Arbeitsplan Mathematik Qualifikationsphase Gymnasium am Wall, Verden/Aller Fassung vom Zuletzt geändert am

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1 Arbeitsplan Mathematik Qualifikationsphase Gymnasium am Wall, Verden/Aller Fassung vom Zuletzt geändert am / Kul Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Lernbereiche Von der Änderung zum Bestand Integralrechnung Wachstumsmodelle Exponentialfunktionen Kurvenanpassung Interpolation Raumanschauung und Koordinatisierung Analytische Geometrie/ Lineare Strukturen Mehrstufige Prozesse Matrizenrechnung Daten darstellenund auswerten BeschreibendeStatistik Mit dem Zufallrechnen Wahrscheinlichkeitsrechnung Daten beurteilen BeurteilendeStatistik Vorbemerkungen Ziel: Der vorliegende Arbeitsplan... legt eine Reihenfolge der zu unterrichtenden Lernbereiche fest liefert Anregungen für die eigene Unterrichtsgestaltung weist auf Materialien, die in der Schule oder auf iserv vorliegen, hin benennt die zu erlernenden CAS-Befehle und gibt auf die einzufordernde Dokumentation listet die Anzahl und Dauer der Klausuren in der Qualifikationsphase auf gibt zur Gewichtung der Notenpunkte Der Arbeitsplan soll laufend überprüft und ergänzt werden. Die fachbezogenen Kompetenzen finden sich (fast) sämtlich in den Lernbereichen, teilweise verkürzt oder vereinfacht, wieder. Es erscheint nützlich, dieses Dokument nach Lernbereichen zu ordnen. Die prozessbezogenen Kompetenzen lassen sich den Lernbereichen nicht explizit zuordnen und sollten daher unabhängig beachtet werden. Vielleicht ist es an einzelnen Stellen sinnvoll, die auf prozessbezogene Kompetenzen hinzuweisen, die durch bestimmte Aufgaben oder Materialien besonders gefördert werden. LautKonferenzbeschluss 1 wirddas KrümmungundWendepunkte aufdiejgst.10vorverlegt. Hinweis: Ab dem Zentralabitur 2017 werden einzelne Inhalte entfernt und dafür andere Inhalte hinzugefügt! Es ist unbedingt die Dateien des MK, in denen die Schwerpunkte für die Abiturprüfung erläutert werden zu beachten: 14Mathematik2017.pdf Nummerierung der Lernbereiche(Reihenfolge laut KC): 0. WiederholungsphaseDiffenrenzialrechnung 1. Integralrechnung 2. Wachstumsmodelle,Exponentialfunktion 3. Kurvenanpassung,Interpolation 4. Vektorgeometrie 5. Matrizenrechnung(Hinweis: Der Lernbereich entfällt ab dem Abitur 2017!) 1 Beschluss der Fachkonferenz Mathematik vom Abschnitt 1.0 Seite 1 von 16 Geändert am 6. August 2016

2 6. BeschreibendeStatistik 7. Wahrscheinlichkeitsrechnung 8. BeurteilendeStatistik Die Analysis-Bereiche sollen insgesamt eine etwa doppelt so große Unterrichtszeit umfassen wie die jeweiligen Bereiche Stochastik bzw. Vektoren/Matrizen. Lernbereiche Die Lernbereiche sollen in dieser Reihenfolge unterrichtet werden: Integralrechnung 3 Kurvenanpassung , 7, 8 Stochastik 2 Wachstumsmodelle(Einstieg) Wachstumsmodelle(Forts.) 4 Vektorgeometrie 12.2 reserviert für Erweiterungen und zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung Einheitliche Benennung der Kursthemen in den Zeugnissen Kursthemen wie folgt in den Zeugnissen benannt werden: 11.1 Integralrechnung und Kurvenanpassung 11.2 Stochastik(ggf. und Wachstumsmodelle) 12.1 Wachstumsmodelle, analytische Geometrie 12.2 Ausgewählte Themen zur Wiederholung und Vertiefung Laut Konferenzbeschluss 2 sollen die Klausuren Es gilt folgender Beschluss 3 für die Anzahl und Dauer der zu schreibenden Klausuren, sowohl für Kurse mit grundlegenden als auch mit erhöhtem Anforderungsniveau: 11.1 zweizweistündigeklausuren( Auflagenerfüller nur eineklausur) 11.2 eine zweistündige Klausur 12.1 eine Klausur nach Art und Dauer der Abiturprüfung bzw. zweistündig ( Auflagenerfüller ) 12.2 eine zweistündige Klausur Gewichtung der mündlichen/schriftlichen Leistungen Laut Konferenzbeschluss 4 bei einer Klausur: mündliche Leistungen zu 60%, schriftliche Leistungen zu 40% bei zwei Klausuren: mündliche und schriftliche Leistungen werden gleich stark gewichtet bei einer Klausur im kurzen Semester 12.2: mündliche und schriftliche Leistungen werden gleich stark gewichtet zur Dokumentation von CAS-Befehlen In der Regel müssen CAS-Befehle zusätzlich zum Ansatz notiert werden. Es wird per CAS:(Eingabe) liefert (Ergebnis) der Befehl so notiert, wie er in den Rechner eingegeben wurde, sowie die Ausgabe festgehalten. Bei Verwendung des 2D-Modus ist die Rechnereingabe manchmal identisch zur mathematischen Notation.In diesemfalle genügt es, das Ergebnisin der Form CAS liefert (Ergebnis) zu notieren. 2 Beschluss der Fachkonferenz Mathematik vom Beschluss der Fachkonferenz Mathematik vom ,ergänzt am (VorgabeneueVO-GO) 4 Beschluss der Fachkonferenz Mathematik vom Abschnitt 1.0 Seite 2 von 16 Geändert am 6. August 2016

