3 Vektorräume und Analytische Geometrie

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1 3 Vektorräume und Analytische Geometrie Vektorräume sind in gewisser Weise Verallgemeinerungen der Zahlenmengen. So gibt es in einem Vektorraum eine Addition mit Eigenschaften analog der für die reellen Zahlen. Außerdem kann man Vektoren durch die Multiplikation mit reellen Zahlen stauchen oder dehnen. Eine Multiplikation mit den von den reellen Zahlen gewohnten Eigenschaften gibt es jedoch im allgemeinen nicht. Daher werden verschiedene Arten von Ersatz- Multiplikationen (Vektoren mit Zahlen oder Vektoren mit Vektoren) betrachtet. Vektoren erlauben vielfältige innermathematische Anwendungen wie in der Geometrie oder Analysis, sowie auch außermathematische Anwendungen z.b. in der Mechanik. Je nach Anwendung haben sie unterschiedliche Formen. 3.1 Elementare Theorie der Vektorräume Hier betrachten wir die gemeinsamen Eigenschaften, d.h., abstrakte Vektorräume. Wir werden sehen, daß die uns interessierenden Vektorräume mit Hilfe von Vektorräumen reeller n-tupel beschrieben werden können. Daher beschäftigen wir uns auch vorrangig mit diesen speziellen Vektorräumen Vektorraum R n von reellen n-tupeln Sei n N >0. Wir betrachten die Menge der reellen n-tupel. R n := X n i=1 R = } R {{ R } = {(x 1,...,x n ): x i R} n mal In R n definiert man die Addition von Elementen x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) und die Multiplikation mit einem Skalar (reeller Zahl) λ R durch x + y := (x 1 + y 1,...,x n + y n ) und λ x := (λx 1,...,λx n ). 35

2 3 Vektorräume und Analytische Geometrie Insbesondere werden wir die Räume R 2 und R 3 der Paare bzw. Tripel reeller Zahlen betrachten zur Beschreibung von Punkten in der Ebene oder im (drei-dimensionalen) Raum. Algebraische Eigenschaften: Seien 0 := (0,...,0) (Null), x := ( x 1,..., x n ) (entgegengesetztes Element), dann gelten (für x,y,z R n,λ,µ R): x + y = y + x, (x + y) + z = x + (y + z), (3.1.1) λ (x + y) = λ x + λ y, (λ + µ) x = λ x + µ x, λ(µ x) = (λ µ) x, (3.1.2) x + 0 = x, x + ( x) = 0, 0 x = 0, 1 x = x, ( 1) x = x. (3.1.3) Wir setzen: x y := x + ( y) = (x 1 y 1,...,x n y n ). Schreibweise: Wir schreiben ein n-tupel (x 1,...,x n ) auch als sogenannten Spaltenvektor. Beachte den Unterschied zum Zeilenvektor (ohne Kommas!): (x 1,...,x n ) = x 1. x n für n>1 (x 1 x n ) Definition von Vektorräumen Definition Eine Menge V mit einer Addition + und einer Multiplikation mit Zahlen heißt (reeller) Vektorraum, wenn genau ein Nullvektor 0 V und für jedes x V genau ein additives Inverses (entgegengesetzter Vektor) x V existieren, so daß (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3) für alle x,y,z V, λ,µ R gelten. Die Elemente eines Vektorraumes heißen Vektoren. Beispiele von Vektorräumen: 1. Der Raum R n der reellen n-tupel ist ein Vektorraum, siehe oben. 2. Der Vektorraum der Polynome: Seien p,q: R R Polynome mit p(x) = n i=0 a i x i, q(x) = m i=0 b i x i. 36

