Formeln als Formulierungshilfe

Transkript

1 Formeln als Formulierungshilfe Neue Konzepte zum Algebraunterricht Lisa Hefendehl-Hebeker Fachbereich Mathematik Universität Duisburg-Essen, Campus Essen Marburg, 28. April 2009

2 Formeln - Inbegriff der Algebra, zwiespältiges Image Bildquelle: A. Beutelspacher: In Mathe war ich immer schlecht. Braunschweig/Wiesbaden, 3. Aufl

3 Gliederung. Formeln in der Mathematik 2. Beteiligte Denkvorgänge 3. Didaktische Ansätze 3

4 . Formeln in der Mathematik 4

5 5. Formeln aufstellen und nutzen

6 Anbahnen einer algebraischen Betrachtung Muster erkennen: Die Differenz zweier benachbarter Stammbrüche ist offenbar gleich ihrem Produkt. Die allgemeine Struktur durchschauen: 3 4 = = 2 6

7 Weiterführung Die Struktur symbolisch beschreiben: n n + = n + n(n + ) n n(n + ) = n(n + ) dabei geltende Konventionen benutzen, auf diese Weise das allen Einzelfällen Gemeinsame explizit machen, und so Darstellung und Begründung in Einem erhalten. 7

8 Eine neue Stufe Die Struktur auf symbolischer Ebene weiter explorieren: n(n+) (n+)(n+2) = n+2 n n(n+)(n+2) = 2 n(n+)(n+2) Neue Informationen ablesen und interpretieren. 8

9 .2 Vertraut werden Die Symbole entwickeln eine neue sinnliche Kraft, werden Objekte eigenen Rechts. Dieses regt an zu neuen Explorationen. Neue Muster erkennen: k! (n k)! (n + )! 9

10 .3 Die Leistungsfähigkeit der Formelsprache Die algebraische Formelsprache ist ein effizientes Mittel zum Darstellen und Explorieren von Zusammenhängen Ihre Entdeckung war ein Meilenstein in der Geschichte. Sie entlastet das Vorstellungsvermögen, indem sie es ermöglicht, inhaltsgebundene logische Argumentationen weitgehend durch inhaltsinvariante Denkoperationen zu ersetzen Sie erhöht die operative Reichweite, indem sie ein regelgeleitetes Operieren mit Symbolen erlaubt. Sie ermöglicht es sogar, neue gedankliche Objekte wie 2 symbolisch zu erschaffen. Diese Vorzüge müssen jedoch durch ein hohes Maß an Abstraktion und Allgemeinheit erkauft werden. 0

11 2. Beteiligte Denkhandlungen

12 2. Strukturieren Im Denken wiederholt oder strukturiert sich eine ( objektiv ) gegebene Wirklichkeit. (Mittelstraß, Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie) Strukturieren ist also eine der Denkhandlungen, mittels derer die Orientierungs- und Konstitutionsleistungen (ebd.) des Denkens ausdifferenziert werden können. In der Algebra liegt ein besonderer Fokus auf dem Strukturieren, z. B. dem Erfassen von Strukturen im Umgang mit Zahlen und Größen. 2

13 2.2 Abstrahieren und Generalisieren Unser Gehirn ist auf das Bilden abstrakter Begriffe und das Lernen von Allgemeinem aus. Algebra ist speziell darauf gerichtet, Allgemeinheit zu erfassen und zum Ausdruck zu bringen. Allgemein: Das allen Gemeinsame Beispiel: Formeln erfassen das allen Einzelfällen der betrachteten Art Gemeinsame 3

14 2.3 Darstellen Unser Denken ist auf Darstellungen angewiesen. Darstellungen (Sprache, Bilder, Symbole) materialisieren Gedanken und machen sie zugänglich für die Sinne. Die Algebra bedient sich besonderer Darstellungssysteme. Diese sind symbolisch und regelgeleitet. Dabei stehen Variable als uneigentliche Ausdrücke (Metonymien) für spezielle mathematische Objekte (Zahlen, Größen, ); man arbeitet mit ihnen als ob sie Zahlen, Größen, wären. 4

15 3.Didaktische Ansätze Nicht allein in Rechnungssachen Soll der Mensch sich Mühe machen; Sondern auch formale Lehren Muss man mit Vergnügen hören. 5

16 3. Leitidee Die für die Algebra benötigten Denkhandlungen schon auf früher Stufe einüben. Dadurch eine solide Erfahrungsbasis schaffen, die auch anderen mathematischen Bereichen zugute kommt. Dies geschieht durch Beschäftigung mit präalgebraischen Kontexten. 6

