, also positiv definit

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1 Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik 8. Übung ( (Ü: 8. (Lagrange-Methode, 8.3, 8.5, , 8.3 (hinreichende Bedingungen. Ordnung überprüfen Ü Aufgabe 8.. Bestimmen Sie die relativen Etremwerte von a z = + 3 unter der Bedingung 3 + = 5, b z = +, falls ( + 9 = gelten soll, c z = + unter der Nebenbedingung + =. Die Art der Etrema ist mit Hilfe der Karte der Flächen zu bestimmen. a. Variante: Elimination der Nebenbedingungen z = + 3 bei 3 + = 5 Auflösen nach in Nebenbedingung und Ersetzen in Zielfunktion reduziert die Aufgabe auf Etremwertbestimmung für Funktion einer Veränderlichen: z( = + (5 3 3, z ( = (5 3 3 = = = 3 = 3 Wegen z ( = 6 9 > liegt ein Minimum vor.. Variante: Lagrange-Methode z = f(, = + 3 bei h(, = = Lagrange-Funktion: L(,, u = u(3 + 5 Notwendige Optimalitätsbedingungen: ( L = + u = ( L = + 3u = (3 L u = = (, ( u = = 3 = + 3 ( = = 3 = 3 u = Hinreichende Optimalitätsbedingungen. Ordnung: (, u erfülle die notwendigen Optimalitätsbedingungen. Dann ist Minimumstelle, falls w T L(, u w > für alle w R, w, mit ( h( T w =, wobei hier = ( L L L = = L L (, also positiv definit Wegen w T Lw = w T w > für alle w, also auch für w mit ( h T w =, ist P = (3, 3 eine lokale Minimumstelle. Da L unabhängig von und, ist P = (3, 3 sogar globale Minimumstelle (f ist streng konve. (

2 b. Variante: Elimination der Nebenbedingungen z = + bei ( + 9 = Auflösen nach in Nebenbedingung und Ersetzen in Zielfunktion reduziert die Aufgabe auf Etremwertbestimmung für Funktion einer Veränderlichen bei Nebenbedingungen: z( = + 9 ( = bei 5 Da z( linear, Etremstellen am Rand, also Minimum bei =, =, und Maimum bei = 5, =.. Variante: Lagrange-Methode z = f(, = + bei h(, = ( + 9 = Lagrange-Funktion: L(,, u = + + u[( + 9] Notwendige Optimalitätsbedingungen: ( L = + u( = ( L = + u = ( + u = (3 L u = ( + 9 = ( u = =. Fall: u = : Widerspruch in (. Fall: = = und = 5, u = (aus ( u = /3 und u = 5/3 Hinreichende Optimalitätsbedingungen. Ordnung: (, u erfülle die notwendigen Optimalitätsbedingungen. Dann ist Minimumstelle, falls w T L(, u w > für alle w R, w, mit ( h( T w =, wobei hier = ( L L Es sind L = = L L ( + u + u P (, : = (,, u = 3, L(, u = ( (, h = ( 4/3 4/3... P ist somit eine lokale Minimumstelle. ( P (5, : (5,, u = 5 4/3 3, L(, u = 4/3... P ist somit eine lokale Maimumstelle. c. Variante: Elimination der Nebenbedingungen (, also positiv definit., also negativ definit. z = + bei + = Auflösen nach (., bessere Variante in Nebenbedingung und Ersetzen in Zielfunktion reduziert die Aufgabe auf Etremwertbestimmung für Funktion einer Veränderlichen. z( = ( + = z ( = = =,,3 = ± 3/ =,3 = /4 Wegen z ( = 4 = ( ist

3 z ( = <, d.h. bei Maimum, und z (± 3/ = 6 >, d.h. bei,3 Minimum Oder: Auflösen nach (., nicht so gute Variante in Nebenbedingung und Ersetzen in Zielfunktion reduziert die Aufgabe auf Etremwertbestimmung für Funktion einer Veränderlichen bei Nebenbedingungen: z( = + + bei z ( = 4 + = = /4,, = ± 3/ Wegen z ( = 4 > sind beide Punkte lokale (und globale Minimumstellen weitere Etremstelle durch Rand 3 =, 3 =. Variante: Lagrange-Methode lokales Maimum z = f(, = + bei h(, = + = Lagrange-Funktion: L(,, u = + + u( + Notwendige Optimalitätsbedingungen: ( L = L (,, u = 4 + u = ( L = L (,, u = + u( = = { u} u = oder = (3 L u = L u (,, u = + =. Fall: u = Aus L (,, = = 4 L u( 4,, = = 4 3 = ± 3 (, = ( 4, 3 (, = ( 4, 3 u, =. Fall: = Aus L u (,, u = = L (,, u = u 3 = 4 ( 3, 3 = (, Hinreichende Optimalitätsbedingungen. Ordnung: (, u erfülle die notwendigen Optimalitätsbedingungen. Dann ist Minimumstelle, ( falls w T L(, u w > für alle w R, w, mit ( h( T w =, wobei hier = ( L L Es sind L = = L L ( 4 u (, h = P, ( 4, ± 3 : = ( 4, ± 3, u =, L(, u = ( h( = 3 ( 4, positiv semi-definit, Mit w = (w, w T folgt aus w T h( = w 3w = (w, w T = t(± ( 3, T, t R, 4 und wegen w T L(, u w = w T w = 4w = t > für t, d.h. P und P sind lokale Minima. 3

