Wirtschaftlichkeits- rechnung

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1 Dirk Kaiser Treasury Managemen Vorlesungen über Finanzierung und Invesiion am Fachbereich Wirschaf (FB W) der Hochschule Bochum Bochum Universiy of Applied Sciences Teil II: Wirschaflichkeis- rechnung Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Tielbla 1

2 Treasury Managemen Lieraurhinweise Teil II zur Wirschaflichkeisrechnung orienier sich wie auch Teil I an: Kaiser, D. Ergänzende Lieraurhinweise zur Wirschaflichkeisrechnung: Biz, M. Treasury Managemen. Beriebswirschafliche Grundlagen der Finanzierung und Invesiion, Wiesbaden: Gabler (2008). Invesiion, in: Biz, M. e al. (Hrsg.): Vahlens Kompendium der Beriebswirschafslehre, Band 1, 5., völlig überarbeiee Auflage, München: Vahlen (2005), S Blohm, H. / Lüder, K. / Invesiion, 9., überarbeiee und akualisiere Auflage, Schaefer, C. München: Vahlen (2006). Hax, H. Invesiionsheorie, 5., bearbeiee Auflage, München / Wien: Physica (1993). Kruschwiz, L. Invesiionsrechnung, 11., akualisiere und erweiere Auflage, München / Wien: Oldenbourg (2007). Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Lieraurhinweise 2

3 Zahlungsreihe Zahlungswirksamkei e + = Zahlungsreihe e ; = 0,1,..., Zeimomen = 0,1,..., Sowohl Invesiionen als auch Außenfinanzierungsmaßnahmen können hinsichlich ihrer moneären Konsequenzen (und die alleine sind hier relevan) durch Zahlungsreihen abgebilde werden. Komm es zu Lieferanenkredi oder Anzahlungen, werden Zahlungsreihen sogar im Bereich der Innenfinanzierung relevan. Hochschule Bochum, FB W TM II: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 3

4 Aufgabe 5-1 Die Feinschokolade AG möche eine Maschine zur Hersellung von Eiskonfek anschaffen. Der in =0 anfallende Anschaffungspreis beräg Mi der Maschine können dann drei Jahre lang Tüen Eiskonfek p. a. hergesell werden. Die einzelne Tüe wird sich zum Preis von 2 verkaufen lassen. Für Zuaen (Geheimrezep!) und andere Produkionsfakoren muss 1 pro Tüe angesez werden. Am Ende der Laufzei werden Kosen für den Abbau der Maschine in Höhe von anfallen. Alle genannen moneären Größen sind unmielbar zahlungswirksam. Ersellen Sie die Zahlungsreihe für dieses Invesiionsprojek! Hochschule Bochum, FB W TM II: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 4

5 Aufgabe 5-2 Die Feinschokolade AG ri in die Phase der näheren Prüfung des Invesiionsprojekes Eiskonfekmaschine aus Aufgabe 5-1 ein. Zu diesem Zweck soll es mi der Unerlassensalernaive verglichen werden. Besimmen Sie die Zahlungsreihe der Unerlassensalernaive für diese Konsellaion! UNTERLASSENSALTERNATIVE: Ausgangssiuaion, Saus Quo Hochschule Bochum, FB W TM II: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 5

6 Wirschaflichkeisrechnung Definiion 8-1 Wirschaflichkeisrechnung WIRTSCHAFTLICHKEITSRECHNUNG bezeichne den enscheidungsorienieren Vergleich von Zahlungsreihen. Geh es alleine um Invesiionsprojeke, wird in der Lieraur zumeis von Invesiionsrechnung gesprochen: Wirschaflichkeisrechnung is also begrifflich weier gefass. TYPISCHES TREASURY KALKÜL: Auswahl aus Invesiionsprojeken oder Auswahl aus Außenfinanzierungsprojeken, nich aber aus Invesiions- und Außenfinanzierungsprojeken; ferner keine Programmenscheidungen. Hochschule Bochum, FB W TM II: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 6

7 Saische vs. dynamische Wirschaflichkeisrechnung DYNAMISCHE VERFAHREN DER WIRTSCHAFTLICHKEITSRECHNUNG 6D Vollsändiger Finanzplan Dominanz Kapialwer Äquivalene Annuiä Inerner Zinsfuß Amorisaionsdauer STATISCHE VERFAHREN DER WIRTSCHAFTLICHKEITSRECHNUNG Ausgangspunk der Berachung sind Zahlungsreihen. Die Verfahren gehen von Größen der Zahlungsmielebene aus und berücksichigen explizi deren zeiliche Dimension. Zahlungsreihen sind nich der Ausgangspunk der Berachung. Die Verfahren gehen nich von Größen der Zahlungsmielebene aus und berücksichigen auch nich die zeiliche Dimension eines Projekes. Hochschule Bochum, FB W TM II: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 7

8 Skalare und Vekoren, Norm eines Vekors e0 e1 e2 Zahlung in =1 e 1 e 2 Zahlung in =2 SKALAR: eindimensionale Größe im Vekorraum VEKTOR: mehrdimensionale Größe im Vekorraum e 0 Zahlung in =0 Norm eines Vekors ε : ε = 2 2 e + e e 0 2 Mahemaisch gesprochen mach Wirschaflichkeisrechnung den Vergleich von Vekoren im Vekorraum erforderlich, also den (keineswegs rivialen) Vergleich mehrdimensionaler Größen. Hochschule Bochum, FB W TM II: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 8

9 Aufgabe 8-1 Ausgangspunk sind die Aufgaben 5-1 und 5-2 und dami die Zahlungsreihen der Eiskonfekmaschine sowie der Unerlassensalernaive mi ensprechend vielen Nullen. Beide Zahlungsreihen werden nun als Vekoren aufgefass. Berechnen Sie die Norm der beiden Vekoren (Dezimalzahl mi zwei Nachkommasellen) und kommenieren Sie Ihr Ergebnis! Hochschule Bochum, FB W TM II: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 9