17 3.2 Präalgebraische Kontexte Unter präalgebraischen Kontexten verstehen wir hier Lernumgebungen zur Anbahnung der ersten Stufe: Muster erkennen, die Muster begrifflich und symbolisch beschreiben, die Beschreibungen für erste Schlussfolgerungen heranziehen. Diese Kontexte können arithmetisch oder geometrisch gerahmt sein. 7

18 3.3 Fallstudie: Würfelschlange Tatjana Berlin, Essen Vergleichsstudie Essen/St. Petersburg 8

19 Vorgehensweisen der Schüler/innen Zählstrategien Betrachtet die Quadrate pro Reihe: Zählt die drei Reihen hintereinander und dann die beiden Quadrate an den Enden Zählt die drei Reihen gebündelt und dann die Quadrate an den Enden Betrachtet die Quadrate pro Würfel: Zählt das obere, vordere und hintere Quadrat der Würfel und dann die beiden Quadrate an den Enden Zählt die Quadrate der beiden äußeren Würfel (je vier Quadrate) und dann die Quadrate der inneren Würfel (je drei Quadrate) Erkennt die Veränderung: Zeigt, welche Quadrate mit jedem neuen Würfel verdeckt werden bzw. hinzukommen 9

20 Beispiel: Verena 20

21 Beispiel: Daniel 2

22 Beispiel: Julia 22

23 Beispiel: Nikita 23

24 Beispiel: Olga 24

25 Beispiel: Nina 25

26 Vorgehensweisen der Schüler. Zählstrategien Betrachtet die Quadrate pro Reihe: Zählt die drei Reihen hintereinander und dann die beiden Quadrate an den Enden Zählt die drei Reihen gebündelt und dann die beiden Quadrate an den Enden Betrachtet die Quadrate pro Würfel: Zählt das obere, vordere und hintere Quadrat der Würfel und dann die beiden Quadrate an den Enden Zählt die Quadrate der beiden äußeren Würfel und dann die Quadrate der inneren Würfel Erkennt die Veränderung: Zeigt, welche Quadrate mit jedem neuen Würfel verdeckt werden bzw. hinzukommen n + n + n n n ( n 2) ( n ) 5 n ( n ) 2 26

27 3.4 Fallstudie Zahlenmauern Variable als Unbekannte Beispiel für eine Zahlenmauer

28 Problemlösen mit Unbekannten am Beispiel Zahlenmauern (Klasse 5) Karen: Abhängigkeit der Zahlen 5+7=2, 38-2=26, 26:2=3, weil die Zahl zweimal gebraucht wird. Einmal bei der 5 und einmal bei der 7. Torsten: Stabilität der Differenz Die Differenz zwischen 5 und 7 beträgt 2. So müssen die oberen Zahlen auch eine Differenz von 2 haben, weil 5 und 7 mit der gleichen Zahl addiert werden. Nur 8 und 20 haben eine Differenz von 2 und geben zusammen 38. Dann ist das 3, weil 5+3=8 und 7+3=20. Fallstudie: Johann Sjuts, Leer 28

29 3.5 Was zeigen uns diese Studien Die Leistungen der Kinder der Jgst. 5: Muster erkennen Begriffliches und symbolisches Beschreiben Erste Schlussfolgerungen Eine nächste Stufe Symbolische Darstellungen zielgerecht umformen und neue Informationen gewinnen Beispiel: Die Gleichwertigkeit von Olgas und Nikitas Formel auf formaler Ebene testen können: (n-) = 5 n - (n-) 2 Noch später Symbolische Ausdrücke als vertraute Objekte ansehen (Vergegenständlichen) Muster erkennen... 29

30 Hilfreiche Dispositionen Die Fähigkeit, die eigene Vorgehensweise zu beobachten, zu verbalisieren, in der Fachsprache zu formulieren (Objekte wie Summe, Produkt, Differenz und Operationen wie Multiplikation usw. werden benannt). Umgang mit Zahlentermen Lösungsschritte als Zahlenterme erfassen, Zahlenterme als Ergebnisse betrachten, Sehen, dass die Rolle einer Zahl und nicht ihr Wert wichtig sein kann. 30

31 Wie sagte schon Freudenthal... Wo man etwas anschaulich illustrieren kann, kommt man mit schlampigen sprachlichen Mitteln aus; je abstrakter, d. h. je weiter entfernt von der Anschaulichkeit der zu behandelnde Stoff ist, desto sorgfältiger muss der sprachliche Ausdruck sein. (Mathematik als pädagogische Aufgabe I, S. 35) 3

32 Und wie sagte Goethe Und keine Zeit und keine Macht zerstückelt geprägte Form, die lebend sich entwickelt. Goethe; Urworte, Orphisch 32