3 3.1 Elementare Theorie der Vektorräume O.b.d.A. sei m = n. Sei λ R. Wir definieren: (p + q)(x) := p(x) + q(x) = n i=0 (a i + b i )x i, (λ p)(x) := λ p(x) (x R). 3. Der n-dimensionale Raum VO n der Ortsvektoren, n = 1,2,3. Wir bezeichnen mit E 1, E 2, E 3 die aus der Geometrie bekannten Räume Gerade, Ebene, und (dreidimensionaler) Raum. Ein geordnetes Punktepaar oder Pfeil AB in E n ist ein (geordnetes) Paar AB = (A,B) E n E n. A heißt Anfangspunkt, B heißt Endpunkt von AB. Zwei Pfeile AB und CD heißen parallelgleich, AB = CD, wenn eine Parallelverschiebung τ existiert mit τ( AB) = CD. Als Beispiel betrachten wir folgende Situation in E 2 : C A Es gilt D AB = CD, B P PQ = RS, Q R S AB = PQ. Sei O E n ein fixierter Punkt. Die Menge V n O := { OX : X E n } der Pfeile mit Anfangspunkt O bildet einen Vektorraum der Ortsvektoren: Wir haben 0 = OO. Seien a = OA, b = OB. Es gibt dann genau einen zu OB parallelgleichen Pfeil AC. Damit setzen wir a + b := OC. C B c b Für a V n O und λ R setzen wir λa = OC, wobei O a A 37

4 3 Vektorräume und Analytische Geometrie C = O für λ = 0 oder a = 0; wenn a 0 und λ 0, dann sei C der Punkt auf der Geraden durch O und A mit OC = λ OA und A und C auf einer Seite von O liegen, wenn λ > 0; A und C auf verschiedenen Seiten von O liegen, wenn λ < Kanonische Basis im R n Spezielle Vektoren sind der Nullvektor 0 = (0,...,0) und die i-ten Einheitsvektoren e i = (0,...,0,1,0,...,0), bei denen genau an der i-ten Stelle eine 1 steht. Ist dann x = (x 1,...,x n ) ein Vektor aus R n, so kann man ihn als x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n = n i=1 d.h., als eine Linearkombination der e i darstellen. Außerdem ist (e 1,...,e n ) minimal in folgendem Sinne: keiner der Vektoren e i läßt sich als Linearkombination der übrigen Einheitsvektoren darstellen. (e 1,...,e n ) heißt dann kanonische Basis und x 1,...,x n heißen die Koordinaten von x bezüglich der kanonischen Basis. x i e i, Basis und Koordinaten in einem Vektorraum Seien n-vektoren b 1,..., b n in einem Vektorraum V gegeben. Die Vektoren b 1,..., b n heißen linear unabhängig, wenn der Nullvektor 0 nur trivial als Linearkombination der b i darstellbar ist: λ 1 b λ n b n = 0 λ 1 = = λ n = 0. Die Vektoren b 1,..., b n heißen vollständig, wenn jeder Vektor v V als Linearkombination der b i darstellbar ist: x 1,...,x n R: v = x 1 b 1 + x 2 b x n b n. (3.1.4) Sind b 1,..., b n linear unabhängig und vollständig, dann heißt (b 1,...,b n ) eine Basis von V. 38

5 3.1 Elementare Theorie der Vektorräume Ist (b 1,...,b n ) eine Basis, so heißt V ein n-dimensionaler Vektorraum und die Darstellung (3.1.4) ist eindeutig. Die Zahlen x 1,...,x n (in dieser Reihenfolge) heißen die Koordinaten von v bezüglich der Basis (b 1,...,b n ); (x 1,...,x n ) R n heißt dann Koordinatenvektor von v bezüglich dieser Basis. Existiert also eine Basis (b 1,...,b n ), so entspricht jedem Vektor v V genau ein Koordinatenvektor x R n und umgekehrt, wobei V v = x 1 b 1 + x 2 b x n b n (x 1,...,x n ) = x R n. Außerdem entsprechen sich Addition und Multiplikation mit Skalar in V und R n. Folgerung Je zwei n-dimensionale Vektorräume (V, +, ), (W,, ) über R sind isomorph zu einander: Es existiert eine Bijektion ϕ : V W mit ϕ(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 ϕ(v 1 ) λ 2 ϕ(v 2 ) für λ i R, v i V. Damit erhalten wir Bemerkung Anstelle eines n-dimensionalen Vektorraumes V kann stets der isomorphe Vektorraum R n der n-tupel betrachtet werden Kartesische Koordinaten im V 2 O, V 3 O In E n, n = 2,3, wählen wir einen Punkt O und Punkte E i, i = 1,...,n, so daß die Strecken OE i die Länge 1 haben; die Winkel E i OE j, i j, gleich 90 sind; die Pfeile OE 1,..., OE n in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Dann sind i := OE 1, j := OE 2 und, bei n = 3, auch k := OE 3 Basisvektoren des VO n, sie bilden eine kartesische O Basis. E 3 k j i E 1 E 2 Jeder Vektor v VO n kann in der Form v = x1 i + x2 j (n = 2), v = x1 i + x2 j + x3 k (n = 3) dargestellt werden, die x i heißen die kartesischen Koordinaten von v. Bemerkung Sei n {2,3}. Sei in E n ein Punkt O und mit ihm eine kartesische Basis fixiert. Dann entspricht jedem Punkt X E n eineindeutig ein Pfeil OX VO n und diesem wiederum eineindeutig ein Koordinatenvektor x R n, z.b. für n = 2: Punkt X E 2 Pfeil OX = x 1 i + x2 j V 2 O Vektor x = (x 1,x 2 ) R 2. Außerdem entsprechen sich die Vektoroperationen: V n O ist isomorph zu Rn. 39

