Stochastische Petrinetze

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1 Stochastische Petrinetze Proseminar WS06 The Virtual Laboratory Nils Müller Stochastische Petrinetze 1. Begriffsdefinition 1.1. Wdh. Stochastik 1.2. Wdh. Petrinetze 2. zeiterweiterte Petrinetze 2.1. Stochastische Petrinetze 2.2. weitere Petrinetze 3. Anwendungsbeispiel 4. Vorstellung WinGPSS 5. Live-Simulation 6. Zusammenfassung 2 0. Motivation Meine: - Interesse wecken - bekanntes Wissen auffrischen - neue Zusammenhänge darstellen Eure: informatives Entertainment? 1. Begriffsdefinition Stochastische Petrinetze Was ist das? probates Mittel zur Analyse: Zerlege den Begriff in einzelne Wörter/Silben, deren Bedeutung bekannt sind. Versuche anschließend durch Rückschlüsse den Begriff zu klären. => rekursive Definition 3 4

2 stochastisch Adjektiv von Stochastik: - griechisch Kunst des Mutmaßens - Analyse von Zufallsexperimenten Zufall: nicht bestimmt vorhersagbares Eintreffen von Ereignissen Experiment untersucht Zufallsereignisse: - kontinuierliche ZE (z.b. Temperatur) - diskrete ZE (z.b. Münzwurf) => Uns interessieren heute diskrete ZE aber vielleicht deren Verteilung Zufallsvariable: beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ereignissen 5 6 Wahrscheinlichkeitsverteilungen: diskrete (z.b. Augenzahl Würfel) Zufallsvariable nimmt endlich abzählbare Werte an kontinuierliche (z.b. Wartezeit an Haltestelle) überabzählbare Werte Gleichverteilung: Bsp.: Zufallszahlengeneratoren (pseudo) 7 8

3 Normal-/Gaußverteilung: Exponentialverteilung: Bsp.: Bedienzeiten am Schalter Hier: Gewicht von Hühnereiern 9 Bsp.: Zwischenankunftszeit von Kunden 10 Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung: P(X > x + t X > x) = P(X > t) Die Vorgeschichte (0..x) hat keine Bedeutung für die Zukunft (x..x + t)! Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, ist unabhängig von der Zeit, die bisher gewartet wurde. - Modell für nebenläufige, kommunizierende Prozesse von Carl Adam Petri beschrieben 11 12

4 formal: 6-Tupel P = (S, T, F, K, V, M) Stellen, Transitionen, Flussrelation (Kanten), Kapazitäten der Stellen, Vielfachheit (Gewicht) der Kanten, Startmarkierung Kanten Marke Kapazität k=2 1 2 Transition Stelle Gewicht 13 Markierung: - Objekte/Daten - nicht unterscheidbar - werden nicht bewegt, sondern erzeugt und entfernt Stellen: - Zwischenlager von Objekten/Daten - Zustand, statisch 14 Transitionen: - elementare Verarbeitung von Daten - nebenläufige Ereignisse, zeitlos - dynamisch, feuert Gerichtete Kanten: - Input (S => T), Output (T => S) Kantengewichte: Schaltregeln: Transition kann feuern, wenn Eingangsstellen gemäß Kosten genügend Marken haben und in Ausgangsstellen noch freie Kapazität vorhanden sind. => Transition heißt dann aktiviert. Können mehrere Transitionen gleichzeitig feuern, ist die Reihenfolge nicht bestimmt Kosten für Aktivität

5 Beeinflusst die Reihenfolge nicht das Ergebnis, können die Transitionen gleichzeitig schalten. Überschneiden oder bedingen aktive Transitionen einander, gibt es einen Konflikt. Lösung => Nebenläufigkeit oder: Interpretation als Alternative Verklemmung: bekannt vom Philosophenproblem 2. zeiterweiterte Petrinetze Unterschied zu allg. Petrinetzen: Transitionen verbrauchen Zeit beim Schalten Was fällt auf? => Philosophen benötigen ZEIT zum Essen. In der Realität treffen wir häufig zufällig verteilte Bedien/- oder Fertigungszeiten an. allgemeine Petrinetze haben zeitlose Prozesse! 19 20

6 2.1. Stochastische Petrinetze Die Zeit, die eine Transition verbraucht, ist eine Zufallsvariable und exponentialverteilt. formal: 7-Tupel P = (S, T, F, K, V, W, M) W: Menge Dichtefunktionen der Transitionen Def.: Modell nebenläufiger Prozesse, deren zeitbewertete Aktivitäten einer 2.1. Stochastische Petrinetze Vorteile: - Modell zur Abbildung realer oder geplanter Systeme - einfache, wenige Elemente - sowohl graphisch als auch mathematisch/ theoretisch darstellbar => ausdrucksstark - unsichere Ereignisse/Zufälle als stochastische Verhalten abbildbar Wahrscheinlichkeitsverteilung bedingen Stochastische Petrinetze 2.1. Stochastische Petrinetze Nachteile: - große Systeme arten in komplexen Graphen aus - relativ hohe Abstraktion 23 Praktischer Nutzen: - Visualisierung - Simulation und Analyse möglich! - Aussagen zum System: Planung, Optimierung, Bewertung von Änderungen - liefert Antworten auf: Wie lange? Wie oft? Besondere Situationen? Warteschlangen? Anwendungsbereiche: - Produktsabläufe - Verkehrs- und Kommunikationsnetze 24

7 2.2. weitere Petrinetze Generalisierte Stoch. Petrinetze (GSPN) zeitlose und zeitbewertete Transitionen Deterministische Stoch. Petrinetze (DSPN) zusätzlichetransitionen mit konstanten Zeitbedarf 3. Anwendungsbeispiel Das Paradebeispiel: Simulation einer Bank Tür Warteschlange Schalter Tür High-Level Petrinetze: individuell, unterscheidbare Marken z.b. Gefärbte Petrinetze (CPN) Kunde tritt ein Kunde wartet Kunde wird bedient Kunde ist fertig Kunde geht Anwendungsbeispiel 4. Vorstellung WinGPSS Simulation einer Bank: - zufällige Zwischenankunftszeiten => exponentialverteilt - variable Bedienzeiten => normalverteilt Interessante Aspekte: - max. Länge der Warteschlange - längste Wartezeit - Auslastung des Servicepersonals 27 Simulationssprache: General Purpose Simulation System (GPSS) 1961 von Goeffrey Gordeon entwickelt WinGPSS: - deutschsprachige GUI mit Diagrammfeld und Quelltexteditor - u.a. von Dr. Henry Herper entwickelt => 28

8 4. Vorstellung WinGPSS 5. Live-Simulation Modellierung eines realen Systems erweitertes Bank-Beispiel: - 4 verschiedene Kundentypen - 1 Kombigerät (Geld + Auszüge) - 2 Service-Schalter - 1 Warteschlange (english queue) - 1 Beratungsraum Live-Simulation 6. Zusammenfassung Online-Dokumentation: - Quellcode - Screenshots - Analyse - Auswertung => 31 Stochastische Petrinetze: - Modell für nebenläufige Prozesse - mit diskreten zeitbewerteten Ereignisse - unterliegen Wahrscheinlichkeitsverteilungen - praktisch anwendbar: Fertigungsprozesse und Logistik - vererbte Probleme : Zyklus, Verklemmung - zahlreiche Tools für Visualisierung, Simulation und Analyse 32

9 Danke für eure Aufmerksamkeit! 33