3 Wird eine Gleichung mit einer Variable mittels solve() gelöst, genügt das Notieren der Gleichung und der Hinweis CAS: solve liefert (Ergebnis) Zusätzliche zum CAS-Einsatz finden sich teilweise auch in den Lernbereichen. Literatur und Quellen: Auf die folgenden Lehrbücher und Quellen wird u.a. Bezug genommen: [EdM ] Elemente der Mathematik 11/12 Gesamtband Niedersachsen, Schroedel Verlag 2009(eingeführtes Lehrbuch 5 ) [NW1 ] Mathematik Neue Wege Analysis II, Schroedel Verlag 2011 [NW2 ] Mathematik Neue Wege Lineare Algebra/ Analytische Geometrie, Schroedel Verlag 2011 [NW3 ] Mathematik Neue Wege Stochastik, Schroedel Verlag 2012 [BK ] Bigalke/Köhler: Mathematik Qualifikationsphase, Cornelsen-Verlag 2010 [Iserv ] hier:/dateien/gruppen/fg-mathematik/ [Roolfs ] lbs-gym/ 5 Beschluss der Fachkonferenz Mathematik vom Abschnitt 1.0 Seite 3 von 16 Geändert am 6. August 2016

4 2 Lernbereiche 2.1 Von der Änderung zum Bestand Integralrechnung Ausgehend von realitätsbezogenen Problemstellungen aus den Bereichen Zu-und Ablauf(Talsperre, Verkehrsströme), Geschwindigkeit Weg, Fahrtenschreiber wird eine Grundvorstellung vom Integralbegriff entwickelt. Das Integral wird als aus Änderungen rekonstruierter Bestand gedeutet, der über die Addition von Produkten u. a. zum Flächeninhalt führt. Anhand der grafischen Darstellung von Änderung und Bestand werden die Zusammenhänge entdeckt und argumentativ erklärt. Dabei wird der Bezug zum Vorwissen aus der Differenzialrechnung im Sinne von Rückwärtsarbeiten hergestellt und für die Mathematisierung genutzt. Die Berechnung von Integralen wird anhand ganzrationaler Funktionen entwickelt und mithilfe der eingeführten Technologie auf weitere Funktionen ausgedehnt. Im erhöhten Anforderungsniveau erfolgt neben einer formalen Betrachtung der Zusammenhänge und einer Präzisierung der Begriffe auch die Behandlung von Volumen von Rotationskörpern und Grenzwerten von Beständen und Flächeninhalten. Im [Iserv] befinden sich unter Unterrichtsmaterial in den entsprechenden Unterordnern Materialien zu den Lernbereichen. Abschnitt 2.1 Seite 4 von 16 Geändert am 6. August 2016

5 Rekonstruktion von Beständen Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren Stammfunktionen spezieller Funktionen Summen- und Faktorregel Unbestimmte Integrale Rechenregeln für bestimmte Integrale Integrale begrenzter Flächen Geometrische Begründung des Hauptsatzes Uneigentliche Integrale Volumen von Rotationskörpern Die Schülerinnen und Schüler deuten das bestimmte Integral als aus Änderungen rekonstruierter Bestand und als Flächeninhalt. Einstieg: [NW1] S. 140, 1) Der Zufluss liefert die Füllmengen. (Statt c): Beschreiben Sie, wie man aus dem Graphen der Bestandsfunktion den Graphen der Änderungsfunktion ermittelt und umgekehrt) [EdM] S. 84,85,86,1),2),3),6) Übungsphase: [NW1] S. 144, 145, 4), 6), 7), 8). Vorteilhaft: Die Übungsaufgaben sind zunächst ohne Verwendung des Integralbegriffs formuliert. [EdM] vgl. Einstiegsaufgaben,z.B.S. 100,101,4)6) 7)13) Integralbegriff: [EdM] S. 83,84 (Orientierter Flächeninhalt, geometrische Definition des Integrals Einstieg: [NW1] S. 148,16) 17) Erarbeitungsphase: Integralfunktionen und Hauptsatz [NW1]S. 150ff.;[EdM] S.96ff. Übungsphase (Integralfunktionen): [NW1]S. 153,154;[EdM] S.106,107 Gemeint sind e x, sin(x), x, x n, 1 x, welche auch händisch aufgeleitet werden sollen. Die SuS nutzen den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral zur Bestätigung von Stammfunktionen Die SuS berechnen unbestimmte Integrale mithilfe der Summen- und Faktorregel und wenden Rechengesetze für bestimmte Integrale an. b a f (x)dx+ c b f (x)dx = c a f (x)dx z.b. Physik: Aus v(t) wird per Integration entweder der Ort oder die zurückgelegte Strecke ermittelt. Die SuS begründen geometrisch anschaulich den Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung. Siehe[NW1] S. 154 Die SuS interpretieren uneigentliche Integrale als Grenzwerte sowohl von Beständen als auch von Flächeninhalten. Die SuS begründen die Volumenformel für Körper, die durch Rotation um die x- Achse entstehen. Einstieg z.b. Weizenbierglas, dort Regressionskurve erstellen und das Volumen durch Nachmessen überprüfen. Abschnitt 2.1 Seite 5 von 16 Geändert am 6. August 2016

