worten: Erster Summand im Quadrat plus Mal erster Summand mal zweiter Summand plus zweiter Summand im Quadrat. Also Achtung: Beim Quadrieren einer Summe dürfen nicht einfach die Summanden quadriert werden! Vielmehr entsteht beim Quadrieren von (a + b) neben den Quadraten a und b noch der Zwischenterm ab. Beispiel: H uv + wl = 9u v + uv w + 6w = 9u v + uvw + 6w Übungen: Bestimmen Sie die Quadrate, indem Sie die.binomische Formel anwenden. a) H + L b) Hz + L c) H + yl d) H y + al e) Hz + uvl Umgekehrt: Schreiben Sie die Terme unten als Quadrat einer Summe: a) a + a + b) 9a + 6a + c) + y + y d)

15 zusf_stuetzkurs.nb Die. Binomische Formel: Ha - bl = a - ab + b In Worten: Erster Summand im Quadrat minus Mal erster Summand mal zweiter Summand plus zweiter Summand im Quadrat. Übungen: Bestimmen Sie die Quadrate, indem Sie die.binomische Formel anwenden. a) H - L b) Hz - L c) H - yl d) H y - al e) Hz - uvl Umgekehrt: Schreiben Sie die Terme unten als Quadrat einer Differenz: a) 6a - 60ab + b b) 9p - 6p + c) - z + 9z Die. Binomische Formel: Differenz zweier Quadrate (a + b) (a - b) = a - b und umgekehrt: a - b = (a + b) (a - b) Die Differenz zweier Quadrate kann in zwei Faktoren zerlegt werden. Übungen Bestimmen Sie mit Hilfe der. Binomischen Formel: a) ( - p)( + p) b) ( + y)( - y) c) (a - pq)(a + pq) d) ( - r)( + r) e) (a + p)(a - p) Umgekehrt: Zerlegen Sie die Differenz der folgenden Quadrate in zwei Faktoren: a) c - 9d b) 9p - c) 6c - d) a b - c e) - 6 f) - g) -

16 zusf_stuetzkurs.nb 6 e) b - 6 f) a c - b d g) - y h) - i) - j) - k) 6 - y 6 Merken Sie sich: Die Differenz zweier Quadrate können Sie stets nach der. Binomischen Formel in zwei Faktoren zerlegen. Auch ist eine Quadratzahl! Gerade Potenzen (, 6, 8, usw.) sind Quadrate (von,,, usw.) Zusammenfassung: ( + ) = + + ( - ) = - + ( ) + ( - ) = - ausmultiplizieren Faktorzerlegung Übungen zu den Binomischen Formeln. H + yl. H- - yl. H + kl H - kl. (a - 9b)(a + 9b). Zerlegen Sie in Faktoren: - 6. Ebenso: - 6

17 zusf_stuetzkurs.nb 6. Ebenso: h - 6. Ebenso: w - w + 8. Ebenso: r + 0 rs + s 9. Ebenso: a + 8 b - ab (Erster Schritt ist immer Ausklammern!) 0. Ebenso: - y + 6y (Erster Schritt ist immer Ausklammern!). Ebenso: y + y + (Erster Schritt ist immer Ausklammern!). Zerlegen Sie vollständig in Faktoren: a ( - y ) + b ( - y ). Zerlegen Sie in Faktoren: - y. Zerlegen Sie: -c - c d - c d (Erster Schritt ist immer Ausklammern!). Zerlegen Sie: 6z + 8z + 6. Kürzen Sie: a - b a + b. Kürzen Sie: u + uv + v Å u + v 8. Kürzen Sie: n - n ÅÅÅ n + n 9. Kürzen Sie: ac - bc a - 0 ab + b p - p b - a a - b. Vereinfachen Sie: b - 9 b + : Å b - 6 b. Machen Sie gleichnamig und rechnen Sie dann weiter: b b ÅÅ ÅÅ a - b +. Ebenso: a + b

