Das Semi-Variogramm. Friedrich-Schiller-Universität Jena Institut für Geographie Wintersemester 2004/2005

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1 Friedrich-Schiller-Universität Jena Institut für Geographie Wintersemester 004/005 Hausarbeit zum Seminar Analyse und Modellierung räumlicher Daten Thema: Das Semi-Variogramm Vorgelegt von: Oliver Roick Ernst-Zielinski-Str Jena oliver.roick@uni-jena.de

2 Inhalt 1 Einleitung... Das experimentelle Variogramm....1 Das Prinzip der Stationarität.... Die Variogrammwolke Schätzung des experimentellen Variogramms Omnidirektionale und direktionale Variogramme Schätzung des theoretischen Variogramms Kovariogramm und Korrelogramm Zusammenfassung Literatur

3 1 Einleitung Zur Interpolation von punktuell gemessenen Daten ist eine Abschätzung des räumlichen Zusammenhangs der Daten notwendig. Bei nicht-statistischen Interpolationsverfahren, wie Thiessen-Polygone, Triangulated Irregular Network oder Inverse-Distance-Methode werden intuitive Annahmen über den räumlichen Zusammenhang zu Grunde gelegt, die die Qualität der Interpolation stark beeinträchtigen. Das Semivariogramm, als Methode zur Analyse räumlicher Daten, ermöglicht, auf Grundlage vorliegender punktueller Daten, eine Aussage über der den räumlichen Zusammenhang dieser Daten zu treffen. Der räumliche Zusammenhang der Daten soll durch eine Funktion beschrieben werden, die einem statistischen Interpolationsverfahren zu Grunde gelegt werden. Das experimentelle Variogramm Durch das experimentelle Variogramm soll der räumliche Zusammenhang eines vorliegenden Datensatzes beschrieben werden. Ziel des experimentellen Variogramms ist die graphische Darstellung der mittleren Varianz zweier Werte in Abhängigkeit von ihrem Abstand zueinander..1 Das Prinzip der Stationarität Abbildung 1: Das Prinzip der Stationarität (eigene Darstellung). Der Berechnung des Variogramms liegt die Annahme der Stationarität zu Grunde. Man geht davon aus, dass der räumliche Zusammenhang von Daten unabhängig von deren absoluter geometrischer Position im Raum ist. Die Varianz verschiedener Wertepaare ist also bei gleichem Abstand gleich. In Abbildung 1 weisen die Punkte a und b sowie c und d den gleichen Abstand

4 zueinander auf. Die Differenz der gemessenen Werte ist bei beiden Wertepaaren ebenfalls gleich, obwohl sie unterschiedliche geometrische Positionen besitzen. In der Realität wird diese Annahme nicht erfüllt (WACKERNAGEL 1998: 4).. Die Variogrammwolke Zunächst soll die Varianz aller Wertepaare in Abhängigkeit ihres Abstandes zueinander dargestellt werden. Die Varianz eines Wertepaares (a, b) berechnet sich nach Formel (1): γ = ( z m z n ) Formel 1: Berechnung der Varianz eines Wertepaares. Z m und z n sind die Werte beider Punkte des Wertepaares (WACKERNAGEL 1998: 43). Der zu diesem Wertepaar gehörige Abstand wird mit Hilfe der euklidischen Distanz nach Formel () berechnet. Zu Beginn wird angenommen, dass die Varianz unabhängig von der Richtung des Abstandsvektors ist, d.h. lediglich die Länge des Vektors fließt in die Berechnung des Variogramms ein. h = ( x) + ( y ) Formel : Berechnung des Abstandes eines Wertepaares. Abbildung : Variogrammwolke (Wackernagel 1998: 44). Die Varianz der Wertepaare kann nun, entsprechend Abbildung, in ein Diagramm das Variogramm eingetragen werden. Die Abszisse des Diagramms entspricht dabei der Länge des Abstandsvektors, die Ordinate zeigt die Varianz (WACKERNAGEL 1998: 44). Die 3

