Statische Felder Ferienkurs Elektrodynamik

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1 Statische Felder Ferienkurs Elektrodynamik Inhaltsverzeichnis 1 Vektoranalysis Grundbegriffe Integralsätze Elektrostatik Das elektrische Feld Das elektrostatische Potential Multipolentwicklung Randwertprobleme Methode der Spiegelladungen Kapazitätskoeffizienten Inneres Dirichlet-Problem Magnetostatik Das Magnetfeld Das Vektorpotential Magnetischer Dipol Energie statischer Felder im Vakuum und in Medien Energie einer Ladungsverteilung in einem externen Feld Energie zum Aufbau eines statischen Feldes Statische Felder im Medium Elektrische Felder im Medium Magnetische Felder im Medium

2 1 Vektoranalysis 1.1 Grundbegriffe Während sich eine Vorlesung in klassischer Mechanik meist mit starren Körpern, also mir Bahnkurven beschäftigt, spielen in der Elektrodynamik Felder die zentrale Rolle. Deshalb werden hier zunächst die Grundbegriffe der Vektoranalysis wiederholt. A x (x) Wir betrachten zunächst Operationen auf Skalarfelder f(x) und Vektorfelder A(x) = A y (x). A z (x) Dazu muss zuerst der Nabla-Operator im R 3 definiert werden: = / x / y / z Daraus leiten sich folgende Operationen ab: f/ x Gradient grad f(x) = f(x) = f/ y f/ z / x A x (x) Divergenz div A(x) = A(x) = / y A y (x) = Ax x / z A z (x) / x A x (x) Rotation rot A(x) = A(x) = / y A y (x) = / z A z (x) Laplace f(x) = div grad f(x) = 2 f(x) = 2 A x x A y y A z z 2 + Ay y A z y A x z A y x + Az z Ay z Az x Ax y Der Gradient zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs, die Divergenz beschreibt die Quelldichte (gibt also an, ob von einem Punkt mehr Feldlinien ausgehen oder dort enden) und die Rotation beschreibt die Wirbeldichte. Eine Übersicht über diese Operationen in Zylinder- und Kugelkoordinaten findet man zum Beispiel unter Integralsätze Benötigen werden wir auch die folgenden Sätze: V div A(x)d 3 x = V A(x) df Gaußscher Satz (1) 1

3 Dabei ist V ein endliches Volumen mit glatter Oberfläche V und A ein Vektorfeld. Betrachten wir zur Veranschaulichung ein kleines Volumen, in dem die Divergenz des Vektorfeldes positiv ist. Von diesem Volumen gehen mehr Feldlinien aus, als dort enden, also müssen Feldlinien die Oberfläche des Volumens durchdringen. Dies wird durch die rechte Seite der Gleichung beschrieben. A rot A(x) df = Hier ist A eine endliche Fläche mit glattem Rand A. 2 Elektrostatik 2.1 Das elektrische Feld A A(x) dx Stokesscher Satz (2) Wir definieren das elektrische Feld mithilfe der Kraft, die eine Probeladung Q in diesem Feld erfährt: E(x) = F(x) Q In der Literatur findet man manchmal Herleitungen der Maxwellgleichungen. Wir möchten stattdessen die Maxwellgleichungen als gegeben annehmen und die Phänomenologie daraus ableiten. Da experimentell noch keine Verletzung der Maxwellgleichungen gefunden wurde ist dieses Vorgehen gerechtfertigt. Die Maxwellgleichungen der Elektrostatik sind: (3) In Worten: Die Quelle des elektrischen Feldes ist die elektrische Ladung. Im zeitunabhängigen Fall ist das eletrische Feld rotationsfrei. div E = E = ρ ɛ 0 (4) rot E = E = 0 (5) Laut dem Satz von Helmholtz ist ein Vektorfeld durch die Angabe seiner Divergenz und Rotation eindeutig festgelegt. Um das elektrische Feld konkret zu berechnen können wir nun den Gaußschen Satz anwenden: V div E(x)d 3 x = V E(x) df (6) Für das Feld einer Punktladung Q am Ort x = 0 folgt daraus das Coulombsche Gesetz, indem man als Integrationsvolumen eine Kugel mit Radius r um die Punktladung wählt und aus Symmetriegründen annimmt, dass E(x) = E(r) e r : 2

