3 Modellbildung, Simulation und Reglerentwurf

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1 3 Modellbildung, Simulation und Reglerentwurf Ziel dieser Übung ist die mathematische Modellbildung, Simulation und Regelung von dynamischen Systemen. Bei den Systemen handelt es sich zum einen um eine einfache Operationsverstärkerschaltung und zum anderen um eine Gleichstrommaschine mit Propeller. Die Modellierung dieser Systeme erfolgt mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln, den jeweiligen Beschreibungen der (idealen) elektrischen Bauteile sowie den grundlegenden Bewegungsgleichungen der Mechanik. Der Reglerentwurf soll mittels Frequenzkennlinienverfahren (FKL) sowohl im s-bereich als auch im q-bereich erfolgen. Die für die Zeitdiskretisierung und den Reglerentwurf nach dem Frequenzkennlinienverfahren benötigten Grundlagen wurden in der VU Automatisierung vorgestellt. Studieren Sie daher zur Vorbereitung dieser Übung das folgende Skriptum: Skriptum zur VU Automatisierung (WS 2014/15) [3.1] Kapitel 1 bis Kapitel 6 Kapitel 8: Zustandsregler Bei Fragen oder Anregungen zu dieser Übung wenden Sie sich bitte an Florian Schausberger <[email protected]> oder Katharina Prinz <[email protected]>. 3.1 Elektrisches System In der folgenden Aufgabe soll das elektrische System aus Abbildung 3.1 untersucht werden. Das betrachtete Netzwerk besteht aus einem Operationsverstärker, den Kapazitäten C 1 und C 2 sowie den Widerständen R 1, R 2 und R 3. Weiterhin bezeichnet U s eine auftretende Störung. Aufgabe 3.1 (Modellierung). 1. Leiten Sie unter der Annahme eines idealen Operationsverstärkers das mathematische Modell des elektrischen Netzwerks aus Abbildung 3.1 in der Form ẋ = Ax + b u u + b d d y = c T x (3.1a) (3.1b)

2 3.1 Elektrisches System Seite 32 C 1 U s R2 U C1 U e R 1 R 2 U C2 C 2 i ein,p u d OP V V + (K 1)R 3 U a i ein,n R 3 Abbildung 3.1: Elektrisches System. mit der Spannung U e als Eingang u bzw. der Spannung U s als Störeingang d sowie der Spannung U a als Ausgang y in Maple her. Wählen Sie dazu ] die beiden Kondensatorspannungen als Systemzustände x T = [U C1 U C2. Beachten Sie weiterhin die eingetragene Pfeilrichtung. Hinweis: Unter einem idealen Operationsverstärker versteht man einen Verstärker, bei dem die beiden Eingangsströme i ein,p und i ein,n sowie die Differenzspannung u d gleich Null sind. 2. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktionen G(s) vom Eingang u zum Ausgang y und G d (s) von der Störung d zum Ausgang y. 3. Bei der Übertragungsfunktion G(s) aus Punkt 2 handelt es sich um ein Verzögerungsglied 2-ter Ordnung (P-T 2 ) in der Form G(s) = V 1 + 2ξ(sT) + (st) 2. Bestimmen Sie in Maple die beiden Widerstände R 1 und R 2 so, dass der Dämpfungsgrad ξ = 0.8 und die Zeitkonstante T = 10 3 s beträgt. Wählen Sie dazu die Kapazitäten C 1 = C 2 = 1 µf und K = Zeichnen Sie in Maple die Bode-Diagramme der beiden Übertragungsfunktionen und interpretieren Sie sie.

