Optimale Steuerung eines linearen Servomotors

Transkript

1 mit Coulomb-Reibung und Zustandsbeschränkungen Bahne Christiansen, Helmut Maurer Oliver Zirn Universität Münster Institut für Numerische Mathematik University of Applied Sciences Giessen Kleinwalsertal, Januar 2008

2 Übersicht 1 Optimale Steuerprozesse: Eine kurze Einführung Grundbegriffe, Formulierung des Standardproblems Minimumprinzip von Pontryagin 2 Der Tauchspulmotor: Motivation und Modellbeschreibung Herleitung des Optimalen Steuerprozesses Mathematische Herausforderung: zustandsabhängige Unstetigkeiten 3 Zeitoptimale Steuerung Notwendige Optimalitätsbedingungen Numerische Ergebnisse: bang-bang Steuerung Vergleich: Simulation Echtzeit-Implementierung 4 Energieoptimale Steuerung

3 Gliederung 1 Optimale Steuerprozesse: Eine kurze Einführung Grundbegriffe, Formulierung des Standardproblems Minimumprinzip von Pontryagin 2 Der Tauchspulmotor: Motivation und Modellbeschreibung Herleitung des Optimalen Steuerprozesses Mathematische Herausforderung: zustandsabhängige Unstetigkeiten 3 Zeitoptimale Steuerung Notwendige Optimalitätsbedingungen Numerische Ergebnisse: bang-bang Steuerung Vergleich: Simulation Echtzeit-Implementierung 4 Energieoptimale Steuerung

4 Beispiel: Wie steuert man am schnellsten einen Wagen? Skizze: Relevante Größen: x 1 (t) : Position des Wagens zum Zeitpunkt t [0, T ], x 2 (t) : Geschwindigkeit des Wagens zum Zeitpunkt t [0, T ], u(t) : Beschleunigung des Wagens zum Zeitpunkt t [0, T ]. Ziel: Steuere den Wagen in minimaler Zeit T vom Startpunkt x 1 (0) = 4 zum Endpunkt x 1 (T ) = 0 (x 2 (0) = x 2 (T ) = 0).

5 Bezeichnungen zur Formulierung eines Steuerprozesses Wichtige Begriffe: x : [0, T ] R n : Zustand des Sytems zur Zeit t, U R m : Steuerbereich, abgeschlossen und konvex, u : [0, T ] U : Steuerung des Sytems zur Zeit t, ϕ : R n R n R s : Randbedingungen für den Zustand, S : R n R k : Reine Zustandsbeschränkung.

6 Komponenten eines Optimalen Steuerprozesses Kosten- oder Zielfunktional: F (x, u) = g(x(t )) + Dynamik des Systems: T 0 f 0 (t, x, u)dt ẋ = f (t, x, u), 0 t T, f : [0, T ] R n R m R n Randbedingungen für den Zustand: ϕ(x(0), x(t )) = 0, ϕ : R n R n R s Steuerbeschränkung: u(t) U, 0 t T, U R m abgeschlossen und konvex. Ggf. reine Zustandsbeschränkung: S(x(t)) 0, 0 t T, S : R n R k.

11 Formulierung des Standardproblems (OSP) Standardform eines Optimalen Steuerprozesses T Minimiere F (x, u) = g(x(t )) + f 0 (t, x, u)dt 0 unter ẋ = f (t, x, u), 0 t T, ϕ(x(0), x(t )) = 0, u(t) U, 0 t T. Jedem Prozeß ordnet man die Hamilton-Funktion H zu: H(t, x, λ, u) = λ 0 f 0 (t, x, u) + λ f (t, x, u) n = λ i f i (t, x, u), i=0 λ 0 R, λ R n Z.V. : Lagrange-Multiplikatoren.

12 Formulierung des Standardproblems (OSP) Standardform eines Optimalen Steuerprozesses T Minimiere F (x, u) = g(x(t )) + f 0 (t, x, u)dt 0 unter ẋ = f (t, x, u), 0 t T, ϕ(x(0), x(t )) = 0, u(t) U, 0 t T. Jedem Prozeß ordnet man die Hamilton-Funktion H zu: H(t, x, λ, u) = λ 0 f 0 (t, x, u) + λ f (t, x, u) n = λ i f i (t, x, u), i=0 λ 0 R, λ R n Z.V. : Lagrange-Multiplikatoren.

