Digitale Signalverarbeitung. Hans-Günter Hirsch (Autor) Frank Kremer (Editor)

Transkript

1 Digitale Signalverarbeitung Hans-Günter Hirsch (Autor) Frank Kremer (Editor)

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1. Signalwandlung Abtastung Abtastratenwandlung Quantisierung und Codierung Rekonstruktion des analogen Signals (Digital-/Analogumsetzung) Nichtlineare Quantisierung Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Lineare, zeitinvariante (LTI) Systeme Herleitung des Faltungsintegrals Herleitung der diskreten Faltung aus dem Faltungsintegral Die diskrete Faltung zur Beschreibung der additiven Überlagerung der Reaktionen auf eine Impulsfolge Graphische Vorgehensweise zur Bestimmung der Faltungssumme Faltungsalgebra Impulsantwort des idealen Tiefpasses Zweidimensionale Faltung zur Verarbeitung digitalisierter Bilder Korrelationsanalyse Herleitung der Kreuz- und Autokorrelationsfunktion Eigenschaften von AKF und KKF Anwendungbeispiel einer Korrelationsanalyse Die Darstellung der Korrelationsanalyse als Faltung Das Leistungsdichtespektrum als Fourier-Transformierte der AKF Die zweidimensionale Kreuzkorrelationsfunktion Signale mit speziellen Korrelationseigenschaften Abbildungsverzeichnis 96 H.G. Hirsch 2 Digitale Signalverarbeitung

3 Index 99

4 Version und Änderung Version Datum Änderung Erstellen der Vorlage, Inhalte der Kapitel Einleitung und Signalwandlung Kapitel Faltung Kapitel Korrelation H.G. Hirsch 4 Digitale Signalverarbeitung

5 Einleitung In allen Bereichen der Elektrotechnik ist die Erfassung und Verarbeitung physikalischer Messgrößen eine notwendige und unumgängliche Aufgabenstellung zum Aufbau signalverarbeitender Systeme, z.b. von Mess- und Steuerungssystemen in der Automatisierungstechnik oder Übertragungssystemen in der Kommunikationstechnik. Da die Verarbeitung heutzutage nahezu ausschließlich mit Digitalrechnern erfolgt, werden die physikalischen Messgrößen als zeitdiskrete Signale mit einer digitalen Darstellung jedes Messwerts erfasst. Typische Messgrößen sind der Schalldruck zur Erfassung akustischer Signale, die Helligkeits- und Farbintensität zur Erfassung von Bildinformationen, die mechanische Position oder die mechanische Veränderung der Teilkomponenten einer Maschine zur Erfassung des Arbeitszustands der Maschine, die Lufttemperatur und der Luftdruck als mögliche Einflussgrößen bei einem Herstellungsprozess, das Gewicht und der Dampfdruck zur Bestimmung der chemischen Zusammensetzung eines Gases. Zur Erfassung der jeweiligen Messgröße und ihrer Umsetzung in ein elektrisches Signal benötigt man entsprechende Komponenten, die man in der Automatisierungstechnik auch als Sensoren bezeichnet. Zwei Beispiele für Sensoren sind das Mikrofon zur Erfassung der Veränderung des Schalldrucks oder ein Dehnungsmessstreifen zur Erfassung einer Längenänderung. Die in den Sensoren erzeugten Spannungen nehmen häufig nur recht kleine Werte an. Daher setzt man meist einen Vorverstärker zur Erzielung größerer und für die Erfassung besser geeigneter Spannungspegel ein. Wie im nachfolgenden Kapitel gezeigt wird, benötigt man im Weiteren zur korrekten Bestimmung der zeitdiskreten Messwerte des digitalen Signals ein Tiefpassfilter. Aus dem tiefpassgefilterten Signal, das noch ein analoges Signal ist, wird mit einem Analog-/Digitalumsetzer (ADU) das digitale Signal erzeugt. Nach der Verarbeitung und/oder Übertragung des digitalen Signals besteht bei einigen Aufgabenstellungen die Notwendigkeit, aus den zeitdiskreten Werten des digitalen Signals wieder ein kontinuierliches, analoges Signal zur erzeugen. Ein Beispiel ist die Übertragung eines Sprachsignals über einen Mobilfunkkanal, wobei man auf der Empfängerseite das Signal wieder als akustisches Signal hörbar machen möchte. Dazu benötigt man die Hintereinanderschaltung eines H.G. Hirsch 5 Digitale Signalverarbeitung

6 Digital-/Analogumsetzers (DAU), eines Tiefpassfilters, in vielen Fällen eines Endverstärkers und einer Komponente zur Umwandlung des elektrischen Signals und zur Erzeugung der gewünschten physikalischen Ausgangsgröße. Für diese Wandlerkomponenten wird in der Automatisierungstechnik der Begriff Aktor als Gegenstück zum Sensor verwendet. Bei dem Beispiel der Telefonübertragung fungiert ein Lautsprecher als Aktor zur Generierung des Luftschalls. Im Allgemeinen lässt sich die Verarbeitungskette zur Erfassung der physikalischen Eingangsgröße, zur Erzeugung und Verarbeitung des digitalen Signals und die erneute Rekonstruktion eines analogen Signals und letztlich der physikalischen Ausgangsgröße durch das in Abbildung 0.1 dargestellte Blockschaltbild beschreiben. Sensor A/D Signalverarbeitung D/A Aktor Abbildung 0.1.: Struktur eines Signalverarbeitungssystems In diesem Skript werden zunächst die Vorgehensweise zur Wandlung eines analogen Signals in ein digitales Signal sowie die umgekehrte Erzeugung eines analogen Signals aus einem digitalen vorgestellt. Es werden die besonderen Eigenschaften des digitalen Signals im Zeit- und Frequenzbereich erläutert, mit deren Kenntnis man beispielsweise auch den Verarbeitungsschritt einer Abtastratenwandlung verständlich und nachvollziehbar darstellen kann. In dem darauf folgenden Kapitel wird die diskrete Faltung eingeführt, mit deren Hilfe man die Wirkungsweise eines Signalverarbeitungssystems im Zeitbereich beschreiben kann. Mit Hilfe der Faltung lässt sich bei Kenntnis der Impulsantwort des Verarbeitungssystems das zeitdiskrete Ausgangssignal für jedes beliebige Eingangssignal bestimmen. Es werden die eindimensionale Faltung und deren Anwendung zur Verarbeitung einer zeitlichen Folge von Abtastwerten sowie die zweidimensionale Faltung, die man zur Verarbeitung von Bildsignalen verwendet, vorgestellt. Ein Bild wird dazu als eine zweidimensionale Anordnung der diskreten Helligkeits- oder Farbintensitäten von Bildpunkten beschrieben. Im Anschluss wird die Korrelationsanalyse eingeführt, mit der man ein Maß für die Ähnlichkeit zweier Signale bestimmen kann. Es wird erläutert, welche Korrelationseigenschaften ein Signal besitzen sollte, damit man es beispielsweise nach der Übertragung über einen gestörten Kanal gut wieder erkennen kann. Diese Wiedererkennung kann man beispielsweise bei einem Radarsignal dazu benutzen, die Laufzeit eines Signals zu bestimmen und daraus auf die Entfernung eines Objekts zu schließen. Es werden Folgen von Abtastwerten vorgestellt, die die ge- H.G. Hirsch 6 Digitale Signalverarbeitung

7 forderten Korrelationseigenschaften besitzen. Ihre Anwendung zur Bestimmung der Impulsantwort von Systemen wird dargestellt. Das Verhalten vieler Signalverarbeitungssysteme lässt sich einfacher und anschaulicher im Frequenzbereich darstellen. Dazu wird im anschließenden Kapitel die Behandlung von Verarbeitungsblöcken im Frequenzbereich eingeführt. Die Diskrete Fourier Transformation (DFT) ist der zentrale Algorithmus, um aus einer Folge zeitdiskreter Abtastwerte ein ebenfalls diskretes Frequenzspektrum zu bestimmen. Nach einer Herleitung der DFT als die Fourier Transformation einer endlichen Anzahl von Abtastwerten werden die daraus resultierenden Eigenschaften der DFT erläutert. Insbesondere der Leckeffekt der DFT wird dargestellt. Für das Beispiel eines idealen Tiefpasses werden die Theoreme der Fourier Transformation dazu genutzt, die zugehörige Impulsantwort des idealen Tiefpasses zu bestimmen und den Effekt einer zeitlichen Beschränkung der Impulsantwort zu erläutern. Es wird damit ein Verfahren vorgestellt, um die Impulsantwort eines beliebigen Tiefpass-, Hochpass oder Bandpassfilters sowie die zugehörige Frequenzcharakteristik zu bestimmen. Im abschließenden Kapitel werden die digitalen Filter und ihre Behandlung mit Hilfe der Z-Transformation vorgestellt. Die Differenzierung von Filtern mit einer zeitlich begrenzten Impulsantwort (FIR) und einer zeitlich nicht begrenzten Impulsantwort (IIR) wird vorgenommen. Die Möglichkeit einer Adaption der Filterkoeffizienten wird aufgezeigt, die sich bei bestimmten Aufgabenstellungen wie einer Stör- oder Echokompensation im Fall von Signalen, die ihre Eigenschaften in Abhängigkeit der Zeit verändern, notwendig wird. H.G. Hirsch 7 Digitale Signalverarbeitung

8 1. Signalwandlung In Systemen zur Erfassung und Verarbeitung von Informationen werden diese Informationen heutzutage als digitale Signale benötigt und dargestellt. Da die Informationen meist mittels eines Sensors, z.b. eines Mikrofons oder eines CCD-Elements bei einer Kamera oder eines Messwertaufnehmers an einer Maschine, als analoge, elektrische Signale erfasst werden, ist eine Umwandlung des analogen Signals in ein digitales Signal erforderlich. Dabei wird das analoge Signal, das ein zeit- und wertekontinuierliches Signal darstellt, in ein zeit- und wertediskretes Signal gewandelt. Nachfolgend werden die dazu notwendigen Arbeitsschritte zur Abtastung eines analogen Signalverlaufs, zur Quantisierung der Abtastwerte und zur Codierung der quantisierten Abtastwerte als Dualzahl erläutert. Diese Vorgehensweise bezeichnet man als Puls-Code-Modulation (PCM). Nach der Einführung der Abtastung werden in dem sich anschließenden Abschnitt 1.2 die Kenntnisse über das Aussehen der Spektren abgetasteter Signale dazu genutzt, um die Arbeitsschritte zur Änderung der Abtastfrequenz eines digitalisierten Signals vorzustellen. Nach der Vorstellung der linearen Quantisierung werden im nachfolgenden Abschnitt 1.5 die Möglichkeiten einer Wahl nicht gleich breiter Quantisierungsintervalle aufgezeigt, um damit die mittlere Leistung der Quantisierungsfehler zu minimieren Abtastung Zur Erfassung eines analogen, elektrischen Signalverlaufs wird das Signal zu äquidistanten Zeitpunkten n T abgetastet, wie es beispielhaft für das von einem Mikrofon erfasste Signal in Abbildung 1.1 veranschaulicht wird. n nimmt einen ganzzahligen Wert im Bereich von,, 2, 1, 0, 1, 2,, an und wird als Abtastindex bezeichnet. Der Kontakt des Abtasters wird dabei mit dem zeitlichen Abstand T nur zu den Zeitpunkten n T geschlossen, wobei man idealisiert nur ein Schließen in einem unendlichen kurzen Zeitraum annimmt. Damit erhält man am Ausgang ein Signal x ab (t), das bis auf die Abtastzeitpunkte den Wert des Massepotentials (üblicherweise 0V) annimmt. Zur weiteren Verarbeitung des Signals mit einem Rechner H.G. Hirsch 8 Digitale Signalverarbeitung