4 V V div E(x)d 3 x = ρ(x) d 3 x = ɛ 0 V V Q ɛ 0 = 4πr 2 E(r) E(x) = E(x) df E(r) e r df Q 4πɛ 0 r 2 e r Das war eigentlich ganz einfach. Der Grund dafür ist, dass das Integral auf der rechten Seite durch unsere Symmetrieüberlegung E(x) = E(r) e r trivial wurde. Wenn eine kontinuierliche Ladungsdichte ohne einfache Symmetrien (Kugel-, Zylindersymmetrie) vorliegt, hilft uns dieses Vorgehen nicht weiter. Deshalb benötigen wir noch weiteren Formalismus. 2.2 Das elektrostatische Potential Bisher nicht explizit genutzt haben wir die zweite Maxwellgleichung rot E = 0. Aus der Mathematik weiß man, dass jedes Vektorfeld, dessen Rotation verschwindet, als Gradient eines Skalarfeldes dargestellt werden kann. Wir können also das skalare oder elektrostatische Potential Φ definieren: Aus E(x) = ρ(x) ɛ 0 E(x) = grad Φ(x) = Φ(x) (7) folgt dann sofort die Poisson-Gleichung: 2 Φ(x) = ρ(x) ɛ 0 (8) Abgesehen von der Reduzierung von drei Komponenten auf eine liefert dies keine offensichtlichen Vereinfachungen. Um die Vorteile zu sehen müssen wir zunächst das Konzept der Greens- Funktion diskutieren. Eine Greens-Funktion ist ein Konzept zum Lösen einer inhomogenen Differentialgleichung Df(x) = g(x) (9) wobei D ein Differentialoperator ist (in unserem Fall 2 ) und g eine Inhomogenität (hier ρ ɛ 0 ). Die Greens-Funktion ist definiert durch die Gleichung: DG(x) = δ(x) (10) 3

5 Die Bestimmung der Greens-Funktion erfolgt meist über eine Fourier-Transformation. Wir wollen dies hier aus Zeitgründen jedoch nicht näher diskutieren. Mit Hilfe der Greens-Funktion lässt sich die allgemeine Lösung der DGL dann schreiben als: f(x) = f 0 (x) + G(x x )g(x )d 3 x (11) Dies lässt sich durch einsetzen in die DGL und unter Verwendung der definierenden Gleichung von G leicht überprüfen. f 0 (x) ist eine Lösung der homogenen Gleichung Df(x) = 0. Wenden wir dieses Wissen nun auf die Poisson-Gleichung an. Die Greens-Funktion für unseren Differentialoperator D = 2 lassen wir hier vom Himmel fallen, die Richtigkeit wurde in Aufgabe 2 von Blatt 1 der Vorlesung gezeigt: G(x) = 1 1 4π x (12) Das skalare Potential einer beliebigen endlich ausgedehnten Ladungsverteilung ist dann gegeben durch Φ(x) = 1 4πɛ 0 ρ(x ) x x d3 x (13) x Hier wurde die homogene Lösung (das Äquivalent zu f 0 in (11)) so gewählt, dass das Potential im Unendlichen verschwindet lim Φ(x) = 0. Gleichung (13) lässt sich bei gegebener Ladungsverteilung zumindest numerisch immer auswerten. Wir diskutieren jedoch einen anderen Ansatz. 2.3 Multipolentwicklung Wir möchten das Potential einer endlich ausgedehnten Ladungsverteilung in großem Abstand 1 diskutieren. Das heißt wir können x x nach Potenzen von x x entwickeln: 1 x x = 1 r ( ) r l P l (cos ϑ) (14) l=0 Dabei ist r = x, r = x, ϑ der Winkel zwischen x und x und P l (x) sind die sogenannten Legendre-Polynome. Die Legendre Polynome bilden eine orthogonale Basis der Funktionen auf dem Intervall [ 1, 1], das heißt sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung 1 1 P l (x)p l (x)dx = 2 2l + 1 δ ll r 4

