Zur Erinnerung V M. Stichworte aus der 17. Vorlesung: Viskosität. laminare Strömung, Gesetz von Hagen- Poiseuille. Gleichungen der Strömungslehre

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1 Zur Erinnerung Stichworte aus der 17. Vorlesung: Viskosität laminare Strömung, Gesetz von Hagen- Poiseuille F R = η u dv V M ρ = t π p = ρ R 8η z 4 Gleichungen der Strömungslehre Temperatur, Temperaturskalen, thermische Ausdehnung von Festkörpern Kontinuitätsgleichung & Bernoulli-Gleichung, Euler-Gleichungen (nicht stationär), Navier- Stokes-Gleichung (reale Flüssigkeit, Viskosität) alle (reproduzierbar und reversibel) mit T veränderliche Eigenschaften nutzbar: Ausdehnung (i.d.r. Flüssigkeiten), elektrischer Widerstand, Kontaktspannung, Wärmestrahlung, u.v.a.m. Experimentalphysik I SS

2 Gleichungen der Strömungslehre Kontinuitätsgleichung: + div ( ρ u) = 0 t 1 2 Bernoulli-Gleichung: p + ρ u = p0 2 ρ Massenerhaltung Energieerhaltung Euler-Gleichung: Navier-Stokes- Gleichungen: Ideale Flüssigkeiten, Nicht stationär Dynamik viskoser Flüssigkeiten, Euler-Gleichungen, ergänzt um Reibungskraft Wirbelbildung! s. De und theoretische Ergänzung Experimentalphysik I SS

3 Avogadro-Konstante und Molvolumen Stoffmenge: 1 Mol (Anzahl der Einheiten : Atome oder Moleküle) 1 mol = Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Teilchen (N A ) besteht, wie 12 g des Kohlenstoffnukleids 12 C. auf 12 C bezogen: N A m 12 C = 12 [g] = N A 12 m* Avogadro-Konstante oder Loschmidt-Zahl: Allgemein: m* = (1/12) m( 12 C) = mittlere Masse eines Nukleons im 12 C Kern N A = m* -1 = mol -1 Die Masse der Stoffmenge 1 mol ist gleich dem Atomgewicht in Gramm N A m Teilchen = A Teilchen [g] A Teilchen = Atomgewicht = m Teilchen /m* Experimentalphysik I SS

4 Avogadro-Konstante: Bestimmung von N A : Avogadro-Konstante und Molvolumen 12 g 12 C durch Massenvergleich mit Massennormal Abzählen der Zahl der Teilchen, z.b. durch Methoden der Röntgen-Strukturanalyse 1 mol Wasserstoff H 2 : 2 g 1 mol Helium 4 He : 4 g 1 mol Kohlenstoff 12 C : 12 g 1 mol Stickstoff 14 N 2 : 28 g Experimentalphysik I SS

5 Avogadro-Konstante und Molvolumen Experimentalphysik I SS

6 Wärmemenge und spezifische Wärme (genauer: spezifische Wärmekapazität) Zufuhr Wärmemenge ΔQ (Energie) an Masse M ΔT(ΔQ, M) ΔQ = c M ΔT c = ΔQ / (M ΔT) c = spezifische Wärme (-kapazität) c = ΔQ für M = 1 kg und ΔT = 1 K c von Struktur des Materials abhängig (z.b.: Zahl der Freiheitsgrade bei Gas) alte Einheit Wärmemenge cal oder kcal : ΔQ = 1 kcal 1 kg H 2 0, 14.5 C 15.5 C Experimentalphysik I SS

7 Allgemeine Gasgleichung für ideale Gase Ziel: Spezifische Molwärme(kapazität) idealer Gase V M = Volumen der Stoffmenge 1 mol bei 1 bar und 0 C p V = N k T (bekannt) für V = V M p V M = N A k T mit N A k = R = 8.31 J /(K mol) p V M = R T oder für Stoffmenge ν Mol p V = ν R T V/V M = ν Experimentalphysik I SS

8 Spezifische Molwärme idealer Gase M mol = Masse eines Mol [kg] Spezifische Molwärme: Q = c M Q T = c M mol mol T = C = C T [ C] = J mol K C = Energie (Wärmemenge) für ΔT = 1 K allgemein: ν = Zahl der Mol Q = ν c M mol = ν C T Wärmekapazität zu unterscheiden: ΔQ ΔT bei V = const. C C V ΔQ ΔT bei p = const. C C P Experimentalphysik I SS