9 1. Signalwandlung genügt es daher die Werte x(n T ) des Signals x(t) zu den Abtastzeitpunkten n T zu betrachten. Abbildung 1.1.: Abtastung eines tiefpassgefilterten Mikrofonsignals Den Kehrwert der Zeit T bezeichnet man als die Abtastfrequenz f a = 1, die die T Anzahl der Abtastwerte je Sekunde festlegt. Zum einen würde man für die Zeit T gerne einen möglichst großen Wert wählen, um die Anzahl der Abtastwerte und den daraus resultierenden Speicher- und Verarbeitungsaufwand möglichst gering zu halten. Zum anderen muss die Zeit T aber so gewählt werden, dass man den schnellsten Veränderungen im zeitlichen Verlauf der Spannung noch folgen kann. Die konkrete Wahl des Werts der Abtastfrequenz wird durch das sogenannte Abtasttheorem bestimmt, das auch als 1. Nyquistkriterium bezeichnet wird. Das Abtasttheorem besagt, dass ein Signal mit einer Frequenz abgetastet werden muss, die größer als das Doppelte der höchsten in dem Signal enthaltenen Frequenz ist. f a > 2 f max Die Frequenz f max beschreibt quantitativ die schnellsten Veränderungen, die im Signalverlauf auftreten. Da man die in einem Signal auftretende maximale Frequenz häufig nicht kennt, erfolgt vor der Abtastung eine Filterung des analogen Signals mit einem Tiefpass. Dieser verhindert weitgehend das Auftreten von Frequenzanteilen oberhalb von fa 2, um das zur Festlegung von f max umgestellte Abtasttheorem f max < fa zu erfüllen. Da ein realer analoger Tiefpass nicht die ideale rechteckförmige 2 Charakteristik besitzt, wie sie in Abbildung 1.1 veranschaulicht wird, wird die Grenzfrequenz f g des Tiefpasses in der Regel zu f g < fa gewählt. Damit wird insbesondere 2 der Tatsache Rechnung getragen, dass die Flanke im Bereich der Grenzfrequenz des Tiefpasses nur eine endliche Steilheit besitzt. Zur Festlegung der Grenzfrequenz des Tiefpasses wird beispielhaft das Sprachsignal betrachtet, das Frequenzanteile im Bereich bis etwa 7 khz besitzt. Dies bedingt eine H.G. Hirsch 9 Digitale Signalverarbeitung

10 1. Signalwandlung Abtastung mit einer Frequenz, die größer als 14 khz sein muss. Bei der Entwicklung des analogen Telefons hat man allerdings festgestellt, dass auch die Beschränkung auf den Bereich von 300 Hz bis 3,4 khz noch ein gut verständliches Sprachsignal liefert. Daher verwendet man zur digitalen Erfassung der Sprache im Bereich der Telephonie häufig eine Abtastfrequenz von 8 khz, so dass man auch bei Einsatz eines nicht idealen Tiefpasses, der eine Grenzfrequenz unterhalb von 4 khz besitzen muss, noch Frequenzanteile bis 3,4 khz erfassen kann. Damit erhält man 8000 Abtastwerte je Sekunde. Die Abtastwerte des zeitdiskreten Signals x(n T ) mit n =,, 2, 1, 0, 1, 2,, lassen sich aus einer mathematischen Beschreibung des analogen Signals x(t) durch eine Substitution von t durch n T berechnen. Damit ergibt sich beispielsweise für ein Cosinussignal die nachstehende mathematische Darstellung des zeitdiskreten Signals. ( x(t) = cos (2 π f t) t n T x(n T ) = cos 2 π n f ) f a Es ergibt sich eine Folge von Abtastwerten, die das Cosinussignal repräsentiert. Man findet an dieser Stelle einen wesentlichen Aspekt der digitalen Signalverarbeitung, nämlich die Abhängigkeit von dem Frequenzverhältnis f f a. Beispielsweise ergibt sich bei gleichzeitiger Verdopplung der Frequenz f und der Abtastfrequenz f a die gleiche Folge von Abtastwerten. Bei einer Folge von Abtastwerten kann man absolute Frequenzangaben nur bei Kenntnis der Abtastfrequenz machen. Dies macht deutlich, dass die Verarbeitung eines Signals in einem Digitalrechner immer relativ zur Abtastfrequenz erfolgt. Man beschreibt das zeitdiskrete Signal in der Regel auch nur in Abhängigkeit des Abtastindex n als x(n). Dabei definiert n, welcher Wert aus der Folge von Abtastwerten bearbeitet wird. Um die Eigenschaften des abgetasteten Signals im Frequenzbereich zu bestimmen, beschreibt man die Abtastung zu äquidistanten Zeitpunkten mathematisch als die Multiplikation des Signals mit einer Folge von Dirac Impulsen, wie es Abbildung 1.2 veranschaulicht. H.G. Hirsch 10 Digitale Signalverarbeitung

11 1. Signalwandlung Abbildung 1.2.: Analoges Signal (oben), Folge von Dirac-Impulsen (Mitte), PAM Signal (unten) Das Signal, das aus der Folge von Dirac Impulsen besteht, nimmt zu den Abtastzeitpunkten den Wert 1 an und ist ansonsten Null. Das aus der Multiplikation resultierende Signal nimmt zu den Abtastzeitpunkten die Werte x(n T ) an und ist ansonsten Null. Man bezeichnet diese Vorgehensweise auch als Pulsamplitudenmodulation (PAM). Die Folge von Dirac Impulsen lässt sich formal beschreiben als n= δ(t n T ) Unterwirft man diese Impulsfolge einer Fourier Transformation, so ergibt sich im Spektralbereich ebenfalls eine Folge von Dirac Impulsen: 1 δ(t n T ) δ ( ) f n T T = 1 T n= n= n= Die Dirac Impulse treten bei Vielfachen der Abtastfrequenz f a auf. δ (f n f a ) Aus der Multiplikation des Signals mit einer Impulsfolge im Zeitbereich wird eine Faltung des Spektrums mit der entsprechenden Impulsfolge im Frequenzbereich. H.G. Hirsch 11 Digitale Signalverarbeitung

12 1. Signalwandlung x ab (t) = x(t) δ(t n T ) n= X ab (f) = X(f) 1 T n= δ (f n f a ) Dies wird in Abbildung 1.3 in einer zweiseitigen spektralen Darstellung einschließlich negativer Frequenzen veranschaulicht, in der das Betragsspektrum eines gemäß dem Abtasttheorem tiefpassgefilterten Signals, die Folge von Dirac Impulsen im Frequenzbereich sowie das Betragsspektrum des abgetasteten Signals dargestellt sind. Der trapezförmige Funktionsverlauf des Spektrums X(f) ist nur als beispielhafte Darstellung zu sehen. In der Realität ist der Verlauf abhängig von den in dem Signal x(t) enthaltenen Frequenzkomponenten. Nach der Tiefpassfilterung dürfen nur keine Anteile mehr oberhalb der halben Abtastfrequenz enthalten sein. Abbildung 1.3.: Wiederholtes Auftreten des TP-Spektrums nach einer Faltung des Spektrums mit einer Folge von Dirac-Impulsen Die Abtastung im Zeitbereich führt zu einer periodischen Wiederholung des tiefpassgefilterten Spektrums bei Vielfachen der Abtastfrequenz. Das Spektrum des PAM Signals x ab (t) ist unendlich ausgedehnt. An dieser Stelle wird auch einsichtig, wie man aus dem PAM Signal x ab (t) wieder das analoge Signal x(t) rekonstruieren kann. Man benötigt einen Tiefpass mit H.G. Hirsch 12 Digitale Signalverarbeitung

13 1. Signalwandlung einer Grenzfrequenz f g fa, um das unendlich ausgedehnte Spektrum auf den Frequenzbereich fa f fa zu beschränken. Diese Tiefpassfilterung kann man im Zeitbereich anschaulich als die Rekonstruktion des kontinuierlichen Signals x(t) aus dem Signal x ab (t), das nur zu den Abtastzeitpunkten Werte ungleich Null besitzt, darstellen. Die glättende Wirkung des Tiefpasses führt somit zur Rekonstruktion der Signalwerte zwischen den Abtastzeitpunkten. Die komplette Verarbeitungskette zur Gewinnung und Übertragung eines pulsamplitudenmodulierten Signals sowie einer Rekonstruktion des analogen Signals aus dem PAM Signal ist in Abbildung 1.4 dargestellt. Anstelle einer Übertragung des Signals x ab (t) kann man auch nur die Abtastwerte x(nt ) übertragen und auf der Empfängerseite das Signals x ab (t) bei Kenntnis der Abtastfrequenz bzw. der Zeit T daraus rekonstruieren. Dies stellt das Prinzip einer digitalen Übertragung da, bei der nur die Werte x(nt ) übertragen werden. Auf der Empfängerseite müsste man ein Signal generieren, dass bis auf die Abtastzeitpunkte nt den Wert Null besitzt. Die Generierung unendlich kurzer Impulse ist in der Praxis nicht möglich. Auf die daraus resultierenden Konsequenzen wird später im Abschnitt zur Digital-/Analogumsetzung eingegangen (Kapitel 1.4). Abbildung 1.4.: PAM Signalgenerierung und Rekonstruktion des TP gefilterten analogen Signals Die Kenntnis von dem wiederholten Auftreten des Spektrums eines abgetasteten Signals kann auch herangezogen werden, um die bei einer Verletzung des Abtasttheorems auftretenden Effekte darzustellen. Es wird der Fall betrachtet, dass vor der Abtastung eines Signals keine entsprechende TP Filterung erfolgt, so dass in dem abzutastenden Signal Frequenzanteile oberhalb der halben Abtastfrequenz enthalten sind. Beispielhaft ist dazu in Abbildung 1.5 das Spektrum eines Cosinussignals, das eine Frequenz von 5 khz besitzt, im oberen Bild dargestellt. Das Spektrum besteht aus zwei Dirac Impulsen bei den Frequenzen -5 und +5 khz. Nach einer Abtastung des Cosinussignals mit einer Frequenz von 8 khz, treten weitere Impulse bei 8-5 = 3 khz und bei 8+5 = 13 khz als erste Wiederholung des Spektrums auf. Als zweite Wiederholung treten weitere Impulse bei 16-5 = 11 khz und bei 16+5 = 21 khz auf. Entsprechend fortgesetzt treten weitere Impulse für die weiteren Vielfachen der H.G. Hirsch 13 Digitale Signalverarbeitung