6 und die Vollständigkeitsrelation n=0 Die ersten Legendre-Polynome sind: 2n + 1 P n (x)p n (y) = δ(x y) 2 P 0 (x) = 1 P 1 (x) = x P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) Setzt man nun diese Entwicklung in (13) ein, erhält man mit cos ϑ = x x rr :... Φ(x) = 1 4πɛ 0 Q r }{{} Monopol + p x r 3 }{{} Dipol + 1 Q ij x i x j 2 r i,j }{{} Quadropol (15) mit der Gesamtladung Q = ρ(x )d 3 x, dem Dipolmoment p = ρ(x )x d 3 x und dem Quadropoltensor Q ij = (3x i x j x 2 δ ij )ρ(x )d 3 x. Zu beachten ist hier, dass nur der niedrigste nichtverschwindende Term von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig ist. Die zugehörigen elektrischen Felder sind dann: 2.4 Randwertprobleme E Monopol = Q 4πɛ 0 r 2 ˆx = E Punktladung E Dipol = 1 ( 3(p ˆx)ˆx p 4πɛ 0 r 3 4π ) 3 pδ(x) Die Laplace-Gleichung legt das Potential noch nicht eindeutig fest. Zusätzlich müssen bestimmte Randbedingungen gegeben sein. In Gleichung (13) haben wir die Randbedingungen für das skalare Potential so gewählt, dass lim Φ(x) = 0. Für ein beliebiges Volumen gilt das Eindeutigkeitstheorem: x Eindeutigkeitstheorem: Die Lösung der Laplace-Gleichung in einem Volumen V ist eindeutig, wenn Φ auf dem Rand S des Volumens gegeben ist (Dirichlet-Randbedingungen). 5

7 2.4.1 Methode der Spiegelladungen Betrachten wir als Beispiel ein Metall, dass den gesamten Halbraum z 0 ausfüllt und eine Ladungsverteilung ρ(x) im Vakuum im oberen Halbraum. Wir möchten das Potential im oberem Halbraum bestimmen. Im gesamten Metall muss das Potential konstant sein, also gilt obda Φ(z 0) = 0 Die Dirichlet-Randbedingungen für das Problem sind also Φ(z = 0) = 0 Φ(r ) = 0 1 x y Um die Randbedingungen zu erfüllen müssen wir unsere Greens-Funktion G(x y) = 1 4π modifizieren. Die zweite Randbedingung ist bereits erfüllt. Die neue Randbedingung wird durch folgenden Ansatz erfüllt G(x y) = 1 ( ) 1 4π x y 1 x y mit y = (y 1, y 2, y 3 ). Anschaulich spiegeln wir die Ladungsverteilung an der Grenzfläche z = 0 und kehren dabei das Vorzeichen um Kapazitätskoeffizienten Betrachten wir nun ein System von Leitern j mit Oberflächen S j mit Φ(x S j ) = Φ j vorgegeben. Unser Ziel ist es, die Gesamtladungen Q i = σ(x)df S i auf den Leitern zu bestimmen. Dazu müssen wir zuerst eine Schar von Hilfspotentialen berechnen. Wir suchen für alle j ein Φ (j) (x), dass die Laplace-Gleichung 2 Φ (j) (x) = 0 außerhalb des Leiters j erfüllt mit den Randbedingungen Φ (j) (x S j ) = 1 und Φ (j) (x S i ) = 0 i j. Das gesuchte Potential lässt sich dann einfach als Linearkombination darstellen: Φ(x) = j Φ j Φ (j) (x) Für die Ladung Q i folgt: Q i = ɛ 0 div Ed 3 x = ɛ 0 V i Q i = j Φ j S i E df = ɛ 0 ɛ 0 S i grad Φ (j) (x) df grad Φ(x) df (16) S i } {{ } =:c ij 6