18 zusf_stuetzkurs.nb 8. Ebenso: b b ÅÅ ÅÅ a - b - a + b Lösungen:. + 0y + 9y. - (- )y + y = + 0 y + + kl H - kld = H - 9 k L = 6 - k + 8k. a - 8b. ( - )( + ) 6. (h -)(h +). Hw - L 8. H er + sl 9. (a + 6b - 8ab) = (a - 8ab + 6b ) = Ha - bl 0. H - yl. (y + y + ) = Hy + L. ( - y )(a + b) = ( - y)( + y)(a + b). ( - y )( + y ) = ( - y)( + y)( + y ). -c (c + cd + d ) = -c Hc + dl. 8z + 6z + = H9 z + L Ha - bl Ha + bl 6. Å = a - b Hu + vl ÅÅ. Ha + bl Hu + vl = ÅÅ u + v n Hn 8. - L n Hn - L Hn + L n Hn - L ÅÅ = = Å n Hn + L n Hn + L n c H a - bl c 9. ÅÅ = 0. H - p L H a - bl a - b H - pl H + pl = Å = ÅÅÅ + p H - pl H - pl Hb - al Hb + al Hb - al Hb + al. Å = Å = ÅÅ b + a Ha - bl - Hb - al - = ÅÅ a + b - = - ÅÅ a + b Hb - L Hb + L b. Å Å Hb - L b = ÅÅ ÅÅ.. Hb + L Hb - L Hb - L = b b Ha + bl bha - bl Å + = ab + b + ab - b ab ÅÅÅ = ÅÅÅ a - b a - b a - b a - b b Ha + bl bha - bl Å - = ab + b - H ab - b L Å = ab + b - ab + b = a - b a - b a - b a - b. Faktorzerlegung b ÅÅÅ a - b.. Ausklammern gemeinsamer Faktoren a) am + bm - cm + m = m (a + b - c + ) b) u - u + uv = u (9u - u + v) c) b - b = b ( - ). Vergessen Sie das Element nicht! d) -a - ab + ac = a (- - b + c). Das Ausklammern ist immer der erste Schritt bei der Faktorzerlegung.

19 zusf_stuetzkurs.nb 9.. Ausklammern ganzer Klammern e) a ( + ) + b ( + ) = (a + b) ( + ) a + b = (a + b) f) (a - b) ( + y) - (a + b) ( + y) = ( + y) [(a - b) - (a + b)] = ( + y) (a - b - a - b) = ( + y) (a - 6b) g) (a + b) + a + b = (a + b) + (a + b) = (a + b) ( + ). Wieder darf das Element nicht vergessen werden! h) + y + a + ay = ( + y) + a ( + y) = ( + y)( + a) i) a ( - ) - +. Hier muss im hinteren Teil die Klammer zuerst gesetzt werden. Dabei wechselt das Operationszeichen: a( - ) - ( - ) = ( - )(a - ). Dieser Aufgabentyp kommt oft in Prüfungen vor!.. Teilweise ausklammern j) a + ay + b + by = a ( + y) + b ( + y). Erst jetzt entsteht eine gemeinsame Klammer, die in einem zweiten Schritt ausgeklammert werden kann: ( + y) (a + b) k) Manchmal muss man die Summanden erst umordnen wie dieses Beispiel zeigt. Zu allererst muss aber hier der gemeinsame Faktor ausgeklammert werden: a - ay + b - by - c + cy = (a - ay + b - by - c + cy) = (a + b - c -ay - by + cy) = [ (a + b - c) - y (a + b - c)] = (a + b - c) ( - y)

