Vorlesung: Simulation Mechanischer Verfahrenstechnik Seminar - Zerkleinerung

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1 Vorlesung: Simulation Mechanischer Verfahrenstechnik Seminar - Zerkleinerung Aufgabe 1: Einführung Monte-Carlo-Methode Kreiszahl Pi Bestimmen Sie durch Implementierung der Monte Carlo Methode in einen MATLAB- Quelltext die Kreiszahl Pi. Durch eine Gleichverteilung von Pseudozufallszahlen sollen innerhalb eines Viertels des Einheitskreises Punkte erzeugt werden. y i x i Abb. 1: Viertel des Einheitskreises und umgebes Quadrat in Anlehnung an [1] Dabei soll das Verhältnis (bei ausreich vielen Zufallspunkten) zwischen den Punkten im Viertelkreis zur Gesamtpunktanzahl identisch zum Verhältnis der Viertelkreisfläche zur Quadratfläche sein. Punkte im Viertelkreis Gesamtpunktzahl = Viertelkreisfläche Quadratfläche (1) Für die Kreisfläche kann die allgemein bekannte Gleichung: A Viertelkreis = 1 4 (π r2 ) (2) Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 1

2 und für die Quadratfläche: A Quadrat = r 2 (3) eingesetzt werden. Daraus folgt für die Bestimmung der Kreiszahl: π MC = 4 Punkte im Viertelkreis Gesamtpunktzahl (4) Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 2

3 Aufgabe 2: Einführung Monte-Carlo-Methode - Bewegung eines Betrunkenen Nach einer durchzechten Nacht steht ein Betrunkener an einer Laterne P (0,0) und versucht den Weg nach Hause zu finden. Aufgrund seines hohen Alkoholgehalts im Blut ist die Richtung seiner Schritte rein zufällig. Die Schrittweite beträgt jeweils r = 1. a) Mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode soll von 1000 Betrunkenen, die jeweils 100 Schritte zurücklegen, die Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Abstand vom Startpunkt zum Endpunkt (nach 100 Schritten) erstellt werden. Außerdem soll eine animierte Simulation für den zurückgelegten Weg des 1. Betrunkenen erstellt werden (siehe Abb. 2). Abb. 2: Zurückgelegter Weg eines Betrunkenen (der Endpunkt ist rot gekennzeichnet) Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 3

4 Abb. 3: Zurückgelegter Weg aller 1000 Betrunkenen b) Der Betrunkene verhält sich ähnlich wie die Bewegung von Teilchen in einem viskosen Medium. Der zurückgelegte Weg r soll nun auch als zufällig zwischen 0 und 1 angenommen werden. Zeigen Sie, dass bei einer hinreich großen Anzahl an Schritten bzw. Teilchen das physikalische Modell zur Brownschen Bewegung von Albert Einstein u.a. gilt: x 2 = D t, (5) wobei x 2 den Mittelwert der Quadrate der x-koordinaten, der von den Teilchen ausgeh vom Ort x = 0 in der Zeit t zurückgelegt wird und D den sogenannten Diffusionsterm darstellt. Erstellen Sie hierfür ein Histogramm für den Diffusionsterm (siehe Abb. 4). Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 4

5 Abb. 4: Diffusionsterm der Brownschen Bewegung Literatur [1] Nahrstedt, H., Die Monte-Carlo-Methode, essentials, Springer Verlag, Wies baden 2015 Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 5