8 mit den Kapazitätskoeffizienten c ij. c ij ist eine symmetrische, positiv definite Matrix 1 und damit invertierbar. Somit gilt umgekehrt Ψ i = j ( c 1 ) ij Q j (17) Im typischen Fall zweier Leiter ist c 11 = c 22 = c12 = c 21 die Kapazität C = Q U mit Q = Q 1 = Q 2 und der Spannung U = Φ 1 Φ Inneres Dirichlet-Problem Wir betrachten eine Ladungsverteilung ρ(x)in einem durch einen Leiter beschränkten Volumen V mit der Randbedingung Φ(x S) = 0. Zur Bestimmung des Potentials im Volumen konstruieren wir wieder Hilfspotentiale Φ n aus der Lösung des Eigenwertproblems 2 Φ n = λ n Φ n mit Randbedingung Φ n (x S) = 0 (18) Diese Eigenwertgleichung entspricht der Schrödingergleichung. Die Lösungen der Schrödingergleichung liefern eine vollständige orthogonale Basis des entsprechenden Hilbertraums, hier also der quadratintegrablen Funktionen f im Volumen V mit der Bedingung f(x S) = 0. Für eine solche Basis gilt die Vollständigkeitsrelation Φ n (x)φ n (y) = δ(x y) (19) n Also müssen wir nur noch eine Linearkombination Φ = n A n Φ n bestimmen, sodass Die Lösung ist 2 Φ(x) = ρ(x) ɛ 0 Φ(x) = 1 ɛ 0 n ρ n Φ n (x) mit ρ n = λ n Um dies zu überprüfen wenden wir den Laplace-Operator an 2 Φ(x) = 1 ɛ 0 n 2 Φ(x) = 1 ɛ 0 n ρ n λ n 2 Φ n (x) ρ n λ n λ n Φ n (x) d 3 yρ(y)φ n (y) (20) 1 Für eine ausführliche Herleitung und Diskussion vergleiche: Schwinger, DeRaad, Milton, Tsai: Classical Electrodynamics, Perseus Books, 1998, Kapitel 24.4 bis

9 2 Φ(x) = 1 ɛ 0 d 3 yρ(y) n Φ n (y)φ n (x) Mit der Vollständigkeitsrelation (19) folgt 2 Φ(x) = 1 ɛ 0 d 3 yρ(y)δ(x y) 2 Φ(x) = 1 ɛ 0 ρ(x) Die Randbedingung Φ(x S) = 0 ist offensichtlich erfüllt, also ist (20) tatsächlich das gesuchte Potential. 3 Magnetostatik 3.1 Das Magnetfeld Analog zum elektrischen Feld definieren wir das Magnetfeld durch die Kraft die auf ein infinitesimales Wegelement dl eines dünnen, vom Strom I durchflossenen Drahtes wirkt: Es gelten die Maxwellgleichungen der Magnetostatik df(x) = Idl B (21) div B = 0 (22) rot B = µ 0 j (23) In Worten: Das Magnetfeld ist quellenfrei. Die Rotation des Magnetfeldes ist proportional zum elektrischen Strom. Zur Berechnung des Magnetfeldes kann man den Stokesschen Satz anwenden: rot B(x) df = B(x) dx A Damit lässt sich das Magnetfeld eines dünnen geraden Leiters berechnen, indem man als Integrationsvolumen einen Kreis senkrecht zum Leiter wählt und für das Magnetfeld aus Symmetriegründen B(x) = B(r) e ϕ ansetzt: µ 0 j(x) df = B(r) e ϕ dx A A A µ 0 I = 2πr B(r) 8

10 B(x) = µ 0I 2πr e ϕ Für kompliziertere Probleme empfielt sich hier wie in der Elektrostatik die Einführung eines Potentials. 3.2 Das Vektorpotential Wegen div B = 0 kann das Vektorpotential A definiert werden: B = rot A (24) Diese Definition ist jedoch nicht eindeutig. Das Magnetfeld ist wegen rot (grad χ) invariant unter sogenannten Eichtransformationen für beliebige Skalarfelder χ Wir nutzen diese Eichfreiheit um A A = A + grad χ div A = 0 (Coulombeichung) (25) zu fordern. Dies bedeutet, dass wir das Vektorpotential transversal wählen. Setzt man (24) in rot B = µ 0 j ein, so erhält man äquivalent zur Poissongleichung: rot(rot A) = µ 0 j grad(div }{{ A } ) 2 A = µ 0 j =0 2 A i = µ 0 j i mit i = x, y, z (26) Wie in der Elektrostatik folgt mit Hilfe der Greens-Funktion: A(x) = µ 0 4π j(x ) x x d3 x (27) Für einen dünnen Leiter kann man daraus schnell das Biot-Savart-Gesetz ableiten: B(x) = rot A(x) = µ 0 4π =0 rot j(x ) x x d3 x = µ 0 1 4π x x rot j(x ) j(x 1 ) grad }{{} x x d 3 x 9

