Grundlagen Worum geht es in diesem Modul? Beispiel: Benzinverbrauch eines Autos

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1 Grundlagen Worum geht es in diesem Modul? Beispiel: Benzinverbrauch eines Autos Was versteht man unter Schätzen? Die Punktschätzung Notation Umgangssprachliches vs. statistisches Schätzen Das Urnenmodell Ein Schätzer für den Parameter p Erstes Simulationsexperiment Ergebnisse der Simulation Worum geht es in diesem Modul? Dieses Modul schafft die Grundlagen für eine fundierte Auseinandersetzung mit dem Thema Schätzen. Dazu soll zu Beginn an einigen Beispielen herausgestellt werden, was unter Schätzen (im statistischen Sinne) verstanden wird. Gleichzeitig werden mögliche Anwendungsgebiete skizziert. Nach der Einführung der benötigten Notation macht eine erste Simulation mit der Idee des Schätzens vertraut und zeigt weiterführende Problemstellungen auf. Beispiel: Benzinverbrauch eines Autos Die Nachbarn Herr Janssen und Herr Nielsen unterhalten sich über den Benzinverbrauch ihrer Autos. Herr Janssen, der sich kürzlich eine MittelklasseLimousine zugelegt hat, ist von dem hohen Benzinverbrauch seiner "Neuerwerbung" einigermaßen überrascht. Herr Janssen: Ich bereue den Kauf fast schon wieder. Langsam verstehe ich nämlich, warum der Wagen so günstig war! Der Wagen schluckt ja mehr Benzin als ein Bus! Herr Nielsen: Wieso? Was verbraucht er denn? Herr Janssen: Mit der letzten Tankfüllung habe ich knappe 400 Kilometer geschafft und das für 55! Herr Nielsen: Was fasst denn Ihr Tank? Herr Janssen: 50 Liter ich habe es ausgerechnet, das macht ca. 13 Liter auf 100 Kilometer. Eine Katastrophe! Page 1

2 Herr Nielsen: Das hat doch aber noch nicht viel zu sagen, schließlich waren Sie erst einmal Tanken. Vielleicht haben Sie Pech gehabt... Herr Janssen: Ja, Pech beim Autokauf! Herr Nielsen: Nein, so meine ich das nicht. Sie können doch den durchschnittlichen Verbrauch nicht an einer Messung bestimmen. Es ist im Moment sehr heiß, da haben Sie bestimmt Ihre neue Klimaanlage voll aufgedreht. Außerdem hängt der Benzinverbrauch von sehr vielen Faktoren ab. Wenn Sie z.b. nur in der Hauptverkehrszeit durch die Innenstadt fahren... Herr Janssen:... "Fahren" ist da übertrieben, Herr Nielsen, da geben Staus, rote Ampeln und Baustellen sich ein fröhliches StellDichEin! Herr Nielsen: Eben das meine ich ja, Herr Janssen all diese Faktoren beeinflussen den Benzinverbrauch. (Leise) Von Ihrem Fahrstil mal ganz abgesehen... Herr Janssen (nachdenklich): Ihr Wort in Gottes Ohr! Herr Nielsen: Schauen Sie mal hier. Für meinen Dienstwagen muss ich das alles protokollieren. Mit dieser Tankfüllung bin ich fast 600 Kilometer gefahren und hier mit dieser da waren es gerade mal knapp 400 Kilometer. Und beide Male habe ich etwa 40 Liter getankt. Der Verbrauch schwankt also zwischen 6,7 und 10 Litern auf 100 Kilometer. Im letzten Jahr lag der Durchschnitt immerhin bei 8 Litern auf 100 Kilometer. Was versteht man unter Schätzen? Das einleitende Beispiel verdeutlicht die Idee des Schätzens bereits. Viele Fragestellungen laufen darauf hinaus, eine unbekannte Konstante (z.b. den durchschnittlichen Benzinverbrauch auf 100 Kilometern) zu ermitteln, welche das zu untersuchende Merkmal der Einheiten der Grundgesamtheit charakterisiert. Wir nennen diese unbekannte Konstante "Kenngröße" oder "Parameter der Grundgesamtheit". Beispiel: Verschiedene Schätzprobleme Beispielsweise möchte man wissen, welcher Anteil von Personen einer bestimmten Personengruppe der Partei A angehört, welchem Anteil von Personen einer bestimmten Personengruppe ein Produkt A bekannt ist, wie viele Personen durchschnittlich in einem Haushalt einer bestimmten Haushaltsgruppe leben, welches durchschnittliche Alter ein an einer bestimmten Universität immatrikulierter Studierender hat, welcher Anteil von Studierenden einer bestimmten Universität sich im 12. oder höheren Studiensemester befindet, wie groß die Streuung, ausgedrückt durch die Standardabweichung, der Beschäftigtenzahl von Firmen einer bestimmten Firmengruppe ist, welcher Zusammenhang, ausgedrückt durch den Korrelationskoeffizienten, zwischen Beschäftigtenzahl und Umsatz einer bestimmten Branche besteht,... Die Punktschätzung Ziel des Schätzens ist es, Aussagen über einen unbekannten Parameter zu machen, Page 2