6 2.2 Wachstumsmodelle Exponentialfunktionen Ausgehend von Beispielen aus den Bereichen Bevölkerungswachstum, stetige Verzinsung und radioaktiver Zerfall werden die bereits bekannten Wachstumsmodelle lineares, exponentielles und begrenztes Wachstum durch das Modell des logistischen Wachstums ergänzt. Der Vergleich und die Interpretation verschiedener Modelle eines Wachstumsprozesses lassen sich besonders einfach mit der Exponentialfunktion zur Basis e durchführen. Die e-funktion ermöglicht eine funktionale Beschreibung des logistischen Wachstums. Durch Verknüpfung der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen werden Möglichkeiten geschaffen, Wachstum auf vielfältige Art zu modellieren. Im erhöhten Anforderungsniveau werden an geeigneten Beispielen aus dem Bereich Wachstum die Zusammenhänge zwischen den entsprechenden Funktionen und ihren Ableitungsfunktionen aufgezeigt und interpretiert, wie sie sich in den dazugehörigen Differenzialgleichungen widerspiegeln. Material: Auf [Iserv] befindet sich unter Unterrichtsmaterial Wachstum eine ZIP-Datei mit Informationen zum Lernbereich Wachstum. CAS-Nutzung: Wertetabellen Arbeiten mit der Tabellenkalkulation Ableiten und Integrieren von Exponentialfunktionen Untersuchung von Grenzwerten(lim im 2D-Modus) Regressionskurven mit logistischem Wachstum Abschnitt 2.2 Seite 6 von 16 Geändert am 6. August 2016

7 e-funktion Begrenztes und logistisches Wachstum Verknüpfungen/Verkettung der e-funktion mit ganzrationalen Funktionen Produkt-, Quotientenund Kettenregel Bedeutung des Wendepunktes und des Krümmungsverhaltens Asymptotisches Verhalten(auch Polstellen) (max.) Definitionsbereich Angleichung an Daten durch Parametervariation Differenzialgleichungen (ohne Lösungsverfahren) und deren Deutung Funktionenscharen, insbes. e-funktion verknüpft mit ganzrationalen Funktionen PerCASErmittlungvonWertetabellenfür2 x und3 x unddiezugehörigen numerischen Ableitungen. Daraus f (x) = b x f (x) = k b x. Die Motivation, ein b zu finden, mit welchem k =1 wird, führt zur Eulerschen Zahl. Eine leicht nachvollziehbare Herleitung erfolgt in[edm] S Algebraischer Einstieg in [NW1] S Übungen (auch mit Integralen, Extremwertaufgaben, Modifikationen):[EdM] S Logarithmen nur kurz, um allgemeine Exponentialfunktionen a b x in a e k x zu überführen. Übungsaufgabe zur Anwendung[EdM] S. 158, 3) Einstieg in logistisches Wachstum bspw: Ausbreitung eines Gerüchtes [NW1], S en sollte parallel die Dgl einführen, aber ohne Lösungsverfahren. Erweiterungen (Vergiftetes Wachstum, Wachstum mit Giftabbau, Phasenkurve, Richtungsfeld) bei [Roolfs]. Idee: Cluster [Iserv] für die entsprechenden Wachstumsarten erstellen, z.b. als Plakate in arbeitsteiliger GA. Zahlreiche Aufgaben, auch mit Scharen, bietet [EdM], Kap Sollte auch ohne CAS eingeübt werden! [EdM] führt die Regeln erst nach den Wachstumsmodellen ein und schwenkt dann auf Kurven(scharen)untersuchungen um. Dadurch nur begrenzt Untermauerung von Aussagen bzgl. logistischem Wachstum möglich. Evtl. schon ganz am Anfang des s die Ableitungsregeln behandeln! (falls noch nicht in Jg. 10 behandelt) als Wiederholung. Bezug zum logistischen Wachstum. Polstellen: Hier leider eher abstrakte Beispiele im Buch [EdM]; man fasst sich sehr kurz (S. 199/200), allerdings im Zusammenhang mit der e- Funktion. Im [BK] nur gebrochen rationale Funktionen 6 mit Pseudo- Anwendungen. Sollte im Zusammenhang mit Definitionslücken erwähnt werden. Unter intensiver CAS-Nutzung ist eine Ermittlung der gesuchten Parameter per (L)GS-Solver leicht möglich. Besonderes Augenmerk gehört hier dem begrenzten Wachstum, da man die Differenz zur Schranke als exponentielle Abnahme modellieren muss. [EdM] steigt mit Dgl ein also im ea parallel einführen. Durch Ableiten der Dgl. ist elegantes Beweisen des Satzes zur maximalen Wachstumsgeschwindigkeitfür f (x)=0,5 S möglich. [EdM] bietet zahlreiche Beispiele, etwa S Kein Schwerpunktthema mehr, sogaraufder Streichliste Abschnitt 2.2 Seite 7 von 16 Geändert am 6. August 2016