5 Darstellung erfolgt bei diesem Beispiel in Form einer Variogrammwolke. Diese zeigt jedoch nur grob den räumlichen Zusammenhang der Daten. Man erkennt, dass die Varianz der Wertepaare mit deren Abstand zunimmt. Eine konkrete Aussage über den räumlichen Zusammenhang der Daten bietet die Variogrammwolke nicht..3 Schätzung des experimentellen Variogramms Eine Annäherung an die geforderte Variogrammfunktion kann durch die Berechnung eines experimentellen Variogramms erfolgen. Die Konstruktion des experimentellen Variogramms erfolgt durch die Berechnung der mittleren Varianz für einzelne Gruppen von Wertepaaren. Die Gruppierung der Wertepaare erfolgt in folgenden Schritten (vgl. Abb. 3). 1. Zunächst müssen die lags bestimmt werden, für die das Variogramm berechnet wird. Der lag increment beschreibt die Größe des Intervalls zwischen einzelnen lags. Das Variogramm wird dann für alle Wertepaare berechnet, deren Abstandsvektor ein Vielfaches des lag incremments als Länge aufweist. Bestimmt man also einen lag increment von 1.5, so wird die Berechnung für die lags 0, 1.5, 3.0, 4.5, usw. durchgeführt.. Bei einer exakten Angabe der lags stehen unter Umständen zu wenige Messwerte pro lag zur Verfügung. Deshalb definiert um ein lag einen Toleranzbereich, so dass auch Werte mit geringfügig von den lags abweichenden Abstandsvektoren zur Berechnung des Variogramms herangezogen werden können. Lag increment und Toleranz sollten so gewählt werden, dass die Anzahl der Werte in einer Gruppe mindestens 30 ergibt. 3. Die Anzahl der Lags bescheibt schließlich bis zu welcher Größe der Abstandsvektoren das Variogramm berechnet wird. Die maximale Größe der Abstandsvektoren sollte kleiner als die Hälfte des Durchmessers des Versuchsfeldes sein (DUMFARTH & LORUP 1999: ; KALUZNY 1998: 69-70). Aus den eben beschriebenen Annahmen ergeben sich Gruppen von Wertepaaren mit ähnlichen Abstandsvektoren. Für diese Gruppen wird nun jeweils die mittlere Varianz nach Formel (3) berechnet. 4

6 1 γ ( h) = ( z m zn ) N( h) Formel 3: Formel für das Variogramm. z m und z n sind die Werte beider Punkte des Wertepaares. N(h) ist die Anzahl der Wertpaare in der zu berechnenden Gruppe (KALUZNY 1998: 68). Die Bezeichnungen Variogramm und Semi-Variogramm werden oft synonym verwendet. Normalerweise ist γ(h) das Semivariogramm und γ(h) das Variogramm (KALUZNY 1998: 68). In dieser Arbeit wird die Bezeichnung Variogramm für die Funktion γ(h) verwendet. Nach den so berechneten Daten kann nun ein Graph gezeichnet werden, der das experimentelle Variogramm darstellt. Dieses Variogramm kann mit Hilfe verschiedener Parameter beschrieben werden (vgl. Abb. 3). Abbildung 3: Das Variogramm mit seinen Eigenschaften (eigene Darstellung, nach KALUZNY 1998: 69). Der Schwellenwert oder sill berechnet sich durch lim h γ(h) und repräsentiert in etwa die statistische Varianz des Datensatzes. Häufig ist der sill jedoch kleiner als die statistische Varianz. 5