6 3 Vektorräume und Analytische Geometrie Im Folgendem identifizieren wir daher Punkte, Pfeile, Vektoren in E n, V n O, Rn je nach Bedarf. Konkret bezeichnen wir Punkte und ihre zugehörigen Ortsvektoren (oder n-tupel) mit P bzw. p. Damit können wir geometrische Begriffe wie Winkel, Länge, Fläche, Volumen vom E n, n = 2,3, auf den V n O und Rn und zurück übertragen Skalarprodukt und Norm Für Vektoren x,y R n definieren wir das euklidische Skalarprodukt x,y := x 1 y x n y n = n i=1 Es ordnet Vektoren x,y R n eine reelle Zahl zu und hat folgende Eigenschaften (α,β R, x,y,z R n ): Offensichtlich gilt x i y i. x, y = y, x (Symmetrie) x,αy + βz = α x,y + β x,z (Bilinearität) x,x 0, x,x = 0 x = 0 (positive Definitheit). x i = x,e i für i = 1,...,n. (3.1.5) Definition Eine Abbildung, : V V R, (v,w) v,w heißt Skalarprodukt in V, wenn (3.1.5) entprechend für alle α,β R und alle v,w V (anstelle von x,y) gilt. Andere Bezeichnungen: v w, (v w), (v,w). Für die Länge in E n gilt nach dem Satz von Pythagoras, daß die Strecke OX von O = (0,0) nach X = (x 1,x 2 ) die Länge OX = x1 2 + x2 2 = x hat. x 2 (x 1,x 2 ) Die Zahl x := x,x = x x2 n heißt (euklidischer) Betrag, Länge oder euklidische Norm von x und hat folgende Eigenschaften (λ R, x,y R n ): x 0, x = 0 x = 0 (positive Definitheit). λx = λ x (Homogenität) x + y x + y (Dreiecksungleichung). x 1 (3.1.6) 40

7 3.1 Elementare Theorie der Vektorräume Der Vektorraum (R n,+, ) ausgestattet mit der Länge heißt euklidischer Raum. Definition Eine Abbildung : V R, v v heißt Norm in V, wenn (3.1.6) entprechend für alle λ R und alle v V (anstelle von x) gilt. Definition Ein Vektor v V heißt normiert oder Einheitsvektor, wenn v = 1. Bemerkung Wenn, ein Skalarprodukt in V ist, dann ist durch v := v,v für v V eine Norm in V definiert. Es gilt dann die Cauchy-Schwarz-Bunjakowski-Ungleichung v,w v w. Sei (b 1,...,b n ) eine Basis in V und seien v,w V mit Dann gilt v,w = n i=1 v = n i=1 x i b i, w = n i=1 y i b i. n g i j x i y j mit g i j := b i,b j. j=1 Definition Zwei Vektoren a, b V heißen orthogonal zueinander, wenn a, b = 0. Wenn b i,b i = 1, b i,b j = 0 für i j, dann sind die Vektoren b 1,..., b n normiert und paarweise orthogonal (d.h., orthonormal) und es gilt g ii = 1 und g i j = 0 für i j. Daher gilt dann v,w = n i=1 Bemerkung Die Einheitsvektoren e 1,..., e n in R n sind orthonormal bezüglich des euklidischen Skalarproduktes. x i y i Projektionen Definition Zwei Vektoren a,b V heißen parallel zueinander, a b, wenn b = 0 oder wenn ein λ R existiert mit a = λb. Definition Seien v,w V mit w 0. Ein Vektor v w heißt Orthogonalprojektion von v auf w, wenn v w parallel zu w ist und wenn die Normalenkomponente v w := v v w von v bezüglich w orthogonal zu w ist. 41