4 ( 4 P 3 (, : = (,, u = 4, L(, u = 6 (, h( = Mit w = (w, w T folgt aus w T h( ( = w = (w, w T = s(, T, s R, 4 und wegen w T L(, u w = w T w = 4w 6 6w = 6s < für alle s, d.h. P 3 ist lokales Maimum. Auch geometrische Interpretation möglich: replacements Nebenbedingung PSfrag ist in replacements -Richtung nach rechts geöffnete Parabel (Scheitel in (, Niveaukurven der Zielfunktion sind Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung des, - Koordinatensstems und achsenparalleler Lage - durch die Lage dieser Ellipsen lässt sich z überlegen, dass die obigen möglichen Lösungen auch tatsächlich Lösungen sein müssen Nebenbedingung z =. z =7/ Nebenbedingung z =7/8 z =4 z =. z = z = z = z Ü Aufgabe 8.3. Welche Punkte der durch die Gleichung + + = gegebenen Ellipse haben vom Koordinatenursprung etremalen Abstand? Mit Hilfe des Ergebnisses skizziere man die Ellipse. Der Abstand eines Punktes P (, vom Ursprung in der ;-Ebene wird laut Satz vom Pthagoras wie folgt berechnet: d = +. d wird etremal, falls z(, = + etremal wird. Daraus ergibt sich für die Aufgabe der folgende Sachverhalt: Zielfunktion: z = + Nebenbedingung: + + =. 4

5 Lagrange-Funktion: L(,, λ = + + λ( + + Etrem! L = + λ( + = L = + λ( + = L λ = + + = L L = λ( = = = ± oder λ = ;.Fall = : L λ = 3 = = ± 3 3; P ( 3.Fall = : L λ = = = ±; 3, 3; P ( 3 3, 3; d = z = 6, λ, = P 3 (, ; P 4 (, ; d = z =. λ 3,4 = 3.Fall λ = : L = = ; L = = ; L λ = Widerspruch. Hinreichende Optimalitätsbedingungen. Ordnung: (, λ erfülle die notwendigen Optimalitätsbedingungen. Dann ist Minimumstelle, ( falls w T L(, λ w > für alle w R, w, mit ( h( T w =, wobei hier = ( ( ( L L Es sind L = + λ λ + =, h = λ + λ + P ( 3 3, 3 = ( 3 : 3 3, L L ( 3 3, λ = 3 /3 /3, L(, λ = /3 /3 ( 3, h( = 3 Mit w = (w, w T folgt aus w T h( = ( 3(w +w = (w, w T = t(, T, t R, /3 /3 und damit w T L(, λ w = w T w = /3[w /3 /3 w w + w] = 8 3 t > für t, d.h. P ist lokales Minimum. P ( 3 3, 3 3 : analog, da λ = λ und = lokales Minimum P 3 (, : ( = (,, λ =, L(, λ = (, h( = Mit w = (w, w T folgt aus w T h( ( = w w = (w, w T = s(, T, s R, und damit w T L(, λ w = w T w = w 4w w w = 8s < für s, d.h. P 3 ist lokales Maimum. P 4 (, : analog, da λ 3 = λ 4 und 3 = 4 lokales Maimum 5

6 geometrische Interpretation: replacements Nebenbedingung ist Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung des, -Koordinatensstems und nicht achsenparalleler Lage Niveaukurven der Zielfunktion sind Kreise mit dem Mittelpunkt im Ursprung des, -Koordinatensstems - damit ist klar, dass die obigen möglichen Lösungen auch tatsächlich Lösungen sein müssen Offensichtlich erhält man daraus auch die Richtung der Hauptachsen und die Ausdehnung der Ellipse (Nebenbedingung in diese Richtung -. Hauptachse in Richtung (, = (, zugehörige Ellipsenpunkte auf (, und (,. Hauptachse in Richtung (, = (, zugehörige Ellipsenpunkte auf ( 3, 3 und ( 4, 4 Ü Aufgabe 8.5. Gesucht sind der höchste und der tiefste Punkt der Schnittkurve, die entsteht, wenn das Paraboloid z = + 4 von der Ebene 4 8 z + 4 = geschnitten wird. Als Aufgabe im R, d.h. die Variable z wird eliminiert! z = f(, = + 4 Et.! bei der Nebenbedingung = z = + 4 bzw. h(, = =. Nach der Multiplikatorenregel von Lagrange: L(,, λ = λ( Etrem! L = + λ( + 4 = ( λ( = 4 L = 8 + λ( 8 8 = 8( λ( + = L λ = = L 4L = 8λ( = = λ = ;. Fall: = : L λ = = ( 4 = = ; = ; λ = /; und = 6; = 3; λ = 3/; P (, ; z = 8; P (6, 3; z = 7; 4. Fall: λ = : L = = = ; L = 8 = = ; z - L λ = 4 Widerspruch, also keine weitere Lösung. - 6

