Geometrierepräsentation

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1 Geometrierepräsentation Forderungen an Repräsentationsform: 1. mächtig (eine sinnvolle Menge von Objekten modellierbar) 2. eindeutig (es muß klar sein, was repräsentiert wird) H E D A F G C B Punkte, Linien, Flächen oder Volumen? Beschreibung des Volumens z.b. durch: Punkte: A = (0,0,0), B =(1,0,0)... Linien: AB, BC,... Flächen: (AB, BC, CD, DA),... jeder Körper hat genau eine Darstellung Oliver Deussen Modellierung 1

2 3. genau (Objekt wird ohne Approximation dargestellt) 4. effizient (Darstellung, Speicherplatz) 5. abgeschlossen (Transformationen, Boolschen Mengenoperationen) außerdem: unmöglich, eine ungültige Repräsentation herzustellen einfach, eine gültige Repräsentation herzustellen Oliver Deussen Modellierung 2

3 Mengenoperationen mit Volumina für alle Repräsentationsformen: Kombination ist erwünscht Boolsche Mengenoperationen B A (a) (b) (c) (d) (e) (a) Objekte A und B (b) A B (c) A B (d) A - B (e) B - A (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Oliver Deussen Modellierung 3

4 Ergebnis bei konventionellen Mengenoperationen: Volumen, Flächen, Strecken oder Punkte Regularisierte Boolsche Operationen:,, (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Ergebnis regularisierter Mengenoperationen: immer Volumina Oliver Deussen Modellierung 4

5 jedes Objekt besteht aus: Oberflächenpunkten: Punkte mit Entfernung Null zu Objekt und Objektkomplement inneren Punkten: alle anderen Punkte des Objektes (Komplement zu Oberflächenpunkten bzgl. Objekt) Punkte gehören nicht unbedingt zum Objekt (wenn offen ) Regularisierung: Bilde Hülle der inneren Punkte eines Objektes (Hülle: Vereinigung aller Oberflächenpunkte mit den inneren Punkten) Objekt wird geschlossen Oliver Deussen Modellierung 5

6 (a) (b) (c) (d) (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Definition: Regularisierte Boolsche Operation A op B = Hülle (Inneres (A op B)) Oliver Deussen Modellierung 6

7 (a) (b) A B CD AB C D (c) (d) (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Oliver Deussen Modellierung 7

8 Constructive Solid Geometry (CSG) Herstellung komplexer Volumina über regularisierte Boolsche Operationen Primitive: geometrische Grundobjekte (Pyramide, Quader, Kugel, etc.) komplexes Objekt wird über Baum beschrieben 1. Knoten beschreiben Verknüpfung der Nachfolger (repräsentieren Teilobjekte) 2. pro Knoten zwei Nachfolger Oliver Deussen Modellierung 8

9 U* * * (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Oliver Deussen Modellierung 9

10 Objekte sind nicht eindeutig (mehrere mögliche Bäume für ein Objekt) gute Editierbarkeit, weite Verbreitung Darstellung über Strahlverfahren (Raytracing) 3D-Mengenoperationen 1D-Mengenoperationen (Intervalle) Seien A, B Objekte und I A, I B Intervalle auf Strahl innerhalb der Objekte für A op B gilt: resultierendes Intervall: I A op I B Konstruktion der endgültigen Oberfläche aufwendig Oliver Deussen Modellierung 10

11 Instanzierung weitere erwünschte Eigenschaft von Repräsentationsformen: Primitive werden einmal spezifiziert, um dann an verschiedenen Stellen eingesetzt zu werden Parametrisierte Primitive sinnvoll (Beispiel: Varianten CAD) Generierungsalgorithmus notwendig Beispiele: Schraube wird durch Länge spezifiziert Algorithmus erzeugt Geometrie (Gewinde, Kopf) Oliver Deussen Modellierung 11

12 l l Zahnrad wird durch mehrere Parameter beschrieben Gear Gear (a) Diam = 4.3 Hub = 2.0 Thickness = 0.5 Teeth = 12 Hole = 0.3 (b) Diam = 6.0 Hub = 1.0 Thickness = 0.4 Teeth = 18 Hole = 0.3 Zusätzlich: Definitionsmöglichkeit von Gruppen sinnvoll Oliver Deussen Modellierung 12

13 Sweep-Körper Objekt wird durch ein Flächenelement und eine Transformationsvorschrift definiert (generalisierte Zylinder) Probleme: 1. Kurve führt zu Selbstüberschneidung (Volumen?) 2. kein Volumen spezifiziert (Kurve in Flächenebene) 3. Boolsche Operationen schwer anwendbar (Menge nicht abgeschlossen) Oliver Deussen Modellierung 13