8 2.3 Kurvenanpassung Interpolation Ausgehend von Beispielen aus den Bereichen Trassierung und Biegelinien werden ganzrationale Funktionen zu vorgegebenen Datenpunkten und/oder Eigenschaften bestimmt. Bei Modellierungen mit abschnittsweise definierten Funktionen sind darüber hinaus an den Übergängen Eigenschaften wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Übereinstimmung der zweiten Ableitungen als Bedingungen zu nutzen und im Kontext zu interpretieren. Die Zugänge zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit werden auf intuitivem Weg gefunden. Durch Regression gewonnene Funktionen werden zum Vergleich herangezogen. Je nach Anordnung der Lernbereiche kann bei der Beurteilung verschiedener Modellierungen auch ein Flächeninhaltsvergleich als Kriterium herangezogen werden. Der Stetigkeitsbegriff soll nicht mit Hilfe von Untersuchungen mit Folgen oder Umgebungen (ε δ- Umgebungen) auf Hochschulniveau erfolgen. Eine sehr ausführliche Darstellung dieser tik mit Reihenfolge der Unterthemen, Zeitplan, Beispielen, Aufgaben und n zu dem gesamten Lernbereich findet sich unter [IServ] Unterrichtsmaterial Kurvenanpassung Abschnitt 2.3 Seite 8 von 16 Geändert am 6. August 2016

9 Bestimmung von Funktionen aus gegebenen Eigenschaften Gauss- Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Stetigkeit / Differenzierbarkeit Abschnittsweise definierte Funktionen Funktionenscharen Es empfiehlt sich die Bearbeitung dieser Aufgabenstellung als sog. Steckbriefaufgabe (vgl. [EdM] S. 31): Formulierung der Bedingungen an die Funktion Festlegung eines allgemeinen Funktionsterms mit variablen Koeffizienten (ggf. spezialisiert wg. Symmetrieeigenschaften) Erstellen eines LGS aus den formulierten Bedingungen Lösendes LGS 7 Probe Wichtige (vgl. dazu [EdM] S. 33, Weiterführende Aufgaben) Notwendigkeit einer Probe WidersprüchlicheBedingungen Mehrere Funktionen als Lösung (Funktionenscharen, siehe Lernbereich 2-Wachstum ) Die Einführung des Gauss-Algorithmus erscheint an dieser Stelle nicht zwingend notwendig, da der ClassPad-Rechner eine direkte Eingabe und Auswertung der Bedingungsgleichungen mit Hilfe des 2D-solve-Befehls erlaubt. Als Beispiele siehe unter[iserv]: ClassPad Analysis Beispiel zur Bestimmung ganzrationaler Funktionen mit gegebenen Eigenschaften mit Hilfe des ClassPad-Rechners Es entfällt damit die Aufstellung einer Koeffizientenmatrix und deren Umwandlung in Diagonalform mit Hilfe des rref-befehls. Die Arbeitsgruppe war sich einig, dass sich eine detaillierte Behandlung von linearen Gleichungssystemen und deren Lösungsverfahren im Rahmen des Lernbereichs 5 Matrizen anbietet. DASU-Symposium Nr. 30, S. 10 Hier stellt man fest, dass Stetigkeit und Differenzierbarkeit nur im Kontext mit der Analyse und Synthese von abschnittsweise definierten Funktionen unter den Kompetenzen auftritt:... Lernbereich Kurvenanpassung(s.o.), S. 1/24 Es genügt ein intuitiverzugang zur Stetigkeit( sprungfrei )und Differenzierbarkeit ( knickfrei ). Eine formale Untersuchung unter Nutzung eines Grenz- werts ist nicht notwendig. Exakte Definition dieser Begriffe (mit Hilfe von Grenzwerten) z.b. in [EdM], S. 58 ff. Beispiele von Graphen abschnittsweise definierter Funktionen und deren Ableitungsfunktionen z.b. in DASU-Symposium Nr. 30, S.9, Folie 3 Ein Beispiel zur Eingabe von abschnittsweise definierten Funktionen (hier im Zusammenhang mit Integralfunktionen) findet sich unter [Iserv] ClassPad Analysis Beispiel zur Bestimmung einer Integralfunktion mit Hilfe von Zerlegungssummen DASU-Symposium Nr. 30, S. 10: Funktionenscharen sind für Kurse auf grundlegendem Anforderungsniveau auf ganzrationale Funktionen beschränkt:... Für Kurse auf erhöhtem Niveau sind explizit auch Funktionenscharen im Zusammenhang mit der e-funktion angeführt. Beispiele unter [Iserv]: ClassPad Analysis Beispiel zur Untersuchung einer Funktionenschar mit Hilfe des ClassPad-Rechners und ClassPad Analysis Bearbeitung einer Aufgabe im Zusammenhang mit einer Schar von (natürlichen) Exponentialfunktionen 7 vgl. dazudie Bemerkungen zugauss-algorithmus, s.u. Abschnitt 2.3 Seite 9 von 16 Geändert am 6. August 2016