7 Hinreichende Optimalitätsbedingungen. Ordnung: (, λ erfülle die notwendigen Optimalitätsbedingungen. Dann ist Minimumstelle, ( falls w T L(, λ w > für alle w R, w, mit ( h( T w =, wobei hier = ( L L Es sind L = = P (, : L L (,, λ =, L(, λ = ( λ 8 8λ ( 4 P ist somit eine lokale Minimumstelle. P (6, 3: (6, 3, λ = 3, L(, λ = ( 4 P ist somit eine lokale Maimumstelle. ( + 4, h = 8 8, also positiv definit., also negativ definit. oder: Als Aufgabe im R 3 f(,, z = z Etrem! bei den Nebenbedingungen h (,, z = 4 8 z + 4 = und h (,, z = + 4 z =. Nach der Multiplikatorenregel von Lagrange: L(,, z, λ, λ = z + λ (4 8 z λ ( + 4 z Etrem! L = 4λ + λ = L = 8λ + 8λ = + L z = λ λ = L λ = 4 8 z + 4 = L λ = + 4 z = L + L = λ (4 + 8 = = λ = ;. Fall: = : L λ = z + 4 = z = L λ = + z = ; z = = ; = ; z = 8; λ = λ = /; und = 6; = 3; z = 7; λ = 3/; λ = /; P (, ; z = 8; P (6, 3; z = 7;. Fall: λ = : L = 4λ = L z = ; Widerspruch, also keine weitere Lösung. Hinreichende Optimalitätsbedingungen. Ordnung: (, λ erfülle die notwendigen Optimalitätsbedingungen. Dann ist Minimumstelle, falls w T L(, λ w > für alle w R 3, w, mit ( h( T w =, wobei hier = z, λ = ( λ λ 7

8 Es sind L = h = 4 8 L L L z L L L z L z L z L zz, h = 8 = λ 8λ, P (,, 8: = (,, 8, λ = λ =, w T h ( = 4w 8w w 3 =, w T h ( = 4w + 8w w 3 = w = t, t R w T L(, λ w = w T 4 w = w + 4w = (t + 4(t = 8t > für t P ist somit eine lokale Minimumstelle. P (6, 3, 7: = (6, 3, 7, λ = 3, λ = w T h ( = 4w 8w w 3 =, w T h ( = w 4w w 3 = w = s, s R w T L(, λ w = w T 4 w = w 4w = (s 4(s = 8s < für s P ist somit eine lokale Maimumstelle. Ü Aufgabe 8.8. Wie groß ist der kürzeste Abstand der Fläche z = von der Ebene +4z + =? Vorüberlegungen:. Dort, wo der kürzeste Abstand angenommen wird, zeigt der Vektor, der die beiden zugehörigen Punkte verbindet, in Richtung des Normalenvektors der Ebene, der konstant ist. Beide Flächen sind Funktionen z(, 3. Deshalb kann man die Aufgabe so formulieren: Für alle (, der, -Ebene berechne man den zugehörigen Punkt der Fläche, dann gehe man in Richtung des Normalenvektors der Ebene und bestimme den Durchstoßpunkt durch die Ebene. Unter allen Durchstoßpunkten ermittle man den, der von der Ebene den kürzesten Abstand hat. 8

9 also:. Normalenvektor der Ebene: n = (,, 4 T. Punktrichtungsgleichung der Gerade mit Aufpunkt auf der Fläche, die in Richtung des Normalenvektors zeigt: (,, z T + t n mit z = und t R (damit liegt der Punkt für t = auf der Fläche 3. Durchstoßpunkten ist der Punkt für t = s, der auf der Ebene liegt, also für den gilt ( + s + ( + s + 4( s = 4. Für alle (, Ermittlung des betragsmäßig kleinsten Wertes s, also von s Zielfunktion: f(s,, = s min Nebenbedingung: h(s,, = ( + s + ( + s + 4( s = Lagrange-Funktion: L(s,,, λ = s + λ{ s } notwendige Bedingung für Etrema: = L s = s + λ = L = λ{ + } = L = λ{ 3 + } = L λ = s Dies sind 4 nichtlineare Gleichungen für die 4 Unbekannten s,,, λ Aus der. und 3. Gleichung folgt: λ = oder = =. Fall: λ = (aus. Gleichung s = Nebenbedingung (4. Gleichung dann: = weiter: = = ( jetzt: Maimum der Funktion g( = g ( = 3 +, d.h. (wegen g ( = = und spezielles Polnom 4. Grades g( g( = 4 3 damit ( = 4 4 < d.h., Widerspruch zur Nebenbedingung, d.h. im. Fall keine Lösung. Fall: = = (aus 4. Gleichung = s = s 4 4 s = 4 84 (aus. Gleichung λ = 9 9

10 Abstand berechnet sich aus Länge des Vektors s n, also Abstand: = 4 84 Da es nur ein Etremum gibt, muss es aus geometrischen Überlegungen ein Minimum sein. Oder: Hinreichende Optimalitätsbedingungen. Ordnung: (, λ erfülle die notwendigen Optimalitätsbedingungen. Dann ist Minimumstelle, falls w T L(, λ w > für alle w R 3, w, mit ( h( T w =, s wobei hier =, Es sind L = L ss L s L s L s L L L s L L = P ( 4 84,, : = ( 4 84,,, λ = 9, λ 3λ w T h( = w + w + w 3 = w = p w T L(, λ w = w T λ 3λ = λ (p + 3q > für p + q da λ < P ist somit eine lokale Minimumstelle. Ü Aufgabe q, h = 3, p, q R w = w λ w 3λ w 3 Ein quaderförmiger, geschlossener Behälter soll bei gegebenem Volumen V mit möglichst gerigem Materialaufwand hergestellt werden. Wie sind die Kantenlängen zu wählen?, O = f(a, b, c = (ab + ac + bc bei h(a, b, c = abc V L(a, b, c, λ = (ab + ac + bc + λ(abc V Minimum! replacements c a b L a = (b + c + λbc = a L b = (a + c + λac = b L c = (a + b + λab = c L λ = abc V = al a bl b = c(a b = a = b; al a cl c = b(a c = a = c = b; λ = 4/a L λ = a 3 V = a = 3 V ; O = 6a = 6 3 V. Aus der Anschauung ist klar, dass das das Minimum ist.