13 Zeitoptimale Steuerung des Wagens Zeitoptimale Steuerung des Wagens in Standardform: Minimiere unter F (x, u) = T x 1 (t) = x 2 (t), 0 t T, x 2 (t) = u(t), 0 t T, x 1 (0) = 4, x 1 (T ) = 0, x 2 (0) = 0, x 2 (T ) = 0, u(t) [ 1, 1], 0 t T.

14 Beispiel: Wie steuert man am schnellsten einen Wagen? Maximale Beschleunigung: u(t) 1, t [0, T ]. Lösung: T = 4. Beschleunigung u(t) Position x 1 (t)

15 Beispiel: Wie steuert man am schnellsten einen Wagen? Maximale Beschleunigung: u(t) 1, t [0, T ]. Lösung: T = 4. Beschleunigung u(t) Geschwindigkeit x 2 (t)

16 Beispiel: Wie steuert man am schnellsten einen Wagen? Maximale Beschleunigung: u(t) 1, t [0, T ]. Lösung: T = 4. Beschleunigung u(t) Geschwindigkeit x 2 (t)

17 Beispiel: Wie steuert man am schnellsten einen Wagen? Maximale Beschleunigung: u(t) 1, t [0, T ]. Maximale Geschwindigkeit: x 2 (t) 1.5, t [0, T ]. Lösung: T = Beschleunigung u(t) Geschwindigkeit x 2 (t)

18 Beispiel: Wie steuert man am schnellsten einen Wagen? Maximale Beschleunigung: u(t) 1, t [0, T ]. Maximale Geschwindigkeit: x 2 (t) 1.5, t [0, T ]. Lösung: T = Beschleunigung u(t) Position x 1 (t)

19 Notwendige Optimalitätsbedingungen Das Minimumprinzip von Pontryagin: Seien T und (x, u ) : [0, T ] R n U eine optimale Lösung von (OSP). Dann gibt es ein λ 0 0, eine stetige und stw. stetig diff bare Funktion λ : [0, T ] R n und einen Multiplikator ρ R r mit (λ 0, λ(t), ρ) 0 für t [0, T ], so dass die folgenden Aussagen gelten: (i) Für alle t [0, T ] gilt die Minimumbedingung H(t, x (t), λ(t), u (t)) = min u U H(t, x (t), λ(t), u) und die adjungierte Differentialgleichung λ(t) = H x (t, x (t), λ(t), u (t)), wobei diese Bedingungen an Unstetigkeitsstellen der optimalen Steuerung u links- bzw. rechtsseitig zu verstehen sind.

20 Notwendige Optimalitätsbedingungen Das Minimumprinzip von Pontryagin (Forts.): (ii) Es gelten die Transversalitätsbedingungen λ(t ) = x e (λ 0 g + ρϕ)(x (0), x (T )), λ(0) = x a ρϕ(x (0), x (T )), wobei ϕ : R n R n R r, (x a, x e ) ϕ(x a, x e ). (iii) Im Falle einer freien Endzeit T gilt für die optimale Endzeit T H(T, x (T ), λ(t ), u (T )) = 0. (iv) Für autonome Probleme mit H t = 0 gilt H(x (t), λ(t), u (t)) = const mit t [0, T ].

21 Erweitertes Minimumprinzip Erweiterung des Minimumprinzips auf Prozesse mit reinen Zustandsbeschränkungen: Erweiterte Hamilton-Funktion: H(x, λ, µ, u) = λ 0 f 0 (x, u) + λ f (x, u)+µs(x) Minimumprinzip: λ 0 R, λ R n, µ R k [... ] und es gibt eine Multiplikatorfunktion µ : [0, T ] R k und Multiplikatoren ν(t i ) R k für jeden Eintritts-, Austritts- oder Kontaktpunkt t i (0, T ), so dass gilt: µ(t) 0 und µ(t)s x (x (t)) = 0 für t [0, T ], Sprungbedingung: λ(t + i ) = λ(t i ) ν(t i )S x (x(t i )), d.h. die Adjungierte λ kann in Eintritts-, Austritts- und Kontaktpunkten unstetig sein.