10 Unser Annahmenkaalog 1. Zahlungen erfolgen grundsäzlich nur zu besimmen Zeipunken en wie =0 und =1 und nich zu beliebigen Zeipunken dazwischen (diskree Zei). 2. Auf Zeiraum zwischen zwei besimmen Zeipunken bezogene Zahlungen, insbesondere Zinszahlungen, erfolgen ses zu dessen Endzeipunk (nur nachschüssige, keine vorschüssigen Zahlungen.) 3. Die beracheen Projeke, über deren Durchführung alleine in =0 enschieden wird, schließen sich gegenseiig aus (Unmöglichkei von Programmenscheidungen). 4. Sämliche Zahlungen und Kalkulaionszinsen sind sicher (Deermi- nisik). 5. Die Kalkulaionszinsen sind zeiinvarian, verändern sich im Zeiab- lauf also nich. 6. Es gib keine Seuern. Hochschule Bochum, FB W TM II: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 10

11 r>0 Die Bedeuung des Zinssazes =0 =1 > EUR 1 EUR 1 Zei Übliches Szenario: r > r ; der Sollzins überseig S H den Habenzins (eine Markunvollkommenhei). Es is besser, EUR 1 bereis heue zu erhalen als ers in einem Jahr. Es is schlecher, EUR 1 bereis heue zahlen zu müssen als ers in einem Jahr. Nach Transformaion zu einem fesen zeilichen Bezugspunk miels des Zinssazes is der Absoluwer von EUR 1 aus der Gegenwar größer als von EUR 1 aus der Zukunf. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 11

12 Vollsändiger Finanzplan eines Projeks (vorläufige Definiion) Explizie (alle begleienden finanzierungsverraglichen Akiviäen ausdrücklich berücksichigende) Abrechnung einer Zahlungsreihe über ein Kono, sofern sie den folgenden fünf Konvenionen genüg: i. Das Kono weis mi Ausnahme des lezen berachee- en Zeipunks niemals einen negaiven Saldo auf. Sich evenuell ergebende Defizie müssen deshalb zwischenzeilich miels eines separaen Kredis ge- deck werden, der sich zwischen Periodenbeginn und Periodenende mi dem Sollzins r S verzins. ii. Das Kono weis mi Ausnahme des lezen berachee- en Zeipunks auch niemals einen posiiven Saldo Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 12

13 iii. iv. auf. Evenuell sich ergebende Überschüsse wer- den miels eines separaen Termingelds ge- park, das sich zwischen Periodenbeginn und Periodenende mi dem Habenzins r H verzins. Krediaufnahmen und Termingeldanlagen haben je- weils eine Laufzei von einer Periode. Zum lezen beracheen Zeipunk wird kein Kredi mehr aufgenommen und kein Termingeld mehr angeleg. Den sich dann ergebenden Saldo bezeichnen wir als Endvermögen bei Durchführung des Projeks und bezeichnen ihn durch EV. v. Das Anfangsvermögen AVU des Konoinhabers berage bis auf weieres Null: AV = 0 U P Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 13

14 Aufgabe 8-2 Ausgangspunk is die Zahlungsreihe der Eiskonfekmaschine aus den Aufgaben 5-1, 5-2 und 8-1. Der Sollzins beräg r = 0, 05 pro Periode, der Habenzins r = 0, 01. S H Ermieln Sie uner Einhalung der obigen Konvenionen i. bis v. im Wege eines vollsändigen Finanzplans das Endvermögen, das sich bei Durchführung dieses Invesiionsprojekes ergib (und dami den Endvermögenszuwachs im Vergleich zur Unerlassensalernaive)! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 14

15 Die Zielsezung der Wirschaflichkeisrechnung (Oder allgemeiner: die Zielsezung ökonomischer Akiviä in Anwesenhei des Zeimomens) = 0 = 1 = ime Endvermögensmaximierung Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 15

16 Vollsändiger Finanzplan: Enscheidungsregel a) Bei EINPROJEKT-EINZELENTSCHEIDUNGEN is das in Rede sehende Projek genau dann voreilhaf, wenn es zu einem Endvermögenszuwachs gegenüber der Unerlassensalernaive führ. b) Bei MEHRPROJEKT-EINZELENTSCHEIDUNGEN is das Projek mi dem maximalen Endvermögenszuwachs gegenüber der Unerlassensalernaive opimal. (Weis sadessen keines der in Rede sehenden Projeke überhaup einen Endvermögenszuwachs gegenüber der Unerlassensalernaive auf, is der Saus Quo gegenüber diesen voreilhaf.) Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: VFP 16

17 Äquivalenes Anfangsvermögen eines Projekes Fikive Rückrechnung des Endvermögens eines Projekes, sofern sie nach folgendem Schema erfolg: i. Nach Endscheidungszeipunk =0 fallen für 1 in = 1,..., keine Einzahlunn- gen und Auszahlungen mehr an. Es beseh also Fikion, dass in =0 nur einmalig enweder Geld angeleg oder aufgenommen wird. (Hierdurch wird die ZAHLUNGSREIHE VEREINHEITLICHT EITLICHT,, die der Berechnung des Anfangsvermögens gedanklich unerlieg.) ii. Ein posiives Endvermögen kann durch einmalige Akiviä im Zeipunk =0 nur dann erziel werden, wenn es sich um eine Anlage handel. Ensprechend is ein negaives Endvermögen bei Einmalakiviä nur durch Krediaufnahme in =0 darsellbar. Deshalb: Rückrechnung eines posiiven Endvermögens zum Habenzins r H, eines negaiven zum Sollzins r S. (Durch diese Konvenion wird der ZINS VEREINHEITLICHT,, der der Berechnung des Anfangsvermögens ge- danklich unerlieg.) Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 17

18 Aufgabe 8-4a Die aus den Aufgaben 5-1, 5-2, 8-1 und 8-2 bekanne Eiskonfekmaschine wird erneu berache. Wie bisher beräg der Sollzins r = 0, 05 pro Periode, der S Habenzins r = 0, 01. H Besimmen Sie miels einer den vorgenannen Konvenionen i. und ii. genügenden Rechnung das äquivalene Anfangsvermögen AV, das zum in Aufgabe P 8-2 berechneen Endvermögen des Projekes EV P äquivalen is! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: VFP 18

19 Zur Problemaik des variablen Anfangsvermögens (Abb. 8-3) Geld AV = ,00 EV U = U Fall i) EV P =0 =1 =2 =3 Zei EV P = AV U = , EV U = Fall ii) = Im Allgemeinen is der durch ein Projek generiere Endvermögenszuwachs nich unabhängig vom Anfangsvermögen des Enscheidungsrägers. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen/Dynamische Verfahren 19