11 Oder: Hinreichende Optimalitätsbedingungen. Ordnung: (, λ erfülle die notwendigen Optimalitätsbedingungen. Dann ist Minimumstelle, falls a w T L(, λ w > für alle w R 3, w, mit ( h( T w =, wobei hier = b c L aa L ab L ac + cλ + bλ bc Es sind L = L ba L bb L bc = + cλ + aλ, h = ac L ca L cb L cc + bλ + aλ ab P ( 3 V, 3 V, 3 V : ( 3 V, 3 V, 3 V, λ = 3 4 V L(, λ =, w T h( = 3 V (w + w + w 3 = w = p w T L(, λ w = w T + q w = 4(w w + w w 3 + w w 3, p, q R = 4(( p qp + ( p qq + pq = 4( p pq q = (p + q + [p + q ] > für p + q P ist somit eine lokale Minimumstelle. Ü Aufgabe 8.3. Auf einem Kreiszlinder (Radius r, Höhe h werde eine Halbkugel (Radius r, Mittelpunkt auf der Zlinderachse aufgesetzt. Für welche Werte von r und h wird die Oberfläche O des Gesamtkörpers bei gegebenem Volumen minimal? Kreiszlinder: Volumen: V Kr = πr h, Mantelfläche: F KrM = πrh, Grundfläche: F KrG = πr Halbkugel: Volumen: V Ha = 3 πr3, Oberfläche: F Ha = πr Oberfläche: F = F KrG + F KrM + F Ha = πr + πrh + πr = π(3r + hr Minimum! bei Nebenbedingung: gegebenes Volumen: V = V Ha + V Kr = 3 πr3 + πr h = π 3 (r3 + 3hr Lagrange-Funktion: L(r, h, λ = π(3r + hr + λ[ π 3 (r3 + 3hr V ] min! Notwendige Bedingungen: (i (ii L r =π[6r + h] + λ[ π 3 (6r + 6hr] = = π 3 [8r + 6h + λ{6r + 6hr}] L h =πr + λπr = = πr[ + λr] (iii L λ = π 3 (r3 + 3hr V =

12 Aus (ii folgt : a r = oder b λ = r Mit r = folgt aus (iii Widerspruch! Also b: Mit λ = r folgt für (i: L r = π 3r [8r + 6hr r hr] = π[r h] = r = h und damit aus (iii: L λ = 5r3 π 3 V = r = 3 3V 5π = h ( /3 3V F = 5π. 5π Es gibt nur ein Etremum. Man kann sich überlegen, dass das ein Minimum ist. Oder: Hinreichende Optimalitätsbedingungen. Ordnung: (, λ erfülle die notwendigen Optimalitätsbedingungen. Dann ist Minimumstelle, ( falls r w T L(, λ w > für alle w R, w, mit ( h( T w =, wobei hier = h ( ( ( Lrr L Es sind L = rh π(3 + λ(r + h π( + λr πr(r + h =, h = π( + λr πr L hr L hh P (r, h : r = h = 3 3V 5π ( 3 3V 5π, 3 3V 5π, λ = r, ( ( 6 4 L(, λ = π, h( = πr ( w T h( = πr (4w + w = w = p, p R 4 ( 6 w T L(, λ w = w T w = 6w 4w w = 6p 4p( 4p = p > für p P ist somit eine lokale Minimumstelle. Oder: Nebenbedingung nach h auflösen und in F einsetzen, also V = π 3 (r3 + 3hr h = V πr 3V 3 r aus h r 3 π F (r =... bei Nebenbedingung r 3 3V π F (r = usw. [Grenzen von r beachten!]

13 Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik Ü Aufgabe Übung ( (Ü: 8.34, 8.35, 8.36 c, 8.4 und zwei Aufgaben zum Newton-Verfahren Für eine feste natürliche Zahl n 3 soll M n die Menge aller n-ecke sein, die einem gegebenen Kreis mit Mittelpunkt (, und Radius r einbeschrieben werden können und die den Punkt (r, stets als Eckpunkt haben. Gibt es in M n Elemente mit größtem Flächeninhalt? Wenn ja, welche? Vorüberlegungen. Der Flächeninhalt jedes n-ecks aus M n ist durch πr nach oben beschränkt.. Er hängt stetig von den Koordinaten der Eckpunkte ab (anschaulich klar: kleine Änderungen der Lage von Eckpunkten haben kleine Änderung des Flächeninhalts zur Folge. Schlussfolgerung: Nach Satz von Weierstrass gibt es damit in M n Flächeninhalt. n-ecke mit größtem 3. Jeder der n Eckpunkte eines n-ecks mit maimalem Flächeninhalt liegt auf dem Rand des Kreises. Damit ist folgende Modellierung möglich: Die Eckpunkte P i ( i, i, i =,..., n, haben die Koordinaten i = r cos ϕ i, i = r sin ϕ i wobei < ϕ < ϕ < < ϕ n = π. Da die Eckpunkte beliebig auf dem Kreis gedreht werden können, wird ein Punkt fest gehalten. Das ist P n mit den Koordinaten (r,. Seien δ = ϕ, δ i = ϕ i ϕ i, i =,..., n. Das Dreieck mit den Eckpunkten (,, P i und P i hat dann den Flächeninhalt A i = r sin δ i, i =,..., n, wobei P = P n. Damit ergibt sich die Etremwertaufgabe (Optimierungsaufgabe z = z(δ,..., δ n = n A i ma i= bei n δ i = π i= Lagrange-Funktion: L(δ,..., δ n, λ = n n r sin δ i + λ( δ i π i= i= L δi = r cos δ i + λ = λ = r cos δ i i