10 2.4 Raumanschauung und Koordinatisierung Analytische Geometrie / Lineare Strukturen Ausgehend von der zeichnerischen Darstellung von Körpern werden der Nutzen und die Bedeutung des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems für die Orientierung im Raum erkannt. Durch die Einführung des Vektorbegriffs werden geometrische Zusammenhänge algebraisiert. Dabei besitzen die Parameterformen von Geraden- und Ebenengleichungen eine grundlegende Bedeutung bei der Untersuchung von Lagebeziehungen und der Bestimmung von Schnittmengen. Das Skalarprodukt und seine geometrische Deutung ermöglichen metrische Betrachtungen und Berechnungen. Eine Stationenarbeit zum findet sich unter [IServ] Unterrichtsmaterial Vektorgeometrie Hinweis: Ab dem Zentralabitur kommen Inhalte dazu(normalenform, Koordinatengleichung). Bitte dazu die des MK zum Zentralabitur 2017(und folgende) beachten! Punkte im Raum Darstellungen im kartesischen Koordinatensystem/ Schrägbilder Vektoren im Anschauungsraum Rechengesetze für Vektoren, Kollinearität zweier Vektoren Parametergleichungen von Gerade und Ebene Lagebeziehungen und Schnittpunkte (Gerade-Gerade, Ebene-Gerade) Skalarprodukt Längen von Strecken und Größen von Winkeln zwischen Vektoren Schnittmengen von Ebenen siehe Stationenarbeit siehe Stationenarbeit siehe Stationenarbeit siehe Stationenarbeit Abschnitt 2.4 Seite 10 von 16 Geändert am 6. August 2016

11 2.5 Mehrstufige Prozesse Matrizenrechnung Hinweis: Dieser Lernbereich entfällt ab dem Zentralabitur 2017! Bitte dazu die des MK zum Zentralabitur 2017(und folgende) beachten! Ausgehend von Problemstellungen aus dem Bereich der Materialverflechtung werden mehrstufige Prozesse durch Darstellung in Matrizenform strukturiert. In diesem Zusammenhang werden die Rechengesetze für Matrizen einschließlich inverser Matrizen behandelt. Die Behandlung von Problemen zum Käufer-und Wahlverhalten eröffnet eine weitere Sichtweise auf Matrizen, indem sich wiederholende Prozesse hinsichtlich einer Langzeitprognose analysiert werden. Auf erhöhtem Anforderungsniveau führen Anwendungen aus dem Bereich der Populationsentwicklung auch zur Betrachtung zyklischer Prozesse. Eine mögliche Einführung in Materialverflechtung (arbeitsteilige Gruppenarbeit) ist im entsprechenden [Iserv]-Ordner als PDF-Doukument verfügbar: Unterrichtsmaterial Matrizen Matrizen und Prozessdiagramme zur Darstellung von Daten ist nach Aussage des Fachberaters Hellberg kein Das Entdecken von Matrizen und Prozessdiagrammen zur strukturierten strukturierten Darstellung von Daten gesetzen für Matrizen verknüpft ausreichendeslernziel für die Oberstufe und muss deshalb mit Rechen- werden. Rechengesetze für Matrizen:A+B,A B,r A, A B, A 1, A n Grenzmatrix und Fixvektor im Sachzusammenhang mit Käuferund Wahlverhalten Populationsentwicklung Zyklische Prozesse (und deren Interpretation im Sachzusammenhang) Die genannten Einstiegsbeispiele ermöglichen es der Lerngruppe die nebenstehenden Rechengesetze und auch das Matrizen und Prozessdiagramme zur strukturierten Darstellung von Daten selbstständig zu erarbeiten. Der Anwendungsbezug Materialverflechtung wird hierbei gewählt. Einstiegsaufgabe1): Matrizen im Abitur 2010und 2011mit dem CASIO CLASSPAD 330 von Siegfried Weiß, S.4. Einstiegsaufgabe2)[NW2]S Aufgabe Gemüseverkauf und Lagerhaltung. Übungsaufgaben:[NW2] S.152 Aufgabe 5, S. 155 Aufgabe 13 und 15 Multiplikation von Matrizen:[NW2] S. 158 Aufgabe 20 und 21. Inverse:[NW2]S. 162Aufgabe 30 rückwärts denken. Im Zusammenhang mit der Inversen bietet sich das Chiffrieren von Nachrichten an. Beispiele:[BK] S Übung 1-3. Zu A n :[NW] S.167Aufgabe 2 Mittagessenim italienischenrestaurant MatrizenimAbitur2010und2011mitdemCASIOCLASSPAD330 von SiegfriedWeiß,S. 9und 10Aufgabenbeispiel Käuferverhalten. Fokus Mathematik, S.359 Auftrag 3 Landflucht oder S. 358 Auftrag 1 Diffusion. Matrizen im Abitur 2010 und 2011 mit dem CASIO CLASSPAD 330 von Siegfried Weiß, S Beispielaufgabe Populationsentwicklung/zyklische Matrizen Fokus Mathematik, S.368 Auftrag 1 Ein Wald, Auftrag 2 Bevölkerungsentwicklung,oder Auftrag3 Kaninchenvermehrung Matrizen im Abitur 2010 und 2011 mit dem CASIO CLASSPAD 330 von Siegfried Weiß, S Beispielaufgabe Populationsentwicklung/zyklische Matrizen FokusMathematik,S.358Auftrag2 Maikäfer Abschnitt 2.5 Seite 11 von 16 Geändert am 6. August 2016