11 = µ 0 4π = µ 0I 4π wobei über die Leiterbahn C integriert wird. 3.3 Magnetischer Dipol j(x ) ( x ) x x x 3 d 3 x C dl x x x x 3 Wie in der Elektrodynamik kann man das Potential in großem Abstand einer räumlich begrenzten Stromverteilung nach Legendre-Polynomen entwickeln A(x) = µ 0 4π 1 r j(x )d 3 x } {{ } =0 + m x r 3 }{{} Dipol +... (28) mit dem magnetischen Dipolmoment m = x j(x )d 3 x. Das magnetische Feld eines Dipols ist gegeben durch: B Dipol = µ ( 0 3(m ˆx)ˆx m 4π r 3 8π ) 3 mδ(x) 4 Energie statischer Felder im Vakuum und in Medien 4.1 Energie einer Ladungsverteilung in einem externen Feld Die Lagrangefunktion eines Teilchens mit Ladung q und Masse m in einem externen Feld Φ(x), A(x) ist L(x, ẋ) = m 2 ẋ2 qφ(x) + qẋ A(x) (29) Die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen führt auf den bekannten Ausdruck für die Lorentz- Kraft d L dt ẋ = L x d (mẋ + qa(x)) = q grad Φ(x) + q grad (ẋ A(x)) dt Mit dem Ausdruck 6. auf unserem Formelblatt folgt: mẍ+q (ẋ ) A(x) = qe(x)+q [(ẋ )A(x) + (A(x) )ẋ + ẋ ( A(x)) + A(x) ( ẋ)] 10

12 mẍ = q [E(x) + ẋ B(x)] (30) Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung lautet der elektrostatische Beitrag verallgemeinert: L el = U el = d 3 xρ(x)φ(x) (31) Wir möchten nun den Fall genauer betrachten, wo sich das externe Feld auf der Skala der Ausdehnung der Ladungsverteilung langsam ändert. Dann kann eine Taylorentwicklung für das Potential durchgeführt werden: Φ(x) = Φ(0) + Φ x=0 x j Φ x=0 x i x j +... x j j 2 x ij i x j (32) Φ(x) = Φ(0) E j (0)x j 1 E i x=0 x i x j x j ij j (33) Setzt man dies in (31) ein erhält man eine Entwicklung für die Energie nach Multipolordnungen: U el = Q ges Φ(0) p E(0) 1 6 ij Q ij E i x j x= (34) wobei die Gesamtladung, das Dipolmoment und das Quadropolmoment wie in Kapitel 2.3 definiert sind. 4.2 Energie zum Aufbau eines statischen Feldes Nun wollen wir bestimmen, welche elektrostatische Energie eine Ladungsverteilung im eigenen Feld hat. Dafür ersetzen wir in (31) die Ladungsdichte unter Verwendung der Poisson-Gleichung (8). Damit wir die Wechselwirkung nicht doppelt zählen, fügen wir noch einen Faktor 1 2 ein. U el = 1 d 3 x 2 Φ(x) Φ(x) 2 ɛ 0 Wieder hilft uns unsere Formelsammlung die rechte Seite umzuformen (Ausdruck 5.): U el = 1 2ɛ 0 d 3 x [ ] Φ 2 (x) (grad Φ(x))(grad Φ(x)) Unter der Annahme, dass die Ladungsverteilung nur endlich ausgedehnt ist, gibt der erste Summand auf der rechten Seite keinen Beitrag und es folgt: U el = 1 2ɛ 0 d 3 xe 2 (x) (35) 11