20 Vollsändiger Finanzplan eines Projeks (endgülige Definiion) Explizie (alle begleienden finanzierungsverraglichen Akiviäen ausdrücklich berücksichigende) Abrechnung einer Zahlungsreihe über ein Kono, sofern sie den folgenden vier Konvenionen genüg: i. Das Kono weis mi Ausnahme des lezen berachee- en Zeipunks niemals einen negaiven Saldo auf. Sich evenuell ergebende Defizie müssen deshalb zwischenzeilich zeilich miels eines separaen Kredis ge- deck werden, der sich zwischen Periodenbeginn und Periodenende mi dem Sollzins r S verzins. ii. Das Kono weis mi Ausnahme des lezen berachee- en Zeipunks auch niemals einen posiiven Saldo Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: VFP 20

21 iii. iv. auf. Evenuell sich ergebende Überschüsse wer- den miels eines separaen Termingelds ge- park, das sich zwischen Periodenbeginn und Periodenende mi dem Habenzins r H verzins. Krediaufnahmen und Termingeldanlagen haben je- weils eine Laufzei von einer Periode. Zum lezen beracheen Zeipunk wird kein Kredi mehr aufgenommen und kein Termingeld mehr angeleg. Den sich dann ergebenden Saldo bezeichnen wir als Endvermögen bei Durchführung des Projeks und bezeichnen ihn durch EV. P Im Gegensaz zur vorübergehenden Definiion des VFP bleib die Enscheidungsregel un- veränder (vgl. separae Folie). Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: VFP 21

22 Aufgabe 8-5 Ausgangspunk is die uns aus den Aufgaben 5-1, 5-2, 8-1 und 8-2 bekanne Eiskonfekmaschine. Im Gegensaz zu Aufgabe 8-2 sei das Anfangsvermögen AV des Enscheidungsrägers nun jedoch von Null U verschieden und berage in Fall a) und in Fall b) Berechen Sie den Endvermögenszuwachs, der sich in Fall a) bzw. Fall b) gegenüber der Unerlassensalernaive durch die Anschaffung der Eiskonfekmaschine ergib (Angabe in Euro und Cen, zwischenzeilich vier Nachkommasellen)! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: VFP 22

23 Dominanz: Jakob Bernoulli, (mi Blick auf die Sochasik) Definiion und Enscheidungsregel Definiion 8-3 Dominanz Seien ε und ε Zahlungsreihen, die als Vekoren aufgefass die gleiche Dimension + 1 aufweisen, jedoch nich idenisch sind. Die Zahlungsreihe ε DOMINIERT dann die Zahlungsreihe ε, wenn jedes Elemen e von ε im paarweisen Vergleich mindesens so groß is wie das ensprechende Elemen e von ε. Formal muss also gelen: ( D ) e e = 0,1,..., Wenn eine Zahlungsreihe eine andere DOMINIERT, is sie im Vergleich zu dieser VORTEILHAFT im Sinne der Endvermögensmaximierung. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Dominanz 23

24 Aufgabe 8-6 Die Berbomburger Feinschokolade AG erwäg, neben Haselnuss und Krokan als besonderen Leckerbissen die Schokoladensore Marzipan auf den Mark zu bringen. Eine Invesiion in das Marzipan-Projek häe folgende ökonomischen Konsequenzen (alle Angaben in Euro und als Veränderung gegenüber dem Saus Quo mi zwei Soren): =0 (1) Anschaffungen in Höhe von (sofor zahlungswirksam) (2) Die Miarbeierin Lissi, die am Fließband immer von Marzipanschokolade räume und die Idee in das beriebliche Vorschlagswe Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Dominanz 24

25 sen einbrache, soll eine zeigleich auszuzahlende Prämie in Höhe von erhalen. =1, 2,, 10 (Angaben pro Jahr) (3) Zahlungswirksame Umsazerlöse durch zusäzlichen Schokoladenverkauf in Höhe von (4) Zusäzliche Auszahlungen für: (a) Schokoladenrohmasse in Höhe von ; (b) Marzipan in Höhe von ; (c) Löhne in Höhe von (5) Lissi, die gerne zu Hause Gues von ihrem Arbeigeber beriche, wäre deulich zufriedener. (6) Handelsbilanzielle Abschreibungen in Höhe von auf die neuen Produkionsanlagen für Marzipanschokolade (7) Kalkulaorische Abschreibungen in der Kosen- und Leisungsrechnung auf die neuen Produkionsanlagen für Marzipanschokolade und den erwareen Markenwer in Höhe von Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Dominanz 25

26 (8) Beim Lieferanen Marzipan- und Nougakonor von 1873 GmbH ensünde ein zahlungswirksamer Überschuss in Höhe von i) Ermieln Sie die für die Anwendung dynamischer Verfahren der Wirschaflichkeisrechnung relevanen ökonomischen Größen des Projeks Marzipan aus Sich der AG! Die Markeingabeilung der Berbomburger Feinschokolade AG is von Lissis oller Idee beeindruck und rechne sogleich die Projeke Nouga, Walnuss, Erdbeerjoghur, Trauben-Nuss und Erdnuss durch. Dem Vorsand der AG werden folgende Zahlungsreihen der Projeke vorgeleg: Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Dominanz 26

27 Sore =0 =1, 2,, 10 (pro Jahr) Nouga Walnuss Erdbeerjoghur Trauben-Nuss Erdnuss ii) Treffen Sie mi möglichs wenig Rechenaufwand eine Vorauswahl aus den Schokoladensoren, indem Sie die Alernaiven aussondern, die im Vergleich auf keinen Fall mi der Zielsezung der Endvermögensmaximierung in Einklang sehen können! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Dominanz 27

28 Implizie Berücksichigung begleiender finanzierungsverraglicher Akiviäen Abzinsung DIS g ( ) ( ) g 0 0 = = g g Aufzinsung COM g 1+ r H > 0 ( ) 1+ r if g < 0 ( ) ( ) g = = S g g r H if g > 0 ( ) 1+ r if g < 0 S if g Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 28