14 1. Signalwandlung Abtastfrequenz sowie im negativen Frequenzbereich auf. Abbildung 1.5.: Spektrum eines 5 khz Signals (oben), Spektrum des unterabgetasteten Signals (Mitte), Spektrum des TP gefilterten Signals (unten) Wird das aus der Abtastung resultierende PAM Signal mit einem korrekt gewählten Tiefpass gefiltert, so erhält man ein Cosinussignal, das eine Frequenz von 3 khz besitzt. Den beobachteten Effekt kann man verallgemeinernd so beschreiben, dass Frequenzanteile, die im abzutastenden Signal oberhalb von fa bei fa + f vorhanden sind, nach der Abtastung und Filterung bei fa f auftreten. Man spricht dabei auch von einer Rückfaltung der oberhalb von fa liegenden Frequenzanteile. 2 Im Allgemeinen kommt es zu einer Überlagerung der eigentlichen Frequenzanteile im Frequenzbereich unterhalb von fa mit den rückgefalteten Komponenten. Man 2 nennt diesen Effekt der Überlagerung von Spektralanteilen Aliasing. Das vor der Abtastung eingesetzte TP Filter wird daher häufig auch als Antialiasingfilter bezeichnet Abtastratenwandlung Im Bereich der digitalen Signalverarbeitung stößt man an einigen Stellen auf die Problematik aus den Abtastwerten x(n T 1 ) eines mit der Frequenz f a1 ( = 1 T 1 ) abgetasteten Signals die Abtastwerte x(n T 2 ) eines mit der Frequenz f a2 ( = 1 T 2 )abgetasteten Signals zu generieren. Hat man beispielsweise ein Sprachsignal mit einer Abtastfrequenz von 8 khz aufgezeichnet und möchte es später auf einer Audio-CD speichern, benötigt man eine mit 44.1 khz abgetastete Version des Sprachsignals, da dies die H.G. Hirsch 14 Digitale Signalverarbeitung

15 1. Signalwandlung im Bereich von Audio-CDs vorgegebene und standardisierte Frequenz darstellt. Mit Hilfe der im vorherigen Abschnitt vermittelten Kenntnisse zur Abtastung und zum Aussehen des Spektrums eines abgetasteten Signals lassen sich die zur Abtastratenwandlung benötigten Arbeitsschritte herleiten. Nachstehend werden die Vorgehensweisen zur Reduktion der Abtastfrequenz, die man auch als Unterabtastung bezeichnet, um einen ganzzahligen Faktor und zur Erhöhung der Abtastfrequenz, die man als Überabtastung bezeichnet, um einen ganzzahligen Faktor erläutert. Abschließend wird die Vorgehensweise zur Wandlung für ein beliebiges Verhältnis von alter und neuer Abtastfrequenz vorgestellt Unterabtastung um einen ganzzahligen Faktor Bei der Unterabtastung um einen ganzzahligen Wert k ergibt sich die neue Abtastfrequenz zu f aneu = fa. Nach dem Abtasttheorem darf das mit der Frequenz f k a neu abgetastete Signal nur Anteile bis faneu beinhalten. Das mit f 2 a abgetastete Ausgangssignal beinhaltet allerdings Frequenzanteile bis fa = k faneu. Dies macht die 2 2 Notwendigkeit einer Tiefpassfilterung als erstem Verarbeitungsschritt deutlich. Mit Hilfe eines digitalen Tiefpasses mit der Grenzfrequenz faneu müssen die Anteile im 2 Bereich von faneu bis k faneu zur Erfüllung des Abtasttheorems entfernt werden. Damit resultiert im Fall einer Unterabtastung ein Verlust der in den 2 2 Frequenzanteilen oberhalb von faneu 2 enthaltenen Informationen. Wie man später beim Entwurf digitaler Filter sehen wird, benötigt man dazu die Angabe des Frequenzverhältnisses von Grenzfrequenz und Abtastfrequenz. Im Allgemeinen ergibt sich dieses Verhältnis bei Filterung des mit f a abgetasteten Signals zu f g f a = f aneu 2 f a = f a = 1 k 2 f a 2 k Der zweite Verarbeitungsschritt besteht in einer Extraktion jedes k-ten Abtastwerts. Dies ergibt sich aus der k-fachen Zeit zwischen 2 Abtastwerten T neu = 1 f aneu = k f a = k T Damit reduziert sich die Anzahl der Abtastwerte um den Faktor k. Abbildung 1.6 zeigt die zur Unterabtastung benötigten Schritte. H.G. Hirsch 15 Digitale Signalverarbeitung

16 1. Signalwandlung TP mit f g = fa neu 2 Extrahieren jedes k-ten Werts Abbildung 1.6.: Verarbeitungsschritte zur Unterabtastung Im Folgenden wird als Beispiel ein mit f a = 24 khz abgetastetes Signal und dessen Spektrum in Abbildung 1.7 betrachtet. Es soll eine Unterabtastung bei der Frequenz f aneu = 8 khz erfolgen. Damit ergibt sich der ganzzahlige Faktor zu k = fa f aneu = f / khz Abbildung 1.7.: Spektrum bei f a = 24 khz Zunächst ist eine TP Filterung mit der relativen Grenzfrequenz von fg f a = 1 2 k = 1 6 erforderlich. Dies entspricht bei der Abtastfrequenz von f a = 24 khz einer Grenzfrequenz von f g = fa = 4 khz. Nach der Filterung erhält man das in Abbildung dargestellte Spektrum. Die rechteckförmige Charakteristik eines idealen Tiefpasses im Bereich von -4 bis +4 khz mit ihren spektralen Wiederholungen bei Vielfachen der Abtastfrequenz wird dabei multiplikativ mit dem Spektrum des in Abbildung 1.7 dargestellten Spektrums verknüpft. Daraus resultiert der Informationsverlust mit der Entfernung der Frequenzanteile im Bereich von faneu = 4 khz bis fa 2 2 sowie an der Ordinate gespiegelt im Bereich von -4 bis -12kHz. = 12 khz f / khz Abbildung 1.8.: Spektrum nach TP Filterung Das Extrahieren jedes dritten Abtastwerts als zweitem Verarbeitungsschritt und die H.G. Hirsch 16 Digitale Signalverarbeitung

17 1. Signalwandlung damit verbundene Reduktion der Abtastfrequenz auf einen Wert von 8 khz geht einher mit einem wiederholten Auftreten des Spektrums im Bereich von faneu 2 = 4kHz bis faneu 2 = 4 khz bei Vielfachen der Abtastfrequenz f aneu = 8 khz. Daraus resultiert das in Abbildung 1.9 dargestellte Spektrum. Anschaulich kann man sich dieses Spektrum auch als ein Zusammenschieben der nach der TP Filterung verbliebenen, um die Vielfachen der Abtastfrequenz liegenden Spektren, wie sie in Abbildung 1.8 zu sehen sind, vorstellen f / khz Abbildung 1.9.: Spektrum nach dem Extrahieren jedes dritten Werts Überabtastung um einen ganzzahligen Faktor Bei der Überabtastung um einen ganzzahligen Wert k ergibt sich die neue Abtastfrequenz zu f aneu = k f a. Das überabgetastete Signal besteht aus einer um den Faktor k höheren Anzahl von Abtastwerten und deckt einen um den Faktor k größeren Frequenzbereich bis faneu = k fa ab. Demnach kommt es in diesem Fall 2 2 zu keinem Informationsverlust, da das Spektrum bis fa vollständig erhalten bleibt. 2 Die Erhöhung der Anzahl der Abtastwerte kann man durch ein Einfügen von k-1 zusätzlichen Werten zwischen jeweils zwei Abtastwerten des mit f a abgetasteten Signals erreichen. Anschaulich könnte man sich dabei eine Interpolation der einzufügenden Werte aus den vorhandenen Werten als Lösungsansatz vorstellen. Eine derartige Vorgehensweise würde allerdings mit spektralen Verzerrungen einhergehen. Man wählt daher die nachfolgende, zweistufige Vorgehensweise. In einem ersten Verarbeitungsschritt fügt man k-1 Nullwerte zwischen jeweils 2 Abtastwerten ein. Man erhält dabei bereits ein Signal, dessen Abtastfrequenz f aneu ist. Dieses Einfügen von Nullwerten kann man sich auch als eine zweistufige Abtastung, wie sie in Abbildung 1.10 dargestellt ist, vorstellen. Zunächst erfolgt die Abtastung mit der Frequenz f a. Das Ausgangssignal dieser ersten Abtastung x ab1 (t) nimmt bis auf die Abtastzeitpunkte n T den Wert Null an. Tastet man das Signal x ab1 (t) zeitlich synchronisiert zur ersten Abtastung mit der um den Faktor k höheren Frequenz f aneu erneut ab, H.G. Hirsch 17 Digitale Signalverarbeitung

18 1. Signalwandlung so erhält man am Ausgang das Signal x ab2 (t), das unverändert dem Signal x ab1 (t) entspricht. Lediglich die Abtastwerte x(n T neu ) beinhalten nun die k-1 Nullwerte zwischen jeweils zwei Abtastwerten. Abbildung 1.10.: Einfügen von Nullwerten mit Hilfe einer zweistufigen Abtastung Die Vorstellung des Einfügens von Nullwerten als eine zweistufige Abtastung macht deutlich, dass die Spektren X ab1 (f) und X ab2 (f) der identischen Signale x ab1 (t) und x ab2 (t) auch gleich sein müssen. Das Spektrum X ab1 (f) besteht aus dem Spektrum des tiefpassgefilterten Signals x(t) im Bereich von fa bis + fa sowie den spektralen Wiederholungen bei Vielfachen der Abtastfrequenz f a. Allerdings beinhaltet 2 2 das identische Spektrum X ab2 (f) gemäß dem Abtasttheorem die Frequenzanteile eines zugehörigen analogen Signals im Bereich bis faneu. Im Bereich von fa faneu bis findet man die Anteile der spektralen Wiederholungen des mit f a abgetasteten Signals, die für die Aufgabenstellung der Erzeugung eines überabgetasteten Signals mit identischem Spektrum unerwünscht sind. Aus dieser Betrachtung wird deutlich, dass als 2. Verarbeitungsschritt wieder eine TP Filterung benötigt wird, um die Anteile im Bereich von fa bis faneu 2 2 zu entfernen. Die relative Grenzfrequenz des TP müsste f idealerweise g f aneu = fa 2 f aneu = 1 2 k Abbildung 1.11 zeigt die zur Überabtastung benötigten Schritte. Einfügen von k-1 Nullwerten TP mit f g = fa 2 Abbildung 1.11.: Verarbeitungsschritte zur Überabtastung Zur Veranschaulichung werden im Folgenden beispielhaft die Spektren eines mit f a = 8 khz abgetasteten Signals und der mit f aneu = 24 khz überabgetasteten Version dargestellt. Das in Abbildung 1.12 dargestellte Spektrum repräsentiert zum einen die H.G. Hirsch 18 Digitale Signalverarbeitung

