1 Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) Wahrscheilichkeitsrechug Laplace-Wahrscheilichkeit: P ( E) Azahl der für das Ereigis E güstige Ausgäge E Azahl der mögliche Ausgäge Ω Elemetare Eigeschafte:. Für jedes Ereigis E ist P(E) 0 (Nichtegativität). Für das sichere Ereigis Ω ist P(Ω) (Normiertheit). 3. Für zwei disjukte Ereigisse E, E gilt die spezielle Additiosregel: P(E oder E ) P(E ) + P(E ). Daraus folgt für zwei komplemetäre Ereigisse E, E c : P(E c ) P(E). Allgemeie Additiosregel: P( A oder B) P( A) + P( B) P( A ud B) Bedigte Wahrscheilichkeit: Für zwei Ereigisse A Ω (A ), B Ω ist die Wahrscheilichkeit P(B A) vo B uter der Bedigug A (d.h. uter der Voraussetzug, dass A eigetrete ist): P ( B A) P( A ud B) P( A) Multiplikatiosregel: P ( A ud B) P( B A) P( A) P( A B) P( B) Soderfall für uabhägige Ereigisse A, B: P ( A ud B ) P ( A) P ( B ) Satz vo der totale Wahrscheilichkeit: Ereigisse A i (i,,,) bilde eie Zerlegug vo Ω, d.h. jeder Versuchsausgag liegt geau i eiem A i. Für jedes Ereigis B aus Ω gilt: P( B) i P( B A ) P( A ) i i Bayes sche Formel: Die Ereigisse A i (i,,,) bilde eie Zerlegug vo Ω; da gilt für jedes Ereigis B Ω (B ): P( Ai B) P( B Ai ) P( Ai ) P( B) mit P( B) i P( B A ) P( A ) i i StatFormel 04..4

2 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) Wahrscheilichkeitsverteiluge. Diskrete Verteiluge Biomialverteilug: Die Zufallsvariable X "Azahl der Wiederholuge mit dem Ausgag E" ist biomialverteilt mit de Parameter ud p (kurz X B,p ); die Werte der Biomialverteilug B,p sid gegebe durch: P( X x) B, ( ) p x ( p) x p x ( x 0,,,..., ) x R-Fuktioe: dbiom(), pbiom() dbiom(x, size, prob) pbiom(q, size, prob) x, q Quatile (Skalar oder Vektor) size Azahl der Versuchswiederholuge prob Erfolgswahrscheilichkeit (Skalar oder Vektor) Biomialkoeffiziet: ( )( ) L( x + )! ( x,3, K) x 3Lx ( x)! x!, 0! (gelese -Faktorielle,,3,4, ) 3 bezeichet die Azahl vo Permutatioe (d.h. Aorduge) vo Elemete. Für die Soderfälle 0 ud gilt: 0!,!. R-Fuktioe: factorial(), choose() factorial(x) choose(, k) x,, k ichtegative gaze Zahle, k < Mittelwert ud Variaz eier B,p -verteilte Zufallsvariable X: µ X σ X E[ X ] p Var [ X ] pq p( p) E[ X ] ( E[ X ]/ ) Poisso-Verteilug: Die Biomialverteilug strebt für p 0 ud kostat bleibedem Mittelwert p λ gege die sogeate Poissoverteilug P λ mit de Fuktioswerte P( X ) P ( ) e x x x λ λ ( x 0,,, K) λ x! Gute Approximatio B,p P λ bereits für >0 ud p < 0.! StatFormel 04..4

3 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 3 Es gilt: E [ X ] Var[ X ] λ R-Fuktioe: dpois(), ppois() dpois(x, lambda) ppois(q, lambda) x, q Quatile(Skalar oder Vektor) lambda Parameter der Poisso-Verteilug Hypergeometrische Verteilug: Es seie M eie Mege vo N Elemete, vo dee a vom Typ A sid, ud X die Zufallsvariable Azahl der Elemete vom Typ A, we isgesamt aus der Mege M gezogee (ud icht wieder zurückgelegt) werde. Da ist X hypergeometrisch verteilt mit de Parameter a,n-a ud (kurz X H a, N-a, p ). Die Fuktioswerte der hypergeometrische Verteilug H a, N-a, sid: a N a x x P ( X x) H a, N a, ( x) ( x 0,, K, a) N H a, N-a, p (x) B,p (x) für /N < 0, ud N > 60! Es gilt: E[ X ] p N Var[ X ] p( p) N R-Fuktioe: dhyper(), phyper() dhyper(x, m,, k) phyper(q, m,, k) Parameter (i Klammer die Bezeichuge des VO-Textes): x, q Quatile(Skalar oder Vektor), Azahl der A-Elemete i der Stichprobe m Azahl der A-Elemete i der Grudmege (a) Azahl der icht-a-elemete i der Grudmege (N-a) k Azahl der Elemete i der Stichprobe (). Stetige Verteiluge Stadardormalverteilug: X heißt stadardormalverteilt kurz X N(0,), we die Dichtefuktio vo X gegebe ist durch: ϕ ( x) exp( x / ) ( < x < + ) π Mittelwert ud Variaz eier N(0,)-verteilte Zufallsvariable X: µ σ X X E( X ) 0 Var( X ) StatFormel 04..4

4 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 4 Verteilugsfuktio: Φ: x Φ( x) P( X Hiweis: Φ(-x) - Φ(x) x < x) ϕ ( ξ) dξ Allgemeie Normalverteilug: X heißt ormalverteilt mit dem Mittelwert µ ud der Variaz σ - kurz: X N(µ,σ ), we Z (X-µ )/σ stadardormalverteilt ist. Dichtefuktio vo X: f : x f ( x) exp - σ π ( x µ ) σ Verteilugsfuktio: x F : x F( x) P( X < x) f (ξ) dξ Hiweis: X µ x µ x µ F(x) P ( X < x) P < Φ σ σ σ R-Fuktioe: dorm(), porm(), qorm(), r(orm() dorm(x, mea 0, sd ) porm(q, mea 0, sd ) qorm(p, mea 0, sd ) rorm(, mea 0, sd ) x, q Quatile (Skalar oder Vektor) p Uterschreitugswahrscheilichkeit (Skalar oder Vektor) mea Mittelwert der Normalverteilug sd Stadardabweichug der Normalverteilug Azahl der zu geerierede Zufallszahle StatFormel 04..4

5 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 5 3 Parameterschätzug 3. Mittelwert ud Variaz Zufallsstichprobe der metrische Variable X vom Umfag : X X,...,, X (Arithmetisches) Mittel: X X i i Variaz: S ( X i X ) i Stadardabweichug: S ( X i X ) i (-α)-kofidezitervall für de Mittelwert µ: [ X d X + d] mit d t SE ud SE S /,, α / Approximatio für großes : [ X z SE X + z SE] mit d z SE ud SE S / α /, α / α / Faustformel zur Plaug des Stichprobeumfages (Approximatio für großes ): Notwediger Stichprobeumfag für Mittelwertschätzug mit Geauigkeit d ud Sicherheit - α: z σ d α / R-Fuktioe: Arithmetisches Mittel: mea() Variaz: var() Stadardabweichug: sd() Kofidezitervall für Mittelwert: t.test() Hiweis: die Fuktio ist ur awedbar, we die Stichprobewerte gegebe sid, sost direkte Berechug mit de Defiitiosgleichuge. t.test(x, cof.level 0.95) x Datevektor, cof.level Kofidezzahl (default: 0.95) StatFormel 04..4