9 Spezifische Molwärme idealer Gase Im thermischen Gleichgewicht: ΔQ zuführen ΔT Erhöhung der inneren Energie ΔU Für 1 Teilchen: mittlere Energie <E> T = <E kin > T + <E rot > T + <E vib > T = f ½ k T Gaskonstante R: Spezifische Molwärme bei konstantem V: Für Stoffmenge 1 mol: mittlere Energie <E> M = N A <E> T = f ½ N A k T = f ½ R T ΔU = Δ<E> M = f ½ R ΔT ΔQ = ΔU = ν C V ΔT = ν f ½ R ΔT C V = ½ f R Experimentalphysik I SS

10 Anregung/Einfrieren von Freiheitsgraden C V (T): Angeregte Freiheitsgrade: Nur diejenigen Freiheitsgrade, die bei gegebenem T angeregt sind (Energie aufnehmen), tragen zu C V bei. Energieaufnahme, wenn kt > ΔE. C V steigt mit T. Experimentalphysik I SS

11 Spezifische Molwärme idealer Gase Gleichgewicht zwischen Kraft auf Kolben von außen und Kraft auf Kolben durch Gas von innen (p innen = p außen ). ΔQ zuführen ΔT Erhöhung der inneren Energie ΔU und Verrichtung von Arbeit ΔW ΔQ = ΔU + ΔW mit ΔU = C V ΔT ΔW = F Δx = p A Δx = p ΔV mit p V = R T p (V+ΔV) = R (T+ΔT) p ΔV = R ΔT Spezifische Molwärme bei konstantem p: ΔQ = C P ΔT = C V ΔT + R ΔT C P = C V + R (für 1 mol) C p /C V : 1 CP fr + R 2 f + 2 = = 1 C fr f V 2 = κ hängt nur von der Struktur der Moleküle ab! Experimentalphysik I SS

12 Spezifische Molwärme von Festkörpern Phononen: Viele Eigenschwingungen ( Phononen ) mit verschiedenen Frequenzen ν. Schwingungsenergie auch quantisiert. Niedrige Frequenzen: h ν = E vib,min < k 300 K, angeregt Hohe Frequenzen: h ν = E vib,min > k 300 K, eingefroren C mol steigt mit T. Experimentalphysik I SS

13 Spezifische Molwärme von Festkörpern Für hinreichend hohe Temperaturen: alle Schwingungen angeregt, Freiheitsgrade pro Atom = 6 <E mol > = 6 ½ N A k T = 3 R T Dulong-Petit-Gesetz: C mol = 3 R Experimentalphysik I SS

14 Wärmekapazität von Festkörpern Wärmekapazität C: ΔQ = C ΔT = ν C mol ΔT mit ν = m / M = m / (N A A Teilchen ) Q mc = N A A mol T Teilchen Masse m für alle Proben gleich, Temperaturerhöhung ΔT gleich, C mol fast gleich, aber A Al < A Cu < A Pb (im Verhältnis 27 : 63,5 : 207), so dass ΔQ Al > ΔQ Cu > ΔQ Pb. Experimentalphysik I SS

15 Energieumsatz bei Phasenübergängen Wenn E vib > E Bindung schmelzen, verdampfen ΔQ Aufbrechen von Bindungen Kondensation: Bildung von Bindungen E Bindung für Bindung A-B auf C übertragen Reaktion, Massenwirkungsgesetz Experimentalphysik I SS

16 Schmelzen, Verdampfen Zufuhr von Energie ΔQ T steigt. Wenn <E vib > E Bindung Viele Bindungen brechen auf. Wenn Schmelzvorgang begonnen hat: T = const. im Körper (durch Wärmeleitung) bis Material vollständig geschmolzen. Experimentalphysik I SS

17 Schmelzen, Verdampfen Energieverteilung N T (E) festgelegt durch T. Bindung wird gelöst für Teilchen mit E > E B, deren Anzahl * N = N ( E) de T E B T Wenn Energiezufuhr gestoppt: Schmelzen/Verdampfen endet erst wenn E B N T 1 ( E) de << 0 N T 0 ( E) de Experimentalphysik I SS

18 Schmelzen, Verdampfen Spezifische Schmelzwärme λ S : Spezifische Verdampfungswärme λ V : Energie, die zum Schmelzen von 1 kg eines Stoffes nötig ist: Q schmelz [J] = λ S [J/kg] m [kg] Energie, die zum Verdampfen von 1 kg eines Stoffes nötig ist: Q verdampf [J] = λ V [J/kg] m [kg] Experimentalphysik I SS