14 Oberflächenbeschreibungen (b-rep) Objekt wird über Oberfläche beschrieben Beispiele: polygonale Oberfläche (Punkte, Kanten, Flächenstücke) Patches (Punkte, Kanten, gekrümmte Flächen) oftmals gefordert: 2-Mannigfaltigkeiten jeder Punkt auf Oberfläche hat Umgebung, die topologisch äquivalent zu einer Kreisscheibe ist Oliver Deussen Modellierung 14

15 (a) (b) (c) (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) in (c) keine 2-Mannigfaltigkeit, da die Umgebung nicht auf eine Kreisscheibe abgebildet werden kann Problem: ineffizient bei hoher Genauigkeit (Bsp: Kugel) numerische Probleme (Überschneidungen, Selbstdurchdringungen) b-reps generell: abgeschlossen bzgl. Boolscher Operationen (aber nicht, wenn 2-Mannigfaltigkeit vorausgesetzt wird) Oliver Deussen Modellierung 15

16 Winged-Edge-Repräsentation Datenstruktur zur Speicherung von b-reps E1 E4 V2 E5 F1 E1 F2 E2 V1 E3 V1 V2 E1 E2 E3 E4 E5... F1 F2... Oliver Deussen Modellierung 16

17 Kante zeigt auf: angrenzende Knoten (V1, V2) angrenzende Flächen (F1, F2) angrenzende Kanten (E2, E3, E4, E5) nur Objekte ohne Löcher werden beschrieben effizienter Zugriff auf Nachbarschaft (Flächen, Kanten, Knoten) Oliver Deussen Modellierung 17

18 Oberflächenbeschreibung aus Freiformflächen anstelle ebener Flächenstücke werden gekrümmte verwendet glatte Flächen und Übergänge sind besonders interessant bessere Approximation einer gegebenen Fläche durch Funktion höheren Grades (typisch: kubische Funktionen) Oliver Deussen Modellierung 18

19 Flächen nun u und v als Parameter: x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) x(u, v) = 4 i,j=1 a ij u i v j einfachere Beschreibung: Tensorprodukt-Flächen x(u,v) = g(u) f(v) kubische Funktionen bikubische Flächen Oliver Deussen Modellierung 19

20 Patch mit Kontrollpunkten: P 21 P 11 P 12 P 31 P 22 P 32 P 23 P 13 P 41 P 42 P 33 P 24 P 14 P 34 P 43 P 44 (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Oliver Deussen Modellierung 20

21 Zwei angrenzende Patches: P 11 P 21 P 31 P 32 P 22 P 23 P 12 P 13 P 24 P 14 P 15 P 16 P 41 P 42 P 33 P 43 P 34 P 35 P 25 P 36 P 26 P27 P 37 P 17 Common edge P 44 P 47 P 45 P 46 (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Oliver Deussen Modellierung 21

22 Darstellung über räumliche Zerlegungen Objekt wird als Menge angrenzender, nicht schneidender Objekte dargestellt (z.b. Würfel, Pyramiden) oft verwendet: cell-decomposition (Aufteilung in Zellen); komplexe Objekte: Menge nicht schneidender Zellen (a) (b) (c) (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) nicht eindeutig Oliver Deussen Modellierung 22

23 Spezialfall: Volumenenumeration Zerlegung in identische Zellen in festem Gitter Zelltyp: Kubus gesteuert wird nur An- oder Abwesenheit einzelner Zellen an jeder Position im Gitter (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Oliver Deussen Modellierung 23

24 Quadtrees, Octrees hierarchische Variante der Volumenenumeration ( divide and conquer ) Baum repräsentiert Modell Knoten: Zelle mit Zustand (E=Leer, F=Voll, P=teilweise voll) Kanten: Teilbereiche der Zelle Objekt mit Zellaufteilung: (a) uniform,(b) hierachisch (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Oliver Deussen Modellierung 24

25 Quadrant numbering P 0 1 P P 2 3 P F F P P E P E F P F F P P F F E E F E F E F E F F F E F E F E F F F F F E (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Oliver Deussen Modellierung 25

26 Boolsche Operationen durch Baumsuche wichtige Operation: Nachbarschaft bestimmen (ebenfalls Baumsuche) (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Oliver Deussen Modellierung 26