14 δ i = δ j für i j sowie δ i = π n i Jedes regelmäßige n-eck hat den maimalen Flächeninhalt. Begründung durch hinreichende Optimalitätsbedingungen. Ordnung: L δi δ i = r sin π n < i, (da < π n < π, L δ i δ j = für i j Zugehörige Hesse-Matri ist negativ definit, also gibt es eine (einzige Maimumstelle. Ü Aufgabe Von der Funktion z = n k ist das Minimum unter der Nebenbedingung k= n a k k = (a k Konstanten zu berechnen. Man weise nach, dass an der ermittelten Stelle tatsächlich ein Minimum vorliegt. k= Die Aufgabe ist nur lösbar, falls a + + a n >. Lagrange-Funktion: n n L(,..., n, λ = k + λ( a k k k= k= L k = k + λa k = k = λa k, k =,..., n, L λ = λ = n a k k = n λ a k = k= n k= a k k = k= a k n, k =,..., n, k= a k Wegen L k k = k und L i k = für i k ist die Hesse-Matri positiv definit und damit die ermittelte Lösung ein globales Minimum. Ü Aufgabe Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate bestimme man für die folgenden Wertepaare P ( i ; i eines Meßvorganges die Ausgleichskurve = f( der angegebenen Art. a P (; ; P (; 4; P 3 (; 7; P 4 (3; 8; P 5 (4; ; = a + b, b P (; 5; P (; 5; P 3 (; ; P 4 (3; ; P 5 (4; 3; = a + a + a, c P (; ; P (; 4; P 3 (3; 8; P 4 (4; 6; = a + b, d P ( ; 6; P (; ; P 3 (;.7; P 4 (; ; P 5 (3; ; = a + b, = 3 a i i i=

15 c Lösung: Fehlerquadrat: F (a, b = ( a b + (4 a b + (8 a b 3 + (6 a b 4 min! notwendige Bedingung für Etrema:. = F a = { ( a b (4 a b (8 a b 3 (6 a b 4 } = 4a + 5 b 6 48a + 5b = 7. = F b = { ( a b (4 a b 3 (8 a b 3 4 (6 a b 4 } = 5 a b 9 3a + 5b = 476 b = = , a = = 4 3 = = Ü Aufgabe 8.4. Für die Funktion = a + b ermittle man diejenigen Werte von a und b, für welche J(a, b = = [g( ] d minimal wird. a g( = e, b g( = 3. a J(a, b = = [e a b] d Min! notwendige Bedingungen: 3

16 J a (a, b = J b (a, b = = = J a (a, b = J b (a, b = ( [e a b]d = ( [e a b]d = = = [e a b]d = e ( a 3 3 b = a 3 b [e a b]d = e a b =e a b 6 = a + 3b e = a + b b = (e 5 a = 6(3 e hinreichende Bedingung: Diese ist unabhängig vom konkretem g J aa (a, b= = d = 3, J ab(a, b = = J bb (a, b = d = = H(J(a, b = 3 = 3 >, J bb(a, b = > Minimum. d =, also: ( = 6(3 e + (e PSfrag 5 replacements t ln (g i b J(a, b = = [ 3 a b] d Min! notwendige Bedingungen: J a (a, b = J b (a, b = = = J a (a, b = J b (a, b = ( [ 3 a b]d = ( [ 3 a b]d = = = [ 3 a b]d = 7 7/ a 3 3 b = 7 a 3 b [ 3 a b]d = 5 5/ a b = 5 a b 4

17 = 4a + b 4 = 5a + b b = 4 35 a = hinreichende Bedingung: siehe a H(J(a, b = > Minimum also: ( = = 4 [9 ] PSfrag replacements t ln (g i Aufgabe zum Newton-Verfahren Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssstem: = =. Stellen Sie durch geometrische Veranschaulichung der beiden Gleichungen Anzahl und Lage der Lösungen fest.. Bestimmen Sie näherungsweise eine Lösung mit dem NEWTON-Verfahren zum Startwert (, = (.3,. (ca. 3 Schritte. Lösungsvorschlag für Aufgabe : NEWTON-Verfahren zur Lösung der nichtlinearen Gleichung F ( = (F R n R n : Startwert R n Iteration: k+ ist Lösung des linearen Gleichungssstems F ( k + F ( k ( k = Von Prof. Fischer verwendete Bezeichnungen: F = F. F n = = (, T, a [ b F( =, F = ( F,..., F n, F = ( F T = ] [, F ( = k+ = k + δ k, k =,,..., F ( k δ k = F( k ( F T. ( F n T , ], NEWTON-Iteration:. Schritt: k = ; 5

18 + ( +.3 =.5 ( ( +.8 ( = ( Laut Skizze: Lösungen: = (.5;.3; = (.3;. = [ ] [ δ =.8 ] = δ = [ ] = = [ ]. Schritt: k = ; [ = δ = [ Schritt: k = ; [ [.466 = δ 6 = ] [.49 δ =.3747 ] = = ] [ ] [ ] δ 6 = ] [ = 3 = Aufgabe zum Newton-Verfahren Bestimmen Sie näherungsweise eine Lösung des nichtlinearen Gleichungssstems: =4 + cos 3 + = + 3 = + sin ( 3 mit dem NEWTON-Verfahren zum Startvektor = (,,. ] ] Lösungsvorschlag für Aufgabe : 4 cos + sin F( = 3 + +, F ( = 3, + 3 sin ( 3 cos ( 3 =, k+ = k + δ k, k =,,..., F ( k δ k = F( k NEWTON-Iteration:. Schritt: k = ; δ = ; = δ =.3389 ; = Schritt: k = ; 6