3 der die Einheiten der Grundgesamtheit charakterisiert. In diesem Lernmodul findet dabei zugunsten einer besseren Verständlichkeit und größeren Anschaulichkeit eine bewusste Beschränkung auf endliche Grundgesamtheiten statt. Eine exakte Erfassung des Parameters wäre daher über eine Totalerhebung möglich (unter Vernachlässigung einschlägiger Validitätsprobleme bei empirischen Erhebungen vgl. ). In der Praxis ist man allerdings aus verschiedenen Gründen (Kosten, Zeitaufwand) auf Stichproben angewiesen, woraus sich die Notwendigkeit zum Schätzen ergibt. Der Schätzwert ist der "möglichst gute Näherungswert" für den Wert des wahren Parameters, der sich aus der Stichprobe ergeben hat. Die folgende Animation beschreibt diesen Zusammenhang genauer. : Flashanimation ' Animation Punktschätzer ' siehe OnlineVersion Beispiel: Die Sonntagsfrage Ein typisches Schätzproblem ist die so genannte "Sonntagsfrage", bei der zufällig ausgewählte wahlberechtigte Bürger gefragt werden, welche Partei sie wählen würden, wenn am kommenden Sonntag Wahlen wären. Das Schätzproblem dahinter besteht darin, aus dem Ergebnis der Befragung von einigen tausend Personen (der Stichprobe) auf das Wahlverhalten der gesamten wahlberechtigten Bevölkerung (ca. 61 Millionen Deutsche) zu schließen. In Deutschland gibt es einige Institute, die sich u.a. auf die Durchführung solcher Befragungen und auf Wahlhochrechnungen spezialisiert haben. Weitere Informationen zu diesem Thema finden sich unter den folgenden Links: Eine Besonderheit von Wahlprognosen und Wahlhochrechnungen besteht darin, dass ex post durch die Wahl selbst der wahre Parameterwert bestimmt wird, so dass sich die Genauigkeit der Schätzung (Prognose bzw. Hochrechnung) überprüfen lässt. Bei fast allen anderen in der Praxis relevanten Schätzproblemen ist eine exakte Bestimmung des Page 3