29 Aufgabe 8-7 Das Anfangsvermögen bei Durchführung der Unerlassensalernaive berage AV = 0. Berachen U Sie ein Invesiionsprojek, das durch folgende Zahlungsreihe charakerisier is (KVP finanzier einen Messesand durch einperiodigen Kredi; Rn. 161, Aufgabe 8-3): ( 980,00, 1.100,00, 10,00). Wie sich aus nachfolgender Tabelle 8-5 ergib, beräg das Endvermögen bei Durchführung dieses Projekes für r = 0, 01 und r = 0, 05 pro Periode H S 71,81, das heiß: EV = 71, 81: P Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 29

30 (i) [ ] =0 =1 =2 Zahlungsreihe -980, ,00-10,00 Kredi +980, ,00 Anlage -81,00 +81,81 Periodensaldo bzw. Endvermögen ,81 Besimmen Sie nach dem bereis bekannen Verfahren miels fikiver Rückrechnung über VFP das zu diesem Endvermögen des Projeks äquivalene Anfangsvermögen! (ii) Prüfen Sie, ob sich das Endvermögen bei Durchführung des Projeks auch durch Aufzinsung Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 30

31 der Elemene der Zahlungsreihe ermieln läss! Bringen Sie hierzu (a) den Habenzins, (b) den Sollzins und (c) eine begründe erscheinende Kombinaion von Sollzins und Habenzins zur Anwendung (Rechnung in Euro und Cen)! (iii) Prüfen Sie nun ensprechend, ob sich das äquivalene Anfangsvermögen durch Abzinsung der Elemene der Zahlungsreihe ermieln läss! Bringen Sie hierbei wiederum die Zinsszenarien (a) bis (c) aus Aufgabeneil ii) zur Anwendung! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 31

32 Abweichungsanalyse für Aufgabe 8-7 (also für komplexere Zahlungsreihen, d. h. Zahlungsreihen mi mindesens einem Vorzeichenwechsel) Welcher Zinssaz is relevan? Die Beanworung dieser Frage erforder im Allgemeinen einen VFP. Dieser jedoch mach die Aufzinsung überflüssig! Endvermögen des Projekes EV = e 1+ r + e 1+ r P = [ ( ) ] ( ) + e 0 S 1 H 2 e ( 1+ r ) ( 1+ r ) + e ( 1+ r ) + e 0 S H 1 H 2 Äquivalenes Anfangsvermögen des Projekes EVP AV = P 2 1+ r = ( ) H e ( 1+ r ) 0 e r ( 1+ r ) 2 Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 1+ r H S H + e 2 H 32

33 Aufgabe 8-8 Das Invesiionsprojek aus Aufgabe 8-7 wird erneu berache. Das Anfangsvermögen des Enscheidungsrägers verbleib bei Null (d. h.: AV = 0), U Soll- und Habenzins verbleiben bei r = 0, 05 bzw. S r = 0,01 pro Periode. H Prüfen Sie, ob man uner Berücksichigung der vorangegangenen Abweichungsanalyse das Endvermögen des Projekes und das hiermi äquivalene Anfangsvermögen eben doch implizi mi Hilfe von Aufzinsung bzw. Abzinsung besimmen kann! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 33

34 Vollkommene Finanzmärke (VOKOFIMA) Vollkommene Finanzmärke genügen insbe- sondere den folgenden drei Anforderungen: i. Bei den begleienden finanzierungsverraglichen Akiviäen äen gib es weder im Bereich der Anlage noch der Aufnahme mengenmäßige Beschränkungen (FREIHEIT( VON RATIONIERUNG ATIONIERUNG). ii. Für die begleienden finanzierungsverraglichen Akiviäen sind im Bereich der Anlage und der Aufnahme die gleichen Zinssäze relevan (GLEICHHEIT ( VON SOLLZINS UND HABENZINS ABENZINS). iii. Anlage- wie aufnahmeseiig sind die begleienden finanzie- rungsverraglichen Akiviäen in denkbar kurzfrisiger Wei- se, das heiß einperiodig realisierbar (ZEITLICHE ( FEINSTSKALIERUNG DER FINANZIERUNGSVERTRÄGE INANZIERUNGSVERTRÄGE). Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 34

35 VOKOFIMA Fisher-Separaion (Abb. 8-4) C1, C1 F, C T 1 Ĉ 1 ˆ F ( + r) C F C1 = C1 1 0 Besserrichung Irving Fisher, ** C 1 C 1 * C 1 ** C 1 * ( I ) = f ( C ) C T 1 = f 0 C0 niedrige Gegenwarspräferenz hohe ** * ** C 0 C 0 C 0 C 0 Gegenwarspräferenz C C F C T 0, 0, 0 Am vollkommenen Finanzmark sind die realen Invesiionen (der Unernehmen ) unabhängig von der Gegenwarspräferenz und dami der ineremporalen Konsumenscheidung (der Haushale ). Die Umkehrung gil nich.. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 35

36 Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 36 VOKOFIMA Implizie Wirschaflichkeisrechnung auch für komplexere Zahlungsreihen (hier wiederum am Beispiel von Aufgabe 8-7) (Endvermögen wird zum) Endwer ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + = = = r r r H H S P EW r e e r e r e e r e r r e EV H S (Anfangsvermögen wird zum) Kapialwer ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + = = = r r r H H H S P K r e r e r e e r e r e r r e AV H S Das Wörchen Wer zeig in diesem Zusammenhang an, dass implizi gerechne wird, indem der Zins muliplikaiv oder divisional in die Rechnung eingeh.

