2 Vektorräume und lineare Abbildungen

Transkript

1 2 Vektorräume und lineare Abbildungen 21 Grundlegende Definitionen In diesem Abschnitt bezeichne K einen beliebigen Körper Definition 211 Ein K-Vektorraum ist eine nichtleere Menge V, zusammen mit zwei Verknüpfungen V V V, (x, y) x + y (die Vektoraddition) und K V V, (λ, x) λ x (die Multiplikation mit einem Skalar), die folgende Bedingungen erfüllen (i) Die Vektoraddition + ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung (ii) Die Vektoraddition + hat eine neutrales Element, das Nullelement 0 Jedes Element x V hat ein inverses Element bzgl +, das Negative von x, geschrieben: x (iii) Für alle x, y V und λ, µ K gelten die folgenden Regeln: (a) (λ + µ) x = λ x + µ x, (b) λ (x + y) = λ x + λ y, (c) λ (µ x) = (λ µ) x, und (d) 1 x = x Bemerkung 212 Sei (V, +, ) ein K-Vektorraum, x V und λ K Aus der Definition 211 ergeben sich sofort die weiteren Regeln: (i) 0 x = 0 (ii) λ 0 = 0 (iii) wenn λ x = 0, dann gilt λ = 0 oder x = 0 (iv) ( 1) x = x Bei diesen Regeln ist zu beachten, dass das Symbol 0 je nach Zusammenhang das Nullelement des Körpers K oder den Nullvektor von V bezeichnet Die Ableitung dieser Regeln aus den Körperaxiomen und der Definition 211 ist dem Leser als Übungsaufgabe überlassen 38

2 Beispiel 213 Sei n N Der Standardvektorraum der Dimension n ist definiert als die Menge K n, mit den Verknüpfungen x 1 + := und x n λ x 1 x n y 1 y n := x 1 + y 1 x n + y n λx 1 λx n Der Nullvektor ist dann der Vektor 0 := (0,, 0), das Negative von x = (x 1,,x n ) ist x = ( x 1,, x n ) Vergleiche mit Definition 1410 Es ist manchmal nützlich, bei obiger Definition auch den Fall n = 0 zuzulassen Dazu definiert man K 0 := {0} als die Menge, die nur den Nullvektor enthält Man überlegt sich leicht, dass es dann nur eine Möglichkeit gibt, auf der Menge K 0 eine Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren zu definieren, und dass K 0 mit diesen Verknüpfungen einen K-Vektorraum bildet Man nennt K 0 = {0} den Nullvektorraum Definition 214 Sei V ein K-Vektorraum Eine Teilmenge U V heißt Untervektorraum, wenn folgendes gilt (i) U, (ii) mit x, y U ist auch der Vektor x + y ein Element aus U, und (iii) mit x U ist auch der Vektor λ x ein Element aus U, für alle λ K Bemerkung 215 Die Bedingungen (ii) und (iii) der Definition 214 sagen aus, dass man die Vektoraddition + und die Multiplikation mit einem Skalar des Vektorraumes V auf die Teilmenge U einschränken kann Man erhält so Verknüpfungen U U U, (x, y) x + y und K U U, (λ, x) λ x Man überlegt sich leicht, dass die Menge U, zusammen mit diesen Verknüpfungen, selber einen Vektorraum bilden Der Begriff Untervektorraum ist also berechtigt Beispiel 216 (i) Ist V ein beliebiger K-Vektorraum, so sind die Teilmengen {0} V und V V Untervektorräume 39

3 (ii) Sei A M m,n (K) eine Matrix über K mit n Spalten Dann ist die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems U := { x K n A x = 0 } ein Untervektorraum des Standardvektorraumes K n Vergleiche mit Satz 1413 (iii) Ist A M m,n (K) wie in (ii) und b K m, b 0, so ist die Lösungsmenge des allgemeinen linearen Gleichungssystems H := { x K n A x = b } kein Untervektorraum, da wegen A 0 = 0 b der Nullvektor nicht in H enthalten ist Man zeigt aber wie im Beweis von Korollar 1414, dass H = x + U gilt, wobei x H eine beliebige Lösung von A x = b ist und U K n der Vektorraum der Lösungen des homogenen Gleichungssystems A x = 0 ist Man nennt entsprechend H einen linearen Unterraum von K n Definition 217 Seien V und W K-Vektorräume Eine Abbildung φ : V W heißt K-linear, wenn für alle x, y V und λ K gilt: φ(x + y) = φ(x) + φ(y), und φ(λ x) = λ φ(x) Beispiel 218 Ist A M m,n (K) eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, so ist die Abbildung φ : K n K m, x A x K-linear Das folgt aus Bemerkung 1411 (v) (wobei man dort den Körper der reellen Zahlen durch den allgemeinen Körper K ersetzen muss) Proposition 219 Es sei φ : V W eine K-lineare Abbildung Dann gilt: (i) φ(0) = 0 (ii) Der Kern von φ, dh die Teilmenge ist ein Untervektorraum von V Kern(φ) := { x V φ(x) = 0 } 40

4 (iii) Das Bild von φ, dh die Teilmenge ist ein Untervektorraum von W Bild(φ) := { φ(x) x V } (iv) Die lineare Abbildung φ ist injektiv genau dann, wenn gilt: Kern(φ) = {0} Beweis: Wegen der Linearität von φ gilt φ(0) = φ(0 + 0) = φ(0) + φ(0) Wenn man zu beiden Seiten dieser Gleichung das Negative des Vektors φ(0) addiert, erhält man φ(0) = 0, und (i) ist bewiesen Aus (i) folgt nun sofort, dass Kern(φ) den Nullvektor von V enthält und somit nichtleer ist Liegen die beiden Vektoren x, y V in Kern(φ), so gilt nach Definition φ(x) = φ(y) = 0 Unter Zuhilfenahme der Linearität erhält man φ(x + y) = φ(x) + φ(y) = = 0 Also liegt mit x, y die Summe x+y ebenfalls in Kern(φ) Das gleiche Argument zeigt: mit x Kern(φ) liegt auch λ x wegen φ(λ x) = λ φ(x) = λ 0 = 0 in Kern(φ), für alle λ K Damit ist (ii) bewiesen Der Beweis von (iii) folgt demselben Muster Zunächst folgt aus (i), dass 0 = φ(0) im Bild von φ liegt und somit Bild(φ) nichtleer ist Sind nun x, y W Vektoren im Bild von φ, so gibt es nach Definition Vektoren u, v V mit x = φ(u) und y = φ(v) Wegen φ(u + v) = φ(u) + φ(v) = x + y liegt dann aber x + y ebenfalls im Bild von φ Mit einem ähnlichen Argument zeigt man: aus x Bild(φ) folgt λ x Bild(φ), für alle λ K, und (iii) ist bewiesen Nun zum Beweis von (iv) Zunächst stellt man fest, dass {0} wegen (i) immer eine Teilmenge von Kern(φ) ist Es ist also zu zeigen: φ ist injektiv genau dann, wenn Kern(φ) außer 0 kein weiteres Element enthält Wir nehmen zuerst an, dass φ injektiv ist Sei x Kern(φ) Dann gilt φ(x) = 0 = φ(0) Aus der Injektivität von φ folgt dann aber x = 0 Nehmen wir umgekehrt an, dass Kern(φ) = {0} gilt Sind dann x, y V Vektoren aus V mit φ(x) = φ(y), so gilt wegen der Linearität von φ: φ(x y) = φ(x) φ(y) = 0 Nach Annahme folgt daraus aber x y = 0, also x = y Also ist φ injektiv Damit ist alles gezeigt 41

