Totale Ableitung, Advektion

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1 Total Ableitung Advektion, Temeraturadvektion, Schichtdickenadvektion Die thermodynamische Gleichung Die Kontinuitätsgleichung Totale Ableitung, Advektion Die Bewegungsgleichung du 1 = + g f u dt ρ stellt die Beschleunigung eines Luftteilchens dar u die Ableitung nach der Zeit d/dt muß so ausgerechnet sein, daß man die Bahn eines einzelnen Luftakets verfolgt

2 Strömungsfelder Im allgemeinen haben wir keine Interesse an das Schicksal eines einzelnen Luftakets, denn dieses Luftaket unterscheidet sich durch nichts von den anderen. Die abhängigen Variablen wie Temeratur T, Druck, oder Geschwindigkeit u werden dann als Felder behandelt. Die Größen werden in den verschiedenen Raumunkten skalare bzw. vektorielle Werte zugewiesen, die sich noch zeitlich verändern können: u = u( x, y, z, t), T = T( x, y, z, t) etc. Für ein Teilchen in der Lage [x(t), y(t), z(t)] ist, z. B. T = T[x(t), y(t), z(t), t] Wenn man an einem festen Punkt (x 0, y 0, z 0 ) steht dt dt = F H G I K J xo, yo, zo Man befindet sich an Bord eines Forschungsflugzeuges und registriert die Temeratur T während eines Meßfluges. Welche Temeraturänderung beobachtet man in diesem Fall? Es befindet sich einen horizontalen Temeraturgradient in Flugrichtung und die Temeratur andert sich mit der Zeit: T = T(x,t).

3 Advektion Ein Flugzeug habe zur Zeit t die Position x(t) und bewege sich mit der Geschwindigkeit c(t) = dx/dt. T x T(t) x = x(t) = ct Das Flugzeug legt in einem kleinen Zeitintervall dt die Strecke dx = cdt zurück und erreicht einen Nachbarunkt x + dx. Das totale Differential dt der Funktion T(x,y,z,t) ergibt sich aus der Kettenregel zu dt = dt + dx + dy + dz x y z Die totale (oder substantielle) Änderung von T ist dt dt dx dy = x dt y dt z = + T d x dt = + c T dz dt

4 dt dt = t + c T die lokale Änderung von T die Änderung von T auf Grund der Bewegung mit einer Geschwindigkeit c die Temeraturänderung ro Zeiteinheit, die ein ortsfester Beobachter bei c= 0mißt - z.b. in einem in der Luft stehende Hubschrauber. Wenn das Temeraturfeld T nur räumliche Abhängigkeit besitzt, d.h. T = T(x,y,z), ist = 0 dt dt = c T Diese Art der Temeraturänderung nennt man Advektion. Sie tritt auf, wenn bei der Bewegung mit der Geschwindigkeit c der räumliche Temeraturgradient T besteht. Im allgemeinen Fall setzt sich die totale Änderung aus der Summe der lokalen Änderung und der Advektion zusammen. dt dt = t + c T

5 Nun werde die Temeratur in einem Ballon gemessen, der sich mit der Windgeschindigkeit u bewegen soll. x T u T(t) x = x(t) = Ut Die totale Änderung der Temeratur ist dt dt = t + u T die Temeraturänderung, die ein Beobachter registriert, der sich mit den Luftaketen mitbewegt Um es deutlich zu machen, daβ sich dietemeraturänderung auf einer bewegende Luftaketen bezieht, verwendet man für die totale Ableitung das Symbol D/ anstelle von d/dt: DT = t + u T Diese Ableitung läßt sich natürlich auch auf andere hysikalische Größen anwenden. z.b. sie kann auf die drei Windkomonenten u, v, w, des Windvektors u angewandt werden Die Beschleunigung eines Luftakets kann geschrieben werden Du u = + u u u u (u u, u v, u w)

6 Temeraturadvektion Wir betracten eine Luftmasse in der ein in allen Höhen gleich großer Temeraturgradient besteht. Die Luftmasse wird durch einen einheitlichen (horizontalen) Wind u verlagert. Es sind keine Wärmequellen oder Wärmesänken vorhanden. Die Temeratur bleibt in jedem Luftaket konstant. DT = 0 = u T die Temeraturänderung an einem festen Ort = u T Die lokale Temeraturänderung ist in diesem Fall gleich minus der advektiven Temeraturänderung. Warmluftadvektion warm kalt T u Der Wind bringt u wärmere Luft, denn die zu T arallele Windkomonente ist von der wärmeren zur kälteren Luft gerichtet. Ein stationärer Beobachter wird eine Temeraturerhöhung messen.

7 Kaltluftadvektion T kalt u warm Hier bringt der Wind u kältere Luft, denn die zu T arallele Windkomonente ist von der kälteren zur wärmeren Luft gerichtet. Ein stationärer Beobachter eine wird Temeraturabnahme messen. Keine Temeraturadvektion kalt u warm T u T = 0 Hier bläst der Wind u arallele zu den Isothermen. Ein stationärer Beobachter wird keine Temeraturänderung messen - die Temeratur bleibt überall konstant.