19 Wärmetransport Jeder sich selbst überlassene Körper mit der Temperatur T K tauscht mit seiner Umgebung so lange Energie aus, bis er die gleiche Temperatur T U wie seine Umgebung hat thermisches Gleichgewicht Konvektion: Wärmeleitung: durch Transport makroskopischer Volumina: (Gase und Flüssigkeiten) durch Transport einzelner Teilchen Wärmeleitung in Gasen durch Kopplung von Schwingungen und Energietransport im FK (bei Metallen i.w. durch Elektronen) Wärmestrahlung: durch Strahlung (einziger Mechanismus im Vakuum) Experimentalphysik I SS

20 Wärmetransport durch Konvektion Erwärmung von unten T(a) >T(b) da dρ/dt<0 ρ(a)<ρ(b) Auftrieb untere Schichten steigen auf Durchmischung durch Konvektion Experimentalphysik I SS

21 Wärmetransport durch Konvektion Seewind: Tiefdruckgebiet: Experimentalphysik I SS

22 Wärmeleitung nur Energietransport, kein Massentransport, T 1 und T 2 < T 1 durch Kontakt mit Wärmereservoirs fixiert. Wärmeleitzahl: angenommen: Wärmestrom nur in x-richtung, nach einiger Zeit stationärer Fall: dq dt dq dt = const. T = λ q x 1 1 [ λ] = W m K Experimentalphysik I SS

23 Wärmeleitung in Metallen Metall: freie Elektronen hohe elektrische Leitfähigkeit Elektronen: geringe Masse, starke Wechselwirkung mit Atomrümpfen dominanter Beitrag der Elektronen zur Wärmeleitung (Metall) Gute Wärmeleiter sind auch gute elektrische Leiter. Wiedemann-Franz- Gesetz: Zusammenhang von Wärmeleitzahl λ und elektrischer Leitfähigkeit σ: experimentell λ = a T σ Theorie: 2 k a = π 3 e 2 2 Experimentalphysik I SS

24 Wärmeleitung in Metallen Cu: Stahl: gute Wärmeleitung T A steigt an, ΔQ fließt schnell nach E T E steigt bald nach Beginn der Zufuhr an schlechte Wärmeleitung, ΔQ fließt nur langsam nach E T A steigt stark an, Verluste auf maßgeblicher Zeitskala, durch Ableitung in Umgebung: T E steigt kaum an Wärmemenge: Q1 ( t) t = 0 dq dt dt Gleichgewicht (ΔQ 1 = ΔQ 2 ) wird für Stahl, wg. schlechterer Wärmeleitung i. vgl. zu Kupfer, erst bei höherer T erreicht Experimentalphysik I SS

25 Wärmeleitung in Metallen Experimentalphysik I SS

26 Wärmeleitung in Flüssigkeiten Experimentalphysik I SS

27 Wärmeleitung in Gasen /Wiederholung) Ohne Diffusion: dw dt = κ T 1 T ) κ ( 2 Wärmeübergangszahl Mit Diffusion: dw dt dt = λ λ dx Wärmeleitfähigkeit 1 λ = 12 f k σ v Transport von Energie: kleine Masse großes <v> Draht glüht im oberen Bereich weniger stark, da dort höhere Dichte von H 2, daher bessere Wärmeleitung Experimentalphysik I SS

28 Wärmestrahlung Strahlungsgesetze: hier nur: elementare Zusammenhänge entwickelt von Max-Planck um 1900: war ein Schlüssel für die Entwicklung der Quantenmechanik Aussagen über: Variation von Intensität und Spektrum der Abstrahlung von einer Oberfläche mit der Temperatur sowie Abhängigkeit von Oberflächen-Beschaffenheit Experimentalphysik I SS

29 Wärmestrahlung Wärmetransport durch Strahlung: Körper T = T K, Wandung T = T U Hochvakuum: kein T-Ausgleich durch Wärmetransport über Atome/Moleküle Energietransport durch elektromagnetische Strahlung dadurch Ausgleich: T K T m und T U T m im thermischen Gleichgewicht muss ebensoviel Leistung (Strahlung) absorbiert wie emittiert werden. Experimentalphysik I SS

30 Wärmestrahlung Abhängigkeit von der Oberflächenbeschaffenheit: abgestrahlte Leistung I(T) = dw(t)/dt Beobachtung: I dunkel/rauh (T) > I hell/blank (T) I(T 2 ) > I(T 1 ) für T 2 > T 1 Experimentalphysik I SS