5 Beispiel 2110 Es sei I eine nichtleere Menge Wir bezeichnen mit K I die Menge der Abbildungen von I nach K: K I := { f : I K } Wir versehen K I mit der Struktur eines K-Vektorraumes, indem wir Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren wie folgt definieren Sind f, g K I und λ K gegeben, so setzen wir (f + g)(i) := f(i) + g(i), (λ f)(i) := λf(i), für alle i I Diese Vorschrift definiert Abbildungen f + g, λ f K I, also Verknüpfungen + : K I K I K I und : K K I K I Wieder ist es möglich und sinnvoll, diese Definition auf den Grenzfall I = auszudehnen, indem man K als den Nullvektorraum definiert: K := {0} Diese allgemeine Definition enthält als Spezialfall viele wichtige Vektorräume (i) Für I = {1,,n}, n N, erhält man den Standardvektorraum der Dimension n, indem man eine Abbildung f : {1,,n} K mit dem n-tupel (f(1), f(n)) identifiziert: (ii) K n = K {1,,n} = { (x 1,, x n ) x i K } Ähnlich wie in (i) erhält man für I = {1,,m} {1,, n}, m, n N, den Vektorraum der (m, n)-matrizen: M m,n (K) = K {1,,m} {1,,n} = { A = (a i,j ) a i,j K } Wir definieren also eine Addition und eine Multiplikation mit Skalaren auf der Menge der (m, n)-matrizen durch komponentenweise Addition bzw Multiplikation (iii) Für I = N identifizieren wir K N mit der Menge der Folgen mit Werten in K: K N = { (x 1, x 2, x 3, ) x i K } (iv) Nun sei K = R und I R ein Intervall, zb I = [0, 1] oder I = (0, ) In diesem Fall verwendet man für Elemente f R I eher die funktionale Schreibweise Meistens interessiert man sich auch nicht für den ganzen Vektorraum R I, sondern nur für gewisse Untervektorräume So ist zb C 0 (I, R) := { f R I f ist stetig } der Vektorraum der stetigen Funktionen auf I, oder C 1 (I, R) := { f R I f ist differenzierbar, f ist stetig } der Vektorraum der einmal stetig differenzierbaren Funktionen Dass diese Teilmengen von R I tatsächlich Untervektorräume sind, folgt sofort aus bekannten Aussagen der Analysis Sind zb f, g stetige Funktionen, so ist f + g wieder stetig 42

6 22 Basis und Dimension In diesem Abschnitt sei stets K ein Körper und V ein K-Vektorraum Ein System von Vektoren aus V ist dann eine Abbildung I V, wobei I eine beliebige Menge ist Wir schreiben solche Systeme in der Form (v i ) i I, mit v i V Die Menge I heißt die Indexmenge des Systems Ist I = {1,, n}, n N 0, so schreiben wir normalerweise (v 1,,v n ) anstelle von (v i ) i I Man beachte, dass der Fall n = 0 hier ausdrücklich zugelassen ist, wobei in diesem Fall {1,,n} die leere Menge ist In den folgenden Definitionen betrachten wir diesen Fall meistens separat, um mögliche Verwirrung auszuschließen Definition 221 Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I ein System von Vektoren aus V Ein Koeffizientensystem für (v i ) i I ist ein System (λ i ) i I von Elementen λ i K, die fast alle (dh alle bis auf endlich viele Ausnahmen) gleich Null sind Genauer: es gibt eine endliche Teilmenge I I mit der Eigenschaft: λ i = 0 für alle i I\I Eine Linearkombination des Systems (v i ) i I ist ein Vektor der Form v = i I λ i v i, wobei (λ i ) i I ein Koeffizientensystem ist Die obige Summe ist dann folgendermaßen definiert Wir wählen eine endliche Teilmenge I I mit der Eigenschaft λ i = 0 für i I und eine Aufzählung der Elemente von I, etwa I = {i 1,, i k }, mit i j i l für j l Dann setzen wir λ i v i := i I k λ ij v ij Wegen der Kommutativität der Vektoraddition und der Regel 0 v = 0 ist diese Definition unabhängig von der Wahl der Teilmenge I I und der gewählten Aufzählung In dem Sonderfall I = setzen wir λ i v i := 0 i Die Teilmenge von V aller Linearkombinationen des Systems (v i ) i I heißt das Erzeugnis von (v i ) i I Schreibweise: v i i I := { i I j=1 λ i v i λ i K, fast alle = 0 } Ist (v i ) i I ein System von Vektoren mit einer endlichen Indexmenge I, so dürfen wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass I = {1,,n}, 43

7 mit n N 0 Das Erzeugnis von (v i ) i I = (v 1,,v n ) ist dann also die Teilmenge aller Vektoren, die sich in der Form λ 1 v λ n v n, mit λ i K, schreiben lassen (im Fall n = 0 ist diese Summe laut unserer Konvention der Nullvektor) Proposition 222 Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I ein System von Vektoren aus V Dann ist das Erzeugnis ein Untervektorraum von V U := v i i I V Aufgrund dieser Tatsache nennen wir U auch den von den Vektoren v i aufgespannten Untervektorraum Beweis: Setzen wir die Koeffizienten λ i alle gleich Null, so gilt offenbar 0 v i = 0 i I Deshalb gilt 0 U, und insbesondere ist U nichtleer Sei nun v, w U; wir müssen zeigen, dass dann auch v + w in U liegt Nach Voraussetzung existieren Koeffizienten λ i, ν i K, fast alle gleich Null, mit v = i I λ i v i, w = i I µ i v i Wir wollen nun die Gleichheit v + w = i I (λ i + µ i ) v i zeigen 8, aus der sofort folgt, dass auch v + w in U liegt Nach Voraussetzung gibt es endliche Teilmengen I, I I mit der Eigenschaft λ i = 0 für i I und µ i = 0 für i I Setze I := I I ; dies ist wieder eine endliche Teilmenge, und sie hat die Eigenschaft, dass λ i = µ i = 0 gilt für alle i I Wir schreiben I = {i 1,, i k }, mit i j i l für j l Dann gilt: v + w = = k λ ij v ij + j=1 k µ ij v ij j=1 k ( ) k λij v ij + µ ij v ij = (λ ij + µ ij ) v ij j=1 = i I (λ i + µ i ) v i j=1 8 Im weiteren Verlauf werden wir Argumente dieser Bauart nicht mehr im Detail ausführen Siehe zb den Beweis der Proposition

8 Man beachte, dass wir im Schritt von der ersten zur zweiten Zeile die Assoziativität und die Kommutativität der Vektoraddition und im darauffolgenden Schritt die Distributivgesetz (3a) der Definition 211 ausgenutzt haben Mit einem ähnlichen Argument zeigt man: mit v U und λ K ist auch λ v ein Element von U Beim Vergleich dieses Beweises mit dem Beweis von Teil (iii) der Proposition 219 fällt eine gewisse strukturelle Ähnlichkeit auf Und tatsächlich kann man die Proposition 222 direkt aus der Proposition 219 ableiten Der Einfachheit halber wollen wir dies nur für ein endliches System von Vektoren tun Sei also (v 1,, v n ) eine endliches System von Vektoren aus einem K-Vektorraum V Wir betrachten die Abbildung φ : K n V, (λ 1,, λ n ) λ 1 v λ n v n (28) Offenbar ist das Bild von φ genau das Erzeugnis des Systems (v i ) Man zeigt leicht (Übungsaufgabe), dass φ K-linear ist Aus der Proposition 219 (iii) folgt nun (als Bestätigung der Proposition 222), dass U = v 1,,v n ein Untervektorraum ist Eine weitere interessante Bedingung, die man an das System (v 1,,v n ) stellen kann, ist, dass die Abbildung φ injektiv ist Diese Bedingung wollen wir zuerst ganz allgemein formulieren Definition 223 Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I ein System von Vektoren Wir nennen das System (v i ) i I linear abhängig, wenn es ein Koeffizientensystem (λ i ) i I gibt mit λ i v i = 0, i I und es außerdem ein i I gibt mit λ i 0 Ist das System (v i ) i I nicht linear abhängig, so nennen wir es linear unabhängig Betrachten wir, wie oben, den Spezialfall eines endlichen Erzeugendensystems (v 1,, v n ) und die resultierende Abbildung φ : K n V, so lässt sich die Definition 223 folgendermaßen umformulieren Das System (v 1,, v n ) ist linear unabhängig genau dann, wenn der Kern von φ nur aus dem Nullvektor besteht Nach Proposition 219 (iv) gilt dies aber genau dann, wenn φ injektiv ist Die folgende Proposition ist deshalb das Analogon zum Teil (iv) der Proposition 219: Proposition 224 (Koeffizientenvergleich) Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I ein System von Vektoren aus V Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent (a) Das System (v i ) i I ist linear unabhängig 45