8 Schichtdickenadvektion Annahmen: der Wind soll geostrohisch sein. T soll unabhängig von der Höhe (oder vom Druck) sein. keine Wärmequellen oder -senken vorhanden sind. In Druckkoordinaten lautet + u( xy ;, ) T= 0 Die Schichtdicke D zwischen zwei Druckflächen 0 und beträgt D R = z0 Tdln g Daraus ergibt sich für die zeitliche Änderung der Schichtdicke z z D R o = g d ln R o = u( xy,, ) Tdln g Der geostrohische Wind u = u 0 + u T der geostrohische Wind auf der Druckfläche 0 läßt sich umformen zu der thermische Wind zwischen 0 und u T( ) g = k D f

9 D z z R o = ( uo + ut( )) T dln g z R o R o = ( uo T) dln + ( ut( ) T) dln. g g u o ist unabhängig von und nur annähernd horizontale Komonente besitzt (u o ) kann vor das Integralzeichen gestellt werden u T () wirkt senkrecht zum Temeraturgradienten D Es folgt daher = u o D u T T = 0 Wenn man o = 1000 mb wählt, bedeutet D = D u o daß unter den angegebenen Bedingungen: - geostrohische Bewegung, Temeraturgradient unabhängig von der Höhe -, die Schichtdicke vom bodennahen geostrohischen Wind advehiert wird. Dieses Ergebnis ist für raktische Anwendungen sehr nützlich. Wenn man einer Bodenkarte eine Schichtdickenkarte überlagert, lassen sich die Gebiete mit Kaltluftadvektion bzw. Warmluftadvektion identifizieren. Es ist also nicht erforderlich, den mittleren Wind für die gesamte Schicht zu berechnen, es genügt das geostrohische Bodenwindfeld.

10 20 Nov. 1964, 12 Z T dm mb Isohysen 1024 mb H H 1016 mb Bodendruck 1016 mb 1008 mb Schichtdicke Bodenkarte über Australien L H H H

11 Boden/Schichtdickekarte vom australischen Gebiet 18 Feb 1977 T H H T Bodendruck mb Schichtdicken Die thermodynamische Gleichung Die otentielle Temeratur in einem Luftaket bleibt erhalten, wenn die Bewegung adiabatisch verläuft, d.h. wenn kein Wärmeaustausch zwischen Luftaket und Umgebungsluft stattfindet. Mathematisch läßt sich die Erhaltung der otentiellen Temeratur in der sogenannten thermodynamischen Gleichung formulieren: Dθ = 0 sagt aus, daß der erste Hautsatz der Thermodynamik erfüllt ist.

12 Wenn Wärmequellen oder Wärmesenken nicht vernachlässigt werden können, gilt der erste Hautsatz in der differentiellen Form dq = cdt αd In dt und d sind die Temeratur- und Druckänderung im Luftaket infolge der Wärmezufuhr dq erhalten. Mit Hilfe der idealen Gasgleichung α = RT, ergibt sich dq T F HG dt R = c T c d I KJ = c d ln θ D 1 Dq ln θ= = c T H ct D H Aus ln θ= läßt sich eine Gleichung für die ct Änderung der Temeratur im Zeitintervall dt ableiten: θ F = H G I T * K J κ ln θ = ln T + κ ln * κ ln 1 Dθ 1 DT κ D H = = θ T ct DT = κt H ω + ct ω= D

13 Die Größe ω= D gibt die Druckänderung im Luftaket an. Normalerweise nimmt der Druck in einem aufsteigenden Luftaket ab (für hydrostatische Bewegung). In einem absinkenden Luftaket nimmt er zu. der Vertikalgeschwindigkeit w ist mit ω negativ korreliert. ω= + uh h+ w z für hydrostatische Bewegungen gilt D h ω = ρgw Interretierung der Gleichung DT = κt ω + H ct gibt die adiabatische Temeraturveränderung auf Grund einer Druckänderung während der Bewegung an beschreibt die sogenannten diabatischen Prozesse, d.h. die Wirkung von direkter Erwärmung oder Abkühlung.

14 Lokale Temeraturänderung Die Temeraturgleichung kann umgeschrieben werden: κt H = u h ht + ω+ c T Zusätzlich tritt in dieser Gleichung der Advektionsterm auf. Zu lokaler Temeraturzunahme(abnahme) kommt es durch: advektion wärmerer (kälterer) Luft adiabatische Absinkbewegung (Hebung) und/oder diabatische Wärmezufuhr (entzug). Die Kontinuitätsgleichung Die Lösung der Bewegungsgleichung für Gasströmungen ist schwieriger als für Festkörer, weil zusätzlich eine Massen-erhaltungsgleichung (Kontinuitätsgleichung) erfüllt sein muß. Nun geht es um die mathematische Formulierung der Kontinuitätsgleichung in Druckkoordinaten (x, y, ). Wallace and Hobbs veranschaulichen das Prinzi der Kontinuitätsgleichung mit einem dicken, weichen Pfannkuchen. Wird der Pfannkuchen zwischen zwei flachen Tellern gequetscht, divergiert er in horizontaler Richtung, weil das ursrüngliche Volumen erhalten bleibt.