19 1. Signalwandlung Frequenzzusammensetzung des mit 8 khz abgetasteten Signals mit den spektralen Wiederholungen bei Vielfachen von f a = 8 khz, wobei der dreiecksförmige Verlauf nur als beispielhafte Charakteristik gewählt wurde. f a 2 f a 2neu f / khz Abbildung 1.12.: Spektrum vor bzw. nach Einfügen von Nullwerten Zum anderen beinhaltet das Spektrum die Frequenzzusammensetzung des mit 24kHz abgetasteten Signals nach der Einfügung von k 1 = faneu f a 1 = 3 1 = 2 Nullstellen. Allerdings ist die Darstellung in diesem Fall so zu interpretieren, dass die Anteile im Bereich von 12 bis +12 khz wiederholt bei den Vielfachen von f aneu = 24 khz auftreten. Zur Entfernung der unerwünschten Anteile im Bereich von 4 bis 12 khz wird eine digitale Filterung mit einem Tiefpass, dessen Grenzfrequenz 4kHz beträgt, durchgeführt. Damit verbleiben nach der Filterung nur noch die Anteile im Bereich von 4 bis +4 khz sowie die Wiederholungen bei den Vielfachen von 24 khz, wie es der Darstellung in Abbildung 1.13 entnommen werden kann. f a 2neu f / khz Abbildung 1.13.: Spektrum nach TP Filterung Unter- und Überabtastung um einen nicht ganzzahligen Faktor Zur Realisierung einer Über- oder Unterabtastung um einen nicht ganzzahligen Faktor kann man die beiden zuvor vorgestellten Verarbeitungsschritte der Überund der Unterabtastung hintereinander anwenden. Man definiert sich dazu eine höhere Zwischenabtastfrequenz f az, die sich aus dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (KGV) der beiden Abtastfrequenzen ergibt. Dann lässt sich f az als ganzzahliges Vielfaches der Abtastfrequenzen f a und f aneu darstellen: f az = k 1 f a = H.G. Hirsch 19 Digitale Signalverarbeitung

20 1. Signalwandlung k 2 f aneu mitk 1, k 2 ganzzahlig. Zunächst führt man eine Überabtastung des mit f a abgetasteten Signals um den Faktor k 1 durch. Als ersten Verarbeitungsschritt fügt man dazu k 1 1 Nullwerte zwischen jeweils zwei Abtastwerten des mit f a abgetasteten Signals ein. Man erhält damit ein mit f az abgetastetes Signal, bei dem man als zweitem Verarbeitungsschritt eine TP Filterung mit der relativen Grenzfrequenz f g f az = 1 2 k 1 anwenden muss, wie es im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde. Im Anschluss führt man eine Unterabtastung um den Faktor k 2 durch. Dazu ist eine TP Filterung mit der relativen Grenzfrequenz fg f az = 1 2 k 2 erforderlich. Als letzten Verarbeitungsschritt extrahiert man jeden k 2 ten Wert des gefilterten Signals, so dass man das gewünschte mit f aneu abgetastete Signal erhält. Die zuvor beschriebenen Verarbeitungsschritte, die aus der nacheinander durchgeführten Über- und anschließenden Unterabtastung bestehen, beinhalten zwei unmittelbar aufeinander folgende TP Filterungen. Diese kann man zusammenfassen, in dem man { eine } TP Filterung mit dem Minimum der beiden Grenzfrequenzen fg 1 1 f az = min 2 k 1, 2 k 2 durchführt. Die Grenzfrequenz f g wird dabei als Minimum der beiden halben Abtastfrequenzen f a 2 faneu und festgelegt. In Abbildung 1.14 wird nochmals die zur Über- oder Unterabtastung um einen nicht ganzzahligen Faktor erforderliche 2 Verarbeitungskette veranschaulicht. Einfügen von k -1 Nullwerten 1 TP mit a f g=min{ f faneu, } 2 2 Extrahieren jedes k -ten Werts 2 Abbildung 1.14.: Verarbeitungsschritte zur Abtastratenwandlung um einen nicht ganzzahligen Faktor In einigen praktischen Anwendungsfällen führt die beschriebene Vorgehensweise zur Bestimmung sehr großer Werte der Zwischenabtastfrequenz f az. Hat man beispielsweise ein Audiosignal mit einer Abtastfrequenz von f a = 16000Hz auf einem PC erfasst und möchte es später auf einer Audio-CD, bei der die Abtastfrequenz standardmäßig auf f aneu = Hz festgelegt ist, abspeichern, so erhält man als kleinstes gemeinsamen Vielfaches einen Wert von f az = Hz. Dies würde bedeuten, dass man zunächst eine Überabtastung um den Faktor 441 und eine anschließende Unterabtastung um den Faktor 160 durchführen müsste. Die erforderliche TP Filterung mit der Grenzfrequenz fa f az = min { 1, } = 1 würde sich nur mit 882 einem sehr hohen Aufwand realisieren lassen, was die erforderliche Rechenleistung und den Speicheraufwand angeht. Zur Realisierung eines qualitativ guten Filters mit einer derart kleinen Grenzfrequenz benötigt man eine hohe Filterordnung mit H.G. Hirsch 20 Digitale Signalverarbeitung

21 1. Signalwandlung einer entsprechend großen Anzahl von Filterkoeffizienten. Daher modifiziert man die Vorgehensweise in einem solchen Fall in der Weise, dass man eine nicht zu große Zwischenabtastfrequenz wählt, die näherungsweise ein gemeinsames Vielfaches darstellt. Für das vorgestellte Beispiel mit f a = Hz und f aneu = Hz erhält man beispielsweise für die beiden Werte und die Zahl als kleinstes gemeinsamen Vielfaches. Man kann eine Überabtastung um den Faktor 11 vornehmen, bei der nach Einfügen von 10 Nullwerten eine TP Filterung mit fg f az = 1 22 durchgeführt wird. Zur Unterabtastung mit dem Faktor 4 benötigt man ein mit Hz abgetastetes Signal, um das gewünschte Signal bei der Abtastfrequenz f aneu = Hz zu erhalten. Dazu kann man die Abtastwerte bei der Frequenz Hz durch Interpolation der mit Hz abgetasteten Werte und Berechnung der Amplituden für die Zeitpunkte der Abtastung mit Hz bestimmen. Abbildung 1.15 versucht dies zu veranschaulichen. Durch die Extraktion jedes vierten Werts der interpolierten Abtastwerte kann man dann die Unterabtastung um den Faktor 4 vornehmen. In diesem Fall ist es ausreichend die Interpolation auch nur für jeden vierten Wert vorzunehmen. 1/ Hz 1/ Hz Abtastzeitpunkte Interpolationszeitpunkte t Abbildung 1.15.: Interpolation der Abtastwerte bei angenäherter Zwischenabtastfrequenz Die Interpolation kann dabei im einfachsten Fall durch eine lineare Interpolation zwischen jeweils zwei Abtastwerten oder aber durch Interpolation mit Hilfe eines Polynoms höheren Grades aus mehreren Abtastwerten erfolgen Verkleinern und Vergrößern von Bildern Die vorgestellten Verarbeitungsschritte zur Unter- und Überabtastung können auch im Bereich der Bildverarbeitung verwendet werden, um digital erfasste Bilder mit einer größeren oder kleineren Anzahl von Bildpunkten darzustellen. Die prinzipielle Vorgehensweise, die in den vorhergehenden Abschnitten zur Verarbeitung eindimensionaler Signale, bei denen eine Folge von Abtastwerten in Abhängigkeit der Zeit auftritt, beschrieben wurde, kann auch auf die zweidimensionale Anordnung der H.G. Hirsch 21 Digitale Signalverarbeitung

22 1. Signalwandlung Farb- oder Lichtintensitäten eines Bildes übertragen werden. Digitale Bilder lassen sich als zweidimensionale Signale in Abhängigkeit der beiden Ausdehnungen eines Bildes in horizontaler und vertikaler Richtung darstellen. Bei einem Farbbild treten dabei in der Regel drei separate Signale für die drei Farbbasiskomponenten, häufig rot, grün und blau, auf. Die Verkleinerung und Vergrößerung soll an Hand konkreter Beispiele aufgezeigt werden. Möchte man ein Bild, das aus 400 mal 200 Bildpunkten besteht, auf eine Darstellung mit 200 mal 100 Bildpunkten reduzieren, so kann man sich dies als eine Beschränkung auf jeden zweiten Bildpunkt sowohl in Zeilen- als auch in Spaltenrichtung vorstellen. Diese Beschränkung auf die Bildpunkte in jeder zweiten Zeile und jeder zweiten Spalte wird in Abbildung 1.16 veranschaulicht. Abbildung 1.16.: Extrahieren jedes zweiten Bildpunktes Vor der Extraktion jedes zweiten Bildpunkts in Zeilen- und Spaltenrichtung muss wie bei der zuvor beschriebenen Unterabtastung bei eindimensionalen Zeitsignalen eine TP Filterung durchgeführt werden, um das Abtasttheorem nicht zu verletzen, was die Veränderungen der Intensität in einer Zeile oder Spalte angeht. Diese TP Filterung kann separat nacheinander in Zeilen- und Spaltenrichtung ausgeführt werden. Idealerweise müsste die Grenzfrequenz des Tiefpasses fg f a = 1 2 k = 1 4 betragen, da die Anzahl der Punkte in Zeilen- bzw. Spaltenrichtung jeweils um den Faktor k = 2 reduziert wird. Alternativ kann auch in einem einzelnen Verarbeitungsschritt eine zweidimensionale Faltung mit der zweidimensionalen Impulsantwort eines geeigneten TP Filters erfolgen. Die Vorgehensweise zur zweidimensionalen Faltung als auch das Aussehen derartiger Filter werden im nachfolgenden Kapitel zur diskreten Faltung vorgestellt. Im umgekehrten Fall der Erhöhung der Anzahl von Bildpunkten von 200 mal 100 auf eine Pixelanzahl von 400 mal 200 kann man wie bei der Überabtastung im eindimensionalen Fall entsprechende Nullintensitäten einfügen, wie es in Abbildung 1.17 veranschaulicht wird. H.G. Hirsch 22 Digitale Signalverarbeitung

23 1. Signalwandlung Abbildung 1.17.: Einfügen von Nullintensitäten Zum Ersatz der Nullintensitätswerte durch Werte, mit denen der Intensitätsverlauf in Zeilen- und Spaltenrichtung interpoliert wird, kann wiederum eine entsprechende TP Filterung angewendet werden. Die Grenzfrequenz des Tiefpasses müsste idealerweise fg f a = 1 = 1 betragen, da die Anzahl der Punkte in Zeilen- bzw. Spaltenrichtung jeweils um den Faktor k = 2 erhöht wird. Dieser kurze Exkurs in den 2 k 4 Bereich der Bildverarbeitung soll deutlich machen, dass man die grundsätzlichen Überlegungen zur Abtastratenwandlung bei eindimensionalen Signalen wie auch andere später vorgestellte Verarbeitungsschritte auch auf zweidimensionale Signale übertragen kann Quantisierung und Codierung In einem Digitalrechner werden Werte als Dualzahlen mit einer bestimmten Anzahl von Bits dargestellt. Dazu werden in einem zweiten Schritt nach der Abtastung die Amplituden x(n) der Abtastwerte quantisiert. Der Wertebereich, in dem die Amplitudenwerte auftreten, wird in eine festgelegte Anzahl von 2 k gleich breiten Intervallen unterteilt. Alle Amplitudenwerte in einem Intervall werden anschließend als eine Dualzahl mit k Bits codiert. Legt man den zu erfassenden Amplitudenbereich symmetrisch um den Wert Null herum im Bereich von A max bis +A max fest, so ergibt sich für die Breite x eines Quantisierungsintervalls ein Wert von x = A max ( A max ) = 2 A max = A max 2 k 2 k 2 k 1 A max beschreibt dabei die kleinste und +A max die größte Amplitude, die in dem zu erfassenden Signal auftreten sollte. Für eine beispielhafte Codierung mit k = 3 Bits ergibt sich damit eine Breite von x = Amax = Amax 2 k 1 4 Das Intervall, in das ein Abtastwert x(n) fällt, wird als Dualzahl mit 3 Bits codiert. In der Regel verwendet man bei bipolaren Signalen, die negative und positive H.G. Hirsch 23 Digitale Signalverarbeitung