37 Kapialwer und Endvermögensmaximierung Endvermögensmaximierung: Differenz zwischen Endvermögen bei Durchführung des Projekes und der Unerlassensalernaive is zu maximieren. Für beliebiges Anfangsvermögen AV U kann Endvermögen des Projekes mi kleinem Trick roz Sollhabenzinsproblem formulier werden, und zwar wie folg: EV mi eˆ P = = eˆ ( 1+ r ( τ )) = 0 τ = e e 0 + AV U S, H für für = 0 = 1,2,..., Gehen wir von diesem Ansaz aus, is Endvermögen bei Durchführung der Unerlassensalernaive wie folg gegeben: EV U = AV U ( 1 + r ( ) ) = 0 S, H Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 37

38 (Da wir den zeilichen Anfall des Anfangsvermögens im Saus-Quo-Fall auf =0 beschränk haben, is der erwähne Trick in der lezen Gleichung übrigens gar nich nöig, da enweder der Sollzins oder der Habenzins, nich aber eine Kombinaion von beiden zur Anwendung komm. Durch den Trick könne man andererseis auch ein komplexes zeiliches Muser in der Analyse berücksichigen.) Nun: VOKOFIMA EV P = r = r S H = = r = 0 τ = = 0 eˆ eˆ ( 1+ r ( τ )) ( 1+ r) S, L Da der leze Summenerm erkennbar nich mehr dem Sollhabenzinsproblem ausgesez is, wird für das Endvermögen bei Durchführung des Projekes so eine Rückransformaion von ê zu e möglich: EV P = AV U ( 1 + r) + e ( 1+ r) = 0 Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 38

39 Ensprechend kann auch das Endvermögen bei Durchführung der Unerlassensalernaive für den VOKOFIMA-Fall einfacher formulier warden: EV U r = r = r S = H = AV AV U U = 0 ( 1+ r ( ) ) ( 1+ r) S, H Für die Differenz dieser beiden Ausdrücke gil dann: EV P EV U = = AV e = 0 U ( 1+ r) + e ( 1+ r) AV ( 1+ r) = 0 ( 1+ r) = EW Den resulierenden Ausdruck haen wir bereis als Endwer EW bei Durchführung des Projekes definier. Muliplizieren wir nun mi ( 1 + r) durch, erhalen wir den nachfolgenden Ausdruck, der exak dem Kapialwer eines Projekes ensprich: U Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 39

40 EW ( 1+ r) = e ( 1+ r) = NPV = ( EV EV ) ( + r) 1 = 0 P U Mi anderen Woren: (i) Die VOKOFIMA-Annahme is für das Konzep des Kapialweres konsiuiv. (ii) Enscheidungen auf der Basis des Kapialweres sehen mi der Zielsezung der Endvermögensmaximierung in vollem Einklang; der Kapialwer ensprich dem abgezinsen Endvermögenszuwachs durch ein Projek. (iii) Der Kapialwer is vollkommen unabhängig vom Anfangsvermögen des Enscheidungsrägers. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 40

41 Aufgabe 9-1 Das Anfangsvermögen bei Durchführung der Unerlassensalernaive berage AV = 0. Wir berachen erneu die Eiskonfekmaschine, die uns aus den Aufgaben 5-1, 8-1 und 8-2 bekann is. U Am vollkommenen Finanzmark habe sich der Zinssaz bei r = 0,04 eingependel. i) Berechnen Sie für diesen Kalkulaionszins den Endwer und den Kapialwer des Invesiionsprojeks Eiskonfekmaschine (Angaben in Euro und Cen; finanzmahemaische Tabellen verwenden)! ii) Überprüfen Sie nun obige Aussage (ii), wonach der Kapialwer dem auf den Enscheidungszeipunk abgezinsen Gegenwarswer des Endvermögenszuwachses ensprich! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Grundüberlegungen 41

42 Explizie Definiion des Kapialwers und zugehörige Enscheidungsregel Definiion 9-1 Kapialwer Uner dem KAPITALWERT einer Zahlungsreihe e 0, e 1,..., e versehen wir die Summe aus dem Gegenwarswer ihrer zukünfigen Zahlungen zum Kalkulaionszins r und ihrer Anfangszahlung, formal: ( NPV 1) K = e ( 1+ r) = = 0 = 0 e q Simon Sevin, 1548/ (Konzep der Abzinsung) Gofried Wilhelm Leibniz, (do.) a) Bei EINPROJEKT-EINZELENTSCHEIDUNGEN is das in Rede sehende Projek genau dann voreilhaf, wenn es einen posiiven Kapialwer ha. b) Bei MEHRPROJEKT-EINZELENTSCHEIDUNGEN is das Projek mi dem maximalen Kapialwer voreilhaf, sofern dieser posiiv is. Weis keines der zur Enscheidung sehenden Projeke einen posiiven Kapialwer auf, bleib es bei der Unerlassensalernaive. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Kapialwer 42

43 Herleiung des Renenbarwerfakors Normalprojek mi Zeirene unmielbar nach Anfangszahlung: e1 = e2 =... = e = e. Für Kapialwer einer solchen Zahlungsreihe gil unabhängig davon, ob es sich um Invesiion oder Außenfinanzierungsmaßnahme handel: Rene e e e K = e r ( 1+ r) ( 1+ r) Uner Verwendung des Zinsfakors q 1 + r : Rene 1 2 K = e0 + e q + e q e q Muliplizieren wir Summe mi Zinsfakor q durch, ergib sich: Rene 1 ( 1) q K = q e0 + e + e q e q Subrahieren wir von dieser durchmuliplizieren die ursprüngliche Besimmungsgleichung für den Kapialwer im Renenfall, erhalen wir für Differenz folgendes Resula: Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Kapialwer 43

44 q K Rene K Rene 1 1 ( 1) ( 1) ( q q ) e ( q q ) e q = q e0 e0 + e + e Teleskopsumme : Eine Vielzahl von Summanden fäll offensichlich weg: Rene ( q 1) K = ( q 1) e0 + ( 1 q ) e Durch weiere Fakorisierung erhäl man: Rene ( q 1) ( K e0 ) = ( 1 q ) e Division durch ( q 1) führ zu folgender Form für diese Gleichung: Rene 1 q q 1 K e0 = e = e e Q( r, ) q 1 q ( q 1) Q: (nachschüssiger) Renenbarwerfakor (vgl. finanzmahemaische Tabellen); dami Endergebnis: Rene NPV K = e + e Q r, ( ) ( ) 2 0 Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Kapialwer 44

45 Besondere Berechnungsmehoden für den Kapialwer Normalprojeke mi Zeirene unmielbar nach Anfangszahlung ( Rene ) ( NPV ) (Q: Rene q 1 2 K = e0 + e = e 0 q Renenbarwerfakor) ( q 1) + e Q (, r) Normalprojeke mi ewiger Rene unmielbar nach Anfangsauszahlung ( ewige Rene ) ( 3 ) Ewige Rene NPV K e + ( 1 r: Muliplikaor) = 0 e r Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Kapialwer 45