4 wahren Parameterwertes durch eine vollständige Untersuchung der Grundgesamtheit (auch nachträglich) nicht möglich bzw. aus ökonomischen Gründen nicht sinnvoll. Notation Wir wollen an dieser Stelle noch einmal kurz zusammenfassen, was wir bisher über das Schätzen wissen und die benötige Notation ergänzen: Wir versuchen, Aussagen über einen unbekannten Parameter zu machen, der die Einheiten der Grundgesamtheit charakterisiert. Diesen Parameter bezeichnen wir allgemein als. Da wir den Wert von nicht kennen, versuchen wir ihn zu schätzen. Der verwendete Schätzer ist eine Funktion, die die Informationen aus einer Stichprobe vom Umfang aggregiert. Wir nennen diesen Schätzer allgemein und schreiben. Weil als Schätzung immer einen konkreten Wert liefert, bezeichnet man auch als Punktschätzer. Der Sinn dieser Bezeichnung erschließt sich erst, wenn man weiß, dass es auch Schätzungen gibt, bei denen ein Intervall anstatt eines konkreten Wertes aus einer Stichprobe bestimmt wird diese Schätzungen werden wir an späterer Stelle noch kennenlernen (im ) Beispiel: Notation für die Schätzung des Benzinverbrauchs Gehen wir davon aus, dass der Benzinverbrauch auf 100 Kilometer eines Autos sich durch ein Normalverteilungsmodell (vgl. ) beschreiben lässt. Der unbekannte Parameter, dessen Wert wir schätzen wollen, ist dann der Parameter der Normalverteilung. Wir würden wie Herr Nielsen im einleitenden Beispiel den Benzinverbrauch beobachten. Die gesammelten Messwerte für den durchschnittlichen Benzinverbrauch auf 100 Kilometer,, bilden dann unsere Stichprobe vom Umfang. Herr Nielsen hat als Schätzfunktion einfach den Durchschnitt über alle Beobachtungen gebildet. Formal schreiben wir das so: Die folgende Abbildung veranschaulicht den Zusammenhang noch einmal: Page 4

5 Für den Parameter der Grundgesamtheit (also den tatsächlichen durchschnittlichen Benzinverbrauch) sind verschiedene Werte möglich. Wir könnten alle diese Werte als Punkte auf einer Geraden abtragen. Ebenso ließe sich auf dieser Geraden unser Schätzwert als Punkt eintragen. Die Abbildung veranschaulicht das beispielhaft: Schauen Sie sich noch einmal die Ihnen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung bekannten diskreten und stetigen Verteilungsmodelle an. Identifizieren Sie für drei Verteilungsmodelle praktische Anwendungen, in denen Parameter dieser Verteilung geschätzt werden müssen. Was entspräche jeweils dem unbekannten Parameter der Grundgesamtheit? Wie würde der Schätzer bezeichnet werden? Wenn Sie intuitiv eine Idee für eine geeignete Schätzfunktion haben, geben Sie diese ebenfalls an. In dieser Übung soll im Statistiklabor der durchschnittliche Benzinverbrauch eines Wagens auf 100 Kilometer geschätzt werden. Es steht eine Stichprobe mit 50 Beobachtungen zur Verfügung. Labordatei öffnen ( af6.zmpf ) Umgangssprachliches vs. statistisches Schätzen Das Wort "Schätzen" taucht auch oft in der Umgangssprache auf. So sagen wir z.b., "Ich schätze, morgen wird das Wetter auch nicht besser" oder "Ich kann nicht abschätzen, wie lange es dauern wird", "Ich schätze, es saßen mindestens 200 Studenten in der Vorlesung" oder "Schätz mal, wieviel das gekostet hat". Allerdings gibt es einen Unterschied zwischen "umgangssprachlichem Schätzen" und "statistischem Schätzen". Beim Schätzen im statistischen Sinn wird der Schätzwert unter Einsatz eines objektiven und nachvollziehbaren Verfahrens aus den in der Stichprobe enthaltenen Informationen gewonnen. Formalisiert wird das genau durch die (Schätz) Funktion, die die Informationen aus der Stichprobe systematisch zusammenfasst. Weiterhin sollten Aussagen zur Genauigkeit der Schätzung möglich sein. Fundierte Aussagen darüber sind nur möglich, wenn die Stichprobe durch eine Zufallsauswahl (vgl. ) gewonnen wurde; im Folgenden wird daher immer davon ausgegangen, dass unsere Stichproben durch eine einfache Zufallsauswahl zu Stande kommen. Das Urnenmodell Wir wollen versuchen, die Sonntagsfrage durch ein statistisches Modell zu veranschaulichen. Im Anschluss werden wir dieses Modell nutzen, um Simulationen durchzuführen, anhand derer wir tiefer in die Materie des Schätzens einsteigen können. Zur Vereinfachung machen wir folgende Annahmen:. Wir betrachten wie in der Realität eine endliche Grundgesamtheit; allerdings Page 5