24 1. Signalwandlung Amplitudenwerte annehmen, eine Zuordnung der Dualzahlen gemäß dem Zweierkomplement, da man mit dieser Zahlendarstellung die Amplitudenwerte unmittelbar rechnerisch verarbeiten kann. In der nachstehenden Tabelle 1.1 werden die Zuordnung der Dualzahlen und der Intervalle gemäß der Darstellung im Zweierkomplement sowie die Beschreibung der Dualzahl als ganze Zahl verdeutlicht. Intervall Dualzahl Darstellung als ganze Zahl b 2 b 1 b 0 Z = b i=0 b i 2 i A max = 4 x x < 3 x x x < 2 x x x < x x x < x < x x x < 2 x x x < 3 x x x < 4 x = A max Tabelle 1.1.: Beschreibung der Abtastwerte in einem Intervall durch eine Dualzahl (Zweierkomplement) Die Abfolge von Abtastung, Quantisierung und Codierung bezeichnet man als Puls- Code-Modulation (PCM). Das Ausgangssignal der PCM ist zeit- und wertediskret. Die praktische Realisierung der PCM erfolgt in einem Analog-Digital Umsetzer (ADU). Möchte man die mit k Bit codierten Werten zur Rekonstruktion des analogen Signals wieder auf die ursprünglichen Amplitudenwerte x(n) abbilden, so stößt man auf das Problem, auf Grund der Quantisierung nicht mehr die genaue Lage des Abtastwerts in dem entsprechenden Quantisierungsintervall zu kennen. Daher verwendet zur Rekonstruktion den Amplitudenwert in der Mitte des zugehörigen Intervalls. Damit lässt sich der Vorgang der Quantisierung durch die in Abbildung 1.19 dargestellte stufenförmige Kennlinie beschreiben, die man auch als Quantisierungskennlinie bezeichnet. In Abbildung 1.19 wird beispielhaft eine Quantisierung mit k = 3 Bit und der zugehörigen Unterteilung des Amplitudenbereichs in 8 Intervalle dargestellt. Mit Hilfe der Quantisierungskennlinie kann man den Quantisierungsvorgang als Verarbeitungsblock definieren, den man beispielsweise im Rahmen einer Simulation einsetzen kann. H.G. Hirsch 24 Digitale Signalverarbeitung

25 1. Signalwandlung x(n) Q ^x(n) Abbildung 1.18.: Verarbeitungsblock zur Quantisierung Abbildung 1.18 visualisiert diesen Verarbeitungsblock, bei dem x(n) als Eingangswert und ˆx(n) als Ausgangswert des Blocks auftreten. Abbildung 1.19.: Quantisierungs- und Abbildungskennlinie für eine PCM bei einer Wortlänge von 3 Bit Die Quantisierungskennlinie lässt sich mathematisch beschreiben durch [ ( ) x(n) ˆx(n) = sign (x(n)) int + 1 ] x, x 2 wobei sign(arg) das Vorzeichen von arg repräsentiert und int(arg) die Bestimmung der nächstkleineren ganzen Zahl von arg definiert. Auf Grund der Abbildung aller Amplitudenwerte in einem Quantisierungsintervall auf den Wert in der Mitte des Intervalls treten Fehler auf, die sich quantitativ als Differenz des quantisierten Amplitudenwerts und des ursprünglichen Werts beschreiben lassen e(n) = ˆx(n) x(n) H.G. Hirsch 25 Digitale Signalverarbeitung

26 1. Signalwandlung Zur modellhaften Beschreibung dieser Fehler, z.b. im Rahmen einer Simulation der Quantisierungseffekte, kann man die Quantisierung als einen Additionsblock darstellen, wie er in Abbildung 1.20 dargestellt ist. Den Amplitudenwerten x(n) des Signals überlagern sich additiv die Werte des Fehlersignals e(n), wobei man zur Generierung der Fehlerwerte ein gleichverteiltes Rauschen verwenden kann, wie es im Folgenden erläutert wird. x(n) ^x(n) e(n) Abbildung 1.20.: Darstellung des Quantisierungsfehlers als additive Störung Die Quantisierungsfehler treten in dem Intervall x 2 e(n) x 2 auf. Sie überlagern sich dem ursprünglichen Signal als so genanntes Quantisierungsrauschen. Bei akustischen Signalen wird das Rauschen bei einer zu geringen Bitanzahl hörbar. Abbildung 1.21.: Analoges und PAM Signal (oben), PCM Signal (mitte), Quantisierungsfehler (unten) Die Quantisierungsfehler, die bei einer Quantisierung des bereits in Abbildung 1.2 H.G. Hirsch 26 Digitale Signalverarbeitung

27 1. Signalwandlung verwendeten Signalabschnitts auftreten, werden in Abbildung 1.21 veranschaulicht. Dabei wird eine Quantisierung des Amplitudenbereichs von -2 bis +2 mit 3 Bit vorgenommen, so dass sich die Breite eines Quantisierungsintervalls zu x = = 1 2 ergibt und die Quantisierungsfehler im Intervall 1 4 e(n) 1 4 auftreten. Um den Einfluss des Quantisierungsrauschens quantitativ zu beschreiben, betrachtet man das Verhältnis der Leistungen des Signals und des Rauschens. Man bezeichnet das Verhältnis daher auch als Signal/Rauschleistungsverhältnis (SNR = signal-tonoise ratio). Die Leistung eines Signals lässt sich bei Kenntnis der Auftrittswahrscheinlichkeiten aller Amplitudenwerte als Erwartungswert der quadrierten Amplitude berechnen: S = E { x 2} = x= p(x) x 2 dx Man bezeichnet die Funktion p(x), die die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Amplitude x beschreibt, auch als Verteilungsdichtefunktion. Bei einem natürlichen Signal kann man annehmen, dass die Quantisierungsfehler im Bereich x 2 e(n) x 2 mit gleich großer Wahrscheinlichkeit auftreten, da sich die Lage eines Amplitudenwerts in einem Quantisierungsintervall zufällig ergibt. Damit nimmt die Verteilungsdichtefunktion p(e) das in Abbildung 1.22 dargestellte Aussehen an. Abbildung 1.22.: Verteilungsdichtefunktion des Quantisierungsfehlers Eine Verteilungsdichtefunktion besitzt die grundlegende Eigenschaft, dass die Fläche unter der Funktion gleich Eins ist: p(x) dx = 1. Damit ergibt sich die konstante Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Quantisierungsfehlers im Intervall x e(n) x zu p(e) = 1 2 x damit berechnen zu 2. Die Leistung N des Quantisierungsrauschens lässt sich H.G. Hirsch 27 Digitale Signalverarbeitung

28 1. Signalwandlung N = x= e 2 p(e) de = x 2 x 2 1 x e2 de = 1 x [ e 3 3 ] x 2 x 2 = 1 ( ) x 3 3 x 8 + x3 = x Nimmt man auch für das Signal ein gleichwahrscheinliches Auftreten der Amplitudenwerte im Quantisierungsbereich A max x(n) +A max an, so lässt sich die Leistung S des Signals berechnen zu S = x= p(x) x 2 dx = = A max A max 1 2 A max x 2 dx = 1 (2 ) A 3 A 2 max = max 6 A max A max Damit ergibt sich das Signal/Rauschleistungsverhältnis in db zu SNR = 10 log 10 ( S N ) ( ) A 2 = 10 log max x 2 [ x 3 3 ] Amax A max Mit x = 2 A ( ) max 4 A 2 SNR = 10 log max ( 2 k k = 10 log ) 4 A k max SNR = 10 2 k log 10 (2) = k 20 0, 301 = k 6, 02 db Unter der Annahme des gleichwahrscheinlichen Auftretens aller Amplitudenwerte im gesamten Quantisierungsbereich erhält man damit den einfachen Zusammenhang einer linearen Abhängigkeit des Signal/Rauschleistungsverhältnisses von der Bitanzahl k. Damit ergibt sich beispielsweise die häufiger zu findende Angabe eines Signal/Rauschleistungsverhältnisses von 96 db ( 16 6, 02 db) als Qualitätsangabe bei CDs (compact disks), bei denen ein Audiosignal in 2 16 Intervallen, d.h. mit einer Wortlänge von 16 Bit, quantisiert wird. Die Bestimmung des Signal/Rauschleistungsverhältnisses mit SN R = k 6, 02 db ist an zwei Bedingungen gebunden, die für viele Signale in der Regel nicht erfüllt sind. Die erste Bedingung ist die volle Ausnutzung des Quantisierungsbereichs. Ein Analog-/Digitalumsetzer wird normalerweise so konfiguriert, dass es nicht zu ei- H.G. Hirsch 28 Digitale Signalverarbeitung

29 1. Signalwandlung ner Überschreitung des Quantisierungsbereichs (Übersteuerung) kommen sollte. Eine Übersteuerung kann zu sehr großen Quantisierungsfehlern führen, die sich auch akustisch störend bemerkbar machen. Daher wird man beispielsweise bei der Erfassung von Sprache die Quantisierung so konfigurieren, dass es auch bei einem lauten Sprecher nicht zur Übersteuerung kommt. Andererseits führt dies bei einem leisen Sprecher dazu, dass möglicherweise nur ein kleiner Teil des Quantisierungsbereichs genutzt wird. In diesem Fall reduziert sich die Signalleistung bei einer weiterhin angenommenen Gleichverteilung der Amplitudenwerte im Amplitudenbereich Amax r auf + Amax r S = 1 3 ( A max 1 ) 2 r x(n) wobei r einen Wert größer 1 annimmt. Die Leistung N des Rauschens verändert sich dabei nicht, da die Breite eines Quantisierungsintervalls unverändert bleibt und die Fehler damit weiterhin im gleichen Wertebereich auftreten. Beispielsweise würde r = 2 bedeuten, dass nur die Hälfte des möglichen Wertebereichs des A/D Umsetzers verwendet wird. Das resultierende Signal/Rauschleistungsverhältnis ergibt sich allgemein zu ( ) ( S 12 A 2 SNR = 10 log 10 = 10 log max 10 1 ) ( ) 2 2k = 10 log N 3 x 2 r 2 10 r 2 ( = 10 log ) ( k 10 log ) 10 r 2 = k 6, 02 db 20 log 10 (r) Für r = 2 resultiert daraus eine Verschlechterung des SNRs um 6,02 db. Für das Beispiel einer Quantisierung mit 16 Bit (wie bei der CD) würde eine Beschränkung der Aussteuerung auf die Hälfte des maximal möglichen Amplitudenbereichs zu einem SNR von log 10 2 = 90 db führen. Dies entspricht dem SNR, das sich bei einer Quantisierung mit 15 Bit einstellt. Die Beschränkung auf die Hälfte des maximal möglichen Quantisierungsbereichs entspricht einer Quantisierung mit der Hälfte der insgesamt 2 k Intervalle: 1 2 2k = 2 k 1 Dies bedeutet, dass die Quantisierung eines Signals, das nur die Hälfte des Quantisierungsbereichs ausnutzt, einer Quantisierung mit einer um 1 Bit geringeren Genauigkeit entspricht. Für ein Signal, das zwar eine Gleichverteilung der Amplituden aufweist, aber den Quantisierungsbereich nicht voll ausnutzt, kann man die folgende Abhängigkeit des H.G. Hirsch 29 Digitale Signalverarbeitung

