m 1 m 2 Abbildung 2.32: Bestimmung des Schwerpunkts. m 1 gl 1 = m 2 gl 2 (2.229) m 1 l 1 = m 2 l 2 (2.230) m 1 ( r S r 1 ) = m 2 ( r 2 r S ) (2.

Transkript

1 Mehanik.8.3 Shwerpunkt Bei einem starren Körper greift die Shwerkraft an allen N Massenelementen an. Anstelle der N Kräfte kann man eine resultierende Kraft etrahten, die am Shwerpunkt (Massenmittelpunkt) angreift. Dort ist das Drehmoment Null. Beispiel m m l l Aildung.3: Bestimmung des Shwerpunkts. Im Shwerpunkt S sind die Drehmomente entgegengesetzt gleih. S m gl = m gl (.9) m l = m l (.3) r und r sind die Koordinaten von m und m. r S ist die Koordinate des Shwerpunktes. allgemein gilt für N Massepunkte: m ( r S r ) = m ( r r S ) (.3) r S = m r + m r m + m (.3) r S = mi r i mi (.33) für homogene Massendihte ρ: lim m i r i = ρ V i r i V ρ rdv (.34) lim m i = ρ V i V ρ dv = m Gesamtmasse (.35) r S = rdv = r(, y, z)ddydz V V (.36) 5

2 .8 Mehanik des starren Körpers a Aildung.33: Kantenlängen des Quaders. Beispiele: Kuus mit den Kantenlängen a,, : V = a (.37) r S = a y ddydz (.38) a z r S = a r S = Halkugel: Kugelkoordinaten: a yz y z yz a (.39) Mittelpunkt des Kuus. (.4) z y r Aildung.34: Definition der Kugelkoordinaten. = r sin Θ os ϕ (.4) y = r sin Θ sin ϕ (.4) z = r os Θ (.43) ddydz = r sin Θ drdθdϕ (.44) (.45) 5

3 Mehanik V = R π/ π = π = π R π/ R r sin ΘdrdΘdϕ (.46) r sin ΘdrdΘ (.47) r dr (.48) = π 3 R3 (.49) r S = 3 R π/ π r sin Θ os ϕ r sin Θ sin ϕ r sin ΘdrdΘdϕ (.5) πr 3 r os Θ = 3 πr 3 = 3 R 3 4 R4 R π/ π/ πr 3 os Θ sin Θ os Θ sin Θ drdθ (.5) dθ (.5) = 3 4 R (.53) sin Θ π/ = 3 8 R (.54) Potentielle Energie: E pot = mgz S ; z S : Höhe des Shwerpunktes (.55) vershiedene Arten des Gleihgewihts durh räumlihe Änderung der potentiellen Energie gegeen. 5

4 .8 Mehanik des starren Körpers Gleihgewiht stail indifferent lail Verlauf der potentiellen Energie in Rihtung einer Koordinate E pot E pot E pot Ort der Gleihgewihtslage Reaktion auf eine Verrükung aus der Gleihgewihtslage Körper kehrt zurük Körper leit liegen Körper entfernt sih Shwerpunktslage S ei Verrükung aus der Gleihgewihtslage S wird angehoen S leit in gleiher Höhe S senkt sih Aildung.35: Gleihgewihtslagen Kinetishe Energie: Translationsenergie des Shwerpunktes + Rotationsenergie um den Shwerpunkt E kin = m v S + N m i ri ω (.56) i= }{{} J: Massenträgheitsmoment E kin = m v S + J ω (.57).8.4 Trägheitsmoment Genau wie die träge Masse der Widerstand eines Körpers gegen eine Änderung der Translationsewegung ist, ist das Trägheitsmoment der Widerstand eines Körpers gegen eine Änderung der Rotationsewegung. Definition: J = N m i ri = i= r dm = ρr dv (.58) 53

5 Mehanik Beispiele: Drehahse a a Aildung.36: Rotation eines Quaders. Kuus mit homogener Massendihte: J = ρ r dv (.59) r ist der Astand zur Drehahse: r = a/ J = ρ J = ρ y / / a/ / / a/ / a/ a/ / ( + 3 r = + y ( + y ) ddydz (.6) ( + y ) ddy (.6) ) 3 J = ρ d (.6) a/ 4 ( a 3 J = ρ ) a (.63) J = ρa ( a + ) (.64) J = m ( a + ) (.65) 54

6 .8 Mehanik des starren Körpers Halkugel mit homogener Massendihte: Kugelkoordinaten, Astand zur Ahse: r sin Θ Drehahse Aildung.37: Rotation einer Halkugel. J = ρ r dv (.66) J = ρ J = πρ mit V = 3 πr3 und m = ρv folgt: R π/ π R π/ J = π/ 5 πρr5 sin 3 ΘdΘ }{{} r sin Θr sin ΘdrdΘdϕ (.67) r 4 sin 3 ΘdrdΘ (.68) = 3 (.69) J = 4 5 πρr5 (.7) J = 5 mr (.7) Das Trägheitsmoment einer Halkugel ist gleih dem der Vollkugel! Rotation um Ahse, die niht durh den Shwerpunkt geht: Satz von Steiner (.7) J A = J S + ms (.73) J S : Trägheitsmoment ei Rotation um eine Ahse durh den Shwerpunkt J A : Trägheitsmoment ei Rotation um eine elieige Ahse A s: Astand eider paralleler Drehahsen. 55