8 3 Vektorräume und Analytische Geometrie Sei v V, w 0. Parallelität heißt, daß ein λ R existiert mit v w = λ w. Mit der Orthogonalitätsforderung erhalten wir und daher 0 = v v w,w = v,w λ w,w, λ = v,w w,w v w := v,w w,w w. Beispiel Wir betrachten V = R 3, x = (2,4,3), y = (1,0,0) und erhalten x y = x,y y,y y = (1,0,0) = (2,0,0) Elementare Analytische Geometrie Wir sind besonders an der Interpretation der euklidischen Norm und des euklidischen Skalarproduktes interessiert. Weiter betrachten wir das Vektor- und das Spatprodukt im R Von Vektoren eingeschlossener Winkel Seien x,y in R 2 oder R 3 mit x 0, y 0. Es bezeichne (x,y) [0,π] den von x und y eingeschlossenen, nichtorientierten Winkel, d.h., den Innenwinkel bei O = 0 des Dreiecks OXY mit X = x, Y = y, falls x y. Zuerst interpretieren wir, was die Orthogonalität x,y = 0 bedeutet, wenn x,y 0: Wir betrachten den R 2 (für den R 3 geht es analog). Es gilt und OX 2 + OY 2 = x 2 + y 2 = x x y y 2 2 XY 2 = x y 2 = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 = x 2 1 2x 1 y 1 + y x 2 2 2x 2 y 2 + y 2 2. Genau dann, wenn x,y = x 1 y 1 + x 2 y 2 = 0, haben wir OX 2 + OY 2 = XY 2, Y d.h., nach Satz von Pythagoras ist OXY ein rechtwinkliges Dreieck mit O rechtem Winkel in O genau dann, wenn x,y = 0. X 42

9 3.2 Elementare Analytische Geometrie Somit gilt x,y sind orthogonal x,y = 0 (x,y) = π 2 x,y sind senkrecht. Seien nun x,y R 2 mit (x,y) ]0, π 2 [. Wir betrachten das durch die Punkte O = (0,0), Z = (x y,1,x y,2 ), X = (x 1,x 2 ) bestimmte rechtwinklige Dreieck. Nach der Definition des Kosinus gilt X cos (x,y) = OZ OX = x y x = x,y x y,y y = x,y x y. Y O Z Allgemein erhalten wir: Satz Sind x 0 und y 0 zwei Vektoren im R 2 oder R 3, dann ist (x,y) eindeutig bestimmt durch cos (x,y) = x,y x y. Umgekehrt, ist (x,y) bekannt, so können wir x,y bestimmen durch x,y = x y cos (x,y). Insbesondere gilt x,y > 0 genau dann, wenn (x,y) ]0, π 2 [, und x,y < 0 genau dann, wenn (x,y) ] π 2,π[. Bemerkung Im R 2 und R 3 wird durch das (euklidische) Skalarprodukt x,y zweier Vektoren x, y der durch x, y aufgespannte Winkel (x,y) bestimmt Das Vektorprodukt im R Definition Wir führen nun, alternativ zum Skalarprodukt, ein neues Produkt zwischen zwei Vektoren im R 3 ein, das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt. Im Unterschied zum Skalarprodukt ist das Ergebnis diesmal ein Vektor im R 3 und kein Skalar (daher der Name). Definition Seien a,b R 3. Dann heißt a 1 b 1 a 2 b 3 a 3 b 2 a 2 b 2 := a 3 b 1 a 1 b 3 a 3 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 Vektorprodukt von a und b. 43