27 BSP-Trees (Binary Space Partition) Raum wird rekursiv zweigeteilt; aber entlang beliebiger Ebenen (Quad-/Octrees Ebenen parallel oder senkrecht) jeder Knoten repräsentiert Ebene; die beiden Nachfolger die beiden Raumteile Vorteil: effiziente Innen-/Außenbestimmung Problem: BSP-Tree stark abhängig von Reihenfolge der angegebenen Ebenen (z.b. bei Konvertierung b-rep BSP) Oliver Deussen Modellierung 27

28 f a c e b h (a) i d j g k in a b j c e k out d out f g in out out in out h out in i in out (b) (aus Foley et al. : Computer Graphics, Principles and Practice ) Oliver Deussen Modellierung 28

29 Vergleich der Repräsentationen Anforderungen (siehe Anfang des Kapitels): Genauigkeit: Raumunterteilung und b-rep nur Approximation für viele Anwendungen okay in der Computergraphik manchmal problematisch CSG für high-quality (CAD) Mächtigkeit: Sweep-Körper nur begrenzt Raumunterteilung, b-rep mit Freiformflächen mächtiger (Problem: Systeme erlauben oft nur 2-Mannigfaltigkeiten) Oliver Deussen Modellierung 29

30 Eindeutigkeit: nur Octrees und Volumenenumeration eindeutig Eindeutigkeit aber oft nicht so wichtig Abgeschlossenheit: Sweep-Körper nicht abgeschlossen b-rep ebenfalls nicht, aber Probleme können vermieden werden (z.b. 2-Mannigfaltigkeit nicht fordern) Effizienz, Kompaktheit: CSG kompakt; Boolsche Operationen schnell anwendbar Modell muß weiterverarbeitet werden, um Oberfläche zu bestimmen (ebenso Octrees, BSP-Trees) b-rep: effiziente Darstellung, viel Speicherplatz nötig, langsame Boolsche Operationen Oliver Deussen Modellierung 30

31 Rekonstruktionsverfahren Problemstellung: Gegeben: Gesucht: Menge von Meßwerten 3D-Geometrie Einzelne Probleme - Oberfläche aus regelmäßigen Punktmengen (3D-Scanning) - Oberfläche aus Konturdaten (z.b. Medizin Tomographie) - interaktive Skizzierung von Oberflächen bzw. von Kurven Oliver Deussen Modellierung 31

32 Rekonstruktion aus Punktdaten Unterscheidung der Verfahren in volumenorientiert Zerlegung der konvexen Hülle des Objektes in Tetraeder flächenorientiert arbeitet meist auf Dreiecken oder B-Spline-Flächen keine Unterscheidung zwischen offenen und geschlossenen Körpern Oliver Deussen Modellierung 32

33 Volumenorientierte Verfahren α - Shapes Objekt (bzw. konvexe Hülle des Objektes) wird in Tetraeder zerlegt jeder Tetraeder, der größer als eine vorgegebene Kugel ist, wird gelöscht aus allen übrigen Tetraedern wird Oberfläche errechnet Problem: finde geeignetes α (Durchmesser der Kugel) Oliver Deussen Modellierung 33

34 S S 727 S 1866 S 3389 aus Mücke, Edelsbrunner, TOG Vol.13(1), 1994 Oliver Deussen Modellierung 34

35 Oberflächenorientierte Verfahren Unterscheidung in implizite Methoden finde Funktion f: R 3 R, so daß Meßwerte nahe den Nullstellen von f liegen parametrische Methoden finde Funktionen x(u,v), y(u,v), z(u,v) Oliver Deussen Modellierung 35

36 Hoppe et al.: parametrische Methode für allgemeine Flächen berechne für jeden Meßpunkt die Tangentialebene aus dem Punkt und seinen Nachbarn (kleinster quadr. Fehler) bestimme Orientierung der Ebenen (innen/außen) Riemanngraph bilde implizite Beschreibung der Oberfläche f(p) bilde Oberfläche aus f(p) Oliver Deussen Modellierung 36

37 aus Hoppe, SIGGRAPH 1992 Oliver Deussen Modellierung 37

38 aus Hoppe, SIGGRAPH 1992 Oliver Deussen Modellierung 38

39 Oberfläche aus Konturdaten Problemstellung: Gegeben: Menge von parallelen Konturen (z.b. aus CT) Gesucht: triangulierte Oberfläche Problem wird zweigeteilt: Konturen zuordnen zusammenhängende Konturen triangulieren Oliver Deussen Modellierung 39

40 mögliche Verzweigungstypen: Problematische Fälle: Oliver Deussen Modellierung 40