20 zusf_stuetzkurs.nb 0.. Binomische Formeln anwenden Vorgängig müssen aber gemeinsame Faktoren ausgeklammert werden! Bei der folgenden Aufgabe muss z.b. zuerst ein gemeinsames ausgeklammert werden: l) - 6 = ( - 6) = ( - 6) ( + 6) Bei der folgenden Aufgabe wird zuerst ein gemeinsamer Faktor ausgeklammert, denn alle Koeffizienten sind gerade Zahlen: m) p - 0 pq + 0q = (p - 0 pq + q ) = Hp - L.. Zweckmässiges Raten Manchmal kann die binomische Formel nicht angewendet werden, da auch nach eventuellem Ausklammern gemeinsamer Faktoren der hinterste Summand kein Quadrat ist. Manchmal hilft dann "zweckmässiges Raten". Beispiel : "Plus - Plus": a + 8a + Wir raten: (a +...) (a +...) erhält man durch,, oder. Der Koeffizient 8 entsteht nur bei der Wahl oder. Wir erhalten: a + 8a + = (a + ) (a + ). Beispiel : "Minus - Plus": Rate-Ansatz: ( -...) ( -...). Warum wählen wir zwei Minuszeichen? 0 =. Der Koeffizient 9 entsteht bei der Wahl 0 = : = ( - ) ( - ) Beispiel : "Plus - Minus": a + a - Rate-Ansatz: (a +...) (a -...). Warum? =. Wo ist die, wo die einzusetzen? Der mittlere Faktor ist positiv, d.h. steht in der "Plus-Klammer" und in der "Minusklammer":

21 zusf_stuetzkurs.nb steht in der "Plus-Klammer" und in der "Minusklammer": a + a - = (a + ) (a - ) Beispiel : "Minus - Minus": a - a - Rate-Ansatz: (a +...) (a -...). Warum? = führt ebenfalls zur Lösung, aber diesmal steht die in der "Minus- Klammer": a - a - = (a + ) (a - ).6. Zusammenfassung Faktorzerlegung. Gemeinsame Faktoren ausklammern. Dies ist immer der erste Schritt! Ev. auch (-) ausklammern, z.b. bei "vertauschten Differenzen": b - a ÅÅÅ Hb - al Hb + al H-L Ha - bl Ha + bl = Å = = -(a + b) a - b a - b a - b. Folgende Methoden ausprobieren:.. Gemeinsame Klammern ausklammern. Dabei müssen einige Klammern ev. zuerst gesetzt werden... Teilweise ausklammern; dabei müssen ev. einige Summanden zuerst vertauscht werden. Es entstehen dann gemeinsame Klammern, die wiederum ausgeklammert werden können... Binomische Formeln anwenden. Den Blick schulen auf: Ê "vorne und hinten Quadrate" Ê "Differenz von zwei Quadraten" (auch ist ein Quadrat!).. Zweckmässiges Raten

22 zusf_stuetzkurs.nb.. Uebungen zur Faktorzerlegung. a) ab + ac b) 8a + 8 c) z + z d) a - a e) z - f) y - y g) a - a h) ab - b. a) f - g + 8 b) - 8y -. a) 6my - ny + 8y b) 9a - a - a. Klammern Sie (-) aus: a) - - b) -m + n c) -a + b - d) -(a + b) - (c - d). a) a ( + y) + b ( + y)b) a (a - b) + b(a - b) c) a (a - b) - c(a - b) d) m (m - n) - n (m - n) e) (a - ) - (a - ) f) b (a - ) - (a - ) g) f + g - a(f + g) h) m (a - b) - n (a - b) - (a - b) + n (a - b) i) a ( + y) + + y j) a (a - b) + a - b k) (a - ) - a + (a + c)(c + d) + (a + b)(c + d) 6. a) (a - c)(m + n) - (a + c)(m + n) b) (a + c) + (a + c). a) b - 6b b) c + 9d - 6bc - bd 8. a) 0ab + b - a - b) a - a c - a b + a bc 9. a) a - a - ac + 90c b) y -0y z- y +0y z 0. a) mp - mq + 0mr - p + q - r