6 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 6 R-Fuktio zur Bestimmug eies (-α)-kofidezitervalls für demittelkwert: # R-Fuktio mit Übergabeparameter: # (Stichprobeumfag), xquer (arithmetisches Mittel), # std (Stadardabweichug), alpha (Irrtumsrisiko) CI_mea <- fuctio(, xquer, std, alpha){ q <- qt(-alpha/, -); sestd/sqrt(); d <- q*se ug <- xquer-d; og <- xquer+d greze <- cbid(ug, og) retur(greze)} optios(digits4) # Fuktiosaufruf mit 30, xquer0, std5, alpha5% CI_mea(30, 0, 5, 0.05) (-α)-kofidezitervall für die Variaz σ : ( ) S ( ) S, χ, α / χ, α / (-α)-kofidezitervall für die Stadardabweichug σ: ( ) S ( ) S, χ, α / χ, α / R-Fuktio zur Bestimmug eies (-α)-kofidezitervalls für die Variaz: # R-Fuktio mit Übergabeparameter: # (Stichprobeumfag), var (Variaz), alpha (Irrtumsrisiko) CI_var <- fuctio(, var, alpha){ ug <- (-)*var/qchisq(-alpha/, -) og <- (-)*var/qchisq(alpha/, -) greze <- cbid(ug, og) retur(greze)} optios(digits4) # Fuktiosaufruf mit 30, var7.93, alpha5% CI_var(30, 7.93, 0.05) ug og [,] Quatile Berechug des p-quatils x p (0 < p < ): Eie Stichprobe der Variable X umfasse die metrische Werte x, x,..., x. Die Aordug der Stichprobewerte ach aufsteigeder Größe führt auf die geordete Stichprobe x (), x (),..., x (). Ma bestimme die Zahl u +(-)p ud daraus die größte gaze Zahl [u] kleier oder gleich u; ferer setze ma v u-[u] x p ( v) x + vx ([ u]) ([ u] + ) Soderfälle: p 50% (Media x 0.5 ) p 5% (uteres Quartil x 0.5 ) p 75% (oberes Quartil x 0.75 ) StatFormel 04..4

7 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 7 R-Fuktioe: Media: media() Quatil: quatile(), summary() 5-Pukte-Zusammefassug: fiveum() 3.3 Eifache Grafike Puktdiagramm: Darstelleg der Stichprobewerte als Pukteauf der Merkmalsachse, für kleiere Stichprobe (<5) R-Fuktio: stripchart() Pukt-Plots für drei Messreihe. Lös.. Lös. 3. Lös Mg-Kozetratio i mikromol/00g Trockegewicht Box-Plot: besteht aus eiem Rechteck, das durch das utere ud obere Quartil begrezt wird ud i dem der Media markiert ist. Die Ausläufer ach ute ud obe reiche bis zum kleiste bzw. größte Merkmalswert. R-Fuktio: boxplot() Normal QQ-Plot: Zur Beurteilug, ob die Werte x, x,, x eier Zufallsstichprobe vo X gege die Aahme X ist ormalverteilt spreche. We X N(µ, σ ) verteilt ist, besteht zwische dem p-quatil x p vo X ud dem etsprechede Quatil z p der N(0, )-verteilte Zufallsvariable Z(X-µ)/σ der lieare Zusammehag x p σ z p + µ. Die Pukte StatFormel 04..4

8 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 8 P(z p, x p ) mit de für verschiedee Werte vo p (0 < p < ) berechete Quatile vo Z ud X als Koordiate) liege im (Z, X)-Koordiatesystem auf eier Gerade mit dem Astieg σ ud dem y- Achseabschitt µ. Die folgede Grafik ethält Normal-QQ-Plots für zwei Zufallsstichprobe (jeweils vom Umfag 30). Die QQ-Plots ethalte auch die Orietierugsgerade durch die de utere ud obere Quartile etsprechede Pukte. Liks sid die Dichtekurve der Grudgesamtheite dargestellt, aus dee die Stichprobe geeriert wurde (obe: Normalverteilug mit µ5 ud σ0.5, ute: logarithmische Normalverteilug mit µ - 0. ud σ). Vertikal sid die (ach aufsteigeder Größe ageordete) Stichprobewerte x (i) als (empirische) Quatile vo X aufgetrage. Die etsprechede Uterschreitugswahrscheilichkeite p i werde für >0 mit p i (i-0.5)/ ud für 0 mit p i (i- 3/8)( + ¼) bestimmt. Aus de p i ermittelt ma die dazu gehörede die Quatile z pi φ - (p i ) der N(0, )-Verteilug, die horizotal aufgetrage sid. R-Fuktioe: qqorm(), qqlie() 3.4 Wahrscheilichkeit Zufallsstichprobe der dichotome (0/-skalierte) Variable X vom Umfag : X X,...,, X m absolute Häufigkeit der Ausprägug (Azahl der Utersuchugseiheite mit der Ausprägug ), y m/ der Ateil der Wiederholuge mit der Ausprägug. Approximatives (-α)-kofidezitervall [u A, o A ] für die Wahrscheilichkeit p (Agresti-Coull-Itervall): u m A W m W l m + z + A, o A m W + l A mit α / / mw ( mw ) ud l A z α / z α / + z α / Voraussetzug für die Approximatio: y (-y ) > 9 StatFormel 04..4

9 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 9 Exaktes (-α)-kofidezitervall [p u, p o ] für die Wahrscheilichkeit p (Clopper-Pearso- Itervall): u C mf m + ( m + ) F m,( m+ ), α / ( m+ ),( m), α /, oc + mf m,( m+ ), α / m + ( m + ) F( m+ ),( m), α / R-Fuktioe: Kofidezitervall für die Wahrscheilichkeit p: library(biom) biom.cofit(x,, cof.level0.95, methodsc("ac", "exact")) x Zahl der Erfolge, Azahl der Versuche, cof.level Kifidezzahl (default: 0.95) methods Auswahlparamter für das gewüschte Kofidezitervall ("ac" Agresti-Coull, "exact"clopper-pearso) Alterative für Clopper-Pearso-Itervall: biom.test(x,, cof.level 0.95) (im Basis-Paket ethalte) oder selbstdefiierte R-Fuktio: # R-Fuktio mit Übergabeparameter: # (Stichprobeumfag), m (Azahl der Erfolge), alpha (Irrtumsrisiko) CI_p <- fuctio(m,, alpha){ qu <- qf(alpha/, *m, *(-m+)) qo <- qf(-alpha/, *(m+), *(-m)) uc <- m*qu/(-m++m*qu); oc <- (m+)*qo/(-m+(m+)*qo) greze <- cbid(uc, oc) retur(greze)} optios(digits4) # Fuktiosaufruf mit 0, m4, alpha5% CI_p(4, 0, 0.05) Faustformel zur Plaug des Stichprobeumfages (Approximatio für y (-y ) > 9): Notwediger Stichprobeumfag zur Schätzug vo p mit Geauigkeit d ud Sicherheit - α: z d α / StatFormel 04..4