10 3 Vektorräume und Analytische Geometrie Bemerkung Man beachte die Reihenfolge der jeweils ersten Indizes: 1. Zeile: 2,3 2. Zeile: 3,1 3. Zeile: 1,2 Beispiel Für a = (3,1,0), b = ( 1,2,0) gilt a b = 1 2 = 0 ( 1) 3 0 = ( 1) Eigenschaften des Vektorproduktes Allgemein erhält man die folgenden, aus der Definition herzuleitenden Rechenregeln. Inbesondere gilt a a = 0, a b = (b a) (!), λ(a b) = (λa) b = a (λb), a (b + c) = a b + a c, (a + b) c = a c + b c. e 1 e 2 = e 3, e 2 e 3 = e 1, e 3 e 1 = e 2. Etwas umständlicher aber immer noch elementar zeigt man den Entwicklungssatz a (b c) = a,c b a,b c. Vorsicht: Das Rechnen mit dem Vektorprodukt weicht erheblich vom Rechnen mit reellen Zahlen ab. Im allgemeinen gilt (Beispiel?) a b b a, a (b c) (a b) c Interpretation des Vektorproduktes Satz a b steht senkrecht auf a und b, d.h., a b,a = a b,b = a, b und a b bilden (in dieser Reihenfolge) ein Rechtssystem. 3. Für die Länge von a b und den Flächeninhalt A(a,b) des durch a und b aufgespanntem Parallelogramms gilt a b = a b sin (a,b) = A(a,b). 4. Wenn a b oder a = 0 oder b = 0, dann a b = 0. 44

11 3.2 Elementare Analytische Geometrie Bemerkung Das Vektorprodukt in R 3 liefert also den Flächeninhalt und einen zu den beiden Vektoren orthogonalen Vektor Das Spatprodukt Definition Definition Die Zahl heißt Spatprodukt der Vektoren a,b,c R 3. [a,b,c] := a b,c Satz Sei V (a,b,c) das Volumen des von a, b und c aufgespannten Parallelepipeds. Dann gilt V (a,b,c) = [a,b,c]. Beweis. Sei O E 3 und seien A, B, C E 3 mit a = OA, b = OB, c = OC. Die Grundfläche mit den Kanten OA und OB hat den Flächeninhalt A(a,b) = a b. Die Höhe h des Körpers ist gegeben über die orthogonale Projektion des Vektors c auf den Vektor a b (der senkrecht auf der Grundfläche steht). Es gilt Damit gilt für das Volumen h = c a b = c,a b a b 2 a b O h c C b a a b c a = c,a b a b. B A V (a,b,c) = A(a,b) h = a b c,a b a b = a b,c = [a,b,c] Eigenschaften des Spatprodukts Wir ziehen folgende Schlüsse aus dem Satz. 1. Es ist [a,b,c] 0 genau dann, wenn a, b und c nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen. 45

12 3 Vektorräume und Analytische Geometrie 2. Der Wert [a,b,c] ist unabhängig von der Reihenfolge der Vektoren. 3. a, b und c bilden genau dann ein Rechtssystem, wenn der Winkel zwischen a b und c spitz ist. Es gilt dann (vgl. Skalarprodukt) [a,b,c] = a b c cos (a b,c) > 0. Es ist also a, b, c genau dann ein Rechtssystem, wenn [a,b,c] > Aus 2. und 3. schließen wir: [a,b,c] ändert seinen Wert nicht, wenn a, b, c in zyklischer Reihenfolge vertauscht werden, [a,b,c] = [b,c,a] = [c,a,b]. [a,b,c] ändert nur das Vorzeichen, nicht den Betrag, wenn genau zwei der beteiligten Vektoren miteinander vertauscht werden Koordinatendarstellung des Spatprodukts Aus den Rechenregeln für Skalar- und Vektorprodukt leitet man ab, wie das Spatprodukt für drei Vektoren in Koordinatendarstellung berechnet wird. Es ist [a,b,c] = (a 2 b 3 a 3 b 2 )c 1 + (a 3 b 1 a 1 b 3 )c 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 )c 3 = a 1 b 2 c 3 a 3 b 2 c }{{} 1 + a 2b 3 c 1 a 1 b 3 c }{{} 2 + a 3b 1 c 2 a 2 b 1 c }{{} 3. Die Indizes in den drei Gruppen erhält man an der ersten Stelle durch zyklisches Vertauschen. Man schreibt diese Summe von Produkten auch verkürzend als a 1 a 2 a 3 det(a,b,c) = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 := a 1b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 3 b 2 c 1 a 2 b 1 c 3 a 1 b 3 c 2 und nennt diese Zahl (drei-reihige) Determinante der beteiligten Vektoren a, b, c. Bemerkung Das Volumen des von den Vektoren a, b, c aufgespannten Tetraeders ist 1 6 [a,b,c]. 46