23 zusf_stuetzkurs.nb. a) 6a - 60ab + b b) 9p - c) c - 9d. a) 6a - 6 b) a - a c) 9-6 d) a c - c. a) - + b) ab + ab + a c) d) -a - ab - b e) -a + 8ab - b. Zweckmässiges Raten: a) m + m + 0 b) a + a - c) c - 9c + 0 d) r - r + e) m + 9m a)* + a + a b) c + 6c - 6. a) a - ab + b - c b) 6a - ab ) a - a + b - b Lösungen: a) a(b + c) b) 8(a + ) c) z (z + ) d) a(a - ) e) (z - ) f) y (y - ) g) a (a-)(a+)h) b (a - ) a) (f - g + ) b) ( - y - ) a) y (8m - n + 9) b) a ( - a - a ) a) -(+) b) -(m - n) c) -(a - b + ) d) -a-b-c+d = -(a+b+c-d) a) ( + y)(a + b) b) (a - b)(a + b) c) (a - b)(a - c) d) (m - n)(m - n) e) (a - )( - ) f) (a - )(b - ) g) (f + g)( - a) h) (a - b)(m - n - + n) = (a - b)(m - ) i) ( + y)(a + ) j) (a - b)(a + ) k) (a - )( - ) = 6 (a - ) l) (c + d) (a + c + a + b) = (c + d)(a + b + c) 6a) (m + n)[(a - c) - (a + c)] = (m + n)(a - c - a - c) = (m+n)(a - c) b) (a + c)( + ) = (a + c) ( + ) a) (b + 9) - (b + 9) = (b + 9)( - ) b) c ( - b) + d ( - b) = ( - b)(c + d) 8a) b (a + ) - (a + ) = (a + ) (b - )

24 zusf_stuetzkurs.nb b) a (a - ac - ab + bc) = a [a(a - b) - c(a - b)] = a (a - b)(a - c) 9a) a (a - ) - c (a - ) = (a - )(a - c) b) y ( - z) - y ( - z) = ( - z) (y - y ) = ( - z) y (y - ) 0a) m (p - q + r) - (p - q + r) = (p - q + r)(m - ) a) H6 a - bl b) (p - )(p + ) c) (c - d)(c + d) a) 6(a - )(a + ) b) a(a - )(a + ) c) 9 ( - )( + ) d) c (a - )(a + ) a) H - L b) a Hb + L c) -( - + ) = -H - L d) -(a + ab + b ) = -Ha + bl e) -(a - 6ab + 9b ) = -Ha - bl a) m + m + 0 = (m + 6)(m + ) b) a + a - = (a + 6)(a - ) c) (c - )(c - ) d) (r - 6)(r - 9) e) (m + 0)(m + 9) a) (a + a + 6) - = Ha + 6L - = (a )(a ) = (a +)(a + ) b) (c + )(c - ) 6a) Ha - bl - c = [(a - b) - c] [(a - b) + c] = (a - b - c)(a - b + c) b) a (a - 9b ) = a (a - b)(a + b) ) a - b - a + b = (a - b)(a + b) - (a - b) = (a - b)(a + b - )

25 zusf_stuetzkurs.nb. Gleichungen und Ungleichungen.. Selbstevaluation Lösen Sie die folgenden Aufgaben. Was geht gut? Wo entstehen Probleme?. Das Doppelte einer Zahl ist. Wie heisst die Zahl?. Das Dreifache einer Zahl ist. Wie heisst die Zahl?. Bestimmen Sie : a) = 6 b) 6 = ÅÅ 9 c) = ÅÅ 0. Welche Zahl muss zu den folgenden Zahlen addiert werden, um zu erhalten? Formulieren Sie die Gleichungen. a) ÅÅ ÅÅ b) 8 c) d) 9. Berechnen Sie : a) + = ÅÅ b) + 8 = ÅÅ c) - 6. Lösen in in = : a) + = 8 b) 8 - = c) 8 + = d) + = e) + > 0. f) g) - = - h) - = + i) > 0 j).6 = + k) - l) 9 - > m) - > 0 = 8. a) = b) = a) ( - ) ( + ) b) - Å - - Å c) - + Å - H X - L d) ÅÅ + 9. a) ÅÅ 6 - ÅÅ - = 0 b) + ÅÅ = Å - 8 c) + - = 0 d) - - =