10 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 0 4 Teste vo Hypothese: Eistichprobevergleiche 4. Allgemeies Etscheidugsalterative (Hypothese): z.b. über de Mittelwert µ eier Verteilug: -seitiger Test auf Abweichug: H 0 : µ µ o versus H : µ µ o (Fall II) -seitiger Test auf Überschreitug: H 0 : µ µ o versus H : µ > µ o (Fall Ia) -seitiger Test auf Uterschreitug: H 0 : µ µ o versus H : µ < µ o (Fall Ib) Etscheidugsproblem: Fehlerriske:. Fehler. Art (α-fehler): irrtümliche Ablehug vo H 0 ; Testetscheidug so, dass P(Etscheidug für H H o ist richtig) < α.. Fehler. Art (β-fehler): irrtümliche Nichtablehug vo H 0 ; P(keie Etscheidug für H H ist richtig) < β, u.a. vom Verteilugsparameter µ abhägig. Zusammefassug beider Fehlerriske i der Gütefuktio (power-fuctio): G(µ) P(Ablehug vo H 0 µ) Wahrscheilichkeit, auf Grud eier Zufallsstichprobe gege H 0 zu etscheide. Testetscheidug: Etscheidug erfolgt mit eier (für de jeweilige Test typische) Testgröße TG; Zufallsstichprobe Realisierug TG s. Etscheidug mit dem P-Wert (Wahrscheilichkeit, dass eie Zufallsstichprobe vom Umfag eie Wert der Testgröße TG ergibt, der zumidest gleich extrem im Sie vo H liegt, wie die beobachtete Realisierug TG s. H o wird abgeleht, we TG s (oder och extremere Werte) uter der Voraussetzug der Gültigkeit vo H o ur mit kleier Wahrscheilichkeit P auftritt (d.h. P kleier als α) ist. Mege der "sehr uwahrscheiliche" TG s -Werte bildet de sog. Ablehugsbereich. Die bei der Ablehug vo H o zur Awedug kommede logische Schlussfigur folgt dem Schema: We H o gilt, da ist ei TG s im Ablehugsbereich "sehr uwahrscheilich"; aus eier Zufallsstichprobe ergibt sich ei TG s im Ablehugsbereich. H o ist sehr uwahrscheilich. Was bedeutet ei icht-sigifikates Testergebis? P α H 0, H? P < α H 0, H? H Power β H 0 Power < β H 0, H? StatFormel 04..4

11 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 4. Ausgewählte Testverfahre Gauß-Test Der Gauß-Test diet zur Prüfug, ob der Mittelwert eier N(µ, σ )-verteilte Zufallsvariable X vo eiem vorgegebee Sollwert µ 0 abweicht bzw. diese uter- oder überschreitet. Die Variaz σ wird dabei als bekat vorausgesetzt. Hypothese ud Testgröße: (Ia) H 0 : µ µ 0, H : µ > µ 0 (Ib) H 0 : µ µ 0, H : µ < µ 0 (II) H 0 : µ µ 0, H : µ µ 0 TG X µ 0 σ Die Testgröße TG ist uter H 0 stadardormalverteilt. Testetscheidug mit dem P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α ist. Berechug des P-Wertes: P Φ( TG s ) (Fall Ia), P Φ( TG s ) (Fall Ib), P [ Φ( TGs )] (Fall II) Testetscheidug mit Quatile: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG s > z - α (Fall Ia) bzw. TG s < z α (Fall Ib) bzw. TG s > z -α/ (Fall II). Plaug des Stichprobeumfages: Notwediger Stichprobeumfag, um auf Niveau α mit Sicherheit -ß eie Etscheidug für H herbeizuführe, we µ vo µ 0 um 0 im Sie der Alterativhypothese abweicht: σ α / β α + z σ ( z + z ) (Fall II) bzw. ( z ) (Fälle Ia, b) β Gütefuktioe: µ µ 0 µ µ 0 ( ) / / G µ Φ z + Φ α z α + σ / σ / µ µ 0 ( ) (FallIa) / G µ Φ z α + σ µ 0 µ ( ) (FallIb) / G µ Φ z α + σ (Fall II) R-Fuktio: z.test() im Paket TeachigDemos z.test(x, mu0, sdstdev, alterative c("two.sided", "less", "greater"), mu 0, cof.level 0.95) x Datevektor; mu Referezwert mu0; stdev bekate Stadardabweichug StatFormel 04..4

12 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei); cof.level Kofidezzahl (default: 0.95) -Stichprobe-t-Test diet zur Prüfug, ob der Mittelwert µ eier ormalverteilte Zufallsvariable vo eiem vorgegebee Sollwert µ 0 abweicht (oder µ 0 überschreitet bzw. uterschreitet). Hypothese ud Testgröße: (I) H 0 : µ µ 0, H : µ µ 0 (IIa) H 0 : µ µ 0, H : µ > µ 0 (IIb) H 0 : µ µ 0, H : µ < µ 0 X µ 0 TG S Hiweis: Die Testgröße TG ist uter H 0 t-verteilt mit FG-. Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P-F - (TG s ) (Fall Ia) bzw. PF - (TG s ) (Fall Ib) bzw. PF - (- TG s ) (Fall II) ; F - ist die Verteilugsfuktio der t - -Verteilug. Etscheidug mit Quatile: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG s > t -,- α (Fall Ia) bzw. TG s < t -,α (Fall Ib) bzw. TG s > t -,-α/ (Fall I). R-Fuktio: t.test() t.test(x, alterative c("two.sided", "less", "greater"), mu 0, cof.level 0.95) x Datevektor; alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei); mu Referezwert mu0; cof.level Kofidezzahl (default: 0.95) Plaug des Stichprobeumfages: Notwediger Stichprobeumfag, um auf Niveau α mit Sicherheit -ß eie Etscheidug für H herbeizuführe, we µ vo µ 0 um 0 im Sie der Alterativhypothese abweicht (die Formel liefer ab 0 brauchbare Näherugswerte): σ σ ( / ) (Fall II) bzw. ( ) (Fälle Ia, b) z α + z β z α + z β R-Fuktio: power. t.test() power.t.test( NULL, delta NULL, sd, sig.level 0.05 (default), power NULL, type "oe.sample", alterative c("two.sided", "oe.sided")) StatFormel 04..4

13 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 3 Stichprobeumfag; delta relevate Abweichug; sd Stadardabweichug; sig.level Testiveau α; power ß; type Parameter zur Kezeichug des Typs des t-tests; alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative. Biomialtest diet zur Prüfug, ob eie ubekate Wahrscheilichkeit p vo eiem vorgegebee Sollwert p 0 abweicht bzw. diese über- oder uterschreitet; p ist die Wahrscheilichkeit, dass eie Utersuchugseiheit die Ausprägug E zeigt. Hypothese ud Testgröße: (Ia) H 0 : p p 0, H : p > p 0 bzw. (Ib) H 0 : p p 0, H : p < p 0 bzw. (II) H 0 : p p 0, H : p p 0 TGH Azahl der Beobachtuge mit der Ausprägug E ( ist der Stichprobeumfag); TG ~ B,p0 für pp 0. Normalverteilugsapproximatio (Voraussetzug: p 0 (-p 0 )>9): H p0 TG * ~ N (0,) für H 0 : p p0 p0 ( p0 ) Für die kokrete Beobachtugsreihe Hh a. Testetscheidug mit dem P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei Exakter Biomialtest: P - F B (h-) (Fall Ia) bzw. P F B (h) (Fall Ib) bzw. P F B (p 0 -d)+- F B (p 0 +d-) (Fall II) F B bezeichet die Verteilugsfuktio der B,p0 -Verteilug, d h-p 0. Approximativer Biomialtest (mit Stetigkeitskorrektur) P -F N (h-0.5) (Fall Ia) bzw. P F N (h+0.5) (Fall Ib) bzw. P F N (p_0-d+0.5) (Fall II) F N ist die Verteilugsfuktio der N(µ, σ )-Verteilug mit µp 0 ud σ 0 p 0 (-p 0 ); d hp 0 ist die Abweichug der beobachtete Azahl vom Mittelwert. (Approximative) Testetscheidug mit Quatile: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG* s - p 0 > 0.5+z -α σ 0 (Variate Ia) bzw. TG* s - p 0 > 0.5-z -α σ 0 (Variate Ib) bzw. TG* s - p 0 > 0.5+ z -α/ σ 0 (Variate II); z -α ud z -α/ sid das (-α)- bzw. das (-α/)- Quatil der N(0, )-Verteilug ud σ 0 p 0 (-p 0 ). Plaug des Stichprobeumfages: Notwediger Stichprobeumfag, um auf Niveau α mit Sicherheit -ß eie Etscheidug für H herbeizuführe, we p vo p 0 um 0 im Sie der Alterativhypothese abweicht: ( z + z ) α β ( arcsi p arcsi p ) 0 (Fälle Ia, b) bzw. ( z + z ) α / β ( arcsi p arcsi p ) 0 (Fall II) StatFormel 04..4