3 3.1 Elektrisches System Seite 33 Hinweis: Zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse sind an dieser Stelle die numerische Dynamikmatrix und die zugehörigen Eingangsvektoren des Systems (3.1) angegeben [ s s 1 ] [ ] [ ] 1600 s 1 0 A = s s 1, b u =, b d = s 1. Aufgabe 3.2 (Implementierung in Matlab/Simulink). 1. Laden Sie das zip-archiv uebung3.zip von der Homepage der Lehrveranstaltung herunter. Öffnen Sie das M-file Parameter.m und ergänzen Sie die Systemmatrix A, den Eingangsvektor b u, den Vektor der Störung b d sowie den Ausgangsvektor c an entsprechender Stelle. Ergänzen Sie die zuvor berechneten Widerstände R 1 und R 2. Berechnen Sie mit Hilfe des Matlab-Befehls ss() die Zustandsdarstellung des Systems 3.1. Ermitteln Sie außerdem mit dem Matlab-Befehl tf() die Übertragungsfunktionen G(s) und G d (s). 2. Öffnen Sie das Matlab/Simulink-Modell Modell_elektrisch.mdl und ergänzen Sie im State-Space-Block die Systemmatrizen A, b u, b d und c. Hinweis: Beachten Sie, dass im Falle des Systems 3.1 kein direkter Durchgriff vom Eingang zum Ausgang auftritt. Im State-Space-Block ist dies mit einem Nullvektor zu implementieren. Weiterhin ist zu beachten, dass sowohl die Eingangsspannung U e als auch die Störspannung U s Eingangsgrößen des State-Space-Blocks sind. 3. Im Folgenden soll das Verhalten des Systems untersucht werden. Im Matlab/Simulink-Modell aus Punkt 2 stehen Ihnen eine sprungförmige und eine sinusförmige Eingangsgröße U e (t) zur Verfügung. Variieren Sie die Frequenz der sinusförmigen Eingangsgröße z. B. gemäß der Folge [10 Hz, 100 Hz, 1 khz, 10 khz]. Welches Systemverhalten können Sie hierbei erkennen? Wie verhält sich das System bei Aufschaltung einer sprungförmigen Störung? Dokumentieren und diskutieren Sie ihre Simulationsergebnisse. Aufgabe 3.3 (Reglerentwurf). In dieser Aufgabe soll ein zeitkontinuierlicher Regler für das elektrische System (3.1) mit dem Frequenzkennlinienverfahren entworfen werden. Der geschlossene Kreis soll dabei folgende Spezifikationen erfüllen: bleibende Regelabweichung e r(t)=σ(t) = 0 Überschwingen ü 5 % Anstiegszeit t r = 3 ms 1. Ist das Frequenzkennlinienverfahren ein exaktes Entwurfsverfahren, wenn - wie

4 3.2 Gleichstrommaschine mit Propeller Seite 34 im vorliegenden Fall - die Strecke ein Verzögerungsglied 2-ter Ordnung ist? 2. Entwerfen Sie in Matlab einen Regler nach dem Frequenzkennlinienverfahren, der obige Anforderungen erfüllt, und implementieren Sie Ihren Regler anschließend im Simulink-Modell. Ist der geschlossene Regelkreis stabil? Begründen Sie Ihre Antwort. 3. Stellen Sie den geschlossenen Kreis in Form eines Blockschaltbildes dar. Berechnen Sie die Führungsübertragungsfunktion T r,y (s) und die Störübertragungsfunktion T d,y (s) des geschlossenen Kreises und die zugehörigen Sprungantworten in Matlab. 4. Simulieren Sie das Verhalten des geschlossenen Kreises für eine sprungförmige Eingangsgröße ohne und mit Störung. Werden die Anforderungen erfüllt? 3.2 Gleichstrommaschine mit Propeller Propeller M rgsm L GSM R GSM igsm M P J P c GSMP J GSM M GSM M GSM u indgsm u GSM ϕ P, ω P d GSMP ϕ GSM, ω GSM ϕ GSM, ω GSM (a) (b) Abbildung 3.2: Gleichstrommaschine mit Propeller, (a) mechanisches Teilsystem, (b) elektrisches Teilsystem. Abbildung 3.2 zeigt schematisch eine permanenterregte Gleichstrommaschine (Index GSM), die über eine linear elastische und dämpfende Welle (konstante Steifigkeit c GSMP, viskose Dämpfung d GSMP ) einen Propeller (Index ] P) antreibt. Die Freiheitsgrade q des Systems sind die Drehwinkel q T = [ϕ GSM ϕ P. Die zugehörigen Winkelgeschwindigkeiten werden mit q T = ] [ω GSM ω P benannt. Im Folgenden wird stets von ω GSM > 0 und ω P > 0 ausgegangen, so dass Haftreibungseffekte beim Nulldurchgang der Geschwindigkeit hier unberücksichtigt bleiben können. Auf den Propeller (Massenträgheitsmoment J P ) wirkt ein Lastmoment der Form M P = d cp + d vp ω P + d qp ω 2 P + M ext, (3.2) wobei d cp die Coulombsche Reibkonstante, d vp die viskose Dämpfungskonstante, d qp der Koeffizient des zum Geschwindigkeitsquadrat proportionalen Dämpfungsanteils und M ext