19 δ = ; δ =.533 ; = Schritt: k = ; δ = ; δ = ; 3 =

20 Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik Ü Aufgabe Übung ( (Ü: 8., 8., 8.3 d,e, 8.4 e, 8.6, 8.7, 8. (ohne Lagrange-Methode a Man bestimme Lage und Art der relativen Etremwerte für die Funktion z = ( cosh. b Für die Etremwertstelle gebe man die Talorentwicklung von z(, bis zu den quadratischen Gliedern an. a Notwendige Bedingung: z (, = z (, = z (, = z (, = z (, =(3 + 6 cosh = = oder = z (, =( sinh =. = z (, =sinh = = P (; mit z =. = z (, =5 sinh = = P ( ; mit z = 5 Mögliches lokales Etremum. Hinreichende Bedingung: D = z z [ z ] = z (, z (, [z (, ] z (, = (6 + 6 cosh, z (, = (3 + 6 sinh, z (, = ( cosh Für P (, ; gilt: D = 6 >, Minimum. z = 6 >, d.h., der Punkt P = (, mit z(, = ist ein relatives (bzw. lokales Für P (, ; 5 gilt: D = 3 <, d.h., der Punkt P = (, mit z(, = 5 ist kein Etremum. b Talorentwicklung: z(, = z(, +z (, +z (, + [z (, +z (, +z (, ] Aus a folgt: z(, = ; z (, = z (, = (Notwendige Bedingung z (, = 6, z (, =, z (, = (Hinreichende Bedingung z = R (,

21 Ü Aufgabe 8.. Gegeben ist die Fläche mit der Gleichung z = C. Wie muss die konstante C gewählt werden, damit diese Fläche die, -Ebene berührt? Die Tangentialebene berührt nur die Fläche. Also muss die, -Ebene mit dem Normalvektor n E = (,, T die Tangentialebene im Punkt P (,, von z sein. Der Normalvektor zu z in P (,, lautet: n T = (z, z, T n T = λn E z = z = z (, = = z (, = = z(, = C= Aus den ersten beiden Gleichungen folgt: A = A = 35 ( A b = z(, = 5 + C C = 5 ( ( ( = ( 3 = b 35 Ü Aufgabe 8.3. Man bestimme Lage und Art der relativen Etremwerte der Funktion z = f(, und gebe die zugehörigen Funktionswerte an. b z = , d z = ( , e z = e (4 + d z = ( Notwendige Bedingung: z (, = z (, = ( = = oder = z (, = z (, = =. = z (, = 3( 3 =, = ± + 3 = ± P (; 3, z = 7, P (;, z = 5. = z (, = + 9 = ; 3,4 = ±3 P 3 (3, ; P 4 ( 3;, z 3,4 = Mögliche lokale Etremum. Hinreichende Bedingung: D = H(P (, = z (, z (, z (, z (, mit z (, = (, z (, =, z (, = 6(

22 H(P (, 3 = = 4 >, z = <, d.h., der Punkt P (, 3 mit z(, 3 = 7 ist ein relatives (bzw. lokales Maimum. H(P (, = 6 = 7 >, z = 6 >, d.h., der Punkt P (, mit z(, 3 = 5 ist ein relatives (bzw. lokales Minimum. H(P 3,4 (±3, = = 36 <, d.h., die Punkte P 3,4 (±3, sind keine Etrema (Sattelpunkte. oder Punkt z z z z D was? P Etremum : relatives (lokales Minimum P 7 4 Etremum : relatives (lokales Maimum P Sattelpunkt P Sattelpunkt e z = e (4 + Notwendige Bedingung: z (, = z (, =e ( = z (, = z (, =e (4 = = = z (, = e (3 + = P (; mit z = 4 Mögliches lokales Etremum. Hinreichende Bedingung: D = H(P (, = z (, z (, z (, z (, mit z (, = e ( , z (, = 4e (, z (, = e H(P (; = 6 = >, z = 6 <, d.h., der Punkt P (, mit z(, = 4 ist ein relatives (bzw. lokales Maimum.

23 Ü Aufgabe 8.4. Untersuchen Sie die Funktion z = f(, auf relative Etrema! a z = ( (4 +, b z = 3a 3 3, a >, c z = e, d z = a + 8a 4, a, e z = , f z = ( 3 5( + 3, g z = e ( + ( +, e z = z = 3 3 = 3( = z = = z = = oder = ± Aus = z (, = 3 3 = ( 3 PSfrag = replacements = ; oder = ± 3 P (, ; P ( 3, ; P 3 ( 3,, Aus = ; z (, = 3 + = ; = ; Aus = ; z (, = = ; = ; P 4 (, ; P 5 (,, z Die Hessematri: H(, = 6 3( 3( H(P = H(P /3 = 3 3 = 9 < kein EtrW. PSfrag replacements 6 6 = 36 < kein EtrW. z H(P 4 = 6 = > ; z (P 4 = 6 > rel. Minimum in P 4 (, ; H(P 5 = 6 = > ; z (P 5 = 6 > rel. Minimum in P 5 (, ;