14 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 4 R-Fuktio: biom.test() - Exakter Biomialtest biom.test(x,, p 0.5, alterative c("two.sided", "less", "greater"), cof.level 0.95) x Azahl der Erfolge; Azahl der Versuche; p Referezwert p0 (siehe Hypothese); alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei); cof.level Kofidezzahl (default: 0.95). R-Fuktio: prop.test() - Approximativer Biomialtest prop.test(x,, p NULL, alterative c("two.sided", "less", "greater"), cof.level 0.95, correct TRUE) x Azahl der Erfolge; Azahl der Versuche; p Referezwert p0 (siehe Hypothese); alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei); cof.level Kofidezzahl (default: 0.95); correct logischer Parameter für Kotiuitätskorrektur. χ -Test zur Prüfug auf ei vorgegebees Verhältis diet zur Prüfug, ob die beobachtete Häufigkeite eier mehrstufig skalierte Zufallsvariable vo eiem vorgegebee Verhältis abweiche. Hypothese ud Testgröße: H 0 : p i p 0i (i,,..., k) gege H : p i p 0i für weigstes ei i p i ist die Wahrscheilichkeit, dass eie k-stufig skalierte Zufallsvariable (mit de Werte a, a,, a k ) de Wert a i aimmt; die p 0i sid vorgegebee Sollwerte. Die uter der Nullhypothese bei isgesamt Beobachtuge zu erwartede Häufigkeit der Ausprägug a i ist E i p i0. Testgröße (Chiquadrat-Summe, Goodess of Fit-Statistik): TG GF k i k ( O E ) ( O p ) i E i i i 0i i p 0i O i ist die Häufigkeit der Ausprägug a i. Die Testgröße ist uter H 0 asymptotisch χ -verteilt ist mit k- Freiheitsgrade. Ersetzt ma die Oi durch die beobachtete Häufigkeite oi, erhält ma die Realisierug TGs der Testgröße. Näherugsweise Testetscheidug mit dem P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P -F k- (TGs); F k- ist die Verteilugsfuktio der χ k--verteilug. StatFormel 04..4

15 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 5 Näherugsweise Testetscheidug mit Quatil: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG s > χ k-,α ( (-α)-quatil der χ k--verteilug). Die Näheruge sid vertretbar geau, we alle erwartete Häufigkeite E i >5 sid. R-Fuktio: chisq.test() chisq.test(x, p c(p0, p0,, p0k)) x umerischer Datevektor; p Vektor mit de Sollwahrscheilichkeite. Überprüfug der Normalverteilugsaahme, Ausreißer Shapiro-Wilk-Test wurde speziell zur Überprüfug der Aahme (Nullhypothese) etwickelt, dass eie metrische Zufallsvariable X ormalverteilt ist. Die Nullhypothese wird auf dem Niveau α abgeleht, we der P-Wert kleier als α ist. Hypothese: H 0 : Date stamme aus ormalverteilter Grudgesamtheit H : Date stamme aus icht-ormalverteilter Grudgesamtheit R-Fuktio: shapiro.test() Shapiro-Wilk-Test shapiro.test(x) x Datevektor. Idetifizierug vo Ausreißer Theoretischer Grudlage: X ~ N(µ, σ ) P(X < µ-4σ)+p(x > µ+4σ) % Tritt ei Wert außerhalb des 4-fache Sigma-Bereichs auf, so steht er im Verdacht, dass er keie Realisierug vo X ist, soder z.b. durch eie Datefehler oder eie Störeifluss bei der Messug zustade gekomme ist. Mutmaßliche Ausreißer sollte jedefalls dokumetiert ud ur da aus der Stichprobe etfert werde, we es dafür eie sachlogische Grud gibt. Zur Idetifizierug eies Stichprobewerts als Ausreißer gibt es eifache Kriterie - z.b. die Uter- bzw. Überschreitug der mit dem Iterquartilabstad IQR gebildete robuste Greze Q -.5 IQR bzw. Q IQR (Boxplot!) - oder spezielle Testverfahre. Grubbs-Test zur Idetifizierug eies eizele Ausreißers: Voraussetzug: X ~ N(µ, σ ); Überprüfug mit eiem Normal-QQ-Plot Testetscheidug: H 0 : Der Wert mit dem größte Abstad vom arithmetische Mittel ist kei Ausreißer wird auf dem Testiveau α abgeleht, we StatFormel 04..4

16 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 6 5 Teste vo Hypothese: Zweistichprobevergleiche 5. Zweistichprobevergleiche bei metrische Merkmale 5.. Übersicht 5.. Ausgewählte Testverfahre: Zweistichprobevergleiche - Parallelversuch -Stichprobe-t-Test Hypothese ud Testgröße: (II) H 0 : µ µ, H : µ µ (Ia) H 0 : µ µ, H : µ > µ (Ib) H 0 : µ µ, H : µ < µ TG X X S + mit S ( ) S + ( ) S + Voraussetzug: Variazhomogeität StatFormel 04..4

17 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 7 Hiweis: Die Testgröße TG ist uter H 0 t-verteilt mit FG + -. Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei PP(TG - TG s oder TG TG s ) (Fall II) bzw. PP(TG TG s ) (Fall Ia) bzw. PP(TG -TG s ) (Fall Ib). Etscheidug mit Quatile: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG s > t + -,-α/ (Fall II) bzw. TG s > t + -,- α (Fall Ia) bzw. TG s < t + -, α (Fall Ib) R-Fuktio: t.test() -Stichprobe t-test t.test(x, y NULL, alterative c("two.sided", "less", "greater"), var.equal T, cof.level 0.95) x Datevektor (X-Stichprobe); y Datevektor (Y-Stichprobe) alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei; greater bedeutet H: Mittelwert vo X > Mittelwert vo Y); var.equal logischer Parameter zur Variazhomogeität; cof.level Kofidezzahl (default0.95). Plaug des Stichprobeumfages: Notwediger Stichprobeumfag, um auf Niveau α mit Sicherheit -ß eie Etscheidug für H herbeizuführe, we µ vo µ um 0 im Sie der Alterativhypothese abweicht (die Formel gelte für ud liefer ab 0 brauchbare Näherugswerte): σ σ ( z + z ) (Fall II) bzw. ( z z ) (Fälle Ia, b) α / β α + β R-Fuktio: power.t.test() - Power/Mideststichprobeumfag power.t.test( NULL, delta NULL, sd, sig.level 0.05, power NULL, type "two.sample", alterative c("two.sided", "oe.sided")) Stichprobeumfag (i jeder der zu vergleichede Gruppe) delta relevate Abweichug (der Gruppemittelwerte); sd Stadardabweichug (Quadratwurzel der gewichtete Stichprobevariaze); sig.level Testiveau α; power -ß; type Parameter zur Kezeichug des Typs des t-tests; alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative. StatFormel 04..4