9 (b) Sind (λ i ) i I und (µ i ) i I Koeffizientensysteme mit der Eigenschaft λ i v i = µ i v i, i I i I so folgt λ i = µ i, für alle i I Mit anderen Worten: die Darstellung eines Vektors als Linearkombination des Systems (v i ) i I ist eindeutig Beweis: Der Beweis erfolgt nach dem Muster des Beweises von Proposition 219 (iv) Wir zeigen deshalb nur die Implikation (a) (b) Angenommen, das System (v i ) i I ist linear unabhängig, und wir haben zwei Koeffizientensysteme (λ i ) und (µ i ) vorliegen, die die Bedingung in (b) erfüllen Dann folgt 0 = λ i v i µ i v i i I i I = ( ) λi v i µ i v i = (λ i µ i ) v i = 0 i I Wir haben also den Nullvektor als eine Linearkombination des Systems (v i ) dargestellt Da (v i ) nach Annahme linear unabhängig ist, folgt daraus, dass die Koeffizienten dieser Linearkombination alle gleich Null sind, dh λ i µ i = 0, oder λ i = µ i Die Implikation (a) (b) ist damit bewiesen Definition 225 Sei V ein K-Vektorraum (i) Ein Erzeugendensystem von V ist ein System (v i ) i I von Vektoren aus V, das den ganzen Vektorraum V aufspannt, dh i I V = v i i I (ii) Eine Basis von V ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem Ein System (v i ) i I ist also eine Basis von V genau dann, wenn sich jeder Vektor aus V auf eindeutige Weise als Linearkombination des Systems (v i ) i I darstellen läßt Betrachten wir wieder den Spezialfall eines endlichen Systems (v 1,,v n ) Wir können alles an der in (28) definierten Abbildung φ : K n V ablesen: (v 1,, v n ) ist eine Erzeugendensystem von V φ ist surjektiv (v 1,, v n ) ist linear unabhängig φ ist injektiv (v 1,, v n ) ist eine Basis von V φ ist bijektiv 46

10 Beispiel 226 Sei n N eine natürliche Zahl Wir definieren die Vektoren e 1,,e n K n wie folgt: e 1 :=, e 1 2 :=,, e 0 n := Ist nun v = (x 1,, x n ) K n ein beliebiger Vektor, so gilt v = x 1 x n = x 1 e x n e n Mit anderen Worten: jeder Vektor v V n lässt sich als Linearkombination des Systems (e i ) darstellen Andererseits ist so eine Darstellung eindeutig: die Koeffizienten müssen offenbar mit den Einträgen des Vektors v übereinstimmen Also gilt: das System (e i ) ist eine Basis von K n Die vom System (e i ) induzierte Abbildung φ : K n K n ist übrigens die Identität, also sicher eine Bijektion Die Basis (e 1,, e n ) heißt die Standardbasis des K n Satz 227 Es sei V ein K-Vektorraum Wir nehmen zusätzlich an, dass V endlich erzeugt ist, dh V besitzt ein endliches Erzeugendensystem Dann gilt: (i) Es gibt eine endliche Basis (v 1,, v n ) von V (ii) Ist (w 1,, w m ) eine weitere Basis von V, so folgt m = n Die Anzahl der Basiselemente ist also eindeutig bestimmt Dieser Satz macht die folgende Definition erst möglich: Definition 228 Die Dimension eines endlich erzeugten K-Vektorraumes ist die Anzahl der Elemente einer (beliebigen) Basis von V Beweis von Satz 227 Für den Beweis von Satz 227 müssen wir etwas weiter ausholen Wir werden eine Reihe von nützlichen Resultaten beweisen, aus denen unter anderem der Satz 227 folgt Genauer: Teil (i) von Satz 227 folgt aus dem Korollar 2211, Teil (ii) aus Korollar 2214 Wir müssen natürlich darauf achten, dass wir in den folgenden Beweisen niemals den Satz 227 benutzen Im folgenden fixieren wir einen K-Vektorraum V Wir betrachten ausschließlich endliche Systeme von Vektoren, die wir meistens als B = (v 1,,v n ), mit n N 0 schreiben Für k {1,,n} bezeichnet dann B k = (v 1,, v k,, v n ) das verkürzte System, bei dem der Vektor v k fehlt Wir beginnen mit einem Kriterium für lineare Abhängigkeit: 47

11 Lemma 229 Sei B = (v 1,, v n ) ein endliches System von Vektoren aus V Dann ist B linear abhängig genau dann, wenn es einen Index k {1,,n} gibt mit der Eigenschaft v 1,, v n = v 1,, v k,, v n Mit anderen Worten: B ist linear abhängig genau dann, wenn man auf einen Vektor aus B weglassen kann, ohne den aufgespannten Vektorraum zu verkleinern (Vorsicht! Es kann Vektoren in B geben, die man nicht weglassen kann, ohne den aufgespannten Vektorraum zu verkleinern) Beweis: Wir schreiben für das Erzeugnis von B und U := v 1,, v n U k := v 1,, v k,, v n für das Erzeugnis des verkürzten Systems B k Offenbar gilt U k U, für k = 1,,n, und v i U k für i k Man überlegt sich nun leicht: U k = U gilt genau dann, wenn v k U k Angenommen, B ist linear abhängig Nach Definition gibt es dann Koeffizienten λ 1,, λ n K, nicht alle = 0, mit λ 1 v λ n v n = 0 (29) Wir wählen einen Index k mit λ k 0 Dann können wir die Gleichung (29) folgendermaßen umschreiben: v k = i k λ i λ k v i (30) Insbesondere liegt v k in dem Untervektorraum U k Wie wir uns im ersten Abschnitt des Beweises überlegt hatten, folgt daraus U k = U Sei umgekehrt k ein Index mit U k = U Dann gilt insbesondere v k U k Dies bedeutet, dass es Koeffizienten λ i, i k, gibt mit v k = i k λ i v i Bringt man in dieser Gleichung alle Terme auf die rechte Seite, so erhält man eine Darstellung des Nullvektors als eine nichttriviale Linearkombination von B = (v 1,,v n ) (der Koeffizient von v k ist gleich 1!) Also ist B linear abhängig Damit ist das Lemma bewiesen Proposition 2210 Sei V ein K-Vektorraum und B = (v 1,, v n ) ein endliches System von Vektoren aus V Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent 48

12 (i) B ist eine Basis von V (ii) B ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem Genauer: B ist ein Erzeugendensystem, und für alle k {1,, n} ist das verkürzte System kein Erzeugendensystem mehr B k = (v 1,, v k,, v n ) (iii) B ist unverlängerbar linear unabhängig Genauer: B ist linear unabhängig, und für alle v V ist das verlängerte System linear abhängig B := (v 1,, v n, v) Beweis: Die Äquivalenz von (i) und (ii) ist im Wesentlichen eine Umformulierung des Lemmas 229 Durch Negation der beiden Aussagen von Lemma 229 erhält man nämlich: B ist linear unabhängig genau dann, wenn für alle k gilt: das Erzeugnis von B k ist echt kleiner als das Erzeugnis von B Unter der Zusatzannahme, dass B ein Erzeugendensystem ist, wird daraus: B ist eine Basis genau dann, wenn für alle k das verkürzte System B k kein Erzeugendensystem mehr ist Zeigen wir nun die Implikation (i) (iii) Wir nehmen an, dass B eine Basis ist Wir wollen zeigen: für jedes v V ist dann B = (v 1,,v n, v) linear abhängig Als Basis ist B insbesondere ein Erzeugendensystem, also gibt es λ 1,, λ n K mit v = λ 1 v λ n v n Dies Gleichung können wir umstellen zu einer nichttrivialen Linearkombination des Nullvektors durch das System B : λ 1 v λ n v n v = 0 Deshalb ist B linear abhängig, und die Implikation (i) (iii) ist bewiesen Zum Schluss noch die Implikation (iii) (i) Sei B unverlängerbar linear unabhängig Dann gibt es für jedes v V eine Darstellung des Nullvektors der Form λ 1 v λ n v n + λ v = 0, wobei mindestens einer der Koeffizienten λ 1,,λ n, λ von Null verschieden ist Da das System (v 1,, v n ) aber nach Annahme linear unabhängig ist, darf λ nicht Null sein Wir können daher umstellen und v als Linearkombination von v 1,, v n darstellen: v = λ 1 λ v 1 λ n λ v n Also ist B ein Erzeugendensystem und sogar eine Basis Die Proposition ist nun vollständig bewiesen Teil (i) von Satz 227 folgt leicht aus obiger Proposition Genauer: 49

