Klausur - Kinematik und Dynamik - SoSe 2015 Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov

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1 Kausur - Kineatik und Dynaik - SoSe 2015 Prof. Dr. rer. nat. Vaentin Popov Dieser urahte Bereih ist vor der Bearbeitun der Kausur voständi und esbar auszufüen! Nahnae Studienan rt der Kausur: Vornae Matrikenuer Prüfunskausur Übunssheinkausur ufabe Σ 1-7 Kurzfraentei Sihtun Punkte / 80 / 20 Die Prüfunskausur ufasst sieben ehenaufaben und einen Kurzfraentei it Theorieaufaben. Die Bearbeitunszeit beträt 4 Zeitstunden. Die Kausur it as bestanden, wenn i Kurzfraentei indestens 10 von 20 Punkten und insesat indestens 40 von 100 Punkten erreiht werden. Traen Sie die Erebnisse des Kurzfraenteis direkt auf de Kausurbatt ein (nur diese Eintraunen werden berüksihtit!). Es werden ae ehenaufaben ewertet. Bitte shreiben Sie sauber, unesbare Lösunen werden niht beahtet. Theorieaufaben 20 Punkte 1. Geben Sie die Maßeinheiten foender Größen ausshießih in den Einheiten 1, k, und s an: Däpfunsrad D Winkebesheuniun ϕ Drehipus L Steifikeit einer Drehfeder D 2. Geeben ist das Geshwindikeit-Zeit-Diara einer eradinien Beweun. Skizzieren Sie das zuehörie Besheuniun-Zeit-Diara. Geben Sie arkante Punkte quantitativ rihti an. 40 v [ ] s a [ s 2 ] 20 t [s] t [s] 2 Punkte

2 3. Das skizzierte ebene Syste besteht aus eine starren Körper und zwei Massepunkten, die über eine starre, asseose Stane iteinander verbunden sind. Die Stane ist wiederu über eine asseose Feder it de starren Körper verbunden. Wie viee Freiheitsrade hat das skizzierte ebene Syste? ntwort: Es hat Freiheitsrade. Starrer Körper asseos Massepunkt asseos und starr Massepunkt 4. Ein Massepunkt bewet sih entan einer Geraden. Seine Geshwindikeit in bhänikeit des Ortes ist durh v() = sin(b) eeben, wobei und B eebene aßeinheitenbehaftete Konstanten sind. Berehnen Sie die Besheuniun as Funktion des Ortes! a() = 5. Der skizzierte Koben bewet sih it der konstanten Geshwindikeit v nah oben. I Punkt C ist der Koben eenki an der Stane 2 aneshossen. Diese ist wiederu i Geenkpunkt B it der Stane 1 verbunden. Zeihnen Sie den Moentanpo M der Stane 2 in nebenstehendes Bid ein. 6. Eine rein transatorish bewete Kue der Masse stößt it der Geshwindikeit v zentra it einer ruhenden, eihartien Kue (eihe Masse ) zusaen. Mit wehen Geshwindikeiten 1 und 2 beween sih die Kuen nah de Stoß weiter, wenn der Stoß as idea-eastish anenoen werden so? 1 = 2 = Geeben: v, y α 1 B β 2 v vor de Stoß: nah de Stoß: v 1 2 C 7. Ein Körper der Masse 1 it der Geshwindikeit v stößt wie skizziert it eine ruhenden v vor de Stoß: nah de Stoß: Körper der Masse 2 zusaen. Der Stoß sei vopastish, so dass sih beide Körper vereint nah de Stoß it der (niht eebenen) Geshwindikeit weiter beween. Wie roß ist die Enerie, die bei diese vopastishen Stoß veroren eht? W = Geeben: v, 1, 2