30 1. Signalwandlung SNR von der Leistung S des Signals bzw. von dem Leistungsverhältnis S S voll ableiten, wobei S voll der Leistung bei einer vollen Ausnutzung des Quantisierungsbereichs entspricht. ( ) ( ) ( ) ( S S S SNR = 10 log 10 = 10 log 10 S voll N N Svoll Svoll = 10 log 10 S voll N ( ) ( ) ( ) Svoll S S = 10 log log 10 = k 6, 02 db + 10 log 10 N S voll S voll Damit ergibt sich ein einfacher linearer Zusammenhang für den ( Wert des SNR in db S in Abhängigkeit des logarithmischen Verhältnisses 10 log 10 S voll ), wie man es der Darstellung in Abbildung 1.23 für eine Quantisierung mit k=8 Bit und mit k=12 Bit entnehmen kann. S S voll ) H.G. Hirsch 30 Digitale Signalverarbeitung

31 1. Signalwandlung Abbildung 1.23.: Abhängigkeit des SNR von der Ausnutzung des maximalen Quantisierungsbereichs Bei einer ( vollen Ausnutzung des Quantisierungsbereichs ist S = S voll bzw. 10 S log 10 = 0 und das SNR nimmt den Wert k 6, 02 db an. Verkleinert sich S voll ) beispielsweise die Signalleistung relativ um 6 db, so resultiert daraus auch eine Verschlechterung des SNR um 6 db. Auch die zweite Bedingung, dass alle Amplitudenwerte mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten, ist bei vielen Signalen nicht erfüllt. Beispielsweise treten bei Audiosignalen kleine Amplitudenwerte wesentlich häufiger auf als große. Eine näherungsweise Darstellung der Verteilungsdichtefunktion für Audiosignale findet sich in Abbildung Diese Funktion besitzt die Charakteristik einer Laplace oder Gamma Verteilung. Dabei ist die logarithmische Skalierung der Ordinate zu beachten. Bei einer linearen Darstellung würde eine noch deutlich höher gelegene Spitze bei dieser Verteilung auftreten. H.G. Hirsch 31 Digitale Signalverarbeitung

32 1. Signalwandlung Abbildung 1.24.: Gamma Funktion zur Beschreibung der Verteilungsdichtefunktion bei Audiosignalen Da die kleinen Amplitudenwerte wesentlich häufiger als große auftreten, resultiert daraus auch eine im Vergleich zur Gleichverteilung wesentlich geringere Signalleistung. Für Sprache erhält man daher bei linearer Quantisierung ein SNR, das um etwa 6 bis 7 db schlechter ist als bei einem Signal, dessen Amplitudenwerte eine Gleichverteilung über den gleichen Amplitudenbereich aufweisen. Zusammenfassend kann man festhalten, dass die häufig angegebene Beschreibung SNR = k 6, 02 db als Maß für die Güte der Quantisierung die in der Praxis anzutreffenden Signal/Rauschleistungsverhältnisse bei vielen Signalen, z.b. bei Sprachund Audiosignalen, nur näherungsweise wiedergeben. Insgesamt ergibt sich bei Anwendung der Puls-Code-Modulation auf Grund der Abtastung und Quantisierung ein Datenstrom, den man quantitativ durch eine Datenrate beschreiben kann. Beispielsweise benötigt man zur Codierung von Sprache eine Quantisierung mit k = 12 Bit, um bei einer Rekonstruktion des Signals eine gute Sprachqualität zu gewährleisten. Damit ergeben sich Datenraten von s s 12 Bit = Bit s 12 Bit = Bit s bei einer Abtastung mit f a = 16 khz und von bei einer Abtastung mit f a = 8 khz. H.G. Hirsch 32 Digitale Signalverarbeitung

33 1. Signalwandlung Bei der zweikanaligen (Stereo) Erfassung eines Musiksignals mit der im Bereich der Audio-CD üblichen Abtastfrequenz von 44,1 khz und einer Quantisierung mit k = 16 Bit erhält man eine Datenrate von s 16 Bit = Bit 2 1, 4 MBit s Rekonstruktion des analogen Signals (Digital-/Analogumsetzung) Um aus den codierten Abtastwerten wieder das analoge Signal zu rekonstruieren, kann man zunächst die Dualzahlen auf die Amplitudenwerte ˆx(n) abbilden, die den Wert in der jeweiligen Mitte des zugehörigen Intervalls annehmen. Dann müsste man aus der Folge von Abtastwerten { ˆx( 2) ˆx( 1) ˆx(0) ˆx(1) ˆx(2) } wieder das pulsamplitudenmodulierte Signal generieren, das ein analoges Signal darstellt, dessen Amplitude gleich Null ist außer zu den Zeitpunkten n T, bei denen das Signal die Amplitudenwerte ˆx(n T ) annimmt. Die Rekonstruktion des analogen Signals aus dem pulsamplitudenmodulierten Signal mit Hilfe eines Tiefpassfilters mit der Grenzfrequenz f g < fa 2 wurde bereits in Abschnitt 1.1 beschrieben. In der Praxis lassen sich allerdings keine unendlich kurzen Impulse erzeugen. Man verwendet in einem Digital-/Analogumsetzer (DAU) meist ein Abtast-Halte-Glied, das für die Dauer T eines Abtastzyklus ein Signal mit der konstanten Amplitude ˆx(n) erzeugt. Damit erhält man ein treppenförmiges Signal, wie es beispielhaft in Abbildung 1.25 dargestellt ist. Zur korrekten Rekonstruktion des analogen Signals aus dem treppenförmigen Signal benötigt man neben dem bereits erwähnten Tiefpassfilter noch ein weiteres Filter, dessen Charakteristik sich aus der mathematischen Beschreibung des treppenförmigen Signals ableiten lässt. Der Ersatz der mit den Werten ˆx(n) gewichteten Dirac-Impulse durch Rechteckimpulse mit der Dauer T lässt sich als eine Faltung der Dirac-Impulse mit einer Rechteckfunktion der Breite T darstellen: [ x(n) n= δ(t n T ] ( ) t rect T Der Faltung mit der Rechteckfunktion entspricht im Frequenzbereich eine Multiplikation mit der Fourier Transformierten der Rechteckfunktion. Die Fourier Transformierte der Rechteckfunktion nimmt die Charakteristik einer so genannten SI Funk- H.G. Hirsch 33 Digitale Signalverarbeitung

34 1. Signalwandlung tion an, was in einem späteren Kapitel detailliert hergeleitet wird. Die SI Funktion stellt eine gedämpfte Sinusschwingung der Form sin(x) dar. Die Transformation des x Rechtecks mit der Breite T führt zu der Übertragungsfunktion ( ) t rect T T sin(π f T ) π f T = T ( ) sin π f f a π f f a Der Amplitudengang H(f) = sin(π f ) fa ist in Abbildung 1.26 dargestellt. Zur korrekten Rekonstruktion des analogen Signals benötigt man daher ein Filter, das π f fa zum einen die Wichtung mit der SI förmigen Charakteristik kompensiert und zum anderen die TP Filterung, idealerweise mit einem TP mit der halben Abtastfrequenz als Grenzfrequenz, beinhaltet. Die aus der multiplikativen Verknüpfung von 1 H(f) und dem idealen TP resultierende Filtercharakteristik ist in Abbildung 1.27 dargestellt Zeit/ms Abbildung 1.25.: Generierung eines treppenförmigen Signals mit Hilfe eines Abtast- Halte-Glieds H.G. Hirsch 34 Digitale Signalverarbeitung

35 1. Signalwandlung 1 H(f) f/f a Abbildung 1.26.: SI förmige Frequenzcharakteristik 1.5 H comp (f) fa/2 fa Frequenz Abbildung 1.27.: Frequenzgang des Kompensations- und Rekonstruktionsfilters 1.5. Nichtlineare Quantisierung Ausgehend von der in Abbildung 1.24 gezeigten Verteilungsdichtefunktion, die deutlich macht, dass bei dem beispielhaft betrachteten Audiosignal kleine Amplituden- H.G. Hirsch 35 Digitale Signalverarbeitung

36 1. Signalwandlung werte wesentlich häufiger auftreten als große, lässt sich der Ansatz einer nichtlinearen Quantisierung ableiten. Dabei wird die Breite eines Quantisierungsintervalls nicht einfach konstant über den gesamten Quantisierungsbereich gewählt, sondern in Abhängigkeit der Auftrittswahrscheinlichkeit bestimmter Amplituden oder Amplitudenbereiche festgelegt. Im Fall des Audiosignals wird im Bereich kleiner Amplitudenwerte, die mit einer wesentlich höheren Wahrscheinlichkeit auftreten, die Breite der Quantisierungsintervalle kleiner gewählt als im Bereich der mit einer deutlich geringeren Wahrscheinlichkeit auftretenden größeren Amplitudenwerten. Dadurch treten bei den kleinen Amplituden geringere Quantisierungsfehler auf. Da sich die Rauschleitung N als Erwartungswert über den gesamten Quantisierungsbereich unter Einbezug der zugehörigen Auftrittswahrscheinlichkeiten berechnet, ergibt sich dabei eine insgesamt geringere mittlere Leistung des Quantisierungsrauschens. Dies führt zu einer Verbesserung des SNRs im Vergleich zu einer gleichmäßigen Quantisierung mit der gleichen Bitanzahl. Im Folgenden wird zunächst als ein Beispiel einer nichtlinearen Quantisierung die Codierung von Sprache gemäß dem internationalen Standard G.711 der ITU (International Telecommunication Union) vorgestellt. Abschließend wird eine Vorgehensweise vorgestellt, um für ein Signal mit einer beliebigen, aber bekannten Verteilungsdichtefunktion, die Intervallgrenzen einer nichtlinearen Quantisierung zur Minimierung des SNR festzulegen. Der aus dieser Vorgehensweise resultierende Quantisierer wird nach den Erfindern als Max Lloyd Quantisierer bezeichnet Codierung von Sprache gemäß der ITU Empfehlung G.711 Der Ansatz einer nichtlinearen Quantisierung bei Sprachsignalen wurde mit der Zielsetzung verfolgt, eine geeignete Sprachcodierung zur Sprachübertragung im ISDN (Integrated Services Digital network) zu finden. Bei ISDN steht zur Übertragung von Sprache ein Nutzkanal mit einer Datenrate von 64 kbit zur Verfügung. Es wurde zuvor gezeigt, dass bei der Puls-Code-Modulation von Sprache zur Erzielung s einer guten Sprachqualität im Bereich der Telefonie ein Datenstrom mit einer Datenrate von 96 kbit entsteht. Zur Reduktion der Datenrate auf den Wert von 64 kbit hat s s man daher bei der Entwicklung der verschiedenen Dienste im ISDN die nichtlineare Quantisierung zur Codierung der Sprache herangezogen. Da die technische Realisierung eines unmittelbar nichtlinear arbeitenden Quantisierers einigen Aufwand erfordert, nimmt man eine Abbildung der Amplitudenwerte H.G. Hirsch 36 Digitale Signalverarbeitung