6 wählen wir eine Grundgesamtheit vom Umfang, die für unsere Zwecke völlig ausreichend ist und im Vergleich zur Grundgesamtheit der wahlberechtigten Deutschen vom Umfang übersichtlicher ist.. Wir interessieren uns nur für die Frage, ob eine wahlberechtigte Person die Partei A wählt oder nicht andere Parteien betrachten wir nicht.. Weiterhin gehen wir von der Unabhängigkeitsvoraussetzung aus, d.h. alle wahlberechtigten Personen treffen ihre Wahlentscheidung unabhängig voneinander. Durch diese Vereinfachungen gelingt es uns, unsere Sonntagsfrage perfekt durch das sog. Urnenmodell (vgl. Modul Einführung Stichprobentheorie) zu veranschaulichen: Eine Urne gefüllt mit Kugeln symbolisiert unsere Grundgesamtheit. Die Kugeln unterscheiden sich lediglich in ihrer Farbe. Die Farbe "schwarz" steht dabei für eine Wahlentscheidung zugunsten von Partei A, die Farbe "weiß" für das Gegenereignis (also Wahl einer anderen Partei, Nichtwahl oder ungültig wählen). Greifen wir nun mal blind in die Urne, um jedes Mal zufällig eine Kugel auszuwählen und zu ziehen (und nach dem Ziehen entweder sofort wieder zurück oder beiseite zu legen), so erhalten wir eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang. Verbindung zum Binomialverteilungsmodell Dieses Urnenmodell bildet die Grundlage für das aus dem Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung bekannte Binomialverteilungsmodelle (vgl. ) : Zählt die Zufallsvariable die Anzahl der schwarzen Kugeln (bzw. die Anzahl der Stimmen für Partei A) in einer Stichprobe vom Umfang, so gilt näherungsweise: ist dabei der Parameter, den wir allgemein als bezeichnen. Im Urnenmodell ist es der Anteil schwarzer Kugeln in der Urne (der bekannt ist); bei der Sonntagsfrage ist es der Anteil der Wähler von Partei A in der Grundgesamtheit (der unbekannt ist). Beispiel: Eine Zufallsstichprobe aus der Urne Eine zufällig aus der Urne gezogene Stichprobe vom Umfang führte zu folgender Realisation: Sie enthält 7 weiße und 3 schwarze Kugeln. Jede einzelne Ziehung einer Kugel betrachten wir als Zufallsexperiment und ordnen eine entsprechende Zufallsvariable zu. Wir definieren eine Zufallsvariable, die abhängig vom Ergebnis der ten Ziehung zwei Werte annehmen kann:, wenn wir eine schwarze Kugel ziehen, oder, wenn eine weiße Kugel gezogen wird. Im Falle unserer konkreten Stichprobe heißt das also: Page 6

