Die Herleitungen der Ableitungsregeln

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1 Matemati Etrablatt Teme: Herleitge der Ableitgsregel Die Herleitge der Ableitgsregel. Die Smmeregel Damit die Regel awedbar ist, setze wir oras, dass die Ftioe d a eiem Iterall I deiiert d a der etspreede Stelle I dierezierbar sid. Die Ftio latet: Die Ableitg latet: Herleitg Um die Regel erzleite, erwede wir die sog. -Metode Uterapitel VI... Zr Erierg ist sie im Folgede o eimal i Grdzüge dargestellt: Die -Metode Ma bildet de Dierezeqotiete a olgede Weise: N mat ma de Grezübergag: Eistiert der Grezwert, at ma die Ableitg o eralte. DHBW STUTTGART MATHEMATIK SEITE VON

2 MATHEMATIK EXTRABLATT DHBW STUTTGART MATHEMATIK SEITE VON Ist, wie am Aag ageomme, so sreibe wir: ] [ ] [ Bilde wir o dem Term der letzte Zeile de Grezwert, so eralte wir: Die letzte Zeile ist sere am Aag dieses Uterapitels postlierte Regel. Mit eier leie Umbeeg wird dies o detlier:. As dieser Regel get eror, dass ma jede Smmade ür si ableite a. Um dies o eimal z erdetlie, sae wir s drei Beispiele a: Beispiel Smmeregel Beispiel g g Smmeregel Beispiel Smmeregel e e os si

3 MATHEMATIK EXTRABLATT DHBW STUTTGART MATHEMATIK SEITE VON. Die Fatorregel Damit die Regel awedbar ist, setze wir oras, dass die Ftio a eiem Iterall I deiiert d a der etspreede Stelle I dierezierbar ist. Die Ftio latet: Die Ableitg latet: Dabei ist \ eie Kostate. Herleitg Wir erwede wieder die -Metode. Damit eralte wir aalog zr Herleitg der Smmeregel olgede Term: N bilde wir wieder de Grezwert des Terms der letzte Zeile d eralte olgede Asdr: Der letzte Asdr ist sere Formel. Absließed mae wir o eie leie Umbeeg:. As dieser Regel get eror, dass ostate Fatore beim Ableite eia mitwader. Daz mae wir zwei Beispiele zm bessere Verstädis:

4 MATHEMATIK EXTRABLATT DHBW STUTTGART MATHEMATIK SEITE VON Beispiel Fatorregel Beispiel g g Smmeregel Fatorregel. Die Prodtregel Damit die Regel awedbar ist, setze wir oras, dass die Ftioe d a eiem Iterall I deiiert d a der etspreede Stelle I dierezierbar sid. Die Ftio latet: Die Ableitg latet: Herleitg Us diet, mal wieder, die -Metode zr Herleitg der Formel. Dabei sreibe wir: N wede wir eie leie Tri zm Zwee seres Voraomme a: Wir addiere! Allerdigs werde wir das etwas trireier erastalte als ma zerst ermte öte:

5 MATHEMATIK EXTRABLATT DHBW STUTTGART MATHEMATIK SEITE VON Dr diese leie, aber do ser eie Umormg, sid wir i der Lage, zr Grezwertbildg geeigete Terme dr Aslammer z eralte. Vorer sortiere wir aber erst o ei bisse m: Umsortiere: Aslammer: N sreibe wir die beide Smmade mit getrete Brstrie d bilde de Grezwert. Wir eralte da: Kleie Umormge: Der Grezübergag: Die letzte Zeile ist sere Formel. Zm Abslss o eie leie Umbeeg:.. N abe wir eie Regel, m Prodte o Ftioe diret abzleite.

6 MATHEMATIK EXTRABLATT DHBW STUTTGART MATHEMATIK SEITE 6 VON Amerg: We ma si die Formel i der obe agezeigte Reieolge mert, da ällt es eiem ielleit leiter si die sog. Qotieteregel z mere. Zm bessere Verstädis d zm Eiübe der Vorgeesweise olgt o ei Beispiel. Beispiel Wir bestimme d d ire Ableitge: N setze wir sere orete Ftioe i die Formel ei: No etwas ereiae d wir eralte sließli die Ftio i olgeder Form:. Die Qotieteregel Damit die Regel awedbar ist, setze wir oras, dass die Ftioe d a eiem Iterall I deiiert d a der etspreede Stelle I dierezierbar sid. Desweitere setze wir oras, dass. Die Ftio latet: Die Ableitg latet:

7 MATHEMATIK EXTRABLATT DHBW STUTTGART MATHEMATIK SEITE 7 VON Herleitg Zr Herleitg greie wir wieder a die -Metode zrü d mae olgede Asatz: N orme wir weiter m, idem wir de Hapteer bilde: N addiere wir a eie etwas trireiere Art im Zäler obe! Tri: Additio o! N eme wir o ei paar Umormge or, beor wir de Grezwert bilde. N bilde wir de Grezwert.

8 MATHEMATIK EXTRABLATT DHBW STUTTGART MATHEMATIK SEITE 8 VON As der letzte Zeile der erste Seite eralte wir olgede Formel: Damit abe wir so sere geste Formel eralte. Zm Abslss mae wir o eie leie Umbeeg:. Zm bessere Verstädis d zm Eiübe der Vorgeesweise olgt o ei Beispiel. Beispiel N bestimme wir d d ire Ableitge: 6 Setze wir alles i die Formel ei, so eralte wir: 6 Weiter mgeormt eralte wir: 9 6

9 MATHEMATIK EXTRABLATT. Die Ketteregel Damit die Regel awedbar ist, setze wir oras, dass die Ftioe d a eiem Iterall I deiiert d a der etspreede Stelle I bzw. I dierezierbar sid. Die Ftio latet: Die Ableitg latet: Herleitg Zr Herleitg greie wir ei letztes Mal a die -Metode zrü d mae olgede Asatz: N eme wir o ei paar Umormge or, beor wir de Grezwert bilde. Als erstes erse wir de Dierezeqotiete so mzorme, dass der Dierezeqotiet der iere Ftio a der Stelle atritt d der Dierezeqotiet der äßere Ftio a der Stelle. Daz setze wir: * d ** Diese beide Terme setze wir i sere Asgagsgleig ei. Dabei mltipliziere wir trirei mit. DHBW STUTTGART MATHEMATIK SEITE 9 VON

10 MATHEMATIK EXTRABLATT DHBW STUTTGART MATHEMATIK SEITE VON N stelle wir die Terme m: Asließed bilde wir de Grezwert. Na de Grezwertsätze gilt dabei olgeder Zsammeag: ab b a b a b a Amerg: Get gege, so get a die Gleig * d somit gege. Da stetig ist, gilt dieses Argmet. Wir eralte also die Formel om Aag: = äßere mal iere Ableitg Verürzt sreibt ma a ot: Zm bessere Verstädis d zm Eiübe der Vorgeesweise olgt o ei Beispiel. Beispiel si

11 MATHEMATIK EXTRABLATT N bestimme wir d d ire Ableitge: si os si Setze wir alles i die Formel ei, so eralte wir: os DHBW STUTTGART MATHEMATIK SEITE VON