26 zusf_stuetzkurs.nb 6 c) Å + + Å - - = 0 d) ÅÅ = ÅÅ e) Å - 8 = 0. 0a) + - [8( + ) - ( - )] - ( - ) = 9( - ) + 0 b) ( + )( + ) = ( + )( + ) c) ( + )( - ) - ( - ) = H - 6L +. Lösen Sie die folgenden Gleichungen mit Parametern nach auf: a) + a = - a b) a( + ) = c) c - d = d d) p + r = r e) a + b = c f) q = - p g) f = f + f h) m - n = m - n i) H - bl = H - al Lösungen und Hinweise:. = ó = : ó = ÅÅ =. = ó = : ó = ÅÅ a) ÅÅÅ = 6 ó = 90 ó = b) ÅÅÅ 0 = ÅÅ 9 : ó ÅÅ 0 = ó = 0 c) ÅÅÅ 0 = ÅÅ 0 :0 ó ÅÅÅ = ÅÅ ó = a) + = 8 ó + = 8 ó = ó = b) + 8 = ÅÅ 6 ó + 8 = ó = 6 ó = c) + ÅÅ 9 = ÅÅ 8 ó 9 + = 8 ó 9 = ó = 9 9 d) + ÅÅ = ÅÅ 8 ó + = ó = 8 ó = ÅÅ a) + = ÅÅ ó + = ó = ó = ÅÅ b) + ÅÅ 9 8 = ÅÅ 9 9 ó + 8 = 8 ó = 9 ó = ÅÅ c) - = 8 ó 8 - = ó 8 = ó = ÅÅ 8 8 6a) b) 8 = ó = c) unlösbar, = {} d) = - (Achtung: Division durch bringt keine Lösung!) ó = 0 ó = 0. e) = { œ ; > -} f) - (keine Division durch!) ó 0. = { œ ; 0} g) = ó = h) - = ó = - i) = { œ ; > } j).6 = 0 6 = 0 :6 ó = Å 0 6 = ÅÅ k) 0 ó 0; = { œ ; 0} l) 9 - > ó9 > 0. + ó8 > 0. ó6 >, = { œ ; <6} m) - > 0 : ó - > (-) ó <. = { œ ; <}

27 zusf_stuetzkurs.nb Achtung: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, so ändert das Relationszeichen: "<" ö ">"... Theorie Die Gleichungs-Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn Sie auf beiden Seiten die gleiche Veränderung vornehmen. Wird eine Ungleichung beidseits mit einer negativen Zahl multipliziert oder wird sie beidseits durch eine negative Zahl dividiert, so ändert das >- bzw. das <-Zeichen: < - (- ) - > Vorgehen bei Bestimmungsgleichungen + a ÅÅ - 6b = (a - b) Brüche weg: beidseits Wegfallende Bruchstriche müssen ev. durch Klammern ersetzt werden, da Bruchstriche auch Klammern sind. + a - b = (a - b) + a - b = a - b = a - b - a + b = -a Klammern auflösen Alle Glieder mit der Unbekannten () auf eine Seite bringen; wenn nötig ausklammern gleichartige Glieder miteinander verrechnen allein stellen (Division) = -a Ev. Kontrolle, indem die Lösung in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird.