18 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 8 Welch-Test Hypothese: siehe -Stichprobe-t-Test. Testgröße: X X TG S + S / / Hiweis: Die Testgröße TG ist uter H 0 approximativ t-verteilt mit dem Freiheitsgrad f ( s / ) ( s /( / + s ) + ( s / ) / ) /( ) Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei PF f (- TGs ) (Fall II) bzw. P-F f ( TG s ) (Fall Ia) bzw. PF f (TG s ) (Fall Ib); F f ist die Verteilugsfuktio der t-verteilug mit f Freiheitsgrade. Etscheidug mit Quatile: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG s > t f, -α/ (Fall II) bzw. TG s > t f, - α (Fall Ia) bzw. TG s < t f, α (Fall Ib). R-Fuktio: t.test() Welch-Test t.test(x, y NULL, alterative c("two.sided", "less", "greater"), cof.level 0.95) x Datevektor (X-Stichprobe); y Datevektor (Y-Stichprobe) alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei; greater bedeutet H: Mittelwert vo X > Mittelwert vo Y); cof.level Kofidezzahl (default0.95). F - Test (Parallelversuch) Hypothese ud Testgröße: (II) H 0 : σ σ, H : σ σ (Ia) H 0 : σ σ, H : σ > σ (Ib) H 0 : σ σ, H : σ < σ S TG S Hiweis: Die Testgröße TG ist uter H 0 F-verteilt mit dem erste Freiheitsgrad f - ud dem zweite Freiheitsgrad f -. Etscheidug mit P-Wert: StatFormel 04..4

19 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 9 H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P[-F f,f (TG s )] (Fall II) bzw. P-F f,f (TG s ) (Fall Ia) bzw. PF f,f (TG s ) (Fall Ib); dabei ist F f,f die Verteilugsfuktio der F-Verteilug mit de Freiheitsgrade f ud f; TG s wird so agesetzt, dass die größere Variaz im Zähler steht. Etscheidug mit Quatile: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG s <F -,-,α/ oder TG s >F -,-,-α/ (Fall II) bzw. TG s >F -,-,-α (Fall Ia ) bzw. TG s <F -,-,α (Fall Ib). R-Fuktio: var.test() F-Test var.test(x, y, ratio, alterative c("two.sided", "less", "greater"), cof.level 0.95) x, y Datevektore (X- ud Y-Stichprobe); ratio theoretische Variazverhältis; alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei; greater bedeutet H: Variaz vo X > Variaz vo Y); cof.level Kofidezzahl (default: 0.95). U-Test (Wilcoxo-Ragsummetest, Ma-Whitey-Test, Parallelversuch) Verteilugsfuktioe F ud F des Utersuchugsmerkmals uter de Versuchsbediguge uterscheide sich ur i der Lage, d.h., Graph vo F geht durch Verschiebug um ei bestimmtes θ i Richtug der positive horizotale Achse i Graphe vo F über. F ud F müsse icht ormalverteilt sei. Hypothese ud Testgröße: (II) H 0 : θ 0, H : θ 0 (Ia) H 0 : θ 0, H : θ > θ (Ib) H 0 : θ 0, H : θ < 0 Sigifikaziveau: α TG W R-(+)/; für θ 0 gilt: E(W)µ W / bzw. Var(W) σ W ( + +)/ Approximatio bei große Stichprobe ( >0, >0): U E[ W ] TG' N(0,) Var[ W ] Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P F W (µ W -d) + - F W (µ W +d-) mit d TG s -µ W für die zweiseitige Testvariate II, P - F W (TG s -) für die Variate Ia, P - F W (TG s ) für die Variate Ib (F W bezeichet die Verteilugsfuktioe vo W bei Gültigkeit vo H 0 ). Etscheidug mit Quatile: StatFormel 04..4

20 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 0 H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG s < w,, α/ oder TG s > w,, -α/ (Variate II) bzw. TG s > w,, -α (Variate Ia) bzw. TG s < w,, α (Variate Ib) gilt; Dabei bezeichet w,, γ das γ-quatil der Nullverteilug der Testgröße. I R werde Werte der Verteilugsfuktio F W vo W mit der Fuktio pwilcox() ud die Quatile vo F_W mit qwilcox() bestimmt. R-Fuktio: wilcox.test() wilcox.test(x, y, alterative c("two.sided", "less", "greater"), exact NULL, correct TRUE, cof.it FALSE, cof.level 0.95) x, y umeric vectors of data values. alterative a character strig specifyig the alterative hypothesis, must be oe of "two.sided" (default), "greater" or "less". exact a logical idicatig whether a exact p-value should be computed. correct a logical idicatig whether to apply cotiuity correctio i the ormal approximatio for the p-value. cof.it a logical idicatig whether a cofidece iterval should be computed. cof.level cofidece level of the iterval Ausgewählte Testverfahre: Zweistichprobevergleiche - Paarvergleiche t-test für abhägige Stichprobe (Paarvergleich) ist ei mit der Differezvariable DX -X ud dem Sollwert µ 0 0 geführter -Stichprobe-t-Test. Es bedeute µ D ud σ D de Mittelwert bzw. die Stadardabweichug vo D; X D ud S D sid das Stichprobemittel bzw. die Stichprobevariaz der Differezstichprobe. Hypothese ud Testgröße: (I) H 0 : µ D 0, H : µ D 0 (IIa) H 0 : µ D 0, H : µ D > 0 (IIb) H 0 : µ D 0, H : µ D < 0 TG X S D D Hiweis: Die Testgröße TG ist uter H 0 t-verteilt mit FG-. Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P-F - (TG s ) (Fall Ia) bzw. PF - (TG s ) (Fall Ib) bzw. PF - (- TG s ) (Fall II); F - ist die Verteilugsfuktio der t - -Verteilug. Etscheidug mit Quatile: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG s > t -,- α (Fall Ia) bzw. TG s < t -,α (Fall Ib) bzw. TG s > t -,-α/ (Fall I). StatFormel 04..4

21 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) R-Fuktio: t.test() t.test(x, x, pairedt, alterative c("two.sided", "less", "greater"), cof.level 0.95) x, x Datevektor; alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei); paired logische Variable, ist bei Paarvergleich auf TRUE zu setze; cof.level Kofidezzahl (default: 0.95) Plaug des Stichprobeumfages: Notwediger Stichprobeumfag, um auf Niveau α mit Sicherheit -ß eie Etscheidug für H herbeizuführe, we µ D vo 0 um 0 im Sie der Alterativhypothese abweicht (die Formel liefer ab 0 brauchbare Näherugswerte): σ D σ ( ) (Fall II) bzw. D z + z ( z z ) (Fälle Ia, b) α / β α + R-Fuktio: power. t.test() power.t.test( NULL, delta NULL, sd, sig.level 0.05 (default), power NULL, type "paired", alterative c("two.sided", "oe.sided")) Stichprobeumfag; delta relevate Abweichug; sd Stadardabweichug; sig.level Testiveau α; power ß; type "paired" Parametersetzug zur Kezeichug des t-tests für abhägige Stichprobe; alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative. β Wilcoxo-Test (Wilcoxo siged rak test, Paarvergleich) Differezvariable Y-X icht otwedigerweise ormalverteilt, ζ Media der Verteilug vo Y-X. Hypothese ud Testgröße: (I) H 0 : ζ 0, H : ζ 0 (IIa) H 0 : θ 0, H : ζ > θ (IIb) H 0 : ζ 0, H : ζ < 0 Sigifikaziveau: α TG T+ (uter H0: E[T+](+)/4, Var[T+] (+)(+)/4) Approximatio für große Stichprobe (>0): + + T E[ T ] TG' N(0,) + Var[ T ] StatFormel 04..4

