Rückblick. Bisher: Semantische Sicht der Logik KNF, Horn, Erfüllbarkeit

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1 Rückblick 1/17 Bisher: Semantische Sicht der Logik KNF, Horn, Erfüllbarkeit Jetzt: Syntaktische Sicht der Logik Regeln & Beweise, Korrektheit, Vollständigkeit

2 Regeln 2/17 Was ist eine Regel? Besteht aus: Premisen Schlussfolgerung Regelname Sprich: Wenn ich eine Aussage p und eine Aussage q habe, kann ich daraus p q schliessen

3 Sequenz & Schluss 3/17 Sequenz: pλq, r qλr Wenn von den Premisen auf das Ergebniss geschlossen werden kann, hat man einen Beweis für die Sequenz. Premise 1,...,Premise n Ergebniss : A B (A schliesst B) : A B (A folgert B)

4 Regeln der natural deduction 4/17 Verschiedene Regeln zur Umformung von Sequenzen und bilden von Beweisen Jeweils Introduktion und Elimination-Regeln Natürliche und zusammengesetzte Regelsätze

5 Beweis 5/17 Was ist ein Beweis, und was beweist man damit? Eine Beweiszeile besteht aus: 1 qλp premise ZeilenNummer Formel Regel/Definition Verarbeitung von Aussagen(Premisen) durch Regeln zu Beweisen für gegebene Sequenzen

6 AND-Regelsatz 6/17 Aufbau eines Beweises: Schluss von Premisen auf Ergebniss durch Regeln Beispiel: Regel Beweis für : pλq, r qλr

7 Regelsatz 7/17 Einführung der Annahme Temporäre Annahme von p Λ r, um eine korrekte Beweisfolge nach q Λ r bilden zu können Beispiel: Beweis für: pλq (pλr) (qλr)

8 OR-Regelsatz 8/17 Fallunterscheidung für Operanden einer OR- Bedingung (mit jeweiliger Annahme) Beispiel: von q oder r aus muss Schluss ereicht werden Beweis für: pλ(qvr) (pλq)v(pλr)

9 Widerspruch, neg-regelsatz 9/17 Einführung des Widespruches: A Λ A => Führt Annahme auf, so muss das Gegenteil der Annahme gelten pλ p führt auf einen Widerspruch Einführung der Bottom-Elemination: ist immer FALSE. Aus FALSE kann alles folgen

10 Widerspruch, neg-regelsatz 2 10/17 Zusammenspiel der Komponenten: Beispiel: Beweis für: p v q p q

11 Hergeleitete Regeln 11/17 MT, LEM, PBC sind hergeleitete Regeln, die sich aus natürlichen Regeln zusammensetzen Man kann diese als 'Makros' verstehen Beispiele: LEM -> Schluss auf TRUE ( pv p immer TRUE) PBC -> Gegenteil von i

12 Hergeleitete Regeln 2 12/17 Beispiel zu MT: Lässt sich herleiten aus: e, e, i Widerspruchsbeweis: Annahme auf führen

13 Regel-Zusammenfassung 13/17 Was haben wir bisher gemacht? Natürliche/Hergeleitete Regeln Beweise für Sequenzen Konzepte der: Widerspruch, Annahme Was kommt noch? Korrektheit Vollständigkeit

14 Korrektheit, Vollständigkeit 14/17 Korrektheit: Wenn A 1,A 2,...,A n B gültig ist, gilt A 1,A 2,...,A n B A B A B Vollständigkeit: Wenn A 1,A 2,...,A n B gültig ist, gilt A 1,A 2,...,A n B A B A B!! Korrektheit <=> Vollständigkeit!!

15 Korrektheit 15/17 Wenn alle A 1,A 2,...,A n TRUE sind und B auch TRUE wird, gilt: A 1,A 2,...,A n B => Korrektheit gilt genau dann, wenn: Alle A TRUE sind B gültig(=> TRUE) ist Ein Beweis für eine Sequenz ist korrekt, wenn sie!nur! gültige Formeln beweist

16 Vollständigkeit 16/17 Wenn A 1,A 2,...,A n B gilt, existiert eine Beweis für die Sequenz A 1,A 2,...,A n B Man nennt A eine Tautologie, wenn die Formel A unter allen Belegungen TRUE wird Wenn alle Permisen und das Ergebnis TRUE sind, so ist der Beweis korrekt P 1,...,P n E P 1,...,P n E

17 Fazit 17/17 Was haben wir gemacht? Syntaktische Sicht auf die Logik Beweise für Sequenzen Umformung von Formeln durch Regeln Korrektheit und Vollständigkeit