28 zusf_stuetzkurs.nb 8 eingesetzt wird. Noch ein Beispiel: a + = 6a + Terme mit auf eine Seite = 6a - a + = a + Jetzt ausklammern! = (a + ) : = (a + ) : (a + ) ÅÅ a + = Notieren Sie das Gleichheitszeichen immer auf der Höhe des Hauptbruchstrichs... Selbsttest. - a = ( ausklammern). p + = a - (alle Ausdrücke mit auf eine Seite bringen und dann ausklammern). ( - ) p = - (ausmultiplizieren, sortieren, ausklammern). - ( + ) = - [( - ) + ( - 9) - (8 + 9)]. - - Å = 8 - (Vorsicht nach Gleichnamigmachen: Bruchstrich = Klammer!) Vergessen Sie nicht, auch die Zahl auf den Nenner zu bringen: = ÄÄÄÄÄÄ c Hc + al a - ÅÅ a H - cl ÅÅÅ = + ÅÅÅ c c a - - ÅÅ - = ÅÅ Lernen Sie aus dieser Aufgabe den Umgang mit "fast ähnlichen" Ausdrücken: ( - ) und ( - ).

29 zusf_stuetzkurs.nb = ÅÅ + - Å 6-9. c - d = c - cd + d ÅÅÅ ÅÅ = = - ÅÅ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + = - + Å - = Å - Å + - Å ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ. =? =? -. =? =? Å - =. =? =? - - Å + = Å + 9 ÅÅ -. =? =? 0 ÅÅÅ +0 = ÅÅ ÅÅÅ H-6L. Å - - ÅÅ 0 = 9 Å - 6 = ÅÅ Å 6-8. =? =? 0-6 Å -. =? =? 9. + Å + - Å - - H - L = ÅÅÅ -. =? =? 0. ÅÅÅ H - L + ÅÅÅ H + L = ÅÅÅ - 6. =? =?. Zwei Zahlen unterscheiden sich um. Das Fünffache der kleineren Zahl ist um grösser als das Dreifache der grösseren Zahl. Wie heissen die beiden Zahlen?. Welche Zahl muss man von 8 subtrahieren, um das Doppelte der Zahl zu erhalten?. Von welcher Zahl ist das Siebenfache um grösser als das Fünffache?. Addiert man zum Vierfachen einer Zahl und multipliziert diese Summe mit, so erhält man das Zwanzigfache der Zahl.. Vier aufeinanderfolgende natürliche Zahlen ergeben die Summe 6.

30 zusf_stuetzkurs.nb 0. Vier aufeinanderfolgende natürliche Zahlen ergeben die Summe 6. Wie heissen sie? 6. Zwei Zahlen unterscheiden sich um 6. Das Vierfache der kleineren Zahl ist um kleiner als das Dreifache der grösseren Zahl. Wie heissen die Zahlen?. Von welcher Zahl ist das Dreifache um 0 grösser als die Hälfte der Zahl? 8. Zum Zähler und Nenner des Bruches soll die gleiche Zahl addiert werden. 9 Der neue Bruch erhält dann den Wert. Welche Zahl wurde addiert? 9. Der Zähler eines Bruches ist um kleiner als der Nenner. Vergrössert man den Zähler und den Nenner je um, so entsteht ein Bruch mit Wert. Wie heisst der ursprüngliche Bruch? Lösungen: ) ( - a) = ó = ÅÅÅ - a ; ) = a - p = (a - p) ó = ÅÅ a - p ) p - p = - ó p - = p - ó (p - ) = p - ó = ÅÅÅ p - p - ) = ) = 6) = c ) = 8) = 9) = c - d 0) = ) - ÅÅ ) - ) = \ {0, } = { } ) = \ {, -} = { } ) = \ {-, } = {-} 6) = 0 ) = \ { } = {-} 8) = \ { } = {} 9) = \ {-, } = {}: ist nicht Element von, weil sonst der Nenner 0 wird. 0) = \ {-, 0, }. =. Jede Zahl aus löst die Gleichung! ) Zahlen: und +. Gleichung: = (+) + ó = ; + =. Probe machen! ) 8 - = ó = 8. Probe! ) = + ó = 6. Probe! ) ( + ) = 0.ó =. ) + (+) + (+) + (+) = 6 ó =. Die Zahlen heissen,, 6 und. 6) Zahlen: und +6. Gleichung: + = (+6) ó =. Die Zahlen sind und 9. ) - 0 = + ó =. 8) 9+ = 6 ó =. 9) Ursprünglicher Bruch: -. Gleichung: ÅÅ -+ + = ó = 9. Antwort: Der ursprüngliche Bruch hiess. (Am Schluss die Frage nochmals lesen!) 9 6