13 Korollar 2211 (Basisauswahlsatz) Sei B = (v 1,,v n ) ein endliches Erzeugendensystem eines K-Vektorraumes V Dann gibt es eine Teilmenge I {1,, n} so, dass das Teilsystem B I := (v i ) i I eine Basis von V ist Insbesondere besitzt jeder endlich erzeugte Vektorraum eine endliche Basis Beweis: Man nimmt aus B so lange überflüssige Vektoren heraus, bis das resultierende Teilsystem B I ein unverkürzbares Erzeugendensystem ist Nach Proposition 2210 ist dann B I eine Basis von V Wir wollen nun den zweiten Teil von Satz 227 beweisen Der Schlüssel zum Beweis ist das folgende Lemma Lemma 2212 (Austauschlemma) Sei V ein K-Vektorraum mit einer Basis B = (v 1,, v n ) Sei w = λ 1 v λ n v n ein beliebiger Vektor aus V, dargestellt als Linearkombination der Basis B Für alle Indizes k {1,, n} mit λ k 0 ist dann B := (v 1,, v k 1, w, v k+1,, v n ) wieder eine Basis von V Man kann also v k gegen w austauschen Beweis: Zur Vereinfachung der Schreibweise dürfen wir annehmen, dass k = 1 Wegen λ 1 0 gilt v 1 = 1 λ 1 w λ 2 λ 1 v 2 λ n λ 1 v n (31) Wir wollen nun zeigen, dass B = (w, v 2,,v n ) eine Erzeugendensystem von V ist Dazu sei v V ein beliebiger Vektor Da B eine Basis ist, gilt v = µ 1 v µ n v n, (32) für gewisse µ i K Wir setzen nun (31) in (32) ein Nach etwas Umformen erhalten wir: v = µ 1 λ 1 w + (µ 2 λ 2 λ 1 ) v (µ n λ n λ 1 ) v n (33) Der Vektor v liegt also im Erzeugnis von B Damit ist gezeigt, dass B ein Erzeugendensystem ist Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir an, dass wir Körperelemente µ, µ 2,,µ n K gegeben haben mit µ w + µ 2 v µ n v n = 0 (34) 50

14 Wir setzen in (34) den Ausdruck w = λ 1 v λ n v n ein und erhalten µλ 1 v 1 + (µλ 2 µ 2 ) v (µλ n µ n ) v n (35) Da B = (v 1,,v n ) eine Basis ist, sind alle Koeffizienten der Linearkombination in (35) gleich Null Da nach Voraussetzung λ 1 0 gilt, schließt man zuerst µ = 0 und danach µ 2 = µλ 2 = 0,,µ n = µλ n = 0 Damit ist alles gezeigt Satz 2213 (Austauschsatz) Sei V eine K-Vektorraum mit einer endlichen Basis B = (v 1,, v n ) Sei weiterhin (w 1,, w r ) ein System von r linear unabhängigen Vektoren Dann gilt: (i) r n (es kann also höchstens n linear unabhängige Vektoren in V geben) (ii) Es gibt paarweise verschiedene Indizes i 1,, i r {1,, n}, so dass man nach Austausch der Vektoren v i1,,v ir in B durch die Vektoren w 1,, w r wieder eine Basis von V erhält Numeriert man so um, dass i 1 = 1,,i r = r gilt, so lautet die Aussage: das System B := (w 1,,w r, v r+1,, v n ) ist wieder eine Basis von V Beweis: Wir nehmen zunächst einmal an, dass r n gilt, und beweisen Teil (ii) des Satzes unter dieser Zusatzannahme (wir zeigen also (i) (ii)) Dazu verwenden wir vollständige Induktion über die Anzahl r der linear unabhängigen Vektoren (w 1,,w r ) Im Fall r = 0 ist nichts zu zeigen Wir dürfen also annehmen, dass r 1 ist und dass die Aussage des Satzes für das System (w 1,, w r 1 ) schon bewiesen wurde Nach geeigneter Umnumerierung der Indizes dürfen wir also annehmen, dass das System B := (w 1,, w r 1, v r,,v n ) eine Basis von V ist Zu zeigen ist, dass (nach geeigneter Umnumerierung der Vektoren v r,,v n ) das System B = (w 1,, w r, v r+1,, v n ) wieder eine Basis von V ist Da B nach Induktionsannahme eine Basis ist, gibt es λ 1,,λ n K mit w r = λ 1 w λ r 1 w r 1 + λ r v r + + λ n v n Wäre λ r = = λ n = 0, so hätte man einen Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von (w 1,, w r ) Es gibt daher einen Index k {r,, n} mit λ k 0 Nach geeigneter Umnumerierung dürfen wir annehmen, dass k = r, 51

15 also λ r 0 Das Austauschlemma (Lemma 2212) sagt nun, dass wir in der Basis B den Vektor v r gegen den Vektor w r austauschen können; das resultierende System B ist dann wieder eine Basis Damit ist die Implikation (i) (ii) bewiesen Jetzt zeigen wir (i) Angenommen, r > n Nachdem, was wir schon bewiesen haben, könnte man in der Basis B = (v 1,, v n ) die Vektoren nach und nach gegen die Vektoren w 1,, w n austauschen, ohne die Basiseigenschaft zu verlieren Insbesondere ist das System B = (w 1,,w n ) eine Basis von V Eine Basis ist aber unverlängerbar linear unabhängig (Proposition 224) Im Fall r > n widerspricht dies der Annahme, dass sogar das System (w 1,, w r ) linear unabhängig ist Damit ist die Ungleichung r r bewiesen Aus dem Austauschsatz können wir jetzt auch die zweite Aussage von Satz 227 schließen Korollar 2214 Sei V ein K-Vektorraum mit einer endlichen Basis B = (v 1,, v n ) Sei B = (w i ) i I ein weitere Basis Dann gilt I = n Mit anderen Worten: jede Basis von V ist endlich und hat genau n Elemente Beweis: Angenommen, die Indexmenge I der zweiten Basis B habe mehr als n Elemente Wir könnten dann paarweise verschiedene Elemente i 1,, i n+1 I auswählen und erhielten ein Teilsystem (w i1,, w in+1 ) von B Dieses Teilsystem wäre immer noch linear unabhängig, im Widerspruch zu Satz 2213 (i) Wir haben also I n gezeigt Die Ungleichung n I folgt mit dem gleichen Argument (wobei B und B ihre Rollen vertauschen) Also gilt I = n Damit ist das Korollar 2214 und der Satz 227 vollständig bewiesen Mit dem Beweis von Satz 227 haben wir auch gezeigt, dass die Dimension eines endlich erzeugten Vektorraumes sinnvoll definiert ist Korollar 2215 Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und W V ein Untervektorraum Dann gilt: (i) W ist wieder ein endlich erzeugter Vektorraum (ii) dim K W dim K V (iii) Aus dim K W = dim K V folgt W = V Beweis: Wir überlassen (i) den Lesern als Übungsaufgabe Da V endlich erzeugt ist, gibt es eine endliche Basis B = (v 1,,v n ) der Länge n := dim K V Ebenso gibt es eine endliche Basis B = (w 1,, w r ) von W der Länge r = dim K W Faßt man B als ein System von Vektoren in V 52

