5. Optimale Einkommensteuer

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1 5. Optimale Einkommensteuer Lit: Keuschnigg, Kap. VI In den meisten Ländern existiert eine progressive Einkommensteuer. Auf der einen Seite ermöglicht Progression Umverteilung von Reich zu Arm. Die Wünschbarkeit von Umverteilung hängt von Werturteilen bzgl. der optimalen Einkommensverteilung ab. Auf der anderen Seite verringern progressive Steuern die Arbeitsanreize: Umverteilung führt zu Ezienzverlusten. Wie sieht der optimale Trade-o zwischen Ezienz und Umverteilung aus? Rainald Borck 1

2 Die Gesellschaft bestehe aus Individuen n = 1,..., N mit Nutzenfunktionen U(X n, L n ) über Konsum und Arbeit und heterogenen Produktivitäten oder Löhnen w n. Umverteilungsziele des Staates: Manche Autoren plädieren für exogene Gerechtigkeitspostulate, z.b. Opfertheorien wie gleiches absolutes oder relatives Opfer. Moderne Theorie geht von einer sozialen Wohlfahrtsfunktion W aus: W = G(U(X n, L n ))f(n)dn (1) n Bsp: Sei Arbeitsangebot unelastisch gleich eins für alle n, dann ist das Einkommen Y n = w n und die Steuerzahlung T (w n ) = T n. Rainald Borck 2

3 Regierung maximiert die Wohlfahrt unter der Nebenbedingung, dass das Steueraufkommen G ist: L = max G(U(w n T n ))f(n)dn+λ( T n f(n)dn G) (2) n n Die BEO lautet mit G U = dg/du. G U U (w n T n ) + λ = 0 (3) Wenn G konkav ist, folgt daraus, dass der Konsum für alle Individuen gleich ist. Der Staat egalisiert also die Nettoeinkommen aller Indidivuen: Dies bedeutet Steuersätze von 100%! Rainald Borck 3

4 Annahme eines unelastischen Arbeitsangebots unrealistisch: das Einkommen ist z.b. Y = wl(w). I.a. ändern Steuern das Arbeitsangebot! Wenn der Staat die Produktivität eines Individuums w kennt, könnte er individuelle Pauschalsteuern ohne Ezienzverlust erheben. Entscheidende Annahme: Staat kennt nur das Einkommen Y = wl aber nicht den Lohn w. Interpretation: L besteht nicht nur aus Arbeitszeit (beobachtbar) sondern auch aus Anstrengung (nicht beobachtbar). Konskatorische Steuern verringern Arbeitsanreize und daher auch die Möglichkeiten für Umverteilung. Rainald Borck 4

5 5.1. Optimale nicht-lineare Steuer mit 2 Typen Sei T n = T (Y n ) die Steuerschuld bei einem Einkommen Y n mit n: Index für die Steuerklasse. Grenzsteuersatz τ n = T (Y n ) sei innerhalb einer Klasse konstant. Mit diskreten Einkommensklassen gilt τ i = T i T i 1 Y i Y i 1 T n = T 0 + n τ i (Y i Y i 1 ) (4) i=1 Rainald Borck 5

6 S. Abb. Steuerschuld ergibt sich als Fläche unter der Grenzsteuerkurve: gleiche Gesamt- (und Durchschnitts-)Belastung kann mit unterschiedlichen Grenzsteuersatzverläufen erzielt werden. Linker Tarif hat höhere Grenzsteuersätze im oberen Bereich. Für die Verteilungswirkung ist der Durchschnittssteuersatz relevant; für die Arbeitsanreize der Grenzsteuersatz! Rainald Borck 6

7 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxx xxxxx xxxx xx Y T'(Y) T(Y) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxx xxxxx xxx xx Y T'(Y) T(Y) Abbildung: Grenzsteuersätze und Steuerschuld Rainald Borck 7

8 Es gebe zwei Typen von Individuen mit unterschiedlichen Fähigkeiten: Brutto-Lohnsätze n 2 > n 1. Brutto-Arbeitseinkommen ist Y n = nl n. Staat kann Einkommen beobachten, nicht aber Fähigkeiten. Erstbest wäre eine Pauschalsteuer, die an den Fähigkeiten anknüpft: hohes n würde zu hoher Steuer führen. Aber nicht möglich, da Steuer nur am Einkommen ansetzen kann. Verfügbares Einkommen X n = Y n T (Y n ) (5) Rainald Borck 8