3 8. Eine keine Kue vo Gewiht G = 40N wird von einer inearen Feder der Steifikeit = 100 N abeshossen. U wehen We s uss die Feder vorespannt sein, wenn die Kue eine (aiae) Höhe von h = 20 erreihen so? Die Luftreibun sei vernahässibar. NN s = vorespannt 9. Eine Punktasse bewet sih wie skizziert auf einer Kreisbahn vo adius. Der die Beweun beshreibende Winke ϕ(t) ändert sih dabei eäß ϕ(t) = kt 2, worin k eine aßeinheitenbehaftete eebene Konstante darstet. e ϕ e r ϕ Geeben: ϕ(t) = kt 2,, F 0 (a) Geben Sie die Besheuniun der Punktasse in der Poarbasis e r (t), e ϕ (t) an. a(t) = (b) Nehen Sie an, dass auf die Punktasse während der Beweun eine Kraft in Ufansrihtun F (t) = F 0 e ϕ (t) wirkt, wobei F 0 konstant ist. Wie roß ist die rbeit, die die Kraft F (t) an der Kue bei eine voen Uauf verrihtet? W Uauf = 10. Ein Fahrstuh bewet sih it der Besheuniun s(t) = 1 2 senkreht nah unten. Wie roß ist die Norakraft F N zwishen de Fahrstuhboden und eine Körper der Masse, weher sih i Fahrstuh befindet? Geeben:,, s(t) = 1 2 s 2 Punkte F N = 11. Das skizzierte Syste besteht aus 4 Massepunkten, die über starre, asseose Stanen iteinander verbunden sind. Wie roß ist das Massenträheitsoent des skizzierten Systes bezüih der y- hse? Geeben:, z y 3 Θ yy =

4 12. Eine starre Kue der Masse it de Massenträheitsoent bezüih des Shwerpunktes Θ s führt eine ebene Beweun in der -y-ebene aus. Dabei dreht sih die Kue it der Winkeeshwindikeit ω und ihr Shwerpunkt bewet sih it der Geshwindikeit v nah rehts. Geben Sie den Drehipus der Kue in Bezu auf den ruhenden Punkt an! h ω S v e y Geeben:, h,, Θ s, v, ω L () = ( ) e z 13. Eine Masse bewet sih unter der Einwirkun der Kraft F(t) = F 0 os(ωt) auf eine reibunsfreien Unterrund. Geben Sie für die nfansbedinunen (t = 0) = 0 und ẋ(t = 0) = 0 das Beweunsesetz (t) der Masse an. e z e F(t) (t) = µ = 0 Geeben:, F(t) = F 0 os(ωt), (t = 0) = 0, ẋ(t = 0) = 0, ω =onst. 14. Ein uto der Masse fährt it der Geshwindikeit v auf erader, horizontaer Streke. Bestien Sie it Hife des rbeitssatzes den Breswe s des utos, der nöti ist, u seine Geshwindikeit auf die Häfte des nfanswertes zu reduzieren. Der eibunskoeffizient sei µ. s = Geeben: µ,,, v 15. Die drei Shwinunssystee bestehen aus Punktassen und asseosen inearen Shraubenfedern. 3 Wehe der foenden Systee haben die Eienkreisfrequenz ω 0 =? Bitte kreuzen Sie ae rihtien Lösunen an! z d Das skizzierte Syste zeit das Mode für eine PKW-adaufhänun. Geben Sie die nzah der Eienfrequenzen und Eienforen des ezeiten Modes an! z 1 1 nzah der Eienfrequenzen: 1 nzah der Eienforen: Geeben: 1, 2, 1, 2, d

5 17. Ein Körper K it der Masse ist über eine Feder und einen Däpfer it de nreunskoben verbunden, der eine voreebene shwinende Beweun u(t) = û os(ωt) ausführt. (t) bezeihnet die Vershiebun des Körpers K een den spannunsosen uhezustand. Die Beweunsdifferenziaeihun des Systes autet: ẍ(t)+dẋ(t)+k(t) = d u(t)+ku(t) Die Verrößerunsfunktion V (η) des Systes ist für den unedäpften Fa und einen shwah edäpften Fa skizziert D 0 u(t) k d K 2.0 V Η D 0, Η (a) Geben Sie die Eienfrequenz f des edäpften Systes in bhänikeit der eebenen Größen an. Geeben: û, k, d, f = (b) Nun werde das Syste it der Kreisfrequenz Ω = 2ω 0 erret. Durh wehe Maßnahen kann an bei dieser Erreerkreisfrequenz die pituden verrinern (Bitte ankreuzen!): Die Däpfun verrinern. Die Däpfun verrößern. 2 Punkte