15 die Idee: Luftakete verhalten sich nicht viel anders, wenn sie durch ein großräumiges Strömungsfeld deformiert werden. Im Gegensatz zu einem weichen Pfannkuchen sind Luftakete jedoch komressibel, d.h. sie können ihr Volumen ändern. ImallgemeinenlassensichzweiTyenvon Volumenänderungen unterscheiden: Schallwellen (a) Nicht hydrostatische Volumenschwankungen, verbunden mit Schallwellen und (b) langsamere, hydrostatische Volumenänderungen, verursacht durch Ausdehnung oder Verdichtung der Luft bei hydrostatischen Druckänderungen. Die nicht hydrostatischen Volumenänderungen haben extrem kleine Amlituden bzw. extrem hohe Frequenzen - sie wirken sich daher nicht auf die großräumigen atmoshärischen Bewegungen aus. Der Energiegehalt dieser Schwankungen ist vernachlässigbar.

16 Hydrostatische Änderungen Die hydrostatischen Änderungen können recht groß werden und die Luftströmungen in der Atmoshäre beeinflussen. Die nicht hydrostatischen Störungen sind automatisch ausgeschlossen, wenn man die Kontinuitätsgleichung in (x, y, )-Koordinaten formuliert. Mathematische Formulierung der Kontinuitätsgleichung v + δv u ω δx δy u + δu δ v ω + δω

17 Für eine Atmoshäre im hydrostatischen Gleichgewicht beträgt die Masse des Quaders: δ = ρgδz δx δy δ δm = ρδxδyδz = g Im Laufe der Zeit wird der Quader durch die Scherungen und Deformationen im Bewegungsfeld bis zur Unkenntlichkeit verdreht und verformt. Wir betrachten die Veränderungen ganz am Anfang der Bewegung, oder mathematisch ausgedrückt, in einem unendlich kleinen Zeitinterval δt. Innerhalb dieses Zeitintervalls wird der Quader zu einem Paralleleied deformiert. Dabei bleibt die Masse des Quaders konstant. Mathematisch schreibt man D ( δxδyδ ) = 0 δyδ D ( δx) + δxδ D ( δy) + δxδy D ( δ) = 0 Die Ableitung gibt an, wie sich die Seitenflächen des Quaders in x-richtung im Zeitintervall δt verändern. D ( δ u x ) = δ u = x δx Die zeitlichen Änderungen von δy und δ können analog ausgedrückt werden. u ω x + v y + = 0 die Kontinuitätsgleichung

18 Zur Interretation der Kontinuitätsgleichung definieren wir A = δx δy in D ( δxδyδ ) = 0 δ DA + A D ( δ) = 0 D ( δ ) = δω = ω δ 1 A DA + ω 0 = eine weitere Form der Kontinuitätsgleichung u v + = 1 x y A DA u v + = 1 x y A DA die horizontale Divergenz des horizontalen Windvektors V (in kartesischer Form) der relativen Änderung der Boden- bzw. Deckenfläche des Luftquaders = V Der tiefgestellte betont, daß die Ableitung nach x und y auf einen isobaren Fläche erfolgt bei horizontaler Divergenz V > 0, der Luftquader in vertikaler Richtung gestaucht wird ω < 0. horizontale Konvergenz V < 0, bewirkt vertikale Streckung ω > 0.

19 Für ein Gas (oder eine Flüssigkeit) mit konstanter Dichte läßt sich zeigen, daß in diesem Fall die Kontinuitätgleichung auch in (x, y, z)-koordinaten eine analoge Form annimmt. u v w + + = 0 x y z In einem Gebiet mit konvergenter Strömung in Bodennähe u v + < 0 w x y z > 0 Direkt am Boden ist w = 0 in den unteren Luftschichten ist w > 0 Konvergenz aufsteigende Luftströmung Stratoshäre Trooause Konvergenz Trooshäre Konvergenz in der Höhe ist mit Absinken verbunden. Divergenz Boden Die Trooause wirkt auf Vertikalbewegungen in der oberen Trooshäre wie ein fester Deckel

20 1. Die totale Ableitung Zusammenfassung 1 DT = + u T 2. Die Beschleunigung eines Luftakets Du 3. Temeraturänderung durch Advektion u = + u u u u (u u, u v, u w) = u T Zusammenfassung 2 4. Die Schichtdicke wird vom bodennahen geostrohischen Wind advehiert. D = u o D 5. Die thermodynamische Gleichung oder DT Dθ = 0 ω= D = κt H ω + ct

21 4. Die Kontinuitätsgleichung Zusammenfassung 3 u ω x + v y + = 0 5. Für ein Gas (oder eine Flüssigkeit) mit konstanter Dichte in (x, y, z)-koordinaten u v w + + = 0 x y z bei horizontaler Divergenz bei horizontale Konvergenz V>0 ω / <0 V<0 ω / >0 Ende