31 zusf_stuetzkurs.nb. Die lineare Funktion; Steigung einer Strecke.. Steigung und Gefälle einer Strasse Steigung als Bruchzahl: m = Höhenunterschied ÄÄÄÄÄÄÄÄ Dy horizontale Strecke = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄ D y Aufgabe Bestimmen Sie die Steigung der beiden Geraden g und g. y g g

32 zusf_stuetzkurs.nb Lösung: g : m = ÅÅÅ Dy D = - 9 = -. In Worten: "9 nach rechts () und nach unten (y)" g : m = Dy ÅÅÅ D = 8 =. In Worten: "8 nach rechts () und nach oben (y)" Die Dreiecke nennt man Steigungsdreiecke. Aufgabe Bestimmen Sie die Steigung der schrägen Strecke der folgenden Steigungsdreiecke: Lösungen: oben: - ; - ; mitte: ; ; unten: - 6 ; -

33 zusf_stuetzkurs.nb y A(- -) = - (-) = y = - - (-) = - B( -) g Regel: Steigung zwischen zwei Punkten mit Koordinaten A ( y ) und B ( y ): m = y - y ÅÅ - Aufgabe Bestimmen Sie die Steigung der folgenden Geraden, indem Sie passende Steigungsdreiecke zeichnen.

34 zusf_stuetzkurs.nb Lösungen: a) - b) - = -. c) d) Die Steigungsdreiecke können verschieden gross gewählt werden. Die Steigungsdreiecke der gleichen Geraden sind aber alle ähnlich zueinander. Das bedeutet gleichzeitig, dass der Quotient ÅÅÅ Dy bei all diesen Dreiecken derselbe ist. D Im Beispiel unten ist dieser Quotient, d.h. die Steigung gleich - = - 6.

35 zusf_stuetzkurs.nb.. Die lineare Funktion y Das Bild zeigt eine Reihe von Punkten, die auf einer Geraden liegen. Die Koordinaten dieser Punkte hängen auf besondere Weise zusammen. Wir stellen dies in einer Wertetabelle dar: -Wert: y-wert: Der y-wert ist hier stets das Doppelte des -Wertes. Wir drücken dies so aus: y = ("y ist das Doppelte von "). Dies nennt man die Funktionsgleichung der Geraden. Man nennt y = auch eine lineare Funktion. Im Koordinatensystem stellt diese Funktion eine Gerade dar (deshalb der Name lineare Funktion). Können wir aus der Funktionsgleichung y = auch die Steilheit ablesen? Ja, die Steilheit wird durch die Zahl, die beim Buchstaben steht, angezeigt. Der Koeffizient gibt gewissermassen den "Übersetzungsfaktor" von nach y an:

36 zusf_stuetzkurs.nb 6 Der Koeffizient gibt gewissermassen den "Übersetzungsfaktor" von nach y an: Pro -Einheit nach rechts geht's y-einheiten nach oben. Zusammenfassung: y = m stellt im Koordinatensystem eine Gerade mit Steigung m dar. Sie geht durch den Punkt (0 0). Beispiele: y = steigende Gerade mit Steigung = y = - fallende Gerade mit Steigung - = - y = steigende Gerade mit Steigung y = - fallende Gerade mit Steigung - y = steigende Gerade mit Steigung (denn y = bedeutet ja y = ) y = - fallende Gerade mit Steigung - (denn y = - bedeutet y = - ) y = -. sehr steil fallende Gerade mit Steigung - ÅÅ y =. steigende Gerade mit Steigung = ÅÅ y = 0 = 0: waagrechte Gerade (-Achse), Steigung 0. Wie zeichnen Sie Geraden ins Koordinatensystem ein? Beispiel : y =. Verwandeln Sie die Steigung in einen Bruch: y = = Dy. Die Steigung ist ÅÅÅ D =. Das bedeutet: In -Richtung nach rechts und in y-richtung nach oben. Beispiel : y = -. y = - = -. Steigung m = - = ÅÅÅ -. In -Richtung nach rechts und in y-richtung nach unten. Aufgabe Zeichnen Sie in untenstehendes Koordinatensystem die folgenden linearen Funktionen (Geraden) ein. Verwandeln Sie dazu die Steigungen m zuerst in Brüche.