22 Linear eingehende Steuerung Linearer Steuerprozess: f 0 (x, u) = a 0 (x) + b 0 (x)u, f (x, u) = a(x) + b(x)u. Definiere Schaltfunktion: σ(t) := H u [t] = b 0 (x(t)) + λ(t) b(x(t)). Aus der Minimumbedingung H(x (t), λ(t), u (t)) = min u U H(x (t), λ(t), u) folgert man σ(t) u (t) = min u U σ(t)u. Es gilt also die Steuervorschrift bei linearen Steuerprozessen (m = 1): u min, falls σ(t) > 0 u (t) = u max, falls σ(t) < 0 unbestimmt, falls σ(t) = 0

23 Linear eingehende Steuerung Definition: bang-bang Steuerung / singuläre Steuerung Gegeben sei ein Intervall [t 1, t 2 ] [0, T ] mit t 1 < t 2. Die Steuerung u heißt bang-bang im Intervall [t 1, t 2 ], falls die Schaltfunktion σ nur isolierte Nullstellen in [t 1, t 2 ] besitzt. Wegen der Steuervorschrift gilt dann u(t) {u min, u max } für fast alle t [t 1, t 2 ]. Die Steuerung u heißt singulär im Intervall [t 1, t 2 ], falls σ(t) = 0 für alle t [t 1, t 2 ] gilt.

24 Linear eingehende Steuerung

25 Beispiel: Wie steuert man am schnellsten einen Wagen? Maximale Beschleunigung: u(t) 1, t [0, T ]. Schaltfunktion: σ(t) = λ 2 (t). Beschleunigung u(t) Schaltfunktion σ(t)

26 Beispiel: Wie steuert man am schnellsten einen Wagen? Maximale Beschleunigung: u(t) 1, t [0, T ]. Schaltfunktion: σ(t) = λ 2 (t). Zustandsbeschränkung (maximale Geschwindigkeit): x 2 (t) 1.5, t [0, T ]. Beschleunigung u(t) Schaltfunktion σ(t)

28 Der Tauchspulmotor Tauchspulmotor (Testlabor, FH Giessen)

29 Der Tauchspulmotor

30 Anwendung: Hochdynamische Antriebseinheit in Schneidewerkzeug

31 Anwendung: Leiterplattenbohrmaschinen

32 Modell eines Tauchspulmotors Zustandsvariablen: x 1 (t) : Position des Motors v 1 (t) : Geschwindigkeit des Motors x 2 (t) : Position der Last v 2 (t) : Geschwindigkeit der Last I (t) : Stromstärke Steuerung: u(t) = U(t): Spannung

33 Dynamik: ẋ 1 (t) = v 1 (t), v 1 (t) = 1 [ K F I (t) k (x 1 (t) x 2 (t)) F R sign(v 1 (t)) ], m 1 ẋ 2 (t) = v 2 (t), v 2 (t) = k (x 1 (t) x 2 (t)), m 2 İ (t) = 1 L [ u(t) R I (t) K s v 1 (t) ]. Statische Coulomb-Reibung: F R sign(v 1 )

34 Parameter DSPACE Echtzeit-Abtastrate Maximale Spannung Widerstand der Spule Induktivität der Spule Kraftkonstante des Motors Spannungskonstante des Motors Masse des Motors (Schlitten, Spule) Masse der angekoppelten Last Federkonstante Coulomb-Reibung Ts = 0.1 ms UMAX 30 V R = 2 Ω L = 2 mh K F = 12 N/A K S = 12 Vs/m m 1 = 1.03 kg m 2 = 0.56 kg k = 2.4 kn/m F R = 2.1 N

35 Physikalische Bedeutung der Dynamik x 1 (t) = v 1 (t) x 2 (t) = v 2 (t) Zeitliche Ableitungen der Positionen sind durch die jeweiligen Geschwindigkeiten gegeben.

36 Physikalische Bedeutung der Dynamik Beschleunigung des Sliders: Gesamtkraft F v1 (t) v 1 (t) = 1 {}}{ [K F I (t) K (x m 1 }{{} 1 (t) x 2 (t)) F }{{} R sign(v 1 (t))] }{{} =:F 1 (t) =:F 2 (t) =:F 3 (t) Kraft = Masse x Beschleunigung F 1 (t): Vorschub- oder Lorenzkraft F 2 (t): Federkraft F 3 (t): Coulombsche Reibungskraft

40 Physikalische Bedeutung der Dynamik Beschleunigung der elastisch angekoppelten Last: v 2 (t) = 1 K (x 1 (t) x 2 (t)) m 2 Kraft = Masse x Beschleunigung F v2 (t) := K (x 1 (t) x 2 (t)) : Federkraft

41 Physikalische Bedeutung der Dynamik DGL für die Stromstärke: İ (t) = 1 L [U(t) R I (t) K s v 1 (t)] 2. Kirchhoffsche Regel (Maschenregel): Sämtliche Teilspannungen ( = Potentialdifferenzen) in einem geschlossenen Stromkreis addieren sich zu Null. Hier: U(t) (Betriebsspannung des Motors) U 1 (t) = R I (t) (Ohmsches Gesetz) U 2 (t) = K S v 1 (t) (Elektromagnetische Induktion) U 3 (t) = L d dt I (t) (Selbstinduktion) Also: U(t) = U 1 (t) + U 2 (t) + U 3 (t) = R I (t) + K S v 1 (t) + L d dt I (t)