9 Individuum vom Typ n hat Nutzenfunktion über Konsum und Arbeit, u(x n, L n ), mit u n X u/ X n > 0, u n L u/ L n < 0. Da Y n = nl n, können wir die Nutzenfunktion mit (5) umschreiben: V n (Y n T (Y n ), Y n ) u(y n T (Y n ), Y n /n) (6) Um Einkommen Y zu erzielen, muss der fähige weniger arbeiten: L 2 = Y/n 2 < L 1 = Y/n 1 wegen n 2 > n 1. Individuen wählen L bzw. Y (äquivalent, da n exogen), um den Nutzen (6) zu maximieren. Rainald Borck 9

10 BEO: V N X (1 T (Y n )) + V n Y = 0 (7) MRS n V n Y V n X = 1 T (Y n ) (8) GRS bestimmt, durch wieviel zusätzlichen Konsum ein HH kompensiert werden muss, wenn er eine Einheit mehr Einkommen erzielt (durch mehr Arbeit). Annahme Agentenmonotonie: In jedem beliebigen Punkt X, Y gilt V 1 Y V 1 X > V 2 Y V 2 X D.h. die Steigung der Indierenzkurven im (X, Y ) Raum ist für die fähigen geringer (s. Abb). Fähige müssen (per Annahme) für mehr Arbeit weniger stark durch Konsum kompensiert werden. Rainald Borck 10 (9)

11 x V1 V2 Y Abbildung: Agentenmonotonie Rainald Borck 11

12 Selbstselektion Annahme über die Information: Staat kennt n 1, n 2, aber nicht den Typen eines einzelnen Individuums. Folge: Typ 2 Steuerzahler können u.u. Typ 1 nachahmen: es kann für die fähigen bei hohen Steuern T 2 attraktiv sein, weniger zu arbeiten und weniger Steuern zu zahlen. Wenn die Steuer T 1 gering ist, ist auch der Konsumverzicht gering. Durch höhere Steuern T 1 und/oder niedrigere Steuern T 2 kann Staat diese Ausweichreaktion unattraktiv machen. Unvollständige Information beschränkt die Umverteilung. Optimaler Tarif muss anreizkompatibel sein, d.h. die Individuen wählen freiwillig den für sie bestimmten Tarif. Rainald Borck 12

13 Selbstselektionsbeschränkung: V 2 (X 2, Y 2 ) V 2 (X 1, Y 1 ) ˆV 2 (10) wobei ˆV 2 den Nachmachernutzen bezeichnet, den Typ 2 realisiert, wenn er sich als 1 ausgibt (durch sein Arbeitsangebot). Die Grak zeigt verschiedene Indierenzkurven und (lokale) Budgetgeraden für Typ 1 und 2. Punkt C bezeichne das Optimum für Typ 1 bei der eingezeichneten Budgetgeraden. Wenn der Tarif für Typ 2 zu der Budgetgerade durch Punkt A führt, ist die Selbstselektionsbedingung verletzt: Typ 2 erzielt durch Nachahmen des Typs 1 einen höheren Nutzen ( ˆV 2 ). Rainald Borck 13

14 x 45 ^ V2 V1 B V2 C A Y Abbildung: Selbstselektion Rainald Borck 14

15 Bei der Budgetgeraden durch Punkt B ist Selbstselektion erfüllt. Beachte: X = Y T (Y ): Steuerbelastung ist Abstand zwischen 45 Linie und dem Konsum X. dx/dy = 1 T (Y ): hoher Grenzsteuersatz entspricht acher Budgetgeraden. Wenn Gesamtsteuer für Typ 2 zu hoch, wird Selbstselektion verletzt. Beachte: Wenn Selbstselektionsbedingung für Typ 2 erfüllt ist, gilt dies auch für Typ 1: Dieser müsste nämlich zur Erzielung des Einkommens Y 2 = w 2 L 2 deutlich mehr arbeiten als für Einkommen Y 1 = w 1 L 1. Aufgrund der Agentenmonotonie ist dies aber nicht vorteilhaft. Rainald Borck 15

16 Optimale Besteuerung Optimalsteuerproblem: Staat maximiert eine soziale Wohlfahrtsunktion V 1 (X 1, Y 1 ) + δv 2 (X 2, Y 2 ). Nebenbedingungen (1) Selbstselektion, (2) Steueraufkommen T 1 + T 2 G. Regierung wählt Steuern indirekt durch Wahl von Brutto- und Nettoeinkommen der Individuen. Lagrange-Funktion: max X 1,Y 1,X 2,Y 2 L = V 1 (X 1, Y 1 ) + δv 2 (X 2, Y 2 ) (11) + λ(v 2 (X 2, Y 2 ) ˆV 2 (X 1, Y 1 )) (12) + γ(y 1 X }{{} 1 + Y 2 X 2 G) (13) }{{} =T (Y 1 ) =T (Y 2 ) Rainald Borck 16