6 1 Kineatik 5+5 = 10 Punkte Ein Körper bewet sih it der konstanten Geshwindikeit v in -ihtun (eführte Beweun). Eine eenki an diese Körper aneshossene Stane der Läne führt Pendebeweunen eäß ϕ(t) = ϕ 0 os(ω 0 t) e y y Geführter Körper ϕ(t) v aus. Zu Zeitpunkt t = 0s beträt der bstand des transatorish beweten Körpers von der y- hse (0) = 0. Eine Person, die sih zu nfanszeitpunkt t = 0s i Ursprun des Koordinatensystes befindet, bewet sih eradini eihföri it v B in -ihtun. v B P e (a) Eritten Sie den Orts- und Geshwindikeitsvektor des Stanenendpunktes P in der raufesten kartesishen Basis. (b) Mit weher Geshwindikeit v B uss die Person aufen, dait Sie den Stanenendpunkt P in der tiefsten Position erreiht. Hinweis: Es ist der Zustand eeint, bei de der Stanenendpunkt erstai den tiefsten Punkt erreiht. Geeben: v,, ϕ(t) = ϕ 0 os(ω 0 t), ω 0 = onst., 0 2 Kineatik - Bekannte ufabe = 10 Punkte Das darestete Getriebe besteht aus den Zahnrädern 1 und 2, de Winkerahen 3 und der Shubstane 4. Der Winkerahen 3 rotiert it der Winkeeshwindikeit ω 3 u den Laerpunkt. Das i Punkt C it de ahen verbundene Zahnrad 2 rot infoedessen i Punkt B auf de bokierten Zahnrad 1 ab. Die Shubstane 4 ist in E eenki it de Winkerahen 3 sowie über die Shiebehüse D it Zahnrad 2 verbunden. (a) Zeien Sie, dass die Winkeeshwindikeit des Zahnrades 2 ω 2 = 3 2 ω 3 beträt. E y, e y (b) Berehnen Sie die Winkeeshwindikeit ω 4 der Shubstane 4. 4 ω Geeben:, ω 3 D C 2 B 1, e 2

7 3 Kineatik = 1e Eine Pattfor vo adius dreht sih it der konstanten Winkeeshwindikeit ω und bewet sih nah de Beweunsesetz ( z(ϕ) = z 0 1 e kϕ) nah oben. n der Pattfor ist wie skizziert ein starres Hohrohr der Läne befestit, in wehe sih ein Massepunkt it der (reativen) Geshwindikeit v 0 nah außen bewet. Zu Zeitpunkt t = 0s sei ϕ = 0 und der Massepunkt P befindet sih i radiaen bstand von der Drehahse. (a) Berehnen Sie Orts-, Geshwindikeits- und Besheuniunsvektor des Massepunktes P as Linearkobination der itdrehenden Basis e r, e ϕ, e z. (b) Nah weher Zeit t E hat die Pattfor die Höhe h = 1 2 z 0 erreiht? () Nun so der Massepunkt P das Hohrohr enau in de uenbik verassen, in wehe die Pattfor die Höhe h = 1 2 z 0 erreiht. Wieroßussdazuv 0 ewähtwerdenundit wehe Geshwindikeitsbetra v E verässt der Massepunkt das Hohrohr? Beahten Sie die eebenen Größen. Geeben:,, k > 0, ω = konst., z 0, ϕ(0) = 0 ω P v 0 z(ϕ) z e ϕ e r ϕ y 4 Kinetik 3+7 = 10 Punkte Zwei Zyinder der Massen 1 und 2 it den Massenträheitsoenten bezüih der Shwerpunkte Θ 1 und Θ 2 sind über eine ineare Feder der Steifikeit ekoppet. Die beiden Zyinder beween sih eine u den Winke α eneite Ebene hinab, wobei beide Zyinder eine reine obeweun ausüben. Zur Beshreibun der Beweun soen die Shwerpunktskoordinaten 1 und 2 verwendet werden. Für 1 = 2 sei die Feder entspannt. (a) Shneiden Sie beide Körper einzen frei und eben Sie ae notwendien kineatishen Beziehunen an. (b) Eritten Sie das Beweunsdifferenziaeihunssyste it Hife von Shwerpunkt- und Drasatz und steen Sie es in Matrizenfor dar S r Geeben: α, r,,, 1, 2, Θ 1, Θ α S 1 1 r 1, Θ 1 2 2, Θ 2