5 3.2 Gleichstrommaschine mit Propeller Seite 35 ein zusätzliches externes Moment ist. Die Lagerung des Ankers verursacht ein Reibmoment der Form M rgsm = d cgsm + d vgsm ω GSM (3.3) mit der Coulombschen Reibkonstante d cgsm und der viskosen Dämpfungskonstante d vgsm. Das Kopplungsmoment M kopp zwischen Motor und Propeller, also das über die Feder c GSMP und den Dämpfer d GSMP übertragene Moment, berechnet sich zu M kopp = (ω GSM ω P )d GSMP + (ϕ GSM ϕ P )c GSMP. Das von der (idealen) Gleichstrommaschine erzeugte elektrische Moment ist M GSM = k GSM i GSM, wobei k GSM die Ankerkreiskonstante bezeichnet, die aus der Maschinenkonstante c A und dem verketteten Fluss der Erregerwicklung Ψ EGSM in der Form k GSM = c A Ψ EGSM berechnet wird. Aufgrund der Impulserhaltung ergeben sich die Bewegungsgleichungen zu J GSM ω GSM = M GSM M rgsm M kopp J P ω P = M kopp M P. (3.4a) (3.4b) Dabei bezeichnet J GSM das Massenträgheitsmoment der Gleichstrommaschine und J P das Massenträgheitsmoment des Propellers. Die Differentialgleichung für das elektrische Subsystem wird mit Hilfe der Maschenregel bestimmt. Für die induzierte Spannung gilt u indgsm = k GSM ω GSM. Die Ankerkreisinduktivität wird mit L GSM, der Ankerkreiswiderstand mit R GSM und die Eingangsspannung mit u GSM bezeichnet. Damit erhält man d dt i GSM = 1 (u GSM R GSM i GSM k GSM ω GSM ). (3.5) L GSM Somit kann das vollständige, nichtlineare mathematische Modell der Gleichstrommaschine in der Form ẋ m = f m (x m, u m, d m ) (3.6) ] mit den Zustandsgrößen xm T = [i GSM ϕ GSM ω GSM ϕ P ω P, dem Eingang u m = u GSM und der Störung d m = M ext dargestellt werden. Als Ausgang des Systems wird y = ω P verwendet. Aufgabe 3.4 (Modellierung). 1. Im System (3.6) treten die Größen ϕ GSM und ϕ P stets in Form der Differenz (ϕ GSM ϕ P ) = ϕ GSMP auf. Mit Hilfe der nichtregulären Zustandstransformation i GSM ϕ x M = GSMP = ω GSM x (3.7) m ω P