22 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P F W+ (µ W+ -d) + - F W+ (µ W+ +d-) mit d TG s -µ W+ für die zweiseitige Testvariate II, P - F W+ (TG s -) für die Variate Ia, P - F W+ (TG s ) für die Variate Ib (F W+ bezeichet die Verteilugsfuktioe vo W + bei Gültigkeit vo H 0 ). Etscheidug mit Quatile: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG s < w +, α/ oder TG s > w +, -α/ (Variate II) bzw. TG s > w +, -α (Variate Ia) bzw. TG s < w +, α (Variate Ib) gilt; Dabei bezeichet w +, γ das γ-quatil der Nullverteilug der Testgröße. Zur Berechug vo Fuktioswerte der Verteilugsfuktio vo W + steht i R die Aweisug psigrak() zur Verfügug, Quatile erhält ma mit qsigrak() R-Fuktio: wilcox.test() wilcox.test(x, y, alterative c("two.sided", "less", "greater"), paired TRUE, exact NULL, correct TRUE, cof.it FALSE, cof.level 0.95) x, y umeric vectors of data values. alterative a character strig specifyig the alterative hypothesis, must be oe of "two.sided" (default), "greater" or "less". exact a logical idicatig whether a exact p-value should be computed. correct a logical idicatig whether to apply cotiuity correctio i the ormal approximatio for the p-value. cof.it a logical idicatig whether a cofidece iterval should be computed. cof.level cofidece level of the iterval. StatFormel 04..4

23 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 3 5. Zweistichprobevergleiche bei -stufige Merkmale 5.. Übersicht 5.. Ausgewählte Testverfahre Vergleich zweier Wahrscheilichkeite (uabhägige Stichprobe) X zweistufiges Merkmal mit de Auspräguge a ud a, das uter zwei Versuchsbediguge beobachtet wird;, Umfäge der Parallelstichprobe; p, p Wahrscheilichkeite, dass X uter de Versuchsbediguge de Wert a aimmt. Hypothese ud Testgröße: (II) H 0 : p p, H : p p (Ia) H 0 : p p, H : p > p (Ib) H 0 : p p, H : p < p TG Y Y Y ( Y ) + Y, Y Ateile, mit dee die Merkmalsausprägug uter der erste bzw. zweite Versuchsbedigug auftritt; Y Ateil, mit dem der Wert a i beide zusammegefasste Gruppe auftritt. Idem ma für Y, Y ud Y die etsprechede relative Häufigkeite y /, y / bzw. y. / eisetzt, erhält ma die Realisierug TG s der Testgröße; dabei ist ij die Azahl der Utersuchugseiheite mit der Ausprägug a i uter der j-te Versuchsbedigug ud. Der Ateil der Utersuchugseiheite mit der Ausprägug a i beide Gruppe. StatFormel 04..4

24 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 4 TG ist uter H 0 (p p ) ageähert stadardormalverteilt, we die auf de Gesamtumfag + bezogee Produkte der Spaltesumme mit de Zeilesumme größer als 5 sid. Die Approximatio ka verbessert werde, we Stetigkeitskorrektur so vorgeomme wird, dass ma i TG s y ud y im Falle y > y durch y - /( ) bzw. y + /( ) ud im Falle y < y durch y +/( ) bzw. y - /( ) ersetzt. Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P F(- TG s ) für die zweiseitige Testvariate II bzw. P - F(TG s ) für die Variate Ia bzw. P F(TG s ) für die Variate Ib ist. Etscheidug mit Quatile: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG s > z -α/ (Fall II) bzw. TG s > z - α (Fall Ia) bzw. TG s < z α (Fall Ib) R-Fuktio: prop.test() prop.test(x,, alterative c("two.sided", "less", "greater"), cof.level 0.95) x Vektor mit de Azahle der Erfolge i de zu vergleichede Gruppe; Vektor mit de Azahle der Versuche i de zu vergleichede Gruppe; alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei) cof.level Kofidezzahl (default 0.95). Plaug des Stichprobeumfages: Notwediger Stichprobeumfag, um auf Niveau α mit Sicherheit -ß eie Etscheidug für H herbeizuführe, we p vo p um 0 im Sie der Alterativhypothese abweicht: ( z + z ) α / β mit h arcsi p + arcsi h Im Falle der -seitige Testvariate ist α/ durch α zu ersetze. R-Fuktio: power.prop.test() - Power/Mideststichprobeumfag power.prop.test( NULL, p NULL, p NULL, sig.level 0.05, power NULL, alterative c("two.sided", "oe.sided")) Stichprobeumfag (i jeder Gruppe); p Erfolgswahrscheilichkeit i Gruppe ; p Erfolgswahrtscheilichkeit i Gruppe ; sig.level Testiveau α; power -ß: alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative. p StatFormel 04..4

25 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 5 McNemar-Test zum Vergleich vo Wahrscheilichkeite (abhägige Stichprobe) X, X zweistufige Merkmale mit Werte a ud a ; Beobachtug vo X ud X a Utersuchugseiheite abhägige Stichprobe Zusammefassug i Vierfeldertafel: X X a a Σ a. a. Σ.. Hypothese ud Testgröße: p. P(X a ) P(X a ud X a ) + P(X a ud X a ), p. P(X a ) P(X a ud X a ) + P(X a ud X a ), p P(X a ud X a ), p P(X a ud X a ); H 0 : p. p. vs. H : p. p. H 0 : p p vs. H : p p H 0 : p *:p /(p + p ) p /(p + p ) : p * vs. H : p * p * H 0 : p * ½ vs. H : p * ½ (wege p *+ p *) Testgröße (Biomialtest): TG H ~ B *,p0 (falls H 0 gilt) H Azahl der Utersuchugseiheite mit X a ud X a, * +, p 0 /; Realisierug vo TG: TG s. Testgröße (McNemar-Statistik, Normalverteilugsapproximatio): ( H H ) + TG ~ χ uter H0 (approx. für > 9 H + H 4 Etscheidug mit dem P-Wert (Biomialtest) P < α H 0 ablehe, wobei PF B (µ 0 -d)+- F B (µ 0 +d-); F B Verteilugsfuktio der B *,/ -Verteilug, µ 0 */, d -µ 0 - /. Etscheidug mit dem P-Wert (Normalverteilugsapproximatio) P < α H 0 ablehe, wobei P- F (TG s ) (F Verteilugsfuktio der χ Verteilug) Plaug des Stichprobeumfags: Notwediger Mideststichprobeumfag * ( + ), um auf dem Niveau α mit der Sicherheit -β eie Etscheidug für H herbeizuführe, we p * vo / um 0 abweicht: ( z α / + z β ) * ( arcsi arcsi 0.5) R-Fuktio: mcemar.test() - McNemar Test mcemar.test(x, correct TRUE) x Matrix (Vierfeldertafel mit de absolute Häufigkeite: Azahl der Utersuchugseiheite vom Typ + zum Zeitpukt, die auch zum Zeitpukt vom Typ + sid, Azahl der Utersuchugseiheite vom Typ + zum Zeitpukt, die zum Zeitpukt vom Typ sid, usw.) correct logischer Parameter für Kotiuitätskorrektur. StatFormel 04..4

26 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) Zweistichprobevergleiche bei m-stufige Merkmale (m>) Chiquadrat-Test (Homogeitätsprüfug) Hypothese ud Testgröße: H 0 : p i p i vs. H : icht alle p i p i (i,,...,m) Sigifikaziveau: α e i. ( e ) TG GF ~ χ m e mit ij m i j. j (Faustformel: alle e ij ud max. 0% der e ij < 5): Etscheidug mit Quatil: H 0 auf Testiveau α ablehe, we TG s > χ m-,-α. ij ij Etscheidug mit P-Wert: H0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P P(TG TGs )<α. ij uter H 0 (approx.) R-Fuktio: chisq.test() chisq.test(x, y NULL, correct TRUE, p rep(/legth(x), legth(x)), rescale.p FALSE) x a umeric vector or matrix. y a umeric vector; igored if x is a matrix. correct a logical idicatig whether to apply cotiuity correctio whe computig the test statistic for by tables: oe half is subtracted from all O - E differeces. p a vector of probabilities of the same legth of x. rescale.p a logical scalar; if TRUE the p is rescaled (if ecessary) to sum to. If rescale.p is FALSE, ad p does ot sum to, a error is give. StatFormel 04..4