8 5 Kinetik - rbeitssatz = 16 Punkte Das skizzierte Syste besteht aus zwei eihen, hooenen Stäben, die eenki iteinander verbunden sind und über ein Festaer i Punkt und ein Losaer i Punkt B an die Uebun ekoppet sind. Eine ineare Drehfeder der Steifikeit d verbindet Punkt it de inken Stab, des Weiteren ist der Punkt B über eine ineare Länsfeder der Steifikeit k it der Uebun verbunden. I Verbindunspunkt der beiden Stäbe reift eine konstante vertikae Kraft F an. Die Stäbe haben die Läne, die Masse und je das Massenträheitsoent Θ s bezüih ihrer Shwerpunkte S 1 und S 2. eibun sei niht vorhanden. Zu nfanszeitpunkt t = 0s sind beide Federn entspannt und es eten die nfansbedinunen ϕ(0) = ϕ 0 = 30 und ϕ(0) = 0 1 s. y F D S 1 ϕ β S 2 B k e y e (a) Die bbidun zeit einen oentanen Beweunszustand (ϕ < ϕ 0 ). Zeien Sie dass für die kinetishe Enerie des Systes ( ) 1 K t = 3 +sin2 ϕ 2 ϕ 2 it. Beahten Sie dabei die eebenen Größen. (b) Eritten Sie die Winkeeshwindikeit ϕ as Funktion des Winkes ϕ it Hife des rbeitssatzes. Die unter ufabentei (a) eebene kinetishe Enerie so dabei verwendet werden. () Wie roß uss die Kraft F indestens sein, u den Durhan der Stäbe durh die horizontae Lae zu ewähreisten? Beahten Sie dabei die eebenen Größen und berüksihtien Sie D = 72 π 2 k 2. Geeben:,, Θ s = ,, k, D, F, ϕ(0) = ϕ 0 = 30, ϕ(0) = 0 1 s 6 Kinetik - Bekannte ufabe 2 10 Punkte (t) n einer hooenen Kreissheibe reift wie skizziert eine haronishe F(t) Erreerkraft F (t) an Die usenkun aus der statishen uheae wird durh (t) beshrieben. Berehnen Sie den stationären (eineshwunenen) Zustand des Systes (pitude und Phasenae) bei keinen usenkunen k a Geeben: F(t) = F 0 osωt,,, k, a α reines oen

9 7 Kinetik - Shwinunen = 13 Punkte Das skizzierte Syste besteht aus eine starren, asseosen Winke, an dessen Enden die Punktassen 1 und 2 befestit sind. Die Punktassen sind über eine ineare Feder der Steifikeit und einen inearen Däpfer it der Däpfunskonstanten d an die Uebun efesset. Die Feder sei in der niht auseenkten Lae entspannt (inke Teiabbidun). Die rehte Teiabbidun zeit das Syste in einer auseenkten Lae. 2 d starr, asseos b ϕ 1 a useenkte Lae (a) Shneiden Sie das Syste frei und eritten Sie die niht-ineare Beweunsdifferenziaeihun des Systes. Die Shrästeunen von Feder und Däpfer soen dabei vernahässit werden. (b) Wie autet die ineare Beweunsdifferenziaeihun für keine usenkunen? () Bei keinen usenkunen und Vernahässiun der Gewihtskraft kann die Beweunsdifferenziaeihun in der For ϕ(t)+2δ ϕ(t)+ω 2 0ϕ(t) = 0 aneeben werden. Geben Sie die aeeine Lösun dieser Beweunsdifferenziaeihun an und passen Sie die Lösun den nfansbedinunen an. ϕ(0) = ϕ 0 und ϕ(0) = 0 1 s Geeben: a, b,, d, 1, 2, ; ϕ 0, in Tei (): δ, ω 0