6 3.2 Gleichstrommaschine mit Propeller Seite 36 kann daher eine Differentialgleichung eingespart werden. Führen Sie diese Transformation durch, d. h. bestimmen Sie wobei u M = u m und d M = d m gelten soll. ẋ M = f M (x M, u M, d M ), (3.8) 2. Bestimmen Sie für stationäre Eingangswerte die Ruhelage des Systems (3.8), linearisieren Sie es bezüglich derselben und stellen Sie es in der Form ẋ = A x + b u u + b d d y = c T x (3.9a) (3.9b) dar. Berechnen Sie weiterhin die Eigenwerte der Dynamikmatrix des linearisierten Systems, wobei die Parameterwerte aus Tabelle 3.1 und für die stationären Eingangsgrößen u GSM,R = 5.6 V und M ext,r = 0 N m zu verwenden sind. 3. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) = ŷ(s) û(s) (3.10) des unter 2 linearisierten Systems, wobei wiederum die Parameterwerte aus Tabelle 3.1 und für die stationären Eingangsgrößen u GSM,R = 5.6 V und M ext,r = 0 N m zu verwenden sind. Bestimmt man die Eigenwerte λ i mit i = 1,..., 4 der Dynamikmatrix A des um die Ruhelage linearisierten Systems (3.9), so ergeben sich diese in aufsteigend sortierter Reihenfolge zu λ 1 = s 1, λ 2,3 = s 1 ± I s 1 und λ 4 = s 1. Offensichtlich ist das System (lokal) asymptotisch stabil. Auffällig ist jedoch, dass λ 1 λ i i {2, 3, 4}, (3.11) d. h. der Eigenwert λ 1 liegt in der komplexen Ebene sehr viel weiter links als die übrigen Eigenwerte, was eine relativ schnelle Dynamik im zugehörigen Unterraum der Lösung nach sich zieht. Es lässt sich nun mit Hilfe der singulären Störungstheorie [3.2] zeigen, dass dieser Eigenwert zumindest näherungsweise der Stromdynamik zugewiesen werden darf. Somit kann in weiterer Folge die Dynamik des elektrischen Teilsystems als quasistationär betrachtet werden, womit sich die zugehörige Differentialgleichung zu einer algebraischen Gleichung der Form i GSM = 1 u GSM k GSM ω GSM (3.12) R GSM R GSM reduziert. Aufgabe 3.5 (Reduziertes System). 1. Verwenden Sie die Näherung (3.12), um im System (3.8) die zugehörige Differentialgleichung der Stromdynamik zu eliminieren. Damit erhalten Sie ein reduziertes

7 3.2 Gleichstrommaschine mit Propeller Seite 37 Parameter Wert L GSM 1.4 mh R GSM 0.46 Ω k GSM 0.1 N m A 1 J GSM kg m 2 d cgsm N m d vgsm N m s rad 1 J P kg m 2 d cp N m d vp N m s rad 1 d qp N m s 2 rad 2 c GSMP N m rad 1 d GSMP N m s rad 1 Tabelle 3.1: Parameter des Systems Gleichstrommaschine mit Propeller. System ẋ red = f red (x red, u, d) y = h red (x red ) (3.13a) (3.13b) [ mit dem neuen Zustandsvektor xred T = ϕ GSMP ω GSM ω P ], wobei Eingang u, Störung d und Ausgang y unverändert bleiben. 2. Bestimmen Sie für stationäre Eingangswerte die Ruhelage des reduzierten Systems (3.13) und linearisieren Sie es bezüglich derselben. 3. Ist die Ruhelage des reduzierten Systems (3.13) gleich jener des vollständigen Systems (3.8)? Begründen Sie Ihre Antwort. 4. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G red (s) = ŷ(s) û(s) (3.14) des unter 2 linearisierten Systems in Maple, wobei wiederum die Parameterwerte aus Tabelle 3.1 und für die stationären Eingangsgrößen u GSM,R = 5.6 V und M ext,r = 0 N m zu verwenden sind. Berechnen Sie die zugehörige Sprungantwort von G red (s) und stellen Sie diese grafisch in Maple dar. Vergleichen