37 1. Signalwandlung mit Hilfe einer nichtlinearen Kennlinie und eine anschließende lineare Quantisierung der abgebildeten Werte vor. Dies hat den Vorteil, dass die Quantisierung in bekannter Weise bei einer linearen Unterteilung des Quantisierungsbereichs vorgenommen werden kann. In Abbildung 1.28 ist eine solche Kennlinie y = g(x) dargestellt ist, wobei nur der Bereich der positiven Amplitudenwerte betrachtet wird. Abbildung 1.28.: Kompressor-Kennlinie zur nichtlinearen Quantisierung Für negative Werte erfolgt die Abbildung mit Hilfe der zum Ursprung punktsymmetrischen Kennlinie. Zudem erfolgt hier eine normierte Darstellung durch eine Skalierung der Eingangs- und Ausgangswerte der Abbildung auf den Wertebereich zwischen 0 und 1. Man bezeichnet eine derartige Kennlinie auch als Kompressor- Kennlinie. Die lineare Quantisierung der abgebildeten y Werte führt zu einer nichtlinearen Quantisierung der x Werte, wie es Abbildung 1.28 veranschaulicht. Die Quantisierungsfehler sind bei kleinen Amplitudenwerten deutlich niedriger als bei großen. Nach Codierung und Übertragung der quantisierten abgebildeten Amplitudenwerte müssen zur Rekonstruktion des Signals beim Empfänger die codierten Werte mit Hilfe einer inversen Expander-Kennlinie wiederum auf den Wertebereich von x abgebildet werden, wie es in Abbildung 1.29 veranschaulicht wird. Diesen Vorgang der Kompression und anschließenden Expansion bezeichnet man auch als Kompandierung. H.G. Hirsch 37 Digitale Signalverarbeitung

38 1. Signalwandlung Abbildung 1.29.: Quantisierung mit Kompandierung Bei ISDN ergibt sich für die angestrebte Datenrate von 64 kbit bei der im Bereich der s Telephonie üblichen Abtastfrequenz von 8 khz eine Anzahl von 8 Bits zur Quantisierung eines Abtastwerts. Somit kann die lineare Quantisierung der mit der Kennlinie abgebildeten Werte in 256 Abtastintervallen vorgenommen werden. Die genaue Definition des Verlaufs der in Abbildung 1.28 gezeigten Abbildungskennlinie wurde zur Erreichung zweier Ziele vorgenommen. Das erste Ziel war eine Quantisierung der kleinen, häufig auftretenden Amplitudenwerte mit einer Genauigkeit, die der einer linearen Quantisierung mit 12 Bit entspricht. Dieses Ziel lässt sich erreichen, wenn die Kennlinie im Ursprung relativ steil mit einer Steigung von 16 verläuft. Damit nehmen die Quantisierungsintervalle im Bereich kleiner Amplituden eine Breite an, die 1 der Breite eines Quantisierungsintervalls bei der linearen 16 Quantisierung der abgebildeten Werte entspricht. Dem entspricht eine um 4 Bit höher aufgelöste Quantisierung gegenüber der linearen Quantisierung mit 8 Bit. Als zweites Ziel wurde ein Verlauf des SNRs in Abhängigkeit der Signalleistung angestrebt, so dass sich dabei ein nahezu konstanter Wert des SNRs im Bereich größerer Amplituden einstellt. Da die Signalleistung S x 2 und die Rauschleistung N x 2 ist, kann man aus dem zweiten Ziel das Kriterium ableiten, einen möglichst konstanten relativen Quantisierungsfehler x i x sich ein logarithmischer Verlauf der Kennlinie. = const zu erreichen. Daraus ergibt In Europa wurde die sogenannte A-Kennlinie festgelegt, die aus 2 Abschnitten besteht: y 1 (x) = A 1 + ln(a) x für 0 x 1 A und y 2 (x) = 1 + ln(x) 1 + ln(a) = 1 + ln(a) + ln(x) 1 + ln(a) = 1 + ln(a x) 1 + ln(a) für 1 A x 1 H.G. Hirsch 38 Digitale Signalverarbeitung

39 1. Signalwandlung Bei dem ersten Abschnitt handelt es sich eine Geraden-Kennlinie. A nimmt einen Wert von A = an, womit sich die Steigung im Ursprung zu A 1+ln(A) = 16 ergibt. Damit verkleinern sich die Quantisierungsintervalle um den Faktor 16 = 2 4, so dass sich das Signal-/Rauschleistungsverhältnis (SNR) in dem Bereich 1 A x 1 A um 4 6 = 24 db gegenüber einer linearen Quantisierung erhöht. Wie schon zuvor erwähnt, wird für die negativen Amplitudenwerte die zum Ursprung punktsymmetrische Kennlinie verwendet. In den digitalen Telefonsystemen Nordamerikas und Japans wird zur nichtlinearen Quantisierung die sogenannte µ-kennlinie verwendet: y(x) = sign(x) ln(1 + µ x ) ln(1 + µ) mit µ = 255 für 1 x 1 Die Verläufe von A- und µ-kennlinie sind allerdings nahezu identisch. Die exakte Berechnung des SNR ist bei einer nichtlinearen Quantisierung etwas aufwendiger. Näherungsweise lässt sich das SNR für eine Vollaussteuerung des gesamten, zur Quantisierung zur Verfügung stehenden Amplitudenbereichs berechnen zu SN R/dB = 8 6, 02 9, 99 = 38, 17 db, wobei dazu wieder das gleichwahrscheinliche Auftreten aller Amplitudenwerte im gesamten Quantisierungsbereich angenommen wird. Damit ergibt sich ein um etwa 10 db schlechteres SNR im Vergleich zur linearen Quantisierung, wenn man den Quantisierungsbereich voll ausnutzt und ein Signal annimmt, dessen Amplitudenwerte aller mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Wie jedoch im vorhergehenden Abschnitt bereits gezeigt wurde, sind diese Annahmen bei Sprache nicht zutreffend. Die Verläufe des SNRs in Abhängigkeit der Ausnutzung des zur Verfügung stehenden Quantisierungsbereichs werden in Abbildung 1.30 für eine lineare Quantisierung mit 8 oder 12 Bit sowie für eine nichtlineare Quantisierung mit 8 Bit dargestellt. Dabei wird wie in Abbildung 1.23 das( SNR in Abhängigkeit des logarithmierten S Verhältnisses der Leistungen 10 log 10 angegeben unter der Annahme eines S voll ) gleichwahrscheinlichen Auftretens der Amplitudenwerte. Dem Verlauf kann man entnehmen, dass man in den Signalabschnitten, in denen nur kleine Amplitudenwerte mit einer entsprechend geringen Signalleistung auftreten, im Vergleich zur linearen Quantisierung mit 8 Bit eine Verbesserung des SNRs um 24 db erzielt. Dies resultiert aus der Quantisierung der kleinen Amplituden mit der um den Faktor 16 geringeren Intervallbreite, was effektiv einer Quantisierung mit = 12 Bit entspricht. Bei Sprache treten solche Signalabschnitte sehr häufig auf. Im Bereich größerer Amplituden stellt sich das angestrebte konstante SNR mit H.G. Hirsch 39 Digitale Signalverarbeitung

40 1. Signalwandlung einem Wert von etwa 38 db ein. Abbildung 1.30.: SNR in Abhängigkeit der Signalleistung S eines gleichverteilten Signals Insgesamt stellt sich bei der nichtlinearen Quantisierung des Sprachsignals in der praktischen Anwendung im ISDN ein besseres SNR im Vergleich zur linearen Quantisierung mit 8 Bit ein. Die gröbere Quantisierung bei größeren Amplitudenwerten wird aufgrund der psychoakustischen Wahrnehmungseigenschaften des menschlichen Gehörs als nicht besonders störend wahrgenommen. In der praktischen Realisierung wird die logarithmische Kennlinie in einzelnen Abschnitten durch eine jeweils lineare Kompander-Kennlinie angenähert. Dazu wird der gesamte Wertebereich 1 x 1 in 13 Segmente unterteilt, weshalb man auch von einer 13-Segmentkennlinie spricht. In Abbildung 1.31 ist der positive Bereich der Kennlinie für x 0 und y 0 dargestellt, in dem 7 der 13 Segmente zu sehen sind. H.G. Hirsch 40 Digitale Signalverarbeitung

41 1. Signalwandlung Abbildung 1.31.: 13 Segment-Kennlinie Dabei ist das unterste Segment in dieser Darstellung im Bereich 0 x < 1 64 nur zur Hälfte zu sehen, da die sich durch den Ursprung fortsetzende, gleiche Geraden- Kennlinie auch im Bereich 1 < x 0 negativer Werte verwendet wird. Die 64 anderen 6 Segmente im Bereich x 1 treten im negativen Bereich aufgrund der 64 punktsymmetrischen Kennlinie in entsprechender Weise auf, so dass sich insgesamt 13 Abschnitte ergeben. Bei einer linearen Quantisierung des y Wertebereichs mit 8 Bit bedeutet diese Segmentierung, dass für die positiven Werte x 0 im untersten Segment 32 der insgesamt 128 Quantisierungsstufen im positiven Wertebereich liegen und in den verbleibenden 6 Segmenten jeweils 16 Quantisierungsstufen liegen. Im negativen Bereich sieht es entsprechend aus, so dass das den Ursprung einschließende Segment 64 der insgesamt 256 Quantisierungsstufen umfasst. Die nichtlineare Quantisierung mittels dieser Kompander-Kennlinie kann man auch als eine Abbildung von digitalen Werten, die linear mit 12 Bit quantisiert wurden, auf digitale Werte, die durch 8 Bit beschrieben werden, ansehen. Diese Abbildungsvorschrift kann man für die 13 Segmente der tabellarischen Zusammenstellung in Tabelle 1.2 entnehmen. H.G. Hirsch 41 Digitale Signalverarbeitung

42 1. Signalwandlung Segment Bereich Dualzahl (12 Bit) Code (8 Bit) 0 0 x < 2 7 S S x < 2 6 S S x < 2 5 S S x < 2 4 S S x < 2 3 S S x < 2 2 S S x < 2 1 S S x < 2 0 S 1... S Tabelle 1.2.: Abbildungsvorschrift von 12 auf 8 Bit bei der nichtlinearen Quantisierung nach G.711 Das Vorzeichenbit S des 8 Bit Codes wird von der 12-stelligen Dualzahl übernommen. Die nächsten drei Bit beschreiben sozusagen die Segmentzugehörigkeit. Und die 4 niederwertigsten Bits entsprechen den 4 Bit der 12-stelligen Dualzahl nach der führenden 1. Diese 4 Bit beschreiben eine lineare Unterteilung eines Segments in 16 Intervalle. Insgesamt resultiert damit eine Quantisierung mit einer zu größeren Amplituden hin zunehmend geringeren Auflösung. Bei kleinen Amplituden nimmt man eine Quantisierung mit 12 Bit vor, die sich zu größeren Amplituden hin schrittweise bis auf einen Wert von 6 Bit verschlechtert. Die aus dieser Abbildungsvorschrift resultierende Quantisierungskennlinie ist in Abbildung 1.32 dargestellt. Die nichtlineare, in den einzelnen Abschnitten jedoch wieder lineare Quantisierung sowie die zuvor angegebene Abbildungsvorschrift werden in dieser Form durch den internationalen Standard G.711 der ITU (International Telecommunication Union) beschrieben, der die Grundlage für die Übertragung von Sprachsignalen im ISDN darstellt. Damit lässt sich eine subjektiv gute Sprachqualität erzielen. Die mit der Codierung nach G.711 erzielte Sprachqualität wird auch häufig als Referenz für die Beurteilung der mit anderen Sprachcodierungsverfahren erzielten Sprachqualität herangezogen, beispielsweise in der Mobilkommunikation. H.G. Hirsch 42 Digitale Signalverarbeitung