16 auf, so ist es immer noch linear unabhängig (aber ia kein Erzeugendensystem mehr) Aus Satz 2213 (i) folgt nun dim k W = r n = dim K V Außerdem ist (nach geeigneter Umnumerierung) das System B = (w 1,, w r, v r+1,,v n ) eine Basis von V Im Fall r = n hätten wir dann W = w 1,,w r = V Korollar 2216 (Basisergänzungssatz) Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und B = (v 1,, v r ) ein System von linear unabhängigen Vektoren Dann gibt es Vektoren v r+1,,v n, so dass (v 1,, v n ) eine Basis von V ist Beweis: Wähle eine Basis B = (w 1,, w n ) von V Nach Satz 2213 gilt dann r n, und nach geeigneter Umnumerierung der w i ist das System (v 1,, v r, w r+1,,w n ) eine Basis von V Wir können also v i := w i für i = r + 1,,n setzen Alle in diesem Abschnitt bewiesenen Sätze gelten - mit leicht veränderter Formulierung auch für Vektorräume, die nicht endlich erzeugt sind Die Beweise benutzen aber zum Teil nichttriviale Techniken der Mengenlehre, auf die wir in dieser Vorlesung nicht näher eingehen wollen Wir begnügen uns mit folgenden Beispielen Beispiel 2217 Sei K ein Körper und V := { (x 1, x 2, ) K N n : a i = 0 i n } der Vektorraum der abbrechenden Folgen mit Werten in K Für alle i N liegt die durch { x (i) 1, i = j j := 0, i j definierte Folge e (i) := (x (i) 1, x(i) 2, ) sicher in V Man zeigt leicht, dass B := (e (1), e (2), ) eine Basis von V ist Insbesondere besitzt V eine Basis mit abzählbar unendlich vielen Elemente Die allgemeine Version von Satz 227 sagt in diesem Fall: jede Basis von V besitzt abzählbar unendlich viele Elemente 53

17 Beispiel 2218 Nun sei W := K N der Vektorraum aller Folgen mit Werten in K Sei B = (e (1), e (2), ) die oben konstruierte Basis des Untervektorraumes V W Die allgemeine Version des Basisergänzungssatzes (Korollar 2216) sagt aus: wir können B zu einer Basis B von ganz W ergänzen Insbesondere besitzt W eine Basis Man kann aber auch zeigen: jede Basis von W besitzt überabzählbar viele Elemente 23 Beispiel: Interpolation von Funktionswerten Interpolation von Funktionswerten ist ein in der Praxis häufig auftretendes Problem Es soll hier als typische Anwendung der linearen Algebra und als Veranschaulichung des Basis- und Dimensionsbegriffes dienen Problem 231 Ein physikalisches Experiment liefert eine Reihe von Messwerten, in Form von n Paaren reeller Zahlen (x 1, y 1 ),,(x n, y n ) R 2 Die x-werte sind paarweise verschieden, x i x j für i j Gesucht ist eine möglichst glatte und einfach zu berechnende Funktion f : R R mit der Eigenschaft y 1 = f(x 1 ),, y n = f(x n ) Die x-werte x i heißen die Stützstellen des Interpolationsproblems, die y- Werte y i die Stützwerte Die gesuchte Funktion f heißt die Interpolierende Es ist ohne zusätzliche Annahmen nicht klar, was man unter einer möglichst glatten Funktion zu verstehen hat Es sind viele verschiedene Ansätze möglich, und welche von diesen sinnvoll sind, hängt sehr von den gegebenen Umständen ab Wir beschränken uns im Folgenden auf Polynomfunktionen, ie auf Funktionen f : R R von der Gestalt mit reellen Zahlen a i R f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, Beispiel 232 Gegeben sind die Messwerte (1, 2), (2, 1), (3, 1) Gesucht ist also eine Polynomfunktion f mit f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 1 Wir setzen an: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 54

18 Durch Einsetzen wird man auf folgendes lineare Gleichungssystem in den Unbestimmten a 0, a 1, a 2 geführt: a 0 + a 1 + a 2 = 2 a 0 + 2a 1 + 4a 2 = 1 a 0 + 3a 2 + 9a 2 = 1 Eine kurze Rechnung zeigt, dass dieses Gleichungssystem die eindeutige Lösung a 0 = 4, a 1 = 5/2, a 2 = 1/2 besitzt Die gesuchte Funktion ist also f(x) = x x2 Sie ist eindeutig bestimmt, solange man nur Polynomfunktionen vom Grad 2 betrachtet Diese Vorgehensweise läßt sich natürlich auf eine beliebige Anzahl n von Messwerten verallgemeinern Setzt man dann f als eine Polynomfunktion vom Grad n 1 an, so erhält man offenbar ein Gleichungssystem mit n Unbestimmten und n Gleichungen In unserem Bespiel hat dieses Gleichungssystem eine eindeutige Lösung Der folgende Satz zeigt, dass dies nicht auf Zufall beruhte Satz 233 Seien n Paare reeller Zahlen (x 1, y 1 ),, (x n, y n ) R 2 gegeben, mit paarweise verschiedenen x-werten Dann gibt es genau eine Polynomfunktion f vom Grad n 1 mit y 1 = f(x 1 ),, y n = f(x n ) Wir werden den Beweis dieses Satzes unter Zuhilfenahme des Basis- und Dimensionsbegriffes führen Sei V := { f : R R f(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 } der R-Vektorraum aller Polynomfunktionen vom Grad n 1 Wir wollen zunächst eine Basis von V bestimmen Sei B := (1, x, x 2,, x n 1 ) das System aller Monome in x vom Grad n 1 (die wir als Funktionen, also als Elemente von V auffassen) Offenbar ist B ein Erzeugendensystem von V : nach Definition von V ist eine Funktion f Element von V genau dann, wenn sie Linearkombination von B ist Wir behaupten, dass B auch linear unabhängig und somit eine Basis von V ist Es ist zu zeigen: ist eine Polynomfunktion vom Grad n 1 identisch Null, dh f(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 = 0, für alle x R, 55

19 so sind auch alle Koeffizienten Null, a 0 = = a n 1 = 0 Dies ist sicher eine bekannte Tatsache; der Beweis derselben liegt aber nicht so einfach auf der Hand Wir wollen den Beweis der linearen Unabhängigkeit von B für einen Moment zurückstellen und zuerst einen anderen Kandidaten für eine Basis von V vorstellen Für i = 0,,n 1 setzen wir Für kleine Werte von i haben wir σ 0 (x) = 1, σ i (x) := (x x 1 )(x x 2 ) (x x i ) σ 1 (x) = x x 1, σ 2 (x) = (x x 1 )(x x 2 ) = x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 Offenbar ist σ i eine Polynomfunktion vom Grad i n 1, und damit ein Element von V Wir nennen σ i das ite Newtonsche Interpolationspolynom und setzen B := (1, σ 1,,σ n 1 ) Lemma 234 Das System B der Newtonschen Interpolationspolynome ist linear unabhängig Beweis: Entscheidend sind die Werte der Funktion σ i an den Stützstellen x 1,, x n Nach Definition von σ i gilt und, da die x j paarweise verschieden sind, σ i (x j ) = 0, für j = 1,,i, (36) σ i (x j ) = (x j x 1 ) (x j x i ) 0, für j = i + 1,,n (37) Wir nehmen nun an, dass eine gewisse Linearkombination der σ i identisch Null ist: b 0 + b 1 σ 1 (x) + + b n 1 σ n 1 (x) = 0, für alle x R (38) Setzt man in (38) den Wert x = x 1 ein, so erhält man wegen (36) die Gleichung Setzt man x = x 2 ein, so erhält man b 0 = 0 (39) b 0 + b 1 σ 1 (x 2 ) = 0 Unter Verwendung von (37) und (39) folgt sofort b 0 = b 1 = 0 Es ist klar, dass man nach dem gleichen Muster b 0 = b 1 = = b n 1 = 0 schließen kann Damit ist die lineare Unabhängigkeit von B bewiesen 56