46 Aufgabe 9-2 Berechnen Sie möglichs effizien die Kapialwere in Euro und Cen der Schokoladensoren, die sich in Aufgabe 8-6 nich per Dominanzverfahren eliminieren lassen! Unersellen Sie hierbei einen Kalkulaionszins von 5% Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Kapialwer 46

47 Äquivalene Annuiä: Definiion und Enscheidungsregel Definiion 9-2 Äquivalene Annuiä Uner der ÄQUIVALENTEN ANNUITÄT e einer Ausgangszahlungsreihe e 0, e1,..., e versehen wir eine zu den Zeipunken = 1,2,..., anfallende Zahlung konsaner Höhe, deren Kapialwer gleich dem der Ausgangszahlungsreihe is. Die äquivalene Annuiä ergib sich, indem man den Kapialwer der Ausgangszahlungsreihe mi dem Annuiäenfakor für den Kalkulaionszins r und die Laufzei muliplizier. Formal: ( AE 1) e = 1 (, ) Q r K( r) a) Bei EINPROJEKT-EINZEL- ENTSCHEIDUNGEN is das in Rede sehende Projek genau dann voreilhaf, wenn es eine posiive äquivalene Annuiä ha. b) Bei MEHRPROJEKT- EINZELENTSCHEIDUNGEN is das Verfahren der äquivalenen Annuiä nur dann anwendbar, wenn sämliche in Rede sehenden Projeke die gleiche Laufzei (bzw. Nuzungsdauer) haben. In diesem Fall kennzeichne die maximale posiive äquivalene Annuiä das opimale Projek. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Äquivalene Annuiä 47

48 Aufgabe 9-4 Berechnen Sie uner Berücksichigung der in den Aufgaben 5-1 und 9-1 erzielen Ergebnisse für einen Kalkulaionszins von weierhin r = 0, 04 die äquivalene Annuiä des Invesiionsprojeks Eiskonfekmaschine in Euro und Cen! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Äquivalene Annuiä 48

49 Besondere Berechnungsmehoden für die äquivalene Annuiä Rene Rene e0 ( AE2) e = e + Q( r, ) e0 ( 1 Q: Annuiäsfakor; : Kapialdiens) Q r, ( ) Ewige Rene Ewige AE3 e Rene = e + r e ( ) 0 Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Äquivalene Annuiä 49

50 Aufgabe 9-5 Zinssaz pro Periode: weierhin 5%, das heiß: r = 0, 05 i) Ermieln Sie die äquivalene Annuiä des Projeks Marzipan aus den Aufgaben 8-6 und 9-2 in Euro und Cen! ii) Wäre das Verfahren der äquivalenen Annuiä in der Konsellaion der Aufgabe 8-6 geeigne, um die opimale Schokoladensore zu besimmen? Begründen Sie Ihre Anwor! iii) Besimmen Sie nun auch noch uner Berücksichigung der Zusazaufgabe zu Aufgabe 9-2 die äquivalene Annuiä des Projekes Marzipan in Euro und Cen, wenn dieses eine unendliche Laufzei häe! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Äquivalene Annuiä 50

51 Kapialwerfunkion: Kapialwer als Funkion des Kalkulaionszinses Aufgabe 9-6 Ausgangspunk der Berachung sind die Zahlungsreihen des Raenkredis aus Aufgabe 6-13 und der Eiskonfekmaschine aus Aufgabe 5-1. (Alle Zahlungsgrößen ensprechend weierhin in Euro.) i) Ersellen Sie für beide Projeke Wereabellen, indem Sie jeweils die Kapialwere für folgende Kalkulaionszinsen r berechnen: a) 0%; b) 2%; c) 4%; d) 6%; e) 8%; f) 10%; g) 12%; h) 15%! Runden Sie hierbei im Fall des Raenkredis auf Euro und Cen, im Fall der Eiskonfekmaschine auf volle Euroberäge!! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 51

52 ii) Skizzieren Sie die Kapialwerfunkionen der beiden Projeke im Bereich posiiver Kalkulaionszinsen! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 52

53 Nominalwer K r = 0 % = Zur Kapialwerfunkion ( ) ( 1+ 0) = = 0 e e (die Summe aller Elemene der Zahlungsreihe) Konvergenz lim K r ( r) = lim e ( 1 r) lim[ e e ] + = + = e0 r = 0 (Konvergenz gegen die Anfangszahlung) Seigung und Krümmung 2 2 δ K δ K δ K δ K NI. projek : < 0, > 0; NAF. Pr ojek : > 0, 2 2 δ r δ r δ r δr (sreng monoon fallend und sreng konvex für Normalinvesiionsprojeke; sreng monoon seigend und sreng konkav für Normalaußenfinanzierungsprojeke) = 0 r 0 = 1 < 0 Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 53

54 Normalprojeke Definiion 9-3 Normalprojeke Uner NORMALPROJEKTEN versehen wir Projeke, deren Zahlungsreihen genau einen Vorzeichenwechsel aufweisen. Die Zahlungsreihe eines NORMALAUßENFINANZIERUNGSPROJEKTS beginn also mi einer Einzahlung e 0 und weis danach nur noch Auszahlungen e 0 { 1.2,.., } 0 > auf, wobei mindesens ein Elemen der Zahlungsreihe sogar sreng negaiv is, das heiß: : e < 0. Die Zahlungsreihe eines NORMALINVESTITIONSPROJEKTS beginn demgegenüber mi einer Auszahlung e 0 und weis danach nur noch Einzahlungen e 0 { 1,2,..., } 0 < auf, wobei mindesens ein Elemen der Zahlungsreihe sreng posiiv is, d.h.: : e > 0. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 54

55 Aufgabe 9-8 Ausgangspunk der Berachung is die folgende, in Euro angegebene Zahlungsreihe: ( , , , ) Ersellen Sie eine Wereabelle, indem Sie auf volle Euroberäge gerundee Kapialwere für die Kalkulaionszinsen a) 0%; b) 2%; c) 4%; d) 6%; e) 8%; f) 10%; g) 12%; h) 15% berechnen und skizzieren Sie sodann die zugehörige Kapialwerfunkion im berechneen Bereich! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 55