42 Optimaler Steuerprozeß Zustand: x = (x 1, v 1, x 2, v 2, I ) R 5, Steuerung: u R Dynamik ẋ = A x + B u e 2 F R sign(v 1 ), A R 5 5, B R 5, e 2 R 5. Steuerbeschränkung: u(t) UMAX für 0 t T. Randbedingungen: x(0) = x 0 = (0, 0, 0, 0, 0), x(t ) = x f = (0.01, 0, 0.01, 0, 0), Zeitoptimal: Minimiere die Endzeit T. T Energieoptimal: Minimiere 0 u(t)2 dt, T > 0 fest. Zustandsbeschränkungen: c v v 1 (t) v 2 (t) c v, t [0, T ].

44 Zeitoptimale Steuerung: Notwendige Bedingungen ẋ(t) = A x(t) + B u(t) F R e 2 sign(v 1 (t)) Zeige: (A, B) ist vollständig steuerbar. Verwende Multiprozess-Techniken falls v 1 (t) das Vorzeichen wechselt: jede zeitoptimale Steuerung ist bang-bang. Hamilton-Funktion: H = 1 + λ (A x + B u F R e 2 sign(v 1 )), λ R 5 Adjungierte DGL: λ = λ A Schaltfunktion: σ(t) = H u [t] = λ 5 (t)/l { } UMAX für λ5 (t) > 0 u(t) = UMAX für λ 5 (t) < 0

45 UMAX = 2: v 1 (t) > 0 für 0 < t < T Positionen x 1(t), x 2(t) Geschwindigkeiten v 1(t), v 2(t) Stromstärke I (t) Steuerung u, Schaltfunktion σ Endzeit T = und Schaltzeiten t 1 = , t 2 = , t 3 = , t 4 =

46 Echtzeit-Implementierung: UMAX = 2, I (t) und u(t)

47 Echtzeit-Implementierung: UMAX = 2, x 1 (t) und x 2 (t)

48 Numerische Methoden Methode 1 Verwende NLP-Methoden für den diskretisierten Steuerprozeß. Programmiersprache AMPL von Fourer et al. Innere-Punkte- Optimierungssolver IPOPT Methode 2 Direkte Optimierung der Schaltzeiten t 1, t 2, t 3, t 4 und der Endzeit T. 5 Parameter für 5 Endbedingungen. FORTRAN-Routine NUDOCCCS von C. Büskens A. Wächter, L.T. Biegler, On the implementation of a primal-dual interior point filter line search algorithm for large-scale nonlinear programming, Mathematical Programming 106, S (2006). H. Maurer, C. Büskens, J.-H.R. Kim, C.Y. Kaya, Optimization methods for the verification of second order sufficient conditions for bang-bang controls, Optimal Control Applications and Methods 26, S (2005).

49 UMAX = 3: v 1 (t) wechselt Vorzeichen, T = Geschwindigkeiten v 1(t), v 2(t) Steuerung: Spannung u(t) v 1 (t) < 0 für t (v) 1 < t < t (v) 2, v 1(t (v) 1 ) = v 1(t (v) 2 ) = 0, 0 < t 1 < t (v) 1 < t 2 < t (v) 2 < t 3 < t 4 < T. Multiprozeß: Clarke/Vinter, Augustin/Maurer. Optimiere t 1,..., t 4, t 5 = T und t (v) 1, t(v) 2.

50 Real-time implementation: UMAX = 3, I (t) and u(t)

51 Real-time implementation: UMAX = 3, x 1 (t) and x 2 (t)

52 Struktur der zeitoptimalen Steuerungen Für alle Beschränkungen UMAX besitzt die zeitoptimale Steuerung 4 Schaltpunkte t 1, t 2, t 3, t 4 mit UMAX für 0 t < t 1 UMAX für t 1 < t < t 2 u(t) = UMAX für t 2 < t < t 3. UMAX für t 3 < t < t 4 UMAX für t 4 < t t 5 = T Es existieren Schranken UMAX (1) = 1.85 < 2.33 = UMAX (2) mit der Eigenschaft: für alle Schranken UMAX mit UMAX (1) < UMAX < UMAX (2) gilt v 1 (t) > 0 für 0 < t < T ; für 0 < UMAX < UMAX (1) oder UMAX (2) < UMAX existieren Zeitpunkte t (v) 1, t(v) 2 mit v 1 (t (v) 1 ) = v 1(t (v) 2 ) = 0 Christiansen, Maurer, und v (t) < 0 für t (v) Zirn < t < t (v).