13 3.2 Elementare Analytische Geometrie Geraden im Raum Eine Gerade im Raum ist anschaulich festgelegt durch zwei verschiedene vorgegebene Punkte im Raum. Seien etwa A und B zwei Punkte, a = OA und b = OB deren zugehörige Ortsvektoren, dann ist die durch A und B festgelegte Gerade g in der Zwei-Punkte-Form gegeben durch g = {a + λ(b a) : λ R}. b a x 3 a x 2 b Setzen wir hierin c := b a, so ist c 0 und x 1 g = {a + λc : λ R} ist die allgemeine Parameterdarstellung einer Geraden g durch A und B. c heißt ein Richtungsvektor der Geraden (der nicht eindeutig festgelegt ist) Lot auf die Gerade Vorgegeben seien nun ein Punkt P mit Ortsvektor p = OP und die Gerade g = {a+λc: λ R} mit c 0. Wir suchen das Lot von P auf die Gerade g. Das ist der Vektor l(p,g), so daß 1. l(p,g) senkrecht auf der Geraden g, steht, d.h., p l(p,g) c ; a g 2. der Lotpunkt q := p + l(p,g) in der Geraden liegt, p + l(p,g) g. l c Aus dem Bild entnehmen wir, daß l(p,g) der Normale von p a bzgl. c entgegen steht: l(p,g) = (p a) c = ( (p a) (p a) c ) = ( (p a) p a,c c,c = 1 ( ) 1 c,c (p a) p a,c c = c 2 c 2 c ( (p a) c ), wobei zuletzt der Entwicklungssatz angewandt wurde. ) c 47

14 3 Vektorräume und Analytische Geometrie Abstand von Punkt und Gerade Nach Definition des Lotes ergibt sich für den Abstand d(p,g) von P zur Geraden g d(p,g) = l(p,g) = 1 (p a) c c (p a) c =. c 2 c Die Cramersche Regel im R 3 Gegeben sei eine Gleichung ru + sv +tw = d. (3.2.1) mit u,v,w,d R 3. Bemerkung Gleichung (3.2.1) entspricht dem linearen Gleichungssystem u 1 r + v 1 s + w 1 t = d 1, u 2 r + v 2 s + w 2 t = d 2, u 3 r + v 3 s + w 3 t = d 3. Zur Bestimmung der Zahlen r, s und t multiplizieren wir (Skalarprodukt!) mit v w, u w, bzw. u v und erhalten r[u,v,w] = [v,w,d], s[u,v,w] = [u,w,d], t[u,v,w] = [u,v,d]. Mit det(a,b,c) = [a,b,c] folgt die Cramersche Regel im R 3 : 1. Wenn det(u,v,w) 0, d.h., u, v, w liegen nicht in einer Ebene, dann r = det(v,w,d) det(u,v,w), s = det(u,w,d) det(u,v,w), t = det(u,v,d) det(u,v,w). 2. Wenn det(u,v,w) = 0, dann ist (3.2.1) nur lösbar (aber nicht mehr eindeutig), wenn det(v,w,d) = det(u,w,d) = det(u,v,d) = 0. Die eindeutige Lösung der Vektorgleichung kann also durch Quotienten von Determinanten angegeben werden Die Cramersche Regel im R 2 Gegeben sei nun eine Gleichung ru + sv = d. (3.2.2) mit u,v,d R 2. 48

15 3.2 Elementare Analytische Geometrie Bemerkung Gleichung (3.2.2) entspricht dem linearen Gleichungssystem u 1 r + v 1 s = d 1, u 2 r + v 2 s = d 2. Zur Bestimmung der Zahlen r und s kann man eine zum drei-dimensionalen analoge Regel anwenden: Sei det(a,b) = a 1 a 2 b 1 b 2 := a 1b 2 a 2 b 1. Es gilt die Cramersche Regel im R 2 : 1. Wenn det(u, v) 0, dann r = det(v,d) det(u,v), s = det(u,d) det(u,v). 2. Wenn det(u,v) = 0, dann ist (3.2.2) nur lösbar (aber nicht mehr eindeutig), wenn det(v,d) = det(u,d) = 0. Damit kann auch hier die eindeutige Lösung der Vektorgleichung durch Quotienten von Determinanten angegeben werden Lineare Unabhängigkeit im R 3 Aus der allgemeinen Situation wiederholen wir, daß drei Vektoren u, v, w in R 3 linear unabhängig genannt werden, wenn ru + sv +tw = 0 nur die triviale Lösung (r,s,t) = (0,0,0) hat. Nach der Cramerschen Regel gilt u, v, w sind linear unabhängig [u, v, w] 0. Bei der betrachteten Vektorgleichung tu + sv + rw = d stellt sich also die Frage, inwieweit ein gegebener Vektor d sich als (eindeutige) Linearkombination der Vektoren u,v,w darstellen läßt. Beispiel Wir betrachten folgende Situation Eine vorgegebene Kraft k greife an der Spitze eines dreibeinigen Tragbockes an. 49