6 Lösung Aufgabe 1: % % Pi - Annäherung durch Monte-Carlo-Methode % clc; clear all close all % Command Window leeren % Workspace leeren % Alle figures schließen n = ; % Anzahl der Punkte im Quadrat (je mehr desto besser) x = rand(n,1); % Zufalls X Koordinate y = rand(n,1); % Zufalls Y Koordinate r = 1; % Radius Treffer = 0; % Treffer bezeichnet die Anzahl der Punkte innerhalb % des Kreisausschnittes % % Monte-Carlo-Simulation % for i = 1:n % for Schleife if sqrt(x(i)^2+y(i)^2) <= r % Kreisgleichung: Wenn die Wurzel aus x_k(i) = x(i); % (x^2 + y^2) kleiner dem Radius ist y_k(i) = y(i); % dann, Treffer Treffer = Treffer + 1; % Treffer werden aufsummiert else Kreisflaeche = Treffer/n; pi_cal = 4 * Treffer/n % % Darstellung der Ergebnisse % % Berechnung der Kreisflaeche % Aus der Monte Carlo Methode % angenährter Pi-Wert figure (1) % plotten aller Punkte (x,y) und der plot(x,y,x_k,y_k) % Punkte im Kreis (x_k,y_k) set(gca,'dataaspectratio',[1 1 1]) % gleichmäßige Achseneinteilung Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 6

7 Lösung Aufgabe 2: % % Brownsche Bewegung eines Betrunkenen in 2D % % Variabel sind Richtung und Schrittweite clc; clear all; close all; a = [1:1:1000]; s = 100; % Anzahl der Betrunkenen % Anzahl der Schritte % Monte-Carlo-Methode for i = 1:s for j = 1:length(a) r = rand(1); % Bewegungsweite (zufällig) phi = rand(1,1)*360; % Bewegungswinkel (zufällig) x = r * cosd(phi); % X-Koordinate (Kreisgleichung) y = r * sind(phi); % Y-Koordinate (Kreisgleichung) if i==1 % Fr die erste Bewegung soll gelten: pos_x(i,j) = x; % Speicherung der 1. X-Koordinate pos_y(i,j) = y; % Speicherung der 1. X-Koordinate else pos_x(i,j) = pos_x(i-1,j) + x; % Aufsummieren der Positionen pos_y(i,j) = pos_y(i-1,j) + y; % Hinzufgen von P(0,0) zu den Koordinaten x1 = [0; pos_x(1:,1)]; y1 = [0; pos_y(1:,1)]; % Brownsche Bewegung ZE =pos_x(,:).^2; D = ZE./s; % Mittelwert der Quadrate der X-K. % Diffusionsterm % figure(1) Histogramm Brownsche Bewegung figure(1) [mu, sigma] = normfit(d) % Mittelwert, Stabw vom Diffusionsterm hist(d,30) % Erstellung des Histogramms % von D (D, Anzahl Balken) % figure(2) Animation Bewegung figure(2) plot(x1,y1,'color','w') % plotten des gesamten Weges in weiß % damit die Größe des plots passt Rot = line(x1(1), y1(1,1), 'Marker', '.', 'MarkerSize', 30,'Color', 'r'); Blau = line(x1(1), y1(1,1), 'Marker', '.', 'MarkerSize', 5,'Color', 'b'); pos = get(gcf, 'Position'); width = pos(3); height = pos(4); % Daten vorbelegen (zum Speichern der Bilder) mov = zeros(height, width, 1, length(s), 'uint8'); Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 7

8 for id = 1:s % Erweitern des Bildes. Besser als die Plots immer neu zu erstellen. set(rot, 'XData', x1(id), 'YData', y1(id)) set(blau, 'XData', x1(1:id,1), 'YData', y1(1:id,1)) % Plot als Bild auslesen f = getframe(gcf); % Erzeugung einer colormap für das erste Bild. Fr den Rest der Bilder % wird, die selbe colormap verwet if id == 1 [mov(:,:,1,id), map] = rgb2ind(f.cdata, 256, 'nodither'); else mov(:,:,1,id) = rgb2ind(f.cdata, map, 'nodither'); % Animierte.gif erstellen imwrite(mov, map, 'animation.gif', 'DelayTime', 1/8, 'LoopCount', inf) % figure(3) alle Wege darstellen for i=1:length(a) x2(:,i) = [0; pos_x(1:,i)]; y2(:,i) = [0; pos_y(1:,i)]; figure(3) plot(x2,y2) Lehrstuhl für Mechanische Verfahrenstechnik 8