7 Wir bilden die Summe aller und bezeichnen diese mit (ohne Index): ist die Anzahl schwarzer Kugeln in der Stichprobe und fasst somit die in der Stichprobe enthaltenen Informationen sinnvoll zusammen. Ein Schätzer für den Parameter p Wir wollen einen Schätzer konstruieren, mit dem wir schätzen können. Dazu suchen wir entweder in der Literatur nach einem entsprechenden Schätzer für den Parameter bei Binomialverteilung oder was in diesem Fall nicht schwer fällt wir konstruieren selbst einen Schätzer. misst die Zahl schwarzer Kugeln in unserer Stichprobe vom Umfang. Es scheint recht plausibel, als Schätzer für den Anteil schwarzer Kugeln in der Grundgesamtheit den Anteil schwarzer Kugeln in der Stichprobe zu verwenden, also. Der Term ist die Schätzfunktion, die die Informationen aus einer beliebigen Stichprobe vom Umfang zu einem Schätzwert zusammenfasst. Um dies hervorzuheben, können wir auch schreiben:. Nehmen wir an, eine zufällig gezogene Stichprobe aus unserer Urne vom Umfang enthielte 25 schwarze Kugeln. Wir würden erhalten. Wir hätten aber beispielsweise auch 27 schwarze Kugeln in der Stichprobe finden können, was als Schätzwert ergeben hätte. Auf jeden Fall erwarten wir (vgl. ), dass unsere Stichprobe ein Bild ergibt, das nicht zu stark von der Grundgesamtheit abweicht, und damit ein, das nicht zu stark von verschieden ist. Das wollen wir näher untersuchen. Erstes Simulationsexperiment Als "Höhepunkt" unserer bisherigen Bemühungen werden wir jetzt eine erste Simulation anstellen. Als Modell bemühen wir unser Urnenmodell, wobei wir einfach willkürlich festlegen, dass sich in unserer Urne 2500 schwarze und 7500 weiße Kugeln befinden es gilt also. Wir befinden uns also in der glücklichen Lage, den wahren Parameterwert zu kennen und können so den Erfolg unserer Schätzbemühungen beurteilen. Für unsere erste Simulation lassen wir einen Zufallszahlengenerator Stichproben vom Umfang ziehen. Für jede dieser Stichproben ermitteln wir die Anzahl von schwarzen Kugeln und berechnen den Schätzwert mit. Das Ergebnis visualisieren wir in Form eines Histogramms, das uns einen Eindruck von der Häufigkeitsverteilung unseres Schätzers gibt (vgl. ). Anschließend wiederholen wir die Simulation nach dem gleichen Muster für größere Stichprobenumfänge, z.b. für und. Histogramm und Boxplot für den Schätzer von p; k=1000 Stichproben vom Umfang n=50, n=100 bzw. n=200 Page 7

8 Ergebnisse der Simulation Die folgende Tabelle enthält einige Kennzahlen aus der Simulation ( Stichproben, wahrer Wert ). Stichprobenumfang kleinster Wert Mittelwert größter Wert Wir erkennen, dass unser Schätzer im Mittel dem wahren Wert von sehr nahe kommt. Unsere Schätzwerte variieren allerdings. Dabei hängt der Grad dieser Abweichung Mittelwert bzw. vom wahren Wert offensichtlich vom Stichprobenumfang ab: Je größer, desto geringer die Streuung der Schätzung. Diese interessanten Eigenschaften unseres Schätzers sind es wert, genauer untersucht zu werden... Mithilfe des StatistikLabors können wir auch eigene Simulationen durchführen. Im Folgenden wollen wir die eben angestellte Simulation um den Fall erweitern. Labordatei öffnen ( cdd.zmpf ) In diesem Modul wurde dargestellt, was unter "Schätzen" im statistischen Sinne verstanden wird. Unter Schätzen verstehen wir das Ermitteln einer unbekannten Konstante, die das zu untersuchende Merkmal der Einheiten der Grundgesamtheit charakterisiert. Für jedes Schätzproblem benötigen wir eine Schätzfunktion, mit deren Hilfe wir einen Schätzwert aus einer konkreten Stichprobe vom Umfang auf eine objektive und nachvollziehbare Weise gewinnen können. Um etwas Licht in das Dunkel der Theorie zu bringen, wurde als Beispiel ein Schätzer () für die Schätzung des Parameters der Binomialverteilung betrachtet. Die Eigenschaften dieses Schätzers wurden durch eine Simulation veranschaulicht. Als erste interessante Ergebnisse können wir festhalten, dass die Schätzung im Mittel richtig ist und die Präzision der Schätzung vom Umfang der verwendeten Stichprobe abhängt. Intervallschätzer ErklärungPunktschätzer ErklärungSchätzer Erklärung (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Page 8

9 Kontakt: Page 9