16 3 Vektorräume und Analytische Geometrie Die Reaktionskräfte im Tragbock seien mit k 1,k 2,k 3 bezeichnet. Es gilt dann k + k 1 + k 2 + k 3 = 0. Die drei Beine des Tragbockes seien durch die Vektoren a, b, c gegeben. c k k 3 k 2 b k 1 a Dann gilt k 1 = λ 1 a, k 2 = λ 2 b und k 3 = λ 3 c für unbekannte reelle Zahlen λ 1,λ 2,λ 3 R, also k + λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c = 0. Sind nun a,b,c in allgemeiner Lage, also [a,b,c] 0, so gilt gemäß Cramerscher Regel: λ 1 = [k,b,c] [a,b,c], λ 2 = [a,k,c] [a,b,c], λ 3 = [a,b,k] [a,b,c] Ebenen im Raum Betrachten wir nun Ebenen im Raum. Eine Ebene E wird festgelegt durch drei auf ihr liegende Punkte, die nicht in einer Geraden liegen. Seien a, b, c die Ortsvektoren zu solchen Punkten, dann liegen die Differenzvektoren u = b a und x 3 v v = c a in der Ebene. Es seien u 0, v 0 und u v vorausgesetzt. Ein Raumpunkt X (oder der Vektor x = u X OX) liegt c a b genau dann in der Ebene E, wenn s,t R existieren mit x x 2 1 x = a + su +tv. Die Parameterdarstellung einer Ebene E lautet also E = {a + su +tv: s,t R} ; u und v heißen Richtungsvektoren der Ebene. Man beachte, daß die Parameterdarstellung der Ebene die der Geraden so erweitert, daß ein zusätzlicher Richtungvektor aufgenommen wurde, was der um eins höheren Dimension entspricht. 50

17 3.2 Elementare Analytische Geometrie Lot auf die Ebene Wir wollen nun das Lot l(p,e) von einem Punkt P auf die Ebene E fällen. Dazu bemerken wir, daß der Vektor n := u v auf allen zur Ebene parallelen Vektoren senkrecht steht: u v,su +tv = s u v,u +t u v,v = 0, denn u v u und u v v. Um das Lot zu berechnen, haben wir also nur den Schnittpunkt S der Geraden g = {p + r (u v): r R} und der Ebene E zu berechnen, d.h., r aus der Vektorgleichung P p + r (u v) = a + su +tv n d.h. aus r (u v) + su +tv = p a S zu bestimmen. Mit der Cramerschen Regel folgt (beachte u v 0!) [u,v, p a] r = [ u v,u,v] [a p,u,v] [a p,u,v] = u v 2 und damit l(p,e) = u v 2 u v Abstand von Punkt und Ebene Der Abstand d(p,e) des Punktes P von der Ebene E ist demnach [a p,u,v] [a p,u,v] d(p,e) = l(p,e) = u v 2 u v =. u v Abstand zweier Geraden Aus dieser Formel erhalten wir auch eine Aussage über den Abstand d(g 1,g 2 ) zweier beliebiger Geraden im Raum voneinander. Seien Dann sind zwei Fälle möglich: g 1 = {a + su: s R}, g 2 = {b +tv: t R}. 1. Ist u v, so ist d(g 1,g 2 ) gleich dem Abstand des Punktes B von der Geraden g 1 : d(g 1,g 2 ) = d(b,g 1 ) = (b a) u u. 51