12 2.6 Daten darstellen und auswerten Beschreibende Statistik Ausgehend von Daten zu Sachkontexten wie z. B. Lebenserwartung von Männern und Frauen, Reaktionstest werden zu deren Vergleich als Kenngrößen das arithmetische Mittel und die empirische Standardabweichungs n erarbeitet.dabeisinddiedarstellungderdatenineinemhistogrammundder Einsatz der eingeführten Technologie wichtige Hilfsmittel. Histogramm (sowohl für Häufigkeiten als auch für Wahrscheinlichkeiten) Mögliche Zugänge: Reaktionstest (Partnerarbeit): Eine Person hält ein Lineal (Null nach unten)andiewand,2.personhatzubeginndendaumenüberdernull undstopptdaslineal,sobaldesfällt.ausderlagesdesdaumenslässt sich die Reaktionszeit per t = s/4,905 bestimmen (vgl. [EdM] S. 354 (1)). Ein vorbereiteter Aufkleber für Lineale zum direktem Ablesen der Reaktionszeit kann bei [IServ] heruntergeladen werden. Datenaufnahme(Gruppenarbeit): Name, Körpergröße, Schuhgröße Das händische Zeichnen von Histogrammen sollte unbedingt eingeübt werden. Im Casio ClassPad unterscheiden sich die Histogramme je nach Programm: Tabellenkalkulation: Die Histogramm-Erstellung erfolgt weitgehend automatisiert, auch die Wahl der Klassenbreiten. Die Tabellenkalkulation eignet sich damit für die schnelle Visualisierung von Daten. Statistik-Editor: Hier sind mehr Einstellungen (zugrunde liegende Häufigkeiten, Intervallbreite, Startwert) möglich. Ein sinnvoller H- Start-Wert ist 0,5. (empirische) Standardabweichung Aufgenommene Daten können im CAS weiterverarbeitet werden. Unter Calc: mit mean(), median(), mode(), stdev(), variance() können experimentell die Kenngrößen von Daten untersucht werden (Tabellenkalkulation). Im Statistik-Editor erscheinen alle Kenngrößen auf einen Blick( Eindim.Variable ).Vgl. [EdM] S.362unten.Im CAS ist σ X =s. s X als erwartungstreuer Schätzer wird nicht benötigt. Übungen:[EdM] S.363Aufgaben 1 und 2. Zum Interpretieren und Nutzen der Histogramme und Kenngrößen eignen sich eher die Aufgaben aus dem Klausurtraining,[EdM] S. 375/376. ZurTabelle Name-Körpergröße-Schuhgröße istdieerweiterung Regression ([EdM] S. 365ff) möglich. Eine vorbereitete Excel-Tabelle ist unter[iserv] verfügbar. Nachtrag(Abitur 2012, Kul): Es hat sich in mehreren Kursen gezeigt, dass viele Schüler in der Prüfungssituation versucht haben, die Kenngrößen manuell zu bestimmen. Dies lässt den Schluss zu, dass eine gründliche Einübung, auch wenn es sich nur um Eintippen von Daten und einen Knopfdruck ( Eindim.Variable )handelt,sinnvollund nötig ist. Abschnitt 2.6 Seite 12 von 16 Geändert am 6. August 2016