7 Die Aussageweite oder range markiert den Punkt, an dem das Variogramm den Schwellenwert erreicht oder überschreitet. Für Wertepaare, deren Abstandsvektor größer als der range ist, kann keine Aussage über den räumlichen Zusammenhang der Daten getroffen werden, da diese Daten nicht autokorreliert sind (KALUZNY 1998: 69). Der nugget effect repräsentiert den Wert der Funktion γ(h) für h=0. Theoretisch müsste die Varianz für ein Wertepaar mit dem Abstandsvektor h=0 ebenfalls 0 sein, da es sich um ein und denselben Punkt handelt. Der Graph müsste demnach durch den Koordinatenursprung des Variogramms verlaufen. Tritt ein nugget effect auf, deutet dies auf das Vorkommen von Messfehlern oder kleinräumige Varianz des Datensatzes (DUMFARTH & LORUP 1999: 6)..4 Omnidirektionale und direktionale Variogramme Bei den bisher genannten Beispielen handelt es sich um isotrope Modelle. Das heißt, dass die Korrelation der Daten unabhängig von der Richtung des Abstandsvektors gegeben ist. Die Varianz eines Wertepaares ist bei gleichem Abstand h in horizontaler bzw. vertikaler Richtung gleich. Die räumliche Korrelation kann in so genannten omnidirektionalen Variogrammen dargestellt werden, bei deren Berechnung die Richtung des Abstandsektors außer Acht gelassen wird. Es treten jedoch häufig Daten auf, bei denen die räumliche Korrelation abhängig von der Richtung des Abstandsvektors ist. Man bezeichnet solche Modelle als anisotrope Modelle. Variogramme für anisotrope Modelle werden nach dem Muster omnidirektionaler Variogramme berechnet. Neben der Gruppierung der Wertepaare, deren Abstandsvektoren eine ähnliche Länge aufweisen, wird nun auch eine Gruppierung nach Richtung der Abstandsvektoren durchgeführt. Dann wird für jede dieser Gruppen ein separates Variogramm berechnet und dargestellt. Winkel, die um 180 differieren können bei der Gruppierung zusammengefasst werden. Zum Beispiel werden Abstandsvektoren mit einer Nord-Abweichung von 90 und solche mit einer Nord-Abweichung von 70 in eine Gruppe geordnet. Die Gruppierung erfolgt auch 6

8 hier unter Einbezug eines bestimmten Toleranzbereiches um die Winkelrichungen, für die ein direktionales Variogramm berechnet wird (KITANIDIS 1997: 113). Signifikante Unterschiede zwischen den einzelnen direktionalen Variogrammen können auf Anisotropie im Datensatz hinweisen. Auch die Richtung der Anisotropie kann aus dem direktionalen Variogramm abgeleitetet werden. Sie wird angezeigt durch den schärfsten Kontrast zwischen Variogrammen mit zueinander orthogonalen Richtungsvektoren (KITANIDIS 1997: 110). 3 Schätzung des theoretischen Variogramms Um ein Variogramm für eine Interpolation räumlicher Daten nutzen zu können, muss dieses durch eine Funktion genau beschrieben werden. Es wird dem experimentellen Variogramm also eine Funktion angepasst, die dessen Verlauf möglichst genau wieder gibt. Man nennt diese Funktion theoretische Variogrammfunktion oder theoretisches Variogramm. Die theoretische Variogrammfunktion wird zumeist halbautomatisch geschätzt. Zunächst wird das Variogrammmodell ausgewählt, dessen Verlauf den Verlauf des experimentellen Variogramms am ehesten entspricht (KALUZNY 1998: 9). Dafür stehen verschiedene Typen von Variogrammmodellen zur Verfügung, die im Folgenden näher erläutert werden. Zur Schätzung des theoretischen Variogramms stehen das exponentielle, das sphärische und das gauss sche Modell zur Verfügung. Die Funktionen und repräsentative Abbildungen sind im Folgenden aufgeführt (KALUZNY 1998: 91). 7

9 Exponentielles Modell (BAILEY & GATRELL 1995: ) Graphische Darstellung Formel ohne nugget effect: Formel mit nugget effect: Sphärisches Modell (BAILEY & GATRELL 1995: ) Graphische Darstellung: Formel ohne nugget effect: Formel mit nugget effect: Gauss sches Modell (BAILEY & GATRELL 1995: ) Graphische Darstellung Formel ohne nugget effect: Formel mit nugget effect: 8

10 Das Gauss sche Variogrammmodell zeigt ein parabelförmiges Verhalten nahe dem Ursprung. Der Graph hat einen Wendepunkt, dieses Modell hat deshalb einen s- förmigen Verlauf. Exponentielles und Sphärisches Variogrammmodell zeigen einen ähnlichen Verlauf mit dem Unterschied, dass das Exponentielle Modell einen stärkeren Anstieg in Richtung sill aufweist. Der Schnittpunkt zwischen sill und der Tangente am Koordinatenursprung liegt beim Exponentiellen Modell bei ca. 1/5 des range, beim Sphärischen Modell liegt der Schnittpunkt bei /3 des range (BAILEY & GATRELL 1995: 180). Die jeweiligen theoretischen Variogrammfunktionen werden durch Einsetzen der Werte für sill und range bestimmt. Diese Werte können aus dem experimentellen Variogramm abgelesen werden. Sollte das experimentelle Variogramm einen nugget effect aufweisen, so muss dieser ebenfalls bei der Bestimmung des theoretischen Variogramms einbezogen werden. Das geschieht durch Addition eine Koonstanten a, die den Wert des nugget effects erhält. Zudem muss eine Fallunterscheidung gemacht werden, da aus bereits beschriebenen Gründen eine Wertepaar mit dem Abstandsvektor h=0 keine Varianz aufweisen kann (BAILEY & GATRELL: 180). 4 Kovariogramm und Korrelogramm Eine weitere Möglichkeit, den Zusammenhang räumlicher Daten in Abhängigkeit ihres Abstandes darzustellen, bieten Kovariogramm und Korrelogramm. Das Kovariogramm zeigt die Kovarianz eines Wertepaares in Abhängigkeit des Abstandsvektors h. Es wird nach Formel (4) berechnet. Abbildung 4: Kovariogramm (BAILEY & GATRELL 1995: 163). 9