20 Proposition 235 Sowohl als auch ist eine Basis von V Insbesondere gilt B = (1, x,, x n 1 ) B = (1, σ 1,,σ n 1 ) dim R V = n Beweis: Wir haben schon bemerkt, dass B ein Erzeugendensystem von V ist Nach dem Basisauswahlsatz (Korollar 2211) kann man aus B ein Teilsystem auswählen, das eine Basis von V ist So eine Basis hat höchstens n Elemente, also gilt dim R V n (40) Zusätzlich gilt: im Fall dim R V = n ist B ein unverkürzbares Erzeugendensystem, also eine Basis Andererseits folgt aus Lemma 234, dass das System B linear unabhängig ist Nach dem Basisergänzungssatz (Korollar 2216) kann man B zu einer Basis von V ergänzen So eine Basis hat mindestens n Elemente, also gilt dim R V n (41) Zusätzlich gilt: im Fall dim R V = n ist B unverlängerbar linear unabhängig, also ein Basis Aus (40) und (41) zusammen folgt nun dim R V = n und dass sowohl B als auch B eine Basis von V ist Nach diesen Vorbereitungen ist der Beweis von Satz 233 ganz leicht Beweis: (von Satz 233) Die gesuchte Polynomfunktion f ist ein Element des Vektorraumes V Da B eine Basis von V ist, kann man f als Linearkombination der Polynome σ i schreiben: f = b 0 + b 1 σ 1 (x) + + b n 1 σ n 1 (x) (42) Die Koeffizienten b i R sind durch die Funktion f eindeutig bestimmt Die Bedingungen y 1 = f(x 1 ),, y n = f(x n ) führen, durch Einsetzen in (42), auf ein lineares Gleichungssystem in den Unbestimmten b 0,, b n 1 Wegen (37) hat dieses Gleichungssystem aber untere Dreiecksform : b 0 = y 1 b 0 + σ 1 (x 2 )b 1 = y 2 b 0 + σ 1 (x n )b σ n 1 (x n )b n 1 = y n (43) 57

21 Zusätzlich gilt: die Einträge auf der Diagonalen sind ungleich Null: σ i (x i+1 ) = (x i+1 x 1 ) (x i+1 x i ) 0 Man sieht sofort, dass deshalb das Gleichungssystem (43) eine eindeutige Lösung besitzt: b 0 = y 1, b 1 = 1 σ 1 (x 2 ) (y 2 b 0 ) = y 2 y 1, x 2 x 1 b 2 = 1 σ 2 (x 3 ) (y 3 b 0 σ 1 (x 3 )b 1 ) = Damit ist die Existenz und Eindeutigkeit der gesuchten Interpolationsfunktion f bewiesen Aus dem Satz 233 folgt nun sofort der folgende elementare, aber wichtige Satz der Algebra Korollar 236 Eine Polynomfunktion f : R R vom Grad n, f = a 0 + a 1 x + + a n x n, a n 0, kann höchstens n verschiedene Nullstellen haben Beweis: Es seien x 1,,x r die (paarweise verschiedenen) Nullstellen von f Angenommen, es gilt r > n Wir betrachten nun das Interpolationsproblem zu den Messwerten (x 1, 0),, (x n+1, 0) Offenbar ist die Polynomfunktion f eine Lösungs dieses Problems vom Grad n Andererseits ist die Nullfunktion auch eine Lösung (vom Grad 0 n) Der Satz 233 sagt aber, dass genau eine Lösung existiert Also gilt f(x) = 0 für alle x R Da das System der Polynomfunktionen B = (1, x,, x n ) aber linear unabhängig ist (Proposition 235), folgt a 0 = a 1 = = a n = 0 Dies widerspricht der Annahme a n 0, und das Korollar ist bewiesen Zum Schluss kommen wir noch einmal auf das Beispiel 232 zurück Wir suchten nach einer Polynomfunktion f vom Grad 2 mit f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 1 Die Newtonschen Interpolationspolynome zu den Stützstellen x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 sind σ 0 (x) = 1, σ 1 (x) = x 1, σ 2 (x) = (x 1)(x 2) = x 2 3x + 2 Der Ansatz f(x) = b 0 + b 1 σ 1 (x) + b 2 σ 2 (x) 58

22 führt zu dem Gleichungssystem b 0 = 2 b 0 + b 1 = 1 b 0 + 2b 1 + 2b 2 = 1 Dieses Gleichungssystem läßt sich sehr leicht lösen: es hat die eindeutige Lösung b 0 = 2, b 1 = 1, b 2 = 1/2 Die gesuchte Funktion ist daher f(x) = 2 (x 1) (x 1)(x 2) = x x2 24 Lineare Abbildungen und Matrizen Im Folgenden sei K ein beliebiger Körper Wir betrachten eine (m, n)-matrix A = (a i,j ) M m,n (K) mit Einträgen in K Wir haben bereits mehrere mögliche Interpretationen einer solchen Matrix kennengelernt: A definiert ein homogenes lineares Gleichungssystem in den Unbestimmten x 1,, x n : a 1,1 x a 1,n x n = 0 a m,1 x a m,n x n = 0 Hier betrachtet man die Matrix A zeilenweise; jede Zeile entspricht einer Gleichung des Gleichungssystems Eine kompakte Schreibweise des Gleichungssystems ist A x = 0, wobei x = (x 1,,x n ) K n Es sei v j K m die jte Spalte von A, also v j = (a 1,j,, a m,j ) (Schreibweise: A = (v 1 v n )) Für x = (x 1,,x n ) K n gilt dann: A x = x 1 v x n v n Das Produkt A x der Matrix A mit dem Vektor x ist also die Linearkombination der Spaltenvektoren v 1,, v n, deren Koeffizienten durch die Einträge von x gegeben sind Die Matrix A definiert eine lineare Abbildung φ : K n K m, x A x Der Kern von φ ist offenbar die Lösungsmenge des Gleichungssystems A x = 0 Das Bild von φ ist das Erzeugnis der Spaltenvektoren v 1,, v n Die dritte Sichtweise wollen wir noch etwas verallgemeinern Dazu seien V und W zwei endlich erzeugte K-Vektorräume und φ : V W 59

23 eine K-lineare Abbildung Wir wählen eine Basis A = (v 1,, v n ) von V und eine Basis B = (w 1,, w m ) von W Für j = 1,,n ist dann φ(v j ) ein Element aus W, besitzt also eine eindeutige Darstellung als Linearkombination der Basis B Wir schreiben die Koeffizienten dieser Linearkombination in die jte Spalte einer Matrix A M m,n (K) Mit anderen Worten: A = (a i,j ) ist bestimmt durch m φ(v j ) = a i,j w i, j = 1,,n (44) i=1 Definition 241 Die durch (44) definierte Matrix A = (a i,j ) M m,n (K) heißt die darstellende Matrix der linearen Abbildung φ : V W, bezüglich der Basen A und B Schreibweise: A = M A B (φ) Dieser Name ist gerechtfertigt durch den folgenden Satz Satz 242 Sei φ : V W eine K-lineare Abbildung zwischen endlich erzeugten K-Vektorräumen Sei A = M A B (φ) die darstellende Matrix bezüglich einer Basis A = (v 1,, v n ) von V und einer Basis B = (w 1,, w m ) von W Sei ein Element aus V und v = x 1 v x n v n w := φ(v) = y 1 w y m w m das Bild unter der Abbildung φ Dann gilt A x 1 x n = Mit anderen Worten: identifiziert man V mit K n (durch Wahl der Basis A) und W mit K m (durch Wahl der Basis B), so ist die lineare Abbildung φ : V W durch die Vorschrift φ(x) = A x bestimmt Beweis: Unter Ausnutzung der Linearität von φ und der Definition 241 erhalten wir w = φ(v) = φ( = n x j v j ) = j=1 y 1 y m n x j φ(v j ) j=1 n x j ( m ) m ( n ) a i,j w i = a i,j x j wi j=1 i=1 i=1 j=1 (45) 60