13 2.7 Mit dem Zufall rechnen Wahrscheinlichkeitsrechnung Ausgehend von Zufallsexperimenten werden Möglichkeiten zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten betrachtet. Durch Zufallsgrößen werden Ergebnismengen strukturiert. Die bekannten Kenngrößen für Häufigkeitsverteilungen werden aufgegriffen, auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen übertragen und führen zum Erwartungswert µ und zur Standardabweichung σ. Die Bernoulli-Kette dient als ein Modell zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Umgekehrt lassen sich zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit nur von σ abhängige Umgebungen um den Erwartungswert bestimmen. Im erhöhten Anforderungsniveau werden diskrete von stetigen Zufallsgrößen abgegrenzt und die Normalverteilung als ein Beispiel für eine stetige Verteilung verwendet. Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge Zufallsgröße (als Funktion) und deren grafische Darstellung Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert und Standardabweichung (einer binomialverteilten Zufallsgröße) Eine Wiederholung dieser Begriffe und der Regeln für Zufallsversuche (Laplace- und Nicht-Laplace-Versuche) erscheint notwendig, da die Behandlung in der Sek. I teilweise weit zurückliegt. Mögliches Vorgehen dabei z.b: gemäß[edm] S Definition einer Zufallsgröße und Beispiele u.a. in: Strick, Einführung in die Beurteilende Statistik(2008), S. 41f. Beispiele: (1) Augensumme beim zweifachen Würfeln; (2) Anzahl der richtigentipps beim Lotto 6 aus49 Grafische Darstellung als Punkte-Plot mit dem ClassPad. Einführung und Beispiele s.o. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung - durch Zählen der zugehörigen Ergebnisse(vgl. Beispiel(1)) - durch Berechnung mit Hilfe einer Formel(vgl. Beispiel(2)). Grafische Darstellung als Histogramm mit dem ClassPad. Zum besseren Verständnis dieser Begriffe erscheint es sinnvoll, vor der Behandlung binomialverteilter Zufallsgrößen zunächst Berechnungen für nicht binomialverteilte Zufallsgrößen von Hand z.b. unter Verwendung von Tabellen mit den folgenden Spalten a i P(X =a i ) a i P(X =a i ) (a i µ) 2 P(X =a i ) durchzuführen, ggf. auch unter Verwendung einer Tabellenkalkulation. Beispiele hierzu finden sich u.a. in [IServ]: ClassPad Stochastik Erwartungswert einer Zufallsgröße oder auch in FINALE Prüfungstraining, Zentralabitur Nds. 2012, Mathematik, S. 100, Bsp. 1 (Augensumme beim doppelten Hexaederwurf) Bsp. 2 (Anzahl der notwendigen Ziehungen, bis zu zwei grüne Kugeln aus einer Urne mit drei roten und zwei grünen ohne Zurücklegen gezogen sind) Geeigenet erscheinen hier auch Glücksspiele (z.b. Glücksräder) mit unterschiedlichen Gewinnauszahlungen für bestimmte Ergebnisse. Für binomialverteilte Zufallsgrößen erscheint eine Betrachtung von µ und σ erst nach Behandlung des nachfolgenden Abschnittes sinnvoll, wobei die Herleitung der hier entsprechenden einfachen Formeln aus der allgemeinen Formel mit aufwändigen Termumformungen verbunden und daher allenfalls für en-kurse relevant ist. Für n = 1,2,3 und 4 lässt sich aber der Erwartungswert einer Binomialverteilung vergleichsweise einfach berechnen und die allgemeine Formel daraus vermuten. Abschnitt 2.7 Seite 13 von 16 Geändert am 6. August 2016

14 Bernoulli-Kette Zu den Begriffen Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette, Binomialkoeffizienten und Bernoulli-Formel, Binomialverteilung der Zufallsgröße X: An- und Binomialverteilung: Rechnen, zahl der Erfolge sowie zum Berechnen von Einzel- und Intervallwahrscheinlichkeiten finden sich geeignete Beispiele und Ausführungen in allen gängi- anwenden, darstellegen Lehrbüchern (z.b.[edm] S. 391ff.) Besonders hilfreich erscheinen hier die mit Geogebra von C. Wolfseher erstellten interaktiven Arbeitsblätter, bei denen durch das Arbeiten mit Schiebereglern der Einfluss einer Parameteränderung auf die Histogrammdarstellung visuell sehr gut vermittelt wird(vgl. [Iserv]-Ordner(binom-norm)) Zur Verwendung des ClassPad-Rechners finden sich Beispiel in [IServ]: ClassPad Stochastik Berechnung von Binomialverteilungen mit dem ClassPad-Rechner σ-umgebungen Unter Beachtung der Laplace-Bedingung (σ > 3) lassen sich die sog. Sigma- Regeln zur näherungsweisen Betrachtung von symmetrischen Intervallen um den Erwartungswert verwenden. Da diese Regeln sich aus den entsprechenden Betrachtungen zur Normalverteilung ableiten, können sie an dieser Stelle ggf. nur exemplarisch(evtl. dann arbeitsteilig) verifiziert werden(vgl. z.b. Strick, Einführung in die Beurteilende Statistik(2008), S. 72f.). Zur Berechnung von σ-umgebungen mit dem ClassPad-Rechner lassen sich einfache Funktionen definieren, z.b.[iserv] ClassPad Stochastik Berechnung von σ-umgebungen bei Binomialverteilungen Anwendungen,wie z.b. Mindest- und Höchstzahl von Erfolgen führen auf Ungleichungen, die mit dem ClassPad-Rechner exakt (mit z.t. extrem langen Rechenzeiten!), näherungsweise oder grafisch gelöst werden können, vgl. hierzu[iserv] ClassPad Stochastik Mindest- bzw. Höchstzahl von Erfolgen bei Binomialverteilungen Stetige Zufallsgrößetiger Zufallsgrößen befindet sich z.b. in[iserv] Eine an Clauß/Ebner, Grundlagen der Statistik, angelehnte Einführung ste- ClassPad Stochastik Stetige Zufallsgrößen und Dichtefunktionen Zur standardisierten Dichtefunktion ist ebenfalls in [IServ] bei den bereits oben erwähnten Geogebra-Dateien von C. Wolfseher(siehe binom-norm.zip) die Datei Standardisierte Dichtefunktion ϕ zu finden, bei der die erforderlichen Transformationen sehr anschaulich mit Schiebereglern visualisiert werden. Geeignete Aufgaben zu stetigen Verteilungen und zu Dichtefunktionen findet man z.b. bei [Roolfs]. Normalverteilung z.b.[edm] S. 454ff. gegeben. Eine Einführung und Aufgabenmaterial ist in allen gängigen Lehrbüchern, Zur Normalverteilung und zur Approximation von Binomialverteilungen unter Verwendung des ClassPad-Rechners steht unter[iserv]: ClassPad Stochastik Normalverteilungen und Approximation einer Binomialverteilung durch eine Gauß sche Normalverteilung Bei den Geogebra-Arbeitsblättern von C. Wolfseher (s.o., binom-norm.zip) sind die folgenden teilweise dynamischen Dateien sehr informativ: - Integrale Näherungsformel von de Moivre-Laplace - Gaußsche Integralfunktion Φ - Lokale Näherungsfunktion Für das arbeitsteilige Bearbeiten der Geogebra-Dateien in Gruppen liegt eine vorbereitete PDF-Datei(GA-Standardisierung.PDF) auf[iserv]. Eine kurze Einführung zur Normalverteilung und Aufgaben dazu finden sich auch bei[roolfs]. Abschnitt 2.7 Seite 14 von 16 Geändert am 6. August 2016