13 Analog kann für den magnetostatischen Fall gezeigt werden, dass U mag = µ 0 2 d 3 xb 2 (x) (36) Es folgt die elektromagnetische Energiedichte: 4.3 Statische Felder im Medium Elektrische Felder im Medium w elmag (x) = 1 2ɛ 0 E 2 (x) + µ 0 2 B2 (x) (37) In einem Dielektrikum erzeugt ein externen elektrisches Feld mikroskopische Effekte auf die wir hier nicht eingehen wollen (und die wir ohne Kenntnisse der Quantenmechanik und der Struktur des Mediums auch nicht korrekt behandeln können). Konkret bedeutet dies, dass wir unser Wissen über die Existenz von Atomen vergessen und das Medium als Kontinuum ansehen. Wir betrachten eine makroskopische Größe, die Polarisation P eines Mediums, die durch die induzierte Ladung ρ b im Dielektrikum und σ b erzeugt wird ρ b = div P (38) σ b = P n (39) Die Maxwellgleichungen der Elektrostatik gelten natürlich weiterhin, daraus folgt ɛ 0 div E = ρ frei + ρ b = ρ frei div P Mit der Definition der dielektrischen Verschiebung D lässt sich dies dann vereinfacht schreiben als D(x) = ɛ 0 E(x) + P(x) (40) div D = ρ frei (41) Bei linearen isotropen Medien ist die Polarisation proportional zum externen Feld. P = χ el ɛ 0 E (42) wobei die elektrische Suszeptibilität χ el materialabhängig ist. Für die dielektrische Verschiebung gilt mit ɛ r := 1 + χ el 12

14 D = ɛ r ɛ 0 E (43) Dies bedeutet jedoch nicht, dass man in der Elektrostatik mit Medien in allen Gesetzen einfach E(x) durch D(x) ersetzen kann und nur die Proportionalitätskonstandten etwas anpassen muss. Das Problem ist, dass die Beziehung rot D(x) = 0 im Allgemeinen nur an Orten x gilt, wo grad ɛ r (x) = 0, also insbesondere nicht an Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien. rot D(x) = ɛ 0 rot [ɛ r (x)e(x)] = ɛ 0 ( grad ɛ r (x)) E(x) + ɛ r (x) rot E(x) }{{} =0 Es lassen sich jedoch einfach Stetigkeitsbedingungen an der Grenzfläche herleiten. Dazu betrachten wir zuerst die Integrationskontur in Abbildung 1 Mit dem Satz von Stokes folgt Abbildung 1: Integrationspfad entlang Grenzfläche C E(x) dx = A rot E(x) df = 0 Lässt man die beiden Wegelemente senkrecht zur Grenzfläche gegen Null gehen, so folgt daraus, dass die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes stetig ist. Nun wollen wir ein würfelförmiges Volumen betrachten, dass die Grenzfläche beinhaltet (wie in Abb 1, nur 3D). Mit dem Satz von Gauß folgt, falls es keine externe Ladungsdichte auf der Grenzfläche gibt D(x) df = div D(x)d 3 x = 0 V Im Limes folgt, dass die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung stetig ist Magnetische Felder im Medium V Wir schränken unsere Überlegungen wieder nur auf makroskopische Effekte ein. Ein externes Magnetfeld erzeugt in einem Medium eine induzierte Stromdichte j b und Oberflächenstromdichte k b. Wir definieren die Magnetisierung M so, dass 13

15 Wir definieren die magnetische Feldstärke H j b = rot M (44) k b = M n (45) Es folgt B = µ 0 (H + M) (46) rot H = 1 µ 0 rot B rot M = ρ ρ b = ρ frei (47) Für lineare isotrope Medien gilt M = χ m H (48) mit der magnetischen Suszeptibilität χ m, bzw. mit µ = 1 + χ m B = µµ 0 H (49) Auch im magnetischen Fall kann man nicht einfach alle B durch H ersetzen. div H = 0 gilt nur in Bereichen, wo µ konstant ist. Analog kann man jedoch auch Stetigkeitsbedingungen an Grenzflächen herleiten. Diese lauten Die Normalkomponente des Magnetfeldes B n ist stetig. Die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke H t ist stetig, falls es an der Grenzfläche keine externe Stromdichte gibt. 14