24 Ü Aufgabe 8.6. Die Funktion z = f(, = + + ( 3 sei auf B = {(, } erklärt. Man bestimme Lage und Größe der absoluten Etrema von f und f. z = + + ( 3 = auf B = {(, : und } Vorgehen:. Schritt: Suchen von lokalen Etrema ohne Einschränkung auf B. Schritt: Suchen von lokalen Etrema auf dem Rand von B 3. Schritt: Ermitteln der globalen Etrema. Schritt: ohne Einschränkung auf B z (, = und z (, = + notwendige Bedingung für lokale Etrema: z (, = z (, = = 4, = Bemerkung: dieser Punkt liegt in B, deshalb weiter: hinreichende Bedingung für lokale Etrema: z (, =, z (, =, z (, = Dazu zweite partielle Ableitungen D = z z [ z ] = >, d.h., der Punkt P = ( 4, ist ein lokales Etremum wegen z (, = > ist dieser Punkt ein lokales Minimum Funktionswert: z( 4, = 7 6 Bemerkung: da dieser Punkt in B liegt, ist er ein lokales Minimum und damit ein mögliches globales Minimum. Schritt: auf Rand von B hier (wegen B: Zerlegung des Randes in 4 Stücke Rand : = und [, ], Rand : = und [, ], Rand 3: = und [, ], Rand 4: = und [, ], auf Rand : g ( = z(, Rand = z(, = + auf Rand : g ( = z(, Rand = z(, = + auf Rand 3: g 3 ( = z(, Rand 3 = z(, = auf Rand 4: g 4 ( = z(, Rand 4 = z(, = 3 das sind jeweils eindimensionale Optimierungsaufgaben! auf Rand und : g ( = g ( = +, g ( = g ( =

25 = globales Minimum als globales Maimum kommen die Eckpunkte, hier = und = in Frage auf Rand 3 und 4: g 3 ( = g 4 ( =, g 3 ( = g 4 ( = = 4 globales Minimum als globales Maimum kommen die Eckpunkte, hier = und = in Frage Funktionswertberechnung, um zu erkennen, dass ein globaler Etremwert vorliegt:: z(, = 9 8, z(, = 8 8, z( 4, = 6 9, z( 4, = 5 6 in den Eckpunkten: z(, =, z(, =, z(, =, z(, = 3. Schritt: Der Vergleich aller möglichen Punkte liefert: globales Minimum bei ( 4, und globales Maimum bei (, geometrische Interpretation wegen z(, = ( 4 + ( sind die Äquilinien (für z > 7 6 in der, -Ebene Ellipsen und die Fläche im dreidimensionalen,, z-raum ein elliptisches Paraboloid in z-richtung, nach oben geöffnet daraus folgt das globale Minimum sofort aus der Form von B und, dass das globale Maimum nur in einem der Eckpunkte von B liegen kann. Diskussion von f globale Maimum folgt durch Vergleich der Beträge der von f errechneten Werte, also bei ( 4 ;, d.h. P ( 4 ; ; 7 6. globale Minimum ist natürlich f(, =, weil 6 7 f. Also alle Werte mit ( 4 + ( + = 7 6. ( /4 D.h., bei (, und (, sowie Teil der Ellipse (3 ( + / + 3/4 (3 =, der zwischen den 6/4 Punkten (, und ( /, liegt!

26 Sfrag replacements PSfrag replacements 9 8 z z.5 Sfrag replacements z PSfrag replacements.5.5 z 9 Funktion f Funktion f Höhenlinien von f Höhenlinien von f = und f =Ma

27 Ü Aufgabe 8.7. Für welchen Punkt P (, ist die Summe der Quadrate der Entfernungen von den Punkten P i ( i, i, i =,..., n, möglichst klein? P (, und P i ( i, i, i =,..., n, wobei die Werte i, i fest sind Quadrat der Entfernungen: F (, = n [( i + ( i ], i= Notwendige Bedingung für lokale Etrema: F (, = F (, = F (, = F (, = n ( i = und F (, = F (, = n ( i = i= i= = n n i= i und = n n i= i (möglicher Etrempunkt Hinreichende Bedingung für lokale Etrema braucht nicht überprüft zu werden, weil aus der Form (Paraboloid von F, d.h. aus der Aufgabenstellung folgt, dass es zumindest ein globales Minimum geben muss; da es nur einen möglichen Etrempunkt gibt, muss dieser dieses globale Minimum sein Ü Aufgabe 8.. Bestimmen Sie die relativen Etremwerte von a z = + 3 unter der Bedingung 3 + = 5, b z = +, falls ( + 9 = gelten soll, c z = + unter der Nebenbedingung + =. Die Art der Etrema ist mit Hilfe der Karte der Flächen zu bestimmen. a b z = + 3 bei 3 + = 5 Auflösen nach in Nebenbedingung und Ersetzen in Zielfunktion reduziert die Aufgabe auf Etremwertbestimmung für Funktion einer Veränderlichen: z( = + (5 3 3, z ( = (5 3 3 = = = 3 = 3 Wegen z ( = > liegt ein Minimum vor. z = + bei ( + 9 = Auflösen nach in Nebenbedingung und Ersetzen in Zielfunktion reduziert die Aufgabe auf Etremwertbestimmung für Funktion einer Veränderlichen bei Nebenbedingungen: z( = + 9 ( = bei 5 Da z( linear, Etremstellen am Rand, also Minimum bei =, =, und Maimum bei = 5, =.