24 Bei der letzten Umformung haben wir zudem die Kommutativität und Assoziativität der Vektoraddition sowie das Distributivgesetz der Skalarmultiplikation ausgenutzt Aus (45) folgt durch Koeffizientenvergleich y i = n a i,j x j, i = 1,,m (46) j=1 Nach Definition des Produktes einer Matrix mit einem Vektor ist (46) äquivalent zur Gleichung A x = y, wobei x = (x 1,, x n ) und y = (y 1,,y m ) Beispiel 243 Sei V = K n, mit der Standardbasis A = (e 1,, e n ), und W = K m, mit der Standardbasis B = (e 1,, e m) (siehe Beispiel 226) Sei A M m,n (K) und φ : V W die durch φ(x) := A x definierte lineare Abbildung Dann gilt A = M A B (φ) Zur Verifikation dieser Behauptung braucht man sich nur klarzumachen, dass das Produkt der Matrix A mit dem Standardvektor e j K n der jten Spalte von A entspricht: 0 Daraus folgt sofort a 1,1 a 1,n A e j = 1 = a m,1 a m,n 0 a 1,j a m,j φ(e j ) = A e j = a 1,j e a m,j e m, j = 1,, n Beispiel 244 Sei V der R-Vektorraum der Polynomfunktionen vom Grad 3 Sei B = (1, x, x 2, x 3 ) die Standardbasis von V der Monome Sei φ : V V die lineare Abbildung φ(f) = f (die Ableitung) Anwenden von φ auf die Basiselemente ergibt: φ(1) = 0, φ(x) = 1, φ(x 2 ) = 2x, φ(x 3 ) = 3x 2 Schreibt man diese Funktionen wieder als Linearkombination der Basis B = (1, x, x 2, x 3 ) und stellt die Koeffizienten in die Spalten einer (4, 4)-Matrix, so erhält man MB B (φ) =

25 Satz 245 Sei φ : V W eine lineare Abbildung zwischen endlich erzeugten K-Vektorräumen (i) Es gibt Basen A = (v 1,,v n ) von V und B = (w 1,, w m ) von W sowie eine Zahl r N 0, 0 r n, m, so dass Hierbei ist M B A (φ) = E r E r = (47) die Einheitsmatrix vom Rang r; die drei Einträge 0 in (47) stehen jeweils für die Nullmatrix der Dimension (r, n r), (m r, r) und (m r, n r) (ii) Die Zahl r in (i) hängt nicht von der Wahl der Basen A und B ab Sie ist eindeutig bestimmt durch r = dim K Bild(φ) = dim K V dim K Kern(φ) Korollar 246 (Dimensionsformel) Mit den Bezeichnungen von Satz 245 gilt: dim K V = dim K Kern(φ) + dim K Bild(φ) Beweis: Sei s := dim K Kern(φ) die Dimension von Kern(φ) Setze r := n s = dim K V s Wir wählen eine Basis von Kern(φ) und ergänzen diese zu einer Basis A = (v 1,,v n ) von V (Basisergänzungssatz!) Dabei numerieren wir die Elemente von A so, dass das Teilsystem (v r+1,, v n ) die zuerst gewählte Basis von Kern(φ) ist Man beachte, dass 0 r, s n Für i = 1,,r setzen wir w i := φ(v i ) W Behauptung: Das System (w 1,, w r ) ist linear unabhängig Zum Beweis der Behauptung nehmen wir an, dass wir Skalare λ 1,, λ r K mit λ 1 w λ r w r = 0 gegeben haben Unter Ausnutzung der Definition von w i und der Linearität von φ erhalten wir 0 = λ 1 φ(v 1 ) + + λ r φ(v r ) = φ(λ 1 v λ r v r ) 62

26 Also ist λ 1 v 1 + +λ r v r ein Element von Kern(φ) Es gibt also µ 1,, µ s K mit λ 1 v λ r v r = µ 1 v r µ s v n Da (v 1,,v n ) eine Basis, also insbesondere linear unabhängig ist, folgt λ 1 = = λ r = 0 Damit ist die Behauptung bewiesen Wir können das linear unabhängige System (w 1,,w r ) zu einer Basis B = (w 1,,w m ) von W ergänzen (Basisergänzungssatz!) Insbesondere gilt m = dim K W r Aus der Gleichung { w j für j = 1,,r, φ(v j ) = 0 für j = r + 1,,n folgt sofort, dass die darstellende Matrix MA B (φ) die in (i) behauptete Gestalt hat Teil (i) des Satzes ist also bewiesen Die Gleichheit r = dim k V dim K Kern(φ) gilt nach Definition Aus dem Beweis von (i) folgt leicht: Bild(φ) = w 1,, w r Insbesondere gilt r = dim K Bild(φ) Damit ist auch Teil (ii) des Satzes bewiesen Definition 247 Die Zahl r aus Satz 245 heißt der Rang der linearen Abbildung φ : V W Schreibweise: 25 Matrizenmultiplikation r = Rang(φ) Seien m, n, r N natürliche Zahlen und A M m,n (K), B M n,r (K) zwei Matrizen der angegebenen Dimensionen Wir erhalten lineare Abbildungen φ : K n K m, y A y, ψ : K r K n, x B x Da der Definitionsbereich der ersten Abbildung gleichzeitig der Zielbereich der zweiten Abbildung ist, kann man die Verkettung φ ψ : K r K m, x A (B x) definieren Man zeigt leicht, dass mit φ und ψ die Verkettung φ ψ wieder eine K- lineare Abbildung ist Nach Satz 242 und Beispiel 243 gibt es also eine Matrix C M m,r (K), die die lineare Abbildung φ ψ bezüglich der Standardbasen von K m und K r darstellt Mit anderen Worten: für alle x K r gilt C x = A (B x) (48) 63

27 Die Formel (48) legt uns nahe, die Matrix C als das Produkt der Matrizen A und B aufzufassen, also A B := C zu setzen Mit dieser Definition würde die Formel (48) wie ein Assoziativgesetz aussehen: (A B) x = A (B x) (49) Und genau so gehen wir vor: schreibe A = (a i,j ) und B = (b j,k ) (man beachte, dass hier und im Folgenden i {1,, m}, j {1,, n} und k {1,, r} gilt) Für einen Vektor x = (x 1,,x r ) K r gilt dann: Daraus folgt mit B x = z i = = y 1 y n, mit y j = A (B x) = A n a i,j y j = j=1 n j=1 k=1 y 1 y n = r a i,j b j,k x k n c i,k x k, mit c i,k := j=1 r b j,k x k k=1 z 1 z n, n a i,j b j,k Definition 251 Seien m, n, r N und A = (a i,j ) M m,n (K), B = (b j,k ) M n,r (K) zwei Matrizen der angegebenen Dimension Das Matrizenprodukt A B ist dann die Matrix C = (c i,k ) M m,r (K) mit den Einträgen c i,k = n a i,j b j,k, j=1 j=1 i = 1,,m, k = 1,,r Das Matrizenprodukt definiert also eine Verknüpfung M m,n (K) M n,r (K) M m,r (K), (A, B) A B Beispiel 252 Sei K := Q und A := ( ) 2 0 1, B := Das Produkt A B ist dann die (2, 2)-Matrix ( ) 2 1 A B = 1 1 Das Produkt B A ist eine (3, 3)-Matrix