43 1. Signalwandlung Abbildung 1.32.: ALAW- Quantisierungskennlinie nach dem ITU Standard G.711 Zukünftig wird das ISDN vollständig durch ein schon heute vorhandenes, parallel betriebenes IP basiertes Netzwerk mit einer paketbasierten Übertragung der Daten ersetzt werden. Zur Übertragung von Sprache steht eine Vielzahl verschiedener Codierverfahren zur Verfügung, mit denen deutlich niedrigere Datenraten im Vergleich zu G.711 bei einem allerdings deutlich höheren Rechenaufwand erzielt werden können. Daher wird zurzeit und vermutlich auch in Zukunft die Codierung gemäß G.711 weiterhin in vielen Fällen zur Sprachübertragung eingesetzt werden Max-Lloyd Quantisierer Im vorhergehenden Abschnitt wurde beispielhaft die Quantisierung des Sprachsignals betrachtet, bei dem die kleineren Amplitudenwerte mit wesentlich höherer Wahrscheinlichkeit auftreten. Es gibt selbstverständlich viele Signale, die die Charakteristik anderer Verteilungsdichtefunktionen besitzen. Daher hat man Verfahren entwickelt, um für eine beliebige, aber vorgegebene Verteilungsdichtefunktion die Lage und die Breiten der Quantisierungsintervalle mit dem Ziel einer Minimierung des mittleren SNR festzulegen. Das nach seinen Erfindern benannte Verfahren beinhaltet eine iterative Vorgehensweise zur Festlegung der Quantisierungsniveaus für H.G. Hirsch 43 Digitale Signalverarbeitung

44 1. Signalwandlung eine vorgegebene Verteilungsdichtefunktion p(x). Im Folgenden werden die einzelnen Schritte des Verfahrens erläutert. Das Ziel ist eine Bestimmung der Quantisierungsniveaus ˆx(i) mit i = 1, 2,..., M für M Quantisierungsintervalle, so dass die Leistung N der Quantisierungsfehler ein Minimum annimmt. Die M Intervalle decken dabei den Amplitudenbereich von A max bis +A max ab. M wird in der Regel zu 2 k gewählt, wenn die Quantisierung mit k Bits erfolgen soll. Die Rauschleistung N lässt sich als Erwartungswert über die M Intervalle berechnen zu N = M b i i=1 b i 1 (ˆx(i) x) 2 p(x) x wobei die Werte b i mit i = 0, 1,..., M die Grenzen der Quantisierungsintervalle definieren. In einem ersten Initialisierungsschritt werden die Quantisierungsniveaus ˆx(i) zunächst zufällig festgelegt. Beispielsweise könnte man die Niveaus und die Grenzen b i gemäß einer linearen Quantisierung mit x = Amax 2 k 1 festlegen zu b i = A max + i x mit i = 0, 1,..., M ˆx(i) = A max + 2 i 1 2 x mit i = 1,..., M Nach dieser Initialisierung und einer Berechnung der dabei zu erwartenden Fehlerleistung N ini wird im nächsten Schritt unter Berücksichtigung der Verteilungsdichtefunktion p(x) die neue und veränderte Lage der Quantisierungsniveaus berechnet mittels b i x p(x) x b i 1 ˆx neu (i) = b i b i 1 p(x) x mit i = 1,..., M Die Grenzen der Quantisierungsintervalle werden mittig zwischen den Quantisierungsniveaus gewählt zu H.G. Hirsch 44 Digitale Signalverarbeitung

45 1. Signalwandlung b i = ˆx neu(i) + ˆx neu (i + 1) 2 mit i = 1,..., M 1 und b o = A max, b M = +A max Mit den so gewählten Niveaus und Intervallgrenzen kann die Fehlerleistung für diesen Iterationsschritt berechnet werden. Die iterative Vorgehensweise mit einer wiederholten Bestimmung neuer Quantisierungsniveaus kann man beispielsweise so lange fortsetzen, bis die relative Veränderung der Fehlerleistung von einem Iterationsschritt zum nächsten eine festgelegte Schwelle unterschreitet. H.G. Hirsch 45 Digitale Signalverarbeitung

46 2. Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Um die Eigenschaften eines Systems, mit dem Signale verarbeitet werden, im Zeitbereich ohne den Einsatz komplexer Differentialgleichungssysteme zu beschreiben, wird ein solches System als Zweitor betrachtet. Die Darstellung als Zweitor kann man in gleicher Weise bei der Verarbeitung analoger und digitaler Signale verwenden, wie es in Abbildung 2.1 veranschaulicht wird. Abbildung 2.1.: Signalverarbeitungssystem als Zweitor Das Zweitor kann im Rahmen der Systemtheorie durch die Angabe eines analogen Ausgangssignals y(t) oder eines digitalen Ausgangssignals y(n) als Reaktion auf ein Eingangssignal x(t) oder x(n) beschrieben werden, wobei man y(t) oder y(n) mathematisch als Funktion des Einganssignals darstellen kann: y (t) = f {x(t)} bzw. y( n) = f {x (n)} Nachfolgend werden zunächst die Eigenschaften linearer, zeitinvarianter Systeme definiert, auf deren Betrachtung sich dieses Kapitel beschränkt. Zur Bestimmung des analogen Ausgangssignals eines solchen Systems, konkret des funktionalen Zusammenhangs zwischen Eingangs- und Ausgangssignal, wird das Faltungsintegral hergeleitet. Dazu wird die Kenntnis der Stossantwort des Systems benötigt. Aus dem H.G. Hirsch 46 Digitale Signalverarbeitung

47 2. Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Faltungsintegral ergibt sich für zeitdiskrete Signale und Systeme eine Faltungssumme zur Bestimmung des digitalen Ausgangssignals. Neben dieser mathematischen Herleitung der Faltungssumme wird eine anschauliche Ableitung aus den grundlegenden Eigenschaften linearer, zeitinvarianter Systeme gegeben. Abschließend werden die algebraischen Regeln vorgestellt, die bei der Faltung von Signalen gelten Lineare, zeitinvariante (LTI) Systeme Im Folgenden wird die Betrachtung auf lineare, zeitinvariante Systeme beschränkt, die sich durch die beiden Eigenschaften Linearität und Zeitinvarianz auszeichnen. Gemäß der englischen Übersetzung als linear time invariant system findet man in der Literatur häufig das Kürzel LTI zur Kennzeichnung von Systemen, die diese Eigenschaften besitzen. Die beiden Eigenschaften definieren sich wie folgt: Es wird ein System betrachtet, an dessen Ausgang die Signale y i (t) als Reaktion auf die zugehörigen Eingangssignale x i (t) auftreten. Dieses System wird als linear bezeichnet, wenn eine beliebige, mit Faktoren a i gewichtete Linearkombination von Eingangssignalen x i (t), i = 1, 2, 3,... zu einer entsprechenden, gewichteten Linearkombination von Ausgangssignalen y i (t) führt: { } y(t) = f a i x i (t) = a i f {x i (t)} = a i y i (t) i Es wird ein System betrachtet, an dessen Ausgang das Signal y(t) als Reaktion auf das Eingangssignal x(t) auftritt. Das System heißt zeitinvariant, wenn eine zeitliche Verschiebung des Eingangssignals zur gleichen zeitlichen Verschiebung des Ausgangssignals führt, ohne die Form des Ausgangssignals dabei zu verändern: y(t) = f {x(t t 0 } = y(t t 0 ) Als ein von [1] übernommenes Beispiel wird die Reaktion eines RC-Zweitors auf einen analogen Rechteckimpuls als Folge des Auf- und Entladens des Kondensators betrachtet, wie es in Abbildung 2.2 dargestellt ist. H.G. Hirsch 47 Digitale Signalverarbeitung

48 2. Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich Abbildung 2.2.: Reaktion eines RC-Zweitors auf einen Rechteckimpuls [1] Abbildung 2.3.: Reaktion eines RC-Zweitors auf eine Folge von Rechteckimpulsen [1] Da es sich bei dem RC-Zweitor um ein lineares, zeitinvariantes System handelt, kann die Reaktion auf eine Folge von Impulsen als eine additive Überlagerung der Reaktionen auf jeden einzelnen Impuls beschrieben werden. Dies wird beispielhaft in Abbildung 2.3 veranschaulicht, in dem zwei Impulse mit unterschiedlichen Amplitudenfaktoren zeitlich versetzt auf den Eingang des RC-Zweitors gegeben werden Herleitung des Faltungsintegrals Das in Abbildung 2.3 gezeigte Beispiel deutet an, wie das Ausgangssignal eines linearen, zeitinvarianten Signalverarbeitungssystems prinzipiell als additive Überlagerung der Reaktionen auf eine Summe elementarer Eingangssignale bestimmt werden kann, wenn man das Ausgangssignal als Reaktion auf das elementare Eingangssignal kennt. Damit lässt sich das Ausgangssignal für ein beliebiges Eingangssignal bestimmen. Kennt man beispielsweise das Ausgangssignal eines Systems für einen Rechteckimpuls x 0 (t) der Breite T 0 und der Amplitude 1 T 0, so lässt sich allgemein H.G. Hirsch 48 Digitale Signalverarbeitung

49 2. Diskrete Faltung zur Beschreibung digitaler Systeme im Zeitbereich ein beliebiges Eingangssignal näherungsweise als Summe derartiger Rechteckimpulse und das Ausgangssignal als additive Überlagerung der Reaktionen auf die Folge von Impulsen beschreiben. Dies wird in Abbildung 2.4 veranschaulicht. Abbildung 2.4.: Beschreibung des Ausgangssignals als Summe der Reaktionen auf eine Folge von Rechteckimpulsen [1] Das Signal x(t) kann näherungsweise als Folge von Rechteckimpulsen beschrieben werden, wobei die Amplitude jedes Rechtecks durch den Amplitudenwert x (n T 0 ) bei der zeitlichen Mitte jedes Impulses beschrieben wird. Wird jeder Rechteckimpuls als gewichtete Version des bekannten Rechteckimpulses x o (T ), der die Amplitude 1 T 0 besitzt, beschrieben, so lässt sich das Signal x(t) näherungsweise beschreiben als n= x 0 (t n T 0 ) x (n T 0 ) T 0 x (t) Das Ausgangssignal lässt sich dann ebenfalls näherungsweise als additive Überlagerung der mit den jeweiligen Amplitudenfaktoren x (n T 0 ) T 0 gewichteten Reaktionen beschreiben als y 0 (t n T o ) x (n T 0 ) T 0 y(t) n= H.G. Hirsch 49 Digitale Signalverarbeitung