31 Wärmestrahlung von Fläche df in Raumwinkel dω [pro m 2 >> 1 Sterad] abgestrahlte Leistung dw/dt: Emissionsvermögen E*(T): dw dt J = E *( T ) df dω, [ E *( T )] = 2 S m Sr Absorptionsvermögen A(T): W A = W absorbiert auftreffend A ist dimensionslos! es gilt (Beobachtung): E *( T ) A( T ) = K( T ) Verhältnis ist nur von T abhängig! Schwarzer Körper: A(T) = 1 für alle Frequenzen (Wellenlängen) Experimentalphysik I SS

32 Wärmestrahlung Realisierung eines schwarzen Körpers: Realisierung einer Fläche mit den Eigenschaften schwarzer Körper im Sinne der Strahlungsgesetze: kleines Loch in der Wandung eines Hohlraumes schwarzer Körper = Fläches des Loches Das spektrale Emissionsvermögen E* eines schwarzen Körpers ist identisch mit der spektralen Strahlungsdichte S* der Hohlraumstrahlung. Experimentalphysik I SS

33 Wärmestrahlung Strahlungsformel von Max Planck: Max Planck um 1900: spektrale Energiedichte der Startpunkt zur Entwicklung der Quantenmechanik Aussagen über: Temperatur-Variation von Intensität und Spektrum der Abstrahlung einer Oberfläche sowie Abhängigkeit der Strahlung von der Oberflächen- Beschaffenheit Experimentalphysik I SS

34 Wärmestrahlung Strahlungsformel von Max Planck: 2 8πν ρ( ν ) = 3 c hν e hν kt 1 1 Statistisches Gewicht 8π hc ρ( λ) = 5 λ e Energie pro Quant hν 1 hc ktλ 1 Besetzungswahrscheinlichkeit W(ν,Τ) ρ(λ) bzw. ρ(ν): spektrale Energiedichte ρ(λ)dλ bzw. ρ(ν)dν: Energiedichte im Spektral- Interval dλ bzw. dν Zunahme des Integrals über K(λ) geregelt durch: Stefan-Boltzmann-Gesetz Verschiebung des Maximums geregelt durch: Wien sches Verschiebungsgesetz Experimentalphysik I SS

35 Wärmestrahlung Stefan-Boltzman: dw dt 4 = σ S T S = strahlende Fläche, 2 σ = W/(m 2 K 4 ) dw 2 ( A = 1 m, T = 300 K ) = 470 W dt 4 4 dw2 dw1 T2 = 1,77 T1 T2 = 10 T1, = 10 dt dt z. B. T = 300 K (27 C), T = 533 K (260 C) 1 Wien sches Verschiebungsgesetz: λ max T = b di( λ) = 0 für λ = λ dλ λ (300 K) = 10 µm max max, b = 2, m K Experimentalphysik I SS

36 Konsequenzen der Wärmestrahlung Lichtmühle: Übertrag von Photonen-Impulsen?? Experimentalphysik I SS

37 Konsequenzen der Wärmestrahlung Lichtmühle: Übertrag von Teilchen-Impulsen Experimentalphysik I SS

38 Konsequenzen der Wärmestrahlung Photonenimpuls: E p Z ph ph ph p F = t F = = h ν = " m = " m = dn F ph h ν " c = c 2 c photon dt blank F ph F " c blank schwarz 2 = Z h = λ = pro Zeiteinheit auftreffende Photonen = 2Z ph h, λ h λ ph Photonenenergie Photonenimpuls F schwarz = Z ph h λ Drehung schwarze Seite voran Experimentalphysik I SS

39 Konsequenzen der Wärmestrahlung Teilchenimpuls: Teilchen aus dem Gasvolumen landen auf der Fläche der Drehflügel mit Impuls <p> p = m v( T gas ) Kraftübertrag beim Landen identisch für beide Seiten: landen d planden F = = Z ph m v( T gas ) dt Kraftübertrag beim Starten : Start mit F start F ph start schwarz v( T Oberfläche F start blank ) : Oberfläche T = Z m v( T ) > schwarz > T blank T gas Drehung schwarze Seite rückwärts Experimentalphysik I SS

40 Wärme-Isolierung Strahlungsabschirmung und Verwendung von Materialien mit geringer Wärmeleitung Experimentalphysik I SS