18 3 Vektorräume und Analytische Geometrie 2. Ist u v und damit u v 0, so ist d(g 1,g 2 ) gleich dem Abstand des Punktes B von der Ebene E = {a + su +tv: t,s R}: d(g 1,g 2 ) = d(b,e) = [a b,u,v] u v Normalendarstellung der Ebene Es gibt eine besonders elegante Art, Ebenen zu beschreiben, die wir im folgenden herleiten wollen. Wir wiederholen, daß drei Vektoren genau dann in einer Ebene liegen, wenn ihre Determinante gleich Null ist. Betrachten wir die Ebene E = {a + su +tv: t,s R} und die Vektoren u, v, (x a) für beliebiges x R 3. A v u X Der Ortsvektor x zeigt genau dann auf einen Punkt der Ebene, wenn [x a,u,v] = 0. Mit dem Normalenvektor n := u v erhalten wir x a,n = 0 und damit die (nicht eindeutige) Normalendarstellung bzw. Koordinatendarstellung wobei r := a,n. E = {x R 3 : n,x = r} = {x R 3 : n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = r}, Hessesche Normalform Die (eindeutige) Hessesche Normalform E = {x R 3 : m,x = d} = {x R 3 : m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 = d} entsteht aus der Normalendarstellung mit m := Besonderheiten: { n/ n, d := r/ n falls r 0, n/ n, d := r/ n falls r < 0. m ist ein normierter Normalenvektor zur Ebene. Bei d 0 ist sein Winkel zu einem beliebigen Ortsvektor x der Ebene spitz. Daher weist m immer vom Nullpunkt weg. Die Zahl d ist der Abstand von 0 zu E: l := dm steht senkrecht auf E und es gilt l E. Damit ist l das Lot von 0 auf E mit der Länge d. 52

19 3.2 Elementare Analytische Geometrie Ist a E, so ist a p,m d(p,e) = = d p,m m der Abstand eines beliebigen Punktes P von der Ebene. Ist d p m> 0, so liegt P auf derselben Seite wie der Nullpunkt. Ist d p m< 0, so liegen beide auf verschiedenen Seiten der Ebene Achsenabschnittsform Ist r 0, so kann die rechte Seite in der Normalenform auf 1 normiert werden, indem die gesamte Gleichung durch r geteilt wird. Es entsteht dann die Achsenabschnittsform E = {x R 3 : α 1 x 1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 = 1} mit α 1 = n 1 r, α 2 = n 2 r, α 3 = n 3 r. Die Koeffizienten α i liefern unmittelbar die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen: Sind α 1, α 2, α 3 0, dann sind die Schnittpunkte nämlich ( 1 α 1,0,0), (0, 1 α 2,0), (0,0, 1 α 3 ). Ist ein α i = 0, dann verläuft die Ebene parallel zur x i -Achse. Umformung von Achsenabschnittsform in Parameterdarstellung: Sind alle α i 0, so hat man drei Punkte der Ebene (Dreipunkte-Form). Sonst hat man einen Richtungsvektor (Koordinatenachse) und zwei Punkte oder zwei Richtungsvektoren (zwei Koordinatenachsen) und einen Punkt Schnitt von zwei Ebenen Zwei Ebenen E = {x R 3 : x,m = r}, F = {x R 3 : x,n = s} schneiden sich in einer Geraden, sofern die Ebenen nicht parallel sind. Sie sind genau dann parallel, wenn m n = 0. Sei c = m n. Dann gilt c m und c n. Damit ist c ein Richtungsvektor der Schnittgeraden. 53

20 3 Vektorräume und Analytische Geometrie Einen Punkt auf der Schnittgeraden erhält man durch Lösen des Gleichungssystems x, m = r, x,n = s, d.h. m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 = r, n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = s. (Lösen kann man das Gleichungssystem, indem man eine der Gleichungen nach einer der Variablen aufgelöst, diese in die zweite Gleichung eingesetzt wird und dann eine der Variablen willkürlich gleich Null gesetzt wird.) Schnitt von drei Ebenen Sei nun G = {x R 3 : x, p = t} eine weitere Ebene. Wir wollen die Schnittmenge von E, F und G bestimmen. Dazu ist das Gleichungssystem m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 = r n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = s p 1 x 1 + p 2 x 2 + p 3 x 3 = t zu lösen. Nach der Cramerschen Regel ist dies genau dann eindeutig möglich, wenn [m,n, p] 0, d.h. wenn m, n, p linear unabhängig sind. Bemerkung Der Schnitt dreier Ebenen kann leer sein, aus einem Punkt bestehen, aus einer Geraden bestehen, aus einer Ebene bestehen. Bemerkung Es können auch Schnittwinkel zwischen Ebenen oder Geraden als Winkel zwischen Normalen- bzw. Richtungsvektoren berechnet werden. 54