27 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 7 6 Abhägigkeit (Zusammehag) zwische zwei Merkmale Zusammehag zwische zwei Merkmale abhägige Stichprobe Metrische Merkmale k-stufige Merkmale Abhägigkeitsprüfug über ρ (t-test) Abhägigkeitsprüfug mit χ -Statistik 6. Produktmometkorrelatio Produktmometkorrelatio als Parameter der -dimesioale Normalverteilug Defiitio: X ud Y heiße -dimesioal ormalverteilt mit de Parameter µ X, µ Y, σ X, σ Y ud ρ XY, we sie mit Hilfe vo uabhägige, N(0,)-verteilte Zufallsvariable Z, Z durch wie folgt erzeugt werde: X σ Z Y X Y σ ρ XY + µ Z X + σ Y ρ XY Z + µ Y Schätzug des Verteilugsparameters ρ XY : Es sei (x i,y i ) (i,,...,) eie Zufallsstichprobe der Zufallsvariable X ud Y mit zweidimesioaler Normalverteilug. Da ist r XY s XY XY sx sy ( r + ) ei Schätzwert für die Produktmometkorrelatio (Pearso-Korrelatio) ρ XY. Es sid: s X ud s Y die Stadardabweichuge der X- ud Y-Stichprobe ud s XY dere Kovariaz: s XY i ( x x)( y y) i i StatFormel 04..4

28 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 8 Z-Trasformtio: + r Z : r Z( r ) l r + ρ µ Z l, σ Z ρ Z µ Z σ Z N(0,) mit 3 (-α)-kofidezitervall [z u, z o ] für Z(ρ) µ Z mit z Z( r ) z σ, z u o Z( r ) + z α / α / σ Z Z Rücktrasformatio vo der Z- auf die r-skala (-α)-kofidezitervall für ρ exp( z u ) exp( z, exp( zu ) + exp( z o o ) ) + Abhägigkeitsprüfug mit der Produktmometkorrelatio Hypothese ud Testgröße: (II) H 0 : ρ XY 0, H : ρ XY 0, (Ia) H 0 : ρ XY 0, H : ρ XY > 0, (Ib) H 0 : ρ XY 0, H : ρ XY < 0 rxy sxy TG mit rxy r sxs xy Hiweis: Die Testgröße TG ist uter H 0 t-verteilt mit FG-. Etscheidug mit Quatile: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we TG s > t -,-α/ (Fall II) bzw. TG s > t -,- α (Fall Ia) bzw. TG s < t -, α (Fall Ib) Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P-F - (TG s ) (Fall Ia) bzw. PF - (TG s ) (Fall Ib) bzw. PF - (- TG s ) (Fall II); F - ist die Verteilugsfuktio der t - -Verteilug. y R-Fuktio: cor.test() cor.test(x, y, alterative c("two.sided", "less", "greater"), method "pearso", cof.level 0.95) x, y Datevektore (X- ud Y-Stichprobe) alterative Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei; method Parameter zur Festlegug des Korrelatiosmaßes; cof.level Kofidezzahl (default: 0.95). StatFormel 04..4

29 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 9 6. Eifache lieare Regressio Lieares Modell (Typ B: zufallsgestörte lieare Abhägigkeit der Zielvariable Y vo der Eiflussvariable X): Y ( x) µ ( x) + E mit 0 0 E µ ( x) f ( x; β, β ) β + β x, Y Y E N(0, σ ) Es sid µ Y (x) der durchschittliche (durch X bestimmte) Wert vo Y sowie β o ud β die zu schätzede Parameter der Regressiosgerade mit der Gleichug µ Y (x) β o + β X. Die Schätzwerte für β o (y-achseabschitt) ud β (Astieg) seie b o bzw. b. Prizip der Kleiste Quadrat Schätzug: Y y ^ b 0 + b x y i ^ y i (0, b 0 ) e i P i ^Pi X Schätzwerte: ˆ sxy sy β b rxy, ˆ β0 b0 y b x sx sx Vorgagsweise bei liearer Regressiosaalyse:. Überprüfug der Adäquatheit des lieare Modells (Regressiosgerade) im Streudiagramm. we. zutrifft: Prüfug auf (lieare) Abhägigkeit (Abhägigkeitsprüfug mit der Produktmometkorrelatio) 3. we. zutrifft: Schätze der Regressiosparameter ud Agabe der Regressiosgerade 4. Überprüfug der Residue (Normalverteilug) 5. Beurteilug der Güte der Apassug mit dem Bestimmtheitsmaß Br R-Fuktio: plot() Streudiagramm plot(x, y,...) x Datevektor für die uabhägige Variable X; y Datevektor für die abhägige Variable Y;... Grafikparameter (zb mai (mai Überschrift ), xlab (xlab X-Achse- Bezeichug ), ylab (ylab Y-Achsebezeichug ). R-Fuktio: ablie() Eizeiche der Regressiosgerade i das Streudiagramm ablie(lm(y~x)) x Datevektor für die uabhägige Variable X; y Datevektor für die abhägige Variable Y. x i StatFormel 04..4

30 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 30 R-Fuktio: lm() Lieares Modell lm(formula, data) formula Regressiosfuktiosterm (bei eifacher liearer Regressio: abh. V. ~ uabh. V.) data dataframe mit de Stichprobe der Variable als Spalte. 6.3 Lieare Regressio durch de Nullpukt: Modell: Y ( x) µ ( x) + E mit µ ( x) f ( x; β ) β x, Y Y E E N(0, σ ) Parameterschätzug: Schätzwerte für die Modellparameter: ˆβ b i x y SQE MQE mit i i i x i, SQE i y i i x i yi i x i (-α)-kofidezitervall für de Astieg: MQE b t SE b b t ±, α / ( ) ±, α / i x i R-Fuktio: lm() Lieares Modell lm(formula, data) formula Regressiosfuktiosterm (bei liearer Regressio durch de Nullpukt: abh. V. ~ 0 + uabh. V.) data dataframe mit de Stichprobe der Variable als Spalte. 6.4 Lieare Kalibratiosfuktioe: Bestimmug der Kalibratiosfuktio: ˆ sxy sy β, ˆ b r 0 0, XY β b y b x s s ˆ σ E X SQE MQE X mit SQE ( ) s Voraussetzug (Abhägigskeitsprüfug): TG Y ( r rxy b ( ) s X > t, α / r MQE XY Rückschluss vo Y auf X: XY ) StatFormel 04..4