28 Beispiel 253 Für α R sei φ α : R 2 R 2 die Drehung der Euklidischen Ebene um den Winkel α (gegen den Uhrzeigersinn, der Ursprung (0, 0) ist der Fixpunkt der Drehung) Durch elementargeometrische Überlegungen zeigt man: φ α ist eine R-lineare Abbildung, die Bilder der Standardvektoren e 1 = (1, 0) und e 2 = (0, 1) sind ( ) ( ) cosα sinα φ α (e 1 ) =, φ sin α α (e 2 ) = cosα Es folgt, dass ( ) cosα sinα φ α (x) = A α x, mit A α = sin α cosα Für α, β R gilt offenbar cosαcosβ sin α sin β (sin α cosβ + cosαsin β) A α A β = (50) sin α cosβ + cosαsin β cosαcosβ sin α sin β Andererseits stellt das Produkt A α A β die Verkettungsabbildung φ α φ β dar Die Hintereinanderausführung einer Drehung um den Winkel β und einer Drehung um den Winkel α ist aber offenbar eine Drehung um den Winkel α + β Es folgt A α+β = A α A β, also die bekannten Additionsgesetze sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ, cos(α + β) = cosαcosβ sinα sinβ Wir haben die Matrizenmultiplikation so definiert, dass sie der Hintereinanderausführung der zugehörigen linearen Abbildungen entspricht Die abstrakte Formulierung dieses Sachverhaltes ist die folgende Kettenregel Satz 254 (Kettenregel) Seien φ : V W, ψ : U V K-lineare Abbildungen zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen U, V, W Sei A eine Basis von U, B eine Basis von V und C eine Basis von W Dann gilt MC B (φ) M B A (ψ) = M C A (φ ψ) 65

29 Beweis: Dieser Satz ist nichts weiter als eine Umformulierung der Assoziativregel (49) Um das einzusehen, muss man aber etwas Notation einführen Zuerst geben wir den Vektoren der drei Basen Namen: A = (u 1,, u r ), B = (v 1,,v n ), C = (w 1,, w m ) Nun sei u U ein beliebiger Vektor, v := ψ(u) V und w := φ(v) W Nach Definition gilt dann w = φ(v) = φ(ψ(u)) = (ψ φ)(u) (51) Sei x = (x 1,,x r ) K r der Koordinatenvektor von u bezüglich der Basis A, y = (y 1,, y n ) K n der Koordinatenvektor von v bzgl B und z = (z 1,,z m ) K m der Koordinatenvektor von w bzgl C Es gilt also u = Dann setzen wir noch r x k u k, v = k=1 n m y j v j, w = z i w i j=1 i=1 A := MC B (φ), B := M B A (ψ), C := M C A (φ ψ) Nach Definition 241 gilt dann y = B x z = A y Aus der Formel (49) folgt also (wegen v = ψ(u)), (wegen w = φ(v)), = C x (wegen w = φ ψ(u)) C x = A y = A (B x) = (A B) x, für alle x K r (da der Vektor u U beliebig war) Daraus folgt C = A B, was zu zeigen war Die folgende Proposition stellt ein paar elementare Regeln für das Rechnen mit Matrizen zusammen Proposition 255 Es seinen Matrizen A, A M m,n (K), B, B M n,r (K) und C M r,s (K) gegeben Dann gilt: (i) (Distributivgesetz) A (B + B ) = A B + A B, (A + A ) B = A B + A B, (ii) (Assoziativgesetz) (A B) C = A (B C) 66

30 (iii) (Neutralität der Einheitsmatrix) E m A = A E n = A Beweis: Wir zeigen exemplarisch die erste Formel in (i) Schreibe A (B + B ) = (c i,k ) und A B + A B = (c i,k ) Für alle i, k gilt dann: n n c i,k = a i,j (b j,k + b j,k ) = a i,j b j,k + j=1 i=1 n a i,j b j,k = c i,k j=1 Es folgt A (B + B ) = A B + A B Im Allgemeinen kann man zwei Matrizen nur durch Addition und Multiplikation verknüpfen, wenn die Dimensionen passen Betrachtet man dagegen quadratische Matrizen einer festen Dimension, so entfällt diese Beschränkung Für jedes n N erhält man also zwei Verknüpfungen auf der Menge M n,n (K): Die Proposition 255 zeigt: +, : M n,n (K) M n,n (K) M n,n (K) Korollar 256 Die Menge M n,n (K), versehen mit der Matrizenaddition und -multiplikation, ist ein Ring mit Einselement E n Bemerkung 257 (i) Für n 2 ist der Ring M n,n (K) niemals kommutativ, wie das folgende Beispiel zeigt: ( ) ( ) ( ) =, ( ) ( ) ( ) = (ii) Für n 2 ist der Ring M n,n (K) auch nicht nullteilerfrei: ( ) ( ) = (iii) Unsere Konvention über Ringe erlaubt uns, die Nullmatrix in M n,n (K) mit 0 und die Einheitsmatrix mit 1 zu bezeichnen Darüberhinaus ist auch sinnvoll, die Matrix λ λ λ 67

31 für λ K einfach mit λ zu bezeichnen Man erhält dann sofort die Rechenregel λ A = A λ Außerdem ist die Abbildung K M n,n (K), λ λ, ein injektiver Ringhomomorphismus, dh nach Identifizierung von Körperelementen λ K mit der entsprechenden Diagonalmatrix ist K ein Unterring von M n,n (K) Man sagt auch, dass M n,n (K) eine K-Algebra ist Invertierbare Matrizen Definition 258 Eine quadratische Matrix A M n,n (K) heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B M n,n (K) gibt mit A B = B A = E n Mit anderen Worten: A ist eine Einheit des Rings M n,n (K) Die Matrix B ist in diesem Fall eindeutig durch A bestimmt und heißt die inverse Matrix zu A Schreibweise: A 1 := B Die Menge aller invertierbaren (n, n)-matrizen bezeichnen wir mit GL n (K) Bemerkung 259 (i) Sind A, B GL n (K) invertierbare Matrizen derselben Dimension, so ist das Produkt A B wieder invertierbar, und es gilt (A B) 1 = B 1 A 1 (ii) Die Multiplikation definiert eine assoziative (aber im Allgemeinen nicht kommutative) Verknüpfung auf der Menge GL n (K), mit neutralem Element 1 = E n und inversem Element A 1 So eine Struktur nennt man eine Gruppe (iii) Vorsicht: die Addition + läßt sich nicht auf die Menge GL n (K) einschränken: ist zb A GL n (K), so gilt auch A GL n (K), aber A + ( A) = 0 liegt nicht in GL n (K) Satz 2510 Sei A M n,n (K) eine quadratische Matrix Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent (a) A ist invertierbar (b) Kern(A) := { x K n A x = 0 } = {0} (c) Bild(A) := { A x x K n } = K n 68

32 Beweis: Sei φ : K n K n die durch φ(x) := A x definierte lineare Abbildung Aus der Dimensionsformel, angewendet auf φ, folgt: dim K Bild(A) = n dim K Kern(A) = 0 Daraus folgt sofort die Äquivalenz von (b) und (c) Wir beweisen nun die Implikation (a) (b) Angenommen, A ist invertierbar, und x Kern(A), dh A x = 0 Es folgt 0 = A 1 x = A 1 (A x) = (A 1 A) x = E n x = x Dies zeigt Kern(A) = {0}, also (b) Zum Schluss die Implikation (b) (a) Wir nehmen also an, dass Kern(A) = {0} Die lineare Abbildung φ : K n K n, x A x, ist dann injektiv Wegen der Äquivalenz (b) (c) gilt zusätzlich Bild(A) = Kn, dh die Abbildung φ ist auch surjektiv Also ist φ bijektiv und besitzt eine Umkehrabbildung φ 1 mit φ φ 1 = φ 1 φ = Id V (52) In den Übungen haben wir gesehen, dass die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung wieder linear ist Daher gibt es eine (eindeutig bestimmte) Matrix B M n,n (K) mit φ 1 (y) = B y, für alle y K n Aus (52) folgt nun A B = B A = E n Dies zeigt, dass A invertierbar ist (und dass B = A 1 ) 26 Basiswechsel Definition 261 Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, n := dim K (V ) und A, B zwei Basen von V Dann heißt die Matrix T A B := M A B (Id V ) M n,n (K) die Transfomationsmatrix des Basiswechsels von A nach B Die Transformationsmatrix TB A hat die folgende Interpretation Sei A = (v 1,,v n ) und B = (w 1,,w n ) Jeder Vektor v V läßt sich auf eindeutige Weise als Linearkombination von A und von B schreiben: v = n x i v i = i=1 n y i w i, mit x i, y i K Zu den Basen A und B gehört also jeweils eine Koordinatendarstellung von v durch einen Vektor aus K n Das Umrechnen der einen i=1 69