11 1 C( h) = ( zm z)( zn z) N( h) Formel 4: Formel für das Kovariogramm. z m und z n sind die Werte beider Punkte des Wertepaares. N(h) ist die Anzahl der Wertpaare in der zu berechnenden Gruppe (BAILEY & GATRELL 1995: 165). Das Kovariogramm (vgl. Abb. 5) zeigt große Ähnlichkeit zum Variogramm; es ist die umgekehrte Darstellung des Variogramms. Die Beziehung zwischen Variogramm und Kovariogramm wird auch durch Formel (5) beschrieben. Kovariogramm und Variogeramm zeigen eine dirkete Abhängigkeit, da das Variogramm durch die Differenz aus statistischer Varianz und Kovariogramm berechnet werden kann (BAILEY & GATRELL 1995: 163). γ ( h) = σ C( h) Formel 5: Zusammenhang zwischen Variogramm und Kovariogram. σ ist die statistische Varianz des gesamten Datensatzes. C(h) ist die Kovarianzfunktion (vgl Formel 4) (BAILEY & GATRELL 1995: 163). Das Korrelogramm ist die graphische Darstellung der Korrelation der Wertepaare in Abhängigkeit des Abstandsvektors h. Die Berechnung des Korrelogramms erfolgt durch Formel (6). Das Korrelogramm kann Werte zwischen 1 und 0 Annehmen. Wertepaare mit geringem Abstand weisen eine hohe Korrelation auf; Paare mit größerem Abstand weisen eine geringe Korrelation auf (vgl. Abb. 5). Abbildung 5: Korellogramm (BAILEY & GATRELL 1995: 163). C( h) ρ( h ) = σ Formel 6: Formel für das Korrelogramm. σ ist die statistische Varianz des gesamten Datensatzes. C(h) ist die Kovarianzfunktion (vgl. Formel 4). 10

12 Die entsprechenden theoretischen Modelle können aus der erläuterten Beziehung zwischen Variogramm und Kovariogramm (vgl. Formel 5) abgeleitet werden (BAILEY & GATRELL 1995: 179). 5 Zusammenfassung Das Variogramm bietet die Möglichkeit zur Darstellung räumlicher Varianz eines gegebenen Datensatzes. Die Varianz wird durch einer Funktion beschrieben. Zur Berechnung der Funktion wird zunächst aus den vorliegenden Daten ein experimentelles Variogramm abgeleitet, das dann Grundlage zur Bestimmung der der geforderten Variogrammfunktion, dem theoretischen Variogramm, ist. Weitere Möglichkeiten den räumlichen Zusammenhang von Daten zu beschreiben bieten das Kovariogramm und das Korrlogramm. Die berechnete Variogrammfunktion kann dann einem statistischen Interpolationsverfahren, wie dem Kriging zu Grunde gelegt werden. 11

13 Literatur BAILEY, T.C. & GATRELL (1995): Interactive Spatial Data Analysis. Essex. DUMFARTH, E. & E. LORUP (1999): Explorative Variographie: Kontinuität im Raum. Vorlesungsskript Geostatistik I: Theorie und Praxis. pdf, Zugriff am: KALUZNY, S. P. (1998): S+SpatialStats: User s manual for Windows and Unix. New York. KITANIDIS, P.K. (1997): Introduction to Geostatistics. Applications in Hydrogeology. Camebridge. WACKERNAGEL, H. (1998): Multivariate Geostatistics. An Introduction with Applications. Berlin und Heidelberg. 1