8 3.2 Gleichstrommaschine mit Propeller Seite 38 Sie das Ergebnis mit der Sprungantwort des in Aufgabe 3.4 (Punkt 2 und 3) erhaltenen linearisierten Systems (3.9) bzw. (3.10). Hinweis: Zur Berechnung der Sprungantwort in Maple können Sie z. B. den Befehl invlaplace(g/s,s,t) aus dem Package inttrans verwenden. Aufgabe 3.6 (Implementierung in Matlab/Simulink). Erstellen Sie für das System Gleichstrommaschine mit Propeller ein Simulationsmodell. Es soll das vollständige nichtlineare Modell (3.8) (inklusive Stromdynamik) in Form einer Level 2 M-Code s-function enthalten. ] Wählen Sie hierzu als Eingang [ der s-function den Vektor] u T = [u GSM M ext und als Ausgangsvektoren y1 T = i GSM ϕ GSMP ω GSM ω P bzw. [ y2 T = M GSM M Kopp ]. Verwenden Sie als Anfangszustand die Ruhelage für u GSM = 5.6 V und M ext = 0 N m. Implementieren Sie außerdem das vollständige linearisierte Modell und das reduzierte linearisierte Modell in Form von State-Space-Blöcken. Simulieren Sie alle Systeme für eine Eingangsgröße der Form u GSM = 5.6 σ(t 2) + σ(t 5) 2σ(t 8) + 2σ(t 13) und M ext = 0.25σ(t 11) (u GSM in V und M ext in N m). Vergleichen Sie die Ausgangsgrößen der Systeme und dokumentieren Sie Ihre Ergebnisse. Hinweis: Beachten Sie bei der Implementierung nachfolgende Punkte: Alle Systemparameter und Anfangszustände sollen als Parameter von außen an die s-function übergeben werden. Definieren Sie diese Größen in einem M-file, das Sie jeweils vor dem Start der Simulation ausführen. Übernehmen Sie dabei die analytischen Ausdrücke der Ruhelagen und des linearisierten Modells aus der in Aufgabe 3.4, Teilaufgabe 2 erstellten Maple-Arbeitsblatt-Datei in besagtes M-file und berechnen Sie erst dort die numerischen Werte. Damit ist es später einfach möglich beliebige Ruhelagen zu untersuchen. Weiterhin steht Ihnen zum Test und Abgleich ihres Modells im zip-archiv uebung3.zip auf der Homepage der Lehrveranstaltung die Datei GSM_Student_- S_m.p zum Download zur Verfügung. Es handelt sich um eine chiffrierte s- function der Gleichstrommaschine. Die Einbindung erfolgt analog zur Level 2 M-file s-function und ist im Simulationsmodell Simulation_GSM_out.mdl gezeigt. Das Modell enthält bereits die oben genannten Verläufe der Eingangsgrößen. Lediglich die berechnete Ruhelage x 0 aus der Aufgabe 3.4 Punkt 2 ist in der Maske der s-function des vollständigen Modells (3.8) zu ergänzen. Um Namenskonflikte zu vermeiden, darf die von Ihnen erstellte s-function nicht den Namen GSM_Student_S_m.m tragen.

9 3.2 Gleichstrommaschine mit Propeller Seite 39 Aufgabe 3.7 (Reglerentwurf). Entwerfen Sie mit Hilfe des Frequenzkennlinienverfahrens im q-bereich einen zeitdiskreten Kompensationsregler für das reduzierte linearisierte Modell der Gleichstrommaschine mit Propeller mit der Winkelgeschwindigkeit ω P als Ausgang. Als Arbeitspunkt für den Betrieb des Reglers wählen Sie die von Ihnen berechnete Ruhelage aus Aufgabe 3.5 Punkt 2 für u GSM,R = 5.6 V und M ext,r = 0 N m. Der geschlossene Kreis soll folgende Spezifikationen für einen Sollsprung r = 20 rad s 1 erfüllen: bleibende Regelabweichung e (rk )=(1 k ) = 0 Anstiegszeit t r = 1 s Überschwingen ü 0 % Stellgrößenbeschränkung 0 V u GSM 12 V Beurteilen Sie die Stabilität des geschlossenen Regelkreises. Begründen Sie Ihre Antwort. Als Reglerstruktur wird R # (q) = V I(1 + qt I ) q 1 + 2ξ(qT) + (qt) 2 2j=1 (q q r,j ) (3.15) gewählt, wobei 1+2ξ(qT)+(qT) 2 das konjugiert komplexe Polpaar der Streckenübertragungsfunktion als Nullstellen besitzt und q r,j die gewünschten Realisierungspole bezeichnen. Überlegen Sie warum die obige Reglerstruktur gewählt wird. Sie können dazu zusätzlich einen PI-Regler ohne Kompensationsterm entwerfen und das Verhalten der beiden Regelkreise miteinander vergleichen! Um den Regler später am Laborversuch testen zu können, muss der zeitdiskrete Regler R(z) in Proportional-, Integral- sowie Kompensationsteil aufgespalten werden, R(z) = Sie können dazu den Matlab-Befehl residue verwenden. ( P + I ) R komp (z). (3.16) z 1 Hinweis: Verwenden Sie als Abtastzeit T a = 50 ms. Weiterhin sei erwähnt, dass in Matlab folgende Prozeduren für die Transformationen zwischen s-, z- und q-bereich zur Verfügung stehen: G(s) Ta G(z) Matlab-Befehl: Gz=c2d(Gs,Ta, zoh ) G(z) G # (q) Matlab-Befehl: Gq=d2c(Gz, tustin ) G # (q) Ta G(z) Matlab-Befehl: Gz=c2d(Gq,Ta, tustin ) Aufgabe 3.8 (Verifikation). Testen Sie durch Simulation in Simulink, ob der so entworfene Regelkreis die Spezifikationen auch tatsächlich erfüllt. Vergleichen Sie wieder