17 BEO: X 1 : VX 1 λ ˆV X 2 γ = 0 (14) Y 1 : VY 1 λ ˆV Y 2 + γ = 0 (15) X 2 : (δ + λ)vx 2 γ = 0 (16) Y 2 : (δ + λ)vy 2 + γ = 0 (17) Aus (16) und (17) folgt unmittelbar MRS 2 = V 2 Y V 2 X = 1 (18) Entsprechend der privaten Optimierung gilt MRS 2 V 2 Y V 2 X = 1 T (Y 2 ) (19) Rainald Borck 17

18 Aus (19) und (18) folgt, dass im Optimum T (Y 2 ) = 0 gelten muss: Der Grenzsteuersatz des fähigsten Individuums ist null! Aus (14) und (15) zusammen mit der Agentenmonotonie kann gezeigt werden, dass T (Y 2 ) > 0: der Grenzsteuersatz für den weniger fähigen ist positiv! S. Abb.: Der optimale Tarif ist durch die Bündel (X 1, Y 1 ) und (X 2, Y 2 ) gekennzeichnet, die Steuerzahlungen sind T 1, T 2 und die Grenzsteuersätze T 1 > 0 = T 2. Rainald Borck 18

19 Wenn der Grenzsteuersatz für die weniger fähigen null wäre, könnten sie ein höheres Nutzenniveau erreichen (Punkt D). Aber dann würde die Selbstselektionsbedingung für die fähigeren zu geringeren Einnahmen als T 2 führen. Durch eine Bewegung von D nach C steigt der Grenzsteuersatz für die Armen und gleichzeitig wird die Selbstselektionsbedingung für die Reichen schwächer: Sie können daher mit höheren Steuern belastet werden. Höhere Grenzsteuersätze auf Steuerzahler der Klasse i dienen daher der Abschwächung der Selbstselektion für Klasse i + 1. Damit können die i + 1 Typen stärker zur Umverteilung herangezogen werden, was den unteren Klassen zugute kommt. Nur für die fähigsten Typen gilt dieses Argument nicht: da es keinen fähigeren mehr gibt, ist der optimale Grenzsteuersatz hier null. Ein höherer Satz würde diese Gruppe schlechter stellen ohne jemandem zu nutzen kann nicht ezient sein. Rainald Borck 19

20 x 45 T2 V2 T1 D B V1 C Y Abbildung: Optimale Einkommensteuer Rainald Borck 20

21 5.2. Optimale nicht-lineare Steuer mit stetiger Verteilung Mit zwei Typen kann die optimale EKSt nicht vollständig charakterisiert werden. Mit einer stetigen Verteilung der Produktivitäten kann der Grenzsteuersatz für jedes Einkommen bestimmt werden. Sei f(n) die Dichtefunktion der Produktivitäten. Regierung maximiert max n G(U(X n, L n ))f(n)dn (20) unter den Nebenbedingungen, dass die Budgetrestriktion und die Selbstselektionsbedingungen für alle n erfüllt sind: T (Y n )f(n)dn = G (21) n u(x n, Y n /n) u(x m, Y m /n) für alle m, n (22) Rainald Borck 21

22 Charakterisierung des optimalen Grenzsteuersatzes beim Lohn n (s. Keuschnigg 2005, S. 142.): T n [ 1 T n = ] 1 ɛ n nf(n) θ n (23) mit ɛ n : Lohnelastizität des Arbeitsangebots. Rainald Borck 22

23 1 Je höher ɛ n desto niedriger der optimale Grenzsteuersatz: hoher Wohlfahrtsverlust. 2 Je stärker die Umverteilungspräferenzen, desto höher sollte im oberen Einkommensbereich die Durchschnittsbelastung sein. Um dies zu erreichen, müssen im unteren und mittleren Bereich die Grenzsteuersätze stark ansteigen. 3 Verteilung: Grenzsteuersatz ist umso höher, je mehr Individuen eine Fähigkeit gröÿer als n haben (dann gibt es viele hohe Einkommen, von denen man zu den unteren umverteilen kann) und je weniger Individuen die Fähigkeit n haben (dann sind die Verzerrungen des Arbeitsangebots bei der Produktivität n hoch) Rainald Borck 23