56 Eugen von Böhm-Bawerk, 1851 (Brno) 1914 (Wien) Inerner Zinsfuß: Definiion Definiion 9-4 Inerner Zinsfuß Uner einem INTERNEN ZINSFUß einer Zahlungsreihe e, e,..., e versehen wir 0 1 einen Kalkulaionszins r *, der einen Kapialwer von Null ergib, formal: ( IRR1) K ( r *) = e ( 1+ r *) = 0 = 0 Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 56

57 Inerner Zinsfuß: Enscheidungsregel INVESTITIONSPROJEKTE a) Bei EINPROJEKT-EINZELENTSCHEIDUNGEN is ein Normalinvesiionsprojek voreilhaf gegenüber der Unerlassensalernaive, wenn sein inerner Zinsfuß über dem Kalkulaionszins lieg ( r * > r) und nacheilig, wenn er daruner lieg ( r * < r). Ensprich der inerne Zinsfuß dem Kalkulaionszins ( r * = r), beseh Indifferenz. Für ein Nichnormalinvesiionsprojek sind Voreilhafigkeisaussagen auf der Grundlage des inernen Zinsfußes im Allgemeinen nich möglich. b) Bei MEHRPROJEKT-EINZELENTSCHEIDUNGEN is das Verfahren des inernen Zinsfußes grundsäzlich nich anwendbar. AUßENFINANZIERUNGSPROJEKTE a) Bei EINPROJEKT-EINZELENTSCHEIDUNGEN is ein Normalaußenfinanzierungsprojek gegenüber der Unerlassensalernaive voreilhaf, wenn sein inerner Zinsfuß uner dem Kalkulaionszins lieg ( r * < r) und nacheilig, wenn er darüber lieg ( r * > r). Ensprich der inerne Zinsfuß dem Kalkulaionszins ( r * = r), beseh Indifferenz. Für ein Nichnormalaußenfinanzierungsprojek sind Voreilhafigkeisaussagen im Allgemeinen nich möglich. b) Bei MEHRPROJEKT-EINZELENTSCHEIDUNGEN is das Verfahren des inernen Zinsfußes grundsäzlich nich anwendbar. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 57

58 Der inerne Zinsfuß bei Normalprojeken Descaressche Zeichenregel (angewende auf Wirschaflichkeisrechnung): Die Anzahl der inernen Zinsfüße einer Zahlungsreihe is gleich der Anzahl ihrer Vorzeichenwechsel oder um eine gerade Zahl kleiner, niemals aber negaiv. René Descares, Folgerung: Ein Normalinvesiionsprojek mi sreng posiivem Nominalwer und ein Normalaußenfinanzierungsprojek mi sreng negaivem Nominalwer haben jeweils genau einen posiiven inernen Zinsfuß. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 58

59 Besondere Berechnungsmehoden für den inernen Zinsfuß, Teil 1 Normalprojek mi nur zwei Elemenen in der Zahlungsreihe e ( IRR 2) r * = 1 e 0 Normalprojek mi Zeirene unmielbar nach der Anfangszahlung e0 ( IRR3 ) Q( r*, ) = Tabelle III e Normalprojek mi ewiger Rene unmielbar nach der Anfangszahlung e ( IRR4) r * = e 0 Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 59

60 Aufgabe 9-9 (Alle Zahlungsgrößen in Euro.) Berache wird ein Invesiionsprojek, bei dem auf eine in =0 anfallende Anfangsauszahlung in Höhe von , 00 lediglich eine Einzahlung in Höhe von , 25 im Zeipunk =3 folg. i) Berechnen Sie nach Formel ( ) IRR 2 den inernen Zinsfuß dieses Invesiionsprojekes! ii) Welche Höhe müsse die Einzahlung in =3 sadessen haben, dami der inerne Zinsfuß des Projekes 6% beräg? Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 60

61 Aufgabe 9-10 Approximieren Sie die inernen Zinsfüße der verschiedenen Schokoladensoren aus Aufgabe 8-6! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 61

62 Aufgabe 9-11 IRR und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mi dem in Aufgabe 9-10 ermielen! Approximieren Sie den inernen Zinsfuß des Projeks Marzipan aus Aufgabe 8-6 als Dezimalzahl mi vier Nachkommasellen uner der Fikion einer unendlichen Laufzei miels Formel ( 4) Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 62

63 Besondere Berechnungsmehoden für den inernen Zinsfuß, Teil 2 Approximaion für gesamfällig geilge Feszinszahlungsreihen z a i + ( IRR5 a) r * = a i : feser Nominalzins; z : Rückzahlungsquoe; a : Auszahlungsquoe Approximaion für in Raenform geilge Feszinszahlungsreihen z a i + T ˆ + 1 IRR5 b r * = ; T f + ; ˆ = a 2 f : Tilgungsfreijahre; ˆ : Tilgungsjahre; T : Milere Laufzei ( ) f Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 63

64 Rechnung bei Normalprojeken mi nur zwei Elemenen in der unerjährig skalieren Zahlungsreihe (Abb. 9-6) s 360 ( IRR 7a) r * = 1 s s : Skonosaz; A, B : B Anfang A bzw. Zahlungsreihe Ende der Angabezeiraum für finanzierungsverragliche Zinsen: 1 Periode =0 =1 A =241/1 B =270/1 Unereilung in 360 Teilperioden für feine zeiliche Einordnung einzelner Zahlungen Zei Folgende Approximaion is für dieses Szenario in der Praxis wei verbreie: s 1 s 360 ( ) B A IRR 7b r * = 1+ 1 Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 64

65 Aufgabe 9-12 Berache wird ein fesverzinslicher, gesamfälliger Kredifinanzierungsverrag mi einer Laufzei von = 2 Jahren. Der Nominalzins beräg i = 0, 05, die Auszahlungsquoe a = 0, 95 und die Rückzahlungsquoe z = 1, 05. Approximieren Sie als Dezimalzahl mi vier Nachkommasellen den Effekivzins (also den inernen IRR5 a! Zinsfuß) dieser Zahlungsreihe nach Formel ( ) Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 65