28 c z = + bei + = Auflösen nach (., bessere Variante in Nebenbedingung und Ersetzen in Zielfunktion reduziert die Aufgabe auf Etremwertbestimmung für Funktion einer Veränderlichen. z( = ( + = z ( = = =,,3 = ± 3/ =,3 = /4 Wegen z ( = 4 = ( ist z ( = <, d.h. bei Maimum, und z (± 3/ = 6 >, d.h. bei,3 Minimum Oder: Auflösen nach (., nicht so gute Variante in Nebenbedingung und Ersetzen in Zielfunktion reduziert die Aufgabe auf Etremwertbestimmung für Funktion einer Veränderlichen bei Nebenbedingungen: z( = + + bei z ( = 4 + = = /4,, = ± 3/ Wegen z ( = 4 > sind beide Punkte lokale (und globale Minimumstellen weitere Etremstelle durch Rand 3 =, 3 = lokales Maimum

29 Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik Ü Aufgabe 7.. Gesucht sind alle Punkte P (; ; z des R 3, für welche gilt: a = 4, d z + =, e ( z = 8, g 9 + ( 6 + 8, (Geometrische Interpretation! z + = z PSfrag replacements d z + = Ebene parallel zur -Achse und durch Koordinatenursprung. 9 + ( PSfrag replacements z g 9 + ( 6 + 8, Wurzeluntersuchung: ( ( 6 + 8, also parallel zur z-achse alles was außerhalb des Zlinders mit Radius 9 und der Achse P (6,, z liegt. + Ü Aufgabe 7.. Skizzieren Sie die folgenden Flächen! Überlegen Sie vorher, welche Kurven sich ergeben, wenn die Flächen mit Ebenen =const, =const, z =const geschnitten werden. b z =, e z = + +, f z = +, Tafelwerk benutzen! b z = : Für z = k : = k für z Ellipsen. Analog für = k und = k. Also jede Seitenansicht ergibt Ellipse. Die Fläche ist ein Ellipsoid. f z = + : Für z = k : = k Hperbel, Lage abhängig von k. Für = k : z = + (k + Parabeln nach unten geöffnet. Für = k : z = + ( k Parabeln nach oben geöffnet, also mehr Parabeln als Hperbeln folglich hperbolisches Paraboloid (Sattelfläche.

30 Ü Aufgabe 7.3. Von der Funktion z = f(, sind die Niveaulinien zu bestimmen. Von der in der, -Ebene skizzierten zugehörigen Karte der Fläche schließe man auf die Gestalt der durch f bestimmten Fläche F im R 3. c z = + 4, d z = +, e z = + ( + 4, g z = 3 4 9, Tafelwerk benutzen! c z = + 4: Für z = k : = k 4, Hperbeln, Asmptoten = ±. PSfrag replacements 4 z=- 4 z=z= z= PSfrag replacements tan( π z= z=6 z=4 z=8z= tan( π z - d z = + : Für z = k : + = ( k, k Kreise mit Radius k. Also einfacher Kegel mit Spitze in (,, nach unten geöffnet. PSfrag replacements 5 PSfrag replacements frag replacements tan( π z=8 5 z=6 z= z= z=4 tan( π z= z Ellipse = 3 c falls c < 3 g z = : Niveaulinien: mit z = c... Punkt = = falls c = 3 leer falls c > 3 Elliptisches Paraboloid (nach unten geöffnet. Spitze in S(,, 3. [ Bild S. 8 ] tan( π.5 z= z= z= z= z=- 3. z=-.464 PSfrag replacements tan( π z

31 Ü Aufgabe 7.5. Für die Funktion z = f(, ist der größtmögliche Definitionsbereich D f R zu ermitteln. Man skizziere D f und gebe jeweils den Wertevorrat W f an. Welche der Mengen D f, W f sind beschränkt? b z = + e, d z = 3 +, e z = (4 /, PSfrag replacements b z = + e Die Untersuchen erfolgt von der äußeren Funktion zur inneren. Also ist erklärt für, e ist für alle erklärt. tan( π D f = {(; }. Da lim = +, = = und < e ist der Wertebereich W f = {z z > }. Beide Mengen sind PSfrag replacements nicht beschränkt. d z = 3 + : ist erklärt für. D f = {(; }. Da die Wurzel monoton wachsend, ist der Wertebereich W f = {z z 3}. W f ist von unten beschränkt. tan( π PSfrag replacements e z = (4 / : 4 und + < 4 D f = {(; + < 4}. Da die Wurzel monoton wachsend und der größte Wert in (, erreicht wird, gilt: W f = {z z }. W f ist von unten beschränkt. tan( π Ü Aufgabe 7.7. Man bestimme lim f(,, wenn sich P längs P (, α der -Achse; β der -Achse; γ der Geraden = t, t =const, bewegt. Läßt sich aus den erhaltenen Ergebnissen etwas über die Eistenz von a f(, = sin ( +, lim (, (, b f(, = sin + 4, c f(, = +. f(, folgern? a α auf der -Achse, d.h. = sin ( f(, = = für lim f(, = β auf der -Achse, d.h. = sin ( PSfrag replacements f(, = = für lim f(, = γ auf der Geraden = t mit t =const. f(, t = sin (t ( + t für f(, =.5 sin (

32 für t ist lim f(, t ein unbestimmter Ausdruck der Form / cos (t t lim f(, t = lim ( + t = t + t lim cos (t = t + t d.h., lim f(, eistiert nicht, weil unterschiedliche Annäherungen unterschiedliche Ergebnisse liefern! Also ist die Funktion auch nicht stetig in (, P (, fortsetzbar. b Die Funktion ist überall stetig, insbesondere auch im Punkt (, mit f(, =, also eistiert der Grenzwert in (, und hat den Wert f(, =. PSfrag replacements f(, = sin ( c α auf der -Achse, d.h. = f(, = = für lim f(, = β auf der -Achse, d.h. = f(, = = für lim f(, = γ auf der Geraden = t mit t =const. f(, t = (t ( + t = t + t PSfrag für replacements lim f(, t = t + t d.h., lim f(, eistiert nicht, weil unterschiedliche P (, Annäherungen unterschiedliche Ergebnisse liefern! f(, ist nicht stetig in (, fortsetzbar..5 -f(, =