31 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 3 Schätzwert für gesuchte Probewerte vo X zu bekatem Wert (Erwartugswert) η vo Y: ξ ( η β ) β. 0 / Im Allgemeie sid weder die Regressiosparameter och η bekat; η wird durch de Mittelwert y * aus m zum selbe ξ gemessee Y-Werte (im Extremfall ka m sei) geschätzt, ξ durch xˆ x + ( yˆ * y) / b ; Stadardfehler sx ˆ vo xˆ : ( y y) MQE s + + xˆ b m b ( ) sx Voraussetzug: t / TG 0. g, α / < Approximatives (-α)-kofidezitervall für Probewert ξ : UG xˆ t s ud OG x t s, α / xˆ ˆ +, α / xˆ Hiweis: Für ei optimales Desig der Kalibratiosfuktio wird ma darauf achte, dass ( y y) möglichst klei ud s möglichst groß ist. X R-Fuktio zur Schätzug eies Probewertes mit Hilfe eier lieare Kaibratiosfuktio: # R-Fuktio zur Schätzug eies Probewertes # mit Hilfe eier liare Kalibratiosfuktio # *************************************************************************** # Eigabeparameter # x, y Vektore der Kalibrierprobewerte bzw. der Hilfsgrößewerte # lieare Regressio vo y auf x ergibt die Kalibratiosfuktio # y0 gemesseer y-wert # alpha Irrtumsrisiko # Ausgabeparameter # y0 gemesseer y-wert y0 der ubekate Probe # x0 <- Schätzwert für de ubekate Probewert # alpha Irrtumsrisiko # se_xd Stadardfehler der Schätzfuktio für ubekate Probewert # UG, OG Greze eies (-alpha)-ci für ubekate Probewert # g kritischer Wert für Approximatio: muss < 0. sei! # **************************************************************************** prob_est fuctio(x, y, y0, alpha){ # a) Abhägigkeitsprüfug ud Parameterschätzug: date <- data.frame(x, y) kal_modell <- lm(y~x, datadate) ergebis <- summary(kal_modell); b <- ergebis$coefficiets b0 <- b[,]; b <- b[,] # b) Schätzug des Wertes x0 zu gemessee y-wert y0 der ubekate Probe x0 <- (y0-b0)/b # Schätzwert für ubekate Probewert yquer <- mea(y); <- legth(x); sigma <- ergebis$sigma se_xd <- sigma/abs(b)*sqrt(+/+(y0-yquer)^/b^/(-)/var(x)) t_quatil <- qt(-alpha/, -) UG <- x0 - t_quatil*se_xd; OG <- x0 + t_quatil*se_xd # Überprüfug der Voraussetzug r <- cor(x, y); tgs <- r*sqrt(-)/sqrt(-r^); g <- t_quatil^/tgs^ out <- c(y0, x0, alpha, se_xd, UG, OG, g) retur(out) } # Beispiel für Aufruf der R-Fuktio masse <- c(.409,3.03, 5.508, 8.00, 0.303) peak <- c(0.07, 0.040, 0.065, 0.084, 0.0) y0 < ; alpha < prob_est(masse, peak, y0, alpha) StatFormel 04..4

32 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) Abhägigkeitsprüfug mit der Chiquadrat-Statistik (X, Y zwei mehrstufig skalierte Variable, Date Kotigeztafel; Durchführug: siehe Homogeitätsprüfug) StatFormel 04..4

33 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 33 7 Variazaalyse 7. Globaltest Date: Variable Y uter k Versuchsbediguge ( Faktorstufe) wiederholt (a j Utersuchugseiheite auf der Faktorstufe j) gemesse k uabhägige Stichprobe Aordug i Datetabelle (y ij Messwert vo der i-te Utersuchugseiheit uter der j - Versuchsbedigug): Versuchsbedigug (Faktorstufe)... j... k Wiederholuge y y... y j... y k y y... y j... y k y i y i... y ij... y ik y, y,... y j,j... y k,k Azahl... j... k Mittelwert m m... m j... m k Variaz s s... s j... s k Hypothese ud Testgröße: H 0 : µ µ... µ k vs. H : weigstes zwei der µ j uterscheide sich TG MQF MQE F SQF MQF, k k, N k SQF mit k j j ( m m) j Eisetze der Stichprobewerte i die Testgröße ergibt die Realsierug TG s. Zusammefassug der relevate Rechegröße i der ANOVA-Tafel: Variatiosursache Quadratsumme Freiheitsgrad Mittlere Quadratsumme Testgröße Faktor F (Bedigug) SQF k - MQFSQF/(k-) TGMQF/MQE Versuchsfehler SQE N - k MQESQE/(N-k) Summe SQT - SQT ( -)s +( -)s +...+( -)s Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P F f,f (TG s ) ; dabei ist F f,f die Verteilugsfuktio der F-Verteilug mit de Freiheitsgrade f k- ud f N-k. Etscheidug mit Quatile: H0 auf Testiveau α ablehe, we TGs > F k-,n-k,-α. Voraussetzuge: Die -faktorielle ANOVA setzt voraus, dass die Fehlergröße E ij voeiader uabhägig variierede ud N(0, σ )-verteilte Zufallsvariable sid (Überprüfug durch ei mit de Residue erstelltes Normal-QQ-Plot StatFormel 04..4

34 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 34 oder Shapiro-Wilk-Test). Diese Voraussetzug bedeutet im Besodere, dass die Normalverteiluge auf jeder Faktorstufe dieselbe Fehlervariaz aufweise (Variazhomogeität, Überprüfug mit dem Levee- Test). R-Fuktio: aov() aov(formula, data NULL) formula Formel zur Festlegug des Modells (-faktorielle ANOVA: formula abh. V. ~ Faktorvariable) data Dataframe mit de Werte der Modellvariable 7. Levee-Test (zur Prüfug auf ugleiche Variaze) Date (wie bei Globaltest) Hypothese: H 0 : σ σ... σ k vs. H : weigstes zwei der σ j uterscheide sich Testgröße: Beobachtuge Y ij auf der j-te Faktorstufe werde durch Abstäde Z ij Y ij - m j vom jeweilige Stichprobemittel m j ersetzt modifizierte Datetabelle Versuchsbedigug (Faktorstufe)... j... k Wiederholuge z z... z j... z k z z... z j... z k z, z,... z j,j... z k,k Azahl... j... k z-mittelwerte m (z) m (z)... m j (z)... m k (z) z-variaze s (z) s (z)... s j (z)... s k (z) Idee: We Variazhomogeität vorliegt, stimme die Mittelwerte m j (z) bis auf zufallsbedigte Abweichuge überei. Prüfug der Abweichuge im Rahme eier eifaktorielle ANOVA mit der Testgröße: MQF( z) TG( z) mit MQE( z) MQE( z) N k MQF k k j k j j ( ) [ m ( z) m( z) ] j j j s ( z) ud Eisetze der Stichprobewerte i die Testgröße ergibt die Realsierug TG(z) s ; m(z) ist das aus alle z- Werte berechete Gesamtmittel). Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei PP(TG(z) TG(z) s ) StatFormel 04..4

35 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 35 Etscheidug: H 0 auf Testiveau α ablehe, we TG(z) s > F k-,n-k,-α. R-Fuktio: leveetest() aus dem Paket car leveetest(y, data, ceterc(mea, media)) y Objekt vom Typ formula (zb Zielvariable ~ Faktor oder vom Typ lm) data dataframe mit de Stichprobewerte der Zielvariable ud der Faktorvariable ceter Fuktio zur Bestimmug der Zetre der Faktorgruppe (cetermea oder cetermedia); Voreistellug: cetermedia ODER R-Fuktio: aov() Aalog zum Globaltest mit de Abstäde Z ij 7.3 Multiple Mittelwertvergleiche 7.3. HSD-Test vo Tukey Ausgagssituatio: Globaltest der -faktorielle ANOVA ergibt Ablehug der Nullhypothese (Gleichheit der k Mittelwerte) auf Sigifikaziveau α. Frage: Was sid die Paare mit verschiedee Stufemittelwerte Idee: Es wird eie Midestdistaz agegebe, die zwei Stufemittelwerte habe müsse, damit sie auf dem (simulta festgelegte Niveau α) als verschiede azusehe sid. R-Fuktio: TukeyHSD() TukeyHSD(x, cof.level 0.95) x mit aov erzeugtes Objekt co.level -α (Voreistellug 0.95) 7.3. Scheffe-Test Ausgagssituatio: Globaltest der -faktorielle ANOVA ergibt Ablehug der Nullhypothese (Gleichheit der k Mittelwerte) auf Sigifikaziveau α. Frage: Welche Mittelwertuterschiede sid dafür veratwortlich. Date, Modell: Wie bei -faktorieller ANOVA. Hypothese, Testgröße: Scheffé-Test so agelegt ist, dass das gesamte α-risiko für eie Vielzahl vo mit lieare Kotraste L c µ + c µ c k µ k (c + c c k 0) formulierbare Mittelwertvergleiche ei vorgegebees Sigifikaziveau α' icht überschreitet. StatFormel 04..4