37 zusf_stuetzkurs.nb a) y =. b) y = c) y =. d) y = 0. e) y = -0. f) y = - g) y = - y Die allgemeine lineare Funktion y = m + q Die allgemeine lineare Funktion hat die Form y = m + q. Als Bild: Die Gerade y = m wird in y-richtung um den Wert q verschoben. Es entsteht eine dazu parallele Gerade. q nennt man y-achsenabschnitt. q kann positiv oder negativ sein. Bemerkung: In verschiedenen Büchern und Aufgabenstellungen werden für die allgemeine lineare Funktion auch andere Buchstaben verwendet: y = m + q (Steigung m, y-achsenabschnitt q) y = a + b (Steigung a, y-achsenabschnitt b) y = m + b (Steigung m, y-achsenabschnitt b). Dies soll Sie nicht verwirren.

38 zusf_stuetzkurs.nb 8 y y = 0. + q= q= - y = 0. y = 0. - Aufgabe Erstellen Sie zur Funktion y = 0. + eine Wertetabelle: y Aufgabe Gegeben ist die Gerade g: y = - 0. Ein Punkt P, der auf g liegt, muss mit seinen Koordinaten die Gleichung "erfüllen". Beispiel: P ( -): Wir setzen die Koordinaten y = - und = in der Gleichung von g ein: - = - 0. Die Gleichung stimmt nicht ï P g. Q(8 ): y =, = 8 einsetzen: = 8-0,, Q œ g. Welche der folgenden Punkte liegen auf g, welche nicht? A(0-0) B(- -9) C(- ) Aufgabe Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der folgenden Funktionen, indem Sie m und q ablesen. m können Sie mit Hilfe der beiden markierten Punkte berechnen: m = Dy ÅÅÅ D.

39 zusf_stuetzkurs.nb 9 y y y y Lösungen a) m = ÅÅ =.; q = -; y =. - 0 b) m = - ÅÅ ; q = ; y = - ÅÅ + c) m = ÅÅ ; q = ; y = ÅÅ d) m = - ÅÅ = -; q = ; y = - + Eplizite Form der Geradengleichung und andere Formen Ist die Gerade g in der Form g: y = m + q gegeben, so können Steigung und y-achsenabschnitt sofort abgelesen werden. Die Funktion kann dann rasch gezeichnet werden. Diese Form nennt man die eplizite Form der Geradengleichung. Es ist die nach y aufgelöste Form der Gleichung. Ist die Gleichung in einer andern Form gegeben und will man m und q ablesen, so muss man diese Form zuerst in die eplizite Form verwandeln.

40 zusf_stuetzkurs.nb 0 muss man diese Form zuerst in die eplizite Form verwandeln. Beispiel: = - y. Umwandeln: = - y ó + y = ó y = - ó y = ÄÄÄÄ - ï m = 0.; q = -. Die "Zweipunkte-Aufgabe": Wie lautet die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A ( -) und B(- )? a) Steigung m berechnen: m = - H-L - - = ÅÅÅ 9 - = - 9 b) Die Geradengleichung lautet somit bisher: y = q c) q berechnen durch Einsetzen z.b. von A: - = q oder - = - ÅÅ + q ï - = - + q ï = q ï q = ÅÅ. d) Es folgt für die Geradengleichung: y = ÅÅ.