53 Zeitoptimale Steuerung mit Zustandsbeschränkungen Große Abweichungen zwischen v 1 (t) und v 2 (t) : max t [0,T ] v 1 (t) v 2 (t) = =: c 0 v für UMAX = 3. Differenz v 1(t) v 2(t) Betrachte zeitoptimale Lösungen mit Zustandsbeschränkungen c v v 1 (t) v 2 (t) c v für alle t [0, T ] für c v < c 0 v, z.b. c v = 0.1. Daraus folgt x 1 (t) x 2 (t)

54 Zustandsbeschränkung v 1 (t) v 2 (t) c v = 0.1 x 1(t) x 2(t) v 1(t) v 2(t) λ 5(t) Steuerung u(t) Optimale Steuerung hat 9 bang-bang Stücke und 3 Randstücke mit v 1 (t) v 2 (t) = c v. Endzeit T =

55 Zustandsbeschränkungen: notwendige Bedingungen Zustandsbeschränkung: S(x) = v 1 v 2 c v oder S(x) = v 1 v 2 c v sind von der Ordnung q = 2, da S (2) (x, u) = d 2 S(x) = α(x) + β(x) u, β(x) 0, dt2 α(x) = R K «F Ks K F m1 + m2 m1 + m2 I + k v 1 + k v 2, L m 1 L m 1 m 1 m 2 m 1 m 2 β(x) = K F. L m 1 Auf einem Randstück gilt S(x(t)) c v für t en t t ex. Die Randsteuerung u b ist gegeben durch u b (x) = α(x) β(x)

56 Zustandsbeschränkungen: notwendige Bedingungen Erweiterte Hamilton-Funktion mit Multiplikator µ für die Zustandsbeschränkung H = 1 + λ(a x + B u e 2 F R sign(v 1 )) + µ(v 1 v 2 ). Modifizierte adjungierte DGL: λ = H x. Sprünge von λ(t) im Eintrittspunkt t ein und Austrittspunkt t aus eines Randstücks λ(τ + ) = λ(τ ) ν(τ) S x (τ), ν(τ) 0, τ {t ein, t aus }. Daher haben λ 2 (t) und λ 4 (t) Sprünge. Die Randsteuerung erfüllt UMAX < u b (x(t)) < UMAX σ(t) = λ 5 (t) / L = H u [t] 0, t en t t ex. Berechne µ(t) = λ 1 (t) aus σ = σ = 0.

57 Randsteuerung, Schaltfunktion und Sprünge v 1(t) v 2(t) λ 2(t) Schaltfunktion σ(t) = λ 5(t) / L λ 4(t)

59 Energieoptimale Steuerung ẋ = A x + B u e 2 F R sign(v 1 ), x(0) = x 0, x(t ) = x f, u(t) UMAX. Minimiere T 0 u(t) 2 dt für feste Endzeit T > 0. Minimumprinzip: die optimale Steuerung u(t) = Proj. [ UMAX,UMAX ] ( λ 5 (t) / 2L) ist stetig (strikte LEGENDRE-Bedingung).

60 Energieoptimale Steuerung: UMAX = 3, T = 0.09 Positionen x 1(t), x 2(t) Geschwindigkeiten v 1(t), v 2(t) Stromstärke I (t) Optimale Steuerung u(t)

61 Energieoptimale Steuerung mit Zustandsbeschränkungen: UMAX = 3, T 0.1, v 1 v Differenz v 1(t) v 2(t) Optimale Steuerung u(t) Zum Vergleich: optimale Endzeit T =

62 Schlußfolgerungen Optimale Steuerung eines mechatronischen Systems (elektrodynamischer Aktuator, Tauchspulmotor) hat Vorteile gegenüber klassischen Methoden der Regelungstechnik: vermeidet Oszillationen und Überschwingen, ermöglicht eine präzise Steuerung auf einen bestimmten Endpunkt, minimiert die Endzeit, simulierte (vorhergesagte) Daten und experimentell erhaltene Daten (Testlabor) stimmen sehr gut überein. Mathematische Beiträge: Optimierung von gew. DGL mit zustandsabhängigen Unstetigkeiten, Zustandsbeschränkungen der Ordnung zwei und drei, singuläres Teilstück der Ordnung zwei oder drei.