10 3.3 PID Reglerentwurf Seite 40 die Ergebnisse für die drei betrachteten Systeme. 3.3 PID Reglerentwurf Gegeben ist die Streckenübertragungsfunktion G(s) = s s 2. (3.17) Für dieses System soll im Folgenden mit Hilfe des Frequenzkennlinienverfahrens in Matlab ein PID-Regler in der Form R(s) = V P ID (1 + st P I )(1 + st P D ) s(1 + st re ) (3.18) entworfen werden. Aufgabe 3.9 (Reglerentwurf). 1. Zeichnen Sie zur Veranschaulichung ein Bode-Diagramm der Strecke (3.17) und des PID-Reglers (3.18) (vorerst mit frei gewählten Parametern T i ) per Hand. Verdeutlichen Sie sich die Wirkung der einzelnen Zeitkonstanten des Reglers. 2. Der geschlossene Regelkreis soll die folgenden Anforderungen erfüllen: bleibende Regelabweichung e r(t)=σ(t) = 0 Anstiegszeit t r = 22 ms Überschwingen ü 15 % Um über einen möglichst großen Frequenzbereich ein differenzierendes Verhalten des Reglers zu erreichen, wählt man im ersten Schritt, wie in [3.1] beschrieben, die Zeitkonstante des Realisierungsterms sehr klein, d.h. T re 1. Wählen Sie danach einen geeigneten Wert für eine der Nullstellen. Überlegen Sie sich dazu, wie der Regler die Phase an der Durchtrittsfrequenz beeinflussen muss. Daraus ergibt sich der Wertebereich, in dem beide Nullstellen liegen müssen. Schließlich können V P ID und die zweite Nullstelle über das Frequenzkennlinienverfahren bestimmt werden. Achten Sie darauf ein einkriechendes Verhalten der Ausgangsgröße für Sollwertsprünge zu vermeiden. 3. Testen Sie in Matlab mit dem Befehl step, ob die Spezifikationen erfüllt werden. Bisher wurde davon ausgegangen, dass dem Regler ein idealer Messwert der Ausgangsgröße y zur Verfügung steht. Da dies in der Realität nicht der Fall ist, ist es sinnvoll in einer Simulation den Einfluss von Messrauschen zu untersuchen. Dazu kann in der Simulation FKL_PID.mdl mit einem Schalter zusätzliches Messrauschen auf den Systemausgang aufgeschalten werden. In dieser Simulation steht ein weiterer Schalter zur Verfügung, der

11 3.3 PID Reglerentwurf Seite 41 die zeitliche Änderungsrate des Sollwertes begrenzt. Das heißt, damit kann eine Rampe statt einem Sprung vorgegeben werden Aufgabe 3.10 (Einfluss des Messrauschens). Testen Sie Ihren Regler in der Simulation mit und ohne Messrauschen, sowie mit ein- und ausgeschalteter Sollwertbeschränkung. Wie verhält sich das System mit Messrauschen im Vergleich zum idealen System? Beachten Sie auch die Stellgöße u. Was bewirkt die Begrenzung des Sollwertes? Analysieren und dokumentieren Sie die Ergebnisse für verschiedene Werte des Reglerparameters T re.

12 3.4 Literatur Seite Literatur [3.1] A. Kugi, Skriptum zur VU Automatisierung (WS 2014/2015), < Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik, TU Wien, [3.2] P. Kokotovic, H. K. Khalil und J. O Reilly, Singular Pertubation Methods in Control: Analysis and Design. USA, Philadelphia: Society for Industrial Mathematics, 1999.