15 2.8 Daten beurteilen Beurteilende Statistik Ausgehend von Stichproben wird das Modell der Bernoulli-Kette genutzt, um für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit Vertrauensintervalle zu bestimmen. Während im grundlegenden Anforderungsniveau konkrete Vertrauenswahrscheinlichkeiten(90%, 95%, 99%) vorgegeben sind, erfolgt im erhöhten Anforderungsniveau mithilfe der Normalverteilung eine Bestimmung für beliebige Vertrauenswahrscheinlichkeiten. Abschnitt 2.8 Seite 15 von 16 Geändert am 6. August 2016

16 Grundgesamtheit Repräsentative Stichprobe Bestimmung von Schätzwerten für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit Vertrauensintervalle zu konkreten (bzw. beliebigen) Vertrauenswahrscheinlichkeiten vgl. dazu z.b. Strick, Einführung in die Beurteilende Statistik (2008) S. 13 und S.102ff. Aufgabentyp: Schlussvonder Stichprobe aufdie Gesamtheit Fragestellung: Welche Erfolgswahrscheinlichkeit liegt dem Stichprobenergebnis zugrunde? Punktschätzung: relative Häufigkeit oder Intervallschätzung: Konfidenzintervall Zur Bestimmung von Konfidenzintervallen durch Näherung mit den σ- Regeln finden sich sehr ausführliche Darstellungen in: DASU, Symposium Nr. 32. Wichtig erscheint besonders der dortige Hinweis auf S. 43 hinsichtlich einer möglichen (und häufig auch auftretenden) Fehlinterpretation der Konfidenzintervalle. Es gilt demnach nicht: DieunbekannteWahrscheinlichkeitp liegtmitderwahrscheinlichkeit1 α im ermittelten Konfidenzintervall. Die Wahrscheinlichkeit p ist zwar unbekannt, aber keine Zufallsgröße, wohingegen die Grenzen des Konfidenzintervalls durch den zufälligen Schätzwert h Zufallsgrößen sind. Eine korrekte mögliche Interpretation ist demnach z.b. Ermittelt man viele Stichproben, so erwartet man für einen Anteil 1-α der Fälle, dass der wahre aber unbekannte Parameter p von den Intervallen überdeckt wird. Weitere Ausführungen zum Konfidenzintervall mit Arbeitsblättern und Geogebra-Dateien von R. Vehling finden sich auf [IServ]. Die Berechnung des Konfidenzintervallsmit dem ClassPadRechner kann mit Hilfe des solve-befehls, mit der Anwendung Numerische Lösung oder auch grafisch erfolgen, vgl. auf [IServ] ClassPad Stochastik Konfidenzintervalle bei Binomialverteilungen Die auch hier mögliche Definition einfacher Funktionen zur Berechnung der Näherungslösung ist dagegen nicht sinnvoll, da der ClassPad eine rechnereigene Funktion für diesen Fall bietet, der diese Näherung zu Grunde liegt, vgl. auf[iserv] ClassPad Stochastik Berechnung von Konfidenzintervallen mit Rechnerfunktionen Als einfache, allen Schülerinnen und Schülern bekannte Anwendungen bieten sich z.b. Wahlumfragen an. Datenmaterial dazu findet sich außer in Lehrbüchern (meist wenig aktuell) vor allem in den Printmedien. In Kursen mit grundlegendem Niveau sind lediglich Vertrauenswahrscheinlichkeiten von 90%, 95% und 99% zu betrachten. Die zugehörigen σ- Umgebungen sind den Formelsammlungen zu entnehmen oder ggf. auswendig zu lernen. Eine Vorgabe in den Klausuren erfolgt in der Regel nicht (Erfahrung Zentralabitur 2012, ga CAS) In Kursen mit erhöhtem Niveau lassen sich mit Hilfe der Normalverteilung Intervalle zu beliebigen Vertrauenswahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Bei Verwendung des ClassPad-Rechners lässt sich das Quantil der Ordnung 1 α 2 durch deninvnorm()-befehlbestimmen,vgl.auf [IServ] ClassPad Stochastik Berechnung von Konfidenzintervallen mit Rechnerfunktionen Abschnitt 2.8 Seite 16 von 16 Geändert am 6. August 2016