66 Aufgabe 9-13 Berache wird ein fesverzinslicher Kredifinanzierungsverrag über nominal , der in Höhe von ,62 ausgezahl wird. Sein Nominalzins beräg 5%, seine Laufzei fünf Jahre. Die Rückzahlung erfolg zum Nominalwer. Ermieln Sie miels der bis hierhin vorgesellen Verfahren als Dezimalzahlen mi vier Nachkommasellen die Effekivzinsen (inernen Zinsfüße) für sämliche neben Rn. 135 vorgesellen Rückzahlungsmuser, also (a) gesamfällige Tilgung, (b) Raenilgung ohne Freijahre, (c) Annuiäenilgung und (d) Zerobond und kommenieren Sie jeweils Ihr Ergebnis! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 66

67 Aufgabe 9-15 Die KVP OHG ha für einen Rechnungsberag von neo (also nach Abzug von Mehrwerseuer) PC-Hardware an einen Inernebeseller geliefer, der sich nun überleg, ob er Lieferanenkredi in Anspruch nehmen soll. Die Bedingungen hierfür sind den AGB des Unernehmens zu ennehmen; vgl. Tabelle 7-1 (TMI). Ermieln Sie als Dezimalzahl mi vier Nachkommasellen den effekiven Jahreszins für durch KVP gewähren Lieferanenkredi (1) uner Anwendung der Approximaionsformel sowie (2) miels exaker Rechnung uner Berücksichigung von Zinseszinseffeken! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 67

68 Besondere Berechnungsmehoden für den inernen Zinsfuß, Teil 3 Basisformel für die Anwendung der Regula falsi rl K ( ) ( rr ) rr K( rl ) IRR8 rˆ1 ( ) = K r K r ( ) ( ) L : links der Nullselle; R : rechs der Nullselle R L Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 68

69 Regula Falsi-Algorihmus i. Finde zwei Kalkulaionszinsen r L und r, R die den beiden Bedingungen r < r und K ( r ) K( r ) < 0 L R L R genügen. K ( ) miels Formel ( ) ( ) ii. Berechne ˆr ( 1 ) IRR 8. Is K ˆr ( 1 ) gleich null, so wurde zufällig inerner Zinsfuß gefunden: r * = rˆ1 ( ); Algorihmus ende dann hier. Ansonsen fahre mi Schri 3 for. ( ) ( ) iii. Unersuche linkes Produk K rˆ ( ) K r 1 L auf Vorzeichen: Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 69

70 K ( ) und ( r L ) K ( r ) K( r ) 0 o Haben ˆr ( 1 ) K unerschiedliche Vorzeichen, gil also ˆ( 1 ) <, so erseze rechs (subsiuiere also r R L durch ˆr ( 1) ). K ( ) und ( r L ) ( ) ( ) 0 o Haben ˆr ( 1 ) K rˆ 1 K r > K gleiche Vorzeichen, gil also ( ) L, so erseze links (subsiuiere also r L durch ˆr ( 1) ). iv. Gehe zurück zu Schri 2 und wende Algorihmus sinngemäß für weiere Annäherung von r * durch ˆr ( 2 ),( ˆr ( 3), ˆr ( 4 ) usw.) an. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 70

71 Aufgabe 9-16 Der aus den Aufgaben 6-13 und 9-6 bekanne Raenkredi wird erneu berache; Angabe der Lösungen im Folgenden als Dezimalzahl mi vier Nachkommasellen: i) Ersellen Sie miels Regula Falsi eine erse lineare Schäzung ˆr ( 1) für den inernen Zinsfuß, indem Sie (ausnahmsweise bewuss subopimal) von den Anfangsweren r = 0, 04 und r = 0, 15 ausgehen! L ii) Runden Sie nun ˆr ( 1) aus Aufgabeneil i) auf volle Prozen und ersellen Sie eine zweie Schäzung ˆr ( 2 )! R Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Inerner Zinsfuß 71

72 Aufgabe 9-17 Das insbesondere aus den Aufgaben 8-6, 9-2 und 9-10 bekanne Invesiionsprojek Marzipan wird erneu berache. Der Kalkulaionszins beräg weierhin 5% pro Periode, das heiß r = 0, 05. Ersellen Sie eine Wereabelle, in die Sie die auf volle Euroberäge gerundeen Kapialwere einragen, die sich ergeben, wenn von ˆ = 5 bis ˆ = = 10 forlaufend mehr Elemene der Zahlungsreihe des Projekes berücksichig werden! Skizzieren Sie den erkennbar werdenden Zusammenhang und dami den Kapialwer als Treppenfunkion in diskreer Zei! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Amorisaionsdauer 72

73 Definiion 9-5 Amorisaionsdauer Amorisaionsdauer: Definiion und Enscheidungsregel Die AMORTISATIONSDAUER [, *] 0 der Zahlungsreihe e 0, e1,..., e eines Invesiionsprojekes wird durch einen Zeipunk * { 1,2,..., } besimm, wenn nur er der folgenden Bedingung genüg: * ( ) 1 * PBP 1 e q < 0 = 0 = 0 e q Die Amorisaionsdauer is auf Außenfinanzierungsprojeke nich sinnvoll anwendbar, sondern nur auf Invesiionsprojeke. a) Bei EINPROJEKT- EINZELENTSCHEIDUNGEN is ein Normalinvesiionsprojek voreilhaf gegenüber der Unerlassensalernaive, wenn es eine Amorisaionsdauer im Sinne von Definiion 9-5 aufweis. Bei Nich- Normalprojeken is das Verfahren der Amorisaionsdauer hingegen nich sinnvoll anwendbar. Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Amorisaionsdauer b) Bei MEHRPROJEKT- EINZELENTSCHEIDUNGEN is das Verfahren der Amorisaionsdauer grundsäzlich nich sinnvoll anwendbar. 73

74 Eine besondere Berechnungs- mehode für die Amorisaionsdauer Rene 0 ( PBP2) Q( * 1, r) < Q( *, r) Tabelle III e e Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Amorisaionsdauer 74

75 Aufgabe 9-18 Das insbesondere aus den Aufgaben 8-6, 9-2, 9-10 und 9-17 bekanne Projek Marzipan wird erneu berache. Der Kalkulaionszins beräg weierhin 5% pro Periode, das heiß r = 0, 05. Besimmen Sie mi Hilfe von Ungleichungskee ( PBP 2) effizien die Amorisaionsdauer dieses Invesiionsprojekes! Hochschule Bochum, FB W TMII: Wirschaflichkeisrechnung Prof. Dr. Dirk Kaiser Dynamische Verfahren: Amorisaionsdauer 75